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• Juanca Abad

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NOTA

SECCIÓN 2.6

157

Razones de cambio relacionadas

43. Ángulo de elevación El pescador de la figura recoge sedal para capturar su pieza a razón de 1 pie por segundo, desde un punto que está a 10 pies por encima del agua (ver la figura). ¿A qué ritmo cambia el ángulo entre el sedal y el agua cuando quedan por recoger 25 pies de sedal?

y

(0, 50)

x

100 pies 10 pies x

Figura para 48

5 millas

49. No está dibujado a escala

Figura para 43

Figura para 44

Para pensar Describir la relación que existe entre la razón de cambio de y y el de x en los casos siguientes. Suponer que todas las variables y derivadas son positivas.

dy a) dt

3 dx dt

dy b) dt

xL

44.

x

dx ,0 dt

x

L

Ángulo de elevación Un avión vuela a 5 millas de altitud y a una velocidad de 600 millas por hora, hacia un punto situado Aceleración En los ejercicios 50 y 51, calcular la aceleración del exactamente en la vertical de un observador (ver la figura). ¿A objeto especificado. (Sugerencia: Recordar que si una variable cambia a velocidad constante, su aceleración es nula.) qué ritmo está cambiando el ángulo de elevación cuando el ángulo es a)30 , b)60 y c)75 ? 50. Calcular la aceleración del extremo superior de la escalera del ejercicio 25 cuando su base está a 7 pies de la pared. 45. Velocidad lineal y velocidad angular La patrulla de la figura 51. Calcular la aceleración del velero del ejercicio 28a cuando faltan está estacionada a 50 pies de un largo almacén. La luz de su por recoger 13 pies de cuerda. torreta gira a 30 revoluciones por minuto. ¿A qué velocidad se está moviendo la luz a lo largo del muro cuando el haz forma 52. Modelo matemático La siguiente tabla muestra el número de ángulos de a)30 , b)60 y c)70 ? mujeres solteras s (nunca casadas) y casadas m (en millones) en el mundo laboral estadounidense desde 1997 hasta 2005. (Fuente: U.S. Bureau of Labor Statistics) POLICIA

P 50 pies

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

30 cm x

x

x

Figura para 45

Figura para 46

46. Velocidad lineal y velocidad angular Una rueda de 30 cm de radio gira a razón de 10 vueltas por segundo. Se pinta un punto P en su borde (ver la figura). a) Encontrar dx dt como función de . b) Utilizar una herramienta de graficación para representar la función del apartado a). c) ¿Cuándo es mayor el valor absoluto del ritmo de cambio de x?, ¿y el menor? 30 y60 .d) Calcular dx dt cuando 47. Control de vuelo Un avión vuela en condiciones de aire en calma a una velocidad de 275 millas por hora. Si asciende con un ángulo de 18 , calcular el ritmo al que está ganando altura. 48. Cámara de vigilancia Una cámara de vigilancia está a 50 pies de altura sobre un vestíbulo de 100 pies de largo (ver la figura). Es más fácil diseñar la cámara con una velocidad de rotación constante, pero en tal caso toma las imágenes del vestíbulo a velocidad variable. En consecuencia, es deseable diseñar un sistema con velocidad angular variable de modo tal que la velocidad de la toma a lo largo del vestíbulo sea constante. Encontrar un modelo para la velocidad variable de rotación adecuado si dx dt2 pies por segundo.

s

16.5 17.1 17.6 17.8 18.0 18.2 18.4 18.6 19.2

m

33.8 33.9 34.4 35.1 35.2 35.5 36.0 35.8 35.9 a) Utilizar las funciones de regresión de su herramienta de graficación para encontrar un modelo de la forma m(s) as3 bs2 cs d para esos datos, donde t es el tiempo en años, siendo t 7 el año 1997. b) Encontrar dm dt. Después utilizar ese modelo para estimar dm dt para t 10, si se supone que el número de mujeres solteras s que forman parte de la fuerza de trabajo va a crecer a razón de 0.75 millones al año.

53. Sombra en movimiento Se deja caer una pelota desde una altura de 20 m, a una distancia de 12 m de una lámpara (ver la figura). La sombra de la pelota se mueve a lo largo del suelo. ¿A qué ritmo se está moviendo la sombra 1 segundo después de soltar la pelota? (Enviado por Dennis Gittinger, St. Philips College, San Antonio, TX )

20 m

Sombra 12 m