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• Emilio Murcia

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez

Primera parte. En esta primera parte encontrarás toda la teoría necesaria para resolver la prueba de razonamiento lógico del examen de admisión de la universidad de Antioquia que consta de 11 partes:           

Lógica proposicional. Nociones básicas de aritmética. Proporcionalidad Análisis estadístico. Diagramas lógicos. Ecuaciones. Geometría básica Sucesiones y razonamiento abstracto. Métodos de conteo y probabilidad. Procesos físicos reales. Razonamiento espacial.

En cada una de estas secciones encuentras la teoría en un lenguaje muy claro, ejemplos y un taller con ejemplos similares, casi todos los ejemplos y ejercicios de los talleres son puntos de exámenes de admisiones pasados, al final de cada taller encontrarás las respuestas, procura en la medida de lo posible de no trabajar con calculadora, estudia con entusiasmo y perseverancia, recuerda que la perseverancia tarde o temprano vence la inteligencia.

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez

LÓGICA PROPOSICIONAL. En esta sección no encontrarás un curso formal de lógica y mucho menos formulas rigurosas de la lógica proposicional, ya que el objetivo de este capitulo es que aprendas a resolver los ejercicios de lógica de la universidad de Antioquia y por ende, puedas ingresar a estudiar la carrera que desees, el capitulo contiene definiciones básicas en un lenguaje muy coloquial, los ejemplos y talleres que encuentres aquí son puntos de exámenes de admisión anteriores o modificaciones de los mismos, este capitulo esta dividido en las siguientes partes: Proposiciones simples y compuestas. Conectores lógicos Taller de proposiciones compuestas. Actividad con los conectores lógicos. Situaciones posibles con proposiciones compuestas. Taller de situaciones posibles con proposiciones compuestas. Cuantificadores Negaciones Taller de cuantificadores y negaciones Ejercicios de aplicaciones Aplicaciones de cuantificadores Taller de aplicaciones Problemas de tablas de doble entrada. Taller de problemas de tabla de doble entrada. ¡Te deseo muchos éxitos!

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez  El 2 es el único número primo par o todos ENUNCIADO DECLARATIVO: los múltiplos del 6 son múltiplos del 3. Es una oración que afirma o niega una idea,  Si el 2 es el único número primo par hecho o una propiedad, por ejemplo: entonces todos los múltiplos del 6 son múltiplos del 3. “No está haciendo calor”  El 2 es el único número primo par si y solo “gane el examen de admisión” sí todos los múltiplos del 6 son múltiplos “hoy es martes” del 3. DEFINICIÓN DE PROPOSICIÓN SIMPLE Es un enunciado declarativo del cual se puede demostrar que es verdadero o que es falso pero no asume los dos valores de verdad. Ejemplos: 1. El 2 es el único número primo par. 2. Todos los múltiplos del 6 son múltiplos del 3. 3. El 4 es un divisor propio del 24. 4. El 7 no es un número primo. De las anteriores proposiciones simples las tres primeras son verdaderas, la última es falsa. DEFINICIÓN

COMPUESTA

DE

PROPOSICIÓN

Son dos o más proposiciones simples unidas con conectores lógicos. CONECTORES LÓGICOS. Los conectores lógicos nos permiten unir dos o más proposiciones simples para construir una proposición compuesta, los conectores lógicos son:    

“Y” que se simboliza así  “O” que se simboliza así  Condicional “Sí...entonces…” que se simboliza así  Bicondicional “…si y solo si…” que se simboliza así 

Ejemplos: 

El 2 es el único número primo par y todos los múltiplos del 6 son múltiplos del 3.

Los cuatro anteriores ejemplos son proposiciones compuestas, en cada una de ellas las dos proposiciones simples son verdaderas, la cuestión es que en una proposición compuesta su valor de verdad o de falsedad depende de unas reglas que mencionaremos a continuación. CONECTOR LÓGICO “Y”“  ” Para que dos proposiciones simples unidas con el conector lógico  sea cierta (como proposición compuesta) se tiene que cumplir que las dos proposiciones simples son verdaderas, de lo contrario es falsa. Ejemplo: 

El 2 es el único número primo par y todos los múltiplos del 6 son múltiplos del 3.

Esta proposición compuesta es verdadera, pues sus dos proposiciones simples son verdaderas.  El logaritmo de un número entre cero y uno es negativo y las potencias del número dos son impares. Esta proposición compuesta es falsa, pues la segunda proposición simple es falsa y no importa que la primera proposición simple sea verdadera. Podemos inferir que la proposición compuesta con la Y es falsa si al menos una de las proposiciones simples es falsa, eso se muestra en la siguiente tabla. Sea P una proposición simple y sea Q una proposición simple, y vamos a suponer todos los casos posibles, que serían:

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Recuerde que solo basta que al menos una de las proposiciones simples sea verdadera para P Q P Q que la proposición compuesta sea verdadera. V V Ejemplo: V F F V  1 es un número Real O todos los  F F números complejos son números reales. En la anterior tabla se muestra todos los casos posibles, donde la primera fila muestra la La anterior proposición compuesta es falsa, ya situación en la que las dos proposiciones que las dos proposiciones simples son falsas. simples son verdaderas, en la segunda fila La única forma en que dos proposiciones muestra la situación en que la primera simples unidas con el conector lógico  sean proposición es verdadera y la segunda es falsa, falsas es que las dos proposiciones simples la tercera fila muestra el caso inverso de la sean falsas. segunda fila, y en la cuarta fila las dos Las conclusiones del conector  se ilustran proposiciones simples son falsas. en la siguiente tabla. En la tercera columna determinaremos si la Sea P una proposición simple y sea Q una proposición compuesta P  Q bajo las proposición simple, y vamos a suponer todos condiciones descritas es verdadera o falsa, solo los casos posibles, que serían: en la primera situación la proposición P Q P Q compuesta es verdadera, en las otras V V situaciones es falsa. V F P Q P Q F V V V V F F V F F Como con el conector lógico  basta que una F V F de las proposiciones simples sea verdadera para F F F que la proposición compuesta sea verdadera, se CONCLUSIÓN. infiere que las tres primeras situaciones son verdaderas y solo la última es falsa. Dos proposiciones simples unidas con el P Q P Q conector lógico  son verdaderas, solamente V V V si las dos son verdaderas. En otro caso es falsa. V F V F V V CONECTOR LÓGICO “O” “  ” F F F CONECTOR LÓGICO CONDICIONAL “  Para que dos proposiciones simples unidas con ” el conector lógico  sea cierta (como proposición compuesta) basta que al menos una Los estudiantes tienden a confundir el de ellas sea verdadera y solo es falsa si las dos condicional con el conector lógico Y. pero son proposiciones simples es falsa. muy diferentes, el condicional expresa que: Ejemplo: dado que la primera proposición sea verdadera  La suma de los ángulos internos de un implica obligatoriamente que la segunda cuadrilátero es 360º o la suma de los proposición también lo sea, pero el hecho de ángulos internos de un triángulo es de 280º. que la segunda proposición simple sea La anterior proposición compuesta es verdadera, debido a que esta unida con el conector lógico  y la primera proposición simple es verdadera y no importa que la segunda proposición simple sea falsa.

verdadera no implica por obligación que la primera proposición simple sea verdadera. Y el conector lógico“Y” expresa que dos proposiciones simples unidas con el conector lógico “Y” es verdadero solo si las dos proposiciones simples son verdaderas. 4

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez El anterior condicional es verdadero, pues el hecho de que dos números sean impares su Ejemplo. suma por obligación es par. Ejemplo:  Si X es múltiplo del 8 entonces X es  Si 7 es par entonces 2 es impar. múltiplo del 2”. Notemos que entre las palabras SI y ENTONCES esta la primera proposición y después de la palabra ENTONCES esta la segunda proposición, el concepto de condicional expresa que Si la primera proposición es verdadera la segunda tiene que ser verdadera, supongamos que: “X es múltiplo del 8” es una proposición de la cual podemos afirmar que es verdadera, luego podemos inferir que efectivamente la segunda proposición es verdadera, pues todos los múltiplos del 8 son múltiplos del 2. Ahora, ¿que pasa si la segunda proposición es verdadera? Es decir, tenemos que existe un número ¡que es múltiplo del 2!, pero eso no implica que el número sea múltiplo del 8, como ejemplo, pensemos que el 4 es múltiplo del 2, pero no es múltiplo del 8. Lo cual conlleva a que todo número múltiplo del 8 es múltiplo del 2, pero no todos los múltiplos del 2 son múltiplos del 8. ¿Cuándo dos proposiciones simples unidas con el conector condicional es falso?, es falso si la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa, pues de esta manera no se cumple la obligatoriedad. En las otras situaciones es verdadera. Ejemplo:  Sea a, b números enteros. Si a  b es par, a y b son pares. Debemos recalcar la palabra entonces se puede remplazar por una coma, como ha sucedido en el anterior ejemplo, pero es importante decir que en un condicional siempre ha de iniciar con la palabra SI. El anterior condicional es falso, el hecho de que la suma de dos números sea par no implica que los números sean pares, como ejemplo pensemos en el 5 y 3, 5+3=8, la suma es par y los números son impares. Ejemplo:  Si a,b son números impares, a+b es par.

El anterior condicional es verdadero, existen dos argumentos para decirlo, primero; un condicional es falso si la primera proposición simple es verdadera y la segunda proposición simple es falsa, pero como las dos proposiciones simples son falsas entonces no es el caso. Segundo: si 7 fuera par por obligación 2 tendría que ser impar, pero dado que 7 no es par, el 2 no esta obligado a ser impar. Las conclusiones del conector  se ilustran en la siguiente tabla. Sea P una proposición simple y sea Q una proposición simple, y vamos a suponer todos los casos posibles, que serían: P Q P Q V V V F F V F F Como: un condicional es falso si la primera proposición simple es verdadera y la segunda proposición simple es falsa, entonces, solo en la segunda situación es falsa, las otras son verdaderas. P Q P Q V V V V F F F V V F F V CONECTOR LÓGICO BICONDICIONAL.



El bicondicional expresa que si la primera proposición simple es verdadera entonces la segunda proposición simple por obligación es verdadera, además, si la segunda proposición simple es verdadera entonces por obligación la primera es verdadera. Ejemplo: 

El número X es múltiplo del 4 si y solo si el número X es múltiplo del 2.

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez La anterior proposición compuesta es falsa, ya verdaderas o si las dos son falsas, que al ser la primera proposición verdadera encasocontrario es Falsa, por ende la tabla obliga a la segunda a ser verdadera, esto es por quedaría así: que todos los números que son múltiplos del P Q P Q cuatro son múltiplos del 2, pero si la segunda V V V proposición es verdadera no obliga a que la V F F primera proposición sea verdadera, pues no F V F todos los múltiplos del 2 son múltiplos del 4, F F V ejemplo el número 6. Ejemplo: Ejemplo: I. Considere las siguientes proposiciones: 

x    si y solo si

x 

La anterior proposición compuesta es verdadera. Si la primera proposición es verdadera, es decir, tenemos un número que pertenece a los reales positivos o es el cero su raíz cuadrada es un número real. Ahora, si la segunda proposición es verdadera la raíz cuadrada de un número es un número real, entonces este número tiene que pertenecer a los reales positivos o es el cero, ya que si fuera un número negativo, entonces, su raíz cuadrada pertenecería a los números complejos con parte imaginaria diferente de cero. ¿Qué pasaría si las dos proposiciones simples unidas con el conector lógico si y solo si son falsas? La respuesta es que la proposición compuesta es verdadera, esto es por que al ser la primera proposición simple falsa no obliga a que la segunda proposición simple sea verdadera, pero como la segunda proposición simple es falsa no obliga a que la primera proposición simple sea verdadera. Como ejemplo de lo anterior podemos decir que: 9 es primo si y solo si 20 es impar, es una proposición compuesta verdadera. Y a que sus dos proposiciones simples son falsas. En la siguiente tabla ilustramos las conclusiones obtenidas con el condicional Primero, como de costumbre obtenemos todos los casos posibles; P Q P Q V V V F F V F F De lo anterior se deduce que la proposición compuesta con el conector si ysolo si es verdadera si las dos proposiciones simples son

P: los días trabajados y la cantidad de obreros en una obra son magnitudes directamente proporcionales. Q: el área del círculo es directamente proporcional al radio 1. Determine el valor de verdad de las dos anteriores proposiciones simples. P: es falsa, por ejemplo si los días se reducen a la mitad, se tiene que contratar el doble de obreros, observemos que mientras una disminuye la mitad la otra se dúplica. Q: es falsa, si el radio aumenta el doble el área se cuadrúplica, por ejemplo, supongamos que el radio mide 1 mts,

A   (1) 2 A Ahora, dupliquemos el radio, por ende, mide 2 mts el área del círculo sería de:

A   (2) 2 A  4 Nótese que el área no se dúplico, sino que se cuadrúplico. 2. Con ayuda de las tablas deducidas en cada uno de los conectores lógicos y del punto anterior determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones simples: A. B. C. D.

PQ P Q PQ PQ 6

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez E.

QP

P V V F F

Solución. A. Lo que debemos hacer es mirar la tabla del bicondicional y tener en cuenta que P es F y que Q es F. P V V F F

P Q V F F V

Q V F V F

P Q P Q V V V V F F F V V F F V En la tabla se aprecia que la proposición compuesta es verdadera. C. Lo que debemos hacer es mirar la tabla de la “Y” y tener en cuenta que P es falsa y Q es falsa. Q V F V F

P

E. Lo que debemos hacer es mirar la tabla del condicional y tener en cuenta que P es falsa y Q es falsa, pero además, que el orden ha cambiado, es decir, Q va de primeras y P de segunda, lo cual es fácil, solo se cambia P por Q y viceversa en la tabla. Q V V F F

P V F V F

Q P V F V V

En la tabla se aprecia que la proposición compuesta es verdadera.

TALLER

DE

COMPUESTAS I.

Q

PROPOSICIONES

Considere las siguientes proposiciones: P: las diagonales de un rectángulo son congruentes.

V F F F

En la tabla se aprecia que proposición compuesta es falsa.

P Q V V V F

Luego, la proposición compuesta es falsa.

En la tabla aparece que la proposición compuesta es verdadera B. Lo que debemos hacer es mirar la tabla del condicional y tener en cuenta que P es F y que Q es F.

P V V F F

Q V F V F

Q: los lados de un cuadrado no son congruentes. la

D. Lo que debemos hacer es mirar la tabla de la “O” y tener en cuenta que las dos proposiciones simples son falsas.

1. Determine el valor de verdad de las dos anteriores proposiciones simples. 2. Con ayuda de las tablas deducidas en cada uno de los conectores lógicos y del punto anterior determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: A. B.

P Q PQ 7

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez SOLUCIÓN DEL TALLER ANTERIOR. C. P  Q D. II.

QP

1. P es verdadera, Q es falsa. 2. A. es falsa B. es falsa C. es verdadera D. es verdadera. 3. P es verdadera, Q es falsa 4. A. falsa. B. falsa. C. falsa. D. verdadera. E. es verdadera. 5. P es falsa. Q es verdadera. 6. A. es falsa. B. es verdadera C. es falsa. D. es verdadera. E. es falsa.

Considere las siguientes proposiciones: P: 8 y 15 no son primos relativos. Q: el mínimo común múltiplo de 8 y 15 es 100.

3. Determine el valor de verdad de las dos anteriores proposiciones simples. 4. Con ayuda de las tablas deducidas en cada uno de los conectores lógicos y del punto anterior determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: A. B. C. D. E. III.

PQ P Q PQ PQ QP

ACTIVIDAD CON LOS CONECTORES LÓGICOS.

Considere las siguientes proposiciones: P: la suma de números pares podría ser un número impar. Q: la multiplicación de números impares es un número impar.

5. Determine el valor de verdad de las dos anteriores proposiciones simples. 6. Con ayuda de las tablas deducidas en cada uno de los conectores lógicos y del punto anterior determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: A. B. C. D. E.

PQ P Q PQ PQ QP

Dibuje en una hoja un circulo, un rectángulo, un cuadrado, y un triangulo de color rojo. Además, Dibuje en una hoja un circulo, un rectángulo, un cuadrado, y un triangulo de color verde. Y realice las siguientes actividades 1. Forme el conjunto conformado por los elementos que sean triángulos y que sean rojos. 

¿Cuántos elementos tiene este conjunto? Y ¿qué elementos son?

A continuación se menciona cuatro figuras, en la casilla triangulo y En la casilla rojos se escribe el valor de verdad de la proposición de la figura, y en la casilla correspondiente triángulos y rojosse coloca V si la figura pertenece al conjunto que se acabo de armar y F si no pertenece al mismo. Ejemplo, si en figura aparece triángulo verde, en la casilla triangulo se debe colocar V, ya que si es triángulo, pero en la casilla rojo se debe colocar F, ya que la figura no es roja. Y en la casilla triangulo y rojo se debe colocar F, ya 8

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez que la figura no esta dentro del conjunto como Figura circulo se muestra en la tabla Figura triangul Roj Triangul Circulo o o o y rojo verde, Triángul Rectángulo o rojo, verde Rectáng Rectángulo ulo rojo



Circulo o verde

Rojo

Rectáng ulo verde Triángul V o verde

verde

Círculo rojo F

F

Basta que una de las proposiciones sea falsa, para que la figura quede excluida del conjunto.

2. Forme el conjunto conformado por los elementos que sean círculos o verdes A continuación se mencionan cuatro figuras en la casilla círculo y en la casilla verde se escribe el valor de verdad de la proposición de la figura, y en la casilla correspondiente círculo o verde se coloca V si la figura pertenece al conjunto y F si no pertenece al conjunto. Ejemplo, si en figura aparece triángulo verde, en la casilla circulo se debe colocar F, ya que no es Círculo, en la casilla verde se debe colocar V, ya que la figura es verde. Y en la casilla circulo o verde se debe colocar V, ya que la figura si esta dentro del conjunto.

Triangulo verde

F

V

V

 Basta que una de las proposiciones sea falsa, para que la figura quede excluida del conjunto.  que similitudes o diferencias se encuentra entre los conectores lógicos y, o  si la figura no es círculo y pertenece al conjunto, entonces debe ser______________  si la figura no es verde y pertenece al conjunto, entonces debe ser________________ 3. Forme el conjunto si es rectángulo entonces es verde. Sugerencia para armar este conjunto: introduzca el mayor número de figuras posibles, TODAS LAS QUE MAS PUEDA, pero que no se viole la siguiente regla: rectángulo que entre es verde, eso implica que pueden entrar triángulos y círculos sin ningún problema. Llena la siguiente tabla, con las mismas indicaciones que se siguieron en las anteriores tablas.

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Figura rectángu verd Si es  Basta que una de las proposiciones sea lo e rectángulo falsa, para que la figura quede excluida del entonces conjunto. es verde

SITUACIONES POSIBLES CON

Rectángulo , rojo

PROPOSICIONES COMPUESTAS

Rectángulo verde

En esencia consiste en que se nos da una proposición compuesta y nosotros con la ayuda de las tablas de verdad (tabla de los conectores lógicos) debemos determinar cuales son verdaderas o cuales son falsas. Ejemplo.

Triangulo verde Círculo rojo



 Basta que una de las proposiciones sea falsa, para que la figura quede excluida del conjunto.

4. Forme el conjunto es Rectángulo si y solo si es verde. Sugerencia para armar este conjunto: introduzca el mayor numero de figuras posibles, TODAS LAS QUE MAS PUEDA, pero que no se violen las dos siguientes reglas: rectángulo que entre es verde, y todo el que sea verde es rectángulo. Llena la siguiente tabla. Figura

Rectángul o, verde Triángulo rojo Rectángul o rojo Círculo verde

rectángulo

verde

Rectángul o si y solo si es verde

Un reportero del clima afirma que: “Si llueve hoy entonces estamos en invierno” puede suceder que: 1. llueve y estamos en invierno. 2. no llueve y estamos en verano. 3. no llueve y estamos en invierno 4. llueve y estamos en verano.

En cuales de las anteriores situaciones se incumple la afirmación del reportero. A. 2 y 3 B. 1,2 y 3 C. Solo 2 D. Solo 4. Solución. La afirmación es un condicional, donde la proposición P es llover hoy, y Q es que estamos en invierno. El condicional es falso si la primera proposición es verdadera y la segunda proposición es falsa, es decir, la proposición: “Si llueve hoy entonces estamos en invierno” es falsa si llueve y estamos en verano. Y por tanto la respuesta es la D  1. 2. 3. 4.

Un trabajador afirma que “trabaja si y solo si me pagan” puede suceder que: Trabaje y no le paguen. Trabaje y le paguen. No trabaje y le paguen. No trabaja y no le pagan.

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez En cuales de las anteriores situaciones se 3. Traer leche montefrío y leche colanta cumple la afirmación del trabajador. Y por tanto la respuesta es la D A. 1 y 2 B. Solo 2 CONTRARRECIPROCO. C. 2 y 4 D. 2 y 3 Es muy importante aplicar el contrarreciproco en algunos condicionales, ya que de la forma Solución en como se encuentran en el examen de admisión no son tan claros, por ejemplo: La afirmación es un bicondicional, donde la proposición P es Trabajar y Q es que le paguen, “ si no paso por la boya 6, entonces no paso por recordemos que el bicondicional es verdadero la boya 3” si las dos proposiciones simples son verdaderas o son falsas, es decir; la proposición compuesta El anterior condicional podría para muchos no “trabaja si y solo si me pagan” es verdadera si ser tan claro, en estos casos aplicamos el las siguientes situaciones suceden: contrarreciproco. Trabaje y le paguen. No trabaja y no le pagan. Y es falso en los otros casos: Trabaje y no le paguen No trabaje y le paguen. Por tanto la respuesta es la C. 

Un padre de familia le dice a su hijo: “vaya a la tienda y traiga una bolsa de leche colanta o leche montefrío” el niño podría 1. Solo traer leche montefrío. 2. Solo traer leche colanta. 3. Traer leche montefrío y leche colanta. 4. No traer leche montefrío, ni colanta.

En cuales de las anteriores situaciones el mandado esta bien hecho. A. Solo 1 y 2 B. Solo 2 y 3 C. Solo 4 D. Solo 1,2 y 3. Solución. Como son dos proposiciones simples unidas con el conector lógico O, sabemos que sólo es falso si las dos proposiciones simples son falsas, en caso contrario es verdadero, por ende el mandado está bien hecho en: 1. Solo traer leche montefrío. 2. Solo traer leche colanta.

el contrarrecíproco es una ley lógica, que consiste en el condicional de la negación de un consecuente (segunda proposición simple) con la negación de su antecedente (primera proposición) es decir,

P  Q  Q  P Donde  es la negación de la proposición. La anterior expresión afirma que un condicional es equivalente a cambiar el orden de las proposiciones simples pero siendo negadas. En nuestro ejemplo podemos afirmar que Q es pasar por la boya 6 y P es pasar por la boya 5, luego “ si no paso por la boya 6, entonces, no paso por la boya 3” es Q  P , por el contrarreciproco esto es equivalente a tener “si paso por la boya 3, entonces paso por la boya 6” Ejemplo: Carlos dice: “si no me pagan entonces no trabajo más” puede suceder que: 1. 2. 3. 4.

Le pagan y trabaja No le pagan y no trabaja Le pagan y no trabaja. No le pagan y trabaja. 11

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez II) Juan se gana la lotería pero no le compra En cuales de las anteriores situaciones Carlos el carro a su esposa. cumple con su promesa. III) Juan no se gana la lotería pero le compra el carro a su esposa. A. Solo en 1 IV) Juan no se gana la lotería y no le B. Solo En la 4 compra el carro a su esposa. C. 1, 2 y 4 D. 1,2 y 3 Juan incumple su promesa en: Solución. Paa entender mejor el condicional le aplicamos el contrarreciproco, luego quedaría así: “si trabajo entonces me pagaron” y como este condicional es falso solo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa, entonces, solo imcumple su promesa cuando trabaja y no le pagan, por tanto las otras situaciones cumple su promesa y por tanto la respuesta es la D

Taller de situaciones posibles 1. Ana afirmó de su amiga María que: “Si cuando lloviera cayeran maridos entonces maría saldría corriendo a mojarse” podría suceder que: I. II. III. IV.

María se moja y caen maridos. María no se moja y no caen maridos. María no se moja y caen maridos. María se moja y no caen maridos

En cuales de las anteriores situaciones se incumple la afirmación de Ana. A. Solo I. B. Solo III. C. Solo II. D. Solo IV. 2. Juan le dice a su esposa: “si me gano la lotería, entonces te compro un carro”. Puede suceder que: I) Juan se gana la lotería y le compra el carro a su esposa.

A. Los casos (II) y (IV). B. Los casos (II), (III) y (IV). C. Los casos (III) y (IV). D. El caso (II) únicamente. 3. Juan le dice a su esposa: “si te compro un carro, entonces me gané la lotería”. Puede suceder que: I) Juan se gana la lotería y le compra el carro a su esposa. II) Juan se gana la lotería pero no le compra el carro a su esposa. III) Juan no se gana la lotería pero le compra el carro a su esposa. IV) Juan no se gana la lotería y no le compra el carro a su esposa. Juan incumple su promesa en: A. En el caso (III). B. Los casos (II), (III) y (IV). C. Los casos (III) y (IV). D. El caso (II) únicamente. 4. Se tiene dos bombillos uno rojo y uno azul, para el encendido de los bombillos se tiene una regla que es: “si el bombillo rojo se enciende entonces el azul se enciende” de las siguientes situaciones cual no es posible: A. Solo esta encendido el bombillo azul. B. Los dos bombillos están encendidos. C. Solo uno de los bombillos esta encendido. D. Solo el bombillo rojo esta encendido. 5. Juan le dice a su esposa: “me gano la lotería, y te compro un carro”. Puede suceder que: 12

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez I) Juan se gana la lotería y le compra el 8. Carlos dice: “si no paso por la calle colombia entonces no paso por la carrera el carro a su esposa. palo” puede suceder que: II) Juan se gana la lotería pero no le compra 1. Pase por Colombia y El palo el carro a su esposa. 2. No Pasa por Colombia y no pasa por el III) Juan no se gana la lotería pero le palo compra el carro a su esposa. 3. Pasa por colombia y no pasa por el IV) Juan no se gana la lotería y no le Palo. 4. No pasa por colombia y pasa por el compra el carro a su esposa. palo. Juan cumple su promesa en: En cuales de las anteriores situaciones Carlos incumple con su promesa. A. Los casos (II) y (IV). B. Los casos (II), (III) y (IV). A. Solo en 1 C. Los casos (III) y (IV). B. Solo En la 4 C. 1, 2 y 4 D. El caso (I) únicamente. D. 1,2 y 3 6. Se tiene dos bombillos uno rojo y uno azul, para el encendido de los bombillos se tiene una regla que es: “el bombillo rojo se enciende si y solo si el azul se enciende” de las siguientes situaciones cual es posible: A. Solo esta encendido el bombillo azul. B. Solo esta encendido el bombillo rojo. C. Solo uno de los bombillos esta encendido. D. Los dos bombillos están apagados. 7. Juan le dice a su esposa: “me gano la lotería, o te compro un carro”. Puede suceder que: I) Juan se gana la lotería y le compra el carro a su esposa. II) Juan se gana la lotería pero no le compra el carro a su esposa. III) Juan no se gana la lotería pero le compra el carro a su esposa. IV) Juan no se gana la lotería y no le compra el carro a su esposa. Juan incumple su promesa en: A. B. C. D.

Los casos (II) y (IV). Los casos (II), (III) y (IV). El caso (IV) únicamente El caso (II) únicamente.

9. Carlos dice: “si no paso por la carrera el palo entonces no paso por la calle colombia” puede suceder que: 1. Pase por Colombia y El palo 2. No Pasa por Colombia y no pasa por el palo 3. Pasa por colombia y no pasa por el Palo. 4. No pasa por colombia y pasa por el palo. En cuales de las anteriores situaciones Carlos incumple con su promesa. A. Solo en 1 B. Solo En la 4 C. 1, 2 y 4 D. Solo en el 3

SOLUCIÓN AL ANTERIOR TALLER. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

B D A D D D C B D

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez propiedad. En algunos casos es necesario CUANTIFICADORES buscar una equivalencia para el cuantificador ningún, este se hace de la siguiente manera; se En lógica, los cuantificadores son símbolos o cambia ningún por todos o todas dependiendo expresiones que se utilizan para indicar cuántos de la gramatica y se niega la propiedad. o qué tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos Ejemplos: tipos de cuantificadores, entre los más  El equivalente de “Ningún número utilizados están: irracional es igual al cociente de dos números enteros” es: todos lo números Cuantificador universal irraccionales no son igual al cociente de Indican que se tiene certeza que todos los dos enteros” elementos de un conjunto cumplen con una  El equivalente de “Ninguno de los números propiedad, para representar el cuantificador impares es un número par” es todos los univesal se utilizan palabras como: números impares no son pares. Para todo. Todos. Todas. Ningún. Ejemplo: 

Todos los números pares son números reales.

Aquí manifiesta que se tiene certeza que todos los números pares son números reales. Mas no esta diciendo que todos los reales son números pares. Ilustrandolo con un digrama de venn quedaria así:

Cuantificador existencial Un cuantificador existencial indica que no se tiene certeza de que todos los elementos de un conjunto cumplen una propiedad, lo único que indica es que se tiene certeza de que al menos un elemento del conjunto cumple la propiedad, podrían ser todos los elementos que cumplan la propiedad pero no se tiene la certeza, las palabras que indican un cuantificador universal son: Existe al menos un … Algún… Algunos… Al menos un… Ejemplo De “Al menos un pez es delicioso” no se puede inferir que:  

Existen peces que no sean deliciosos. Que todos los peces sean deliciosos.

Lo único que se puede inferir es que como mínimo hay un pez delicioso. 

Ningún número irracional es igual al cociente de dos números enteros

Aquí manifiesta que todos los elementos del conjunto de los numeros irracionales no cumplen la propiedad de ser igual al cociente de dos enteros. Equivalencia de Ningún. Sucede que el cuantificador universal ningún fuera de ser un cuantificador universal niega la

NEGACIONES

DOBLE NEGACIÓN.

Negar dos veces una proosición es equivalente a afirmar la proposición. 

No es cierto que el 4 no es par, es equivalente a decir que: el 4 es par.

14

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez NEGACIÓN DEL CUANTIFICADOR 2 no es  No es cierto que, UNIVERSAL irraccional, es equivalente a decir que:

2 es irracional.

Se cambia el cuantificador universal por uno existencial y se niega la propiedad, pero, tenga en cuenta que el cuantificador ninguno es universal y que esta negando la propiedad y como doble negación es afirmación entonces la negación de ninguno es simplemente cambiar el cuantificador ningún por un cuantificador existencial y no negamos la propiedad.

NEGACIÓN DEL CONECTOR LÓGICO Y La negación del connector lógico Y es:

P  Q  P  Q Ejemplos: 

No es cierto que, 2 es irracional y es también un irracional. Es:

2 no es irracional o 

9

9 no es

irracional. La negación de: las diagonales de los cuadrilateros son congruentes y los números pares son números reales. Es: las diagonales de un cuadrilatero no son congruentes o los números pares no son números reales.

NEGACIÓN DEL CONECTOR LÓGICO O La negación del connector lógico Y es:

P  Q  P  Q

Ejemplos: 

no es cierto que, la raiz de una función es un c tal que

f c   0 o el dominio de

cualquier función son los números reales, es:la raiz de una función es un c tal que

f c   0 y

el dominio de cualquier

función no siempre son los números reales. 

El falso que, tres es un número no primo o no es par, es: tres es un número primo y es par.

Ejemplos:  No es cierto que, todos los números primos son pares, es: algún número primo no es un número par.  No es cierto que, todos los triángulos son equilateros, es: al menos un triángulo no es equilatero.  No es cierto que, ningún numero real es un número primo, es: al menos un número real es un número primo.  Es falso que, ningún cuadrado tiene los lados iguales, es: algún cuadrado tiene los lados iguales. LA NEGACIÓN DEL CUANTIFICADOR EXISTENCIAL La negación del cuantificador existencial se hace de la siguiente forma; se cambia el cuantificador existencial por uno universal y se niega la propiedad. Ejemplo:  Es falso que, existe al menos un número impar que es par, es. Todos los números impares no son pares.  La negación de: al menos un cuadrado es un triángulo, es: todos los cuadrados no son triángulos.

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez C. Al menos un animal de monte piensa. TALLER DE CUANTIFICADORES Y D. Muchos animales de monte no piensan NEGACIONES 1. Del enunciado “No todos los estudiantes del grado 11 asistieron a la conferencia”, se concluye lógicamente que: A. Muy pocos estudiantes del grado 11 asistieron a la conferencia. B. Todos los estudiantes del grado 11 no asistieron a la conferencia. C. Al menos un estudiante del grado 11 no asistió a la conferencia. D. Muchos estudiantes del grado 11 no asistieron a la conferencia. 2. La negación de Todos aprobamos el curso y disfrutamos las vacaciones. A. Algunos aprobamos el curso y disfrutamos de las vacaciones. B. Algunos no aprobamos el curso y no disfrutamos las vacaciones. C. Muchos no aprobamos el curso o no disfrutamos las vacaciones. D. Al menos uno no aprobó el curso o no disfrutó de las vacaciones. 3. La negación de Ningún cetáceo no es un pez. Es: A. Al menos un cetáceo no es un pez. B. Al menos un cetáceo es un pez. C. Todo cetáceo es un pez D. Muchos cetáceos son peces 4. La negación de, Toda hormiga es un insecto es: A. Ninguna hormiga no es un insecto. B. Al menos una hormiga no es un insecto. C. Al menos una hormiga es un insecto. D. Muchas hormigas no son insectos. 5. Es falso que, todo animal de monte no piensa es: A. Todo animal de monte piensa. B. Al menos un animal de monte no piensa.

6. De “el salmon es un pez muy nutritivo” se puede concluir que: A. Al menos un pez es muy nutritivo. B. Al menos un pez no es nutritivo. C. Todos los peces son muy nutritivos. D. Al menos un pez no es delicioso.

7. La negación de, Hay cisnes azules es: A. Todos los cisnes no son azules. B. Todos los cisnes son azules. C. Al menos un cisne es azul. D. Muchos cisnes no son azules. 8. No Existen animales carnívoros. Es equivalente a: A. Todos los animales son carnívoro. B. Todos los animales son vegetarianos. C. Algunos animales no son carnívoros. D. Muchos animales son vegetarianos. 9. No es cierto que, llueve y hace calor, es equivalente a: A. Llueve o hace calor. B. No llueve y no hace calor. C. No llueve o hace calor. D. No llueve o no hace calor 10. Es falso que, no hay numeros perfectos o los irracionales no son pares, es equivalente a: A. Hay numeros perfectos y los irraccionales son pares. B. Hay numeros perfectos o los irraccionales son pares. C. Hay numeros que no son perfectos y los irraccionales son pares. D. Hay numeros perfectos y los irraccionales no son pares.

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 11. No es cierto que, llueve o hace frio, es equivalente a: EJERCICIOS DE APLICACIONES A. Llueve o hace frío. B. No llueve y no hace frio. Conteste las preguntas de la 1 a la 4 de acuerdo C. No llueve o hace frio. al siguiente enunciado. D. No llueve o no hace frio. 12. Es falso que, hay números perfectos o los irracionales son pares, es equivalente a: A. Hay números perfectos y los irraccionales son pares. B. Hay números perfectos o los irraccionales son pares. C. Hay números que no son perfectos y los irraccionales no son pares. D. Hay números perfectos y los irraccionales no son pares. 13. Es falso que, no hago deporte o soy atleta, es equivalente a: A. No hago deporte y no soy atleta. B. Hago deporte y no soy atleta. C. Hago deporte y soy atelta. D. Hago deporte o no soy atleta. 14. Del enunciado “ el atún es un pez muy alimenticio”, se concluye logicamente que: A. Existen peces alimenticios. B. la sardina es muy alimenticia. C. Todos los peces son muy alimenticios. D. No todos los peces son alimenticios. RESPUESTAS

DEL

ANTERIOR 1C 2D 3A 4B 5C 6A 7A

8 B 9 D 10 A 11 B 12 C 13 B 14 A

TALLER

El diagrama muestra las rutas de acceso a las puertas de ingreso A, B, C, D de un estadio. Los números del 1 al 8 representan guías que señalan la dirección de la circulación para el público que accede al estadio en la zona aledaña a éste y C1, C2, C3 y C4 indican puestos de control fijados por las autoridades para requisar a todas las personas que ingresan al estadio. Una persona que ingresa por la guia 1 a la zona aledaña puede ingresar finalmente por cualquiera de las puertas de ingreso, siguiendo únicamente las rutas indicadas por las flechas. 1. De las afirmaciones siguientes la única que no es posible, para una persona que hizo su recorrido entre la guía 1 e ingresó al estadio es: A. B. C. D.

Encontró un puesto de control Encontró dos puestos de control Encontró tres puestos de control No encontró puestos de control

2. Aceptando como verdadera la afirmación: “Una persona que ingresó por la guía 1, encontró solamente dos puestos de control en su recorrido al estadio”. Entonces de las afirmaciones siguientes, de la única que se tiene certeza es: A. La persona no ingresó por la puerta A B. La persona no ingresó por la puerta B 17

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez C. La persona no ingresó por la puerta C C. Al revés de la tarjeta 2 hay triángulo. D. La persona no ingresó por la puerta D D. Detrás de la tarjeta 4 no hay un número primo. 3. De las proposiciones siguientes la única 6. De las tarjetas anteriores, la única posible verdadera es: es: A. El revés de la tarjeta 1 es un cuadrado. A. Si una persona no pasó por la guía 6, B. El revés de la tarjeta 2 es un círculo. entonces, no pasó por la guía 5 C. El revés de la tarjeta 4 hay un B. Si una persona pasó por la guía 6, triangulo. entonces, pasó por la guía 5 D. El revés de la tarjeta 4 hay un número C. Si una persona pasó por la guía 5, primo entonces, pasó por la guía 6 7. Se muestran cuatro tarjetas por el revés D. Si una persona no pasa por la guía 6, entonces, tiene que pasar por la guía 5 4. Si aceptamos como verdadera la proposición “Una persona que ingresó por la guía 1, se encuentra ahora dentro del estadio y cruzó por más de un puesto de control”. Entonces de las afirmaciones siguientes, de la única que se tiene certeza es: A. La persona pasó por la guía 8 B. La persona pasó por la guía 6 C. La persona pasó por la guía 5 D. La persona pasó por la guía 7 Conteste las preguntas 5 a la 8 de acuerdo al siguiente enunciado. Se tienen un conjunto de tarjetas tal que por un lado tiene un número y por el otro lado tiene una figura geométrica, las tarjetas se identifican por el frente o el reverso, además, cumplen que: “si por el frente hay un número primo, por el revés hay un triángulo” 5. Se muestra cuatro tarjetas por el frente:

De las tarjetas se tiene certeza que: A. El revés de la tarjeta 1 hay un número primo. B. El revés de la tarjeta 3 no hay un triángulo.

De las siguientes situaciones que se tiene certeza: A. Estas tarjetas son el revés de las tarjetas de las figuras del problema número 5. B. El frente de la tarjeta 1 es un número primo. C. El frente de la tarjeta 3 Tiene que ir un triángulo. D. En el frente de la tarjeta 4 no va un número primo. 8. De las anteriores tarjetas sabemos que en el frente hay un 5, de lo anterior se tiene certeza de que: A. Es el frente de la tarjeta 1. B. Es el frente de la tarjeta 2. C. Es el frente de la tarjeta 3. D. No es el frente de la tarjeta 4. Solucionario. 1. La D, si trazas posibles recorridos de un hincha te darás cuenta que siempre habrá de encontrar al menos un puesto de control, por tanto es imposible no encontrar un puesto de control. 2. No es posible ingresar por la puerta A, ya que si sale por la puerta A encuentra solo un puesto de control. La duda se 18

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez puede presentar con la puerta D ya que número primo (el 2 es primo) por el hay una forma en la cual encuentra un revés tiene que haber un triángulo. puesto de control ingresando por D, La opción C, es la correcta, pero si el hincha pasa por los guías 1, obviamente si por el frente hay un 2, 5, 6, y 8 encuentra dos puestos de número primo por el revés tiene que control e ingresa por la puerta D. haber un triángulo. 3. Para analizar la opción A, es mejor La opción D, no es correcta ya que por aplicar el contrarreciproco, el cual el frente puede haber una figura quedaría así: “Si paso por la guía 5 geométrica y por el revés puede haber entonces paso por la guía 6”. Pero si cualquier número. observamos el diagrama concluimos que el hecho de que pase por la guía 5 6. La opción A y C no son posibles ya no obliga pasar por la guía 6, por ende que en las tarjetas por un lado hay un la opción A es falsa. número y por el otro lado hay una La opción B es verdadera, ya que si figura geométrica. una persona paso por la guía 6 tuvo La opción B no es posible, ya que por que pasar por la guía 5. Luego la obligación en el revés debe haber un respuesta correcta es la B. triángulo. La opción C es equivalente a la A. Por tanto la respuesta es la D. La opción D es falsa, ya que si una 7. La opción A no es posible ya que en persona no pasa por la guía 6 no esta las tarjetas por un lado hay un número obligado a pasar por la guía 5 puede y por el otro lado hay una figura pasar por 7 y 8. geométrica. 4. En todas las rutas en las cuales una La opción B es posible, pero no se persona encuentra más de una guía tiene certeza, el hecho de que en el pasa por la guía nº 5, por ende, la réves haya un triángulo no obliga que respuesta es la C. en el frente haya un número primo. 5. Como tenemos un condicional que La opción C no es posible, ya que si afirma que: “si por el frente hay un por el frente existe una figura número primo, por el reverso hay un geométrica cualquiera entonces por el triángulo” las situaciones posibles son: revés existe un número cualquiera. La D, es la verdadera, ya que si por el Frente Revés Número primo Triangulo frente va un número primo por el revés Figura Número no puede ir un rectángulo. geométrica cualquiera Número no Figura 8. No es la opción A pesar de que el 5 es primo geométrica primo no tenemos certeza de que vaya en la primera posición, ya que es Tenemos que la opción A es posible, posible que en el frente de la tarjeta 1 ya que es la 2ª situación posible pero haya un número cualquiera. no tenemos la certeza de que así sea. No pueden ser el frente de la segunda y La opción B no es correcta ya que la tercera tarjeta, ya que si por un lado entre las situaciones posibles esta el va un número por el otro lado va una hecho de que si al frente hay un

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez figura. Luego no son las opciones B y C. la respuesta es la D. APLICACIONES DE CUANTIFICADORES

Son ejercicios que se resuelven cuantificadores y diagramas de venn.

con

Ejemplos: 

De los siguientes enunciados

“Todos los inventores son creativos. Algunos inventores son ingenieros” La proposición que puede deducirse lógicamente es: A. B. C. D.

Los ingenieros son inventores Hay ingenieros que son creativos. Los ingenieros son inventores. Hay ingenieros que son creativos.

Solución. Del primer enunciado nos garantizan que si alguien es inventor entonces tiene que ser creativo, el cual quedaría en un diagrama de venn así:

En el segundo enunciado afirman que no tienen certeza de que todos los inventores sean ingenieros, pero al menos uno si lo es, por ende tres posibles diagramas de venn serían,

En los tres diagramas se puede apreciar que, existen ingenieros que son creativos, por tanto la respuesta es la B. 

Del siguiente enunciado Si alguien es ingeniero entonces es creativo o listo. Se puede deducir que la única afirmación que se tiene certeza es: A. Juan es ingeniero, no es creativo y tampoco es listo. B. Juan no es creativo y es ingeniero. C. Juan no es listo y es ingeniero. D. Juan no es creativo, ni listo y mucho menos ingeniero.

Solución. Un diagrama que represente la situación es:

La única que se tiene certeza es la D, ya que si no es creativo y no es listo, entonces tampoco es ingeniero, se debe decir que las opciones B y C son posibles pero no se tiene certeza. TALLER DE APLICACIONES DE CUANTIFICADORES

1. Aceptando como verdaderas siguientes proposiciones:

las

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Respuestas.  La ciudad A ha sufrido un sismo de 7 grados en la escala de Richter. 1. C  No todos los edificios de la ciudad A 2. A son sismo resistentes.  Sólo los edificios sismo resistentes 3. B soportan sin daño alguno un sismo de 7 grados en la escala de Richter. De las afirmaciones siguientes, la única que se puede concluir lógicamente de las proposiones anteriores es: A. Todos los edificios de la ciudad A no son sismo resistentes. B. Ningún edificio de la ciudad A sufrió daño alguno en el sismo de 7 grados en la escala de Richter. C. Al menos un edificio de la ciudad A sufrió daños en el sismo de 7 grados en la escala de Richter. D. Muchos edificios de la ciudad A sufrieron daños en el sismo de 7 grados en la escala de Richter. 2. Aceptando como verdaderas las siguientes afirmaciones:  

No todos los creativos no son inventores. Todo un inventor es físico. Se puede concluir que:

A. Existen creativos que son físicos. B. Existen creativos que no son inventores. C. Existen creativos que son físicos D. Existen creativos que no son físicos. 3. Aceptando como verdaderas las siguientes afirmaciones:  No todos los físicos son matemáticos.  Todos los matemáticos son químicos. Se puede concluir que: A. Existen físicos que son químicos. B. Existen físicos que no son matemáticos. C. Existen matemáticos que no son químicos. D. Existen matemáticos que son físicos

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON TABLAS DE DOBLE ENTRADA Son problemas en los cuales nos van dando pistas y con una tabla de doble entrada vamos descartando posibilidades y por último concluimos la respuesta correcta. Preguntas de la 1 a la 3 Alejandro, Sebastián, David y Julián coincidieron en un curso de historia del arte en el primer semestre de la universidad. Dos de ellos son amigos y compañeros desde el colegio, y los otros dos, uno de ellos es un violinista y el otro un gimnasta. Entre ellos los únicos que se conocían antes de la universidad son los compañeros del colegio. A los 4 jóvenes les fue asignado un trabajo sobre historia de la música. Al presentarse y hablar de sus actividades, David afirmo que tenia buena bibliografía sobre el tema, a lo que el violinista replico que el también podía agregar la propia. El gimnasta y uno de los dos amigos, luego de escucharlos, ofrecieron sus casas para reunirse y adelantar el trabajo el día siguiente los cuatro. 1. Según lo anterior de las afirmaciones siguientes, la única de la cual no se tiene certeza es: A. David no es violinista B. David no es gimnasta C. David conocía a uno de los 3 D. Uno de los amigos no dispone de bibliografía sobre el tema. Solución. Construimos la siguiente tabla. 21

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez amigo

Amigo

violinista

gimnasta

Alejandro Sebastián David Julián De“David afirmo que tenia buena bibliografía sobre el tema, a lo que el violinista replico que el también podía agregar la propia” Se puede concluir que David no es el violinista y la tabla quedaría así: amigo

Amigo

violinista

gimnasta

Alejandro Sebastián David no Julián De “El gimnasta y uno de los dos amigos, luego de escucharlos, ofrecieron sus casas para reunirse y adelantar el trabajo el día siguiente los cuatro” se infiere que David no es el gimnasta y por ende es uno de los amigos, la tabla quedaría así: amigo

amigo

violinista

gimnasta

Alejandro Sebastián David Si No No No Julián Ahora, nadie más es el primer amigo y por ende la tabla quedaría así: amigo

amigo

violinista

gimnasta

Alejandro No Sebastián No David Si No No No Julián No Como David es uno de los amigos, se deduce que de las opciones A, B, y C se tiene certeza, de lo que no tenemos certeza es si el otro amigo tiene bibliografía suficiente. 2. Adicionalmente se sabe que al escuchar la propuesta de los dos últimos Sebastián ofreció transportar a todos desde la universidad hasta la casa elegida, de las dos ofrecidas. Luego de las afirmaciones siguientes, la única verdadera es: A. Sebastián y David son amigos B. Sebastián es gimnasta C. Sebastián es violinista D. Julián y Alejandro son amigos.

Solución. De “Adicionalmente se sabe que al escuchar la propuesta de los dos últimos Sebastián ofreció transportar a todos desde la universidad hasta la casa elegida, de las dos ofrecidas” como los dos últimos son el gimnasta y uno de los amigos, entonces, se infiere que Sebastián no es uno de los amigos y no es gimnasta. Alejandro Sebastián David Julián

amigo

amigo

No No Si No

No No

violinista

gimnasta

No

No No

Luego se infiere que sebastian es el violinista y nadie más es el violinista. amigo

Alejandro Sebastián David Julián

No No Si No

amigo

violinista

gimnasta

No No

No Si No No

No No

Luego la respuesta es la B. 3. Además, se sabe que, al escuchar la oferta de Sebastián, David intervino para aclarar que el no podía acompañarlos desde la U, pero acogiéndose a la propuesta, le manifestó a Julián que si el no tenia inconveniente prefería de las dos, la casa de su amigo; en esta forma el podía llegar un poco más tarde. Julián contesto que no tenía problema. Teniendo en cuenta toda la información suministrada, los dos amigos, el violinista y el gimnasta son: A. David, Alejandro, Sebastián, Julián B. David, Sebastián, Alejandro, Julián C. Alejandro, Sebastián, David, Julián D. David, Julián, Sebastián, Alejandro Solución De la conversación de David y Julián se infiere que Julián no es el otro amigo. amigo

Alejandro No Sebastián No David Si

Amigo

violinista

gimnasta

No No

No Si No

No No 22

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Julián No No No 2. El número de partidos que se jugaron en la eliminatoria fue: Por tanto Alejandro es el otro amigo y Julián es A. 3 el gimnasta. amigo Amigo violinista gimnasta B. 4 C. 5 Alejandro No Si No No D. 6 Sebastián No No Si No David Si No No No 3. Los números que ocupan las posiciones X, Julián No No No Si Y, Z de la tabla son respectivamente: Luego la respuesta es la A. A. 0, 2, 1 B. 1, 2, 1 TALLER DE TABLAS DE DOBLE C. 1, 1, 0 ENTRADA D. 0, 1, 0 1.

Marcos, Luisa, Néstor y Rosa fueron contratados como entrenadores para los deportes de: baloncesto, tenis de campo, tenis de mesa y voleibol, no necesariamente en ese orden. La hermana de Marcos será la entrenadora de tenis de campo. Néstor comparte con Marcos su disgusto por el baloncesto y con Rosa su falta de habilidad para los deportes de raqueta. Marcos, Luisa, Néstor y Rosa son respectivamente los entrenadores de:

A. Voleibol, Tenis de campo, Baloncesto, Tenis de mesa. B. Tenis de mesa, Tenis de campo, Voleibol, Baloncesto. C. Tenis de mesa, Voleibol, Baloncesto, Tenis de campo. D. Baloncesto, Tenis de mesa, Voleibol, Tenis de Campo. Conteste las preguntas de la 2 a la 5. La tabla siguiente muestra algunos resultados obtenidos en una eliminatoria de futbol donde participaron los equipos A, B, C, E y donde jugaran todos contra todos: PJ PG PP PE A 3 2 X B 3 Y 0 C 1 2 D Z 2 PJ: Partidos jugados, PG: Partidos ganados, PP: partidos Perdidos, PE: Partidos empatados. Se sabe que A le gano a E y B perdió con C.

4. En el partido entre A y B A. Gano A B. Gano B C. A empato con B D. No puede determinarse con los datos conocidos. 5. El número de partidos que perdió B es: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Preguntas 6 y 7. Un prisionero tiene la posibilidad de obtener su libertad si escoge una puerta adecuada entre 3 dadas. En cada una de las puertas hay una inscripción, pero solo una de ellas es verdadera, estas son:  Puerta 1: Esta puerta conduce a la libertad.  Puerta 2: Esta puerta no conduce a la libertad.  Puerta 3: La puerta 1 no conduce a la libertad. 6. Las puertas que cargan las inscripciones que mienten son: A. La puerta 1 y la puerta 3 B. La puerta 2 y la puerta 3 C. La puerta 1 y la puerta 2 D. Solo la puerta 3 7. La puerta que el prisionero debe escoger para tener la certeza de alcanzar su libertad es: A. La puerta 1. B. La puerta 2. C. La puerta 3. 23

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez D. Cualquier puerta. las afirmaciones siguientes, sobre un par de fases que se realiza en los mismos meses Preguntas de la 8 a la 12 en que se realizan C y F respectivamente, Una obra de ingeniería requiere realizarse en 6 la única que no es posible es: fases A, B, C, D, E y F durante un periodo de 3 A. B y E meses, de agosto a octubre. Cada fase B. A y E comenzará el primer día de cada mes y será C. B y A completada durante el mes. Las fases D. A y B requeridas para realizar la obra están sujetas a Preguntas 13 y 14. las siguientes restricciones: Dos mujeres, Andrea y Catalina, y dos  B debe realizarse en Agosto o en hombres, Juan y Diego, son deportistas. Cada Septiembre uno practica uno de los siguientes deportes:  C debe realizarse en Septiembre o en natación, gimnasia, patinaje y tenis. Un día Octubre estas personas se sentaron en torno a una mesa  C no puede realizarse en el mismo mes en redonda: el que se realiza D La persona que practica natación se sentó a la  D debe realizarse en uno de los meses izquierda de Andrea. anteriores al mes en que se realiza F La persona que practica gimnasia se sentó 8. De los siguientes ordenes indicados para la frente a Juan. ejecución de la obra, el único posible es: Catalina y Diego se sentaron uno al lado del Agosto Septiembre Octubre otro A. A, B C, D E, F  A la izquierda del que patina se sentó una B. B, C D, E A, F mujer. C. B, D C, E A, F 13. La persona que practica tenis es: D. E, F B, C A, D A. Andrea B. Catalina 9. De las siguientes fases, la que no se puede C. Diego realizar en Agosto es: D. Juan A. A 14. La persona que practica gimnasia es B. B A. Andrea C. D B. Catalina D. F C. Diego 10. Si C se realiza en Septiembre, de las D. Juan afirmaciones siguientes, de la única que se tiene certeza es: A. A se realiza en Agosto B. B se realiza en Septiembre C. D se realiza en Agosto D. E se realiza en Septiembre 11. Si las fases B y F se realizan el mismo mes, entonces de las afirmaciones siguientes, de la única que no se tiene certeza es: A. C se realiza en el mes de Octubre B. C y E se realizan en el mismo mes C. D se realiza en Agosto D. B y F se realizan en Septiembre. 12. Si la fase C se lleva a cabo en uno de los meses anteriores a la fase F, entonces de

RESPUESTAS AL TALLER ANTERIOR

1. B 2. D 3. C 4. A 5. C 6. C 7. B

8. C 9. D 10. C 11. B 12. D 13. A 14. B

24

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez

Nociones Básicas De Aritmética

En esta sección encontrarás ejemplos y ejercicios de aritmética que han aparecido en el examen de admisión y uno que otro que son muy similares, es muy importante que repases las tablas de multiplicación y realices las operciones básicas de una forma correcta y rápida, para lo cual te recomiendo que no utilices calculadora, ya que cuando presentes el examen de admisión solo tienes dos minutos con veinte segundos para responder cada pregunta. DIVISORES Se dice que un número entero A es divisible entre un entero B o que el entero B es divisor de A (con B distinto de cero, obviamente) si existe un entero C tal que: A = BxC. de esto se infiere que sólo hablamos de divisores en los números enteros. 25

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez primo, en este caso el número primo 5 divide al Ejemplo Los divisores del 6 son: 600, 600 dividido por 5 da 120, esto quedaría 1, 2, 3 y 6. así: 600 5

Ya que: 6=1x6 6=2x3 6=3x2 6=6x1

120

NúMEROS PRIMOS Un número primo es un número natural mayor que 1 y que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Los números compuestos, son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto. Teniendo en cuenta nuestro ejemplo anterior, podemos decir, que el 6 no es un número primo, pues tiene más de dos divisores diferentes. Los números primos menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Para nuestros ejercicios los más utilizados son:

Ahora, un número primo que divida al 120, es el 5, 120 dividido por 5 es 24, esto quedaría así: 600 5 120 5 24

El 24 tiene mitad que sería 12. 600 5 120 5 24 2 12

El 12 tiene mitad que es 6 y el 6 tiene mitad que es 3 y 3 tiene 3. 600 5 120 5 24 2 12 2

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23

6 2

Recuerde que el único número primo par es el 2.

1

3 3

EXPRESAR UN ENTERO COMO EL

PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS. Todo número entero positivo se puede expresar como el producto de números primos, esto se hace de la siguiente manera, ubicamos el número así: 600

En el lado derecho dividimos por números primos y en el lado izquierdo colocamos el resultado de dividir el número por el número

Notemos que todos los números que están al lado derecho son primos. Luego 600  52 x23 x3

POTENCIACIÓN La potenciación es una operación binaria, los dos números se denominan base a y el otro es el exponente n. an Se lee usualmente como «a elevado a n». consiste en multiplicar la base por si misma n veces. 26

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Ejemplos. Ejemplos. 23 2  2 3 5  2  2 5 3  3x3  9 2 23  2 x2 x2  8 513  5135  58 55 PROPIEDADES DE LA  Potencia de una potencia. La potencia de POTENCIACIÓN una potencia es igual a la potencia de la misma base y el exponente es el producto de ambos exponentes.  Exponente 0. Un número distinto de 0 Ejemplos. elevado al exponente 0 da como resultado

7  8 

la unidad Ejemplo.

20  1 



50  1 exponente 1. Toda potencia de exponente 1 es igual a la base: Ejemplo. 21  2 Potencia de exponente negativo. Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente positivo:

2 5

 7 2 x 5  710

3 4

 83 x 4  812

APLICACIONESDEPOTENCIACIÓN. Hay dos típicos ejercicios que frecuentemente han salido en los exámenes de admisión de la universidad de Antioquia de potenciación. Ejemplo típico 1. Hallar el valor de x que satisfaga la siguiente igualdad.

93  93  93  27 x

Ejemplos.

Solución. 2 3



1

2

1  2 1  2 3

Multiplicación de potencias de igual base. El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente a la suma de los exponentes. 3 4

2

5 4

 39

2 x2  2 4

3 x3  3 5



4

3   3   3  2 3

Ejemplos. 3

Lo primero que debemos hacer es igualar las bases, es decir, debemos buscar dos potencias de igual bases (obviamente no con los mismos exponentes) que sean igual a 9 y a 27, las potencias son: 32  9 33  27 Reemplazamos estas potencias en el ejercicio.

7

División de potencias de igual base. El cociente de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente el resultado de la diferencia de los exponentes del divisor y el dividendo.

2 3

2 3

 (33 ) x

Aplicamos la propiedad de potencias de una potencia. 36  36  36  33 x Al sumar estas potencias se obtiene que:

3x36  33 x Ahora, esta última expresión es igual.

31 x36  33 x 27

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Aplicamos la propiedad de multiplicaciones de euros, el segundo día el triple del primer, el potencias de igual base. tercer día el triple del segundo día y así sucesivamente hasta el noveno día, la cantidad 37  33 x de dinero recibida por juan es: Como las dos potencias son iguales y tienen la misma base, entonces los exponentes tienen que ser iguales. Solución.

7  3x

Pasando el 3 a dividir se obtiene que: x

7 3

Otro ejemplo.

El planteamiento quedaría así: 3  3x3  3x3x3  3x3x3x3... Como quedaría muy largo resolverlo de la anterior forma utilizamos la potenciación. 3  32  33  34  35  36  37  38  39

Hallar el valor de x que satisfaga la siguiente igualdad

Siendo esta última la respuesta final.

RADICACIÓN

44  44  44  44  82 x Las potencias que reemplazan al 4 y al 8 son:

22  4 23  8 Reemplazando las potencias se obtiene que:

2   2   2   2  2 4

2 4

2 4

2 4

 

 23

La radicación consiste en buscar un número que multiplicado por si mismo una cantidad de veces resulte otro número determinado.

2x

Aplicando la potencia de una potencia se obtiene que:

28  28  28  28  26 x Sumando las potencias se obtiene que:

Ejemplo: La raíz cuadrada de 9, 3 2 =9

9 es 3, ya que 3x3=

4 x 28  26 x

La raíz cúbica de 8, 3 8 es 2, ya que 2x2x2=

Aquí se presenta una dificultad distinta a la del ejercicio anterior y es que el cuatro y el dos son bases diferentes, esto se soluciona reemplazando al cuatro por dos a la dos

2 3 =8

22  4

22 x28  26 x Aplicamos la propiedad de potencias de igual base.

210  26 x Como tienen la misma base y las potencias son iguales, entonces los exponentes son iguales. 10  6 x

Despejando la x y simplificando la fracción se obtiene que: x

5 3

Ejemplo típico 2. Juan se ha ganado la loteria el premio consiste en que por nueve días se le dará el primer día 3

Se ve fácilmente que radicar es una operación inversa de la potenciación, donde se da la potencia y el exponente y se quiere hallar la base.

SIMPLIFICACIÓN DE UNA RAÍZ Se descompone el radicando en factores primos y se forman parejas si el índice es par (raíz cuadrada), se forman tríos si el índice es tres (raíz cúbica)… se forman grupos de n si el índice es n. los factores que no se puedan agrupar permanecen dentro de la raíz, los otros salen sin exponente.

Ejemplo: Simplifique la siguiente raíz 3 625 28

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Solución. Luego 675  15 3 Primero, se descompone el 625 en factores primos: 625 5

Si tenemos dos o mas raíces en una suma o diferencia y como mínimo dos de ellas tienen el mismo índice, (es decir, dos raíces son cuadradas o dos son cúbicas),entonces:

125 5 25 5 5 5 1



Segundo, como la raíz es cúbica formamos tríos y nos queda un cinco sin agrupar 3

53.5

Como solo hay un número con el exponente 3, éste sale del radical sin el exponente 3 y el otro cinco queda adentro.

3

625  53 5

Simplifique la siguiente raíz de

Las raíces que tienen el mismo radical se suman o se restan sus coeficientes numéricos y las dos raíces se simplifican a una sola. Ejemplo. El resultado de:

Debemos descomponer cada uno de los números y formar parejas, esto es por que la raíz es cuadrada, esto conlleva a que: 675

Solución. Primero, descomponemos en factores primos al número 675.

5 2 * 2  32 * 2  2 2 * 2 2 * 2 2 * 3  2 2 * 32 * 3 Salen de la raíz los factores primos que tienen exponente dos. 5 2  3 2  2*2*2 3  2*3 3

5 2  3 2 8 3  6 3

Ahora, solo podemos sumar las dos primeras raíces, ya que tienen el mismo radical y las dos últimas raíces se pueden restar. Por tanto la respuesta es:

675 5 135 5 27 3

8

9 3 3 3 1

2 2

3

APLICACIONES DE LA

Segundo, como la raíz es cuadrada formamos parejas. 2

5 *3 *3

Los factores primos que tienen exponente 2 salen de la raíz sin exponente.

5*3 3 15 3



Solución

Ejemplo.

2

simplificamos primero cada una de las raíces.

50  18  192  108

53 5 Luego,

SUMA O DIFERENCIA DE RAÍCES

RADICACIÓN 

Hallar el valor de x que satisface la siguiente ecuación. 32 

72  5 x

Solución. Primero simplificamos cada una de las raíces, las cuales quedarían así

29

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 2 2.2 2.2  2 2.32.2  5 x 10 2 x Ahora extraemos los factores primos que 2 tienen el exponente 2 sin exponente.

2.2 2  2.3 2  5 x

x  10

Multiplicando los factores que quedaron en la parte externa se tiene que.

TALLER DE POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

4 2 6 2 5 x

Las dos raíces se pueden sumar por que tienen el mismo radical.

3

10 2  5 x

Pasamos el cinco a dividir 10 2  x 5 2 2 x

Para despejar la x elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad.

3645  3 625  143 x

A. 5 B. 13720 C. 125 D. No se puede concluir. 2. hallar el valor de x, de la siguiente expresión:

2 2    x 

7293  7293  7293  3x

4. 4  x

A. 3 B. 19 C. 20 D. No se puede concluir.

2

2

4.2  x 8 x

Luego la respuesta es x=8 

1. hallar el valor de x de la siguiente expresión:

Hallar el valor de x que satisface la siguiente ecuación.

32  72  x 2 Este ejercicio es similar al anterior pero no es el mismo. Primero simplificamos las raíces igual como lo hicimos con el anterior.

4 2 6 2  x 2 Sumando las raíces tenemos que:

10 2  x 2 Pasando el raíz de dos a dividir se obtiene que:

3. Carlos se ha ganado una rifa. El premio será darle durante 8 días cierta cantidad de dinero. Así cada día sele dará el triple del día anterior. Si el primer día recibe 9 pesos.la cantidad total que recibe es: A. 9x3x3x3x3x3x3x3 B. 3  32  33  34  35  36  37  38 C. 38 2 3 4 5 6 7 8 9 D. 3  3  3  3  3  3  3  3

4. Pedro debe pagar un deuda durante nueve dias de tal manera que cada día debe pagar el doble de lo que pagó el día anterior. Si el primer día Pedro pagó 4 Euros, entonces la cantidad total de dinero que Pedro pagó fue:

30

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez A. 4x2x2x2x2x2x2x2x2 253  253  253  253  253  52 x 2 3 4 5 6 7 8 9 B. 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + A. 7/2 210 B. 7/3 C. 29 C. 2/7 D. 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 +29 D. 3/7 10. hallar el valor de x de la siguiente 5. En cierta tribu primitiva organizaron su expresión: calendario así: el número de días por semana es igual al número de semanas por mes e igual al número de meses por año. Si el número de días es 216, el número de días por semana es: A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 6. hallar el valor de x de la siguiente expresión: 18 

A. B. C. D.

50  x 2

8 9 10 5

7. hallar el valor de x de la siguiente expresión:

3 5  20  45  8 x A. B. C. D.

9 5 11 12

Respuestas al anterior taller. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

A B D B B A C D A 10. B

33 32  3 500  23 x

A. B. C. D.

1331/4 1331/5 1331/2 1331/3

8. Hallar el valor de x que satisfaga la siguiente igualdad

162  162  162  162  642 x A. 2/6 B. 3/6 C. 4/6 D. 5/6 9. Hallar el valor de x que satisfaga la siguiente igualdad

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo M.C.M. de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de ellos. Ejemplo. El mínimo común múltiplo de 9 y 4, M.C.M (9,4) es 36, nótese que el 36 es múltiplo del 9 y del 4, es más, el 72 también es múltiplo de los dos números, pero el múltiplo en común más pequeño es el 36.

31

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Primero, todas las unidades de tiempo deben CÓMO SE CALCULA EL MÍNIMO estar en la misma unidad de medida, es decir, COMÚN MÚLTIPLO. todas se miden en segundos, o minutos, en nuestro caso, todas se deben medir en Se expresa cada número como el producto de segundos, por tanto: factores primos, el cual se logra por la descomposición de cada número en factores El primer faro se enciende cada 14 segundos, el primos, su mínimo común múltiplo será el segundo faro se enciende cada 22 segundos y el resultado de multiplicar los factores comunes y tercero cada 60 segundos. no comunes elevados a la mayor potencia, por Segundo, se calcula el mínimo común múltiplo ejemplo el m.c.m. (18,4) de los tres números 18 2

42 14 2 22 2 60 2 7 7 11 11 Y 30 2 1 15 5 1

9 3 22 3 3Y1 1

3 3 1

Luego cada uno de los números se pueden expresar así:

18  2 x3 4  2 2 2

14  2 x7 22  2 x11

60  3x2 2 x5

m.c.m.(14,22,60)  2 2 x11x3x5x7

Luego el m.c.m.(18,4)  2 * 3  4 * 9  36 2

2

APLICACIONES DE MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo fuera de ayudarnos en la suma y en la diferencia de los números fraccionarios, también sirven para resolver problemas de frecuencia, es decir, problemas en los cuales un evento se repite en iguales intervalos de tiempo o de espacio. Ejemplo. Un faro se enciende cada 14 segundos, otro cada 22 segundos y un tercero cada minuto. A las 7:00 de la mañana los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en las cinco horas siguientes. Solución.

Luego cada número se puede expresar así:

m.c.m.(14,22,60)  4620 Esto implica que cada 4620 segundos vuelven a coincidir, teniendo en cuenta que cada 60 segundos es un minuto, dividimos 4620 entre 60 y obtenemos 77, lo cual significa que cada 77 minutos coinciden los tres faros. Ahora, debemos averiguar ¿cuántas veces coinciden en cinco horas?, primero averiguamos cuantos minutos hay en cinco horas, esto se logra multiplicando cinco por sesenta, por tanto: 300 minutos. Lo que tenemos que averiguar es cuantas veces está el 77 en el 300, lo cual se hace con una simple división. Cabe 3 veces y sobran 69 segundos, luego la respuesta es 3 veces Ejemplo. 32

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Un bombillo rojo de un alumbrado navideño se tercero va a Manizales cada 8 días. Hoy 1 enciende cada 22 sg, un bombillo azul cada 15 de enero han coincidido en Manizales los sg y uno amarillo cada 30 sg, determine la tres viajantes.¿en qué día como mínimo cantidad de veces en que se enciende el volverán a coincidir los tres en Manizales? bombillo rojo hasta que los tres se vuelvan a No es año bisiesto. encender. A. Diciembre 25 Solución.

B. Diciembre 26

Primero se calcula el mínimo común múltiplo de 22, 15 y 30, el cual es 330, eso implica que cada 330 segundos los tres bombillos se vuelven a encender, ahora, se debe averiguar ¿cuántas veces se enciende el bombillo rojo en este lapso de tiempo?, lo cual se obtiene con una simple división, dividimos 330 en 22, el resultado es 15, que significa que se enciende 15 veces.

C. Diciembre 27

TALLER DE MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. 1. Un viajero va a Santa Marta cada 36 días y otro cada 48 días. Hoy han estado los dos en Santa Marta.¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Santa Marta?

D. Diciembre 28 4. Carlos tiene en su tienda las gomitas metidas en bolsas. En la caja A tiene gomitas 48 en cada bolsa y no sobra ninguna gomita. En la caja B tiene gomitas de 60 en cada bolsa y tampoco sobra ninguna gomita. El número de gomitas que hay en la caja A es igual al que hay en la caja B.¿Cuántas gomitas como mínimo hay en cada caja? A. 240 B. 241 C. 480 5.

A. 120 B. 96 C. 72 D. 144 2. ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da de resto 9? Pista: es el M.C.M más nueve. A. 720

A. B. C. D.

D. 481 María tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que da una señal cada 150 minutos y un tercero que da una señal cada 360 minutos. A las 10 de la mañana los tres relojes han coincidido en dar la señal. ¿A qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos? 2pm 3pm 4pm 5pm

Respuestas a anterior taller.

B. 729 C. 820 D. 829 3. Un viajero va a Manizales cada 18 días, otro va a Manizales cada 15 días y un

1. 2. 3. 4. 5.

D B B A C 33

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Ejemplo. MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D. Si tenemos dos o más enteros positivos y deseamos buscar un número entero, el más grande posible que sea divisor de todos, debemos expresar los números como el producto de factores primos, escogemos los factores primos comunes con su menor exponente y el producto de estos es el M.C.D. en el caso de que no tengan factores primos comunes, decimos que M.C.D. es uno

Solución

Ejemplo. 

Hallar el M.C.D de 38, 24 y 40 Lo primero que debemos hacer es expresar cada número como el producto de factores primos, de la misma manera a como lo hacíamos en el comienzo de este capitulo

38  2 x19 24  23 x3 40  23 x5 El máximo común divisor son los factores primos comunes con el menor exponente, en este caso el M.C.D de 38,24, y 40 es 2. 

En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 500 litros, 720 litros, y 1080 litros. Se quiere envasar su contenido en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se puedan envasar el vino contenido en cada uno de los toneles sin que sobre vino en cada tonel, y el número de garrafas que se necesitan.

Hallar el M.C.D de 18, 84 y 360 Lo primero que debemos hacer es expresar cada número como el producto de factores primos.

18  2 x32 84  2 2 x3x7 360  23 x32 x5 Los factores primos con el menor exponente son el 2 y el 3. Luego el M.C.D.(18,84,360)=2X3=6 APLICACIONES DEL MAXIMO COMÚN

Es evidente que estamos buscando el M.C.D de 500, 720 y 1080, expresamos cada uno de estos números como el producto de factores primos.

500  2 2 x53 720  2 4 x5x32 1080  23 x5x33 El M.C.D. son los factores primos con el menor exponente en este caso es el producto de dos a la 2 y el cinco. 2 M.C.D. (500, 720,1080)= 2 x5  4 x5  20

Entonces, las garrafas son de 20 litros, para averiguar el número de garrafas se procede a dividir cada número por 20.

500  20  25 720  20  36 1080  20  54 Para el primer tonel necesitamos 25 garrafas, para el segundo 36 y para el último 54, entonces necesitamos 115 garrafas

DIVISOR.

TALLER DE MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Son problemas en los cuales se infiere que se debe encontrar el M.C.D de dos o más números.

1. El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar con baldosas cuadradas, tiene 15 m de largo y 9 m de ancho. el lado y el número de la baldosas que se requiere, tal 34

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez que el número de baldosas que se coloque RESPUESTAS DEL ANTERIOR sea mínimo y que no sea necesario cortar TALLER. ninguna de ellas respectivamente es: A. B. C. D.

5 y 30 5 y 15 3 y 15 6 y 30

2. Un comerciante desea poner en cajas 12.000 manzanas y 8.500 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. El número de naranjas de cada caja y el número en cajas necesarias, respectivamente son: A. B. C. D.

500 y 40 400 y 41 400 y 40 500 y 41

3. ¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 50 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan? Respectivamente. A. 2 y 100 B. 4 y 125 C. 2 y 125 D. 4 y 100 4. Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grande posible. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado? Y ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera? Respectivamente A. 30 y 12 B. 32 y 24 C. 30 y 11 D. 32 y 12

1. 2. 3. 4.

C D A B

NÚMEROS FRACCIONARIOS. SUMA DE FRACCIONES Para sumar fracciones hay dos casos: •Fracciones que tienen el mismo denominador. •Fracciones que tienen distinto denominador. Para el primer caso: la suma de dos o más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay que sumar los numeradores y se deja el mismo denominador Ejemplo:

5 7 12   8 8 8 Para el Segundo caso: para hallar la suma de dos o más fracciones con distinto denominador se siguen los siguientes pasos: 1º. Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores 2º Se calcula el numerador con la fórmula: numerador antiguo por denominador común, dividido por denominador antiguo 3º Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen los mimos denominadores) Ejemplo:

3 4  4 2 35

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 1º Calculamos el mínimo común múltiplo (m. 15 16 31   c. m.) El m.c.m. (4, 2) = 4. 60 60 60 2º Calculamos los numeradores.

RESTA DE FRACCIONES

Numerador de la primera fracción: 3 x 4 / 4 = 3 Para restar fracciones se presentan dos casos: Numerador de la segunda fracción: 4 x 4 / 2 = 8

•fracciones que tienen el mismo denominador

3º Tenemos pues dos fracciones que son:

•fracciones que tienen distinto denominador

3 8  4 4

Primer caso: la resta de dos o más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay que restar los numeradores y se deja el mismo denominador.

Como los denominadores son idénticos podemos sumarla como en el caso 1. 4º Suma:

3 8 11   4 4 4 Ejemplo:

3 4  12 15 1º Calculamos el mínimo común múltiplo (m. c. m.) El m.c.m. (15, 12) = 60. 2º Calculamos los numeradores.

Ejemplo:

15 16 1   60 60 60 Segundo caso: la resta de dos o más fracciones con distinto denominador se siguen los siguientes pasos. 1º. Se halla el mínimo común múltiplo de los dos denominadores 2º Se calcula el numerador con la fórmula: numerador antiguo x denominador común y dividido por denominador antiguo

Numerador de la primera fracción: 3 x 60/12 = 15

3º Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mismo denominador)

Numerador de la segunda fracción: 4 x 60/15 = 16

Ejemplo:

3º Tenemos pues dos fracciones que son:

15 16  60 60

6 1  4 2 1º Calculamos el mínimo común múltiplo (m. c. m.) el m.c.m. (4, 2) = 4.

Como los denominadores son idénticos podemos sumarla como en el caso 1.

2º Calculamos los numeradores.

4º Suma:

Numerador de la primera fracción: 6 x 4 / 4 = 6

36

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Numerador de la segunda fracción: 1 x 4 / 2 = Es muy sencillo. Para multiplicar dos o más 2 fracciones, se multiplican "en línea". Esto es, el numerador por el numerador y el denominador 3º Tenemos dos fracciones que son: por el denominador.

6 2  4 4

Ejemplo:

Como los denominadores son podemos restarla como en el caso 1.

idénticos

6 1 6 3 *   4 2 8 4 DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS

4º Resta:

6 2 4   1 4 4 4

Es muy sencillo. Para dividir dos o más fracciones, se multiplican "en cruz". Esto es, el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción (ya tenemos el numerador) y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción (este es el denominador).

Ejemplo:

9 7  14 4

Ejemplo: 1º Calculamos el mínimo común múltiplo (m. c. m.) el m.c.m. (14, 4) = 28. 2º Calculamos los numeradores. Numerador de la primera fracción: 9 x 28/14 = 18 Numerador de la segunda fracción: 7 x 28*/4 = 49

6 1 12   3 4 2 4 TIPOS DE FRACCIONES Fracciones propias: El numerador es menor que el denominador Ejemplos: 1/3, 3/4, 2/7

3º Tenemos dos fracciones que son:

Fracciones impropias: El numerador es mayor (o igual) que el denominador

18 49  28 28

Ejemplos: 4/3, 11/4, 7/7 Como los denominadores son podemos restarla como en el caso 1.

idénticos Fracciones mixtas: Un número entero y una fracción propia y se están sumando.

4º Resta:

18 49 31   28 28 28 MULTIPLICACCIÓN DE

Ejemplos: 1 1/3, 2 1/4, 16 2/5 En el caso de 1 1/3 se debe entender que es igual a 1+ 1/3.

FRACCIONES 37

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Después escribe el resultado encima del CONVERTIR FRACCIONES IMPROPIAS denominador, así: EN FRACCIONES MIXTAS Para convertir una fracción impropia en una fracción mixta, sigue estos pasos: •Divide el numerador entre el denominador. •Escribe el cociente como un número entero. •Después escribe el residuo encima del denominador. Ejemplo: Convierte 11/4 en una fracción mixta.

17 5 TALLER TIPOS DE FRACCIONES. Convierta las siguientes fracciones impropias a mixtas.

1. 2.

Divide: 11 ÷ 4 = 2 con residuo 3

3.

Escribe el 2 y después escribe el residuo (3) encima del denominador (4), así:

4. 5.

3 2 4 CONVERTIR FRACCIONES MIXTAS EN

Convierta las siguientes fracciones impropias a mixtas.

FRACCIONES IMPROPIAS

6. Para convertir una fracción mixta en impropia, sigue estos pasos: •Multiplica la parte entera por el denominador.

7. 8.

•el anterior resultado se Suma al numerador. 9. •Después escribe el resultado encima del denominador.

17 9 11 5 8 3 5 4 15 9

10.

4 9 3 4 5 1 2 3 3 5 4 1 9 9 5

Ejemplo: Convierte 3 2/5 en fracción impropia.

RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER.

Multiplica la parte entera por el denominador: 3 × 5 = 15 1. 1 Súmalo al numerador: 15 + 2 = 17

8 9 38

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Ahora, como todos los ahorros son los 1 2. 2 cinco quintos, es decir, son cinco cajones 5 cada uno de 2670, para hallar todos los 2 ahorros se multiplica 2670 por 5. Por tanto 3. 2 3 los ahorros son 13.350

1 4 6 2 1 1 9 3 49 9 23 5 7 3 23 4 82 9

4. 1 5. 6. 7. 8. 9. 10.



José sale de su casa con $50 y gasta 4/5 en el cine y 1/10 del resto en chocolates, ¿qué fracción del total ha gastado y cuánto ha gastado? Primero calcularemos el resto, esto se puede ver de una forma grafica lo sombreado es lo que se gasto, por ende, lo que no esta sombreado es el resto.

De la grafica se aprecia que el resto es 1/5, ahora, calculamos un decimo de un quinto, lo cual se calcula multiplicando las fracciones

APLICACIONES DE FRACCIONES 

1 1 1 x  10 5 50

Los dos quintos de los ahorros de Laura son $5340. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado? Podemos resolver el problema por un método grafico, sabemos que los ahorros se dividieron en cinco partes iguales y tomamos dos, eso es equivalente a 5340.

Lo gastado es 4/5 más 1/50, por tanto la fracción gastada es:

4 1 41   5 50 50 En este momento debemos conocer lo gastado por José, lo cual simplemente es calcular los 41/50 de 50, que se hace multiplicando los dos números

Ahora, para saber cuanto dinero cabe en cada cajón, es decir, en un quinto, procedemos simplemente a dividir 5340 entre 2, que es 2670. Por tanto

41 41 50 x50  x  41 Por tanto gasto 41. 50 50 1 

Ya completé los 2/5 de un álbum. Para llenar un cuarto de lo que me falta necesito 36 figuritas. ¿Cuántas figuritas en total tiene el álbum?

39

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Como ya esta lleno los 2/5, entonces hace C. 8/15 faltan 3/5 y tenemos que calcular un cuarto de D. 1/2 3/5 que es lo que le hace falta. 3. Gonzalo vive en Buenos Aires y decide visitar a su hermano que vive en la 1 3 3 x  provincia de Santa Cruz. El primer día 4 5 20 recorre 2/7 del camino y el segundo día 2/5 de lo que le falta. Si le quedan aún 900 km Esto significa que 3/20 del álbum son 36 figuritas, debemos entender que el álbum por recorrer, ¿cuántos km tiene el camino? se dividió en 20 partes iguales y en tres de A. 2100 estas partes hay 36 figuras, lo cual conlleva B. 2200 a decir que en una sola de esas partes caben C. 2300 12 figuras pero como son 20 partes y en D. 2400 cada una caben de 12, en total hay 20x12, es decir hay 240 figuras. 

Calcular los un quinto de los dos cuartos de 200. Lo único que debemos hacer es multiplicar los fraccionarios.

1 2 200 400 x x   20 5 4 1 20 La respuesta es 20 PROBLEMAS QUE USAN FRACCIONES 1. Ana le dice a Lucy: “si yo te doy 6 de mis colores entonces quedaría con 2/3 de la cantidad tuya” . Lucy replica “si yo te doy 10 de los mios entonces quedaría con 1/2 de los tuyos”. Las cantidades de colores que tienen Ana y Lucy respectivamente son: A. 18, 16 B. 30, 30 C. 15, 25 D. 25, 30 2. En una bolsa opaca hay 15 pelotas, algunas son rojas y otras son azules. El número de pelotas rojas es uno más que el de azules. La fracción de las pelotas azules con respecto al total A. 1/15 B. 7/15

4. El Sr. Gómez decide repartir su capital en partes iguales entre sus tres hijos: Roberto, Jorge y Gloria, reservándose para sí un quinto del total. A su vez, Roberto renuncia a sus derechos a favor de sus hijas: Ana, Mercedes y María, que se reparten lo heredado en partes iguales. Jorge es el padrino de María, le da a ésta la mitad de lo que le corresponde a él y entonces María recibe en total $8000. ¿Con cuánto se quedó el Sr. Gómez? A. 36.000 B. 28.800 C. 7200 D. 8000 5. Camilo está calculando cuántas botellas de 3 litros debe comprar para la fiesta del curso. Primero piensa en cuántos vasos de 1/4 de litrose podrían llenar con estas botellas. Y determina que cada persona consumirá 10 de estos vasos, además, invito a 50 personas, la cantidad de botellas que como mínimo debe comprar Camilo es: A. 41 B. 42 C. 43 D. 50 6. Si en un número racional aumentamos el numerador en 4, el número racional queda aumentado en 2. ¿Cuál es el número racional? A. 1/2

40

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez B. 3/5 C. 3/4 D. 8/7

7. En un cine hay 56 personas, de las que

consume

4 7

son chicas. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay? Respectivamente. A. B. C. D.

32 y 24 26 y 40 24 y 32 40 y 26

8. La suma de 3 números enteros es 27. La Razón o fracción entre el primero y el segundo es 2/3 y la del segundo al tercero es 3/4, entonces el tercer número es: A. 15 B. 18 C. 9 D. 12 9. A una botella llena de alcohol se le extrae 1/5 parte de este y se sustituye por agua, después se saca 1/5 de la solución. La parte de alcohol contenida en esta segunda extracción con respecto a la cantidad inicial es: A. B. C. D.

1/25 4/25 2/5 1/5

10. La fracción del área sombreada es: A. 4/7 B. 1/2 C. 3/4 D. 3/5 11. Durante un viaje, el carro de sara consume

1 de la gasolina que lleva en el depósito 8 de su vehículo. En un segundo viaje

2 de lo que le quedaba. Sabe 3

que le quedan en el depósito 14 litros. ¿Cuántos litros puede llevar como mínimo en el depósito? A. 45 B. 46 C. 47 D. 48 12. En un centro comercial, 5 de cada 7 empleados cobran cada 15 días, 2 de cada 9 lo hacen mensualmente y el resto cobra semanalmente. Si en total hay 6300 empleados, el número de empleados que cobra semanalmente es: A. 400 B. 500 C. 600 D. 700 13. Sobre un terreno 900 hectáreas hay una pequeña laguna que ocupa el 1/10 de la superficie total, un pequeño bosque que ocupa 2/9 de la superficie restante y un viñedo que se extiende sobre el resto. Las hectáreas que ocupa el viñedo es: A. 510 B. 410 C. 620 D. 630 14. Los dos quintos de los tres medios de 120 es: A. 52 B. 62 C. 72 D. 82 15. Camilo ayuda a su papá en su negocio. Durante las vacaciones lo hace de lunes a viernes y en época de clases, los sábados. Por cada día de trabajo recibe $4500. Al terminar las 3 semanas de vacaciones había ganado 2/3 del dinero que necesita para comprarse una bicicleta nueva. Los sábados que le hacen falta para comprar la bicicleta es: 41

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez A. 7 Solución B. 8 Lo primero que debemos hacer es reconocer C. 9 D. 10 que el entero 3 es igual a 3.0.

Respuestas al anterior taller. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

0.025

B B A C B A C D B A D A D C B

3 .2  3.0

Los colocamos en forma vertical, teniendo en cuenta que el punto decimal o coma, están una encima de la otra, procedemos a llenar los espacios en blanco con ceros y procedemos hacer la suma normalmente 0.025 3.200  3.000 6.225

NÚMEROS DECIMALES SUMA

0.025  3.2  3.0

Y

RESTA

DE

NÚMEROS

DECIMALES

Ejemplo. Halle la siguiente resta

3.025  2.9 Solución

Los números racionales pueden expresarse en forma de fracción o en forma decimal. Para sumarlos o restarlos bajo esta última modalidad, tienes que alinearlos para que las comas queden debajo de comas y procedemos a sumar o restar como números enteros, conservando la coma su lugar. Una vez que lo hagas, añada ceros en las columnas que queden vacías. Luego, realiza la adición o la sustracción como si estuvieras trabajando con números naturales. ¡No te olvides de poner la coma en la columna correspondiente al resultado! Ejemplo. Hallar el resultado de la siguiente suma:

0.025  3.2  3

Colocamos coma debajo de coma. 3.025  2 .9

Llenamos los espacios en blanco con ceros, 3.025  2.900 0.125

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Multiplica normalmente, ignorando los puntos decimales. Para poner el punto decimal se debe tener en cuenta que debe haber tantas cifras 42

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez decimales como había en los dos números 3.25  2.9 decimales juntos, es decir, sólo tienes que Solución contar cuántas cifras hay después del punto decimal en los dos números que multiplicas, y El primer número tiene dos cifras decimales y la respuesta tiene que tener esa cantidad el segundo tiene solo una cifra decimal, después de su punto decimal. procedemos agregarle un cero. Ejemplo.

3.25  2.90

Realiza el siguiente producto Se suprime la coma y dividimos normalmente,

3.025

325  290  1.12

x 2 .9 Solución Multiplicamos el 3025 por 29 normalmente,

DECIMALES

3.025 x 2 .9 87725

1. Realizar las siguientes operaciones con números decimales:

Ahora, contamos cuantas cifras decimales hay en los dos números, en este caso, hay cuatro, luego nuestro número debe tener cuatro cifras decimales, luego quedaría así:

3.025 x 2 .9 8,7725

DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Para dividir dos números decimales o que al menos uno de ellos sea decimal, se procede primero, a que los dos números tengan la misma cantidad de cifras decimales, esto se logra agregando ceros al número con menor número de cifras decimales, segundo, se suprime la coma y por último se divide normalmente. Ejemplo.

TALLER DE NÚMEROS

 3,669 * 1000 =  36,669  1000 =  0,036 * 10 =  0,036  10 =  0.000012 *10 000 =  123.005  10,3 =  26,36 * 10,32 =  2,36  1000 =  0,261 * 100 =  5,036  10 =  32,4 + 0.018=  12.96 – 6,3=  3,669 + 10,90 =  36, 9-10,30 =  0,036 + 10 =  0,036 -0,10 =  0.012 -10,98 =  123.005 -10,39 =  26,36 -10,32 =  2,36+100,94 =  0,261 – 1,00= 2. Camila ha comprado 3 bandejas de flores. Cada bandeja tiene 9 filas con 9 flores cada

43

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez una. Si cada flor cuesta 1,25 dólares, 7. En el depósito de una planta envasadora ¿cuántos dólares ha pagado en total? hay 585,43 litros de batido de chocolate para envasarlo en cartones de 6 litros. A. 101.25 ¿Cuántos cartones se envasarán? B. 33.75 A. 97 C. 243 B. 98 D. 303.75 C. 99 D. 100 3. Carla ha ido a la tienda y ha comprado 4 chocolatinas a 0,8 euros cada una, 3 chicles 8. EI Camino entre un pueblo y la capital a 1,07 euros cada uno y una bolsa de tiene una longitud de 951,5 km. Un grupo gominas que vale 3,78 euros. ¿cuánto ha quiere recorrerlo en 30 días. Cuando llevan gastado? 10 días han recorrido 364,9 km. ¿Cuánto A. 6.99 B. 10.19 tendrán que recorrer cada día de los que C. 8.59 quedan, si recorren la misma cantidad de D. 7.5 Km cada día? A. 20.1 4. La casa de Camilo está a 2,56 km. del B. 30.2 colegio. Si el niño hace 6 viajes al día. C. 29.33 ¿Cuántos Km. recorrerá en 7 días? D. 19.89 A. 15.36 B. 25.36 9. Un carpintero utiliza 1,9 litros de barniz C. 107.52 para barnizar una puerta. Calcula el dinero D. 210.52 que le costará pintar 12 puertas, si un litro de barniz cuesta 13,60 €. 5. En la última campaña de recolección de A. 210.8 alimentos para los damnificados por el B. 310 invierno se recogieron: 10 cajas de 385,6 C. 295.56 kg. de arroz cada una; 250 bolsas de 48,04 D. 310.08 kg. de papas cada una; 1.000 bolsas de 16,78 Kg. de azúcar cada una. ¿Cuántos 10. Inés ha cancelado7,80 € por 2 bolígrafos, 1 kg. se han recogido en total? cuaderno y 1 estuche de pinturas. Si el A. 450.42 cuaderno vale 1,34 € y el estuche el triple B. 32646 del cuaderno. ¿Cuánto vale cada bolígrafo? C. 33646 A. 2.44 D. 450236.5 B. 1.22 6. Un carpintero utiliza 1,98 litros de barniz C. 5.36 para barnizar una puerta. Calcula el dinero D. 4.02 que le costará pintar 7 puertas, si un litro 11. María gastó en el supermercado las tres de barniz cuesta 15,67 €. cuartas partes del dinero que llevaba. A. 217.1862 Después fue a la zapatería y quiso comprar B. 317.187 tres pares de zapatillas a $9,90 cada una, C. 13.86 pero le faltaban $6,50. ¿Cuánto dinero D. 15.86 tenía al entrar al supermercado? 44

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez A. 92.8 Luego B=3 B. 23.20 Pero como preguntan es la cantidad de C. 29.70 onzas de B presentes en la mezcla entonces D. 100.25 se multiplica 3 por 7, luego la respuesta es la C.

Respuestas al anterior taller

2. D 3. B 4. C 5. B 6. A 7. A 8. C 9. D 10. B 11. A

2.

26.772 En la multiplicación señalada, A y B representan dígitos. Entonces los valores de A y B son respectivamente:

PROBLEMAS DE OPERACIONES BÁSICAS.

Son situaciones problemas sencillas, las cuales constan de problemas que se resuelven con sumas, restas, multiplicaciones o divisiones, la dificultad radica sólo en la comprensión del ejercicio. Ejemplos. 1.

27A x B7

Una mezcla de 15 partes de A, 7 de B y 9 de C pesan 93 onzas. Si cada parte de A, B o C tiene el mismo peso, entonces, las onzas de B que hay en la mezcla son: A. 27.12 B. 25 C. 21 D. 20.5

A. B. C. D.

5y8 6y9 6y7 7y5

Solución Lo único que se debe hacer es reemplazar los dígitos, la opción de respuesta correcta es la B. 3.

Se tiene una balanza de dos platillos, un comerciante tiene tres pesos diferentes P1,P2 y P3 como se ilustra en la figura, con los cuales y con la ayuda de la balanza puede pesar papas que pesan 1,2,3,4,5,6 y 7 kilogramos, el peso de P3 es: A. B. C. D.

4 5 6 7

Solución 15A+7B+9C=93 Pero como las tres pesan lo mismo entonces: 15B+7B+9B=93 31B=93

Solución. Como nos afirman que el comerciante puede pesar medidas de 1, 2, 3, 4, 5, 6 ó 7, debemos encontrar tres números tales que la combinación de ellos o uno de ellos dé como

45

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez suma o sean iguales a los anteriores números, 3. El resultado de la suma: 1 + 2 - 3 + 4 - 5 + por ende la respuesta es: 6 - 7 + 8 - . . . . . . - 99 + 100 es: A. 70 P1=1 B. 52 P2=2 C. 0 P3=4 D. -50 Pista: A partir del segundo término hasta el Ya que: 99 sume de dos en dos. 4. dada la secuencia de los números 1, 11, 1=P1 111,1111,……el digito de las unidades de 2=P2 la suma de los primeros 30 elementos de 3=P1+P2 esta sucesión es: 4=P4 A. 0 5=P1+P3 B. 1 6=P2+P3 C. 2 7=P1+P2+P3 Luego la respuesta es la A. D. 3

TALLER DE NOCIONES BÁSICAS 1. Ejercicios elementales de operaciones básicas, estos ejercicios los debe hacer sin calculadora y en el menor tiempo posible  8036 / 49  22568 / 104  585 / 45  42657 / 177  2537 *29  4352 – 3469  2498 + 4752  4909 - 3970  2490 / 10  11736 / 72  8036 * 49  22568 * 104  585 *45  42657 * 177 2. El resultado de la suma 1-2+3-4+5-6+78+…………+99-100 es: A. 50 B. 0 C. -20 D. -50

Pista: sólo determine la suma de las unidades. 5. los números AB4, BO3, B3C, BA1 están ordenados en una secuencia ascendente, de modo que la diferencia entre 2 números consecutivos es constante, entonces los valores de A B y C son respectivamente: A. 6,7,2 B. 8,7,2 C. 7,6,1 D. 5,6,1 Pista, reemplace los números por las letras. 6.

31P x A8 18.154 En la multiplicación señalada, P y A representan dígitos. Entonces los valores de P y A son respectivamente: A. B. C. D.

3y9 2y5 3y5 9y3

Respuestas del anterior taller.

Pista: (sume de dos en dos) 46

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 2. D La opción B es 3. B 15  1*   15  3 *   4. A  3  1 *  3  5. A 6. C

OPERADORES ARBITRARIOS Este es uno de los temas más importantes de este capitulo, ya que siempre en un examen de admisión hay como mínimo tres puntos de operadores arbitrarios. Los operadores arbitrarios consiste en que sigas una formula matemática. Ejemplo Se define una operación arbitraria por *, así si x es un entero positivo, entonces x*=x-1, de las siguientes afirmaciones, la única verdadera es: A. B. C. D.

15 *  15    * 3*  3 

15  1*   15  3 *   3  1*  3  15  2*   15  2  *   3  2*  3 

15 *  15    * 3*  3 

Solución. La opción A es falsa, ya que

ya

que.

15  1  1 15   3 1 3 1 1 3

57 lo cual es absurdo. Pero la C es la opción correcta.

15  2*   15  2  *   3  2*  3  15  2  1 15   2 1 3  2 1 3 16  5 1 4

4  6 Lo cual es cierto. Ejemplo. Se define la operación (∙) tal que: a∙b =

a0  3 si a≥ 0, y a 2  b , si a< 0, entonces b

el resultado de (5∙1) ∙2 es: A. -25 B. 6 C. -2 D. 27

15 *  15    * 3*  3  14 15  1 2 3

Solución.

pero 7 no es menor que 4, lo cual implica que la opción A es falsa y de paso la opción D también es falsa.

5∙1=

7  5 1 74

falsa,

Primero calculamos la operación que se encuentra dentro del paréntesis, como a es mayor o igual a cero utilizamos la primera formula.

50 3 1

5.1=1-3=-2 47

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Ahora, con el resultado y el dos realizamos la 1*  12  1 Y 1*  12  1 operación -2.2 como a es negativo utilizamos la segunda formula. -2.2=  2  2

2 2 / 2  1Y 11/ 2 1 2

2



-2.2=4+2=6. Luego la respuesta es la B. Ejemplo. números 0 1 2 1 2 1

operadores * ♠ * ♠ * ♠ * * ♠ ♠ ♠ *

Resultados 0 1/2 2 1 1/2 1/4

El cuadro muestra los resultados obtenidos en una calculadora, cuando a los números indicados se les aplica en secuencia los operadores anotados. Las operaciones ejecutadas * y ♠ son fijas. 

TALLER DE OPERADORES ARBITRARIOS

1. El operador asterisco se define así

x* y 

A. 6

A. B. C. D.

31 C. 6

Ya que se asume * como elevar al cuadrado y a ♠ como dividir por 2 y obtenemos los mismos resultados que se muestran en la tabla, como se aprecia a continuación.

0*  0 2  0 Y 0 0 / 2  0

1*  12  1 Y 11 / 2

x y x y  x y

El valor de (3*2)*1 es

25 B. 6

La respuesta correcta es la B.

1 4

Teniendo en cuenta el problema anterior el resultado de 2*♠♠♠ es: 2* = 2 2 =4 4♠=4/2=2 2♠=2/2=1 1♠=1/2, por tanto la respuesta es 1/2

Las operaciones definidas por * y por ♠ son respectivamente. Duplicar y dividir por 2 Elevar al cuadrado y dividir por 2 Duplicar y dividir por cuatro Extraer raíz cuadrada y dividir por 2.

2

11/ 2 Y 1 / 2*    

961 D. 150 2. Para el anterior operador, defina para que números reales el operador x*y=0. A. imposible de determinar. B. para todo número real distinto de cero. C. para cuando x=-y. D. para cuando x=-y y x y y son diferentes de cero.

2*  2 2  4 Y 4 4 / 2  2 48

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Se define operación* el conjunto de los ♥ 2 números reales diferentes de cero así: 5 a b a*b=  7

b

a

3. el valor resultante de (3*2)*1 es: A. -1/6 B. -11/30 C. 2 D. 0 4. Se define la operación  entre los números

mq m  3q  , reales m, q así m  q  2 entonces q  q es igual a: A. – q2 /2 B. q3 C. q2/2 D. -q3 Preguntas 5 y 6 Se define la operación  para a ≠ b, con a y b en los números reales así:

a  b

a b a-b

5. El valor resultante de (1  2)  3 es: A. -3/2 B. 0 C. 3/2 D. 2 6. Si x  y = 1, entonces, de las afirmaciones siguientes la única verdadera es: A. x, y son enteros consecutivos B. x es cualquier real positivo y y=0 C. x es cualquier real distinto de cero y y =0 D. y es cualquier real distinto de cero y x=0 Preguntas 7 a la 9 Una operación denotada por ♥ esta definida para enteros positivos. La siguiente tabla muestra el resultado de la operación para algunos enteros, por ejemplo 2♥6=14

4 10 25 35

6 14 35 49

1 4 10 14

7. a ♥ b es igual a: A. B. C. D.

a2  b a  b2

a.b  b a.b  a

8. El resultado de 5♥(2♥1) A. B. C. D.

30 25 35 10

9. El resultado de a♥b + b♥a para a=5 y b=9 es: A. B. C. D.

59 90 104 118

Preguntas 10 a la 12. Se define la siguiente operación entre números reales a y b distintos de cero.

ab  a b  b a 10. El resultado de 1(23) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. El resultado de (21) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. Dadas las expresiones, para a y b reales diferentes. I. a(bc) 49

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez II. aa b 15. Si a* b = 0, entonces, de las afirmaciones III. a(ba) siguientes la única verdadera es: Se puede afirmar con certeza que: A. B. C. D.

I y II son iguales I y III son iguales II y III son iguales No es posible realizar el II.

13. En el conjunto de los números reales se define un operador arbitrario*, así: a*b=a-2b. De las siguientes igualdades la única verdadera es: A. B. C. D.

a*b=b*a a*(b+c)=a*c+a*c a*(b+c)=(a*b)*c a*(b*c)=(a*b)*c

14. Se define una operación arbitraria (*) en los números reales así: a * b =

ab Entonces el resultado de a b

(6*4)*3 es: A. B. C. D.

A. La igualdad se cumple para todos los reales distintosde cero B. La igualdad se cumple cuando a =b C. La igualdad se cumple cuando a 2  b 2 D. La igualdad se cumple cuando a=-b o b=-a, con “a” diferente de cero.

4 13 30 72

Respuestas al taller anterior. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

D D B D B C D B C C B D C A D

PROPORCIONALIDAD

50

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez

En esta sección encontrarás ejercicios de examenes de admisión pasados y otros modificados de porcentajes, reglas de tres directa e inversa, razones y razones de tiempo, este tema es de mucha importancia, no es que los otros temas no sean importantes, sino que este tema siempre lo evaluan en todos los examenes de admisión que conozco, si entiendes acertadamente este tema, podrás garantizar alrededor de unas cuatro o cinco preguntas del examen, trabaja con esmero y alcanzarás la meta.

51

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Ejemplo. MAGNITUDES La magnitud es una propiedad que poseen los cuerpos o los fenómenos, es una cualidad que puede ser medida. El peso, La masa, el tiempo, la longitud, el volumen, la velocidad, la temperatura, entre muchas otras, son magnitudes.



Solución. Tenemos dos magnitudes: metros cuadrados de una pared y galones de pintura, las dos magnitudes son directamente proporcionales ya que si aumentamos el doble del tamaño de la pared, necesitaremos el doble de galones de pintura m2 galones

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.

Si una magnitud A aumenta n veces y la magnitud B aumenta n veces también. O si una magnitud A disminuye n veces y la magnitud B disminuye n veces, entonces las dos magnitudes son directamente proporcionales.

360 40 460 x Ahora, recordemos que diagonal a la incógnita divide, es decir, el 360 divide.

Ejemplos de magnitudes proporcionales.   

Cantidad de articulos comprados y el valor a pagar. (si compro el doble de articulos pago el doble) Dias de trabajo y sueldo.(trabajo el doble de días, me pagan el doble) Volumen y materia (si la materia de una sustancia fija se reduce a la mitad su volumen se reduce a la mitad)

Si para pintar 360 metros cuadrados de pared se necesitan 40 galones de pintura. ¿cuántos galones se necesitarán para pintar una superficie de 460 metros?

x

460x 40 360

x  51.1 

REGLA DE TRES DIRECTA.

Se necesita 51.1 galones Para tejer 300 metros de una tela se necesitan 60 kg de lana ¿Cuántos kg se necesitarán para tejer una tela que mide 420 metros? Solución.

Consiste en un algoritmo que dadas tres cantidades correspondientes a dos magnitudes que son directamente proporcionales entre sí, se calcula la cantidad de una de estas magnitudes que hace falta.

Tenemos dos magnitudes: metros de una tela y Kg de lana, las dos magnitudes son directamente proporcionales ya que si la tela la hacen de lana, al aumentar el doble la cantidad de lana aumenta el doble los metros de tela.

M1

M2

a

b

m

Kg

c

x

300

60

420

x

Se resuelve con el siguiente algoritmo. b.c x a Para que lo recuerde más fácil, diagonal a la incógnita divide, los otros dos multiplican.

Diagonal a la X divide, en este caso el 300.

x

420 x60  84 300

52

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez  Un automóvil recorre 150 km en 15 horas 27 * 2 x  18 ¿en qué tiempo recorrerá 30 km, si la 3 velocidad es constante? Luego la X=18 Hacemos lo mismo con la otra columna. Solución. Si la velocidad es constante, podemos decir que las magnitudes son directamente proporcionales, ya que si la distancia se aumenta el doble el tiempo tambien se aumenta el doble. horas distancia

15

150

x

30

15 x30 3 150

Luego la respuesta es que necesita 3 horas.



A 2 X 60 B 3 27 Y El cuadro anterior muestra los resultados obtenidos de medir dos magnitudes directamente proporcionales, los valores de X y Y son: Solución. Si en un ejercicio nos dicen que son magnitudes directamente proporcionales o son una función lineal, lo resolvemos con una regla de tres directa. Tomamos los valores de la columna que tiene los dos valores conocidos.

A

B

2

3

E introducimos los valores en los cuales falte un dato. A

B

2

3

X

27

B

2 60

3 y

Diagonal a la incógnita divide.

y

60 * 3  90 2

Luego la Y=90 TALLER DE REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA.

Divide el 150.

x

A

Diagonal a la incógnita divide.

1. Trescientos gramos de queso cuestan $60.000 ¿Cuánto podracomprar con $45.000? A. 230 gr B. 225 gr C. 220 gr D. 215 gr 2. Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado 120 € ¿Cuánto cobrará por 8 horas? A. 300 B. 310 C. 320 D. 330 3. Una máquina embotelladora llena 480 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en hora y media? A. 2160 B. 2260 C. 2360 D. 2460 4. Un corredor de maratón ha avanzado 2,4 km en los 8 primeros minutos de su recorrido. Si mantiene la velocidad constante, ¿cuánto tardará en recorrer los 42 km? A. 1 hora y 40 minutos B. 1 hora y 20 minutos C. 2 horas y 40 minutos D. 2 horas y 20 minutos. 53

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 5. La compra de 450 kilogramos de queso D. 35000 costeño costó 2500.000 ¿Cuántos 11. Se han pagado 720 euros por una cantidad kilogramos del mismo queso se comprarán de cal cuyo peso es 1000 kg el valor de con 3400.000? 1200 kg de cal es: A. 612 A. 864 B. 712 B. 964 C. 812 C. 1064 D. 912 D. 922 6. Una fuente en 92 horas arroja 45000 litros de agua. ¿Qué cantidad de litros de agua arroja en23 horas? A. 12.250 B. 11.250 C. 10.250 D. 9.250 7. ¿cuántos palomos podrán comprarse con 39 euros, pagándolos a 2,25 euros el par? A. 42 B. 43 C. 44 D. 45 8. Un carnicero, vendiendo diariamente 80 kg, saca una ganancia de 6 euros. ¿Qué cantidad de carne debería vender cada día para ganar 15 euros? A. 180 B. 190 C. 200 D. 210 9. Un caminante ha recorrido 420 km en 20 dias ¿Qué distancia recorrerá en 24 dias? A. 501 B. 502 C. 503 D. 504 10. El alumbrado de una cafetería ha costado en 1 mes $30.000 ¿Cuánto gastará la cafetreria mensualmente aumentando en 5 los 30 bombillas que enciende diariamente? A. 32000 B. 33000 C. 34000

A 4 X 64 B 5 25 Y 12. El cuadro anterior muestra los resultados obtenidos de medir dos magnitudes directamente proporcionales, los valores de X y Y respectivamente son: A. 80 y 20 B. 60 y 40 C. 40 y 60 D. 20 y 80 13. Un leopardo cuando va a cazar un conejo da dos saltos por cada siete saltos que da el conejo, un leopardo inicia una persecución de un conejo. la cantidad de saltos que dió el leopardo sabiendo que el conejo dio 420 saltos: A. 110 B. 120 C. 130 D. 140 14. La tabla muestra valores de x,y, donde x es proporcional a y. X 3 6 P Y 7 Q 35 Los valores de Py Q respectivamente son: A. 10, 31 B. 10,14 C. 15,14 D. 14,31 15. Un agricultor quiere repartir 5.400 hectáreas de tierra entre sus hijos, de forma directamente proporcional al tiempo que cada uno de ellos ha dedicado a las tareas agricolas que son 2, 3 y 4 años. El número de hectareas que cada uno recibirá respectivamente es: A. 1200 1800 2400 54

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez B. 1100 2100 2200 C. 1300 1700 2400 D. 1400 1800 2200

Pista: son dos magnitudes; hectareas y

final.

tiempo de servicio, son directamente proporcionales, debe sumar el tiempo de servicio, es decir, 2+3+4=9, luego 5400 hectáreas equivalen a 9 años y con esto plantea las reglas de tres. 16. Juan entrega pizzas y gaseosas que transporta en su camioneta. A la camioneta de Juan le caben exactamente 50 pizzas ó 300 gaseosas. Si a juan le han encargado llevar a una fiesta 20 pizzas, entonces el número máximo de gaseosas que podrá llevar Juan en su camioneta a la fiesta es: A. 60 B. 180 C. 150 D. 200

El conductor del automóvil ha decidido cargar combustible cuando el medidor se encuentra en la posición indicada como inicial y ha pagado exactamente $35.000 por una cantidad que el medidor registra en la posición indicada como final. 17. Si se quiere terminar de llenar el tanque, a partir de la posición final, el valor del combustible adicional es: A. 5000 B. 6000 C. 7000 D. 8000 18.

Pista: dejo de llevar 30 pizzas y ese espacio es ocupado por las gaseosas. Preguntas 17 a la 19. A.

La figura muestra el medidor del nivel de combustible de un automóvil cuando éste se encuentre apagado. Al encender el automóvil, el medidor indica el nivel exacto del combustible variando desde el nivel V vacio hasta el nivel máximo LL (lleno).

B.

C.

D. inicial.

Si transcurrido un periodo de tiempo, el precio del combustible se incrementó en un 25% (es decir calcule un cuarto del precio y sumelo al precio y obtiene el nuevo 55

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez precio) entonces, partiendo de la misma primera dismimuye n veces la segunda posición inicial con la misma cantidad de aumenta n veces. dinero ($35.000), la cantidad de combustible que puede adquirirse Las siguientes Magnitudes son inversamente corresponde a la indicada por el diagrama. proporcionales. A. B. C. D.



A B C D



19. Si el tanque del automóvil tiene una capacidad de 14 galones, entonces el precio del galón de combustible inicialmente, esto es antes del incremento, es: A. B. C. D.

REGLA DE TRES INVERSA.

4000 4500 4750 5000 RESPUESTA AL ANTERIOR TALLER.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

 

Los dias de trabajo y la cantidad de obreros. Los dias que dura los viveres y la cantidad de personas. La velocidad y el tiempo. Si el área de un rectángulo es constante, entonces el largo y el ancho son inversamente proporcionales.

B C A D A B B C D D A D B C A B C B A

Es un algoritmo que consiste en que nos dan tres datos, dos de una de las magnitudes inversamente proporcionales y el otro dato es de la segunda magnitud y debemos hallar el cuarto dato, lo hacemos con el siguiente algoritmo. M1

M2

a

b

c

x

x

a.b c

Divide el número que esta al frente de la incógnita. Ejemplo. 

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si la primera aumenta n veces entonces la segunda disminuye n veces o si la

Si 12 vacas se comen un granero lleno de paja en 80 días, calcula cuanto tardarían 30 vacas en hacerlo.

Solución. La cantidad de vacas y los días que se demoran en comer la paja son inversamente proporcionales, ya que si aumentamos el doble número de vacas, los días se reducen a la mitad. vacas días 12 80 30 x

56

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez El número que divide es el 3, por ser Como son inversas divide el 30. magnitudes inversamente proporcionales. X 

12 x80  32 30

X

Luego, la respuesta es 32 días. 

Si abro 36 desagües de una piscina, esta tarda en vaciarse dos horas. ¿Cuánto tardaré en vaciarla abriendo doce desagües? Solución. Los desagües y el tiempo de vaciado son inversamente proporcionales, ya que si aumento el doble los desagües el tiempo de vaciado se reduce a la mitad. desagües tiempo 36 2 12 x

Como son inversamente proporcionales, divide el 12. 36x2 x 6 12

12 *123  492 3

Luego X=492 A

B

12

123

36

Y

El número que divide es el 36. Y

12 *123  41 36

Luego Y=41.

TALLER DE REGLA DE TRES INVERSA

1. Doce limpiadores barren todo un teatro en ocho horas. ¿Cuántos limpiadores hacen falta para hacerlo en seis horas? A. B. C. D.

16 4 10 2

Por tanto la respuesta es: se demora 6 horas.



A 12 X 36 B 123 3 Y El cuadro anterior muestra los resultados obtenidos de medir dos magnitudes inversamente proporcionales, los valores de X y Y respectivamente son: Solución.

Tomamos los valores de la columna que tiene los dos valores conocidos. A

B

12

123

E introducimos los valores en los cuales faltaun dato. A

B

12

123

x

3

2. Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán dos obreros? A. 3 horas B. 2 horas C. 1 hora D. 4 horas 3. Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará un coche a 120 km/h? A. 80 B. 60 C. 20 D. 25 4. Un coche que va a 100 km/h necesita 20 minutos en recorrer la distancia entre dos pueblos. ¿Qué velocidad ha de llevar para hacer el recorrido en 16 minutos? A. 225 B. 200 C. 150 D. 125 57

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez almacén. Para hacer el mismo trabajo en 4 5. Un camión que carga 3 toneladas necesita días ¿cuántos carpinteros se necesitan? 15 viajes para transportar cierta cantidad de arena. ¿Cuántos viajes necesitará para A. 49 hacer transportar la misma arena un B. 44 camión que carga 5 toneladas? C. 42 A. 9 D. 41 B. 10 RESPUESTAS AL ANTERIOR C. 25 TALLER. D. 11 1. B 6. Un ganadero tiene 20 vacas y tiene pasto 2. A para alimentarlas durante 30 días. ¿Cuánto 3. C tiempo le durará el pasto si se mueren 5 4. D vacas? 5. A A. 22.5 6. C B. 50 7. B C. 40 8. D D. 20 9. B 10. A 7. En un campamento de 25 niños hay PORCENTAJES. provisiones para 30 días. ¿Para cuántos días habrá comida si se incorporan 5 niños PORCENTAJES COMO UNA FRACCIÓN a la acampada? A. 36 O UN DECIMAL. B. 25 C. 20 Los porcentajes es un caso especial de las D. 18 fracciones, puesto que es una fracción con denominador 100, así que Tener a% es 8. Un taller de ebanistería, si trabaja 8 horas diarias, puede hacer un pedido en 6 días. equivalente a tener a/100. ¿Cuántas horas diarias adicionales deberá trabajar para hacer el pedido en 3 días? Ejemplo. A. 14 De una equivalencia en fracciones y en B. 4 C. 10 decimales de 55%. D. 8 Un equivalente a fraccionario sería 9. En una fortaleza hay 4500 hombres que tienen víveres para 4 meses y diez días. Si 55 11 los hombres se refuerzan con 500 nuevos 55%   100 20 soldados, para ¿cuánto tiempo tendrían víveres?. Pista: tome los meses como de 30 días. 11 55%  A. 120 20 Luego B. 117 C. 114 Un equivalente a decimales es dividir al 55 D. 111 entre cien 10. veintiocho carpinteros necesitaron trabajar 7 días para entarimar la planta baja de un 55%  0.55 58

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 2. Calcule los siguientes porcentajes Ejemplo.  30% de 250 Un porcentaje equivalente a 0.23 es:  20% de 2000  25% de 1500 Solo debemos multiplicar por 100 al número.  89% de 56  78% de 2589 0.23  23% 3. A continuación hay decimales, debes Ejemplo. encontrar un porcentaje equivalente al decimal Un porcentaje equivalente a 5/4 es:  0.054  1.25 Multiplicamos a la fracción por 100 y  0.985 simplificamos.  0.0012 5 500  5.25  %  125%  0.152 4 4 4. A continuación hay fracciones, debes EL PORCENTAJE DE UN NÚMERO. encontrar un porcentaje equivalente al fraccionario  5/2 Para calcular el porcentaje de un número o  2/5 cantidad, se expresa el porcentaje como una  3/5 fracción y se multiplican los dos.  2/4 Ejemplo.  1/20  20/200 Calcule el 35% de 2500.  2/10

35 2500 x  875 100 1 Luego la respuesta es 875.

Práctica de porcentajes. 1. De una equivalencia en decimales y en fraccionario de los siguientes porcentajes  34%  12%  15%  48%  26%  28%  69%  89%

PORCENTAJES COMO REGLA DE TRES. En un problema en el cual se deduce que hay reglas de tres y se tienen porcentajes, se resuelven como reglas de tres simple directa. Atendiendo a las siguientes recomendaciones, la cantidad que aparezca después de las palabras, con respecto a, de los, de las, o del. Se asume como el cien porciento. Ejemplo. En la siguiente tabla se muestra los resultados de una encuesta por género, en la cual se preguntaba cual es el problema que más aqueja a la comunidad. hombres

mujeres 59

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez una simple suma deducimos que el total inseguridad 20 30 desempleo 80 50 de encuestados es 325. Corrupción 25 20 total % Falta de 45 55 325 100 servicios médicos 80 x Suponiendo que cada persona solo escogió un 80 x100 x  24.6% solo problema designándolo como el más 325 grave, considere cuales de las siguientes Luego la segunda afirmación es afirmaciones son verdaderas o falsas. verdadera. A. El 45% de los hombres considera que el C. Se infiere que el 100% es el total de problema más grave es la falta de servicios encuestados y la diferencia entre hombres médicos. y mujeres que escogen la inseguridad es B. Los hombres que escogen el desempleo 10. como el problema más grave es total % aproximadamente el 24.61% del total de 325 100 encuestados. C. La diferencia entre los hombres y las 10 x mujeres que escogen la inseguridad 10 x100 x  3% equivale aproximadamente al 3% del total 325 de encuestados. Luego esta afirmación también es D. Las mujeres que escogen la corrupción verdadera. como el tema más grave es D. En este problema se asume a las mujeres aproximadamente el 12.9% de las mujeres. como el 100%, las mujeres son 155 Solución.

mujeres

A. Según el ejercicio se asume a los hombres como el 100% luego haciendo una simple suma concluimos que la cantidad de hombres es 170 y con esto planteamos la regla de tres así

hombres

%

170

100

45

x

45 x100 x  26.4% 170 Luego la primera afirmación es falsa. B. Del ejercicio se asume al total de encuestados como el cien porciento, con

%

155

100

20

x

x

20 x100  12.9% 155

Esta afirmación también es verdadera. Ejemplo. Cuando un avión le falta el 25% de su combustible tiene 30.000 litros de combustible más que cuando estaba lleno al 55%, la capacidad del tanque es: Solución.

60

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Si le falta el 25% esta lleno al 75% y en este Deducimos que es mayor en un 6.25% momento tiene 30.000 litros más que cuando estaba al 55% luego la ecuación quedaría así: 75%=30.000+55% El 55% pasa a restar. 75%-55%=30.000 20%=30.000 Con esto planteamos una regla de tres simple directa, teniendo en cuenta que estamos buscando el 100% litros

%

30.000

20

X

x

100

30000.100  150000 20

Ejemplo. Suponga que W es 25% mayor que X, X es menor 15% que Y, el porcentaje que W es mayor que Y es: Solución. Planteando las ecuaciones tenemos que: W=125%X X= 85%Y Ahora pasándolo a decimales se tiene que: W=1.25X X=0.85Y Podemos sustituir la segunda ecuación en la primera. W=1.25(0.85Y) Multiplicando los decimales. W=1.0625Y Se aprecia que W es mayor que Y, pasemos el decimal a porcentajes.

TALLER DE PORCENTAJES 1. Una impresora que hace 120 impresiones por minuto fue reemplazada por otra que hace 50% más impresiones por minuto. Si la nueva impresora debe hacer el mismo número de impresiones que la antigua impresora hacía en media hora, el tiempo en minutos que la nueva impresora va a gastar es: A. 15 B. 10 C. 30 D. 20 2. En una elección uno de los candidatos obtuvo el 65% de los votos y sacó 1500 votos más que el otro candidato. Entonces el número de votos fue: A. B. C. D.

4000 4500 5000 5500

3. Cuando un avión le falta el 35% de su combustible tiene 30.000 litros de combustible más que cuando estaba lleno al 45%, la capacidad del tanque es: A. 100.000 B. 150.000 C. 200.000 D. 250.000 4. Suponga que W es 10% mayor que X, X es el 20% mayor que Y, y Y es 25% menor que Z. el porcentaje que W es menor que Z es: A. 1% B. 1.5% C. 3% D. 5%

W=106.25%Y 61

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez que escoge la asistencia medica con Preguntas 5 a la 7 respecto al total de encuestados que eligen este último tema. Estrato 1 2 3 4 5 Total D. El porcentaje de encuestados del estrato 5 que escoge la seguridad con Tema relación al total de encuestados que Seguridad 10 8 7 15 20 60 elige este tema, es igual al porcentaje Empleo 25 20 10 5 10 70 de encuestados del estrato 3 que elige Corrupción 5 2 13 10 10 40 la asistencia medica con relación al Asistencia 10 10 10 0 0 30 total de encuestados que elige este médica último tema. Total 50 40 40 30 40 200 El cuadro presenta la información recogida en una encuesta realizada a 200 personas de los estratos 1 al 5 sobre el tema más importante entre los cuatro sometidos a su consideración. 5. De las afirmaciones siguientes, la única verdadera, es: A. El 35% de los encuestados escogió el empleo como tema principal. B. El 60% de los encuestados escogió la seguridad como tema principal. C. El 20% de los encuestados del estrato 2, con relación a los encuestados de ese estrato, escogió el empleo como tema principal. D. El 50% del total de la población encuestada corresponde al estrato 1. 6. De las afirmaciones siguientes, la única falsa es: (pista en todos debe hacer dos reglas de tres y compararlos) A. El porcentaje de encuestados del estrato 1 que escoge el empleo con relación al total de encuestados de ese estrato, es igual al del estrato 2 que escoge el mismo tema,con relación al total de encuestados del estrato 2. B. El porcentaje de encuestados del estrato 4 que escoge la seguridad con relación al total de encuestados de ese estrato, es igual al del estrato 5 que escoge el mismo tema, con relación al total de encuestados del estrato 5. C. El porcentaje de encuestados del estrato 1 que escoge la seguridad con respecto al total de encuestados que elige este tema, es igual al porcentaje de encuestados de este mismo estrato

30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%

7. En relación con la información presentada en el diagrama de barras anterior puede representar (pista:realiza las reglas de tres con porcentajes) A. El porcentaje de cada estrato que eligió el empleo con respecto al total de personas que eligió este tema. B. El porcentaje de personas que eligió cada tema, con respecto al total de la población encuestada. C. El porcentaje de cada estrato que eligió la seguridad con respecto al total de personas que eligió este tema. D. El porcentaje de personas de cada estrato que se recogió en la muestra total. 8. Un hombre desea comprar un carro que cuesta 31.000.000 de pesos pero solamente tiene 30.000.000 de pesos ahorados. Como se dio cuenta que el precio del carro va a permanecer igual durante los proximos meses, decidió guardar el dinero en un banco que le da el 2% mensual de lo que tenga ahorrado hasta completar la cantidad necesaria. Para que este hombre pueda comprar su carro, debe:

62

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez A. Esperar 2 meses y obtendrá 200.000 Pista: calcule primero los elaborados por pesos adicionales. Juan solo, despues cuanto tiempo se B. Esperar 2 meses y obtendrá mas de demoran para terminar si los dos empacan 200.000 adicionales. 5 pasabocas en un minuto. C. Esperar 3 meses y recibirá la cantidad exacta. RESPUESTAS AL TALLER ANTERIOR. D. Esperar 2 meses y recibirá la cantidad exacta. 1. D 9. Una persona que pesa 120kg, decide hacer una dieta. Esta persona sabe que el 40% de su masa total esta conformada por grasa. Si durante el primer mes de su dieta, esta persona pierde el 60% de grasa y mantiene los otros indices iguales, entonces al finalizar el primer mes ella pesa: A. 89.6kg B. 91.2kg C. 96kg D. 100kg 10. El 55% de un numero n es igual al 20% de 8250, el número n es: A. 3000 B. 4000 C. 5000 D. 6000 11. Una impresora XXX realiza 40% de más impresiones que la impresora YYY que realiza 1500 copias por hora, el tiempo que se demorá la impresora XXX para imprimir la misma cantidad de copias que hace la impresora YYY en hora y media es: A. Entre 63 y 64 minutos B. Entre 64 y 65 minutos C. Entre 65 y 66 minutos D. Entre 66 y 67 minutos. 12. Ana y Juan hicieron 400 pasabocas para una fiesta. Ana hacia 3 pasabocas por minuto y Juan 2 por minuto. Juan trabajó 25 minutos más que Ana. Los tiempos, en minutos, que trabajaron Ana y Juan respectivamente son: A. 70 y 95 B. 65 y 90 C. 60 y 85 D. 55 y 80

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

C B A A C D A B A B A

RAZÓN Una razón es una relación o comparación entre dos magnitudes generalmente se expresa como "a es a b" o

a lo interesante es que a pesar de b,

que conceptualmente una Razón no es un número fraccionario, cumple con todas las propiedades de los números fraccionarios, es decir, se suman, se restan, se multiplican y se dividen igual. Ejemplo. Juan tiene estampillas de argentina, colombia, y de brasil, el número de estampillas de brasil es a la de colombía como 5 es a 3, el número de estampillas de argentina es al de colombia como 5 es a 6, entonces la razón de estampillas de brasil y de argentina es: Solución. Escribiendo las respectivas razones se tiene que:

brasil 5  colombia 3 arg entina 5  colombia 6 63

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brasil ? arg entina No sabemos cuantas estampillas hay en total, tampoco cuantas estampillas tiene Brasil, Colombia o argentina, pero sabemos que por cada 3 de Colombia hay 5 de Brasil, además, por cada 3 de argentina hay tres de Colombia. Para resolver este tipo de problemas debemos colocar el producto de las fracciones de tal forma que nos quede la expresión que necesitamos brasil colo m brasil  bia *  colo m arg entina  bia arg entina

Luego la respuesta es 2/3 ó 2 es a 3 3. La cantidad destinada al arriendo es el 20% de 64 millones, luego simplemente multiplicamos las dos fracciones.

20 64.000.000 x  12`800.000 100 1 Ejemplo. Los puntos A, B, C y D se han colocado sobre una línea recta en ese orden, de forma que la razón del segmento AB y BC es 1/6 y la razón del segmento BC y CD es 1/2, luego la razón entre AB y AD es:

La primera fracción ya se tiene, la segunda se obtiene invirtiendo la segunda razón 5 6 brasil * 2 3 5 arg entina

Este dibujo nos ayuda hacernos una idea del problema, las razones quedarían así:

Ejemplo.

AB 1  BC 6 BC 1  CD 2

Un programa de gobierno destina 64 millones de pesos para ser distribuidos equitativamente entre un grupo de familias así: Categoría Porcentaje Alimentación 15 Arriendo 20 Recreación 8 Ahorros 12 servicios 55 1. La razón entre la cantidad destinada para alimentación y para ahorro es: 2. La razón entre la cantidad destinada para recreación y ahorros es: 3. La cantidad de dinero destinada al arriendo es: Solución. 1. Calculamos

el

fraccionario

A lim entación 15 5   ahorro 12 4 Luego la respuesta es 5/4 ó 5 es a 4.

de

Lo que piden es:

AB ? AD No hay forma que multiplicando las dos fracciones nos den la razón buscada, lo que debemos hacer es buscar el M.C.M. de BC, con el objeto de igualarlo, M.C.M. (6,1) es 6

AB 1x1 1   BC 6 x1 6 BC 1x6 6   CD 2 x6 12 Ya igualado los segmentos iguales, ubicamos estos números sobre los segmentos.

Re creación 8 2   2. ahorro 12 3 64

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 3. La razón entre la cantidad destinada para Luego hallamos el segmento que no alimentación y para ahorro es: conocíamos que es AD=1+6+12=19, luego lo A. 3 a 4 reemplazamos en la razón solicitada. B. 3 a 7 C. 7 a 3 AB 1  D. 4 a 3 AD 19 4. La razón entre la cantidad destinada para recreación y ahorros es: A. 3/1 TALLER DE RAZONES B. 1/3 C. 1/5 1. En un estanque experimental se han D. 5/3 sembrado dos especies de peces designadas como A y B respectivamente. Al cabo exactamente de un año se ha hecho un censo de ambas especies y se encontró que mientras la población de A se incrementó en el 20%, la población de B disminuyó en el 10% y el número de peces de ambas especies resultó al final igual.Entonces la razón entre las poblaciones iniciales de la especie A, con relacion a la especie B es: A. 1/2 B. 3/4 C. 5/6 D. 8/9 2. Juan tiene estampillas de argentina, colombia, y de brasil, el número de estampillas de brasil es a la de colombía como 5 es a 4, el número de estampillas de colombia es al de Argentina como 8 es a 11, entonces la razón de estampillas de brasil y de argentina es: A. 5/4 B. 5/11 C. 10/11 D. 8/11

5. La cantidad de recreación es: A. 840.000 B. 940.000 C. 10.000.000 D. 2100.000

dinero

destinada

a

6. Los puntos A,B,C y D se han colocado sobre una línea recta en ese orden, de forma que la razón del segmento AB y BC es 1/2 y la razón del segmento BC y CD es 8/5, luego la razón entre AB y BD es: A. 4/13 B. 3/8 C. 2/5 D. 2/7 7. La figura mostrada se ha construido uniendo 7 cubos unitarios, la razón del volumen en unidades cubicas a al área superficial en unidades cuadradas de esta figura es:

Preguntas 3 a la 5. Un programa de gobierno destina 42 millones de pesos para ser distribuidos equitativamente entre un grupo de familias así: Categoría Porcentaje Alimentación 20 Arriendo 18 Recreación 5 Ahorros 15 servicios 42

A. 1/6 B. 7/30 C. 7/36 D. 1/5 8. Después de que un deportista ha recorrido los 2/3 de su ruta en bicicleta, ésta sufre una falla y recorre el resto caminando. En el recorrido a pie invierte el doble del tiempo que empleo en su trayecto en bicicleta. Si su velocidad en bicicleta y su velocidad al caminar son constantes, 65

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez entonces la razón entre la velocidad en la 14. La razón de CD y AB es: bicicleta y la velocidad caminando es: A. 5 a 16 A. 2 B. 7 a17 B. 3 C. 16 a 5 C. 4 D. 17 a 8 D. 6 15. Si BC mide 350, entonces AD mide: A. 800 Preguntas 9 a la 11 B. 600 Una receta de las famosas galletas de C. 1400 mantequilla dice que los ingredientes son: D. 1000 16. Se prepara una mezcla con 5 litros de Mantequilla: 125 gramos pintura roja, 2 de pintura azul y 6 de Azúcar: 50 gramos pintura amarilla. La proporción de pintura Harina: 170 gramos roja en la mezcla obtenida es: A. 5/8 9. La razón de mantequilla y azúcar es: B. 5/13 A. 5 es a 3 C. 8/5 B. 4 es a 3 D. 13/5 C. 5 es a 2. RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER. D. 4 es a 3 1. B 10. La razón de harina y mantequilla es: 2. C A. 34 es a 25 3. D B. 24 es a 22 4. B C. 45 es a 17 5. D D. 14 es a 15 6. A 11. La razón de la azúcar al total de la mezcla 7. B es: 8. C A. 11 es a 70 9. C B. 10 es a 69 10. A C. 5 es a 69 11. B D. 10 es a 13 12. B 12. Se tiene 500 litros de una solución de agua 13. D y alcohol, la razón entre el agua y el 14. C alcohol es 9/11, la cantidad de alcohol es: 15. C A. 225 16. B B. 275 RAZONES DE TIEMPO. C. 325 D. 400 Son situaciones problema en las cuales la 13. Se tiene 500 litros de una solución de agua variable solo es el tiempo. y alcohol, la razón entre el agua y el alcohol es 2/3, la razón de agua y solución La formula para resolver este tipo de es: problemas es: A. 200 1 1 1 1 B. 3/2   ...   T1 T 2 Tn Tt C. 3/5 Que se puede interpretar como, uno sobre el D. 2/5 primer tiempo mas uno sobre el segundo Preguntas 14 y 15. Los puntos A, B, C y D se han colocado sobre tempo, así sucesivamente hasta el último es una línea recta en ese orden, de forma que la igual a uno sobre el tiempo total. razón del segmento AB y BC es 5/7 y la razón Ejemplo. del segmento BC y CD es 7/16. 66

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez empacar la misma cantidad de zapatos, Federico pinta una casa en 5 días y Andrés entonces se demoran en empacarlos. pinta la misma casa en 3 días, ahora, si los dos A. 10/7 trabajan juntos, ¿Cuánto tiempo se demoran en B. 7/10 pintar la casa? C. 1/10 D. 1/7 1 1 1   3. Juan se demora para pintar una casa 8 días, 5 3 Tt y cuando Felipe le ayuda los dos juntos se Sumando las fracciones se tiene que: demoran 4 días. Si Felipe pinta solo la 8 1 casa el número de días que se demora es:  15 Tt A. 8 B. 9 Luego el tiempo total es C. 4 15  1.87dias D. 5 8 4. Juan se demora para pintar una casa 10 Ejemplo. días, y cuando Felipe le ayuda los dos juntos se demoran 10/3 días. Si Felipe Juan y Carlos juntos realizan un trabajo en 18/5 pinta solo la casa el número de días que se de días y Juan sólo se demora 6 días, cuantos demora es: días se demora Carlos en hacer sólo el trabajo. A. 8 B. 7 Reemplazamos esto en la formula. C. 6 1 1 5 D. 5   5. Una manguera llena una piscina en 6 horas 6 Carlos 18 y la otra manguera llena la misma piscina Pasamos un sexto a restar. en 5 horas, si las dos mangueras trabajan 1 5 1 juntas, en cuanto tiempo llenan la piscina.   Carlos 18 6 A. 30/12 Restando las fracciones se tiene que: B. 30/11 1 2 C. 15/8  D. 15/7 Carlos 18 Simplificando la fracción se tiene 6. Juan para empacar cierta cantidad de que: zapatos se demora 4 días y Andrés se 1 1 demora 5 días, si Andrés le ayuda a Juan a  Carlos 9 empacar la misma cantidad de zapatos, Entonces Carlos se demora 9 días. entonces se demoran en empacarlos. A. 20/9 B. 9/20 TALLER DE RAZONES DE TIEMPO C. 20/11 1. Una manguera llena una piscina en 4 horas D. 7/5 y la otra manguera llena la misma piscina en 2 horas, si las dos mangueras trabajan juntas, en cuanto tiempo llenan la piscina. A. 3/4 hora B. 4/3 horas C. 1/4 hora D. 1/3 hora. 2. Juan para empacar cierta cantidad de zapatos se demora 2 días y Andrés se demora 5 días, si Andrés le ayuda a Juan a

RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

B A A D B A

67

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez

ANÁLISIS ESTADÍSTICO. Aquí veremos los ejercicios que evalúa la universidad de Antioquia, que en esencia son tres: promedios, interpretación de tablas o graficas estadísticas y análisis de experimentos, es fundamental que estés muy bien en porcentajes, regla de tres y Razones que son muy utilizados en este capitulo, sino, sería muy bueno que repases esos temas antes de iniciar el estudio de éste capitulo. Estudia con mucho esfuerzo y dedicación, recuerda que la perseverancia alcanza lo que la dicha no logra.

68

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez PROMEDIO Para que alguno tenga la edad mínima se necesita que sus otros compañeros tengan la Es una medida de tendencia central que edad máxima. En este caso la edad máxima es consiste en reemplazar todos los n datos por un 24 solo dato de tal forma, que la suma de ese dato 24  24  24  24  24  f n veces sea igual a la suma de los datos  22 6 originales. Ejemplo.

120  f  22 6

¿Cúal el es el promedio de 2, 3 4?

Despejando la f se tiene que

La respuesta es 3, ya que tres veces 3 es nueve, que es exactamente lo mismo que 2+3+4=9

120  f  22 x6  132 f  132  120  12

CÓMO HALLAR EL PROMEDIO.

Luego la respuesta es 12 años

El promedio se puede hallar con esta formula.

Ejemplo.

promedio 

 datos cantidad _ de _ datos

Aquí expresa que el promedio es el cociente entre la suma de los datos y la cantidad de datos.

Un grupo de aspirantes a un cargo manifiestan entre ellos sus edades, arrojando un promedio de 35 años. Al revisar sus edades verdaderas se encuentra que la suma real es mayor en 15 años que lo manifestado y al calcular nuevamente el promedio este es igual a 40 años. Entonces el número de aspirantes es: El primer promedio es:

En nuestro ejemplo anterior el promedio se puede hallar así:

promedio 

23 4 3 3

x  35 n No conocemos la suma de las edades (x), ni conocemos la cantidad de estudiantes (n) El segundo promedio

Ejemplo. El promedio de edad de 6 amigos es 22 años y ninguno de ellos es mayor de 24 años. La edad mínima que puede tener alguno de los integrantes de este grupo es:

x  15  40 n

Aplicando la propiedad distributiva a este segundo promedio se tiene que: x 15   40 n n

Solución. Partimos de la definición de promedio.

promedio 

abcd e f  22 6

Pero, el primer fraccionario es el primer promedio.

69

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Teniendo en cuenta el ejemplo anterior calcule 15 35   40 la proporción de notas que son a lo sumo 3.

n

Solución.

Despejando la n se tiene que:

Proporción se puede asumir como una razón.

15  40  35  5 n 15 5 n 15  5n 15 3n 5

A lo sumo 3 serían 1, 2, 3 y 3 son cuatro de 5, luego la respuesta es: 4/5

TALLER DE PROMEDIOS.

Luego la respuesta es 3 personas. DESIGUALDADES A TENER EN CUENTA En este tema existen dos desigualdades importantes. A lo sumo n y mínimo n

2. Un grupo de aspirantes a un cargo manifiestan entre ellos sus edades, arrojando un promedio de 27 años. Al revisar sus edades verdaderas se encuentra que la suma real es mayor en 12 años que lo manifestado y al calcular nuevamente el promedio este es igual a 30 años. Entonces el número de aspirantes es:

A lo sumo n Significa X  n Mínimo n Significa X  n Ejemplo. Las notas de Juan en Razonamiento lógico son:

un

curso

de

3, 1, 4, 3, 2 El porcentaje de notas mínimas de 2 es: Las notas que son mínimo 2 son: 2,3, 3 y 4 al aplicar una regla de tres simple directa, tomando a 5 notas como el 100% y buscando cuanto equivale 4 de 5 en porcentaje encontramos que es el 80% Ejemplo.

1. El promedio de edad de 5 amigos es 20 años y ninguno de ellos es mayor de 22 años. La edad mínima que puede tener alguno de los integrantes de este grupo es: A. 10 B. 12 C. 16 D. 20

A. B. C. D.

3 4 5 6

3. En un edificio de 20 pisos las labores de aseo se realizan por piso de la siguiente forma: para los pisos 1, 2 y 3 el tiempo requerido es de 1, 2 y 3 horas respectivamente; para los pisos de 4 en adelante el tiempo requerido es el promedio de todos los pisos anteriores. El tiempo requerido para realizar las labores de aseo del piso 17 es: A. 3 horas B. 6 horas C. 2 horas D. 17 horas 70

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez A. 3 Preguntas 4 a la 11 B. 3.25 C. 4.25 Biologí físic sociale Economí D. 4 a a s ay Política 9. El porcentaje de estudiante que aprobó A 3 2 2 5 biología. B 2 2 4 4 A. 25% C 5 1 4 3 B. 50% D 2 3 3 1 C. 75% El anterior cuadro muestra las notas de D. 100% cuatro estudiantes: A, B, C, y D, en cuatro asignaturas; Biología, física, 10. La proporción de notas mínima de 3 para el sociales, economía y Política, el área de estudiante C es: ciencias Naturales está conformada por A. 1/4 Biología y Física, el área de Ciencias B. 2/4 sociales esta conformada por Sociales y C. 3/4 economía y política. Las notas son de cero D. 1 a cinco, se aprueba con una nota mínima de 3. 11. El porcentaje de notas que a lo sumo son 3 para el estudiante B es. 4. El estudiante con el mayor promedio de A. 0% nota en las cuatro asignaturas es. B. 25% A. A C. 75% B. B D. 50% C. C D. D 12. Un grupo de aspirantes a un cargo manifiestan entre ellos sus edades, 5. El estudiante con el mayor promedio en el arrojando un promedio de 25 años. Al área de ciencias naturales es: revisar sus edades verdaderas se encuentra A. A que la suma real es mayor en 10 años que B. B lo manifestado y al calcular nuevamente el C. C promedio este es igual a 27 años. Entonces D. D el número de aspirantes es: A. 5 6. El estudiante con el menor promedio en el B. 6 área de ciencias sociales es: C. 7 A. A D. 8 B. B 13. El promedio de edad de 4 amigos es 19 C. C años y ninguno de ellos es mayor de 23 D. D años. La edad mínima que puede tener alguno de los integrantes de este grupo es: 7. La proporción (Razón) de estudiantes que A. 6 aprobaron física es: B. 7 A. 1/4 C. 8 B. 1/2 D. 9 C. 3/4 D. 2/3 RESPUESTAS AL ANTERIOR 8. El promedio de la nota de economía y TALLER política es: 1. B 71

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 2. B  El tiempo mínimo necesario para la 3. C preparación del avión es: 4. C A. 47' 5. C B. 52' 6. D C. 55' 7. A D. 102' 8. B  Si se reduce el tiempo de descarga de 9. B pasajeros (A) a 7', entonces el tiempo de 10. C preparación del avión se reduce en: 11. D A. 6' 12. A B. 5' 13. B C. 4' D. 3' Análisis de gráficas  En las mismas condiciones iníciales, si el tiempo para cargar mercancías se En el examen de admisión te pueden incrementa en 5', entonces el tiempo de presentar un diagrama de barras, diagrama preparación del avión, poligonal, diagrama circular o una tabla A. Se incrementa en 5' con información y a partir de ellas te hacen B. Se incrementa en 4' preguntas. C. Se incrementa en 3’ D. No se modifica. Ejemplo. Tarea A

descripción

Tiempo (minutos) 13

Descargar pasajeros B Descargar 25 mercancías C Limpiar 15 cabina D Cargar 22 nuevas mercancías E Cargar 27 nuevos pasajeros En el grafico se ilustra el tiempo necesario para cada tarea y los requerimientos de orden establecidos, así: Las tareas A yB pueden ser realizadas simultáneamente, la tarea C puede comenzar una vez se finalice la A, la tarea D puede iniciarse cuando finalice la tarea B y la tarea E puede realizarse en cuanto finalicen las tareas B y C.

Solución 

Como las tareas A y C se pueden hacer simultáneamente podemos dibujarlo así:

Donde los números internos es el tiempo en que se terminan las tareas. Como c se inicia inmediatamente termine la tarea A, se queda así:

72

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Como la tarea C se demora 15 minutos Luego la respuesta de la primera pregunta entonces termina a los 28 minutos, los 13 es la C. minutos de la tarea A y los 15 del C.  La tarea A se reduce a 7 minutos, lo que debemos hacer es otra vez el mismo diagrama desde el comienzo.

Como la tarea D inicia finalizada la tarea B quedaría así:

La tarea C inicia al terminar la tarea A.

La tarea se inicia cuando termina la tarea B La tarea D se demora 22 minutos, por tanto termina a los 47, los 22 de la D más los 25 de la B. La tarea E se inicia cuando termina la tarea B y C, aquí hay una diferencia con respecto al punto anterior, ya que aquí termina de últimas la tarea B, por lo tanto la tarea E se inicia terminada la tarea B y termina a los 52 minutos; los 25 minutos de la tarea B mas los 27 minutos que se demora la tarea E.

Como la tarea inicia E cuando terminen las dos tareas C y B debe iniciarse cuando termine la última, en este caso se inicia después de terminar la C (Nota: si el enunciado dijera “la tarea E pude realizarse en cuanto finalicen las tareas B o C. la tarea inicia con la primera que termine)



Ahora, la respuesta es la D, se modifico en 3 minutos. La tarea D se modifica, ahora se demora 27, lo que tenemos que hacer es el diagrama desde el comienzo.

La tarea E termina a los 55 segundos, los 28 a los que termina la C y los 27 segundos que se demora la E. C se inicia después de terminada la tarea A.

73

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez La tarea D se inicia después de terminada de alumnos que obtuvo la nota máxima la tarea B, pero ahora se debe tener en posible (5). cuenta que la tarea D se demora 27  De las afirmaciones siguientes, la única minutos por tanto termina a los 52 minutos. verdadera es: A. La nota más baja obtenida por los estudiantes es 3 B. El 20% de los estudiantes obtuvo una nota de 2 C. El 20% de los estudiantes obtuvo una nota La tarea E se inicia cuando termine la tarea de 3 B y C, por tanto inicia cuando termine la D. El 50% de los estudiantes aprobó el curso. última (c), la tarea E termina a los 55  La nota promedio de los estudiantes que minutos. aprobaron es:

Podemos darnos cuenta que el avión se sigue demorando 55 minutos, por tanto la respuesta es la D

A. 4,0 B. 3,66 C. 3,0 D. 2,33 Solución. 

Ejemplo 25



20 15

estudiante s

10 5 0 uno

dos



A. B. C. D.

De las siguientes afirmaciones, la única falsa es: El número total de alumnos relacionados en el diagrama es 20. El 40% de los alumnos reprobó el curso. Más de la mitad del grupo tiene nota aprobatoria. El porcentaje de alumnos que obtuvo la nota mínima posible (1) es igual porcentaje

porcentajes

50

100

10

x

10.100 X  20% 50

tres cuatro cinco

Un curso por un grupo de estudiantes, donde la nota mínima aprobatoria es 3 en una calificación de 1 a 5. 

La falsa es la A, ya que hay 50 estudiantes y no 40, 20 sacan una nota de dos, 10 sacan una nota de tres, y 20 sacan una nota de tres. La verdadera es la C, si haces una regla de tres simple con porcentajes tienes que:

Debemos hallar el promedio, debemos tener en cuenta que hay 10 tres y 20 cuatros, (son los que aprueban) y 30 personas.

X

10.3  20.4 30  80 110    3.66 30 30 30

Por tanto la respuesta es la B.

TALLER DE GRAFICAS.

74

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 1. En una fabrica de baldosas hacen una promoción con los siguientes descuentos:

Cantidad

Descuento

Menos de 20m2

1/5 del valor real

Entre 20m2 y 40 2/5 del valor real m2 (inclusive) Más de 40m2

3/5 del valor real.

De las siguientes afirmaciones la única verdadera es: A. Una persona que compra 16 m2 paga más que una persona que compra 21 m2 B. Una persona que compra 50 m2 paga el 60% del valor real C. Quien compra menos siempre paga menos D. Quien compre 35 m2 paga el 40% de lo que pagaría si no hay promoción 2. Dado que: P: valor pagado C: numero de m2 comprados X: valor del m2 en precio normal La expresión que permite calcular el valor pagado por unapersona que compra más de 40 m2 es: A. P=3/5CX B. P=3/5C(X-40) C. P=2/5CX D. P=2/5(C-40)X 3. El gráfico que mejor representa la situación anterior es:

Tarea A B

C D E

Tiempo en minutos Salida del público 15 Desmonte de la 40 exhibición que finaliza Limpieza de la 70 sala Montaje de la 80 nueva exhibición Fijación de 30 pancartas promocionales en la sala

El cuadro anterior muestra las tareas que deben realizarse yel tiempo empleado en cada una de ellas en una sala deexhibición para cambiar de una exhibición a otra. · Las tareas B y C pueden realizarse simultáneamente einmediatamente después de terminar A. · La tarea D puede ejecutarse una vez concluida la tarea B. · La tarea E se puede realizar cuando finalice la tarea C. 4. El tiempo mínimo que se requiere para reabrir la sala es: A. 235’ B. 150’ C. 135’ D. 115’ 5. Si el tiempo necesario para D se disminuye en 25’,entonces el tiempo mínimo necesario para reabrir la sala: A. se disminuye en 25’ B. se disminuye en 20’ C. se disminuye en 5’ D. no se modifica 75

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez B. El 35% de la población encuestada 6. Si se disminuye en 15’ el tiempo requerido considera que el problema más para la ejecución de la tarea E manteniendo importante es la corrupción. fijos los demás tiempos, entonces el tiempo C. El 35% dela población encuestada mínimo necesario parareabrir la sala: considera que el problema más A. no se modifica importante es el conflicto armado. B. se disminuye en 15’ D. El porcentaje, relativo a los hombres, C. se disminuye en 10’ que eligieron el desempleo, es igual al D. se disminuye en 5’ porcentaje, relativo a las mujeres, que seleccionaron el conflicto armado. Preguntas 7 a la 9. Población hombres Mujeres Total Temas Conflicto 10 60 70 Armado Corrupción 20 15 35 Desempleo 40 42 80 Seguridad 10 5 15 social Total 80 120 200 El cuadro muestra los resultados obtenidos en una encuestaaplicada a 200 personas, sobre la mayor importancia asignadaa uno, entre cuatro problemas que aquejan al país, y sometidos a su consideración. 7. De las afirmaciones siguientes, la única verdadera es: A. El porcentaje de los hombres y el porcentaje de las mujeres, referido a su respectivo sexo, que consideran, que el problema más importante es el desempleo, es igual. B. El 10% de los hombres considera que el problema más importante es el conflicto armado. C. El 50% de las mujeres considera que el problema más importante es el conflicto armado. D. El 15% del total de la población encuestada, considera que el problema más importante es el de la seguridad social. 8. De las afirmaciones siguientes, la única falsa es: A. El 40% de la población encuestada considera que el problema más importante es el desempleo.

9. Con relación a la información suministrada en el cuadro, la gráfica anterior representa, frente a cada tema, losporcentajes correspondientes a: A. La respuesta de los hombres con respecto a la población total. B. La respuesta de las mujeres con respecto a la población total. C. La respuesta de las mujeres con respecto al total de las mujeres. D. La respuesta de la población total.

10. De las siguientes opciones la que mejor describe la situación que puede representarse en la gráfica anterior es: A. La cantidad de galones que permanece en un tanque, que empieza a vaciarse durante un tiempo, se suspende el vaciado por un tiempo determinado y luego se continúa con el vaciado. B. La distancia cubierta por un caminante que sube a una colina, luego se desplaza por un terreno llano y luego sube otra colina. 76

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez C. El volumen del líquido en un tanque De las siguientes afirmaciones la que puede que se llena a velocidad constante y un estar representada mediante la gráfica es: tiempo después de llenarse, vuelve a vaciarse a velocidad constante. A. Alicia estaba a 6 m del árbol y camino hacia D. La distancia cubierta por un móvil que elencontrándolo después de 30 segundos. se desplaza a velocidad constante y que B. Alicia estaba a 6 m del árbol y se alejo de él luego de detenerse por un tiempo parandocuando la distancia que la separaba era reinicia su movimiento a la misma de 30 m velocidad. C. Alicia estaba a 30 m del árbol y camino hacia él a una velocidad de 6 metros por segundo. D. Alicia estaba a 30 m del árbol y camino hacia él encontrándolo al cabo de 6 segundos.

13. El gráfico anterior puede representar: El gráfico muestra el recorrido seguido por dos vehículos A y B que parten del mismo lugar. El vehículo A salió a las 6:00 am y el B a las 8:00 am. 11. De acuerdo con el gráfico la única afirmación falsa es: A. El vehículo B es más veloz que A. B. Los vehículos A y B se encontraron a las 9:00 am. C. El vehículo A hizo un recorrido mayor que el B D. A las 9:00 am. el vehículo A había recorrido la mismadistancia que el B.

A. La distancia cubierta por dos vehículos que partes al mismo tiempo en direcciones opuestas. B. La distancia recorrida en el tiempo t1 por un ciclista en una pista circular durante una vuelta completa. C. La distancia total y el tiempo empleado por un vehículo que desciende de una colina y sube a otra colina a la misma altura de la primera. D. La variación en el nivel del agua, con respecto al tiempo, de un tanque que estando lleno se vacía, e inmediatamente inicia su llenado y vuelve al nivel inicial, siendo iguales la velocidad de vaciado y de llenado. Preguntas 14 y 15.

12. En la siguiente gráfica, el tiempo se mide en segundos y la distancia en metros. La gráfica muestra la distancia a la cual se encuentra Alicia de un árbol como una función del tiempo.

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez En los gráficos se representa la distancia que 17. Si se espera que entre 2010 y 2020 el separa a María de un barco anclado en el incremento poblacional sea igual al puerto, en un tiempo dado. ocurrido entre 1970 y 1980, entonces la población esperada en el 2020 es: 14. El gráfico que mejor ilustra la afirmación: A. 62.5 “María permaneció parada en silencio B. 65 observando el barco anclado en el puerto” C. 67.5 es: D. 70 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 15. El gráfico que mejor representa la afirmación: “María caminó con paso constante hasta el barco anclado en el puerto”, es: A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 Preguntas 16 y 17.

RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

A C A C B A C B C D C D D B B C D

EXPERIMENTOS.

16. De la grafica se puede concluir que: A. La población en el 2040 será 75 millones. B. El incremento de la población entre 1920 y 1940 es el mismo que entre 1980 y 2000 C. El Mayor incremento poblacional se dio entre los años 1960 y 1980 D. Entre los años 1940 y 1980 la población se duplicó.

Hay dos tipos de experimentos que son evaluados en el examen de admisión, el primero consiste en evaluar la eficiencia de un elemento de un conjunto y el segundo evaluar la eficacia de dos elementos que tienen la misma utilidad. Ejemplo. A continuación se ilustra el primer tipo de experimento. Una escudería de competencias en la formula Cart, disponede 6 vehículos V1, V2, V3, V4,

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez V5 y V6, con las características que se indican Como queremos conocer la eficiencia de los así: chasis, debemos escoger tres vehículos que tengan diferente chasis, pero todo lo demás Tres tipos de motores: Toyota, Ford y Honda; tiene que ser igual. tres tipos de chasis designados por A1, A2 y A3; y dos tipos de llantas designados por C1 y Compare los carros V2, V4 y V5, tienen el C2 respectivamente. El símbolo X en la casilla mismo motor, (Ford) y las mismas llantas C1. indica la característica particular que posee el Pero cada uno tiene un chasis diferente. vehículo, en cada una de las tres componentes. Por tanto la respuesta es la C.  __ ccccVehículos

características Toyot a Motor Ford

V 1

V 2

A2 A3 C1

Llanta s

C2

V 4

V 5

X

V 6

X X

Hond a A1 Chasis

V 3

X

X

X

Solución X X X

X X X

X

X X

X

X

Debemos escoger dos vehículos que difieran en las llantas, pero que tenga el mismo motor, y el mismo chasis, los vehículos son V1 y V6, ya que tienen el mismo motor Toyota, chasis A2 y difieren en las llantas.

X 



A. B. C. D.

Si se quiere conocer exactamente el comportamiento en cuanto a la estabilidad ofrecida por el tipo de llantas empleadas, entonces los vehículos que deben someterse a prueba son: A. V1 y V6 B. V3 y V6 C. V2 y V4 D. V5 y V6

Si se quiere conocer exactamente el comportamiento, en los vehículos, de los chasis empleados, entonces los vehículos que deben someterse a prueba son: V1, V2 y V4 V2, V3 y V4 V2, V4 y V5 V2, V4 y V6

Si se quiere conocer exactamente el comportamiento en cuanto a la fuerza ofrecida por el tipo de motor empleado, entonces los vehículos que deben someterse a prueba son: A. V1, V2,V5 B. V1,V2,V6 C. V2,V3,V5 D. V2,V3,V6

Solución.

Solución

Antes de resolver el punto entendamos lo que nos están diciendo.

Lo que debemos hacer es buscar tres carros que tengan diferente motor, pero tenga el mismo el chasis y las mismas llantas. Los carros son V1, V3 y V5, tienen diferente motor, pero los chasis son iguales (A2) y las llantas son iguales (C1), luego la respuesta es la A.

El vehículo V1 tiene motor Toyota, chasis A2 y llantas C1.

79

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez A. S1 Y S2  Cuantos autos diferentes se pueden B. S2 Y S3 construir con los motores, chasis y llantas C. S2 Y S6 mostradas en la grafica si consideramos D. S3 Y S4 que dos autos son diferentes si tienen el menos un elemento diferente. Solución. A. 16 B. 18 Como el objetivo es determinar la C. 20 efectividad de H1, necesitamos dos sopas D. 22 que no contengan H2 y además debe haber diferentes valores de H1. ya que si hay H2 y muere un hongo no se tiene certeza de que este haya muerto por H1 o H2, luego la respuesta es la C.

Solución. Lo que debemos hacer es multiplicar la cantidad de motores, por la cantidad de chasis, por la cantidad de llantas.



3x3x2=18 Luego la respuesta es la B. Ejemplo. Aquí se ilustra el segundo tipo de experimento. Sopas

S1

S2

S3

S4

S5

S6

preservativos H1 5 5 3 0 0 3 H2 8 0 3 7 11 0 M 2 1 4 3 6 7 Una empresa que fabrica sopas en polvo, esta adelantando experimentos sobre la conservación de sus productos, tiene seis diferentes tipos de sopas; S1, S2,…, S6, cada una de ellas contiene tres tipos de preservativos; H1, H2 y M, H1 y H2 actúa contra los hongos, mientras M actúa contra la rápida ganancia de húmedad que pueda tener las sopas, la anterior tabla muestra la cantidad de miligramos que tiene de cada preservativo. 

Se adelanta un experimento que busca determinar la efectividad de H1 en el control de los hongos, en éste caso las sopas que se deben someter al experimento son.

Se adelanta un experimento que busca determinar la efectividad de H2 en el control de los hongos, en éste caso las sopas que se deben someter al experimento son. A. S1 Y S2 B. S2 Y S3 C. S4 Y S5 D. S5 Y S6 Solución. Se debe escoger dos sopas que no contenga H1 y que tengan diferentes cantidades de H2. Por tanto la respuesta es la C.



La sopa que presenta menor proporción del preservativo M es: A. B. C. D.

S1 S2 S3 S4

Solución. Esta pregunta no la podemos confundir con, ¿cual tiene menor cantidad del preservativo M? ya que no es lo mismo, lo que tenemos que hacer es obtener las razones de M con respecto al total y determinar cual es la fracción menor. 80

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Colocando las razones de las sopas S1, S2, Aislantes 1 S3, Y S4 tenemos que: A X 2 2 1 4 3 A X 15 , 6 , 10 , 10 3 P1 X X X Lo que tenemos que hacer es homogenizar Puertas las fracciones, para eso buscamos el P2 X X X mínimo común múltiplo de 15, 6 y 10 el 1. Se desea probar la eficacia de los aislantes cual es 60 en las neveras, por tanto las neveras que se deben someter al experimento son: 2 x4 8  A. N1, N4, N6 15 x 4 60 1x10 10 B. N3,N4,N5  6 x10 60 C. N1,N3,N4 4 x6 24  D. N1,N2,N6 10 x6 60 3x6 18 2. Se desea hacer un experimento que pruebe  10 x6 60 la eficacia de las puertas, las neveras que se Teniendo las fracciones homogenizadas deben someter al experimento son: escogemos la del numerador menor, esto A. N1 Y N2 B. N2 Y N4 conlleva a decir que la respuesta es la A. C. N3 Y N6 TALLER DE EXPERIMENTOS. D. N1 Y N6 Preguntas 1 a la 4 Una empresa fabrica neveras N1, N2, N3, N4, N5 y N6, con las características que se indican así: Tres tipos de refrigerantes: R1, R2 Y R3; tres tipos de aislantes designados por A1, A2 y A3 y dos tipos de puertas P1 Y P1, la conformación de cada nevera se describe a continuación donde X indica la presencia del elemento. N N N N N N ____Neveras 1 2 3 4 5 6

características R 1 Refrigeran R te 2 R 3 A

X

X

X

X X

X

4. El número de neveras diferentes que se pueden armar con las características descritas en la tabla, si consideramos que dos neveras son diferentes si al menos tienen un elemento distinto. Es: A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 Sopas

X X

3. Se desea hacer un experimento que mida la eficacia de los refrigerantes, las Neveras que se deben someter al experimento son: A. N2, N5, N6 B. N2,N4,N6 C. N3,N4,N5 D. N3,N4,N6

X

X

S1

S2

S3

S4

S5

S6

preservativos 81

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez control de los hongos, en éste caso las H1 4 0 3 4 0 3 H2 7 9 0 7 10 0 sopas que se deben someter al experimento M 1 1 4 3 4 7 son: Una empresa que fabrica sopas en polvo esta A. S1 Y S2 adelantando experimentos sobre la B. S2 Y S5 conservación de sus productos, tiene seis C. S4 Y S5 diferentes tipos de sopas; S1, S2,…, S6, cada D. S5 Y S6 una de ellas contiene tres tipos de preservativos; H1, H2 y M, H1 y H2 actúa 7. La sopa que presenta menor proporción del contra los hongos, mientras M actúa contra la preservativo M es: rápida ganancia de húmedad que pueda tener A. S1 las sopas, la anterior tabla muestra la cantidad B. S2 de miligramos que tiene cada preservativo. C. S3 5. Se adelanta un experimento que busca determinar la efectividad de H1 en el control de los hongos, en éste caso las sopas que se deben someter al experimento son. A. S1 Y S2 B. S2 Y S3 C. S3 Y S6 D. S3 Y S4 6. Se adelanta un experimento que busca determinar la efectividad de H2 en el

D. S4 RESPUESTAS DEL ANTERIOR TALLER. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

C D A B C B A

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DIAGRAMAS LÓGICOS

En este capitulo encontrarás ejercicios de la representación gráfica de los conjuntos, primero, hallarás zonas sombreadas; son ejercicios que dada una zona sombreada, debes determinar que elementos pertenecen a esta zona o viceversa, te dan las características de un subconjunto y debes hallar la zona sombreada que representa este subconjunto. Segundo, diagramas de venn; son situaciones problema con las ecuaciones de Venn para dos conjuntos y tres conjuntos no disyuntos. Por último, gráficas de conjuntos que tienen subconjuntos disyuntos este último es de gran importancia y es muy frecuente en los exámenes de admisión. Para abarcar este capitulo debes tener un buen manejo de los porcentajes, ¡éxitos!

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Se tiene un conjunto conformado por hombres ZONAS SOMBREADAS. (H) y mujeres (M), de los cuales algunos son rubios (R) y algunos son de ojos Azules (A), el Todos los conjuntos se pueden representar siguiente gráfico representa dicho conjunto. gráficamente, por ejemplo:

El siguiente grafico representa a: En el anterior grafico se ilustra un conjunto universal U y tres subconjuntos A, B y C y en ellos se pueden apreciar 6 zonas interesantes.

Solución.

En la zona 1 están los elementos que no pertenecen a los tres subconjuntos. En la zona 2 están los elementos que solo le pertenecen al subconjunto A, es de aclarar que los elementos que están en las zonas 2, 3 y 5 son elementos que le pertenecen al conjunto A. En la zona 3 están los elementos que le pertenecen a los conjuntos A y B. En la zona 4 están los elementos que solo le pertenecen al conjunto B.

Podemos apreciar que la zona sombreada corresponde a los hombres que son rubios o son de ojos azules, un error frecuente es que se diga que esta zona sombreada sea hombres rubios y de ojos, recuerde que la “y” significa que todos los elementos cumplen las dos propiedades y en la zona sombreada hay hombres que son rubios y no tienen los ojos claros. Ejemplo. Se tiene un conjunto universal U: conformado por habitantes de Medellín, A: estudiantes de la universidad de Antioquia. N: estudiantes de la universidad Nacional, I estudiantes del ITM.

En la zona 5 están los elementos que le pertenecen al conjunto A y C.

Determina cual de las zonas representa al subconjunto de los “estudiantes de la universidad de Antioquia y del ITM, pero que no son estudiantes de la universidad Nacional.

En la zona 6 están los elementos que sólo le pertenecen al conjunto C.

Solución.

Ejemplo.

Un gráfico que muestre a los habitantes de Medellín, y los estudiantes es: 84

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B.

Estamos buscando los estudiantes que son de la universidad de Antioquia y del ITM, pero no sea de la universidad Nacional, como hay una proposición compuesta unida con Y, estamos buscando elementos que cumplan con las tres proposiciones. Por ende la zona es:

C.

D. 2. El siguiente grafico representa:

TALLER DE ZONAS SOMBREADAS Preguntas 1 a la 4 Se tiene un conjunto conformado por hombres (H) y mujeres (M), de los cuales algunos son rubios (R) y algunos son de ojos Azules (A), el siguiente gráfico representa dicho conjunto.

A. El conjunto de los Hombres. B. Hombres que son rubios o son de ojos azules C. Hombres que no son rubios y no son de ojos azules. D. Hombres que no son rubios o no son de ojos azules. 3. Siguiente grafico representa:

1. Determine cual de las siguientes gráficas representa la proposición “no es hombre o es rubio” i.

A.

A. El conjunto de los Hombres. B. Hombres que son rubios o son de ojos azules C. Hombres que no son rubios y no son de ojos azules. 85

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez D. Hombres que no son rubios o no son de T: habitantes que tienen servicio de televisión ojos azules. A: habitantes que tienen servicio de televisión 4. Las mujeres que son de ojos azules o son con suscripción a una antena parabólica. rubias, están representados por el diagrama. 5.

A.

B.

C.

D. Preguntas de la 5 a la 7

En el diagrama se representan los siguientes conjuntos:

En la región sombreada representa exactamente los habitantes de la ciudad de Medellín: A. Usuarios del servicio de televisión que no tienen suscripción al servicio de antena parabólica. B. Usuarios con suscripción a internet, celular y servicios de televisión que no tienen suscripción a la televisión por una antena parabólica. C. Usuarios con servicios de televisión que tienen suscripción a internet o al teléfono celular, pero que no tienen suscripción a la televisión por antena parabólica. D. Usuarios del servicio de televisión que no tienen suscripción a una antena parabólica, agregados a los usuarios suscritos a internet y celular. 6. La gráfica que representa a “los usuarios que tienen suscripción a televisión por antena parabólica y por celular pero no tiene suscripción a internet” es:

M: habitantes de la ciudad de Medellín. Tomando este conjunto como referencial, se designan los subconjuntos.

A.

I: Habitantes que tienen suscripción con internet. C: habitantes que tienen suscripción para teléfono celular.

B. 86

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C.

B.

C. D.

D. 7. La gráfica representa: A. Los usuarios con suscripción a internet. B. Los usuarios con suscripción a internet que no tienen suscripción de celular. C. Los que tienen solo suscripción a internet. D. Los que tienen suscripción a televisión por antena parabólica. Preguntas de la 8 a la 10. Se designan los siguientes conjuntos: U: habitantes de la ciudad de Medellín. Tomando este conjunto como referencial, se designan los subconjuntos: M: usuarios del metro V: propietarios de un automóvil. B: usuarios de transporte de bus. Considere los siguientes diagramas.

A.

8. De los diagramas anteriores, la región sombreada que representa exactamente el conjunto formado por los propietarios de un automóvil que son usuarios del metro o del transporte en bus, pero no son usuarios de ambos medios de transporte corresponde al diagrama. A. A B. B C. C D. D 9. En el diagrama D se puede inferir que: A. No hay personas que tengan automóvil y utilicen el metro. B. No hay personas que tengan vehículo y utilicen el bus. C. No hay personas que utilicen el metro y el bus. D. Los tres conjuntos son disyuntos. 10. el diagrama A representa. A. Los que utilizan solo vehículo. B. Los que utilizan vehículo. C. Los que no utilizan el vehículo D. Los que utilizan vehículo, el metro y no el bus.

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RESPUESTAS DEL ANTERIOR TALLER 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

D C D B D A C B C D

La zona 2 y la 3 conforman el conjunto A. La zona 4: son los elementos que pertenecen sólo al conjunto B. La zona 4 y 3 conforman el conjunto B. Hay una ecuación que te será de mucha ayuda.

A B  A  B- A  B

DIAGRAMAS DE VENN CON DOS CONJUNTOS

Son problemas que trabajan con dos subconjuntos que no son disyuntos, su diagrama es:

En este diagrama se hace notar cuatro zonas de interés.

Donde A v B son los elementos que están dentro de las dos bolas, A son los elementos que están dentro del conjunto A, B son los elementos que pertenecen al conjunto B. y A y B son los elementos que pertenecen a los dos conjuntos. Esta formula sólo se utiliza si no conocemos los elementos que pertenecen a A y B. Ejemplo.

Se realizó una encuesta a 17 personas sobre que preferían si Hamburguesa o pizza, 8 personas manifestaron que le gustaba la hamburguesa, mientras que 9 personas manifestaron que le gustaba la pizza, además 5 personas manifestaron que no le gustaba ninguna de las dos. El número de personas que gustan de Hamburguesas y pizzas son: Solución. Un grafico que ilustre la situación es:

La zona 1: son los elementos que no pertenecen ni a A, ni a B. La zona 2: son los elementos que sólo pertenecen al conjunto A. La zona 3: son los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B.

Luego H v P son 12, para poder ajustar los 17, en este tipo de problemas primero se debe ubicar los elementos de la mitad, 88

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como no conocemos el de la mitad utilizamos la formula.

HP  HP-HP Reemplazando tenemos que:

12  8  9 - H  P 12  17 - H  P Luego H y P deben ser 5, ya que 17-5=12, luego la respuesta es 5, con esto podemos llenar el grafico.

Primero ubicamos el de la mitad.

Como son 8 hamburguesas y ya tenemos 5 faltan 3.

Como son 9 personas que prefieren las pizzas y ya tenemos 5 nos faltan 4.

Ya con el grafico completo podemos inferir que; tres personas solo le gustan las hamburguesas y que 4 personas sólo le gustan las pizzas.

Se realizó una encuesta a 20 personas sobre que preferían si Hamburguesa o pizza, 10 personas manifestaron que le gustaba la hamburguesa, mientras que 8 personas manifestaron que le gustaba la pizza, y 6 personas manifestaron que le gustaban sólo la pizza, además 4 personas manifestaron que no le gustaba ninguna de las dos. El número de personas que gustan de Hamburguesas y pizzas son: Solución. Un diagrama que ilustra el problema:

Del problema sabemos que 8 personas le gustan las pizzas, pero además sabemos que a 6 sólo le gustan la pizza. en el diagrama quedaría así:

Como son 8 los de la pizza y ya tenemos 6, nos hace falta 2 esos van en el centro.

Como son 10 los que escogieron las hamburguesas y tenemos 2, nos hace falta 8.

Ejemplo. 89

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez encuesta son los siguientes: 10 personas son vegetarianos, 13 consumen la carne M y 27 consumen la Carne N. Del anterior enunciado se puede decir que la única afirmación falsa es: A. Los que consumen solo la Carne M son Del grafico se infiere que a 8 personas solo mayores o iguales a los vegetarianos. le gusta la Hamburguesa y a 2 le gustan las B. No hay personas que consuman las dos dos. carnes. C. las personas que consumen las dos TALLER DE DIAGRAMAS DE VENN Carnes son 10. D. Es más probable que una persona CON DOS CONJUNTOS. consuma solo la Carne N que ambas Carnes. 1. En una encuesta realizada a un grupo de 30 estudiantes, en la cual se les pregunto ¿qué materia de matemáticas matricularon en este semestre?, se encontró que: 20 de ellos afirmaron que escogieron lógica, 17 de ellos afirmaron que escogieron sistemas numéricos y 3 de ellos no matricularon ninguna de las dos. De las siguientes afirmaciones la única verdadera es: A. los estudiantes que matricularon lógica y sistemas numéricos son 7. B. No es posible determinar la respuesta, en el enunciado hay información ilógica. C. Las personas que no matricula lógica son 3. D. Las personas que matriculan solo lógica es igual a las personas que matriculan lógica y sistemas numéricos. 2. Una empresa de cárnicos quiere saber cual de sus dos tipos de carne (M, N) se comercializa más en un pueblo, para tal efecto escogen a 50 personas al azar y se les hace la siguiente pregunta, ¿cual de estas dos carnes (M, N) consume usted?, los resultados que se obtuvieron en la

3. En una encuesta Realizada a un grupo de 40 estudiantes del colegio XXX se encontró que 20 de ellos practican solo fútbol, que 10 practican Baloncesto, solo 27 personas practican solo un deporte y 10 personas no practican ninguno de los dos deportes.¿Cuántas personas practican los dos deportes? A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 Preguntas 4 y 5. En una revista revela que 15% de la población de una ciudad consumen marihuana y que el 10% consume cocaína, además, se sabe que el 12%, consume solo marihuana: 4. Según lo anterior, ¿Cuál es el porcentaje de habitantes de la ciudad que consumen marihuana y cocaína? A. B. C. D.

2% 3 3% 7%

5. ¿cuál es el porcentaje de habitantes que no consume ni marihuana, ni cocaína?

90

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez A. 75% C. 2 B. 88% D. 0 C. 78 10. El número de personas que gustan solo D. 78% 6. Las personas que consumen chocolate en la mañana en un país es del 98%, los que consumen Té en la mañana es del 22%, si sabe que todos toman chocolate o Té, ¿cuál es el porcentaje de personas que consume solo un producto? A. 20% B. 120% C. 80 D. 80% 7. De los 150 alumnos de un colegio, 120 toman clases de teatro, 100 de danza y 20 ninguna de estas. El número de estudiantes que toman clases de teatro y danza es: A. 95 B. 100 C. 85 D. 90 Preguntas 8 a la10

Se realizó una encuesta a 22 personas sobre que preferían si Hamburguesa o pizza, 12 personas manifestaron que le gustaba la hamburguesa, mientras que 8 personas manifestaron que le gustaba la pizza, además, 4 personas manifestaron que no le gustaba ninguna de las dos. 8. El número de personas que gustan de Hamburguesas y pizzas son: A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 9. El número de personas que solo le gusta la Pizza son:

de un producto son: A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 Preguntas de la 11 a la 13 Se realizó una encuesta a 23 personas sobre que preferían si Hamburguesa o pizza, 8 personas manifestaron que le gustaba la hamburguesa, mientras que 12 personas manifestaron que le gustaba la pizza, y 10 personas manifestaron que le gustaba sólo la pizza, 11. El número de personas que gustan de Hamburguesas y pizzas son: A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 12. El número de personas que sólo le gusta la hamburguesa es: A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 13. El número de personas que no le gustan ninguno de los dos es: A. 9 B. 7 C. 5 D. 3

A. 6 B. 4 91

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 5: A y C pero no B RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER 6: A, B y C 7: B y C pero no A. 1. D 8: solo C 2. C 3 y 6: A y B 3. C 5 y 6: A y C. 4. C 6 y 7: B y C. 2,3,4,5,6,7, y 8: A ó B ó C 5. D Esta formula le será muy útil 6. D 7. D ABC  ABC-ABAC-CBABC 8. C Esta 9. A formula se utiliza cuando no conocemos el dato 10. B del centro. 11. D Ejemplo: 12. B 13. C En una encuesta realizada a un grupo de 40 estudiantes se encontró que 10 estudiantes les DIAGRAMA DE VENN CON TRES gusta los helados de sabor a chocolate, 15 CONJUNTOS estudiantes les gusta helados de sabor a fresa, 20 estudiantes les gusta helados de sabor a Son problemas que abarcan tres conjuntos que vainilla, 5 estudiantes les gusta helados de no necesariamente son disyuntos. Su grafica es: chocolate y fresa, 7 estudiantes les gusta helados de vainilla y fresa, 6 estudiantes les gusta helados de chocolate y vainilla, a 11 niños no les gusta los tres sabores, Cuantos niños le gusta los tres sabores.

En este tipo de problemas se hace evidente 8 zonas importantes.

Solución Como no conocemos el dato del centro utilizamos la formula.

ABC  ABC-ABAC-CBABC AvBvC es igual a las personas que le gustan al menos uno de los helados, como son 40 personas y 11 manifiestan que no le gustan ninguno de ellos entonces AvBvC=29

29  10  15  20 - 5 - 7 - 6  A  B  C 29  45 - 18  A  B  C 1: ni a, ni b ni c. 2: sólo A 3: A y B, pero no C. 4: sólo B.

29  27  A  B  C Luego AyByC son 2. La respuesta es 2. Con esto podemos armar el diagrama. 92

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Los niños que le gustan las fresas son 15 y como tenemos 10. Nos hace falta 5.

Los niños que le gustan el chocolate y la fresa son 5 y como ya tenemos 2 entonces nos hace falta 3. Los niños que le gustan la vainilla son 20, como ya tenemos 11 nos hace faltan 9.

Los niños que le gustan la fresa y la vainilla son 7, como ya tenemos 2 nos hace falta 5.

Del grafico se puede concluir que:  Los niños que le gustan el chocolate y la vainilla son 6 y como ya tenemos 2, nos hace falta 4

    

4 estudiantes les gustan el chocolate y la vainilla pero no las fresas. 3 estudiantes le gustan el chocolate y la fresa pero no la vainilla. 5 estudiantes le gustan las fresas y la vainilla pero no el chocolate. 1 le gusta solo el chocolate. 5 estudiantes le gusta solo las fresas. 9 estudiantes le gusta solo la vainilla. TALLER DE DIAGRAMAS DE VENN

Los niños que le gusta los chocolates son 10, tenemos 9 nos hace falta 1.

CON TRES CONJUNTOS. Preguntas 1 a la 9 En una empresa se tienen 40 empleados, a todos se les entrego tres documentos que deberían diligenciar, que son el de la E.P.S., A.R.S y seguro social S.S., pero se encontró que algunos de ellos diligenciaron erróneamente algunos documentos, la cantidad

93

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez de empleados que diligenciaron erróneamente 5. ¿Cuántos empleados llenaron un documento se muestra en la siguiente tabla. correctamente el documento de S.S.? documentos

Cantidad incorrectos 16 14 12 Y 8

E.P.S A.R.S S.S. E.P.S. A.R.S A.R.S. Y 5 S.S. S.S. Y E.P.S 4 S.S., E.P.S. 3 Y A.R.S.

1. ¿Cuántos empleados diligenciaron correctamente los tres documentos? A. B. C. D.

8 18 12 15.

2. ¿Cuántos empleados diligenciaron erróneamente a lo sumo tres documentos? A. B. C. D.

12 28 3 11.

3. ¿Cuántos empleados diligenciaron correctamente a lo sumo 2 documentos? A. B. C. D.

25. 37 29 28

4. ¿Cuántos empleados diligenciaron correctamente Los documentos de E.P.S y A.R.S.? A. B. C. D.

1. 4. 6. 18

A. B. C. D.

de

28 16 12 6

6. ¿Cuántos empleados diligenciaron erróneamente la E.P.S. y la A.R.S, pero no el S.S.? A. 8. B. 5. C. 12 D. 18 Preguntas 7 a la 9 En una biblioteca se encuesto a 103 personas sobre el tipo de literatura de su preferencia y se encontró que 43 le gusta leer matemáticas, 52 Biología, 31 Química, 12 personas le gusta matemáticas y biología, 10 le gusta la Biología y la Química, 11 personas le gusta las matemática y química y a 10 personas le gusta los tres tipos de literatura. 7. ¿Cuántas personas les gustan la química y la biología pero no las matemáticas? A. B. C. D.

10 0 12 11

8. ¿Cuántas personas les gustan mínimo dos géneros literarios? A. B. C. D.

3. 13. 93 10.

9. ¿Cuántas personas gustan sólo la química? A. B. C. D.

20. 40 30 21 94

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez personas sobre el género de cine que prefiere Preguntas 10 a la 13. y se encontró que a 43 le gusta el drama, 52 el terror, y 31 la ciencia ficción, 12 personas le En una encuesta realizada a un grupo de 250 gusta el drama y el terror, 10 le gusta el terror y estudiantes se encontró que 70 estudiantes les la ciencia ficción, 11 personas le gusta el gusta los helados de sabor a chocolate, 65 drama y la ciencia ficción y a 10 personas le estudiantes les gusta helados de sabor a fresa, gusta los tres géneros de literatura. 90 estudiantes les gusta helados de sabor a vainilla, 15 estudiantes les gusta helados de 14. ¿Cuántas personas no le gustan ninguno de chocolate y fresa, 20 estudiantes les gusta los tres géneros? helados de vainilla y fresa pero no chocolate, A. 20 20 estudiantes les gusta helados de chocolate y B. 21 vainilla, a 5 niños les gusta los tres sabores, C. 22 D. Ninguno. 10. ¿Cuántos niños no les gustan los tres 15. ¿Cuántas personas les gustan la ciencia helados? ficción y el terror pero no el drama? A. B. C. D.

85 80 90 95

A. B. C. D.

11. ¿Cuántos niños le gustan a lo sumo 2 helados? A. B. C. D.

245. 95. 220 215

A. B. C. D.

45. 50 5 170.

13. ¿Cuántos niños le gustan helados Chocolate y fresa pero no de Vainilla?

16. ¿Cuántas personas les gustan mínimo dos géneros? A. B. C. D.

12. ¿Cuántos niños le gustan mínimo dos helados?

de

A. 15 B. 20 C. 25 D. 10 Preguntas 14 a la 17. En la feria del séptimo arte que se llevo a cabo en el jardín botánico, se encuesto a 103

10 0 12 11

3. 13. 93 10.

17. ¿Cuántas personas gustan solo de la ciencia ficción? A. 20. B. 40 C. 30 D. 21 Preguntas 18 a la 20 Una biblioteca tiene 35 libros de matemáticas y se estáinteresado en identificarlos según tres temas, a saber: A: álgebra, T: trigonometría, y G: geometría. Al hacer la clasificación se obtuvieron los siguientesresultados; sobre el número de libros que tratandeterminado(s) tema(s): 95

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez - A : 20 A y G: 5 18. D 19. D - T : 14 G y T: 6 20. C - G : 15

A, T y G: 2

DIAGRAMAS LÓGICOS CON CONJUNTOS DISYUNTOS

-AyT:7 18. El número de libros que únicamente tratan uno de lostres temas es: A. 2 B. 6 C. 10 D. 19 19. El número de libros de matemáticas que tratan temas deálgebra o trigonometría, pero no de geometría es: A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 20. El número de libros de matemáticas que no tratanninguno de los tres temas es: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

C B A D A B B B A B A B D D B B A

No siempre todos los subconjuntos van a tener elementos en común, por ejemplo: suponga que tenemos tres subconjuntos hombres, mujeres y altos, el tercer subconjunto va a tener elementos en común con los hombres y las mujeres, pero estos dos últimos no tienen elementos en común, un diagrama que represente tal situación sería:

Nótese que el diagrama hay dos rectángulos que separan a los conjuntos disyuntos y un ovalo para el conjunto que intercepta a los dos conjuntos. Ejemplo. En un grupo hay señoritas que son Rubias, Trigueñas y morenas, algunas son altas otras son bajas, 40 son morenas, 10 son trigueñas y 11 son rubias, en total hay 19 altas, 4 trigueñas son altas y las morenas altas son el doble de las rubias altas.   

El número de las rubias altas es: El numero de las morenas bajitas es: El numero de no rubias y no altas es:

Solución. Tenemos tres subconjuntos disyuntos y dos disyuntos entre sí pero que no lo son con los otros tres subconjuntos.

96

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez

En el anterior diagrama representa los cinco subconjuntos, tenga en cuenta que la mujer que no esta dentro del ovalo es bajita. Ubicando la información se obtiene que:

  

Las rubias altas son 5. Morenas bajitas son 30. Las no rubias y no altas, son trigueñas y morenas bajitas que son 36.

TALLER DE DIAGRAMAS LÓGICOS CON CONJUNTOS DISYUNTOS Preguntas de la 1 ala 5. Como 4 trigueñas son altas y son 10, entonces hay 6 trigueñas bajitas.

Como son 19 altas, nos hace falta 15, además, nos dicen que las morenas altas es el doble que la rubias altas, entonces los números respectivamente son 10 y 5, 10 es el doble de 5 y la suma da 15.

Son 40 morenas y tenemos 10, entonces 30 son bajitas.

En una empresa los empleados se diferencian de la siguiente forma: servicios varios, servicio al cliente y Ejecutivos. Además, se sabe que entre los empleados hay extranjeros, (se considera extranjero a las personas que no son originarias de este departamento) y Hay empleados con póliza de seguros, se sabe que hay 40 de servicios varios, 30 ejecutivos, 20 del servicio al cliente, del servicio al clienteextranjeros y con póliza de seguro hay 5, ejecutivos extranjeros y sin póliza de seguros son 5, del servicio al cliente que no son extranjeros y sin póliza de seguros son 10, ejecutivos extranjeros con póliza de seguros son 10, servicios variosextranjeros sin póliza de seguros son 15, ejecutivos con póliza de seguro son 20, empleados extranjeros y con póliza de seguros son 20, los empleados que no son extranjeros y carecen de una póliza de seguros son 25 y empleados que gozan de una póliza de seguros son 42. El siguiente diagrama le puede ayudar.

Son11 trigueñas y tenemos 5 entonces 6 son bajitas.

97

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 1. ¿Cuántos empleados son ejecutivos que no estudian en la facultad de puras y son son extranjeros y sin póliza de seguro? Santandereanos, se sabe que santandereanos y que no estudian en la facultad de puras son A. No es posible, ya que hay más de 35 15%, mujeres que estudian puras son el 18% y ejecutivos. la sexta parte de éstas son santandereanas, B. 5 mujeres santandereanas son 16%, además, las C. 0 personas que no estudian puras, ni son D. 7 santandereanos son el 35%. 2. ¿Cuántos del servicio al cliente son 6. ¿Cuántos estudiantes son hombres que extranjeros y sin póliza de seguros? estudian puras y no son santandereanos? A. 3 A. 30% B. 5. B. 2 C. 15 C. 2% D. No es posible, en el enunciado hay D. 4% información incorrecta. 3. ¿Cuántos del servicio al cliente hay con póliza de seguros? A. 2 B. No es posible, en el enunciado hay información incorrecta. C. 5. D. 7. 4. ¿Cuántos de servicios varios tienen póliza de seguros y son extranjeros? A. 15 B. 10. C. No es posible, en el enunciado hay información incorrecta. D. 5

7. ¿Cuántos estudiantes son mujeres que estudian en la facultad de puras y no son santandereanas? A. B. C. D.

15% 3% 27% 9%

8. ¿Cuántas mujeres no estudian en la facultad de puras? A. B. C. D.

13% 9% 17% 22%

9. ¿Cuántos son santandereanos? 5. ¿Cuántos de servicio varios o ejecutivos son extranjeros y sin póliza de seguros? A. 20. B. No es posible, en el enunciado hay información incorrecta. C. 15 D. 25 Preguntas 6 a la 10 Una encuesta realizada en la universidad de Antioquia, se encontró que el 60% de los encuestados son hombres, el 30% de la población encuestada son hombres que

A. B. C. D.

17% 13% 4% 48%

10. ¿Cuántos estudiantes son de la facultad de puras? A. B. C. D. E.

50% 18% 30% 47%

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 17. Si en el salón hay 200 personas, el número Preguntas 11 y 12. de mujeres rubias es: En una delegación formada por 200 A. 30 deportistas se determino que: B. 40 64 son atletas C. 100 86 son ciclistas D. 60 90 son mujeres de las cuales 30 son atletas Preguntas 18 a la 20. y 36 ciclistas. En un salón de clases, los hombres son el 40%, los niños de ojos azules son el 25%, además, el 11. El número de deportistas de la delegación 20% son hombres que no son de ojos azules. que no son ciclistas, ni atletas, ni mujeres 18. El porcentaje de mujeres que tienen los es: (pista: en una delegación un deportista ojos azules es: no practica dos disciplinas) A. 15% A. 26 B. 5% B. 36 C. 10% C. 40 D. 6% D. 44 19. El porcentaje de mujeres que no tienen los ojos azules es: 12. El número de deportistas que no practica A. 60% atletismo, ni ciclismo es: B. 55% A. 26 C. 50% B. 24 D. 45% C. 50 20. Si en el salón hay 300 personas la cantidad D. 86 de hombres con ojos azules es: A. 20 Preguntas 13 a la 17. B. 40 En una salón de clases las mujeres son el 40%, C. 60 además, hombres y Rubios son 20%, se sabe D. 50 que el 50% del salón no son rubios. SOLUCIÓN AL ANTERIOR TALLER. 13. El porcentaje de hombres que no son 1. B rubios es: 2. A A. 30% 3. D B. 40% 4. D C. 50% 5. A D. 20% 6. C 14. El porcentaje de mujeres rubias son el: A. 40% B. 35% C. 45% D. 30% 15. El porcentaje de mujeres no rubias es: A. 10% B. 10 C. 20% D. 15% 16. El porcentaje de rubios son: A. 40% B. 30% C. 50% D. 60%

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

A D D A A C B D A C D B B C

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez E

ECUACIONES En ese capitulo estudiaras ejercicios de ecuaciones, pero antes de repasar ejercicios de ecuaciones aprenderás a plantear las ecuaciones a partir del enunciado, los ejercicios son de ecuaciones de una incógnita y de dos incógnitas, además de problemas de balanzas.

100

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez cantidad de niños y Y la cantidad de PLANTEAMIENTO DE niñas.

ECUACIONES



Por experiencia sé, que la mayor dificultad para un estudiante es que se le presente un enunciado y de éste, que él extraiga las ecuaciones, es decir, la mayor dificultad de los problemas de ecuaciones es que el alumno logre traducir el enunciado de LENGUAJE MATERNO A LENGUAJE MATEMÁTICO. A continuación presentaré algunas oraciones o palabras comunes que implican una ecuación. Las cuales he llamado modelos de ecuaciones.

Palabra DE frecuentemente multiplicación.

implica

Ejemplo. Los niños es a las niñas como 3 es a 2 (3/2) =(x/y) Como podemos darnos cuenta se plantea igual que el anterior. 

Básicos. 

X es a Y como 3 es a 2 fraccionario.

LA DIFERENCIA O EN CUANTO SE DISMINUYE. Implica que es una RESTA. Ejemplo. La diferencia entre dos números es 4

implica

x-y=4

Ejemplo. Los dos tercios de doce (2/3).12= 8 la palabra de, se interpreta como un producto. 



SE AUMENTA o SE AGREGAN o SE REFUERZAN implica que se debe hacer una SUMA

POR O LA RAZÓN O LA PROPORCIÓN O EL COCIENTE O LA RELACIÓN es división

Ejemplo. Si se refuerzan obtenemos 1000

Ejemplo.

X+500=1000

Tres niños por cada dos niñas



(3/2) =(x/y) Podría el enunciado estar así: La razón de los niños y las niñas es 3 /2 o Los niños y las niñas están en la relación de 3 a 2. Y aún así la representación matemática sería igual. El numerador es lo que esta antes de la palabra por y el denominador es lo que esta después, en este caso x son la



con 500 hombres

La suma de tres enteros consecutivos es C la ecuación quedaría así C= x+(x+1)+(x+2) Ejemplo. La suma de tres enteros consecutivos es 20 21 = x+(x+1)+(x+2) Los enteros van aumentando de uno en uno. La suma de tres enteros pares consecutivos es C. la ecuación sería; C= x+(x+2)+(x+4)

101

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez J = (1/2).P Ejemplo. La suma de tres enteros pares J: la edad de Juan consecutivos es 20 24= x+(x+2)+(x+4) Los enteros pares van aumentando de dos en dos. 

La suma de tres enteros impares consecutivos es C. la ecuación sería; C= x+(x+2)+(x+4) Ejemplo. La suma de tres enteros consecutivos es 27

P: la edad de Pedro Podemos ver que aquí se utiliza la expresión DE Pedro, como ya vimos DE es multiplicación y debe multiplicar a la edad de Pedro. 

impares Ejemplo. Dentro de 3 años La edad de Juan será la cuarta parte de la de Pedro.

27= x+(x+2)+(x+4) Los enteros impares van aumentando de dos en dos, por lo general este planteamiento es difícil de asimilar por que la expresión X+2 para muchos es un número par, pero no siempre es así, suponga que X=3, luego X+2=3+2=5 que no es par. 

Dentro de X años la edad de A es el N de la de B la ecuación quedaría así: (A+X) = N.(B+X)

Si se tiene un camino que mide C y se recorre una distancia X, lo que falta por recorrer es: X-C

J+3 = (1/4).(P+3) Al transcurrir 3 años Juan y Pedro se deben envejecer tres años, por ende, a las edades de los dos hay que aumentarles tres años. 

Hace X años la edad de A es el N de la de B la ecuación quedaría así: (A-X) = N.(B-X)

Ejemplo.

Ejemplo.

Si se tiene un camino que mide 20 km y se recorre una distancia X, lo que falta por recorrer es:

Hace 4 años la edad de Juan era el doble de la edad de Pedro. J-4 = 2.(P-4)

Falta=20-x Avanzados. 

La edad de A es el N de la de B, la ecuación quedaría así: A = N.B

Ejemplo. La edad de Juan es la mitad de la de Pedro



Hace 4 años Juan y Pedro eran 4 años más jóvenes, por ende, a los dos se les debe restar los cuatro años. Camilo vende cierto número de artículos. La ecuación quedaría así: Venta= XY Donde X es el número de artículos y Y es el precio unitario. 102

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez X+Y=N Ejemplo. Donde X es la cantidad de monedas o Camilo vende cierto número de balones billetes de A pesos y Y es la cantidad de en 500 monedas o billetes de B pesos.



500= XY En Salón de belleza el corte para hombre es A y el de mujer es B, si se recoge $ C pesos, la ecuación matemática es: C = AX+BY Donde X es el número de hombres y Y es el número de mujeres.

Ejemplo.



Se tiene cinco billetes entre de 100 pesos y doscientos pesos. 5=X+Y Si se dividen dos números el cociente es A y el residuo es B la ecuación es: X = A.Y+B Ejemplo.

Ejemplo.



En Salón de belleza el corte para hombre es 500 y el de mujer a 700, si se recoge $ 20000 pesos... 20000=500X+700Y Podemos darnos cuenta que el ejemplo anterior es la venta de más de un producto, situación que también puede suceder en un circo, en la entrada a un cine...etc. Se tiene C pesos en billetes de A pesos y B pesos la ecuación quedaría así: C = AX+BY Donde X es el número de billetes de A pesos y Y es el número de billetes de B pesos. Ejemplo.



Se tiene 600 pesos en billetes de 100 pesos y 200 pesos 600=100X+200Y El dinero que se tiene por concepto de los billetes de 100 es igual al producto de 100 por X, El dinero que se tiene por concepto de los billetes de 200 es igual al producto de 200 por Y. Se tiene N monedas o billetes de A pesos y B pesos, la ecuación matemática quedaría así:

Si se dividen dos números el cociente es 2 y el residuo es 5 X=2Y+5

TALLER DE PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES. A continuación se le presentará trozos de problemas de ecuaciones, usted deberá escoger la ecuación o ecuaciones que represente el enunciado 1. La edad de Camilo es el triple de la edad de Pedro A. 3C=P B. C=P/3 C. C=3P D. C=P 2. La edad de Juan y Camilo ambas edades suman 92. A. J+C+92=0 B. J=C+92 C. 92=J-C D. J+C=92 3. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, A. 4C+G=50 103

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez B. G+C=50 10. La edad de Pedro es el triplo de la de Juan C. G+4C=50 A. P=3J D. G-C=50 B. 3P=J 4. En una granja se crían gallinas y conejos. C. P=J/3 Si se cuentan las patas, son 120. D. P/3=J A. 4C+2G=120 B. 2G+C=120 C. G+4C=120 D. 2G-4C=120 5. La suma de tres impares consecutivos es 609. A. N+2N+3N=609 B. X+Y+Z=609 C. N+N+2+N+4=609 D. N+1+N+2+N+3=609 6. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. la ecuación de las preguntas es: A. X+Y+Z=30 B. 5X-2Y-2Z=30 C. 5X+2Y+2Z=30 D. 5X-4Y=30 7. Teniendo en cuenta el problema anterior. Un alumno obtuvo en total de 94 puntos. A. X+Y+Z=94 B. 5X-2Y-2Z=94 C. 5X+2Y+2Z=94 D. 5X-6Y=94 8. La suma de dos números es 540 A. X=540+Y B. X+540=Y C. X+Y=540 D. X-540=Y 9. La diferencia de dos números es 32. A. X=32-Y B. X-32=Y C. X+Y=32 D. X-Y=32

11. Las edades de Juan y Pedro ambas edades suman 40 años, A. J*P=40 B. J=40+P C. J=40-P D. J+40=P 12. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. Las dos ecuaciones son: A. 120=2X+5Y 300=X+Y B. 120=X+Y 300=X-Y C. 120=2X+5Y 120=X+Y D. 300=2X+5Y 120=X+Y 13. Con 1000 ptas. que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 paquetes de leche entera y leche semidesnatada por un total de 960 ptas. Si el paquete de leche entera cuesta 115 ptas. y el de semidesnatada 90 ptas. La ecuación que representa la venta es: A. 1000=115X+90Y B. 960=115X+90Y C. 9=X+Y D. 40=115X+90Y 14. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de café y 3 de azúcar, por lo que paga 1530 ptas. A. X+Y=6 B. 6X+Y=1530 C. 6X+3Y=1500 D. 6X+3Y=1530 15. Ana compra 1 Kg. de café y 10 Kg. de azúcar por 825 ptas. A. X+10Y=825 B. X+Y=825 C. X+Y=10 D. X+825Y=10

104

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez RESPUESTAS AL ANTERIOR

cola  20 

TALLER.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

C D B A C A B C D A C D B D A

Aplicando propiedad distributiva se tiene que:

20 cola  2 2 cola cola  20  10  2 cola cola  30  2 cola  20 

Pasando la cola medios a restar se tiene que:

cola 

Ecuación lineal de una incógnita.

resta

de

cola  30 2 Pasando el dos a multiplicar se tiene que:

Ejemplos.

cola  30 x2  60 cola  60

La cabeza de un pescado mide 20 cm; la cola mide tanto como la cabeza más medio cuerpo y el cuerpo tanto como la cabeza y la cola juntas. La longitud del pescado es en cm es: A. 160 B. 100 C. 140 D. 120 Solución. Cabeza=20 Cola= 20+1/2(cuerpo) Cuerpo=20+cola Nótese, que la cola y el cuerpo están relacionados.

cola  20 

cola  30 2

Haciendo una simple fraccionarios se tiene que:

Planteamos el problema, así como lo hicimos en el taller anterior y si queda una sola incógnita la despejamos.



1 20  cola  2

1 cuerpo  2

Con esto podemos determinar el tamaño del cuerpo. Cuerpo=20+cola Cuerpo=20+60 Cuerpo=80 Ahora la longitud es: L=CABEZA+CUERPO+COLA L=20+80+60 L=160. 

Si al doble de un número se le resta su mitad, resulta 54. ¿Cuál es el número? Solución.

2x 

x  54 2

Primero, procedemos fraccionarios.

a

restar

los

Sustituimos la tercera ecuación en la segunda. 105

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez B. 203 4x x   54 C. 209 2 2 D. 205

3x  54 2

Pasamos el 2 que esta dividiendo a multiplicar.

3x  54.2 3x  108 El tres que esta multiplicando dividir.

x



pasa a

108 3

X=36 Luego el número que estamos buscando es 36. La suma de tres números impares es 327, el menor de estos impares es: Solución. Planteamos la ecuación: N+N+2+N+4=327 Sumamos las N 3N+2+4=327 Sumamos los números 4 y 2. 3N+6=327 Pasamos el 6 a restar. 3N=327-6=321 3N=321 Pasamos el 3 a dividir. N=321/3 N=107 Los impares son 107, 109 y 111, la respuesta es 107.

TALLER DE ECUACIÓN LINEAL DE UNA INCÓGNITA 1. La suma de tres impares consecutivos es 609,hallar EL impar intermedio: A. 201

2. Repartir 1980 dólares entre tres personas de tal forma que la segunda reciba 40 dólares menos que la primera y que la tercera reciba 80 dólares menos que la primera. La cantidad de dinero que recibe el segundo es. A. 660 B. 700 C. 620 D. 600 3. Tres números naturales consecutivos cumplen que el cuadrado del mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos. La suma de estos tres números es: A. 15 B. 20 C. 12 D. 25 4. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo? A. 15 B. 10 C. 5 D. 20 5. La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuál es la medida de la base si el perímetro mide 30 cm? A. 5 B. 15 C. 10 D. 20 6. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, hay si en la reunión la componen 96 personas? 106

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez A. 8 3. C B. 10 4. B C. 12 5. C D. 14 6. A 7. D 7. Se han consumido 7/8 de un bidón de 8. B aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha 9. A quedado lleno hasta sus 3/5 partes. 10. B Calcula la capacidad del bidón. SISTEMA DE ECUACIONES A. 140 B. 120 DE 2X2 C. 100 D. 80 Al igual que el anterior tema planteamos las ecuaciones, salvo que aquí nos van a parecer 8. Las dos cifras de un número son dos ecuaciones y dos incógnitas, voy a consecutivas. La mayor es la de las utilizar el método de sustitución para resolver decenas y la menor la de las unidades. El estos problemas, pero puedes utilizar número es igual a seis veces la suma de reducción o igualación. las cifras. ¿Cuál es el número? A. 45 Ejemplo. B. 54 C. 76  En la primera eliminatoria de una D. 65 competencia salieron 8 mujeres y 9. Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B. A. 100, 60, 20 B. 80,60,40 C. 80,50,50 D. 90,60,30 10. La suma de tres impares consecutivos es 57, el impar intermedio es: A. 21 B. 19 C. 17 D. 15 RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER. 1. B 2. A

A. B. C. D.

quedaron 2 hombres por cada mujer. En la siguiente fase salieron 20 hombres y quedaron 3 mujeres por cada hombre. El número de personas al inicio de la competencia era: 46 36 40 44

Solución. Sea H la cantidad de hombres, sea M la cantidad de mujeres. De “salieron 8 mujeres y quedaron 2 hombres por cada mujer” la ecuación quedaría:

H 2  2 M 8 1

107

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Despejamos para destruir los fraccionarios,  5M  100 teniendo en cuenta que M-8 pasa a Pasamos el -5 a dividir multiplicar

H  2(M  8)

M  100 /  5

Aplicamos propiedad distributiva.

Menos por menos es mas y 100 dividido 5 es 20.

H  2M  16 De “En la siguiente fase salieron 20 hombres y quedaron 3 mujeres por cada hombre” la ecuación quedaría así:

M 8 3  3 H  20 1 Pasamos H-20 a multiplicar.

M  8  3( H  20) Aplicamos propiedad distributiva y tenemos que:

M  8  3H  60 Ahora, aplicamos método de sustitución, para eso necesitamos que una de las incógnitas esté despejada y ya lo tenemos es:

H  2M  16 ahora procedemos a despejarla en la segunda ecuación.

M  8  3H  60

M  8  3(2M  16)  60

Aplicamos la propiedad distributiva.

M  8  6M  48  60

M  20 Para hallar el valor de los hombres utilizamos el último resultado y esta ecuación.

H  2M  16

H  2(20)  16

H  40  16 H  24 Luego como piden la cantidad de gente que había al comienzo, para eso simplemente sumamos el 20 y el 24, que es 44. 

Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay? Solución. Planteamos primero la ecuación de las cabezas, como cada uno de los animales tienen de a una cabeza entonces C+P=35 Donde C es la cantidad cerdos y P la cantidad de pavos. Para la ecuación de las patas se debe tener en cuenta que los cerdos tienen de a 4 patas y los pavos de a 2 patas. 4C+2P=116

Ahora, tenemos una sola incógnita y procedemos a despejarla, el 6m pasa a restar y el 8 pasa a sumar.

M  6M  8  48  60 Simplificamos

Ya tenemos dos incógnitas, para aplicar el método de sustitución debemos despejar una de las incógnitas lo hare de la primera.

c  p  35 108

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Pasamos la p a restar. por mes para que no se presente sobrecosto de producción es:

c  35  p

Solución.

En la segunda ecuación sustituimos la C. Para no producir sobre costos o perdidas la ganancia Y debe ser igual a cero. 2x+ 4y = 100 2x + 4*0 = 100 2x +0 = 100 2x = 100 Pasando el 2 a dividir se obtiene que: X=50

4C+2P=116

4(35  p)  2 p  116 Aplicamos la propiedad distributiva.

140  4 p  2 p  116 Simplificando las p se tiene que:

140  2 p  116 Pasamos el 140 a restar y tenemos que:

 2 p  116  140  2 p  24



Pasamos el -2 a dividir y tenemos que:

p  24 /  2 p  12

Solución. Reemplazamos la X por 80 y despejamos la Y. 2(80)+4y=100 160+4y=100 Pasamos el 160 a restar. 4y=100-160 4y=-60 y=-60/4 y= -15 Podemos afirmar que hay un sobrecosto de 15.

Para averiguar la cantidad de cerdos utilizamos este resultado y la siguiente ecuación.

c  35  p c  35  12  23 Luego tenemos 23 cerdos y 12 pavos. 

En una microempresa de muebles se ha encontrado que si se produce menos de cierta cantidad de muebles por mes, entonces se genera un sobrecosto de producción (en dólares) para dichas cantidades de muebles. Por encima de dicho número se produce una ganancia, también en dólares. Se sabe además que la relación de sobrecosto ó ganancia (y) como función de la cantidad de muebles producidos por mes (x) está dada por la ecuación 2x +4y = 100. El número mínimo de muebles que deben producirse

La respuesta es que se necesita vender como mínimo 50 muebles. Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, Si se produce 80 muebles las ganancias son:



La edad de Pedro es el triplo de la de Juan y ambas edades suman 40 años, hallar ambas edades. Solución. Del enunciado podemos plantear estas ecuaciones.

P  3J P  J  40 Tenemos la incógnita p despejada, ahora sustituimos la P en la segunda ecuación. 109

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez

36N 18

3J  J  40

M 

Simplificando tenemos que:

M  2N

4 J  40 Pasando el 4 a dividir.

Luego la respuesta es que una manzana pesa lo mismo que dos naranjas.

J  10 Luego Juan tiene 10 años y Pedro 30 años. Ejemplo. Tres manzanas y cinco peras pesan lo mismo que cincuenta y seis naranjas, pero una pera pesa lo mismo que cuatro naranjas más tres manzanas. Luego el peso de una manzana es igual al de: Solución Planteamos las ecuaciones:

3M  5P  56 N P  4 N  3M Sustituimos la segunda ecuación en la primera.

3M  5(4 N  3M )  56 N Aplico la propiedad distributiva.

3M  20 N  15M  56 N Sumando los términos con coeficiente literal M

18M  20 N  56 N Pasando el 20N a restar se tiene que:

18M  56 N  20 N 18M  56 N  20 N 18M  36 N

TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2 Preguntas 1 y 2. En una microempresa de muebles se ha encontrado que si se produce menos de cierta cantidad de muebles por mes, entonces se genera un sobrecosto de producción (en dólares) para dichas cantidades de muebles. Por encima de dicho número se produce una ganancia, también en dólares. Se sabe además que la relación de sobrecosto ó ganancia (y) como función de la cantidad de muebles producidos por mes (x) está dada por la ecuación 3x + 4y = 96. 1. El número mínimo de muebles que deben producirse por mes para que no se presente sobrecosto de producción es: A. 24 B. 32 C. 60 D. 96 2. Si se producen 76 muebles al mes, la única afirmación verdadera con respecto al sobrecosto ó ganancia es: A. B. C. D.

Hay un sobrecosto de 33 dólares El sobrecosto es de 0 dólares Hay una ganancia de 33 dólares No es posible determinar si hay ganancia ó sobrecosto. 3. Se desea cercar un terreno rectangular de 100m2 de área y luego dicha región se va dividir en dos porciones iguales con una

Pasamos el 18 a dividir 110

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez cerca paralela a uno de sus lados, como lo D. 435 muestra la figura: 8. La edad de Camilo es el triple de la edad de Pedro y ambas edades suman 56 años, ¿Cuál es la edad de Pedro? A. 14 B. 16 C. 18 X D. 20 La longitud total “L” de la cerca 9. la suma de las edades de Carlos y Juan es de 84 años, y Carlos tiene 8 años menos necesaria para hacer el trabajo se puede que Juan. El producto de sus edades es: escribir en términos de “x” como: A. 2748 B. 3568 A. L = (203/ 100) x C. 1748 B. L = (201 / 100) x D. 1648 C. L = 2x + ( x / 300) D. L = 2x + (300 / x) 10. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las 4. La edad de Camilo es el triple de la edad patas, son 134. El número de gallinas es: de Pedro y ambas edades suman 92 años, A. 30 ¿Cuál es la edad de Pedro? B. 35 C. 17 A. 69 D. 33 B. 60 C. 21 D. 23 5. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 120. ¿Cuántas gallinas hay? A. B. C. D.

40 50 60 35

6. La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32, el mayor de estos números es. A. 300 B. 254 C. 286 D. 752 7. Ana tiene 14 años menos que María y ambas edades suman 56 años, el producto de sus edades es: A. 835 B. 735 C. 635

11. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos arañas hay? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas). A. 30 B. 12 C. 15 D. 20 12. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cinco litros se han utilizado? A. 20 B. 100 C. 80 D. 25 13. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 111

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió D. 6 y 5 correctamente? Pista: las preguntas incorrectas o no contestadas asúmalas 18. Martha y Leonor juegan a las cartas y como una incógnita. convienen que la que pierda una partida A. 8 deberá pagar a su compañera 5 US. B. 10 Después de 18 partidas, Martha ganó 40 C. 22 US. El número de partidas que ganó D. 25 14. Un ama de casa compra en un Leonor fue: supermercado 6 Kg. de café y 3 de A. 2 azúcar, por lo que paga 1530 ptas. Ante la B. 3 amenaza de nuevas subidas, vuelve al día C. 5 siguiente y compra 1 Kg. de café y 10 D. 6 Kg. de azúcar por lo que paga 825 ptas. El precio del café es: A. 60 B. 100 C. 250 D. 225 15. Con 1000 ptas. que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 paquetes de leche entera y leche semidesnatada por un total de 960 ptas. Si el paquete de leche entera cuesta 115 ptas. y el de semidesnatada 90 ptas. ¿Cuántos paquetes de leche entera? A. 3 B. 6 C. 9 D. 5 16. En un puesto de verduras se han vendido 2 Kg de naranjas y 5 Kg de patatas por 836 ptas. y 4 Kg de naranjas y 2 Kg de patatas por 1.280 ptas. el precio de un kilogramo de las naranjas es: A. 295.5 B. 49 C. 300 D. 50 17. Llegaron los niños y tomaron los pasteles, si cada niño toma un pastel, hay un niño que se queda sin pastel. Pero si cada pastel es compartido por dos niños, sobra un pastel. Los niños y los pasteles eran respectivamente: A. 3 y 2 B. 4 y 3 C. 5 y 4

19. Cuatro mangos y dos papayas pesan lo mismo que 20 naranjas. Una papaya pesa lo mismo que 6 naranjas y 2 mangos. Acerca del peso de cada papaya se puede afirmar que: A. Es igual al de 2 mangos B. Es igual al de 4 mangos C. Es igual al de 6 mangos D. Es igual al de 8 mangos. 20. Dos manzanas y cuatro peras pesan lo mismo que diez naranjas, pero una pera pesa lo mismo que dos naranjas más cinco manzanas. Luego el peso de una naranja es igual al de: A. 10 manzanas B. 11 manzanas C. 12 manzanas D. 9 manzanas. RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

B A D D A C B A C 112

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 10. D 3 1 1kg  x  x 11. B 3 3 12. A 13. C 2 1kg  x 14. D 3 15. B El tres pasa a multiplicar. 16. A 17. B 3kg  2 x 18. C 19. D 20. B Pasa el dos a dividir.

BALANZAS

Son ecuaciones que aparecen de forma grafica, siempre en balanzas.

x  3kg / 2  1.5kg Luego el ladrillo pesa 1.5 kg.

Ejemplo. Ejemplo.

La balanza está equilibrada con una pesa de 1kg y 1/3 de ladrillo en el platillo izquierdo y un ladrillo en el platillo derecho. El peso del ladrillo es: A. B. C. D.

2 kg 1.5 kg 2.5 kg 3 kg.

El número de rombos que equilibra la balanza es: A. B. C. D.

1 2 4 5

Solución. Solución. Planteamos la ecuación. De la primera balanza se plantea la ecuación.

1 1kg  x  x 3 1. Donde x es el peso del ladrillo. De la segunda balanza se plantea la ecuación.

1kg  x 

1 x 3 2.

Restamos los fraccionarios Sustituyendo la primera ecuación en la segunda se obtiene que: 113

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez

Cancelamos un círculo de cada uno.

3. Cambiando de nuevo un cuadrado por un corazón y un círculo tenemos que:

1. El número de corazones blancos que equilibra la balanza es: A.

1

1 2

B. 3 C. 4 Cancelamos círculo con círculo.

2

D. 4. Luego cada dos corazones es un punto, por tanto la balanza 4 quedaría así:

1 4

2. El número de corazones negros que equilibra la balanza es: A.

3

1 2

B. 4 C. 1/2

Pero, tres círculos son dos cuadrados.

D. 3 3. El número de triángulos que equilibra la balanza es: A. 6 B.

4

1 3

C. 3 D. 5 Pero dos cuadrados es un rombo, luego la respuesta es un rombo.

Preguntas 4 y 5.

TALLER DE BALANZAS. Preguntas 1 a la 3 4. La cantidad de triángulos que equilibra la última balanza es: A. 3 114

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez B. 7 C. 9 D. 6 5. La cantidad de corazones negros que equilibra la balanza es: A. 6 B. 5 C. 3 D. 7 Preguntas 6 y 7.

8. El número de corazones blancos que equilibran la balanza es: A. 5 B. 4

1 2 1 D. 2 3 C.

6. El número de corazones blancos que equilibra la balanza. A. 4 B. 3 C.

2

4

9. El número de cuadrados que equilibran la balanza es: A. 3 B. 4 C. 9 D. 5

1 2

D. 5 7. El numero de corazones blancos y rombos equilibran la balanza respectivamente

B. 2 y 1 C. 2 y 3 D. 5 y 3

10. El número de cuadrados que equilibra la balanza es A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Preguntas 8 y 9

Preguntas 11 a la 13.

1 A. 5 y 1 3

115

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 11. El número de triángulos que equilibra la 14. El numero de triángulos que equilibra la balanza es: balanza es: A. 5 A. 3 B. 4 B. 1 C. 2 1 C. 2 D. 4 2 15. El número de corazones negros que 1 equilibran la balanza D. 5 A. 4 2 B. 3 12. El número de cuadrados que equilibran la C. 2 balanza es: D. 5 A. 11 B. 9 C.

9

1 2

D. 12. 13. El número de círculos que equilibra la balanza es: A. 24 B.

19

1 2

C. 21 D.

18

2 3

Preguntas 14 y 15.

RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

A C C D A D B C C B B D A C A

116

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez

GEOMETRÍA. Este capitulo como todos los demás contiene ejercicios de exámenes de admisión pasados, inicia con el importantísimo teorema de Pitágoras, un teorema que te será muy útil en el examen de admisión y muy probablemente en la universidad también te ayudara, después veremos una pequeña teoría de figuras geométricas y sólidos geométricos, los cuales se espera que en el bachillerato los hayas visto sólo debes memorizar sus formulas a continuación encontrarás varios ejemplos de geometría y termina el capitulo con un taller de 45 puntos, estúdialos con esfuerzo y dedicación, ya estás cerca de alcanzar la meta.

117

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Este triángulo es rectángulo, obsérvese que TEOREMA DE PITÁGORAS el ángulo C es recto (por el rectángulo), por ende debe cumplir con el teorema de El teorema de Pitágoras es una relación Pitágoras, ahora la hipotenusa es el lado c, existente en la medida de los lados y establece que en un triángulo rectángulo y solo en éstos, esto es por que el lado c esta al lado el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma opuesto al ángulo de 90º, ahora si de los cuadrados de los dos catetos. Si un utilizamos triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes

a

y b, y la medida de la hipotenusa es establece que:

c, se

c  a 2  b2 Tenemos que:

c2  a 2  b2

c  20 2  35 2 c  400  1225 Simplificando la raíz se tiene que:

c  5 65

De aquí se deriva dos formulas, La primera es para hallar la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo que sería:

c  a 2  b2 La segunda es para hallar la medida de un cateto de un triangulo rectángulo que sería.

a  c2  b2 O b  c2  a 2 (por que en un triangulo rectángulo hay dos catetos) Ejemplos



En este triángulo se conoce la magnitud de dos de sus lados determine, ¿cuánto mide el otro lado? Este triángulo es rectángulo, obsérvese que hay un ángulo recto (por el rectángulo), por ende debe cumplir con el teorema de Pitágoras, el lado que se esta buscando es el lado b, luego se utiliza la formula

b  c2  a2 b  30 2  15 2 b  900  225

b  675 

En el anterior triángulo se sabe que el lado a mide 20 cm y el lado b mide 35 cm, ¿cuánto mide el lado c?

Simplificando la raíz se tiene que:

b  15 3

118

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Área de un rectángulo. Se multiplicando la base por la altura

obtiene

A = base x altura. Su perímetro es: 

En este triángulo se conoce la magnitud de dos de sus lados determine, ¿cuánto mide el otro lado? Este triángulo es rectángulo, obsérvese que hay un ángulo recto (por el rectángulo), por ende debe cumplir con el teorema de Pitágoras, el lado que se esta buscando es el lado a, luego se utiliza la formula

P= 2b+2h CUADRADO Es un paralelogramo que tiene sus 4 lados iguales y sus ángulos rectos.

a  c2  b2 a  76 2  35 2

Área de un cuadrado.

a  5776  1225

A = lado x lado = lado El perímetro es: P=4L

a  4551

EL TRIANGULO:

ÁREAS Y PERÍMETRO LAS DE

2

Es un polígono formado por la unión de tres segmentos de recta.

FIGURAS GEOMÉTRICAS. El perímetro de una figura geométrica es la suma de sus lados. El área de una figura geométrica corresponde a la medida de la superficie que dicha figura ocupa en un plano.

El área de un triángulo es igual al producto de su base por su altura dividido entre dos.

A continuación se dan las formulas de perímetro y área de las principales figuras geométricas.

A

RECTANGULO.

Su perímetro se halla así:

base  altura 2

Es un paralelogramo que tiene lados paralelos e iguales de 2 en 2 y 4 ángulos rectos.

119

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez P= a + b + c Volumen se halla así:

r 2 h

TRAPECIOS: Son cuadriláteros que tienen un par de lados paralelos.

El Área de un trapecio se halla así:

A

Cono.

Su volumen se halla así:

B  b   h

r 2 h 3

2

EL CÍRCULO

ESFERA. Su área se halla así:

Ao    r 2 Y su perímetro se conoce circunferencia y se halla así:

como

la Su volumen se halla así:

Co  2 .r VOLUMEN DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.

4r 3 3 Cubo.

Hay cinco sólidos geométricos muy utilizados en el examen de admisión que son:     

Cilindro. Cono Esfera Cubo Paralelepípedo recto.

Cilindro.

Su volumen se halla así:

l3 Donde “L” es el lado o la arista. PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR RECTO. Es lo que conocemos coloquialmente como una caja. 120

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Por lo tanto inferimos que la circunferencia es mayor y la respuesta es la A.  Juan dispone de un trozo rectangular de cartulina de 12 cm de largo, para recortar 7 Su volumen es: círculos iguales de 3 cm de diámetro. La altura del rectángulo de cartulina de menor Área de la base x altura. área para que Juan pueda ejecutar esta labor, en cm, es: Ejemplos. A. 5 B. √ C. D. 

√

El grafico muestra 3 circunferencias de radio R tangentes entre si y un triangulo cuyos vértices son centros de las 3 circunferencias. Con respecto al perímetro del  OPQ y la circunferencia de centro Q se puede decir con certeza que:

Solución. El trozo de cartulina que estamos buscando es de la siguiente forma:

A. Es menor el perímetro del triangulo que la longitud de la circunferencia. B. Es igual. C. Se requieren más datos para poder relacionarlos. D. Es mayor el perímetro del triangulo que la longitud de la circunferencia.

Caben perfectamente cuatro circunferencias en la base. Ahora Tenemos que hallar la altura del rectángulo.

Solución Podemos apreciar en la figura que un lado del triángulo son dos radios. L=2r

Pero entre las tres primeras circunferencias se puede formar el siguiente triangulo.

Ahora, como el perímetro de un triángulo es la suma de sus tres lados entonces: P=L+L+L P=2r+2r+2r=6r P=6r Nos corresponde hallar la circunferencia:

Co  2 .r

Cada lado del triangulo mide dos radios, es decir, un diámetro, la altura del triangulo H gráficamente es:

Pero   3.1 luego

Co  6,2r

121

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H

27 4

Simplificando la raíz se tiene que

H Ahora, dos radios muy importantes son:

3 3 2

Luego

h

Fácilmente se puede deducir que: h= H + radio + radio Pero radio + radio=diámetro y este mide 3, por tanto.

3 3 3 2

Por tanto la respuesta es la B.  el costo de pintar un cubo de 20 cm de arista fue $500. Pintar un cubo de 40 cm de arista costará: A. $3000 B. $4000 C. $1000 D. $2000

h= H+3

Solución.

Ahora, nos corresponde hallar la altura del triángulo Como el triángulo es equilátero y sus lados miden 3 cm, entonces la altura cae en el punto medio de la base.

Lo primero que debemos hacer es hallar el área superficial de los dos cubos, esta área superficial es la suma de las áreas de los 6 cuadrados del cubo. Cubo de arista de 20 cm.

Con la ayuda del teorema de Pitágoras podemos hallar el tercer lado.

El área de una de las caras es:

2

3 32     H 2 2 9 9  H2 4 Pasando el nueve cuartos a restar se tiene que:

9 9  H2 4 27  H2 4 Se saca raíz cuadrada.

Área de uno de los cuadrados

 202  400

El área superficial es multiplicar el área del cuadrado por 6, esto es por que el cubo tiene 6 caras Área superficial=6*400=2400 Cubo de arista de 40 cm.

El área de una de las caras es: Área de uno de los cuadrados

 40 2  1600 122

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Si trazamos el triángulo y rotamos la figura El área superficial es multiplicar el área se podría ver así: del cuadrado por 6, esto es por que el cubo tiene 6 caras Área superficial=6*1600=9600 Segundo, debemos plantear una regla de tres simple y directa, nos preguntamos si por 2400 centímetros cuadrados me cobran 500, cuanto me cobraran por 9600 centímetros cuadrados

cm 2 2400

Tracemos la altura asociada a la base PQ.

$ 500

9600

x 9600 * 500 X 2400

El punto que buscamos (m) esta sobre la altura de tal forma que las distancias a los vértices (x) sean iguales

X=2000 Luego la respuesta es la D 

En la figura se muestra la ubicación de 3 ciudades P, Q y R sobre un cuadro de lado 20km. P y Q están situados en dos vértices contiguos y R está esta en el punto medio del lado opuesto.

Una empresa de televisión va a instalar una antena en el punto del interior del cuadro que equidista de las tres ciudades. Para cumplir esta condición, la antena debe quedar ubicada en: A. En el vértice de un triangulo equilátero que tiene como base el lado que une a P con Q, que está opuesto a esta base. B. El punto intersección de las diagonales del cuadro. C. El vértice opuesto al lado PQ de un triangulo isósceles, cuya altura asociada a la base es 7. 5km D. El punto medio del lado que une a P con Q

Lo primero que debemos hacer es hallar la medida de la altura pero esta es mide 20, pues tiene la misma medida de uno de los lados del cuadrado. Segundo, planteemos una ecuación que nos permita hallar el valor de x

La expresión 20-x es por que, si toda la altura mide 20 y del punto m al vértice la distancia mide x, entonces la distancia entre el punto m y la base es lo que le hace falta a x para ser igual a 20, es decir, 20-x. Un triángulo interesante es:

Podemos plantear el teorema de Pitágoras.

Solución.

123

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez cual la hipotenusa mide 10 y un cateto X 2  102  (20  X ) 2 mide 8, con ayuda del teorema de Pitágoras se puede hallar la altura. X 2  100  400  40 X  X 2

X 2  500  40 X  X 2 Pasando la X al cuadrado a restar tenemos que se cancelan.

Donde X es el cateto desconocido, que en nuestro caso es la altura del paralelepípedo.

0  500  40 X

100  64  x 2

Pasamos el -40x a sumar.

Pasamos el 64 a restar.

Pasamos el 40 a dividir

100  64  x 2 36  x 2

40 X  500

X



102  82  x 2

500  12.5 40

Ahora, la distancia que hay del punto m a la base es lo que le hace falta 12,5 para ser igual a 20, por tanto la respuesta es la C. Una empresa constructora necesita remover de una montaña, el material demarcado con las dimensiones dadas en la figura.

Sacamos raíz cuadrada

x6

Luego la altura del paralelepípedo es 6.

El volumen del paralelepípedo es: Área de la base x altura. El área de la base es el área de un rectángulo 8x10=80, luego Si el costo de remover de material es de $5000, entonces, el costo total para remover el volumen requerido es: A. $480.000 B. $800.000 C. $1´200.000 D. $2´400.000 Solución. Si observamos el prisma de base triangular que hay en el dibujo (la tierra que se va a quitar) es la mitad de un paralelepípedo o la mitad de una caja.

V=80x6=480m3 Pero el volumen de tierra es la mitad de este, por ende: Volumen de tierra=240m3 Ahora, planteamos una regla de tres simple y directa.

m3 1 240

X

$ 5000 x

240 * 5000  1´200.000 1

Luego la respuesta es la C Ejemplo.

La dificultad está en que no se conoce la altura del paralelepípedo, pero observamos en el dibujo un triángulo rectángulo en el

Conteste las dos siguientes preguntas en base al siguiente enunciado.  Se tiene tres cilindros como se muestran en la grafica.

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 (3) 2 * h Vcono   72 3 3 * h  72

h

72  24 3

Luego la respuesta es la C. Ejemplo. De las siguientes afirmaciones la única verdadera es: A. El volumen del cilindro B es el doble del volumen del cilindro A. B. El volumen del cilindro A es la mitad del volumen del cilindro B. C. El volumen del cilindro C es igual al volumen del cilindro B D. El volumen del cilindro B es el doble del cilindro C.

El área sombreada es: Solución. Podemos reubicar las áreas sombreadas así:

Solución. Lo primero es calcular cada uno de los volúmenes,

VA   (3) 2 * (2)  18

VB   (6) 2 * (2)  72

Vc   (3) * (4)  36 2

Ahora, sí a la mitad del círculo se le resta el triángulo ABC

Inferimos que el volumen del cilindro B es el doble del volumen del cilindro C. por tanto la respuesta es la D. 

El tanque B esta lleno de agua y ha sufrido un daño y se desea verter toda esta agua en un cono cilíndrico de radio 3 cm. La altura mínima de este cono es: A. B. C. D.

72 46 24 28

Solución. La mínima altura se logra cuando el cono tiene el mismo volumen del cilindro B, luego el volumen del cono es 72

Obtenemos nuestra área sombreada. El área de la mitad del círculo es:

 (2) 2  2 2 Para calcular el área del triángulo se debe tener en cuenta que la base del triangulo es 4 y su altura es 2. Luego su área es:

4*2 4 2 Entonces el área sombreada es:

2  4

Ejemplo. 125

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez pintura.La fracción de volumen del bloque que está formada por cubos que no tienen ninguna cara pintada es:

El área sombreada es: Solución. Podemos deducir que el área sombreada es igual a la diferencia entre el triángulo de vértices (0,3), (0,0) y (6,0) y el triángulo de vértices (1,0), (2,2) y (6,0) El área del triángulo mayor es:

A. B. C. D.

2/5 3/8 1/2 1/3

4. El área del cuadrado ABCD es 36 área rayada es:

. El

6*3 9 2 Para hallar el área del triángulo pequeño se debe tener en cuenta que la base mide 5 y su altura mide 2

5* 2 5 2

A. B. C. D.

6 12 15 10

Luego el área sombreada es: 9-5=4

TALLER DE GEOMETRÍA. Preguntas 1 y 2. 1. Carolina pinta un cubo de rojo y luego lo corta en 3x3x3=27 cubos más pequeños de igual tamaño. El número de cubos con exactamente 2 caras pintadas es: A. 8 B. 10 C. 6 D. 12 2. El número de cubos con al menos 2 caras pintadas Es: A. 16 B. 20 C. 8 D. 12

5. El rectángulo de la figura tiene tres triángulos sombreados en su interior, de forma que sus bases suman exactamente la base del rectángulo.La razón entre el área sombreada y el área del rectángulo es: A. Se necesita más información B. 1/2 C. 1/3 D. 2/3 6. se necesita podar la parte sombreada del terreno cuadrado mostrado en la figura. Si el valor que se cobra por podar un de césped es de $500, entonces el costo total para podar todo el terreno es:

3. Con cubos de lado 1U se construye un bloque como se muestra en la figura y luego se cubre completamente con 126

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A. B. C. D.

$170.000 $340.000 $380.000 $400.000

7. un tetraedro regular es un sólido formado por 4 caras que son 4 triángulos equiláteros y por cuatro vértices en cada uno de los cuales concurren tres de estos triángulos. De los tres diagramas mostrados en la figura, es posible construir un tetraedro con:

A. B. C. D.

1 y 2 pero no 3. 2 y 3 pero no 1. 1 y 3 pero no 2. 1, 2 y 3.

8. La figura siguiente está formada por 6 cuadros de colores, así:

Esta figura se pliega para formar un cubo. La cara opuesta a la cara blanca (B) es: A. Azul (A) B. Verde (V) C. Naranja (N) D. Roja (R) 9. El área del circulo de radio r, es igual a en la figura se tiene 4 círculos del mismo radio r de centros en , , y y tangentes en la forma indicada.

Entonces el área sombreada es: A. B. C. D. 10. Un cubo de madera ha sido construido con 27 cubos unitarios, iguales y sólidos. Si se hacen perforaciones perpendiculares desde cada cara, hasta la cara opuesta, siguiendo exactamente las regiones sombreadas únicamente en los dos cuadros, entonces el material perforado es equivalente, en volumen a:

A. B. C. D.

4 cubos unitarios 5 cubos unitarios 6 cubos unitarios 7 cubos unitarios

11. Si en un cuadro de lado x, uno de los lados se aumenta en una cantidad a y el otro se disminuye en la misma cantidad a, entonces de las siguientes afirmaciones, la única verdadera es: A. El área permanece igual. B. El área disminuye en . C. El área aumenta en . D. El área disminuye en a.

12. Todas las construidas único par ensamblar 3x4 es: A. a y c B. c y d C. b y c

figuras anteriores han sido con cuadros iguales. Con el de figuras que se puede un rectángulo de dimensiones

127

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez D. a y d B. 13. En la figura se ilustra un rectángulo mayor que esta subdividido en 4 rectángulos de menor tamaño.

C. D.

Cada uno de los tres números mostrados representa el perímetro del rectángulo que lo contiene. El perímetro del rectángulo marcado con la X es: A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 14. En la figura se ilustra un cuadrado ABCD.

Si los segmentos MB, NC, PD y QA son todos iguales una tercera parte del lado del cuadrado, entonces la razón entre el área de la región sombreada y el área total del cuadrado es: A. B.

16. Al llegar a su casa un cartero nota que ha olvidado entregar tres cartas. Al revisar las direcciones observa que el primer lugar queda a 3km al este de su casa, que el segundo lugar queda a 3km al norte del primero y el tercer lugar queda a 2km al oeste del segundo. Si el cartero sale de su casa a entregar las cartas, realizando el recorrido descrito anteriormente y del tercer lugar regresa directo a su casa, entonces: El área total en kilómetros cuadrados de la figura limitada por la trayectoria seguida por el cartero, al terminar el recorrido en su casa es: A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8 17. La distancia total en kilómetros recorrida por el cartero, siguiendo la trayectoria descrita es: A. √ B. √ C. √ D. √

C. D. 15. El  ABC es equilátero y su área es 4 . Los triángulos interiores se forman uniendo los puntos medios de los lados.

El área sombreada en A.

, es:

Preguntas 18 y 19. La pirámide de la figura está formada por 16 cubos de igual tamaño. El área total de la pirámide es de 864 . 18. La es: A. B. C.

longitud AB de la base de la pirámide 16 cm 28 cm 64 cm 128

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez D. 112 cm volumen E tienen todos el mismo radio; el 19. La pirámide se desarma y todos los cubos cono y el cilindro tiene la misma altura y llenan completamente una caja de 16 cm de ésta es igual al diámetro de la esfera. De largo por 8 cm de ancho. La altura de la acuerdo con la información anterior es caja en centímetros es: correcto afirmar que A. 4 B. 6 A. 2C+2D=3E C. 8 B. C + D = E D. 12 C. 2C=D+E 20. Si los dos sólidos que aparecen en la figura D. C - D + E = 0 tienen la misma altura y sus volúmenes son Respectivamente V 1 y V2, 24. Las bases de un trapecio miden 5 cm y 8

Es correcto afirmar que:

V1  V2 B. V1  V2 C. V1  V2 A.

D.

V1 

V2 2

25. Ancho

21. Si un tanque cilíndrico tiene un diámetro de 10 metros y una altura de 20 metros de alto, el volumen del tanque en metros cúbicos es: A. 2000 B. 500 C. 100 D. 1000 22. Un tanque cilíndrico esta rematado en sus dos extremos por dos semiesferas de radio r y el cilindro tiene una altura h, entonces el volumen del tanque esta dado por: A.  2  R  H  R 2  3  

 4   3 



B.   R  H  R  C. D.

cm, su altura mide 4 cm. Para que el áreadel trapecio se duplique es suficiente: (1) Duplicar las longitudes de las bases. (2) Duplicar la altura. De las acciones anteriores A. (1) o (2) son suficientes, pero no las dos simultáneas. B. (1) es suficiente pero (2) no lo es. C. (2) es suficiente pero (1) no lo es. D. ni (1) ni (2) es suficiente.

2



R  H R  1  H R 2 2

23. Un cono circular recto de volumen C, un cilindro de volumen D y una esfera de

Largo Altur a

Se tiene una caja de caras rectangulares cuyo volumen es igual a 1000 cm3. Si el largo es cuatro veces el ancho y la altura es el doble del ancho, entonces, el área superficial de la caja en cm2 es: PISTA: calcule todas las áreas de los seis rectángulos y sumelas. A. 1000 B. 800 C. 700 D. 500 26. Una barra de acero en forma de paralelepípedo rectangular, con dimensiones 2cm, 3cm y 4cm, se funde para formar tres cubos de igual volumen. La longitud del lado de cada cubo en cm es: A.

1 129

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez B. 2 31. En un cilindro de 6 cm de radio esta lleno C. 3 de agua y se echan cuatro cubitos de hierro D. 4 de 4 cm de arista. El volumen de agua derramado en centímetros cúbicos es: 27. Un cilindro tiene por altura la misma A. 256 longitud que la circunferencia de la base, B. 356 entonces el volumen del cilindro es: C. 64 3 D. 128 A. 2R  32. El volumen del siguiente sólido en metros 3 2 B. R  cúbicos es: 3 2 C. 2 R  D.

R 3 2 3

A. B. C. D.

28. El muñeco de hielo de la figura se derritió dentro de un recipiente cilíndrico de 6cm. De diámetro; volviéndose a congelar el agua, la altura del cilindro es: A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. 20cm 29. El número de cajas pequeñas que pueden caber en la caja grande:

A. 6 B. 12 C. 24 D. 30 30. Si deseamos introducir cubos de 2cm de arista en la caja, cuyos lados están en cm, el número de cubos para llenar la caja es:

A. B. C. D.

98 126 136 116

33. El área superficial en metros cuadrados del sólido del punto 32 es: A. 186 B. 286 C. 150 D. 140

34. El volumen en metros cúbicos del sólido es: A. 216 B. 162 C. 170 D. 189 Conteste las preguntas 35 a la 37 de acuerdo a la siguiente información. Se tiene dos cilindros y un cono, como lo muestra la grafica.

9 16 48 24 130

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Se tienen dos tanques contiguos A y B de forma cilíndrica (A es el cilindro mas alto) abiertos en su parte superior, construidos en acero del mismo espesor y con las dimensiones indicadas. El tanque A está lleno con agua y el 35. De las siguientes afirmaciones la única tanque B está vacio. falsa es: 38. Si se hace un bombeo continuo desde el A. El cono y el cilindro B tienen el mismo tanque A hasta el B, entonces, en el volumen. instante en que los volúmenes de agua en B. El volumen del cilindro B es mayor ambos tanques es igual, la altura del nivel que el volumen del cilindro A. del agua en el tanque B en metros es: C. El volumen del cono es menor que el A. 0.5 volumen del cilindro A. B. 1 D. El volumen del cilindro A es la cuarta parte del volumen del cilindro B. C. 1.5 36. El cono esta lleno de agua y ha sufrido un D. 2 daño y se empieza a verter el agua en el 39. Si se hace un bombeo continuo desde el cilindro A, después de un tiempo: tanque A hasta el B, entonces, en el A. Se llena completamente el cilindro A y instante en el que la altura del nivel del el cono queda vacio y no se pierde agua en el tanque A es igual a 2m, líquido. entonces, de las afirmaciones siguientes, la B. No se alcanza a llenar el cilindro A y el cono queda vacio y no se pierde única verdadera es: líquido. A. El tanque B se llenó completamente y C. Se llena completamente el cilindro A y el excedente de agua se ha derramado. es necesario verter en el cilindro B B. La altura del nivel de agua en el tanque 100cm 3 para no perder líquido. B es de 1.5 m. D. Se llena completamente el cilindro A y C. El tanque B está totalmente lleno y no es necesario verter en el cilindro B hay excedente de agua. 3 D. La altura del nivel de agua en el tanque 150cm para no perder líquido. B es de 0.75m. 37. El cilindro B ha sufrido un daño y su Preguntas 40 a la 42. contenido se transfiere a un cubo, la mínima arista del cubo es: A. 23 25 B. 43 25 C. 3 25 D. 4  Preguntas 38 y 39 Las circunferencias tienen el mismo radio de 1 cm, los cuadrados grandes sus lados miden 2cm y los cuadrados pequeños sus diagonales miden 2. 40. De las figuras anteriores las dos que tienen áreas sombreadas iguales son: 131

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez A. A y D B. B y C C. C y D D. A y C 41. La figura cuya área sombreada es mayor a las otras es: 45. A. A El área sombreada es: B. B A. 2  4 C. C B. 4 D. D C. 2 42. De las anteriores figuras, la de mayor no D. 4  10 área sombreada es: A. A RESPUESTAS AL TALLER DE B. B GEOMETRÍA C. C D. D 1. D 43. 2. B 3. C 4. D 5. B 6. A 7. A 8. A El área del triangulo sombreado es: 9. C 10. B A. 8 11. B B. 6 12. D C. 4 13. A D. 2 14. A 15. B 16. C 17. B 18. B 44. 19. C El área sombreada es: 20. C 21. B A. 9 22. B B. 7 23. D C. 5 24. A D. 3 25. C 26. B 27. C 28. D 132

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 29. C 39. B 30. D 40. C 31. A 41. A 32. B 42. B 33. A 43. C 34. B 44. B 35. C 45. C 36. D 37. A 38. B

SUCESIONES Y RAZONAMIENTO ABSTRACTO En este capitulo encontrarás dos temas de gran facilidad y que son muy frecuentes en el examen de admisión, las sucesiones o secuencias y el razonamiento abstracto, los cuales no exigen un gran conocimiento matemático, sino que pone a prueba tu capacidad de analizar un listado de números o de graficas y obtener el patrón o la ley que gobierna dicha sucesión o secuencia. 133

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Ejemplo. SUCESIONES O SECUENCIAS En matemáticas, se llama sucesión o secuencia al conjunto de elementos encadenados o sucesivos de forma infinita, es decir, es una función de naturales a reales. Lo que implica que en la primera posición va el primer elemento, en la segunda posición va el segundo elemento y así sucesivamente.

Hoy es miércoles 31 de diciembre, que día de la semana será dentro 156 días. Solución. El patrón del problema es que cada siete días hay un miércoles, luego dividimos 156 por 7.

Ahora, los elementos no están al azar, existe un orden preestablecido que determina el número o la figura que va en cada una de las posiciones, el objetivo consiste en que al analizar los elementos que nos muestran podamos deducir el orden o patrón que rige la secuencia o sucesión.

El 12 significa que dentro exactamente 12 miércoles.

Ejemplo.

Ejemplo.

Se tiene un arreglo de rectángulos como lo muestra las siguientes gráficas.

8,4,A,9,E,8,4,A,9,E,8,4,A,9,E,8,4,A,9,E,…

156 días hay

El 2 de residuo es que después del último miércoles hay 2 días, luego es viernes.

En la anterior secuencia el número que va en la posición 1259 es: Solución.

La cantidad de cuadros que hay en la 9 posición es:

Si observamos, es un ciclo de cinco elementos que se repite indefinidamente, para saber qué número va en la posición 1259, dividimos 1259 entre 5,

Solución. Se puede apreciar que la posición indica la suma de los impares, es decir, en la primera posición se suma el primer impar, en el segundo se suman los dos primeros impares, en la tercera posición se suman los tres primeros impares.

El 251 significa que el patrón 8,4, A, 9, E se ha repetido 251 veces.

Ahora, la cantidad de cuadros en la novena posición son la suma de los primeros nueve impares:

Ejemplo.

El residuo 4, significa que se llegó hasta el cuarto término, luego la respuesta es: 9

7, 7, 14, 21, 35,… el término que sigue es:

1+3+5+7+9+11+13+15+17=81. Solución. Luego la respuesta es 81. 135

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Observamos que a partir del tercer término, Observemos que el último número de cada fila cada término es igual a la suma de los dos es igual a la fila al cuadrado. Es decir, anteriores. Fila 1 el último es 11=1 Fila 2 el última es 22=4 14=7+7 Fila 3 el último es 32=9 21=14+7 Fila 4 el último es 42=16 35=21+14 Luego el término siguiente es: Ahora, tenemos que buscar una fila que 35+21=56 contiene al 101, la fila 10 el último término es 100 y la fila 11 el último es el 121, por tanto el Ejemplo. 101 está en la fila 11. En la secuencia 8,13,21,32, 46… el término siguiente es. Solución. Observemos que entre el primer y segundo término aumento 5 unidades, entre el segundo y el tercero aumento 8 unidades, entre el tercero y el cuarto aumento 11 unidades, entre el cuarto y el quinto aumento 14 unidades. Observemos los aumentos: 5, 8, 11, 14, notemos que los aumentos van de 3 en 3, luego esperamos que entre el quinto y el sexto aumente 17 unidades, luego el sexto término es: 46+17=63, por tanto la respuesta es 63. Ejemplo. Se ubican los números naturales por filas, donde la primera fila hay un número, en la segunda hay tres, en la tercera hay cinco números y así sucesivamente como lo muestra el gráfico Continuado con el arreglo triangular que muestra la figura, el número 101 estará ubicado en la fila:

TALLER DE SECUENCIAS Preguntas 1 y 2.

La grafica muestra la secuencia de formación de 5 arreglos elaborados con regletas rectangulares de igual tamaño. 1. El número total de regletas que posee el arreglo número 10, construido siguiendo el patrón ilustrado, es: A. 25 B. 30 C. 55 D. 100 2. La suma de las 3 últimas filas horizontales generadas en el arreglo número 20, construido siguiendo el patrón ilustrado, es: A. 50 B. 54 C. 57 D. 60 Preguntas 3 y 4.

Solución.

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La grafica orientada muestra las influencias establecidas en un grupo de 5 personas ( , , , , ) Donde la conexión indica que influye directamente sobre . Una conexión indica que influye indirectamente sobre , es decir, influye sobre a través de que sería un intermediario. 3. De las siguientes afirmaciones, la única verdadera es: A.

puede influir sobre por intermedio de 3 personas. B. puede influir sobre únicamente por intermedio de 2 personas. C. puede influir sobre en forma directa o a través de 1ó 2 personas. intermediarios. D. influye sobre pero no puede influir de ningún modo sobre .

4. De las anteriores, la que representa el grafico de influencias dado es: A. A B. B C. C D. D Preguntas 5 y 6.

Se construyen tablas de doble entrada para mostrar la influencia directa de una persona sobre otra, así:

El 1 en la intersección de la fila donde está con la columna donde está , indica que influye directamente sobre .

El 0 indica que .

no influye directamente sobre

orden ----X -5 -4.5 -4 -3.5 -3 ----Y 1 1.5 2 2.5 3 ----La gráfica anterior se ha construido trazando segmentos rectilíneos en el orden indicado y con extremos en los ejes X y Y, de acuerdo con las coordenadas señaladas en la tabla siguiendo una ley de formación determinada. 5. las coordenadas en X y en Y del segmento de orden 10, son respectivamente: A. -1 y 5 B. -1.5 y 5.5 C. -0.5 y 5.5 137

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez D. 0 y 6 B. 55 6. De las afirmaciones siguientes la única C. 63 verdadera es: D. 65 8. El número de barras horizontales que A. Las áreas de cada uno de los triángulos presenta el grafico número 5 construido rectángulos, que tienen como hipotenusas siguiendo el patrón descrito es: los segmentos rectilíneos, son iguales. A. 21 B. Los segmentos rectilíneos trazados, tienen B. 25 la misma medida. C. 31 C. Para todos los segmentos rectilíneos, la D. 35 distancia desde cero al extremo sobre el eje X es distinta a la distancia desde cero al extremo sobre el eje Y. D. Para todos los segmentos, la diferencia entre sus coordenadas en el eje Y y en el 9. Para decorar una pared se utiliza un eje X es igual. enchape con baldosines de dimensiones iguales y de dos colores: blanco y Preguntas 7 y 8. sombreado; siguiendo el patrón alternado que se indica en la figura. Si la pared requiere 5 hileras horizontales, con el ancho de 11 baldosines como se indica, entonces el número total de baldosines blancos y sombreados que se necesitan, respectivamente, es; La grafica ilustra tres candelabros que tienen A. 35 y 20 un patrón de construcción común, consiste en B. 39 y 16 duplicar cada uno de los brazos verticales, C. 40 y 15 generando en el candelabro siguiente un nuevo D. 38 y 17 nivel. Cada pareja de brazos verticales se soporta en una barra horizontal. El cuadro resume el número respectivo de elementos.

10. En la sucesión 1, 3, 7, 15, ?; el elemento “?” es: A. 23 B. 29 C. 31 D. 19 Preguntas 11 y 12.

7. El número de brazos verticales que presenta el grafico número 5 construido siguiendo el patrón descrito es: A. 51

Las figuras anteriores se han construido de acuerdo a una ley de formación que puede 138

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez identificarse. La tabla siguiente recoge la D. Es infinita. información observable así: 15. Cinco amigos Andrés, Bernardo, Carlos, Darío y Ernesto juegan a pasarse un balón Figura 1 2 3 4 y lo hacen de la siguiente manera: Andrés N°. Triángulos 0 4 8 12 se lo pasa a Darío, Bernardo se lo pasa a Andrés, Carlos se lo pasa Bernardo, Darío 11. El número total de triángulos que presenta se lo pasa a Ernesto y Ernesto se lo pasa a la figura N°. 10 construida siguiendo la Carlos. Si al inicio del juego Darío tiene el misma ley de formación es: balón, entonces al ser pasado 523 veces, A. 32 quien tiene finalmente el balón es: B. 48 A. Andrés C. 36 B. Bernardo D. 40 C. Carlos 12. El área del menor cuadro resultante en la D. Darío figura N°. 6, construida siguiendo la misma ley de formación, con relación al área del 16. A Carla se le asignan la tarea de pintar las cuadrado inicial N°.1 es: 84 caras visibles de una torre construida A. 1/18 con cubos iguales, ubicada en una esquina B. 1/32 de una habitación y que sigue el diseño que C. 1/64 se muestra en la figura. D. 1/16

13. La figura que continua la secuencia es:

A. A B. B C. C D. D 14. En la sucesión -3, 5, 2…, cada número a partir del tercer término es la suma de los dos términos anteriores. Acerca de la cantidad de números pares que contiene esta sucesión se puede afirmar que: A. Solo uno de ellos es par B. Solo dos de ellos son pares C. Solo tres de ellos son pares

El número de pisos de la torre que debe pintar Carla es: A. B. C. D. 17.

8 9 6 7 A continuación se ilustra las primeras 3figuras de una sucesión de cuadros que contienen a su vez cuadros más pequeños sombreados:

La fracción del área sombreada que correspondería a la figura 4 es: 139

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez A. 81/128 números y así sucesivamente como lo B. 90/256 muestra el gráfico, Continuado con el C. 85/256 arreglo triangular que muestra la figura, el D. 21/64 número 10.100 estará ubicado en la fila: En la figura se ilustra una tabla que se extiende indefinidamente hacia abajo y hacia los lados

Sugerencia: observe el último término de cada fila y dese cuenta que son los números naturales elevados al cuadrado. A. B. C. D.

Cada número ubicado en la región no sombreada de la tabla está determinado por la fila y la columna que ocupa. Por ejemplo, el 2 se encuentra en la fila 2, columna -1 Diremos entonces que las coordenadas del 2 son (2, 1).Las coordenadas del 8 por ejemplo son (3, 2). 22. 18. A. B. C. D.

Las coordenadas del número 50 son: (8, – 7) (8, – 6) ( 7, 6) (7, 7)

19. El número que corresponde coordenadas (11, 8) es: A. 254 B. 315 C. 102 D. 119

a

las

95 100 101 110

En la sucesión anterior, el número de triángulos iguales al triángulo de la figura 1(en tamaño mas no en color), que integran la figura número 6 que se construye siguiendo la misma secuencia es: A. B. C. D.

Se tiene cuatro letras que se ubican a través de unas filas y columnas dependiendo de un orden especifico como se muestra en el gráfico.

20. Acerca de las coordenadas (51, -52) se puede afirmar con certeza que: A. No le corresponde un número. B. Le corresponde el número 2501. C. Le corresponde un número par D. Le corresponde un número múltiplo de 3 21. Se ubican los números naturales por filas, donde la primera fila hay un número, en la segunda hay tres, en la tercera hay cinco 140

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Así por ejemplo la letra que va en la fila 2 y D. 56 columna 3 es A 30. 9, 13, 18, 24,31,… el número que va en la siguiente posición es: 23. La letra que va en la fila 6 y columna 3 es: A. 36 A. A B. 37 B. B C. 38 C. C D. 39 D. D RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER 24. El número que va en la fila 6 columna 4 es: A. A 1. C B. B 2. C C. C 3. C D. D 4. B 5. C 25. El número que va en la fila 7 columna 1 es: 6. D A. A 7. C B. B 8. C C. C 9. D D. D 10. C 26. 5,5, 10, 15,? El número que van en la 11. C posición? Es: 12. B A. 20 13. A B. 25 14. D C. 30 15. B D. 35 16. D 17. C 27. Hoy es lunes 31 de diciembre, el día 18. A número 224 del próximo año es: 19. D A. Lunes 20. A B. Martes 21. C C. Jueves 22. D D. Sábado. 23. A 28. -1,2,-3,4, -1,2,-3,4, -1,2,-3,4… 24. C El número que va en la posición 3526 es: 25. D A. -1 26. B B. 2 27. A C. -3 28. B D. 4 29. C 29. 5,6,9,14,21,… el número que va en la 30. D posición número 8 es: A. 50 RAZONAMIENTO ABSTRACTO. B. 52 C. 54 141

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Es una secuencia en la cual se presentan uno o 2. Dada la secuencia más elementos gráficos en los cuales cada uno de ellos tiene un patrón que rige su movimiento, el objetivo es descubrirlo. Ejemplo: El cuadro que sigue en la secuencia es:

Dada la anterior secuencia el cuadro que sigue es:

3. En la siguiente gráfica el cuadro que sigue es:

Solución. Notemos que el triángulo negro se mueve en el sentido de las manecillas, al principio se mueve una unidad, después se mueve dos unidades y posteriormente se mueve tres unidades, por lo tanto en el siguiente triángulo se tiene que mover cuatro unidades y por ende la respuesta es la C.

TALLER DE RAZONAMIENTO ABSTRACTO.

4. Dada la secuencia gráfica anterior. De las opciones siguientes, la que continúa la secuencia es:

1. De los siguientes gráficos, el que continúa la secuencia de los gráficos anteriores es:

5. En la secuencia anterior, la figura siguiente es:

142

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6.

En la secuencia anterior la gráfica que sigue es:

9. En la anterior secuencia se mostró las primeras cuatro posiciones de un arreglo, el arreglo que va en la posición número 8 es:

A. A. B. B. C.

D.

C.

D. 7. En la anterior secuencia la gráfica que continúa es: 10. A.

La grafica que continua en la siguiente secuencia es:

B.

C.

D.

8. en la anterior secuencia el cuadro que sigue es:

RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

C C B C B B C 143

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 8. D 10. B 9. C

MÉTODOS DE CONTEO Y PROBABILIDAD. A continuación aparecen los principales métodos de conteo ilustrados con ejemplos de exámenes de admisión pasados, además, aparece ejemplos de probabilidad que te serán muy útiles en el examen de admisión.

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Evento 3: 18 formas.

MÉTODOS DE CONTEO

Evento 4: 10 formas, ya que son 10 dígitos En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones o subconjuntos, que en algunas ocasiones se van a distinguir por el orden de sus elementos, en otros no importa el orden de sus elementos o serán agrupados por la naturaleza de algunos de ellos.

Evento 5: 10 formas ya que se pueden repetir dígitos. Evento 6:10 formas ya que se pueden repetir dígitos. La cantidad de matriculas es: 20*19*18*10*10*10=6´840.000

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO El principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar si tenemos n eventos y cada uno de ellos se puede hacer de una cantidad de maneras diferentes y dado el primer evento se tienen que dar todos los demás eventos, la cantidad de formas en que se dan los eventos es el producto de las formas en que se pueden hacer. Ejemplo. Se quiere saber el numero de matriculas diferentes de automóviles, de 3 letras y 3 números se pueden hacer sabiendo que sólo se pueden utilizar 20 de las letras del alfabeto y éstas no se pueden repetir.

Ejemplo. La cantidad de números de 3 dígitos que son mayores a 230 que se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 4, y 5. De tal forma que no se repitan los dígitos es: Solución. Este es un caso especial, pues si el primer número que escogemos es el 2, el segundo número no puede ser 0, ni 1. Pero si escogemos el 4 o 5 en el primer dígito, el segundo dígito podría ser cualquiera. Si empieza con el 2. Evento 1: 1 forma, sólo se puede escoger el 2. Evento 2: 2 formas, sólo se puede escoger el 4 o el 5

Solución. Tenemos 6 eventos diferentes que son: escoger la primera letra, la segunda letra, la tercera letra, el primer dígito, el segundo dígito y el tercer dígito. Determinemos la cantidad de maneras en que se pueden hacer cada evento Evento 1: 20 formas, cualesquiera de las 20 letras disponibles. Evento 2: 19 formas, esto es por que no puede repetirse las letras.

Evento 3: 3 formas, esto es por que no se repiten los dígitos y de los cinco ya utilice dos. Luego. 1x2x3=6, Significa que hay 6 números mayores que el 220 que inician con el 2. Si empieza con el 4 o 5. Evento 1: 2 forma, es el 4 o el 5.

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Evento 2: 4 formas, de los cinco dígitos ya se de 3 dígitos y los dígitos pueden ser desde utilizó uno. el 0 hasta el 9. Pero con la condición de que el primer dígito no sea el cero, esto es Evento 3: 3 formas, esto es por que no se para evitar confundirlo con la letra o. repiten los dígitos y de los cinco ya utilice dos. A. 15818400 B. 15828400 Luego. C. 16785400 D. 47856000 2x4x3=24 4. ¿Cuántos números enteros positivos de seis Ahora, el total de números que se pueden dígitos hay? armar siguiendo las condiciones es A. 1000.000 B. 900.000 24+6=30 C. 800.000 D. 999.999 Se pueden armar 30 números

TALLER DE PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO 1. Un contador tiene dos sacos negro y beige y 4 camisas: celeste, café, blanca y azul de el número de maneras en que se puede vestir es: A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 2. Tengo en la cafetería están regalando tres tipos de sándwiches, de jamón, de salami y de tuna; además, están obsequiando dos tipos de postre, de bizcocho y de helado. Cuantas combinaciones distintas pueden surgir de los tres tipos de sándwiches y de los 2 postres que están regalando. A. B. C. D.

12 10 8 6

3. El número de placas de un automóvil que se puede obtener si se usan 26 letras del alfabeto para formarlas. además cada placa tiene 3 letras y esas 3 letras van seguidas

5. ¿Cuántos números enteros pares positivos de seis dígitos hay? A. 450.000 B. 500.000 C. 400.000 D. 454.444 6. ¿Cuántos números de cinco cifras no tienen entre sus dígitos el cinco ni el tres? A. 38672 B. 48584 C. 28672 D. 50.000 7. La cantidad de números de cuatro cifras que tenga todas sus cifras pares excepto el cuatro y el ocho A. 64 B. 86 C. 44 D. 54 8. La cantidad de números de cuatro cifras que tenga todas sus cifras impares excepto el cinco y el siete, A. 243 B. 81 C. 729 D. 65 146

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 9. ¿Cuántos números de seis cifras hay que no Con los dígitos 0, 1, 2, 3. tienen sus dígitos repetidos? 13. El total de números de 3 cifras que se A. 150.800 pueden formar, teniendo en cuenta que el B. 256.080 cero no puede ocupar el primer lugar, es: C. 136.080 A. 20 D. 250.000 B. 32 C. 40 10. ¿Cuántos números de dos cifras hay que no D. 48 tienen sus dígitos repetidos y terminan en 2? A. B. C. D.

10 9 8 7

11. Un reloj digital da la hora mostrando cuatro dígitos. Por ejemplo cuando es media noche el muestra 00:00 y cuando falta un minuto para la media noche él muestra 23:59. El número de veces por día, que la hora mostrada está formada por cuatro dígitos pares es: (pista: nótese que si el primero es el 0 el segundo puede ser 8, ejemplo 08:22, pero si inicia con el 2 ya no puede ir el 8, y ¿Cuáles otros?) A. 60 B. 108 C. 120 D. 105 12. El número 93 es llamado un número bonito, porque el dígito de las decenas es mayor que el dígito de las unidades. La cantidad de números bonitos de dos cifras es: (pista: si inicia con el 1 el segundo solo puede ser el 0, pero si inicia con el 2, el segundo puede ser 0 y 1) A. B. C. D.

36 35 45 64

Preguntas 13 y 14.

14. El total de números de 3 cifras que comiencen por 1 es: A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 15. Estela anotó el teléfono de una amiga en un pedazo de papel. Dejo caer un café sobre él y solamente quedó legible el inicio 451, pero los otros cuatro dígitos quedaron completamente borrados. Ella recuerda que el primero de estos dígitos era par, el último era impar y que de los siete dígitos del número eran diferentes. La cantidad de números telefónicos que se pueden formar cumpliendo estas condiciones es. A. 240 B. 560. C. 1120 D. 480

RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

C D A B A C D B C 147

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 10. C hasta nt objetos iguales entre si de un último 11. D tipo. 12. C Ejemplo. 13. D 14. B Un código de lectura para el servicio postal 15. A. codifica usando 5 barras: 2 altas y 3 cortas. El número de formas en que estas barras pueden FACTORIAL. ser ordenadas es: El factorial no es un método de conteo, pero nos sirve para los próximos métodos de conteo. El factorial se define como:

n!  n.(n  1)(n  2)...2.1 Ejemplo.

5! 5.4.3.2.1  120

3!  3.2.1  6 PERMUTACIÓN LINEAL CON ELEMENTOS REPETIDOS Frecuentemente queremos encontrar el número de permutaciones de objetos donde algunos son iguales o repetidos. La fórmula general para esto, es la siguiente:

n! n1!.n2!...nt!

La figura muestra una de las posibles ordenaciones. A. B. C. D.

5 8 10 12

Solución. Tenemos cinco elementos, de los cuales hay dos iguales que son los segmentos grandes y tres elementos iguales que son los segmentos pequeños, como hay elementos iguales utilizamos la formula.

5! 5.4.3.2.1   10 3!.2! 3.2.1.2.1 Luego la respuesta es la C Ejemplo.

Donde n es la cantidad de objetos del conjunto, de los cuales n1 es la cantidad de elementos que son iguales entre sí, n2 es la cantidad de elementos que son iguales entre sí,….,nt es la cantidad de elementos que son iguales entre sí. De otra forma; el número de permutaciones (P) distintas de “n” elementos tomados de “n” en “n” en donde hay un primer grupo de n1 objetos iguales entre si; n2 objetos iguales entre si de un segundo tipo y así sucesivamente

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar? Solución. Tenemos 9 elementos, de los cuales tres son el dos, cuatro son el tres y dos son el cuatro, como se repiten elementos entonces la cantidad de formas en que puedo ordenar los nueve elementos es:

148

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez A. 2002 9! 9.8.7.6.5.4.3.2.1   1260 B. 300200 3!.4!2! 3.2.1.4.3.2.1.2.1 C. 1260 D. 252 Ejemplo. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con dos 2 y dos 4? Solución. El conjunto con el cual vamos a trabajar es 4, puesto que el número tiene 4 dígitos y tenemos dos 2 y dos 4.

4! 4.3.2.1  6 2!2! 2.1.2.1 Luego hay 6 números diferentes que son 4422 2244

3. Un código de lectura para el servicio postal codifica usando 8 barras: 5 altas y 3 cortas. El número de formas en que estas barras pueden ser ordenadas es: A. 46 B. 78 C. 36 D. 56 4. En una competición deportiva participan 3 equipos de 2 atletas cada uno. ¿De cuántas formas diferentes pueden llegar los equipos? A. 100 B. 90 C. 80 D. 70

2442 2424 4242 4224 TALLER DE PERMUTACIONES CON REPETICIÓN. 1. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas? A. 1200 B. 1300 C. 1260 D. 1460 2. En una urna hay 9 bolas, 3 blancas, 2 rojas y 4 negras. ¿De cuantas formas distintas se pueden extraer las bolas de la urna?

5. ¿de cuantas maneras se pueden vestir 10 estudiantes con 3 uniformes amarillos, 4 uniformes verdes y 3 uniformes rojos. A. 4200 B. 5200 C. 360 D. 4500 6. La clave de una computadora son de 6 dígitos y solo admite ceros y seis, ¿Cuántas claves se pueden formar de tal manera que la suma de sus dígitos sean 18? A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 7. La cantidad de formas en que se puede sembrar en nueve agujeros 4 margaritas, 2 rosas y 3 tulipanes es: A. 1260 B. 2260 C. 1560 149

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez D. 1000 COMBINATORIA Y VARIANZA. 8. En el palo de señales de un barco se pueden izar 4 banderas rojas, 3 azules y 5 COMBINATORIA. verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden Si tenemos un conjunto con n elementos y indicarse con la colocación de las doce queremos escoger k elementos al azar y sin banderas? importar el orden, entonces, la cantidad de A. 37720 formas en que se pueden hacer es: B. 27720 C. 15200 n! D. 25200

(n  k )!*k! 9. En una urna hay 10 bolas, 4 blancas, 2 rojas y 4 negras. ¿De cuantas formas distintas se pueden extraer las bolas de la urna? A. 4150 B. 1560 C. 2560 D. 3150 10. ¿Cuántas palabras diferentes coherentes o no, se pueden escribir con las letras de la palabra: mama? A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

C C D B A B A B D C

Ejemplo Se tiene una carrera de 6 perros y Juan quiere acertar con el nombre de los dos primeros perros que lleguen a la meta sin importar el orden, de ¿Cuántas formas lo pueden hacer? Solución. Se tiene un conjunto de 6 perros y se quieren escoger 2 sin que importe el orden, luego n=6 y k=2.

6! (6  2)!*2!



6 x5 x 4 x3 x 2 x1 4! x 2 x1



6 x5 x 4 x3x 2 x1

 15

4 x3 x 2 x1x 2 x1

Luego existen 15 posibles parejas para escoger. Ejemplo. Se tiene 8 puntos en el plano, de tal forma que no existen 3 puntos colineales, ¿cuántas rectas se pueden pasar por estos puntos? Solución. Se tiene un conjunto de 8 elementos, de los cuales se van a escoger de a 2, ya que por dos puntos pasa una línea recta y es única.

8! (8  2)!*2!



8 x7 x6 x5 x 4 x3 x 2 x1

 28

6 x5 x 4 x3 x 2 x1x 2 x1

150

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez de los triángulos sean algunos de los TALLER DE COMBINATORIA vértices del pentágono? A. 10 1. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los B. 5 siete colores del arco iris tomándolos de C. 8 tres en tres? D. 12 A. 35 B. 40 7. En un grupo compuesto por cinco hombres C. 25 y siete mujeres se quiere formar un comité D. 60 de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse. 2. A una reunión asisten 10 personas y se A. 350 intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos B. 420 saludos se han intercambiado? C. 120 A. 55 D. 792 B. 50 C. 45 8. En una clase de 35 alumnos se quiere D. 40 elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden 3. ¿Cuántos balotos diferentes se pueden formar? hacer, sabiendo que se deben escoger 6 A. 8000 números de 45, sin importar el orden? B. 6545 A. 9145060 C. 7458 B. 8145060 D. 200 C. 9185600 D. 7185600 9. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas 4. Se tiene 5 personas, de las cuales se quiere diferentes de dinero puede formar con las escoger 3 para los cargos de servicios cinco monedas? varios, de ¿Cuántas formas se pueden hacer A. 1 tal selección? B. 2 A. 14 C. 26 B. 12 D. 35 C. 10 D. 8 10. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir tres premios distintos entre Juan, 5. ¿Cuántas diagonales tienen un pentágono? Pedro, María, Alicia y Pilar? A. 10 A. 10 B. 5 B. 8 C. 8 C. 6 D. 12 D. 4 6. ¿Cuántos triángulos se puede inscribir en 11. El número de diagonales que se pueden un pentágonode tal forma que los vértices trazar en un polígono de 7 lados es: 151

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez A. 19 2) El segundo puesto (MEDALLA DE B. 16 PLATA) puede ser ocupado por cualquiera de C. 14 los nueve atletas restantes, existiendo 9 D. 11 posibilidades. RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

A C B C B A A B C A C

3)El tercer puesto (MEDALLA DE BRONCE) puede ser ocupado por cualquiera de los ocho atletas restantes, existiendo 8 posibilidades Empleando el principio de multiplicación # maneras = 10 x

9

x 8

# maneras = 720

TALLER DE VARIANZA.

VARIANZA. Si tenemos un conjunto con n elementos y queremos escoger k elementos al azar pero importando el orden de escogencia, entonces, la cantidad de formas en que se pueden hacer se calcula con el principio fundamental del conteo Ejemplo. En una carrera de 400 metros participan 12 atletas. ¿De cuantas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce? Solución: Tenemos un conjunto de 10 elementos y queremos tomar 3, pero importa el orden ya que no es lo mismo llegar de primero a llegar de segundo o de terceras. 1) El primer puesto (MEDALLA DE ORO) puede ser ocupado por cualquiera de los diez atletas, existiendo 10 posibilidades

1. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos? A. 220 B. 1320 C. 660 D. 6 2. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal? A. 24 B. 48 C. 12 D. 50 3. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? A. 120 B. 240 C. 3125 D. 100.000 4. Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse? A. 81 B. 27 C. 729 152

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez D. 243 fútbol sabiendo que hay 8 posibles candidatos? 5. ¿De cuántas formas pueden colocarse los A. 336 11 jugadores de un equipo de fútbol B. 340 teniendo en cuenta que el portero no puede C. 344 ocupar otra posición distinta de la portería? D. 350 A. 11! 10. Con las cifras 0,1, 2 y 5, ¿cuántos números B. 10! de tres cifras pares pueden formarse? C. 9! A. 24 D. 12! B. 28 C. 32 6. Con el punto y raya del sistema Morse, D. 36 ¿cuántas señales distintas se pueden enviar, RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER. usando como máximo cuatro pulsaciones? A. 18 1. B B. 16 2. B C. 14 3. A D. 12 4. D 5. B 7. En un grupo de 5 personas integrantes de 6. B una junta deben elegirse Presidente, 7. D secretario y tesorero; suponiendo que 8. B ninguna persona se elige para más de una 9. A posición, el número de maneras en que esto 10. A puede hacerse es: A. 12 B. 15 C. 30 D. 60 8. En un grupo de 6 personas integrantes de una junta deben elegirse Presidente, secretario y tesorero; suponiendo que ninguna persona se elige para más de una posición, el número de maneras en que esto puede hacerse es: A. 100 B. 120 C. 140 D. 160 9. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de

PROBABILIDAD. PROBABILIDAD SIMPLE La Probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de veces que ocurre el suceso y el número total de posibles resultados.

P( A) 

#A total

Ejemplo. La probabilidad de que al lanzar un dado, el resultado de la cara superior sea un número par es: Solución.

153

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez bolas Rojas El evento “A” es que en la cara superior halla 10 3 un número par. X

15

#A= 3, esto es por que hay tres pares en un dado que son: 2,4, y 6.

10 *15 X  3

Total = 6, esto es por que el dado puede caer de seis formas diferentes. Luego la probabilidad buscada es:

Luego hay 50 bolas en la bolsa.

P( A) 

3 1  6 2

Ejemplo. En una bolsa opaca hay bolas negras, blancas y rojas. Se saca una bola al azar, la probabilidad de que sea negra es 1/5, la probabilidad de que sea blanca es 1/2 y el número de bolas rojas es 15. El número de bolas en la bolsa es:

X  50

PROBABILIDAD

CONJUNTA

EN

EVENTOS INDEPENDIENTES Se define como la probabilidad de que dos o más eventos independientes, (es decir, la ocurrencia de uno de ellos no obliga la ocurrencia del otro) se presenten juntos o en sucesión, y es el producto de sus probabilidades simples. Ejemplo.

Solución. La suma total de las probabilidades de un experimento aleatorio es igual a uno, empezamos por sumar las probabilidades existentes

Se tiene un juego de dardos sobre una circunferencia

1 1 25 7    5 2 10 10 Esto significa que sacar bola blanca o negra tiene una probabilidad de 7/10, ahora, la probabilidad de que sea roja es:

P(roja ) 

3 10

Esto se puede entender así: por cada 10 bolas que hay en la bolsa, 7 son blancas o negras, por lo tanto las otras 3 tienen que ser rojas. Para saber el total de bolas planteamos una regla de tres así, si por cada 10 bolas hay tres rojas, ¿cuántas bolas hay si tenemos 15 rojas?

El juego consiste en lanzar un dardo dos veces, si el dardo cae por fuera o en una línea divisoria se repite el lanzamiento. ¿Cual es la probabilidad de que un jugador en el primer lanzamiento caiga en la zona A y en el segundo caiga en la C? Solución. Calculamos primero la probabilidad de caer en la zona A.

154

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez

P( A)  10% 

10 1  100 10

P( DyD) 

4 * 100  16% 25

Ahora, calculamos la probabilidad de que caiga en la zona C.

Ejemplo.

33 P(C )  33%  100

En una bolsa opaca hay 4 pelotas azules y 5 pelotas rojas, ¿cúal es la probabilidad de que al extraer tres pelotas una tras otra, una de ellas sea azul?.

Luego la probabilidad buscada es:

1 33 33 P( AyC )  *  10 100 1000 Si la probabilidad se quiere en porcentaje entonces:

P( AyC ) 

33 * 100%  3.3% 1000

Ejemplo. Teniendo en cuenta el ejemplo anterior ¿Cuál es la probabilidad de que un dardo caiga en los dos lanzamientos en la zona D?

Solución. Supongamos que la pelota azul sale de primeras, por tanto su probabilidad es 4/9, la segunda pelota es roja, pero se debe tener encuenta que ya no hay 9 pelotas sino 8, pues ya salió una de ellas, por tanto la probabilidad de que sea roja es 5/8, la tercera pelota es roja y como ya han salido dos pelotas, entonces quedan 7 por consiguiente la probabilidad de que la tercera sea roja es de 4/8 (tenga en cuenta que hay 4 pelotas rojas). La probabilidad de que la primera sea azul y las otras dos sean rojas es:

Solución. Primero, calculemos la probabilidad de caiga en la zona D.

40 2 P( D)  40%   100 5 Ahora, la probabilidad de que en los dos lanzamientos caigan en la zona D es:

2 2 4 P( DyD)  *  5 5 25 Luego si se quiere la probabilidad en porcentajes se obtiene que:

P

4 5 4 10 * *  9 8 7 63

la anterior es la probabilidad de que la primera sea azul, la cuestión es que necesito que haya una azul, no necesariamente de primeras, lo cual conlleva a decir que se puede hacer de tres maneras diferentes: A-R-R R-A-R R-R-A Por tanto la probabilidad que estamos buscando es la anterior probabilidad multiplicada por 3. 155

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez número de bolas rojas es 10. El número de 10 30 10 P  3*   bolas en la bolsa es: 63 63 21 A. 48 B. 50 Por tanto la respuesta es 10/21. C. 24 D. 30 TALLER DE PROBABILIDAD 1.

En una bolsa opaca hay 15 pelotas, algunas son rojas y otras son azules. El número de pelotas rojas es uno más que el de azules. La probabilidad de sacar de la bolsa una pelota azul es: A. 1/15 B. 7/15 C. 8/15 D. 1/2

Se lanzan un par de dados, bien balanceados al azar y con los números obtenidos se forma una fracción. La probabilidad de que esta fracción sea menor que 1 es: A. 1/4 B. 5/12 C. 1/2 D. 3/4 3. Se tiene tres monedas idénticas con las posiciones señaladas en la figura

Preguntas 6 a la 8. Un equipo de futbol formado por niños, ganó una copa en un torneo de futbol. Para determinar quien guardaría la copa en su casa planearon algún tipo de sorteo. 

2.





La probabilidad de que al seleccionar al azar dos de ellas, sin importar el orden y al volearlas se obtengan 3 sellos, es: A. 1/4 B. 1/2 C. 1/3 D. 2/3 4. En una bolsa opaca hay bolas negras, blancas y rojas. Se saca una bola al azar, la probabilidad de que sea negra es 1/4, la probabilidad de que sea blanca es 1/3 y el

5.

Mateo, el de la camiseta 7, hizo la siguiente propuesta: como cada uno de nosotros tiene una camiseta enumerada del 1 al 11, podemos lanzar 2 dados, el resultado obtenido al sumar el puntaje de estos dos dados es un número entre 2 y 12, le restamos 1 a esa suma. Quien tenga la camiseta con ese número se lleva la copa a su casa. Sebastián, el de la camiseta 11, comentó: A Mateo siempre le gusta llevar ventaja. Seguramente él tiene más posibilidades que cualquiera de nosotros, si hacemos lo que él quiere. Camilo, el de la camiseta 1, le respondió a Sebastián: ¡tal vez tienes razón! Mateo debe tener más posibilidades que nosotros dos juntos. Si se lleva a cabo la propuesta de Mateo, la probabilidad de que él se lleve la copa para su casa es: A. Igual que la de cualquier otro del equipo. B. Mayor que la probabilidad de cualquiera del equipo. C. Mayor que la probabilidad que tiene el de la camiseta 1, pero menor que la que tiene el de la camiseta 6. D. Menor que la de cualquiera del equipo.

156

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 6. Si se lleva a cabo la propuesta de Mateo, la 8. La probabilidad de que el dardo caiga en el única afirmación falsa es: color Verde en un lanzamiento es: A. Uno de los niños del equipo tiene más A. 1/2 posibilidades de llevarse la copa a su B. 1/3 casa que cualquiera otro pero no es C. 1/4 Mateo. D. 1/5 B. Camilo y Sebastián juntos, tienen la misma probabilidad de llevarse la copa 9. La probabilidad de que el dardo caiga en a su casa que el niño que tiene la un color primario (amarillo, azul, rojo), en camiseta 10. un lanzamiento es: C. Mateo tiene más posibilidades de A. 1/2 llevarse la copa a su casa que B. 5/7 cualquiera otro del equipo. C. 11/20 D. Si se suman las posibilidades de Mateo D. 1/55 y el niño de la camiseta 5, tendrán más posibilidad de llevarse la copa que 10. Si se lanza el dardo dos veces, entonces, la cualquiera del equipo individualmente. probabilidad de que en ambas ocasiones 7. De los comentarios de Mateo, Sebastián y caiga en negro es: Camilo puede concluir con certeza que: A. 3/20 A. Sebastián y Camilo están equivocados. B. 9/20 B. Sebastián tiene razón y Camilo está C. 9/40 esta equivocado. D. 9/400 C. Sebastián está equivocado y Camilo tiene Razón. 11. Si en el juego hay un total de $200.000 y al D. No es posible determinar cual tiene la tirador se le dá un porcentaje de este total, razón. equivalente al porcentaje del color en el que cae el dardo. Entonces, la Probabilidad Preguntas 9 a la 12. de que el concursante se lleve al menos $40.000 cuando lance el dardo es: En un juego de tiro al blanco, cada color A. 13/20 ocupa un porcentaje del área del disco, B. 17/25 como lo muestra la figura. Si el dardo cae C. 1/4 por fuera del disco o toca alguna línea D. 1/3 divisoria, entonces el jugador repite el lanzamiento.

Preguntas 12 a la 14. Se tiene en una bolsa oscura y en ella hay 5 pelotas malas y 3 pelotas en perfecto estado, las cuales no se pueden diferenciar entre la bolsa, solo se identifican cuando se han extraído. 12. Se

extrae tres pelotas, cual es la probabilidad de que solo una de ellas sea buena. 157

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez A. 5/28 D. 20 B. 3/8 C. 15/28 18. Se lanza un dado y una moneda, la D. 10/28 probabilidad de que caiga un seis en el dado y una cara en la moneda es: 13. Se extrae tres pelotas, cual es la A. 1/2 probabilidad de que dos de ellas estén B. 1/6 defectuosas C. 1/12 A. 5/28 D. 1/8 B. 15/28 19. Se lanzan dos monedas la probabilidad de C. 9/64 que caigan alternadas es: D. 10/28 A. 1/2 14. Se extrae tres pelotas, cual es la B. 1/4 probabilidad de que al menos una de ellas C. 1/8 esta defectuosa. D. 1/10 A. 1/56 20. Se lanzan dos dados la probabilidad de que B. 3/56 la suma de sus caras superiores sea un C. 55/56 numero impar es: D. 100% A. 1/2 B. 17/36 Preguntas 15 a la 17. C. 15/36 D. 1/3 Se tiene dentro de una bolsa tres tipos de números; pares, impares e irracionales, la probabilidad de que se saque un número par es 3/10, la probabilidad de que sea impar es 2/5 y hay 6 números irracionales. 15. La probabilidad de extraer un número

irracional de la bolsa es: A. 3/10 B. 2/5 C. 1/2 D. 1/3 16. La cantidad de números racionales que hay en la bolsa es: A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 17. La cantidad de números que hay en la bolsa es: A. 14 B. 16 C. 18

RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

B B C C C C C D C D A C B C A D D C 158

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 19. A 20. A

PROCESOS FÍSICOS. Este es un tema que esencialmente debes saber leer y comprender correctamente el enunciado, consta de un enunciado detallando el proceso de un algún producto o de un mecanismo, y lo resuelves con los conocimientos matemáticos ya aprendidos, antes de empezar a resolver este tipo de ejercicios, hay un breve repaso de movimiento uniforme y uniformemente acelerado, haciendo énfasis en las graficas de espacio tiempo, y velocidad tiempo las cuales te serán muy útiles.

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Un Movimiento es rectilíneo uniforme cuando el cuerpo describe una trayectoria recta, y es uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, esto implica que su aceleración es nula. No esta demás recalcar que el concepto de Velocidad constante implica que la magnitud y dirección de ésta son constantes. La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. FORMULAS IMPORTANTES: 

desplazamiento  x f  xo

El desplazamiento es la diferencia entre la posición final e inicial.



V 

desplazamiento tiempo

La magnitud de la velocidad o rapidez es el cociente entre el desplazamiento y el tiempo empleado en este. 

La anterior grafica muestra un cuerpo que va hacia la derecha, parte del origen y que además por cada unidad de tiempo avanza un kilometro. Por tanto, si asumimos el tiempo en horas tenemos que su velocidad es:

V 

1km  1km / h 1h

Ahora, si necesitamos hallar el desplazamiento entre las 3 y 5 horas tenemos que:

desplazamiento  5km  3km  2km

2.

desplazamiento  tiempo * velocidad El desplazamiento también es igual al producto de la rapidez y el tiempo



tiempo 

desplazamiento velocidad

El tiempo es igual al cociente entre el desplazamiento y la rapidez.

GRAFICAS DE ESPACIO TIEMPO. La representación gráfica de la posiciónvs tiempo del movimiento uniforme es una línea recta, como se muestra en las siguientes graficas: 1.

En la anterior grafica el cuerpo empieza su movimiento en 2m y cuando han pasado 5 s llega a 6 m, por tanto su desplazamiento desde que inicio el movimiento es de 4 m. (el desplazamiento es la diferencia entre la posición final e inicial). Para hallar La velocidad del cuerpo se necesita conocer un desplazamiento y el tiempo que le tomo hacerlo, sabemos que entre los primeros 5 sg hizo un desplazamiento de 4 m, por tanto:

160

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez tanto su desplazamiento es cero y su velocidad 4m V   0.8m / s es cero.

5s

3.

GRÁFICOS DE VELOCIDAD TIEMPO Las graficas de velocidad tiempo en un movimiento rectilíneo uniforme son segmentos de recta horizontales, esto es por que la velocidad es constante. A continuación trazaremos las graficas de las velocidades de las 4 graficas anteriores.

En la anterior gráfica se muestra un cuerpo que avanza hacia la izquierda, e inicia su movimiento en 4 m.

1.

El desplazamiento en los primeros cinco segundos es:

desplazamiento  1m  4m  3m Este desplazamiento es negativo debido a que el cuerpo avanza hacia la izquierda. Ahora, con esto podemos determinar su velocidad.

V 

2.

 3m  0.6m / s 5s

La velocidad es negativa por que el cuerpo va hacia la izquierda. 4.

3.

En la anterior grafica muestra una línea horizontal y siempre que se tenga una línea horizontal en un grafico de espacio tiempo se debe inferir que el cuerpo esta en reposo, y por

4.

161

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Entre la primera y segunda hora el móvil retrocede 1 km. Entre la segunda y cuarta hora el móvil retrocede 1 km. Entre la cuarta y la quinta hora retrocede 4 km. Entre la quinta y la sexta hora el cuerpo esta en reposo. LAS GRAFICAS DE ACELERACIÓN Entre la sexta y séptima hora avanza 2 km. TIEMPO. 2. halle el desplazamiento en cada uno de los intervalos Como la velocidad es constante en el Solución movimiento uniforme, entonces la aceleración es cero. En la primera hora, el desplazamiento es cero. Entre la primera y segunda hora el móvil se desplaza -1 km. Entre la segunda y cuarta hora el móvil se desplaza -1 km. Entre la cuarta y la quinta hora se desplaza -4 km. Entre la quinta y la sexta hora el desplazamiento es cero. Entre la sexta y séptima hora el desplazamiento es de 2 km. APLICACIONES La grafica muestra el movimiento de un carro en una carretera con respecto a un sistema de referencia,

3. halle la rapidez en cada intervalo de tiempo. En la primera hora, el desplazamiento es cero y por tanto su velocidad es cero. Entre la primera y segunda hora el móvil se desplaza -1 km, por tanto:

V 

 1km  1Km / h 1h

Entre la segunda y cuarta hora el móvil se desplaza -1 km, por tanto:

V  1. describa el desplazamiento del carro en cada intervalo de tiempo Solución. En la primera hora, el móvil esta en reposo.

 1km  0.5Km / h 2h

Entre la cuarta y la quinta hora se desplaza -4 km, por tanto:

V 

 4km  4 Km / h 1h

Entre la quinta y la sexta hora el desplazamiento es cero por tanto su velocidad es cero.

162

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Entre la sexta y séptima hora el A. 100m y 100m/s desplazamiento es de 2 km. B. 50m y -100m/s C. -100m y -100m/s 2km D. -50m y -50m/sg

V 

1h

 2 Km / h

TALLER DE GRAFICAS DE ESPACIO TIEMPO.

El siguiente grafico ilustra el desplazamiento de una partícula, el desplazamiento esta medido en m y el tiempo en segundos.

5. En que intervalos de tiempo avanzo hacia la derecha A. De 3 a 4s y de 6 a 7s B. De 1 a 5s C. Siempre D. De 0 a 4 s y de 5 a 6 sg 6. En que intervalos de tiempo avanzo hacia la izquierda A. 6 a 7s. B. 5 a 6s C. 0 a 4s D. siempre 7. En que intervalos de tiempo se detuvo.

1. ¿Cuál es el desplazamiento y velocidad media entre 0 y 2 segundos? A. 100m y 100m/s B. 50m y 100m/s C. 50m y 50m/s D. 100m y 50m/s 2. ¿Cuál es el desplazamiento y velocidad media 2 y 3 segundos? A. 200m y 100m/s B. 100m y 100m/s C. 100m y 50m/s D. 50m y 50m/s

A. B. C. D.

No se puede determinar. 6a7s 5a6s 4a5s

8. Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del mismo sentido, el desplazamiento total en el viaje de 16 s es: A. 14160cm B. 14000cm C. 10800cm D. 2000cm 9. En el gráfico,

3. ¿Cuál es el desplazamiento y velocidad media 2 y 4 segundos? A. 200m y 100m/s B. 300m y 100m/s C. 100m y 100m/s D. 200m y 200m/s 4. ¿Cuál es el desplazamiento, y velocidad media 6 y 7 segundos? 163

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Se representa un movimiento rectilíneo 14. Un móvil recorre 98 km en 2 h, la cantidad uniforme, la distancia recorrida en los de kilómetros que recorrerá en 3 h con la primeros 4 s es: misma velocidad es: A. 5m A. 49 B. 4m B. 138 C. 20m C. 147 D. 24m D. 150 10. El siguiente gráfico muestra el cambio de posición en función del tiempo de dos móviles 1 y 2,

El más rápido es: A. B. C. D.

1 2 Los dos son igualmente rápidos. No se puede determinar sin medidas.

11. la distancia recorrida por un móvil a razón de 90 km/h, después de un día y medio de viaje. A. 3240km B. 3420km C. 3340km D. 3500km 12. El tiempo empleado por un móvil que se desplaza a 75 km/h para recorrer una distancia de 25.000 m A. 1/3h B. 2h C. 3h D. 4h 13. El tiempo en horas empleado por un móvil que viaja a 80 km/h para recorrer una distancia de 640 km es: A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

15. El siguiente gráfico muestra desplazamiento de dos móviles 1 y 2.

el

De lo anterior es incorrecto afirmar que: A. Los dos móviles realizan el mismo desplazamiento. B. El móvil 1 y 2 se encuentran después de 8 segundos iniciado el movimiento del segundo móvil C. El móvil 1 necesita menos tiempo que el móvil 2 para hacer el desplazamiento de 7m. D. El móvil 2 es más rápido que el móvil 1.

RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

D B A C D A D A C A A A D C D

164

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez recta de pendiente negativa, como lo MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE muestran las siguientes gráficas: ACELERADO El movimiento uniformemente acelerado (MUA) es aquel movimiento en el que la aceleración que experimenta el móvil permanece constante tanto en magnitud como en dirección en el transcurso del tiempo. Veremos ejercicios de un móvil que experimenta en pequeños tramos de tiempo una aceleración constante, pero en el otro tramo puede experimentar otra aceleración. ACELERACIÓN Son los cambios de velocidad que experimenta el móvil. Su definición matemática es:

a

v f  vo t f  to

GRAFICA DE VELOCIDAD TIEMPO. 

Si la aceleración es positiva la grafica de la velocidad es un segmento de una línea recta cuya pendiente es positiva como se muestran en las siguientes graficas.

Ejemplos Una partícula tiene una grafica de velocidad tiempo como se describe a continuación:

Donde la velocidad se da en m/s. Y el tiempo en s. 1. El tiempo que ha estado en movimiento la partícula es: 

Si la aceleración es negativa la grafica de la velocidad es un segmento de una línea

Solución

165

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Ha estado en movimiento 30 s, ya que de 30 a 35 segundos su velocidad es cero y Para hallar el desplazamiento de una por tal razón esta en reposo. grafica de velocidad tiempo, se calcula el 2. En que intervalos de tiempo el movimiento área que hay entre la grafica y el eje x es uniforme. como se ilustra a continuación Solución. En una grafica de velocidad tiempo, el movimiento es uniforme sólo sí el segmento es horizontal, por tanto sólo es uniforme en el intervalo de tiempo de 30 a 35 s. 3. el intervalo de tiempo en que la aceleración es mayor.

Para eso lo dividimos geométricas conocidas.

en

figuras

Solución. Hay cuatro intervalos importantes de (0,5)s, (5,15)s, (15,25)s, (25,30)s pero en los dos últimos las aceleraciones son negativas y por ende no son mayores a las aceleraciones positivas Aceleración de (0,5)s La velocidad final en ese tramo es 5m/s y la velocidad inicial es de 0m/s, el tiempo final es de 5s y el tiempo inicial es de 0 s, por tanto su aceleración es:

a

50  1m / s 2 50

Aceleración de (5,15)s La velocidad final en ese tramo es de 15m/s, la velocidad inicial es de 5m/s el tiempo final es de 15s, el tiempo inicial es de 5s, por tanto su aceleración es:

a

Aquí tenemos un rectángulo y un triángulo. El área del triangulo es un medio del producto de la base y su altura. La base y la altura miden 10

a

10 *10  50m 2

El área del rectángulo es base por altura

a  10 * 5  50m Por tanto el desplazamiento es de 100m TALLER DE M.U.A Una partícula tiene una grafica de velocidad tiempo como se describe a continuación:

15  5  1m / s 2 15  5

Por tanto cualquiera de los dos es mayor. 4. Calcule el desplazamiento de la partícula entre 5 y 15 sg. Solución

Donde la velocidad se da en m/s Y el tiempo en s 166

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 1. ¿Cuánto tiempo ha estado en movimiento 1. C la partícula? 2. D A. 35 s 3. A B. 25 s 4. A C. 30 s D. 40 s 5. C 2. ¿Cuál de los siguientes intervalos de tiempo el movimiento es uniforme? A. 0 a 5 s B. 5 a 15 s C. 25 a 30 s D. 15 a 25 s 3. ¿Cuál de los siguientes intervalos tiempo la aceleración es mayor? A. 0 a 5 s B. 5 a 15 s C. 25 a 30 s D. 15 a 25 s.

de

4. Calcule el desplazamiento de la partícula entre 5 y 15 sg. (ayuda; utilice el área bajo la grafica) A. 75 m B. 75 cm C. 50 m D. 100m 5. ¿cuál es la aceleración de la partícula en el intervalo de tiempo de cero a 5 segundos? A. 2m 2 s B. 5m C.

1m

s2

ANÁLISIS DE PROCESOS FÍSICOS REALES Con los conocimientos matemáticos que ya has aprendido puedes resolver este tipo de ejercicios, consiste en que leas correctamente el enunciado que por lo general es un poco largo y subrayes los datos importantes como: condiciones, números, posibles daños y porcentajes, los enunciados describen el procedimiento de un proceso. A continuación se presenta un tipo de ejercicio confió que puedas hacerlo por tu cuenta. PROCESO DE FABRICACIÓN DELVIDRIO. El vidrio se forma con diferentes tipos de sales. Como se describe a continuación: Sílice (SiO2), 75% Óxido de Sodio (Na2O) y Óxido de Potasio (K2O), 12%

s2

D. 0.5m

6. B

s

Óxido de Calcio (CaO) 5% 2

6. En cuales de los siguientes intervalos de tiempo la partícula esta en reposo. A. 5 a 15 s B. 30 a 35 s C. 25 a 30 s D. 15 a 25 s. y 30 a 35 s

RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER

Óxido de Magnesio (MgO), 3%: Componentes Óxidos para conferir buena resistencia a la acción de agentes climáticos El resto es Óxido de Aluminio (Al2O3): Componentes Óxidos Metálicos en ciertos tipos de vidrios para colorear su masa. El tono verdoso del vidrio se debe a las impurezas de hierro de la arena, esto sucede solo si el hierro es superior al 6% de la mezcla 167

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez de sílice. Para compensar esto se debe homogéneamente y lo vierten en una banda incorporar agentes blanqueadores que tienen transportadora, conocida como la banda que ser el 115% de la cantidad de hierro surtidora de la mezcla y ésta lo lleva a un horno excedente encontrada en el sílice. este proceso se demora 30 minutos, si se presenta un daño en el mezclador o en la banda Antes de iniciar el proceso de fabricación debe transportadora es por que no hay energía en la existir en bodega un total de mínimo de 7.5 planta y una planta de suministro alterna le toneladas de sílice y una tonelada de cada uno toma 30 minutos en volver hacer funcionar la de los otros materiales, de no cumplirse con lo planta. anterior el proceso se detiene máximo por un día y mínimo por medio día, mientras la El horno funde la mezcla a una temperatura de compañía se surte 1500ºC. El vidrio obtenido, aún en estado fluido es distribuido a los moldes donde El proceso de fabricación es de 8000 kilos, la obtienen su forma definitiva. Este proceso se fabricación de los envases de vidrio comienza demora 2 horas se necesita 10.000 kg de cuando un operario vierte los materiales en carbón para procesar 1000 kg de mezcla de cinco bandas transportadoras conocidas como vidrio y posteriormente, se traslada a un arca bandas surtidoras de sustancias, este proceso de recocido en la que mediante un tratamiento tarda una hora, si se presenta un daño es por térmico que dura 1 hora, se eliminan tensiones que el motor que hace girar las bandas no internas y el envase de vidrio adquiere su grado tienen energía o las bandas necesitan ser definitivo de resistencia. cambiadas, el proceso de reparación tarda 2 horas mientras tanto el operario vierte A continuación, se realizan unos exhaustivos manualmente las sustancias y le tomará tres controles de calidad que dura 2 horas, donde se horas en total. comprueban cada unidad electrónicamente. Tras estos controles, los envases son Las materias primas se vierten por separado en empacados. 5 tolvas una para cada sustancia; las cuales tienen balanzas electrónicas, estas envían la 1. Ha surgido un daño y la fabrica se ha información de las masas a un computador y detenido por menos de dos horas, de las éste con un software especializado envía la siguientes situaciones la única que no es orden de vaciar el producto en un mezclador posible es: solamente si los materiales tienen la proporción A. La banda transportadora no tiene un descrita, este proceso se demora 15 minutos. Si daño. no se tiene la proporción correcta el B. La cantidad de sustancias en las tolvas computador le indica al operario la cantidad no están en la proporción correcta. que debe extraer o agregar de las sustancias. En C. El computador o el software están el caso de que el operario debe agregar o averiados. extraer sustancias le toma 30 minutos en D. Las bandas transportadoras que llevan hacerlo. Si se presenta un daño el proceso se las sustancias a las cinco tolvas no detiene por 1 hora mientras se repara el están funcionando. computador o el software. 2. No hay daños en la planta y todo puede Después de vaciar las sustancias en el funcionar correctamente, pero el proceso se mezclador éste por dos horas los revuelve 168

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez detuvo por ocho horas, por tanto se puede A. No se puede determinar inferir que: B. 800 A. En la bodega no hay suficientes C. 900 materiales. D. 960 B. Hay menos de 1 tonelada de oxido de 8. El operario vierte 450 kg de oxido de calcio. calcio, además de las otras materias, en las C. El operario no suministro la cantidad bandas que llevan a las tolvas, el de materiales correcta. computador analiza los pesos; de los D. No hay energía en la planta. siguientes informes dados por el computador uno que no es posible que 3. En la bodega hay suficiente materias emita el computador es: primas, hay energía en la planta y no hay A. Debe extraer 50 kg de oxido de calcio. daños en ninguna parte de la planta, el B. Debe extraer oxido 50 kg de calcio y tiempo que le toma a la planta en realizar 100 kg sílice. los embases esta entre: C. Debe extraer solo 100 kg de sílice. A. 7 y 8 horas D. Debe extraer 50 Kg de todos los B. 8 y 9 horas materiales. C. 9 y 10 horas 9. En 8000 kg de sílice se encontró que D. 10 y 11 horas. había 500 kg de hierro, por tanto: A. El operario no debe agregar agentes 4. Ha sucedido un problema el computador blanqueadores, ya que la cantidad de envía la orden de que no hay suficiente hierro es tolerable. sílice, entonces el tiempo de retraso en B. El operario debe agregar 575 kg de minutos es de: agentes blanqueadores. A. 10 C. El operario debe agregar 500 kg de B. 20 agentes blanqueadores C. 30 D. El operario debe agregar 23 kg de D. 45 agentes blanqueadores. 5. El porcentaje de oxido de aluminio en la mezcla es de: A. 3% B. 5% C. 8% D. 10% 6. La cantidad de sílice que el operario debe agregar a la banda surtidora es: A. 4000 B. 5000 C. 6000 D. No se puede determinar 7. La cantidad de oxido de sodio es:

10. La cantidad de carbón necesaria para la elaboración de un proceso de fabricación es: A. 80.000 Kg B. 8.000 Kg C. 6.000 Kg D. 5.000Kg RESPUESTAS

AL

ANTERIOR

TALLER. 1. 2. 3. 4.

D A B C 169

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 5. B la empresa se demora dos horas en repararlo y 6. C todo el proceso se detiene. 7. D Una vez que las grandes masas de piedra han 8. C sido fragmentadas, se transportan a la planta 9. D para pre homogenizar las piedras. Esto se hace 10. A en camionetas de una capacidad de 4.5 metros cúbicos cada una, se tiene 7camionetas para PROCESO DE FABRICACIÓN DEL este trabajo. Este proceso se demora 20 CEMENTO minutos por cada camioneta. El proceso de fabricación del cemento comprende cuatro etapas principales: extracción y molienda de la materia prima, homogeneización de la materia prima, producción del clínker y La materia prima para la elaboración del cemento es: 64% óxido de calcio 21% óxido de silicio 5,5% óxido de aluminio 4,5% óxido de hierro 2,4% óxido de magnesio 1,6% sulfatos 1% otros materiales, principalmente agua.

entre

los

cuales

Una vez extraída la materia prima de las minas es llevada por volquetas que tienen una capacidad de 7.2 metros cúbicos, la empresa de fabricación de cementos tiene 4 volquetas disponibles y 2 volquetas adicionales que pueden alquilar; una o las dos, esto lo hace si al menos dos de sus volquetas se averían o si con las cuatro no alcanzan a cubrir todo el pedido, en el caso de averiarse le toman 6 horas en repararlas la distancia entre la empresa y las minas es de 180Km, la velocidad promedio de cada volqueta es de 80Km/h, el tiempo que se demoran en cargar cada volqueta es de 20 minutos, las volquetas se cargan una a la vez. Una vez traído los minerales se llevan a un triturador el cual reduce la materia prima en tamaños que pueden ser procesados, este proceso tarda 10 minutos por cada metro cúbico. Si se presenta un daño en el triturador

El proceso de Pre homogeneización consiste En mezclar las materias primas en forma proporcional en unas gigantescas tolvas, este proceso se demora 0.2 horas por cada metro cúbico. Si las tolvas dejan de funcionar es por falta de fluido eléctrico y toma 30 minutos mientras una planta de energía externa suministra energía. Después se envía la mezcla a un molino vertical de acero, que muele el material mediante la presión que ejercen tres rodillos que ruedan sobre una mesa, los molinos pueden funcionar con al menos dos de sus rodillos en pleno funcionamiento, la probabilidad de que falle cualquiera de los rodillos es 0.25 y si los molinos no funcionan la empresa se demora 2 horas en reemplazar los rodillos malos. En este proceso el material es pulverizado por medio de bolas de acero. y dura 15 minutos por metro cúbico. Después se logra la Homogeneización de la harina cruda y se realiza en los silos equipados para lograr una mezcla homogénea del material. Esto se demora 12 minutos por metro cúbico. La Calcinación es el proceso que continúa de la homogeneización, en donde se emplean grandes hornos rotatorios en cuyo interior la temperatura es de 1,400 °C la harina cruda se transforma en clínker, que son pequeños módulos gris obscuro de 3 a 4 cm. Este horno consume 12.000 Watt por cada

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez metro cúbico de mezcla y el proceso se demora C. 10:50 7 minutos por metro cúbico. D. 11:50 4. Teniendo en cuenta el enunciado anterior Posterior a la homogeneización se sigue con la resuelva éste. Traídos los 25 metros Molienda de cemento El clínker es molido a cúbicos en su totalidad, se llevan las través de bolas de acero de diferentes tamaños materias primas al triturador, la hora a la a su paso por las dos cámaras del molino, que terminan el proceso de trituración es: agregando el yeso para alargar el tiempo de A. 8:40 fraguado del cemento. Este proceso tarda 15 B. 9:00 minutos por metro cúbico. C. 4:00 D. 12:15 Por último viene el Envase y embarque del cemento. El cemento es enviado a los silos de almacenamiento para su venta este proceso tarda 14 minutos por metro cúbico. 1. Se necesita traer 22 metros cúbicos de materias primas a las minas, por tanto el número de volquetas necesarias es: A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. Se necesita traer 29 metros cúbicos de materiales de las minas, por tanto. A. Si las volquetas están en funcionamiento entonces no se deben alquilar las dos volquetas. B. Si las volquetas están en funcionamiento entonces no se debe alquilar una volqueta. C. Si las volquetas están en funcionamiento entonces se debe alquilar las dos volquetas. D. Si las volquetas están en funcionamiento entonces se debe alquilar una volqueta. 3. Se necesita traer 25 metros cúbicos, se envían las 4 volquetas y están salen a las 6:00, la hora a la que llega la última volqueta es: A. 8:15 B. 8:35

5. Después del proceso de trituración en un día cualquiera se obtiene que hay 24 m3 y se desea transportar a la planta para pre homogenizar, el numero de camionetas necesarias son: A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. Si en las tolvas hay 60 m3 de materiales, entonces la cantidad de oxido de silicio es: A. 12.6m3 B. 38.4 m3 C. 40 m3 D. 15.4 m3 7. Si en las tolvas del proceso de pre homogenización se vierten 30 m3 a las 12:00, se espera que el proceso termine a las: A. 5:00PM B. 6:00PM C. 7:00PM D. 8:00PM 8. La probabilidad de que un molino vertical no funcione es: A. 3/4 B. 25/64 C. 5/32 D. 4/5

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 9. Se han agregado 15m3 a un molino de viento a las 5:00 AM, se espera que el 14. 15m3 de cemento son enviados a los silos proceso termine a las: de almacenamiento para su venta el tiempo A. 5:15 AM mínimo para hacer esta tarea es de: B. 8:00 AM A. 3.5 horas C. 8:30 AM B. 14 minutos D. 8:45AM C. 1 hora D. 2.5 horas 10. Se han agregado 15m3 a un silo en el proceso de homogenización a las 5:00 AM, 15. Si la planta se ha detenido por menos de 2 se espera que el proceso termine a las: horas, esto se puede deber a: A. 5:12 AM A. El triturador ha fallado. B. 8:00 AM B. Todas las volquetas están averiadas C. 8:30 AM C. Los rodillos de los molinos han D. 8:45AM fallado. D. Hubo problema con el flujo eléctrico. 11. En el proceso de calcinación se han RESPUESTAS AL ANTERIOR agregado 11 m3 a las 8:00 AM, la cantidad de watt que se consumen en el proceso es TALLER. de: A. 12.000 1. B B. 150.000 2. D C. 132.000 3. D D. 160.000 4. C 12. Teniendo en cuenta el numeral anterior, conteste éste, a la hora que termina el proceso de calcinación es: A. 8:07 AM B. 9:17 AM C. 9:20AM D. 10:00AM 13. En el proceso de molienda se han agregado 11 m3 a las 8:00 AM, a la hora que termina el proceso es: A. 8:15 AM B. 10:00 AM C. 10:30AM D. 10:45AM

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

B A B C D B C B D A D

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RAZONAMIENTO ESPACIAL

Es el último y el mas fácil de los temas del curso, con este capitulo terminamos la primera parte. Te deseo muchos éxitos

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez lateral derecha y en la parte superior queda un RAZONAMIENTO ESPACIAL cuadro gris, que sería la A. El razonamiento espacial prueba nuestro No puede ser la B, ya que si dejamos la estrella coeficiente intelectual (CI), y son ejercicios en la cara lateral derecha y el cuadro negro en relativamente fáciles los cuales están divididos la lateral izquierda, en la superior quedaría el en dos grupos: 1º ejercicios que miden cuadro que tiene el ovalo, que no es el cubo B. capacidad espacial de visualizar los objetos a partir de figuras, 2º la capacidad de visualizar No puede ser la C, ya que si dejamos el signo $ figuras a partir de los objetos. en la lateral izquierda y la estrella en la lateral 1º grupo. Los ejercicios de este tema en el examen son muy escasos y ya los he utilizado en la segunda y tercera parte de este libro, por ende he tomado ejemplos de la pagina web http://www.fibonicci.com/es/razonamientoespacial/prueba-facil que son muy similares. Ejemplo. Se tiene la siguiente figura y se quiere armar un cubo.

derecha, en la cara superior debería quedar la cara negra. No puede ser la D, ya que si dejamos en la superior la cara negra y la lateral derecha el cuadro con el ovalo, entonces en la lateral izquierda debe quedar la cara con la estrella. Si después de la explicación tienes dudas, calca la figura recorta dicha grafica y trata de armar los cubos y te convencerás de que la respuesta es la A.

TALLER DEL 1º GRUPO. 1. Se tiene la siguiente figura y se quiere armar un sólido

De los siguientes cubos el que corresponde al ensamblaje de la figura es: De los siguientes sólidos el que corresponde al ensamblaje de la figura es:

Solución. La respuesta es la A, si dejamos la estrella por el lateral izquierdo se puede apreciar inmediatamente que el signo $ queda por la

2. Se tiene la siguiente figura y se quiere armar un sólido

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De los siguientes sólidos el que corresponde al ensamblaje de la figura es:

3. Se tiene la siguiente figura y se quiere armar un sólido

De los siguientes sólidos el que corresponde al ensamblaje de la figura es:

6. Se tiene la siguiente figura y se quiere armar un sólido

De los siguientes sólidos el que corresponde al ensamblaje de la figura es: De los siguientes sólidos el que corresponde al ensamblaje de la figura es:

4. Se tiene la siguiente figura y se quiere armar un sólido 7. Se tiene la siguiente figura y se quiere armar un sólido

De los siguientes sólidos el que corresponde al ensamblaje de la figura es:

5. Se tiene la siguiente figura y se quiere armar un sólido

De los siguientes sólidos el que corresponde al ensamblaje de la figura es:

8.

Se tiene la siguiente figura y se quiere armar un sólido

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De los siguientes sólidos el que corresponde al ensamblaje de la figura es:

La imagen o vista frontal sería:

RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER.

2. La vista lateral del isométrico es:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

B A D D B B C D

Solución Consiste en describir la figura que se observa del isométrico mirándolo como lo indica la flecha

2º Grupo. En el segundo grupo, nos dan un isométrico y nos preguntan por tres tipos de imágenes, la frontal, la lateral y la superior.

La imagen lateral es:

Ejemplo. 3. La vista superior del isométrico es: Solución

1. La vista frontal del isométrico es:

Consiste en describir la figura que se observa del isométrico mirándolo como lo indica la flecha

Solución Consiste en describir la figura que se observa del isométrico mirándolo como lo indica la flecha

La vista superior es: 176

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5. La vista lateral del isométrico es: TALLER DEL SEGUNDO GRUPO. Preguntas 1 a la 3 6. La vista superior del isométrico es:

Preguntas 7 a la 9. 1. La vista frontal del isométrico es:

2. La vista lateral del isométrico es:

3. La vista superior del isométrico es:

Preguntas 4 a la 6

7. La vista frontal del isométrico es:

8. La vista superior del isométrico es:

9. La vista lateral del isométrico es:

Respuestas de la 10 a la 12 4. La vista frontal del isométrico es:

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10. La vista lateral del isométrico es:

11. La vista frontal del isométrico es:

12. La vista superior del isométrico es:

RESPUESTAS AL ANTERIOR TALLER 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

B A C A B C C A B A B C

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SEGUNDA PARTE Esta segunda parte esta dividida en dos secciones:

Sección A: consta de cuatro exámenes de admisión (sólo la parte de razonamiento lógico), el propósito es que resuelvas cada examen en dos horas, si algún punto no eres capaz de resolverlo, continúa con el otro punto, al final de cada examen están las respuestas, esto lo debes hacer con el objeto de que controles tu tiempo y realices el examen en el tiempo máximo que tendrás, como consejo te digo que realices todos los puntos sin calculadora ya que en el examen no tendrás una. Sección B: en esta parte aparecen los mismos cuatro exámenes de la sección A resueltos paso a paso, el propósito de esta sección es que si algún punto te dio dificultad aquí aprendas a resolverlo.

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez D. *67 SECCIÓN A 2. Si la clave de una caja como la descrita es 736 entonces el ángulo de giro del disco EXAMEN DE ADMISIÓN DE LA interior es: UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA DEL A. 120º MES DE SEPTIEMBRE DEL 2011 B. 150º C. 180º Un mecanismo de una caja de seguridad está D. 210º compuesto por tres discos: interior, medio y 3. De las siguientes claves para cajas de exterior; numerados cada uno del 0 al 9 más seguridad como la dada, la única que no es dos símbolos * y #, completando un total de posible es: 12 símbolos igualmente distribuidos alrededor A. 91* de cada disco, como lo muestra la siguiente B. *09 figura. C. 372 D. 554 4. Carlos y Gustavo deben llevar sus camiones en el recorrido Medellín-Bogotá y acordaron encontrarse en cierto punto de la autopista para continuar los recorridos juntos. Cuando Carlos pasó por el punto cero en Medellín se dio cuenta que si continuaba a una velocidad promedio de 50km/h, llegaría a tiempo al punto acordado con Gustavo. Sin embargo, EL mecanismo funciona de la siguiente cuando había recorrido 10km desde el manera: punto cero, recibió una llamada de Gustavo Los discos interior y exterior giran en sentido avisándole que se había retrasado, que horario en ángulos múltiplos de 30º; el disco apenas estaba pasando por el punto cero y del medio gira en sentido anti horario, también que iba a continuar su recorrido a 60km/h. en ángulos múltiplos de 30º. Para abrir o cerrar la caja se debe girar el disco interno un ángulo si ambos continúan con sus velocidades dado, mayor o igual a 60º, el disco del medio respectivas, la distancia recorrida en km, se gira un ángulo de 60º menos que el dado y el desde el punto cero, hasta el punto en que disco externo un ángulo de 30º más que el se encuentran es: ángulo dado. La clave de la caja de seguridad A. 50 esta dada por los tres símbolos que estarían B. 60 colocados en la parte superior de los discos, donde inicialmente aparecerían los tres C. 70 símbolos ceros (0), después de haber realizado D. 80 los giros indicados a partir del ángulo dado y comenzando la lectura por el disco interno. Preguntas 5 y 6 1. Si en una caja con el mecanismo anterior, Se definen los siguientes conjuntos: debe girarse su disco interior 240º para I: estudiantes del curso de Matemáticas 1 que poderla abrirla, entonces su clave es: utiliza internet en un computador. A. 463 P: estudiantes del curso de matemáticas 1 que B. 869 utilizan computador portátil. C. 574 180

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez O: estudiantes del curso de matemáticas 1 que incluyendo el hexágono. La circunferencia utilizan un computador. exterior gira únicamente en sentido horario a G: estudiantes del curso de matemáticas 1 que partir del eje WP, en tanto que la interior lo hace utilizan el buscador google en un computador. únicamente en sentido anti horario en referencia del mismo eje. Los dos sistemas de ejes 5. De los siguientes diagramas el que mejor determinan entre sí un ángulo de 45º. representa las relaciones de inclusión para  Cada vez que la circunferencia exterior rota, los conjuntos descritos es: cada cuadrado que parte o cruce por p, incrementa su valor en una cantidad igual a la del cuadrado que le sigue, en su paso por P constituyéndose en su nuevo valor.  Cada vez que la circunferencia interior rota, cada triangulo que ha pasado por P disminuye su valor en una cantidad igual a la del triángulo que le sigue en su paso por 6. El diagrama en el cual la zona rayada P constituyéndose en su nuevo valor. representa el conjunto de los estudiantes del  Si después de una rotación en cada una de curso de matemáticas 1 que no utiliza las circunferencias los ejes de ambos computador portátil pero utilizan internet en sistemas coinciden y quedan alineados un computador y no utilizan google, es: exactamente en la dirección del eje WP; entonces, se efectúa la suma algebraica entre las cifras presentes en ese momento entre el cuadrado y el triángulo alineados en la parte superior de las circunferencias y próximas al punto P y el valor del hexágono Responda las preguntas 7 a la 10 de acuerdo a la y esta suma se constituye en el nuevo valor siguiente información. del hexágono. 7. Si partiendo de la situación inicial el sistema de los cuadrados rota 135º y el sistema de los triángulos rota 90º, entonces, con relación a los resultados que se indican en la tabla, de las afirmaciones siguientes, la única verdadera es: A B C D 12 11 2 7 E 7 Los cuadrados A,B,C,D se encuentran fijos sobre la circunferencia exterior y en ejes respectivamente perpendiculares, lo propio para los triángulos E,F,G y H, fijados sobre la circunferencia interior y los ejes señalados. Las figuras tienen los valores inicialmente indicados,

F 3

G 3

H 13

A. Todos los valores indicados son correctos. B. Únicamente los valores indicados para los cuadrados son correctos. 181

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez C. Solamente los valores indicados para los triángulos son correctos. D. Solamente el valor del hexágono es A. 13,7,4,6 incorrecto. B. 2,7,3,6 8. Si partiendo de la situación inicial, el sistema de los cuadrados han rotado 180º y el de los triángulos ha rotado 135º, entonces, el valor del hexágono, es: A. 6 B. 9 C. 10 D. 11 9. si partiendo de la situación inicial se han obtenido los resultados señalados en la tabla después de las rotaciones respectivas, entonces, de los valores que se indican a continuación, los únicos que pueden corresponder a las rotaciones de los sistemas de los cuadrados y los triángulos son respectivamente: A B C D 12 11 13 7 E 7

F 3

G H 13 10

A. 180º y 270º B. 150º y 180º C. 270º y 180º D. 200º y 100º 10. Si partiendo de la situación inicial el sistema de los cuadrados ha rotado 120º y el de los triángulos 150º , entonces, los valores de los resultados que faltan en la tabla para C,D,F y H son respectivamente: A 12

B 11

C

D

E 7

F

G H 10

C. 7,7,3,6 D. 2,5,4,5 11. Lucas, Paco y Luis son tres amigos que tiene cada uno una mascota diferente.  Lucas le dice al dueño del gato que el otro amigo tiene un canario.  Paco le dice al dueño del perro que éste está peleando con el gato.  Paco y el dueño del gato hablan sobre el cuidado de las mascotas. Las mascotas de Lucas, Paco y Luis son respectivamente: A. B. C. D.

Perro, gato, canario. Gato, canario, perro Perro, canario, gato Canario, perro, gato.

Preguntas de la 12 a la 14. Un almacén de ropa femenina decide lanzar cuatro tipos de promociones. Las cuatro promociones, que aplican para prendas del mismo valor, son: i. ii. iii. iv. 12.

A. B. C. D.

Compre una y lleve otra por la mitad del precio. Compre tres y pague dos. Compre cuatro y pague tres Compre cinco y pague cuatro. De las cuatro promociones anteriores las que ofrecen el mismo descuento porcentual por prenda, son: i y ii i y iii ii y iv iii y iv

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 13. De las cuatro promociones anteriores, las comerciante puede adquirir de cada artículo. que ofrecen el mayor y el menor descuento Artícul Precio (pesos) Número porcentual por prenda, en este orden, son: o máximo de Costo/unida Precio A. i. y iii. d venta/unida artículos B. ii y iii disponible d C. ii y iv s D. iii y ii X 1000 1500 200 14. Cuatro clientes diferentes A,B,C y D Y 2000 3000 100 deciden comprar 17 prendas cada uno y Para que el comerciante obtenga la máxima deciden escoger los siguientes descuentos: A. cuatro descuentos del tipo ii y un ganancia invirtiendo todo su dinero, de las descuento del tipo iv. siguientes afirmaciones la única verdadera es: B. Tres descuentos del tipo ii y dos A. Debe comprar la mayor cantidad posible descuentos del tipo iii. del artículo Y. C. Tres descuentos del tipo ii y cuatro B. Debe comprar la mayor cantidad posible descuentos del tipo i. del artículo X. D. Tres descuentos del tipo ii, un C. No importa como distribuya su inversión descuento del tipo iii y dos descuentos entre los artículos X y Y. del tipo i. D. Debe comprar la misma cantidad de artículos X, que de Y. De las siguientes afirmaciones la única Preguntas 17 a la 20. verdadera es: El cuadro muestra la distribución de un mismo A. A obtuvo un descuento mayor que el de B. grupo de 100 estudiantes en 5 categorías en B. B obtuvo un descuento mayor que el de C. cuatro pruebas evaluadas en las áreas de C. C obtuvo un descuento mayor que el de D matemáticas, ciencias naturales, ciencias D. Los cuatro clientes obtuvieron el mismo sociales e inglés. descuento. Resultad mate Ccias Ccias ingl 15. Un pintor fue contratado para pintar una os mátic natural social és pared rectangular. Cuando termino de pintar as es es un tercio de la pared, le faltaban 8 m. Nº Nº Nº Nº cuadrados para completar la mitad de su Califica estudi estudia estudi estu trabajo. Si el cobra 4000 pesos por metro ciones antes ntes antes dian cuadrado pintado, el costo total por pintar tes Mala 20 5 0 20 esta pared es: Deficient 30 15 15 25 A. 200.000 e B. 192.000 Regular 20 30 10 25 C. 96.000 buena 25 35 45 15 D. 90.000 sobresali 5 15 30 15 ente 16. Un comerciante tiene 250.000 pesos para total 100 100 100 100 comprar artículos X y Y para revender. En 17. De las afirmaciones siguientes la única la tabla se muestran los datos del costo por falsa, es: artículo, el valor de venta y el número máximo de artículos disponibles que el

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez A. El 50% de los estudiantes obtuvo una C. El 50% del total de aprobados en inglés, calificación por encima de deficiente en obtuvo la calificación buena. matemáticas. D. Menos del 30% del total de aprobados B. Un total de 65 estudiantes del grupo en ciencias naturales obtuvo obtuvo calificación sobresaliente calificación sobresaliente. simultáneamente en las 4 pruebas. 80 C. El 29,4% del total que obtuvo 75 70 calificación regular, correspondió a la 65 prueba de inglés. 60 55 D. El 11.1% del total que obtuvo 50 calificación mala, correspondió a 45 ciencias naturales. 40 18. De las siguientes afirmaciones, la única verdadera, es: A. Del total de estudiantes que puntuaron en la calificación buena, el 35% del logro de ciencias naturales. B. Más del 50% de los estudiantes que obtuvieron calificación sobresaliente lo hicieron en ciencias sociales. C. El porcentaje de estudiantes que obtuvo calificación deficiente en matemáticas con respecto al total de deficientes, es el mismo que él que obtuvo calificación regular en ciencias naturales respecto al total de regulares. D. La prueba de matemáticas fue la que presento el resultado mas bajo con respecto a las demás en las calificaciones buena y sobresaliente. 19. Si designamos como aprobados los puntajes que clasifican en la categorías buena y sobresaliente, entonces, de las afirmaciones siguientes, la única verdadera, es: A. El 70% del número total de los que aprueban en las cuatro áreas, corresponde a ciencias sociales. B. El 30% del total de aprobados en ciencias sociales obtuvo la calificación sobresaliente.

20.

35 30 25 20 15 10 5 0

Con relación a la información suministrada en los cuadros la gráfica anterior representa: A. El total de estudiantes que puntuaron en las tres primeras categorías y los que puntuaron en las dos últimas respectivamente, en cada una de las pruebas. B. El total de estudiantes que se puntuaron en la segunda y tercera categoría y los que puntuaron en la segunda y tercera categoría y los que puntuaron en los dos últimas respectivamente en cada una de las pruebas. C. El total de estudiantes que puntuaron en las dos primeras categorías y los que puntuaron en la tercera y cuarta respectivamente, en cada una de las pruebas. D. El total de estudiantes que puntuaron en las dos primeras categorías y los que puntuaron en las dos últimas respectivamente, en cada una de las pruebas.

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez 21. Juan y Pedro han inventado un juego de  0 si el primer lanzamiento falla dados con las siguientes reglas:  1 si encesta el primero y falla el  Lanzan dos dados sucesivamente y segundo. calculan la diferencia de puntos entre el mayor y el menor  2 si acierta en los dos lanzamientos.  Si resulta una diferencia 0,1 o 2 I. La probabilidad de obtener 2 puntos entonces Juan gana un punto es menor que la de obtener 1 punto.  Si la diferencia es de 3, 4 o 5, Pedro II. La probabilidad de obtener 1 punto gana un punto. es menor que la de obtener 0 puntos Las posibilidades de que Juan y Pedro III. La probabilidad de obtener 2 puntos ganen el juego son respectivamente: es la mayor de todas. A. B. C. D.

1/2, 1/2 2/3, 1/3 3/4, 1/4 1/3, 2/3

Se puede decir con certeza que son verdaderas. A. Solo I

22. El promedio de ocho cantidades es 7. El promedio de cinco de esas cantidades es 10. El promedio de las otras tres cantidades es:

B. Sólo II C. Sólo II y III D. Solo III

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 23. Dos lámparas intermitentes se encienden a intervalos de 18 y 24 minutos respectivamente. Si a las 3:00 p.m. se encienden al mismo tiempo, entonces el número de veces en que vuelven a encenderse juntas desde este momento hasta que son las 2:00 a.m. del día siguiente es: A. B. C. D.

9 10 11 12

24. Un jugador de baloncesto que suele encestar el 70% de sus tiros desde el puesto de lanzamiento de personales, tiene que lanzar un personal. Esto implica que si el jugador acierta el primer tiro puede repetir el lanzamiento. Por tanto, es posible que obtenga 0, 1 o 2 puntos así:

PREGUNTAS DE LA 25 A LA 28. Un juego de computador consiste en colocar entre siete figuras disponibles, 5 de ellas en fila y en una posición determinada. El computador fija internamente una clave con 5 figuras y su posición exacta en la fila. 

El juego se inicia cuando el computador una vez fijada la clave interna presenta una secuencia al azar de 5 figuras ordenadas en fila e indica cuantas de ellas son válidas y cuantas están en la posición correcta.



El jugador a partir de esta secuencia inicial puede colocar las figuras que desee entre las disponibles y en la posición que quiera y una vez terminada su decisión oprime un botón e inmediatamente el computador le indica el número de figuras válidas y cuantas están en la posición correcta constituyendo este proceso una jugada.

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez El objetivo del juego consiste en descubrir siguientes, de la única que se tiene certeza, la clave en el menor número de jugadas. es: Figuras disponibles A. es válida y está en la posición correcta. A continuación se indican la fila inicial y la 1ª jugada de juego que acaba de iniciarse: Inicial

Primera jugada

B.

es válida y está en la posición correcta.

C.

es válida y no está en la posición correcta.

D.

es válida y su posición correcta es la casilla del centro.

27. El mismo juego continúa y se ejecuta la 4º jugada como se indica 4ª jugada 25. Después de la primera jugada, de las afirmaciones siguientes, la única que no es posible; es:

26. el juego anterior continua y se ejecutan la 2º y 3º jugadas como se indica: 2ª jugada

De las siguientes afirmaciones de la única que se tiene certeza es:

28. Continuando el juego se ejecuta la 5º jugada como se indica: 5ª jugada

De las opciones siguientes, la que muestra la clave, es: 3ª jugada

Después de la tercera jugada y con toda la información disponible de las afirmaciones

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autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez Si se sabe que el segmento AB mide 10 cm, entonces el área de la cruz en centímetros cuadrados es: A. B. C. D.

29. En la siguiente secuencia alfabética: a,b,f,c,d,e,f,f,g,h,i,f… La letra que continua en la secuencia es: A. B. C. D.

g j h k

30. En un cuadrado ABCD de lado una unidad se traza el segmento AC y se une el vértice B con el punto medio M, del lado DC, como muestra la figura:

25 50 100 125

32. En la figura el área del cuadrado de mayor tamaño es igual a 1 metro cuadrado. Una de sus diagonales se divide en tres segmentos de la misma longitud. Si el segmento del medio es la diagonal del

cuadrado sombreado, Entonces el área en metros cuadrados del cuadrado pequeño es: A. B. C. D.

1/9 1/6 1/4 1/3

PREGUNTAS 33 Y 34

La diferencia entre el área del cuadrilátero APMD y el área del triángulo PBC, en unidades cuadradas es: A. B. C. D.

Sobre el cuadrado ABCD con los puntos medios de sus lados X,Y,Z,W, se señalaron las regiones sombreadas 1,2,3,4 como se muestra en las figuras:

1/2 1/3 1/4 1/5

31. La cruz de la figura está formado por cinco cuadrados iguales.

33. Entre las siguientes afirmaciones, la única verdadera es: A. Las cuatro áreas sombreadas son iguales. B. El área de la región 3 es mayor que el área de la región 1. C. Solamente las áreas de las regiones 1, 2 y 3 son iguales. 187

autor Harold Velasquez Quintero, [email protected], https://www.youtube.com/channel/UCuGcLUmHn-G_BpOlAgyf0Xw youtube: Harold velasquez D. El área de la región 4 es un cuarto del área de la región 1. 34. Si se consideran los perímetros P1, P2, P3 y P4, de las regiones sombreadas 1,2,3 y 4. Respectivamente, entre las siguientes 38. En cada una de las siguientes figuras se afirmaciones, la única verdadera es: ilustran dos cuadrados de igual tamaño, A. P1=P2=P3=P4 superpuestos de tal manera que el vértice B. P1=P2>P4 de uno siempre está fijo en el centro del C. P1=P2=P3 Y P1Diferente a P4 otro. D. 2P4=P1 Si a1, a2 y a3 representan las áreas de las regiones sombreadas de las figuras 1,2 y 3 respectivamente, de las afirmaciones siguientes, la única verdadera es: A. a1