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Dirección de Estudios Generales

RAZONAMIENTO LÓGICO

2018-1

TEMA: NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES, IRRACIONALES Y REALES 1.

TEORÍA 1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS Los griegos conocían los números naturales: 1, 2, 3, 4, …., etc., los cuales se usaban para contabilizar posesiones, abastecimiento de alimentos, censos de población, tamaño del ejército, etc. Además de estos números, los matemáticos e ingenieros de esa época usaban otro tipo de números a los que llamaban racionales, debido a que se formaban al escribir la razón o cociente entre dos números naturales. Estos números aparecían con frecuencia en cálculos geométricos y en el diseño arquitectónico. Los griegos consideraban que toda magnitud se podía expresar mediante este tipo de números y que ya no existían nuevos tipos de números. 1.2 NUEVOS NÚMEROS El hombre de la prehistoria no sabía contar y no necesitaba hacerlo, pero cuando se estableció en comunas y empezó a tener posesiones, había la necesidad de contabilizar, por ejemplo, sus ovejas y sus tierras. Es así que nacen los números naturales. Pero si se restan dos números naturales no siempre se obtiene un número natural, el resultado podría ser negativo o cero. Al avanzar en la historia, fue necesario otro tipo de números, por ejemplo, para representar las deudas o las pérdidas. Así nacieron los números negativos y de esto, el conjunto de los números enteros. Así mismo, al necesitar repartir tierras, o herencias, nacieron los racionales. El mundo se iba haciendo más complejo. Los números también. Es así que aparecen números que no se pueden escribir como el cociente de números enteros. Un ejemplo es √2. A estos números se les llamó irracionales. Sin embargo, existe un conjunto que incluye a los números racionales y a los irracionales; a dicho conjunto se le denomina el conjunto de los números reales. Estos números reales pueden ser representados gráficamente mediante una línea recta densa y completa llamada la Recta Real, que se extiende desde el “menos infinito” hasta el “más infinito”, siguiendo una relación de orden. Resumiendo: ℕ = {1, 2; 3; 4; … . . } ℤ = {… , −3; −2; −1; 0; 1, 2; 3; … . } 𝑎 ℚ = { /𝑎 ∧ 𝑏 ∈ ℤ , 𝑏 ≠ 0} 𝑏 𝕀 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ∉ ℚ} ℝ = ℚ ∪ 𝕀 Notar que:

ℕ⊂ ℤ⊂ℚ⊂ ℝ

𝕀⊂ ℝ

y

Indique con un aspa el número correspondiente ℕ

ℤ

Ι

ℚ

ℝ

π 3 √−64 3,14 24/3 - √25 √7 Ahora nuevamente marque un aspa en el cuadro para indicar el conjunto a cual pertenece cada uno de los siguientes números: ℕ

ℤ

ℚ

-3/7 0 3,142 3

Ι

ℝ

3 4,333… π/3 √81 3 √−125

COMPARACIÓN DE CANTIDADES Se evalúa la habilidad para analizar y calcular con finalidad de comparar dos magnitudes haciendo uso de los conceptos aritméticos y algebraicos. (A) P > Q (B) P < Q (C) P = Q (D) No se puede comparar 2

i)

P = 23 y Q = 82

ii)

P = −√16 + 4

1

1

iii) P = 3,14

y Q = (√5 − √3)0 − 1 y

Q=𝜋

JERARQUÍA OPERATORIA Existe un orden convenido para realizar operaciones combinadas y se debe respetar a fin de no caer en ambigüedades. Este orden es el siguiente: a) Simplifica las expresiones dentro de los símbolos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves). b) Evalúa todas las potencias. c) Multiplica y divide de izquierda a derecha. d) Suma y resta de izquierda a derecha. Propiedades: Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑏 ≠ 0 𝑎𝑛 × 𝑎𝑝 = 𝑎𝑛+𝑝 ,

𝑛, 𝑝, 𝑚 ∈ ℤ, 𝑚 ≠ 0

y 𝑎 𝑚

(𝑏 )

𝑎𝑚

= 𝑏𝑚

,

𝑎 −𝑚

(𝑏 )

𝑏𝑚

= 𝑎𝑚

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1. Escribir tres números irracionales entre √2

y √5.

SOLUCIÓN

√2 = 1.4142135 … … .. √2 + 1/4 = 1.6642135 … … .. √3 = 1.7320508 … … .. √2 + 1/2 = 1.9142135 … … .. √5 = 12360679 … … ..

4

,

𝑚

√𝑎𝑛 = 𝑎𝑛/𝑚

2. Escribir tres números racionales entre 1/7 y ¼ 𝑎

3. Calcular 𝑎 + 𝑏 si se sabe que la fracción 𝑏 es irreductible y además es igual a 0,48 SOLUCIÓN 𝑎 𝑏

48

12

= 0,48 = 100 = 25 es irreductible → 𝑎 = 12 𝑦 𝑏 = 25

Respuesta: 𝑎 + 𝑏 = 37

4. ¿Cuál es el resultado de (−1)2 − (−1)2 + (−1)0 − (−1)3 + (−1)1 a) -1

b) 1

c) 2

d) 3

e) 5

5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es menor que 5? a)

5 5

+5−

5 5

b) 5 +

5+5 − 5

5

c)

5(5×5) 5+5

d)

5×5×5 5×5

e)

5+5+5 5+5

6. Si 𝑎 = −2 y 𝑏 = 3, ¿qué expresión se debe agregar a 4𝑎 + 𝑎2 𝑏 para obtener 8? a) 𝑎 + 𝑏 3

b) 2𝑎 − 𝑎3 𝑏

−13

7. Calcular 𝐸 = 4−2

a) 0

8. Calcular a) 888

1

1

b) 2

e) 3𝑏 2 − 3𝑎

1

c) 4

d) 8

e) 1

c) 445

d) 444

e) 444−1

d) 32

e) √4

444−1 +444−2 444−2

b) 222

b) 2

10. Hallar el valor de

a) 0

d) 𝑎2 + 𝑏 2 𝑎

+ ((25)2 )0 − √1/4

9. Calcular 𝐸 = [𝑥 𝑥 + √𝑥 √𝑥 ]

a) √2

c) 𝑎3 − 4𝑏

1

b) 2

8

𝑠𝑖 𝑥 = 1/4

c) 16

𝑏 𝑎 𝑎 𝑏+ 𝑏

𝑎−

1

4

1

si 𝑎 = 2

𝑏=4 1

1

c) 4

d) 8 5

1

e) 16

ACTIVIDADES COLABORATIVAS a)

Por dos memorias USB se paga 110 soles, pero uno de ellos cuesta 8 soles más que el otro, ¿Cuánto cuesta el más barato? SOLUCIÓN Sean los costos de los USB: 𝑥 𝑒 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑥 + 𝑦 = 110 𝑥−𝑦 = 8 Sumando 2𝑥 = 118 → 𝑥 = 59 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠 → 𝑦 = 51 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠. 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: El más barato cuesta 51 soles.

b)

Una empresa produce jarras de vidrio. Las mencionadas jarras tienen un precio unitario de venta de S/. 18 y un costo unitario de S/. 12. Si los costos fijos ascienden a S/. 300 000, calcule el mínimo número de jarras que deben venderse para que la empresa tenga utilidades. 1. 20000 b) 500004 c) 500000 d) 8100 e) 50 001 SOLUCIÓN PV: Precio de venta PC: Precio de costo G: Ganancia o utilidad PV = PC + G Para que exista utilidad o ganancia, entonces 𝐺 > 0 𝑥: 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑

Entonces 18𝑥 − (12𝑥 + 300 000) = 𝐺 > 0 → 6𝑥 − 300 000 > 0 → 6𝑥 > 300 000 → 𝑥 > 50 000 Repuesta: deben venderse 50 001 jarras por lo menos, para obtener la mínima utilidad.

c)

Si a una cantidad que tengo la multiplico por 3, luego a este resultado le resto 7 y, finalmente, a esta diferencia la divido entre 2, obtengo 7. ¿Cuál es el número? a) 7

d)

b) 14

e) 25

b) 21 años

c) 25 años

d) 27 años

e) 30 años

La suma de las edades de Juan y Pedro es 48 años. Al acercarse María, Juan le dice lo siguiente: “Cuando tú naciste yo tenía cuatro años, pero cuando Pedro nació tu tenías 2 años”. ¿Cuál es la edad de María? a) 27 años

f)

d) 24

Las edades de Carla y Adriana suman actualmente 48 años. Si al nacer Carla, Adriana tenía 6 años, ¿cuál será la edad de Adriana dentro de 9 años? a) 36 años

e)

c) 21

b) 21 años

c) 22 años

d) 23 años

e) 25 años

Un padre quiere repartir entre sus hijos cierta cantidad de dinero. Si les entrega 300 soles a cada uno, le sobraría 600 y si les entrega 500 soles a cada uno, le faltaría 1000 soles. ¿Cuántos hijos tiene? i)

2

b) 4

c) 5

d) 8

6

e) 7

g)

Un restaurante tiene un total de 30 mesas. Las mesas son de dos tipos (para 2 y para 5 personas). Si el restaurante tiene capacidad para 81 personas, ¿cuántas de las mesas son para 5 personas? a)

h)

b) 4

c) 5

d) 8

e) 7

Se contrata un trabajador por 30 días a 50 soles incluyendo alimentación por cada día de trabajo. En los días que no trabaja debe abonar 5 soles por alimentación. Al final de los 30 días recibe 950 soles. ¿Cuántos días trabajó? a)

i)

2

10

b) 15

c) 20

d) 25

e) 35

Un grupo de amigos dispone de S/.1 300 para comprar entradas para asistir al concierto de su cantante favorito. Si compran entradas de S/. 220 le faltaría dinero pero si compran entradas de S/. 190 le sobra dinero. Calcule el número de amigos que conforman el grupo. A) 6

b) 4

c) 5

d) 8

e) 7

ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN a)

¿Cuál será en metros cuadrados, la superficie de un rectángulo sabiendo que, aumentando una de sus dimensiones en sus 2/9 y otra en sus 3/11, la superficie del rectángulo aumenta en 1400 metros cuadrados? a) 2000

b)

e) 2520

b) 5

c) 2

d) 4

e) 25

b) 60

c) 123

d) 50

e) 60

A una fiesta ingresa un total de 350 niños, entre niños varones y niñas, recaudándose S/.1550 debido a que cada niño pagaba S/.5 y cada niña S/.4 ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de niños y niñas que ingresaron? a) 25

e)

d) 2580

Ana gasta la mitad de su dinero en un regalo para su madre. Luego gasta la mitad de lo que le quedó en dos USB para ella. De regreso a casa, Ana se encontró con Patricia, quien le dio $5, quedándole ahora $20. ¿Cuánto dinero tenía al inicio? a) 20

d)

c) 2500

A un número se le eleva al cuadrado. A este resultado se le multiplica por 3. Luego se le resta 6. Después se le agrega 7, para finalmente obtener 76. Hallar el número. a) 7

c)

b) 2400

b) 35

c) 42

d) 50

e) 65

El número de monedas que hay en una bolsa es tal que su cuádruple, disminuido en 5 no excede a 31; pero que su quíntuplo, aumentado en 8 no es menor que 52. Calcule el número de monedas que hay en la bolsa. a) 2

b) 4

c) 5

d) 8 7

e) 9

b)

El número de revistas de Economía que tiene Marco en su biblioteca personal es tal que su triple, aumentado en 8 es mayor que 80; pero su doble, disminuido en 12 es menor que 40. Calcule el número de revistas de Economía que tiene Marco en su biblioteca personal. a) 22

b) 24

c) 25

d) 28

e) 27

b)

En un edificio del distrito de La Molina se sabe que el triple del número de departamentos, aumentado en 7 es superior a 112; pero si al cuádruple de la cantidad inicial de departamentos, se le disminuye en 9 no llega a 139. Calcule el número de departamentos que tiene dicho edificio. a) 32 b) 34 c) 35 d) 36 e) 37

c)

Un laboratorio que produce lociones para baño de 250 ml encuentra que el costo total C de producir 𝑥 unidades está dado por 𝐶 = 20𝑥 + 100 soles. Si cada frasco se vende a S/ 24, determine cuál debe ser el nivel de producción para obtener una ganancia mínima de S/ 9900. a) 2500 b) 2501 c) 5000 d) 2001 e) 2200

d)

Julio dispone de S/ 400 para ir a un evento deportivo con sus hijos. Si comprara entradas de S/ 50 le faltaría dinero pero si comprara entradas de S/. 40 le sobraría dinero. Calcule el número de hijos que tiene Julio. a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 9

e)

Sean los números enteros consecutivos 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑 < 𝑒 < 𝑓 , 𝑐 = 0, entonces indique que alternativa la relación es falsa? a) 𝑎2 = 𝑓 + 1 b) 𝑐 − 𝑒 = 𝑏 3 − 1 c) (𝑏 + 4)2 = 𝑓 2 d) 𝑎2 = 𝑏 2 𝑎

Claves de las actividades de extensión 1 e

2 b

3 b

4 d

5 e

6 c

7 d

8 b

Bibliografía sugerida: Autor

Título

Edición.

Cap.

R. Figueroa

Matemática Básica 1

1998

4

L Eyzaguirre

Métodos Matemáticos

2016

1

8

9 e

10 d

Razones, Proporciones y Porcentajes

Razón: Una razón entre dos cantidades es una comparación entre las cantidades, expresadas en una misma unidad de medida mediante una operación aritmética (sustracción o división). a) Clasificación de las Razones según la operación aritmética a) Razón aritmética: Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. Consiste en determinar en cuantas unidades una cantidad excede a la otra. Es decir, si las cantidades son 𝑎 y 𝑏, su razón aritmética será 𝑎−𝑏 = 𝑟 Donde 𝑎: antecedente 𝑏: consecuente 𝑟: valor de la razón aritmética Ejemplo: Determine la razón aritmética de 42 y 14. 42-14=18 b) Razón geométrica: Es la comparación de dos cantidades mediante la división, y consiste en 𝑎

determinar cuántas veces cada una de las cantidades contiene a la otra y se escribe 𝑎: 𝑏 o . Es decir, si las cantidades son 𝑎 y 𝑏, su razón geométrica será

𝑏

𝑎 =𝑘 𝑏 Donde 𝑎: antecedencte 𝑏: consecuente 𝑘: valor de la razón geométrica Ejemplo: Determine la razón geométrica de 12 y 18. 12 2 = 18 3 Observación: Cuando no se indique el tipo de razón, va referirse a razón geométrica. Proporción: Una proporción es una igualdad entre dos razones. a) Clasificación de las Proporciones según la operación aritmética a) Proporción aritmética: Una proporción aritmética es una igualdad de dos razones aritméticas. 𝑎−𝑏 =𝑐−𝑑 Donde: 𝑎, 𝑐: antecedentes 𝑏, 𝑑: consecuentes 𝑎, 𝑑: términos extremos 𝑏, 𝑐: términos medios Ejemplo: En la proporción aritmética siguiente, identifique los términos medios y externos. 18 − 6 = 16 − 4 9

18 y 4 son los términos extremos, y los términos medios son 6 y 16. b) Proporción geométrica: Una proporción geométrica es una igualdad de dos razones geométricas. 𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑 Donde: 𝑎, 𝑐: antecedentes 𝑏, 𝑑: consecuentes 𝑎, 𝑑: términos extremos 𝑏, 𝑐: términos medios Ejemplo: La proporción geométrica siguiente identifique los términos extremos y medios. 20 16 = 15 12 20 y 12 son los términos extremos y los términos medios son 15 y 16. b) Propiedades a) Dado una proporción aritmética 𝑎 − 𝑏 = 𝑐 − 𝑑 entonces la suma de los términos extremos es igual a la suma de términos medios. Esto es Si 𝑎 − 𝑏 = 𝑐 − 𝑑 entonces 𝑎 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑏 b) Dado una proporción geométrica

𝑎 𝑏

=

𝑐 𝑑

entonces los productos cruzados 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 son iguales. Esto

es Si 𝑎 𝑏

=

𝑐 𝑑

entonces

𝑎𝑑 = 𝑏𝑐

Porcentaje: Un Porcentaje o un tanto por ciento es la cantidad que hay en cada 100 unidades. Un porcentaje es una expresión que indica una parte del todo. Se expresa añadiendo a la cantidad el símbolo %. Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por el número que indica el porcentaje dividimos el resultado por cien. Ejemplo: Calcule el 10 por ciento de 600. 10%600 =

10 𝑥600 = 60 100

Ejemplo: Calcule el 25% de 8.

25%8 =

25 𝑥8 = 2 100

Problemas con Razones, Proporciones y Porcentajes a) Leer el problema (releer si es necesario)  Extraer la pregunta b) Identificar la razón, proporción o porcentaje a utilizar y extraer todos los  Datos ordenados. c) Plantear razones, proporciones o porcentaje  Problema plateado d) Analizar y resolver  Dar respuesta a la pregunta planteada 10

Ejemplos a)

Los ciclistas 𝐴 y 𝐵 se desplazan con velocidad de 16𝑚/𝑠 y 12 𝑚/𝑠, respectivamente. Hallar la razón aritmética de dichas velocidades. Resolución: 𝑉𝐴 : Velocidad de A, 𝑉𝐵 : Velocidad de B, Hallando la razón aritmética es 16 − 12 = 4 Respuesta: La razón aritmética de las dos velocidades es 4, eso quiere decir que la 𝑉𝐴 excede a la 𝑉𝐵 en 4 𝑚/𝑠.

b) Si un hombre gana S/. 35 por semana, ¿Cuánto tiempo tendrá que trabajar para ganar S/. 385? Resolución: Dato: hombre gana S/. 35 por 1 semana, x: tiempo pedido Entonces 35 1

=

385 𝑥

, entonces

𝑥=

385 35

= 11

Respuesta: El hombre tendrá que trabajar 11 semanas para ganar S/. 385 soles. c) De un conjunto de 400 personas, el 75% son varones y el resto son mujeres. Si se sabe que el 80% de los hombres y el 15% de las mujeres fuman, ¿Cuántas personas no fuman de dicho conjunto? A) 140 B) 145 C) 150 D) 200 Resolución: H=hombres, M=Mujeres, HF=hombres que fuman, MF=Mujeres que fuman Luego, Total de personas=400=H+M Por otro lado, H=75%400=300 M=25%400=100 Ahora, HF=80%300=240 MF=15%100=15 Entonces total que fuman HF+MF=240+15=255

11

Por lo tanto, personas que no fuman 400-255=145 Respuesta: Personas que no fuman son 145. Ejemplos aplicativos: a)

Los pesos de cuatro personas forman una proporción aritmética, en la que los términos extremos son 18 y 42, determine la suma de los términos medios. A) 50

B) 40

C) 60

D) 70

C) 3/7

D) 1/2

b) La razón geométrica entre 15 días a 9 días es A) 4/3

B) 5/3

c) La edad de José es 42 años y la edad de María es 14 años. Hallar la razón aritmética de sus edades es A) 28 d)

B) 25

C) 28

D) 56

Janet lleva 2000 manzanas al mercado y en el traslado se caen el 10%. De los que le quedaron solo llego a vender el 60%, a s/.0,30 cada uno. ¿Cuánto obtuvo por dicha venta Janet? A) S/.300

B) S/.320

C) S/.324

D) S/.328

1. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

1) En la siguiente proporción aritmética: 15 − 3 = 20 − 𝑃 Y en la proporción geométrica 15 9 = 20 𝑄 Entonces se concluye que: a) b) c) d)

PQ P=Q No se puede comparar

2) Por un grifo fluye a razón de 4𝑚3 cada 10 horas, sea 𝑃 la cantidad de agua que fluirá en dos semanas, y 𝑄 la cantidad de agua que fluirá en 10 semanas. Entonces se concluye que: a) P < Q b) P > Q 12

c) P = Q d) No se puede comparar 3) Un automóvil gasta 5 litros de gasolina cada 100 kilómetros. Si se quedan en el deposito 8 litros ¿Cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil? A) 100 kilómetros

B) 160 kilómetros

C) 150 kilómetros

D) 140 kilómetros

4) Un terreno rectangular tiene perímetro 1600 metros. Si tiene 200 metros de ancho. Entonces la razón ente el largo y ancho es: A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

5) En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 gramos de sal? A) 100 litros

B) 150 litros

C) 200 litros

D) 250 litros

6) Para pintar la superficie de un cubo de 20 metros de lado se gastó un total de s/. 130000. El costo para pintar otro cubo de 40 metros de lado es: A) S/. 600000

B) S/. 530000

C) S/. 500000

D) S/. 520000

7) La relación entre las temperaturas de las ciudades de Lima y Trujillo es de 5:7, Si la mayor temperatura es 21°, halle la menor temperatura A) 10°

B) 12°

C) 15°

D) 13°

8) Las edades de tres hermanas: Marta, Carmen y Luz son entre sí como 2:5:3, si sus edades suman 30 años. Entonces la edad de Luz es A) 12 años

B) 18 años

C) 9 años

D)15 años

9) María tiene 25 años. ¿En qué porcentaje se habrá incrementado dicha edad, cuando cumpla 75 años? A) 95%

B) 200%

C) 100%

D) 150%

10) A un agente de ventas, cuyo sueldo básico es S/. 800, ofrecen pagarle un porcentaje correspondiente al 3% si supera pedidos por S/. 5000 a más. Si el mes de marzo del presente año facturó pedidos por S/. 8000, ¿Cuál será el monto recibido en dicho mes? A) S/.1000

B) S/.1020

C) S/.1030

D) S/.1040

2. ACTIVIDADES COLABORATIVAS a. Los cajones 𝑀 y 𝑆, juntos pesan 𝐾 kilogramos. Si la razón entre los pesos de 𝑀 y 𝑆 es 3:4 entonces ¿𝑆: 𝐾 =? A) 1/2

B) 4/7

C) 4/6

D) 3/5

b. La razón entre 7 metros y 20 centímetros es A) 70

B) 35

C) 3/5 13

D) 2/7

c. Si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 25 años, entonces la razón entre sus edades es A) 5/3

B) 1/2

C) 6/5

D) 3/4

d. Las edades de 2 personas están en la razón de 4:7 ¿Qué edad tiene cada una si la diferencia de sus edades es de 15 años? A) 10 y 15 años

B) 20 y 36 años

C) 20 y 35 años

D) 25 y 50 años

e. Un ángulo de 900 es dividido en 3 ángulos que se encuentran en la razón 4:5:9 ¿Cuál es la medida de los ángulos? A) 23, 25 y 45 años

B) 10,12 y 18 años

C) 20, 24 y 45 años

D) 20, 25 y 45 años

f. Para un terreno de 0,6 kilómetros de largo y 200 metros de ancho, la razón entre largo y ancho es A) 3

B) 1

C) 2

D) 6

g. Ana tiene 20 años. ¿En qué porcentaje se habrá incrementado dicha edad, cuando cumpla 32 años? A) 50%

B) 60%

C) 40%

D) 25%

h. En una ciudad 2500 habitantes, el año pasado se casaron el 12% de los varones y el 8% de las mujeres. ¿Qué tanto por ciento del total de los habitantes son varones? A) 20%

B) 25%

C) 40%

D) 35%

i. Un recipiente contiene una mezcla de 20 litros de vino y 36 litros de gaseosa. Si de dicho recipiente se extrae 25%, ¿Cuántos litros de cada sustancia queda? A) 5 litros de vino y 27 litros de gaseosa B) 25 litros de vino y 27 litros de gaseosa C) 15 litros de vino y 27 litros de gaseosa D) 25 litros de vino y 27 litros de gaseosa j.

En una fábrica trabajan 500 personas, de las cuales el 70% son obreros. Si se despide al 20% de los obreros ¿Cuántos obreros trabajan al final en la fábrica? A) 360 obreros

B) 350 obreros

C) 364 obreros

D) 280 obreros

3. ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN i. Determine las razón aritmética y geométrica de los siguientes números

A) 0,12 y 2

B) 1 y 2

a. y 0.12 C) 2 y 4 D) 0,12 y 4

ii. Si 𝑢: 𝑣 = 3: 10 y 𝑢: 𝑤 = 1: 2, entonces ¿Cuál es el valor de 𝑤 si 𝑣 = 30? A) 16

B) 20

C) 18

D) 12

C) 3:5:7

D) 2:3:4

iii. Si 𝑎: 𝑏 = 3: 5 y 𝑏: 𝑐 = 5: 9, entonces 𝑎: 𝑏: 𝑐 = A) 1:2:4

B) 3:5:9

iv. Las edades de tres hermanas: María, Carmen y Lucia, son entre sí como 2:5:3. Si sus edades suman 30 años, entonces la edad de Lucia es A) 9 años

B) 10 años

C) 12 años 14

D) 24 años

v. Si

𝑎 1

𝑏

𝑐

2

3

= =

y 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 36, entonces 𝑐 − 𝑏 =

A) 2 vi.

B) 4

D) 5

Si 𝑎: 𝑏 = 1: 2 y 𝑏: 𝑐 = 3: 2, entonces cuando 𝑎 = 3, 𝑐 = A) 2

vii.

C) 6

B) 8

C) 5

D) 4

Las edades de Janet e Iván están en relación de 7 a 4, Si Janet es 21 años mayor que Iván, Calcule la edad de Iván. A) 28 B) 26 C) 25 D) 20

viii. Se vendió un artículo a S/. 14000 con ganancia del 40%, ¿Determine el precio el precio de costo de dicho artículo? A) S/. 900 ix.

B) S/. 780

D) S/. 840

Iván compro un equipo de sonido en S/. 1800. ¿A cuánto debe ofrecerlo, si al momento de la venta efectúa una rebaja del 10% aun así gana el 40% del costo? A) S/. 2500

x.

C) S/. 800

B) S/. 2900

C) S/. 2800

D) S/. 3000

Si el lado de un cuadrado aumenta en un 50%, ¿En qué porcentaje incrementa su área? A) 125%

B) 100%

C) 90%

D) 80%

Claves de las actividades de extensión 1 A

2 C

3 B

4 A

5 C

6 D

7 A

8 D

9 C

Cap.

Bibliografía sugerida:

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Título

Edición.

Garcia, Huamaní, Arias

Compendio de Aritmética

2008

Edit. Lumbreras

Aritmetica

2012

Luis Eyzaguirre

Métodos Matemáticos

2016

15

10 A

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA REGLA DE TRES La regla de tres es un procedimiento de cálculo que permite, dados los valores correspondientes de varias magnitudes directa o inversamente proporcionales, hallar el valor que toma una de ellas, cuando se atribuye a los otros nuevos valores. A a

B c

b

x

TIPOS

Regla de Tres simple. Es simple cuando solamente intervienen en ella dos magnitudes. Esta regla, a su vez puede ser directa o inversa. A)

Regla de Tres simple directa. Las magnitudes que intervienen en el problema son magnitudes directamente proporcionales. Para resolver un problema se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se nombra la cantidad desconocida con una letra. 2. Se plantea una proporción de acuerdo al enunciado de la situación problema. 3. Se encuentra el término desconocido y se contesta la pregunta. Ejemplo: Seis sillas elegantes cuestan s/. 100. ¿Cuánto me costaran 9 de ellas? Solución

Sea x= costo de 9 sillas elegantes. Sillas s/. 6 100 + + 9 x De acuerdo a los signos, las magnitudes sillas & s/. son magnitudes directamente proporcionales, lo cual indica que:

6 9  100 x 6 x  9(100) 16

x

9(100) 6

X= 150 Por lo tanto, 9 sillas elegantes costaran 150 soles.

B) Regla de Tres simple inversa. Las magnitudes que intervienen en el problema son magnitudes inversamente proporcionales. Para resolver un problema se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se nombra la cantidad desconocida con una letra. 2. Se plantea una proporción de acuerdo al enunciado de la situación problema. 3. Se encuentra el término desconocido y se contesta la pregunta

Ejemplo: Seis obreros pueden pintar un colegio en 12 días. Si se contrataran 3 obreros más, ¿en cuántos días podrán terminar el pintado? Solución

Total de obreros: 6+3= 9 Sea x= Cantidad de días que demoraran el pintado los 9 obreros. Obreros 6 + 9

días + 12 x

De acuerdo a los signos, las magnitudes Obreros & días son magnitudes inversamente proporcionales, lo cual indica que:

9 x  6(12) x

6(12) 9

X= 8 Por lo tanto, los 9 obreros podrán terminar el pintado en 8 días.

17

Regla de Tres compuesta. Es compuesta cuando intervienen en ella más de dos magnitudes.

Metodos de solución:  

Comparación de magnitudes Método de las rayas

Ejemplo: 40 obreros, trabajando 6 horas diarias, han necesitado 100 días para realizar una obra. ¿Cuántos obreros, trabajando sólo 4 horas diarias se necesitarían para terminar la misma obra en 120 días? Solución Magnitudes que intervienen:    

Número de obreros: x Horas al día Número de días

Planteamiento

Cálculo

4 120 40 x  6 100 X X

40 x6 x100  50 obreros 4 x120

Por tanto, trabajando sólo 4 horas diarias para terminar la obra en 120 días, se necesitarán 50 obreros.

18

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

1) En un día de trabajo de 8 horas, un obrero ha hecho 10 cajas. ¿cuántas horas tardará en hacer 25 de esas mismas cajas? A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24 2) ¿Cuál será la altura de una columna que produce una sombra de 4,5 m sabiendo que a la misma hora una varilla vertical de 0,49 m arroja una sombra de 0,63 m? A) 2m B) 3,2m C) 4 m D) 3,5 m E) 6,5m 3) Si para pintar 180 m2 se necesitan 24 kg de pintura. ¿cuántos kg se necesitarán para pintar una superficie rectangular de 12 m de largo por 10 m de ancho? A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24 4) Para hacer 96 m2 de un cierto género se necesitan 30 kg de lana;¿ cuántos kg se necesitarán para tejer una pieza de 0,90 m de ancho por 45 m de largo? A) 10 000 B) 10520 C)1 2656 D) 13150 E) 15320 5) Un automóvil recorre 50 km en 1 h 32 m. ¿en qué tiempo recorrerá 30 km? A) 55’ 10’’ B) 55’ 12’’ C) 56’ D) 58’ 12’’ E) 57’ 20’’ 6) Doce obreros han hecho la mitad de un trabajo en 18 horas. A esa altura de la obra 4 obreros abandonan el trabajo. ¿cuántas horas tardan en terminarlo los obreros que quedan? A) 16 B) 18 C) 27 D) 30 E) 24 7) Un ganadero tiene 36 ovejas y alimento para ellas por el término de 28 días. Con 20 ovejas más, sin disminuir la ración diaria y sin agregar forraje ¿durante cuántos días podrá alimentarlas? A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24 8) Para empapelar una habitación se necesitan 15 rollos de papel de 0,45 m de ancho, ¿cuántos rollos se necesitarán, si el ancho fuera de 0,75 m? A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 14 9) Para cavar una zanja de 78 m de largo, 90 cm de ancho y 75 cm de profundidad, se necesitan 39 obreros .¿cuántos obreros habrá que disminuir para hacer en el mismo tiempo una zanja de 60 m de largo, 0,5 m de ancho y 45 cm de profundidad? A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 29 10) Se han pagado US$ 144 000 a 24 obreros que han trabajado 8 días de 8 horas diarias. ¿cuánto se abonará en las mismas condiciones, a 15 obreros que deben trabajar 12 días a razón de 9 horas por día? A) 1620 B) 18761 C) 151875 D) 22123 E) 24124

19

ACTIVIDADES COLABORATIVAS 1) Un comerciante compró 33 kg de yerba a razón de $62 el kg. ¿cuántos kg de $66 podría haber comprado con esa misma suma de dinero? A) 16 B) 18 C) 31 D) 22 E) 24 2) Un trabajo puede ser realizado por 80 obreros en 42 días. Si el plazo para terminarlo es de 30días ¿cuántos obreros deberán aumentarse? (32) A) 16 B) 18 C) 20 D) 32 E) 34 3) Un ciclista marchando a 12 km por hora recorre en varias etapas un camino empleando 9 días a razón de 7 horas por día. ¿a qué velocidad tendrá que ir si desea emplear sólo 6 días a razón de 9 horas diarias? A) 5 B) 8 C) 10 D) 14 E) 20 4) Si 24 obreros pueden finalizar un trabajo en 46 días trabajando 7 horas diarias. ¿cuántos días emplearán si se aumenta en un 75% el número de obreros y trabajan 8 horas diarias? A) 25 B) 38 C) 23 D) 28 E) 30 5) Cuatro máquinas que fabrican latas para envase, trabajando 6 horas diarias, han hecho 43200 envases en 5 días . Se detiene una de las máquinas, cuando faltan hacer 21600 envases, que deben ser entregados a los 2 días. ¿cuántas horas diarias deben trabajar las máquinas que quedan para cumplir el pedido? A) 6 B) 8 C) 15 D) 18 E) 10 6) Se necesitan 3 bobinas de papel de 350 kg cada una para imprimir 5000 ejemplares del primer tomo de una obra. ¿cuántas bobinas de 504 kg de papel de igual calidad y ancho que el anterior se necesitarán para imprimir 8000 ejemplares del segundo tomo de esa obra, sabiendo que el número de páginas de éste es igual a los seis quintos del número de páginas del primer tomo? (4) A) 4 B) 8 C) 15 D) 18 E) 16

ACTIVIDAD DE EXTENSION

1) José ahorró s/. 20 en 8 semanas. Si continúa ahorrando a esa razón, ¿cuánto ahorrará en 20 semanas? A) S/ 50

B) S/ 48

C) S/ 44

D) S/ 40

E) S/ 28

2) En un cuartel 200 soldados tienen comida para 40 días, si se cuadriplicara el número de soldados. ¿Cuánto tiempo les duraría la comida? A) 12 días

B) 14 días

C) 10 días

D) 20 días

E) 16 días

3) Mateo es el triple de rápido que Omar al realizar una tarea. Si juntos pueden culminar la tarea en 15 días, ¿cuántos días emplearía Mateo para realizar la misma tarea trabajando solo? A) 16

B) 18

C) 20

D) 22

E) 24

4) Rosario tarda 12 3/5 días en hacer 7/12 del tejido de una tela. ¿Cuántos días necesitará para terminar el tejido? A) 3

B) 5

C) 4

D) 6

E) 9

5) Cada 100 pasos que doy equivalen a 75 m , si camino en un cuadrado que tiene 120 pasos de largo y 72 pasos de ancho, hallar el perímetro. A) 256 B) 388

C) 250

D) 288

E) 290

20

6) Un grupo de marineros tienen alimentos para 15 días; pero si hubiese 2 marinos más, los alimentos durarían 3 días menos. ¿Cuántos marineros integran el grupo? A) 6

B) 8

C) 12

D) 18

E) 19

7) Para recorrer una distancia de 15 000 Km. un pájaro tarda 20 días, volando durante 9 horas diarias. ¿Cuántos días tardará en recorrer 2000 Km., si vuela durante 12 horas diarias? A) 2 días B) 3 días C) 4 días D) 5 días E) 6 días

8) Los 14 depósitos para el suministro de agua a una población tienen la misma capacidad. Para llenar 5 de ellos se necesitan 4 bombas que estén funcionando durante 10 horas. Si queremos llenar todos los depósitos, ¿durante cuánto tiempo deberán estar funcionando 8 bombas iguales a las mencionadas antes? A) 6 h B) 14 h C) 10 h D) 10 h E) 15 h

9) 15 obreros cuya rapidez de trabajo está representada por 8, pueden ejecutar una obra en 20 días trabajando 8h/d, cuya dificultad de la obra es como a 6. ¿Cuántos obreros cuya rapidez de trabajo es como 12 podrán ejecutar una obra en 16 días trabajando 3h/d, si la dificultad de la obra es como a 9? A) 30 B) 38 C) 50 D) 22 E) 40

10) En 48 días, diez obreros han hecho la tercera parte de una obra; luego, se retiran n obreros, y los que quedan avanzan 1/6 más de la obra en k días. Si estos últimos terminan lo que falta de la obra trabajando k+60 días, ¿cuál es el valor de k/n? A) 10 B) 20 C) 15 D) 35 E) 30 Claves de las actividades de extensión 1 A

2 C

3 C

4 E

5 D

6 B

7 A

8 B

9 C

Bibliografía sugerida: Autor

Título

Edición.

Cap.

Timoteo, S.

Razonamiento Matemático

2007

25

Farfán, O.

Aritmética

2008

10

21

10 C

Tablas y Gráficos Estadísticos  

DEFINICIONES BÁSICAS Población: Conjunto de elementos o datos que presenta una característica particular a ser analizada o estudiada de la cual se desea información.  Muestra: Es un subconjunto de elementos seleccionados convenientemente de la Población de tal manera que puede hacerse “deducciones” de ella respecto a la población completa.  Variables: Es una característica que puede tomar varios valores. Es un “Dato” que sufre variación dentro de una escala, recorrido o intervalo. Una variable pude ser:  Discreta: Son aquellos que surgen por el procedimiento de conteo; es decir solo pueden tomar algunos valores del intervalo considerado.  Continua: Son aquellos que pueden tomar cualquier valor del intervalo considerado 

TABLAS DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS.

Estas tablas de Distribución se elaboran a partir de los siguientes elementos: Tamaño (n): cantidad de datos recogidos. n = 50  dato arbitrario Alcance (A): Intervalo cerrado que tiene por límites a los datos de menor y mayor valor. A = [0; 10]  dato arbitrario Rango (R): Llamado también amplitud; es la diferencia de los datos de menor y mayor valor de la muestra. Número de clases (K): es la cantidad de grupos o intervalos en que se pueden dividir los datos y depende del criterio aunque es usual utilizar como un primer valor aproximado al obtenido por la regla de Sturges. En cual viene dada por la siguiente relación: K = 1 + 3,3 Log (n) . Si tomamos los datos arbitrarios tendremos: K = 1 + 3,3 . Log (50)  K = 6,6. K puede tomar valores enteros: 5; 6 o 7;  K = 5  (ASUMIENDO) 

ANCHO DE CLASE (W): En la longitud de una clase. Si deseamos anchos de clase iguales, utilizamos: W 



R 10  En el ejemplo; W   W=2 K 5

FRECUENCIA ABSOLUTA.- Es la cantidad de datos que caen dentro de una clase. Intervalo de clase Conteo Frecuencia Absoluta Ii fi 0; 2  llll llll 9 [2;4  llll llll llll 15   [ 4; 6  llll llll ll 12 [6; 8  llll lll 8 [6;10  llll 6



FRECUENCIA RELATIVA. (h).- Es el cociente de cada frecuencia absoluta entre el tamaño de la muestra.

ni 

fi n

Ademas : 22

o  hi  1

 FRECUENCIA RELATIVA ACUMULDADA. (Hi) Es la acumulación de cada frecuencia relativa. Se obtiene de manera análoga a la frecuencia absoluta acumulada.

Hi  h1  h 2  .....  hi 

i

 hj

j 1

 MEDIDAS DE POSICION: Una medida de posición es un valor que se calcula para un grupo de datos que se utiliza para describirlos de alguna manera.



Media Aritmética  x  : Para “m” datos di no clasificados: m

 ( di )

X  i 1 m Para datos clasificados:

X 

m

 (hi )

i 1



Xi

hi: Frecuencia relativa de clase i. Xi: marca de clase i. m: número de clases. Mediana (Xm)

Para “n” datos no clasificados.  X  n  1 ; n impar   2     Xm   X  x   X  n    1   2  2  ; n par  2 

Para datos clasificados: Se define la mediana como la primera cuya frecuencia absoluta acumulada iguala o excede ala mitad del total de datos: n   2  Fm  1 X m  L m  Wm   fm     Donde: Lm Wn Fm – 1

: Limite de la clase mediana. : Ancho de clase de la clase mediana. : Frecuencia absoluta acumulada de la clase que procede a la clase

23

mediana.



Moda: (Mo)

Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un grupo de datos.

 d1 Mo  Lo  Wo  d1  d 2

Lo Wo d1

  

: Limite, inferior de la clase modal. : ancho de la clase modal. : diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la



clase precedente

Media Aritmética  x  : Para “m” datos di no clasificados: m

 ( di )

X  i 1 m

Para datos clasificados: X 

m

 (hi )

i 1

Xi

hi: Frecuencia relativa de clase i. Xi: marca de clase i. m: número de clases.  Mediana (Xm) Para “n” datos no clasificados.  X  n  1 ; n impar   2     Xm   X  x   X  n    1   2  2  ; n par  2 

Para datos clasificados: Se define la mediana como la primera cuya frecuencia absoluta acumulada iguala o excede ala mitad del total de datos: X m  L m  Wm

n   2  Fm  1   fm    

Donde: Lm : Limite de la clase mediana. Wn : Ancho de clase de la clase mediana. Fm – 1 : Frecuencia absoluta acumulada de la clase que procede a la clase Moda: (Mo)

mediana.

Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un grupo de datos.  d1 Mo  Lo  Wo  d1  d 2

  

Lo : Limite, inferior de la clase modal. Wo : ancho de la clase modal. d1 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase precedente 24

 Análisis de gráficos estadísticos Hoy en día, cuando la población crece con rapidez, cuando hay grandes avances científicos y muchas de las cosas que nos rodean se van desarrollando a gran velocidad, adquiere una gran importancia la Estadística. Gracias a esta disciplina podemos observar un conjunto de datos muy grande y elegir subconjuntos de este, a partir de los cuales se pueden clasificar y representar los datos para su análisis y toma de decisiones. Luego de procesados los datos estadísticos, estos se presentan en Tablas y Gráficos.  Gráficas lineales Los gráficos lineales o poligonales se llaman así porque las líneas representativas de la función son quebradas o poligonales. Generalmente, se acostumbra a graficar sobre papel milimetrado o cuadriculado. Se toman dos ejes de coordenadas, sobre uno de ellos se representan los valores de una de las magnitudes y sobre el otro, los correspondientes a la otra magnitud. Se determinan los puntos y luego, al unirlos, se tiene la gráfica poligonal.

Ejemplo La empresa "San Antonio" se dedica a la producción y venta de muebles de oficina. Los precios de costo y venta de un modelo estándar se muestran a continuación: Costo (miles de soles)

Valor de Venta (miles de soles)

Números de Muebles

Números de Muebles

1. Si la empresa produjera 30 muebles, ¿cuál sería el costo de producción? (en miles de nuevos). Rspt. 27.5 2. Si la empresa vendiera 40 muebles, ¿cuál sería el precio de venta de los muebles? (en miles de soles). Rspt. 60  Gráficas de barras La gráfica de barras se utiliza mucho en el campo de los negocios y también en otras actividades, paracomparar hechos que no están determinadamente relacionados entre sí; en esta clase de gráficas, se utilizan barras horizontales o verticales.

Ejemplo El siguiente es el resultado de un examen de RM cuya nota mínima aprobatoria es 12. Alumnos

Nota

25

1. ¿Cuántos alumnos han obtenido 16 de nota? 20 + 20 = 40 Hombres Mujeres 2. ¿Cuántos hombres aprobaron? 25 + 20 Nota 12 Nota 16

+

10 Nota 20

=

55

Gráfica de sectores circulares En este tipo de gráficas se toma el círculo como representación de la totalidad de las cantidades consideradas, y cada sector circular es proporcional a la cantidad que se va a representar.

Ejemplo Los gastos de un hogar promedio limeño se muestran en el siguiente gráfico:

1. ¿Cuánto dinero se gasta en Educación? 25%(3,000)= 100 25 (3000)=750 Se gasta: S/. 750 2. Si el 40% de Otros corresponde a Recreo y Diversión, ¿cuánto se gasta en dicho rubro? → (40%)(8%)(3000) → 3000=

40 8 𝑥 𝑥 100 100

3000 = 96 Se gasta: S/. 96 soles

26

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Gráfico 1 Se encuesta a 4000 niños para conocer sus golosinas preferidas. Los resultados obtenidos son los siguientes :

1. Si se sabe que: P: La cantidad de niños que eligieron "Triángulo” disminuido en 5. Q: La cantidad de niños que eligieron " Doña Pepa” aumentado en 7. Entonces se concluye que: A) B) C) D)

PQ P=Q No se puede comparar

27

2. Si se sabe que: P: La cantidad de niños que eligieron "Sublime" y "Gansito" Q: La cantidad de niños que eligieron "Cua Cua" y otros Entonces se concluye que: A) B) C) D)

PQ P=Q No se puede comparar

Gráfico 2 La compañía "AUTOCONTROL" se dedica a la venta de tres productos. El gráfico siguiente muestra las ganancias o pérdidas por producto registradas en los últimos cuatro meses de operaciones de la compañía

1. ¿Cuál es la utilidad de la empresa en el mes de octubre a) S/. 1400 b) 600 c) 800 d) 1000 e) 1250 2. De diciembre a enero, ¿cuál fue la variación de la utilidad del producto "A"? a) S/. 2000 b) 2500 c) 3000 d) 3500 e) 1500 3. Para el periodo octubre - febrero, ¿cuál es la utilidad promedio mensual de la empresa? a) S/. 1250 b) 1660 c) 1450 d) 1500 e) 142

28

Gráfico 3 El gráfico muestra la posición de una partícula a lo largo del tiempo (movimiento en una sola dimensión)

4. ¿Cuál es la posición de la partícula en: t=15 segundos? a) 17 m b) 17,5 c) 18 d) 18,5 e) 19

5. La posición de la partícula es de cuatro metros para "t" segundos. ¿Cuál es el valor de "t"? a) 26 s b) 27 c) 28 d) 28,5 e) 29

Gráfico 4 El cuadro siguiente muestra la distribución de ingresantes a la Universidad San Ignacio de Loyola en los últimos cuatro exámenes de admisión:

29

6. ¿En qué periodo hubo más ingresantes? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 2 y 4

7. En el periodo 3, el número de mujeres que ingresaron representa el "K"% del número total de ingresantes, entonces "K" es un número comprendido entre: a) 60 y 61

b) 62 y 63

c) 66 y 67

d) 70 y 71

e) 72 y 73

8. La variación porcentual del número de ingresantes del periodo 3 respecto al periodo 2 es: a) 8% b) 9% c) 10% d) 12,5% e) 15%

ACTIVIDADES COLABORATIVAS TABLA 1 Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencias relativas de 300 empleados según su edad.

Edades

19; 21 22; 24  25; 27  28; 30  31; 33 

ni 0,15 0,25 0,40 0,10 0,10

1. ¿Cuántos empleados tienen edades de 22 a 33 años? a) 255

b) 260

c) 280

d) 230

e) 210

2. ¿Qué porcentaje de los empleados tienen 25 años a más? a) 80%

b) 90%

c) 10%

d) 125%

30

e) 60%

3. ¿Cuántos empleados tienen 27 años o menos? a) 250

b) 240

c) 280

d) 210

e) 200

4. ¿Qué porcentaje de los empleados tienen 24 años o menos? a) 155

b) 160

c) 180

d) 130

e) 120

Gráfico 5 Golosinas "PEKÍN" se dedica a la venta de galletas(A), chocolates (B), caramelos (C), wáfer (D) y palitos de maíz con sabor a queso (E). El gráfico siguiente muestra el volumen de ventas del año 2017.

5. Determina " α3" a) 121,8º b) 120,4º

c) 122,8º

d) 122,4º

6. Determina el valor de: "α2+ α4 - α1" a) 18,6º b) 36,5º c) 23,4º d) 25,2º

31

e) 121,2º

e) 27,8º

ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN TABLA 2 Se analizan las notas de 20 alumnos en el curso de Estadística recogiéndose los siguientes datos:  3; 4; 8; 2; 7; 11; 10; 12; 16; 15.  7; 11; 13; 10; 6; 9; 9; 10; 13; 14. 1. Agrupe los datos en intervalos de ancho común igual a 4 y complete la siguiente tabla.

Ii 0;   ;  ;  ;  ; 

Dar como respuesta: a) 38; 70%

Xi

fi

Fi

hi

Hi

X i . fi

F3 + X2. f2 y H4

b) 43; 40%

c) 99; 40%

d) 38; 95%

e) 76; 70%

2. ¿Cuántos estudiantes aprobaron el curso; según los datos originales y según los datos agrupados? Dar como respuesta la diferencia de los valores obtenidos? (Nota aprobatoria igual a 10) a) 1 b) 2 c) 3 d) 1,71 e) 2,3

3. ¿Cuántos obtuvieron notas superiores o iguales a 15? Dar como respuesta la diferencia de los valores obtenidos (en datos originales y en datos agrupados) a) 1,25 e) 0,25

b) 0,5

c) 0,75

32

d) 1,75

4. Calcular la media (para datos sin agrupar) a) 10,5

b) 10,2

c) 9,5

d) 10,31

e) 12,7

d) 10,3

e) 9,71

d) 10

e) 10,5

5. Calcular la media (para datos agrupados) a) 9,8

b) 11,3

c) 10,7

6. Calcular la mediana (para los datos sin agrupar) a) 9,5

b) 9,8

c) 9

7. Calcular la mediana (para los datos ya agrupados) a) 9,2

b) 9,8

c) 10,1

d) 10,0

e) 9,83

d) 10

e) 11

d) 10,17

e) 10,21

8. Calcular la moda (para los datos sin agrupar) a) 7

b) 8

c) 9

9. Calcular la moda (para los datos ya agrupados) a) 10,28

b) 9,83

c) 9,87

Gráfico 7 La empresa "FULL HOUSE" se dedica a la venta de cuatro productos "A", "B", "C" y "D". Se sabe que las ventas y los ingresos obtenidos por la venta de dichos productos durante el año 2010 son mostrados en los siguientes gráficos circulares:

33

10. ¿Cuál fue la relación de precios de los productos "A" y "C" durante el año 2010?

a)

2 5

b)

1 5

c)

2 3

d)

7 5

e)

Claves

1 d

2 a

3 b

4 c

5 a

6 d

7 d

8 b

9 a

Bibliografía sugerida: Autor

Título

Edición.

Cap.

Estadística Descriptiva

1992

4-5

Introducción a la probabilidad y Estadística

2001

6

Lumbreras

Aritmética

2006

12

Cepre Uni

Razonamiento Matematico

2010

7

Rufino Moya Seymor Lipschutz

34

10 c

5 7

Promedio Aritmético y Promedio Ponderado ¿Qué es un promedio? Se denomina promedio a aquella cantidad que representa a un conjunto de datos, con la condición de que se encuentre comprendida entre el mínimo y el máximo de dichos datos. Sean las cantidades: a1 < a2 < a3 < ... < an a1 < Promedio < an Ejemplo: Dado el conjunto 𝐴 = {15; 13; 12; 10; 9} ¿Cuál de las siguientes alternativas no podría ser el promedio de sus elementos? a) 11

b)10,5

c) 14

d) 6

Se observa que el menor dato es 9, el mayor dato es 15.por lo tanto: 9 < Promedio < 15 De las alternativas, 6 no podría ser promedio. ̅̅̅̅̅): La media aritmética o promedio, de una cantidad finita de números, I. Promedio aritmético (𝒎𝒂 es igual a la suma de todos ellos dividida entre el número de sumandos. Sea las cantidades: a1; a2; a3; ...; an ̅̅̅̅ = 𝑚𝑎

𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑛

Ejemplo: Calcula el promedio aritmético de 18; 12; 9 y 14 ̅̅̅̅ = 𝑚𝑎

18 + 12 + 9 + 14 = 13,25 4

Propiedades de la media aritmética. 1. La sumatoria de las restas de cada término respecto de la media es igual a cero. Ejemplo: Se tiene que para los datos 5, 7, 9, 11 y 13; Si la media aritmética ̅̅̅̅ = 𝑚𝑎

5 + 7 + 9 + 11 + 13 =9 5

La sumatoria de las restas de cada término respecto de la media es la

siguiente:

(9 – 5) + (9 – 7) + (9 – 9) + (9 – 11) + (9 – 13) = (4) + (2) + (0) + (-2) + (-4) = 4 + 2 + 0 -2 -4 = 4-4 + 2-2 =0 35

2. La Media aritmética de una constante. Esta propiedad nos dice de que si una serie de datos está formada por la repetición de un mismo dato, la media aritmética es ese dato constante. Ejemplo: Para el caso se tiene que la media aritmética de 8, 8, 8, 8, 8, 8... es. ̅̅̅̅ = 𝑚𝑎

8+8+8+8+8+8 =8 6

3. La Media aritmética del producto de una constante por una variable. La media aritmética del producto de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la media de la variable. Ejemplo: Si para 5, 7, 9, 11 y 13; la media aritmética es 9. Multipliquemos cada número por la constante 5. Obtenemos: 25, 35, 45, 55 y 65. La media aritmética de estos números es ̅̅̅̅ = 𝑚𝑎

25 + 35 + 45 + 55 + 65 = 45 5

Pero 45 es el producto de la constante por la media aritmética original: 5x9 = 45.

4. Media aritmética de la suma o resta de una constante y una variable. La media aritmética de la suma o resta de una constante y una variable es la media de la variable más o menos la constante. Ejemplo: Si para 5, 7, 9, 11 y 13; la media aritmética es 9. Sumémosle la constante 5 a cada dato. Obtenemos: 10, 12, 14, 16 y 18. La media de estos datos es ̅̅̅̅ = 𝑚𝑎

10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 14 5

Pero 14 es 9 + 5. Lo que es lo mismo: la media aritmética original + la constante.

Ejemplo: Si en vez de sumar restamos, obtenemos: Para 5, 7, 9, 11 y 13; la media aritmética es 9. Restémosle la constante 5 a cada dato. Obtenemos: 0, 2, 4, 6 y 8 La media de estos datos es ̅̅̅̅ = 𝑚𝑎

0+2+4+6+8 =4 5

Pero 4 es 9 - 5. Lo que es lo mismo: la media aritmética original - la constante.

36

5. Variación del Promedio Aritmético. Ejemplo: Si la media aritmética de 5, 7, 9, 11, 13 es 9. Si a las 2 primeras cantidades se les aumenta 6 a cada una, y les restamos 2 a cada una de las 2 últimas, entonces: (5 + 6) + (7 + 6) + 9 + (11 − 2) + (13 − 2) 5 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + (6 + 6 − 2 − 2) ̅̅̅̅̅ 𝑚𝑎` = 5 5 + 7 + 9 + 11 + 13 6 + 6 − 2 − 2 ̅̅̅̅` = 𝑚𝑎 + 5 5 ̅̅̅̅̅ 𝑚𝑎` = 9 + 1,6

̅̅̅̅` = 𝑚𝑎

El nuevo promedio aritmético será el promedio inicial afectado por la variación del promedio.

Ejemplo: Las edades actuales de 4 personas son 17, 16, 12 y 8 años. Halle su edad promedio: a) Actualmente b) Hace 5 años c) Dentro de 8 años Resolución: 17+16+12+7 4

a)

Actualmente:

̅̅̅̅ = 𝑚𝑎

= 13

b)

Hace 5 años:

̅̅̅̅ = 13 − 5= 8 𝑚𝑎

c)

Dentro de 8 años:

̅̅̅̅ = 13 + 8 = 21 𝑚𝑎

6. La Media Aritmética de una progresión aritmética. La media Aritmética de los términos una progresión aritmética es igual al promedio aritmético de sus términos extremos o de cualquier pareja de términos equidistantes de los extremos. Ejemplo: Sea la progresión aritmética 5, 7, 9, 11, 13. La media Aritmética es 9. Es igual al promedio aritmético de sus termino extremos 5 + 13 ̅̅̅̅ = 𝑚𝑎 =9 2

O de cualquier pareja de términos equidistantes de los extremos.

̅̅̅̅ = 𝑚𝑎

7 + 11 =9 2

II. Promedio ponderado o media ponderada, es un caso particular del promedio aritmético, apropiada cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa (o peso) respecto de los demás datos. Se obtiene multiplicando cada uno de los datos por su ponderación (peso) para luego sumarlos, obteniendo así una suma ponderada; después se divide esta entre la suma de los pesos, dando como resultado la media ponderada. Datos: n1 , n2, n3, ..., nK Peso: P1 , P2, P3,... , PK 37

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 =

𝑛1 𝑃1 + 𝑛2 𝑃2 + 𝑛3 𝑃3 + ⋯ + 𝑛𝑘 𝑃𝑘 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + … + 𝑃𝑘

Ejemplo: Sean las notas de un alumno en Matemática I en su primer ciclo en la USIL.

Tipo de evaluación Promedio de prácticas Examen Parcial Examen Final

Nota

Peso

18 14 16

1 2 4

Su promedio ponderado será: 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 =

18𝑥1 + 14𝑥2 + 16𝑥4 = 15,71 1+2+4

También se puede obtener de la tabla:

Tipo de evaluación Promedio de prácticas Examen Parcial Examen Final Promedio final

Nota

Peso

Nota x Peso

18 14 16 Pp

1 2 4 7

18x1 14x2 16x3 110

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 =

110 = 15,71 7

Ejemplo: Un profesor hace el siguiente informe sobre las aulas a su cargo:

Aula

Nª de Promedio alumnos de Notas

A B C D

30 40 35 45

15 16 17 15

Entonces el promedio de notas del total de alumnos será:

Aula A B C D Total

Nº de Promedio alumnos de Notas 30 40 35 45 150

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 =

15 16 17 15 Pp

Nº de alum x Prom. notas 30 x 15 40 x 16 35 x 17 45 x 15 2360

2360 = 15,7333 … = 15,73̂ 150 38

EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1. Calcula el promedio aritmético de: A) 24 ; 30 ; 72 ; 42 B) 2,18 ; 5,1 ; 4,02 5 1 2 1 7 C) 2 , 3 4 , 1 3 , 3 2 , 4 D) 3/5, 7/2, 7/3, 9/2 2. En un salón de 32 alumnos el promedio en Aritmética es 15. Si a todos los alumnos se les aumenta dos puntos en su examen, ¿cuál sería el nuevo promedio del grupo? A) 15,2 B) 16 C) 17 D) 17,32 3. Si las notas promedios de 3 secciones “A”, “B” y “C” son respectivamente 14, 16 y 15; entonces, la nota promedio de todos los alumnos, sabiendo que en la sección “B” la cantidad de alumnos es el triple de la sección “C” pero la mitad de la sección “A”,es: A) 14,2 B) 14,7 C) 15,1 D) 15,3 4. Si los 17 alumnos de la sección “A” obtuvieron en promedio 14 en su examen final. Los 17 alumnos de la sección “B” obtuvieron 16 y los 17 alumnos de la sección “C” obtuvieron 09, entonces, el promedio general, será: A) 11 B) 12 C) 13 D) 14

5. El promedio aritmético de 17 números enteros y diferentes es 49, entonces, el promedio aritmético de los números consecutivos a cada uno de dichos números, es: A) 63 B) 59 C) 50 D) 48

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ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

1. Si P = es el promedio aritmético de 12, 15 y 18 Q = es el promedio aritmético de 13, 16 y 19 Entonces se concluye que : A) P > Q B) P < Q C) P = Q D) No se puede comparar 2. El promedio de 15; 40; "P" y 15 es 20 El promedio de 20; 30; “Q” y 15 es 20 Entonces se concluye que: A) P > Q B) P