• Author / Uploaded
• Alejandro Villamarin

Citation preview

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

Bateria de ejercicios 3.1 A LEJANDRO V ILLAMARÍN* PROBABILIDAD Y ESTADISTICA TEC

ANOVA DE UN FACTOR

1

H0 : σ12 = σ22 = σ32 = σ42 = σ52 = σ62

1.

Ejercicio 1

Se están considerando seis máquinas diferentes para la fabricación de sellos de goma y se están comparando con respecto a la resistencia a la tensión del producto. Se utiliza una muestra aleatoria de cuatro sellos hechos con cada máquina para determinar si la resistencia media a la tensión varía de una máquina a otra. A continuación se presentan las medidas de la resistencia a la tensión en kilogramos por centímetro cuadrado x10-1:

H1 : Almenosunσi2 esdistinto 2

β = 0,05 3

sp2 =

3(1,36) + 3(2,71) + 3(3,77) + 3(7,22) + 3(3,15) + 3(2,66) 24 − 6 sp2 = 3,48

b=

(1,36)3 (2,71)3 (3,77)3 (7,22)3 (3,15)3 (2,66)3 3,48 b = 0,88

4 Maq1=b0,05 (k=6,n=4)=0.5028 Maq2=b0,05 (k=6,n=4)=0.5028 Maq3=b0,05 (k=6,n=4)=0.5028 Maq4=b0,05 (k=6,n=4)=0.5028 Maq5=b0,05 (k=6,n=4)=0.5028 Maq6=b0,05 (k=6,n=4)=0.5028 N=24 Realice el análisis de varianza a un nivel de significancia de 0.05 e indique si la resistencia promedio a la tensión de las seis máquinas difiere o no de manera significativa. Prueba de Bartlett

s12 = 1,36 s22 = 2,71

b0,05 =

4(0,5028) + 4(0,5028) + 4(0,5028) + 4(0,5028) 24 b0,05 = 0,50

DECISION

b = 0,88 > b = 0,50 Ho no se rechaza INTERPRETACION La fabricacion de sellos de goma de las 6 maquinas son homocedasticas TABLA ANOVA

s32 = 3,77 s42 = 7,22 s5 = 3,15

n = 24 ¯ = 17,2 x1

s62 = 2,66

¯ = 17,17 x2

2

* NRC

k=6

2931

1

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

¯ = 18,17 x3

presentan las ventas diarias, expresadas en cientos de dólares, del alimento Arf para las tres alturas del anaquel. Con base en los datos, ¿existe una diferencia significativa en el promedio de ventas diarias de dicho alimento, con base en la altura del anaquel? Utilice un nivel de significancia de 0.01

¯ = 17,75 x4 ¯ = 18,43 x5 ¯ = 18,03 x6 ¯ = 17,2 x Fuente Inter INTRA TOTAL

SC SCTR=5.38 SCE=62.47 SCT=67.85

gl k-1=5 n-k=18 n=23

Medias MCTR=1.076 MCE=3.47 MCT=295

Tabla 1: TABLA ANOVA

F =

1,076 = 0,31 3,47

Ho = µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 = µ6 f(5,18) = 2,77

Prueba de Bartlett

DECISION Como F=0.31 b = 0,6282 Ho no se rechaza INTERPRETACION Las ventas con base a la altura del anaquel son homocedasticas TABLA ANOVA k=3 n = 24 ¯ = 81 x1 ¯ = 90,88 x2 ¯ = 84,63 x3 ¯ = 85,5 x Fuente Inter INTRA TOTAL

SC SCTR=399.61 SCE=288.32 SCT=687.93

gl k-1=2 n-k=21 n=23

Medias MCTR=199.81 MCE=13.73 MCT=29.91

d0,05(3,21

q

M CE n

q 3,58 13,73 = 4,68 8 ¯ = x3 ¯ 6= x2 ¯ x1

3.

Ejercicio 3

En el estudio, denominado An Evaluation of the Removal Method for Estimating Benthic Populations and Diversity, realizado por Virginia Tech en el río Jackson, se emplearon 5 procedimientos distintos de muestreo para determinar los conteos de especies. Se seleccionaron 20 muestras al azar y los 5 procedimientos de muestreo se repitieron 4 veces. Se registraron los siguientes conteos de especies:

Tabla 2: TABLA ANOVA

F =

199,8052 = 14,55 13,7295 Prueba de Bartlett

Ho = µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 = µ6 f(2,21) = 5,78

s12 = 422,25

DECISION Como F=14.55 b = 0,4921 Ho no se rechaza INTERPRETACION Los procedimientos son homocedasticos TABLA ANOVA

M CE n

r

217,10 5 = 32,20 ¯ ¯ ¯ = x2 ¯ = x1 ¯ x5 = x3 = x4 4,37

k=5 n = 20 ¯ = 64,25 x1 ¯ = 55,5 x2

4.

¯ = 24,25 x3 ¯ = 26,5 x4 ¯ = 12,5 x5 ¯ = 36,6 x Fuente Inter INTRA TOTAL

SC SCTR=7828.3 SCE=3256.49 SCT=11084.79

gl k-1=4 n-k=15 n=19

Medias MCTR=1957.08 MCE=217.10 MCT=583.41

Ejercicio 4

En un experimento biológico se emplearon 4 concentraciones de cierto producto químico para mejorar el crecimiento de cierto tipo de planta con el paso del tiempo. Se utilizaron cinco plantas con cada concentración y se midió su crecimiento, en centímetros. Se obtuvieron los siguientes datos y también se aplicó un control (ausencia de producto químico)

Tabla 3: TABLA ANOVA

F =

1957,08 = 9,0146 217,10

Ho = µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 = µ6 f(4,15) = 3,06 DECISION Como F=9.0146>Fcritico=3.06,Ho se rechaza con un nc 95 % PRUEBA DE TURKEY 4

Prueba de Bartlett

s12 = 0,23 s22 = 0,12

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

s32 = 0,38

Fuente Inter INTRA TOTAL

s42 = 0,21 1

H0 : σ12 = σ22 = σ32 = σ42

SC SCTR=17.15 SCE=8.27 SCT=26.22

gl k-1=3 n-k=16 n=19

Medias MCTR=5.98 MCE=0.51 MCT=1.38

Tabla 4: TABLA ANOVA

H1 : Almenosunσi2 esdistinto 2

β = 0,05 F = 3

sp2 =

3(0,23) + 3(0,12) + 3(0,38) + 3(0,21) 16 sp2 = 0,18

b=

((0,23)4 (0,12)4 (0,38)4 (0,21)4 ) 0,18

1 16

5,98 = 11,5 0,51

Ho = µ1 = µ2 = µ3 = µ4 f(3,16) = 3,24 DECISION Como F=11.5>Fcritico=3.24,Ho se rechaza con un nc 95 % PRUEBA DE TURKEY

b = 1,2035 4 1=b0,05 (k=4,n=5)=0.5850 2=b0,05 (k=4,n=5)=0.5850 3=b0,05 (k=4,n=5)=0.5850 4=b0,05 (k=4,n=5)=0.5850 N=20

b0,05 =

5(0,5850) + 5(0,5850) + 4(0,5850) 20 b0,05 = 0,585

d0,05(4,16) = 4,05 DISTANCIA CRITICA

DECISION

b = 1,2035 > b = 0,585 Ho no se rechaza INTERPRETACION Los procedimientos son homocedasticos TABLA ANOVA

r d0,05(4,16)

k=4 n = 20 ¯ = 8,82 x1

r 4,05

M CE n

0,51 5

= 1,29

¯ = 8,16 x2 ¯ = 6,82 x3

¯ = x3 ¯ 6= x2 ¯ = x1 ¯ x4

¯ = 6,14 x4 ¯ = 7,49 x

REGRESION LINEAL MULTIPLE 5

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

5.

Ejercicio 5

178,01 −0,043 −0,58 −1,60  −0,04 0,0005 −0,006 0,002  (xxt )−1 = −0,58 −0,006 0,12 −0,02   −1,6 0,002 −0,02 0,02 −0,18 −0,00004 0,0008 −0,0006 

Se cree que la energía eléctrica que una planta química consume cada mes se relaciona con la temperatura ambiental promedio, x1, el número de días del mes, x2, la pureza promedio del producto, x3, y las toneladas fabricadas del producto, x4. Se dispone de datos históricos del año anterior, los cuales se presentan en la siguiente tabla.

  −102,71  0,6053    t −1 t  β = xx ) (x y)=  8,923   1,43  0,014 β0 = −102,71 β1 = 0,6053 β2 = 8,923 β3 = 1,43 β4 = 0,014 yˆ = −102,71 + 0,6053x1 + 8,923x2 + 1,43x3 + 0,014x4 Y 240 236 290 274 301 316 300 296 267 276 288 261

a) Ajuste un modelo de regresión lineal múltiple usando el conjunto de datos anterior

P P P n = 12 x1 = 685 x2 = 292 x3 = 1072 P P P 2 x4 = 1192 y = 3345 y = 939075 P 2 P P x1 = 43245 x22 = 7124 x32 = 95822 P 2 P P x4 = 118860 x1x2 = 16852 x1x3 = P P 61054 x1x4 = 68011 x2x3 = 26089 P P P x2x4 = 29003 x3x4 = 106498 x1y = P P 194890 x2y = 81678 x3y = 298850 P x4y = 332254 

12  685  (xxt )=  292 1072 1192 

 3345 194890    (xt y)=  81678  298850 332254

685 292 1072 43245 16852 61054 16852 7124 26089 61054 26089 95822 68011 29003 106498

Yˆ

ˆ

258.75823 234.11402 266.68935 282.95666 291.81501 309.35667 295.18655 296.15696 284.85045 288.93787 281.37866 254.80226

-18.75823 1.88598 23.31065 -8.95666 9.18499 6.64333 4.81345 -0.15696 -17.85045 -12.93787 6.62134 6.19774

Tabla 5: Errores



1192 68011   *σ 2 Errores 29003   X ˆ = 1699,009257 106498 E 118860 1699,009257 σ2 = = 242,7156 12 − 4 − 1 *Prueba T Para β1 Ho = β1 = 0 0,6053 t= p 0,00053(242,7156) = 1,6418

6

 −0,17 −0,00004  0,008   −0,0006  0,002

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

t0,025 = ±2,365 Ho no se rechaza β1 no tiene relacion con y *Prueba T Para β2 Ho = β2 = 0

t= p

8,923 0,115(242,7156)

6.

Ejercicio 6

Se llevó a cabo un estudio sobre un tipo de conexión para conocer la relación entre la cantidad de desgaste, y, para x1 = viscosidad del aceite, y x2 = carga. Se obtuvieron los datos siguientes. (Tomado de Response Surface Methodology, Myers, Montgomery y Anderson-Cook, 2009).

= 1,68 t0,025 = ±2,365 Ho no se rechaza β2 no tiene relacion con y *Prueba T Para β3 Ho = β3 = 0

t= p

1,43 0,023(242,7156) = 0,6018

n=6 P P x1 = 155,1 x2 = 6398 P P P y = 924 y 2 = 156408 x12 = 5264,81 P 2 P x2 = 7036496 x1x2 = 178309,6 P P x1y = 20299,8 x2y = 935906

t0,025 = ±2,365 Ho no se rechaza β3 no tiene relacion con y *Prueba T Para β4 Ho = β4 = 0



6 (xxt )=155,1 6398

 155,1 6398 5264,81 178309,6 178309,6 7036496

0,014 t= p 0,0022(242,7156) 

= 0,019

8,59 (xxt )−1 = 0,080 0,0098

0,08 0,0021 0,00012

 −0,00986 0,000126  0,0000123

t0,025 = ±2,365 Ho no se rechaza β4 no tiene relacion con y Se llega a la conclusion que el consumo de energia no depende de ninguno de los factores mencionados en el enunciado b)Prediga el consumo de energía para un mes en que x1 = 75 F, x2 = 24 días, x3 = 90 % y x4 = 98 toneladas.

yˆ = −102,71+0,6053(75)+8,923(24)+1,43(90)



 924 (xt y)=20299,8 935906 

 350,99 β = xxt )−1 (xt y)= −1,27  −0,15 β0 = 350,99 β1 = −1,27

+0,014(98)

β2 = −0,15

= 286,9115

yˆ = 350,99 − 1,27x1 − 0,15x2 7

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

Y 193 172 113 230 91 125

Yˆ

ˆ

217.990186 160.18429 100.1763 205.696025 111.4648 128.51617

-24.990186 11.81571 12.8237 24.303975 -20.4648 -3.51617

7.

Ejercicio 7

Remítase al ejercicio 12.5 de la página 450 y obtenga estimados de 2 a)σb2

Tabla 6: Errores

b)Cov(b1,b4) *σ 2 Errores

178,01 −0,043 −0,58  0,0005 −0,006  (xxt )−1 = 0,12   

X

σ2 =

ˆ = 1950,422372 E

1950,422372 = 650,1407907 6−2−1

*Prueba T Para β1 Ho = β1 = 0

2 σb2

= 0,12

−1,27 t= p 0,0021(650,1407)

Cov(b1,b4)

= −0,00004

= −1,086 t0,025 = ±3,182 Ho no se rechaza β1 no tiene relacion con y *Prueba T Para β2 Ho = β2 = 0

−0,15 t= p 0,0000123(650,1407) = −1,67 t0,025 = ±3,182 Ho no se rechaza β2 no tiene relacion con y Se llega a la conclusion que la viscosidad del aceite y la carga no tienen nada que ver con la cantidad de desgaste b) Prediga el desgaste cuando la viscosidad del aceite sea de 20 y la carga sea de 1200

yˆ = 350,99 − 1,27(20) − 0,15(1200) = 145,59 8

 −1,60 −0,17 0,002 −0,00004  −0,02 0,008   0,02 −0,0006  0,002

8.

Ejercicio 8

Utilice los datos del ejercicio 12.5 de la página 450 y el estimado de σ 2 del ejercicio 12.19 para calcular intervalos de confianza de 95 % para la respuesta predicha y la respuesta media cuando x1 = 75, x2 = 24, x3 = 90 y x4 = 98. IC Prediccion Media

(Xot (X t X)−1 Xo) = 0,4164652 Yˆo = −102,71+0,6053(75)+8,923(24)+1,43(90) +0,014(98) Yˆo = 286,5195 t = 2,365   1 75   24   90 98

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

1950,422372 = 650,1407907 6−2−1 b) Calcule valores predichos, un intervalo de confianza de 95 % para el desgaste promedio y un intervalo de predicción de 95 % para el desgaste observado si x 1 = 20 y x2 = 1000. σ2 =

Yˆo ± tα/2

p

Xot (X t X)−1 Xo p 286,5195 ± 2,365 0,416452 286,5195 ± 1,5262

(Xot (X t X)−1 Xo) = 0,194387

[284,9933; 288,0457]

Yˆo = 350,99 − 1,27(20) − 0,15(1000) Yˆo = 171,65447

IC Prediccion Puntual

Yˆo ± tα/2

t = 3,182   1  20  1000

p

1 + (Xot (X t X)−1 Xo) p 286,5195 ± 2,365 1 + 0,416452 286,5195 ± 2,8147 [283,7048; 289,3342]

9.

Yˆo ± tα/2

p

Xot (X t X)−1 Xo p 171,65447 ± 3,182 0,194387

Ejercicio 9

171,65447 ± 1,4029

Considere los siguientes datos del ejercicio 12.13 de la página 452

[170,2515; 173,0573] IC Prediccion Puntual

Yˆo ± tα/2

p 1 + (Xot (X t X)−1 Xo) p 171,65447 ± 3,182 1 + 0,194387 171,65447 ± 3,4775 [168,1770; 175,1320]

PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

10.

Ejercicio 10

2

a) Estime σ usando regresión múltiple de y sobre x1 y x2. Y 193 172 113 230 91 125

Yˆ

ˆ

217.990186 160.18429 100.1763 205.696025 111.4648 128.51617

-24.990186 11.81571 12.8237 24.303975 -20.4648 -3.51617

La tabla de frecuencia que aparece a continuacion registra ventas diarias para 200 dias.¿En σ =0.05,las ventas parecen estar distribuidas normalmente?

Tabla 7: Errores

*σ 2 Errores

X

ˆ = 1950,422372 E 9

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

Ventas 40-60 60.80 80-100 100-120 120-140 140-160 160-180 180-200

x 50 70 90 110 130 150 170 190

f 7 22 46 42 42 18 11 12

x.f 350 1540 4140 4620 5460 2700 1870 2280

(x − x ¯ )2

(x − x ¯)2 .f

4199.04 2007.04 615.04 23.04 231.04 1239.04 3047.04 5655.04

29393.28 44154.88 28291.84 967.68 9703.68 22302.72 33517.44 67860.48

P 3 = 0,4090 − 0,2912 P 3 = 0,1178 Para P4

Z=

120 − 114,8 = 0,08 → 0,5319 63,27 P 4 = 0,5319 − 0,4090 P 4 = 0,1229

Tabla 8: Datos no agruados

Para P5

Z=

x ¯ = 114,8 2

s = 4003,2542

P 5 = 0,6554 − 0,5319

s = 63,27 H0 : ventas → N (114,8, σ 2 )

P 5 = 0,1235 Para P6

H1 : ventas 9 N (114,8, σ 2 ) Z= Ventas 40-60 60.80 80-100 100-120 120-140 140-160 160-180 180-200

F 7 O1 22 O2 46 O3 42 O4 42 O5 18 O6 11 O7 12 O8

v=n.pi 0.1949(200)=38.98 E1 0.0963(200)=19.26 E2 0.1178(200)=23.56 E3 0.1229(200)=24.58 E4 0.1235(200)=24.7 E5 0.1057(200)=21.14 E6 0.0874(200)=17.48 E7 0.1515(200)=30.3 E8

140 − 114,8 = 0,40 → 0,6554 63,27

160 − 114,8 = −0,55 → 0,2912 63,27 P 6 = 0,7611 − 0,6554 P 6 = 0,1057

Para P7

Z=

180 − 114,8 = 1,03 → 0,8485 63,27 P 7 = 0,8485 − 0,7611

Tabla 9: Datos no agruados

P 7 = 0,0874 Para P8

Para P1

P 8 = 1 − 0,8485 60 − 114,8 Z= = −0,86 63,27

P 8 = 0,1515 P (Oi − Ei )2 2 X = Ei

P 1 = 0,1949 Para P2

80 − 114,8 Z= = −0,55 → 0,2912 63,27 P 2 = 0,2912 − 0,1949 P 2 = 0,0963

10

(7 − 38,98)2 (22 − 19,26)2 (12 − 30,3)2 + +...+ 38,98 19,26 30,3 = 86,38 gl = 8 − 1 − 1 = 6 Xcritico = 12,592

Para P3

Z=

=

100 − 114,8 = −0,23 → 0,4090 63,27

Como X es mayor que X critico entonces H0 se rechaza

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

11.

Ejercicio 11

Para P3

Se consideran los siguientes datos sobre los tiempos de finalizacion de trabajos,los cuales se tomaron de una poblacion de una media de 18 y una desviacion estandar de 4

Z=

20 − 18 = 0,52 → 0,6915 4

P 3 = 0,6915 − 0,2266 P 3 = 0,4649 Para P4

Z=

25 − 18 = 1,75 → 0,9599 4

P 4 = 0,9599 − 0,6915 P 4 = 0,2684 Al nivel de significancia de 5 %,¿Puede concluirse que los tiempos estan distribuidos normalmente?

Para P5

P 5 = 1 − 0,9599 P 5 = 0,0401 P (Oi − Ei )2 2 X = Ei

H0 : ventas → N (114,8, σ 2 ) H1 : ventas 9 N (114,8, σ 2 ) Ventas Hasta 10 10 a 15 15 a 20 20 a 25 25 y mas

F 10 O1 101 O2 223 O3 146 O4 20 O5

v=n.pi 0.0228(500)=11.4 E1 0.2038(500)=101.9 E2 0.4649(500)=232.45 E3 0.2684(500)=134.2 E4 0.0401(500)=20.05 E5

Tabla 10: Datos agruados

x ¯ = 18

=

(10 − 11,4)2 (101 − 101,9)2 (20 − 20,05)2 + +...+ 11,4 101,9 20,05 = 1,60 gl = 5 − 1 − 1 = 3 Xcritico = 7,815

Como X es menor que X critico entonces H0 no se rechaza

12.

Ejercicio 12

σ=4 Para P1

Z=

10 − 18 = −2 4

P 1 = 0,0228 Para P2

Z=

15 − 18 = −0,75 → 0,2266 4 P 2 = 0,2266 − 0,0228 P 2 = 0,2038

Una cadena minorista tiene seis puntos de venta.Ha venido esforzandose mucho para alcanzar niveles de ventas similares en todas las seis tiendas.La empresa de publicidas que maneja la gestion promocional afirma que en ese momento,cada tienda deberia reportar ventas iguales.Si las ventas no son iguales,la cadena minorista ha decidido acabar su asociacion con la agencia publicitaria.¿Que desicion se deberia tomar con base en los datos que aparecen a continuacion?.Plantee su hipotesis.Seaα=0.01 11

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

H0 : XyY sonindependientes H1 : XyY nosonindependientes H0 : ventas → Dis.U nif orme(pi = 1/6) H1 : ventas 9 Dis.U nif orme(pi = 1/6) α = 0,01 nc = 0,99

1 2 3 4 5 6

X/Y Con Hip Sin Hip T.Fila

275(1/6)=45.83 275(1/6)=45.83 275(1/6)=45.83 275(1/6)=45.83 275(1/6)=45.83 275(1/6)=45.83

No.Fum 21(33.35) 48(35.65) 69

Fum. moder 36(29.96) 26(32.03) 62

Fum.empe 30(23.68) 19(25.31) 49

T.Colum 87 93 180

69 ∗ 87 = 33,35 180 62 ∗ 87 = 29,96 180 69 ∗ 93 = 35,65 180

X2 =

62 ∗ 93 = 32,03 180

(42 − 45,83)2 (47 − 45,83)2 + ... + 45,83 45,83 = 3,77

49 ∗ 87 = 23,68 180

gl = k − 1

49 ∗ 93 = 25,31 180

6−1=5 Xcritico = 15,086 Como X es menor que X critico entonces Ho no se rechaza PRUEBAS PARA VARIABLES CATEGORICAS

13.

Ejercicio 13

En un experimento diseñado para estudiar la dependencia de la hipertensión con respecto a los há- bitos de fumar se tomaron los siguientes datos de 180 individuos 12

X2 =

(21 − 33,35)2 (48 − 35,65)2 (19 − 25,31)2 + +...+ 33,35 35,65 25,31 = 14,46 gl = (1)(2) = 2 Xcrit = 5,991

Como X es mayor que X critico entonces Ho se rechaza,no son independientes

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

14.

Ejercicio 14

Un criminólogo realizó una investigación para determinar si la incidencia de ciertos tipos de delitos varía de una parte de una gran ciudad a otra. Los crí- menes específicos de interés eran el asalto, el robo de casas, el hurto y el homicidio. La siguiente tabla muestra el número de delitos cometidos en cuatro áreas de la ciudad durante el año pasado.

682 ∗ 864 = 145,17 4059 2295 ∗ 749 = 423,49 4059 2295 ∗ 1527 = 863,38 4059 2295 ∗ 919 = 519,61 4059 2295 ∗ 864 = 488,51 4059 (19 − 25,31)2 (21 − 33,35)2 (48 − 35,65)2 + +...+ X2 = 33,35 35,65 25,31 = 14,46 gl = (1)(2) = 2 Xcrit = 5,991 Como X es mayor que X critico entonces Ho se rechaza,no son independientes

¿A partir de estos datos podemos concluir, a un nivel de significancia de 0.01, que la ocurrencia de estos tipos de delitos depende del distrito de la ciudad?

H0 : XyY sonindependientes H1 : XyY nosonindependientes

1 2 3 4 F

Asalto 162(186.4) 310(380) 258(228.6) 280(214.9) 1010

Ro. casa 118(125.9) 196(256.6) 193(154.4) 175(145.1) 682

Hurto 451(423.5) 996(863.3) 458(519.6) 390(488.5) 2295

1010 ∗ 749 = 186,37 4059 1010 ∗ 1527 = 379,96 4059 1010 ∗ 919 = 228,67 4059 1010 ∗ 864 = 214,98 4059 682 ∗ 749 = 125,85 4059 682 ∗ 1527 = 256,57 4059 682 ∗ 919 = 154,41 4059

15.

Ejercicio 15

De acuerdo con un estudio de la Universidad Johns Hopkins, publicado en American Journal of Public Health, las viudas viven más que los viudos. Considere los siguientes datos reunidos de supervivencia de 100 viudas y 100 viudos después de la muerte del cónyuHom 18(13.3) ge: 25(27.0) 10(16.3) 19(15.3) 72

Con un nivel de significancia de 0.05, ¿podemos concluir que las proporciones de viudas y viudos son iguales con respecto a los diferentes periodos que un cónyuge sobrevive luego de la muerte de su compañero?

H0 : Lasproporcionessoniguales H1 : Lasproporcionesnosoniguales Años Menos de 5 De 5 a 10 Mas de 10 T.F

Viuda 25(32) 42(41) 33(27) 100

Viudo 39(32) 40(41) 21(27) 100

T.C 64 82 54 200

13

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

100 ∗ 64 = 32 200 100 ∗ 82 = 41 200 100 ∗ 54 = 27 200 X2 =

(25 − 32)2 (42 − 41)2 (21 − 27)2 + +...+ 32 41 27 = 5,77

500 ∗ 429 = 214,5 1000 500 ∗ 409 = 204,5 1000 500 ∗ 162 = 81 1000 (77 − 81)2 (204 − 214,5)2 (211 − 204,5)2 X2 = + +...+ 214,5 204,5 81 = 1,83 gl = (2)(1) = 2

gl = (1)(2) = 2

Xcrit = 5,991

Xcrit = 5,991 Como X es menor que X critico entonces Ho no se rechaza

Como X es menor que X critico entonces Ho no se rechaza PRUEBAS DE SIGNOS Y DE RANGOS CON SIGNOS

16.

17.

Ejercicio 16

Se lleva a cabo una investigación en dos ciudades de Virginia para determinar la opinión de los votantes respecto a dos candidatos a la gubernatura en una elección próxima. En cada ciudad se seleccionaron 500 votantes al azar y se registraron los siguientes datos:

Ejercicio 17

Los siguientes datos representan el tiempo, en minutos, que un paciente tiene que esperar durante 12 visitas al consultorio de un médico antes de ser atendido

Utilice la prueba de signo a un nivel de significancia de 0.05 para probar la afi rmación del médico de que la mediana del tiempo de espera de sus pacientes no es mayor de 20 minutos

H0 : µ ¯ = 20 A un nivel de significancia de 0.05 pruebe la hipótesis nula de que las proporciones de votantes que están a favor del candidato A, a favor del candidato B o que están indecisos son las mismas para cada ciudad.

H0 : Lasproporcionessoniguales H1 : Lasproporcionesnosoniguales

H1 : µ ¯ > 20 α = 0,05 nc = 0,95 17 − 20 = − 15 − 20 = − 20 − 20 = 0 20 − 20 = 0

Opinion A favor de A A favor de B Indeciso T.F

14

Richmond 204(214.5) 211(204.5) 85(81) 500

Norfolk 225(214.5) 198(204.5) 77(81) 500

T.C 429 409 162 1000

32 − 20 = + 28 − 20 = + 12 − 20 = − 26 − 20 = +

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

25 − 20 = + 25 − 20 = + 35 − 20 = + 24 − 20 = +

18.

Ejercicio 18

Un inspector de alimentos examina 16 latas de cierta marca de jamón para determinar el porcentaje de impurezas externas. Se registraron los siguientes datos:

#(+) = 7 #(−) = 3 n∗ = 10

= 0,17

Utilice una aproximación normal a la distribución binomial y realice una prueba de signo a un nivel de significancia de 0.05 para probar la hipótesis nula de que la mediana del porcentaje de impurezas en esta marca de jamón es de 2.5 %, en comparación con la hipótesis alternativa de que la mediana del porcentaje de impurezas no es de 2.5 %.

0,17 > 0,05

H0 : µ ¯ = 2,5

x=7 P −valor = [P (x = 7)+P (x = 8)+...+P (x = 10)]     10 10 7 3 [ (0,5) (0,5) + ... + (0,5)10 (0,5)0 ] 7 10 0,510 (176)

P-valor es mayor queα por lo tanto Ho no se rechaza Prueba de rangos con signo di=Xi-20 -3 -5 0 0 12 8 -8 6 5 5 15 4

Rango-Posicion 1 5− → 4 9 8− → 7,5 7− → 7,5 6 4− → 4 3− → 4 10 2

H1 : µ ¯ 6= 2,5 α = 0,05 nc = 0,95 2,4 − 2,5 = − 2,3 − 2,5 = − 3,1 − 2,5 = + 2,2 − 2,5 = − 2,3 − 2,5 = − 1,2 − 2,5 = − 1,0 − 2,5 = − 2,4 − 2,5 = − 1,7 − 2,5 = − 1,1 − 2,5 = −

W + = 9 + 7,5 + 6 + 4 + 4 + 10 + 2 = 42,5

4,2 − 2,5 = +

W − = 1 + 4 + 7,5 = 12,5

1,9 − 2,5 = −

W = min[12, 5]

1,7 − 2,5 = −

W = 12,5

3,6 − 2,5 = +

W crit = 8

1,6 − 2,5 = −

W = 12,5 > W crit = 8

2,3 − 2,5 = −

Ho no se rechaza

#(+) = 3 15

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

#(−) = 13 n∗ = 16 x=3 P −valor = 2[P (x = 0)+P (x = 1)+...+P (x = 3)]     16 16 2[ (0,5)0 (0,5)16 + ... + (0,5)3 (0,5)13 ] 0 3

19.

Ejercicio 19

En un experimento de contaminación atmosférica se comparan dos tipos de instrumentos para medir la cantidad de monóxido de azufre en la atmósfera. Se registraron las siguientes lecturas diarias durante dos semanas:

2(0,516 (697)) = 0,021 0,021 < 0,05 P-valor es menor queα por lo tanto Ho se rechaza Prueba de rangos con signo di=Xi-20 -0.1 -0.2 0.6 -0.3 -0.2 -1.3 -1.5 -0.1 -0.8 -1.4 1.7 -0.6 -0.8 1.1 -0.9 -0.2

Rango-Posicion 1→ 1,5 3→ 4 7→ 7,5 6 4→ 4 13 15 2→ 1,5 9→ 9,5 14 16 8→ 7,5 10→ 9,5 12 11 5→ 4

Utilice la aproximación normal a la distribución binomial y realice una prueba de signo para determinar si los diferentes instrumentos conducen a diferentes resultados. Utilice un nivel de significancia de 0.05.

¯ = µB ¯ H0 : µA ¯ 6= µB ¯ H1 : µA α = 0,05 nc = 0,95 0,96 − 0,87 = + 0,82 − 0,74 = + 0,75 − 0,63 = +

W + = 7,5 + 16 + 12 = 35,5

0,61 − 0,55 = +

W − = 1,5 + 4 + 6 + 4 + 13 + ... + 4 = 100,5

0,89 − 0,76 = +

W = min[35,5, 100,5]

0,64 − 0,70 = − 0,81 − 0,69 = +

W = 35,5

0,68 − 0,57 = +

W crit = 30

0,65 − 0,53 = + 0,84 − 0,88 = −

W = 35,5 < W crit = 30 Ho se rechaza 16

0,59 − 0,51 = + 0,94 − 0,79 = +

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

0,91 − 0,84 = +

20.

Ejercicio 20

0,77 − 0,63 = + #(+) = 12 #(−) = 2 n∗ = 14 x=2 P − valor = 2[P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2)]     14 14 0 14 2[ (0,5) (0,5) + ... + (0,5)2 (0,5)12 ] 0 2

Los siguientes datos representan los pesos, en kilogramos, del equipaje personal que llevan, en diferentes vuelos, un jugador de un equipo de beisbol y un jugador de un equipo de basquetbol.

2(0,514 (106)) = 0,013 0,013 < 0,05 P-valor es menor queα por lo tanto Ho se rechaza Prueba de rangos con signo di=Xi-20 -0.09 -0.08 0.12 0.06 0.13 -0.06 0.12 0.11 0.12 -0.04 0.08 0.15 0.07 0.14

Rango-Posicion 7 5→ 5,5 9→ 10 3→ 2,5,5 12 2→ 2,5 10→ 10 8 11→ 10 1 6→ 5,5 14 4 13

Utilice la prueba de la suma de rangos con α = 0.05 para probar la hipótesis nula de que los dos atletas llevan la misma cantidad de equipaje en promedio, en comparación con la hipótesis alternativa de que el peso promedio del equipaje de los dos atletas es diferente.

W + = 7,5,5 + 10 + 2,5 + ... + 13 = 101,5 W − = 2,5 + 1 = 3,5

¯ = µ2 ¯ H0 : µ1

W = min[101,5; 3,5] W = 3,5 W crit = 21 W = 3,5 < W crit = 21 Ho se rechaza PRUEBAS DE SUMA DE RANGO DE WILCOXON Y PRUEBA DE KRUSKAL WALLIS

¯ 6= µ2 ¯ H1 : µ1 17

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

Datos originales 12.7* 13.2 13.6* 13.6 14.1* 14.1 14.5 14.8 15.0* 15.0 15.4* 15.4 15.6 15.9* 15.9 16.3* 16.3* 16.3 16.3 16.5 16.8* 17.2 17.4 17.7* 17.7 18.1* 18.1 18.3 18.6 18.6 18.6 19.1 20.0

Rango 1 2 3.5 3.5 5.5 5.5 7 8 9.5 9.5 11.5 11.5 13 14.5 14.5 17.5 17.5 17.5 17.5 20 21 22 23 24.5 24.5 26.5 26.5 28 30 30 30 32 33

w1 = 1+3,5+5,5+9,5+11,5+14,5+...+30 = 182,5

w2 =

(33)(34) − 182,5 = 378,5 2

µ1 = 182,5 −

12(13) = 104,5 2

µ2 = 378,5 −

21(22) = 147,5 2

21.

Ejercicio 21

Se fabrica un hilo para pesca usando dos procesos. Para determinar si hay una diferencia en la resistencia media a la rotura de los hilos, se seleccionan 10 piezas de cada proceso y después se prueba la resistencia a la rotura de cada una. Los resultados son los siguientes:

Utilice la prueba de suma de rangos con α = 0.1 para determinar si hay diferencia entre las resistencias medias a la rotura de los hilos fabricados mediante los dos procesos

¯ = µ2 ¯ H0 : µ1 ¯ 6= µ2 ¯ H1 : µ1 Datos originales 8.7 9.3* 9.5 9.6* 9.8 9.8 9.8* 9.9* 9.9 10.0* 10.1 10.4* 10.5 10.7* 10.8 10.9* 11.0 11.2 11.5* 11.8*

Rango 1 2 3 4 6 6 6 8.5 8.5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Regioncritica : µ ≤ 69 Ho no se rechaza 18

w1 = 2 + 4 + 6 + 8,5 + 10 + ... + 20 = 111,5

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

w2 =

(20)(21) − 111,5 = 98,5 2

µ1 = 111,5 −

10(11) = 56,5 2

µ2 = 98,5 −

10(11) = 43,5 2

Regioncritica : µ ≤ 27 Ho no se rechaza

22.

Ejercicio 22

En el ejercicio 13.6 de la página 519 utilice la prue ba de Kruskal-Wallis, a un nivel de significancia de 0.05, para determinar si los solventes químicos orgánicos difieren de manera significativa en su tasa de absorción.

Datos originales 0.06 0.06 0.09 0.10 0.17 0.17 0.29 0.34 0.43 0.43 0.44 0.51 0.53 0.55 0.57 0.60 0.61 0.65 0.79 0.82 0.83 0.82 0.89 0.91 0.95 1.05 1.06 1.12 1.12 1.15 1.16 1.45 1.58

Rango 1.5 1.5 3 4 5.5 5.5 7 8 9.5 9.5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20 22 23 24 25 26 27.5 27.5 29 30 31 32

¯ = µ2 ¯ = µ3 ¯ H0 : µ1

H1 : Sondif erentes Region critica:5.991 19

Alejandro Villamarín - NRC 2931 - BATERIA DE EJERCICIOS 3.1

1 18 19 20 22 24 25 26 27.5 29 r1=210.5

h=

2 15 21 23 27.5 30 31 32 9.5 r2=189

3 1.5 1.5 3 4 5.5 5.5 7 8 9.5 11 12 13 14 16 17 r3=128.5

12 210,52 1892 128,52 ( + + ) − 3(33) 32(33) 9 8 15 = 20,19 h > hcritico

Ho se rechaza

23.

¯ = µ2 ¯ = µ3 ¯ H0 : µ1 H1 : Sondif erentes Region critica:9.210 Datos originales 4.3 4.6 4.8 4.9 5.2 5.2 5.4 5.5 5.5 5.6 5.8 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.8

Rango 1 2 3 4 5.5 5.5 7 8.5 8.5 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Ejercicio 23

Los siguientes datos representan los tiempos de funcionamiento, en horas, para tres tipos de calculadoras científi cas de bolsillo, antes de que requieran recarga:

Utilice la prueba de Kruskal-Wallis a un nivel de significancia de 0.01, para probar la hipótesis de que los tiempos de funcionamiento de las tres calculadoras son iguales

1 4 12 1 2 5.5 r1=24.5

h=

2 8.5 7 13 11 8.5 5.5 3 r2=56.5

3 15 18 10 16 14 17 r3=90

12 24,52 56,52 902 ( + + ) − 3(19) 18(19) 5 7 6 = 10,58 h > hcritico

Ho se rechaza

20