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• Itzel Mendoza

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Prueba para dos medias cuando las muestras son independientes y varianzas homogéneas (prueba de t), prueba de comparación de varianzas. Definición. Prueba de dos medias cuando las muestras son independientes. Es un procedimiento estadístico para decir si las medias de poblaciones normalmente distribuidas son iguales o no, o si la diferencia entre las medias es un valor especifico. Se supone que las varianzas desconocidas de estas muestras son las mismas, pero las medias pueden diferir. Los seis pasos de este procedimiento de prueba son como sigue: Paso 1. Formular H0 y Ha. Las tres hipótesis posibles son: 1) H0:  contra Ha : -  2) H0:  contra Ha : -   3) H0:  contra Ha : -   Aquí la letra griega delta) representa cualquier constante especificada, usualmentees igual a cero. Paso 2. Escoger un tamaño de muestra n1 y n2 para cada población y un valor de  Paso 3. Sea la estadística de prueba de

(̅

̅ ) ̅

̅

Paso 4. Con base en el valor de , decidir cuál regla de decisión usar de acuerdo con la tabla de reglas de decisión (tabla 1.0) donde gl Paso 5. Tomar las muestras y calcular la estadística de prueba. Paso 6. Aplicar la regla de decisión y hacer ésta. Tabla 1.0. Tabla de reglas de decisión para una prueba de hipótesis para dos medias de poblaciones normales distribuidas cuando las muestras son independientes. Nula H0:   H0:   H0:  

Alternativa Ha : -  Ha : -   Ha : -  

Región de rechazo

⁄

Región de no rechazo.

⁄

⁄

⁄

Discusión. Aplicamos la prueba de hipótesis para dos medias cuando queremos saber si la diferencia entre las medias de dos poblaciones normalmente distribuidas toma o no valor preconcebido. En esta lección supondremos que las muestras de las dos poblaciones son independientes. Por tanto,

usaremos   y ̅ ̅ para representar las medias de la población 1 y 2, y las medias de muestra 1 y 2, respectivamente. Supondremos también que las varianzas de las dos poblaciones son iguales; esto es, . Para decir si aceptamos o no la hipótesis nula, aplicamos el procedimiento de los seis pasos, como sigue. Paso 1. Formular H0 y Ha. Para las medias de dos poblaciones normalmente distribuidas de las cuales se toman muestras independientes, las tres siguientes hipótesis son posibles: 1) H0:  contra Ha : -  2) H0:  contra Ha : -   3) H0:  contra Ha : -   Paso 2. Escoger tamaños de muestra n1 y n2 y un valor  Para los propósitos de este texto, designaremos el tamaño de muestra para las poblaciones en los ejemplos y problemas prácticos, estos tamaños de muestra n1 y n2 no necesitan ser iguales. También se acostumbra seleccionar un valor para  cuando se hacen pruebas en la realidad. En tales casos, los valores de  se darán junto con los tamaños de muestra. Paso 3. Sea la estadística de prueba: (̅

̅ ) ̅

̅

Si la diferencia entre las medias de la muestra ( ̅ ̅ ) es similar en valor a la diferencia entre las medias de la población, supuestas en H0 , entonces tenemos una buena razón para no rechazar la hipótesis nula. En este caso, ya que el valor del error estándar ̅ ̅ no es conocido, debemos estimarlo. Si suponemos sigue:

; podemos obtener una estimación de la varianza común, como (

Esta fórmula, y 2. Usando el valor

)

(

)

son las varianzas calculadas para las muestras tomadas de las poblaciones 1 y podemos estimar el error estándar de ̅ ̅ por medio de la siguiente

fórmula:

̅

̅

√

1 la hipótesis más común es quey en tal caso el valor de es cero.

(

)

El valor de

̅

̅

es el estimador de

̅

̅

. Una vez que se ha calculado este valor, podemos

entonces determinar qué tan cerca está ̅ ̅ de la diferencia de medias como según se supuso. Hacemos esto a través del cálculo del valor t, como sigue: (̅

̅ ) ̅

̅

Hay grados de libertad asociados a este valor de t. Entre más cerca esté t de cero, ) más coincidirán ̅ ̅ y( . Si el valor de t no está cerca de cero, entonces debemos considerar el rechazo de la hipótesis nula. El paso 4 define condiciones específicas para decidir si se acepta o no la hipótesis nula. Si ambos tamaños de muestra n1 y n2 son grandes (mayores que 30) entonces obtendremos un valor aproximado de Z, usando: (̅

̅ ) ̅

̅

̅

̅

√

Paso 4. Con base en el valor de decir cuál regla de decisión usar de acuerdo con la tabla (1.0).

Figura 1.1 regiones de no rechazo y rechazo para la hipótesis H0:  contra Ha : El área sombreada representa la probabilidad 

Figura 1.2 regiones de no rechazo y de rechazo para la hipótesis H0:  contra Ha :  El área sombreada representa la probabilidad  El tamaño del valor de t es el criterio para determinar no rechazamos o rechazamos la hipótesis nula. La tabla 1.0 resume: 1. Las tres posibles hipótesis para la diferencia entre dos medias de poblaciones normalmente distribuidas de las que se han tomado muestras independientes,

suponiendo y 2. La alternativa para cada hipótesis, de la cual se derivan las regiones de aceptación y rechazo correspondientes en términos de valores de t, donde gl . Si la hipótesis alternativa es Ha : - entonces la región de rechazo, definida como de una cola y está localizada a la derecha de media (figura 1.1). Si la hipótesis alternativa es Ha : -  entonces la región de rechazo, definida como es también de una cola, pero está localizada a la izquierda de la media (figura 1.2)

, es

,

Si la hipótesis alternativa es Ha : -  entonces la región de rechazo, definida como ⁄ ⁄ , es de dos colas. Es decir, la región de rechazo está localizada a ambos lados en las colas (figura 1.3).

Figura 1.3. regiones de no rechazo y rechazo para la hipótesis H0:   Las áreas sombreadas representan la probabilidad 

contra Ha : -

Paso 5. Tomar las muestras y calcular la estadística de prueba. Una vez que hemos identificado la hipótesis que queremos probar, la estadística de prueba apropiada y las fronteras de las regiones de no rechazo y rechazo correspondientes a la hipótesis, ya estamos listos para tomar las muestras y calcular sus respectivas varianzas y . Para obtener un valor de t, sustituimos estos valores en las fórmulas del paso 3; (̅

̅ ) ̅

La cual tiene una distribución t con

̅

grados de libertad.

Paso 6. Aplicar la regla de decisión y tomar dicha decisión. Si el valor t calculado de la muestra (véase el paso 5) cae dentro de la región de rechazo descrita en la tabla de reglas de decisión (tabla 1.0), entonces rechazamos la hipótesis nula y aceptamos su alternativa. De otra forma, no rechazamos la hipótesis nula y rechazamos la alternativa. Discusión simplificada. Para ilustrar el procedimiento que estamos analizando, trabajemos en el siguiente ejemplo:

Supongamos que se comparará la ganancia de peso de becerros destetados a los que se alimenta con diferentes dietas. Cuatro becerros son alimentados con una dieta y cinco con otra diferente. (suponga que a los becerros se les escogió aleatoriamente para asignarles la dieta). Debido al costo adicional de la segunda dieta, decidimos alimentarlos con ésta sólo si se puede producir un promedio de ganancia de peso de más de 5 kg con respecto a la primera dieta. Esto es debe ser mayor que 5 kg. Los seis pasos para resolver el problema son: Paso 1. Formular H0 y Ha. H0:  Paso 2. Escoger tamaños de muestra n1 y n2 y un valor . Sean n1 = 4, n2 = 5 y  0.025 (con gl = 4 + 5 – 2, o 7). Paso 3. Sean la estadística de prueba (̅

̅ ) ̅

̅

en este caso la formula sería:

(̅

̅ ) ̅

Donde calculamos ̅ .

̅̅̅,

y

̅

(̅ √

̅ )

( ⁄

⁄

)

de las mediciones obtenidas de las muestras y suponemos

Paso 4. Con base en el valor , decidir acerca de la regla de decisión que se usará de acuerdo con la tabla correspondiente. En este caso, la hipótesis alternativa es rechazar

kg. Por tanto, la regla de decisión es: .

Las regiones de no rechazo y rechazo están dibujadas para este problema en particular en la figura 1.4. Paso 5. Tomar las muestras y calcular la estadística de prueba. Supongamos que los datos siguientes fueron obtenidos tal como se anotan en la siguiente tabla: Dieta 1 2

160 181

173 175

Peso de los becerros. 171 155 178 185

165

De estos datos, calculamos lo siguiente: ̅

̅

MEDIANTE LA PRUEBA DE COMPRACIÓN DE VARIANZAS se compara con F con 4 – 1 gl en el numerador y 5 – 1 gl en el denominador y  como Fc = 1.31

)

(

(

F = 4.19 entonces :

)

)

=

(

)

(

)

Figura 1.4. regiones de no rechazo y de rechazo para la hipótesis H0:  . El área sombreada representa la probabilidad 0.025 y (̅ √

( ⁄

̅ ) ⁄

)

=

( √

contra

) ( ⁄

⁄ )

Paso 6. Aplicar la regla de decisión y hacer ésta. Ya que 1.306 no es mayor que 2.365, no tenemos razón para rechazar la hipótesis nula. Por tanto, concluimos que hasta obtener evidencias más convincentes, la segunda dieta no ha mostrado ser superior en forma suficiente para que se justifique gastar más. EJEMPLOS: En los siguientes problemas, use el procedimiento de los seis pasos, expuestos en esta lección, para probar las hipótesis de la diferencia entre dos medias poblacionales normalmente distribuidas cuando se toman muestras independientes. Suponga que:

Ejemplo 1. Los siguientes datos representan el diámetro de micrometeoros tomados de muestras del suelo lunar en dos diferentes localizaciones de la superficie lunar.

0.91 1.82 1.46 1.95

Muestra 1 1.57 1.61 1.32

Muestra 2 1.66 1.76 1.28 2.01

1.03 1.99 1.65 2.07

Pruebe la hipótesis de que los diámetros para las dos muestras son iguales. Sea  = 1.10. Solución. Podemos resolver este problema siguiendo el procedimiento de los seis pasos. Paso 1. H0:  contra Ha : -   y gl = 7 + 8 – 2, o 13.

Paso 2. sea Paso 3. La estadística de prueba es: (̅

̅ ) ̅

̅

(̅ √

̅ ) ( ⁄

⁄ )

Paso 4. La regla de decisión es rechazar: Las regiones de no rechazo y de rechazo para este problema están ilustradas en la figura 1.5.

Figura 1.5. Ejemplo 1. Paso 5. Por estos datos, encontramos que ̅ tanto:

Por

(

)

(

)

y

√

( ⁄

⁄ )

Paso 6. Ya que no rechazamos H0 y concluimos que los diámetros medios de los micrometeoros en estas muestras no han mostrado ser diferentes. Ejemplo 2. Una compañía petrolera compara las viscosidades de dos marcas de aceite. Los químicos toman dos muestras y hacen las mediciones de viscosidad. ¿Puede ser considerada la viscosidad de la marca 2 mayor que la de la marca 1 por 0.05 unidades de medición? Sea: A través de la siguiente información calculada de las muestras, haga una prueba de hipótesis. Marca 1

Marca 2

∑

∑

∑

∑

̅

̅

Solución. Los seis pasos para resolver este problema son: Paso 1. H0:  contra Ha : -  Paso 2. Sea Paso 3. (̅

̅ ) ̅

Figura 1.6. Ejemplo 2

̅

Paso 4. Rechazar figura 1.6.

Esto se ilustra en la

Paso 5. Por estos datos obtenemos: [

(

En la formula anterior, para

⁄

[

)]

(

⁄

)]

: (

)

(∑

∑

)

Y: (

)

(∑

)

Paso 6. Ya que por tanto no rechazamos la hipótesis nula. No existen pruebas suficientes para decir que la viscosidad del aceite de la marca 2 es 0.05 unidades mayor que el de la marca 1.

Problemas prácticos. En los siguientes problemas use el procedimiento de seis pasos discutidos en esta lección para probar la hipótesis para la diferencia entre dos medias de poblaciones normalmente distribuidas cuando las muestras se escogen independientemente, suponiendo que . 1. En una investigación de prueba de los módulos de ruptura de dos tipos de materiales plásticos prensados, los ingenieros obtienen los siguientes datos. En un nivel de 0.05 centímetros, pruebe la hipótesis acerca de que el módulo medio es igual para ambos tipos de materiales.

425 375 421 356 382

Material 1 389 332 271 294 314

251 215 364 294 325

Material 2 311 321 292 263 364

2. Se conduce una prueba sobre la potencia de fricción consumida por ciertas maquinas lubricadas con dos aceites comerciales. Los resultados del experimento son: Marca 1

Marca 2 ̅

̅

En el nivel de 0.05 kilómetros por hora ¿concluiría usted que el aceite 1 provoca menor fricción que el aceite 2? 3. El ejército está comparando dos métodos para descifrar criptogramas. Un grupo de diez tenientes es dividido aleatoriamente en dos grupos. Un grupo usa el método A y el otro el método B para descifrar un mismo criptograma. ¿Con base en los siguientes datos, podemos decir que no hay diferencia entre los métodos? ¿Qué método es el que ocupa menos tiempo para descifrar el criptograma? Use el valor ( ̅ ̅ Método A 30.4 45.2 36.1 25.4 50.3

Método B 28.6 17.5 53.2 41.5 24.3

Bibliografía:  Estadística paso a paso, Howard B. Christensen Editorial “Trillas” Pag. 423-433

Lic. Pedagogía S. de Tec. Y Est. Ap. A la inv. Educativa. Profr. López Amador Lydia Yolanda Grupo 142 González García Carlos Norberto Mendoza Ramos Katya Itzel Vázquez Gómez Wendy Michell “Prueba de dos medias con muestras independientes y varianzas homogéneas (prueba de t). prueba de comparación de varianzas” 29. abril. 2013