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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA RAZÓN DE LAS VARIANZAS DE DOS POBLACIONALES Sean 𝑆12 y 𝑆22 las varianzas de dos muestras aleatorias independientes de tamaño 𝑛1 y 𝑛2 escogidas de las poblaciones normales 1 y 2 respectivamente, cuyas varianzas 𝜎12 y 𝜎22 se desconocen. Para probar la hipótesis de la homogeneidad de varianzas se considera: 1. Formulación de hipótesis 𝐻0 : 𝜎12 = 𝜎22 𝐻𝐴 : 𝜎12 < 𝜎22

𝐻0 : 𝜎12 = 𝜎22 𝐻𝐴 : 𝜎12 > 𝜎22

2.

Establecer el nivel de significación (α) si no nos dan se asume 𝛼 = 5%

3.

Elección del estadístico de prueba. Utilizando el software Minitab

𝐻0 : 𝜎12 = 𝜎22 𝐻𝐴 : 𝜎12 ≠ 𝜎22

4. Conclusiones: Si 𝑃 < 𝛼 entonces se rechaza la hipótesis nula 𝐻0 Si 𝑃 > 𝛼 entonces se acepta la hipótesis nula 𝐻0

Lic Jessica Chalco Suárez - Lic. Wilbert Colque Candia

1

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

1. Los siguientes datos representan los tiempos de duración de las películas producidas por dos compañías cinematográficas: COMPAÑIA

TIEMPO (minutos)

1

102

86

98

109

92

2

81

165

97

134

92

87

114

Usando un nivel de significancia del 10%, ¿existe diferencia entre las varianzas para los tiempos de duración de las películas producidas por ambas compañías?

FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS Hipótesis nula: 𝜎12 = 𝜎22 (Las varianzas de los tiempos de duración de las películas producidas por ambas compañías son homogéneos) Hipótesis alterna: 𝜎12 ≠ 𝜎22 (Existe diferencia entre las varianzas para los tiempos de duración de las películas producidas por ambas compañías) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN: 𝛼 = 0.10

ESTADÍSTICO DE PRUEBA

Estadísticas descriptivas Variable

N

Desv.Est.

Varianza

IC de 90% para σ²

Compañía 1

5

8.877

78.800

(33.222; 443.492)

Compañía 2

7

30.221

913.333

(435.211; 3350.897)

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2

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

Relación de varianzas Relación estimada

IC de 90% para la relación usando F

0.0862774

(0.019; 0.532)

Prueba Hipótesis nula

H₀: σ₁² / σ₂² = 1

Hipótesis alterna

H₁: σ₁² / σ₂² ≠ 1

Nivel de significancia

α = 0.1

Método

Estadística de prueba

GL1

GL2

Valor p

0.09

4

6

0.033

F

CONCLUSIÓN Como 𝑝 = 0.033 < 0.1 se rechaza la hipótesis nula, es decir al 90% de confianza se afirma que existe diferencia entre las varianzas para los tiempos de duración de las películas producidas por ambas compañías.

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3

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

2. Un corredor de valores de bolsa de Lima estudia los porcentajes de rendimiento de las empresas del sector minero y del sector financiero. Se sabe que tasas de los rendimientos independientes tienen distribución normal. Dos muestras aleatorias de las tasas de 8 empresas del sector minero (M) y de 6 empresas del sector financiero (F) han dado los siguientes valores de rendimiento en porcentajes: Sector M Sector F

17 13

23 16

25 14

18 12

24 15

20 14

21

16

Con un nivel de significación de 0.05, ¿se puede concluir que hay más variación en los valores del sector minero? FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS Hipótesis nula: 𝜎𝑀2 = 𝜎𝐹2 (Las varianzas de porcentajes de rendimiento de las empresas del sector minero y del sector financiero) Hipótesis alterna: 𝜎𝑀2 ≠ 𝜎𝐹2 (Las varianzas de porcentajes de rendimiento de las empresas del sector minero y del sector financiero) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN: 𝛼 = 0.05 Method Null hypothesis Alternative hypothesis Significance level

Variance(sm) / Variance(sf) = 1 Variance(sm) / Variance(sf) > 1 α = 0.05

F method was used. This method is accurate for normal data only. Statistics

Variable sm sf

N 8 6

StDev 3.338 1.414

Variance 11.143 2.000

95% Lower Bound for Variances 5.545 0.903

Ratio of standard deviations = 2.360 Ratio of variances = 5.571 95% One-Sided Confidence Intervals

Method F

Lower Bound for StDev Ratio 1.069

Lower Bound for Variance Ratio 1.143

Tests Method F

DF1 7

DF2 5

Test Statistic 5.57

P-Value 0.038

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4

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

CONCLUSIÓN Como 𝑝 = 0.038 < 0.05 se rechaza la hipótesis nula, es decir al 95% de confianza se afirma que existe diferencia entre las varianzas de los porcentajes de rendimiento de las empresas del sector minero y del sector financiero

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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERENTE A LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS POBLACIONES: MUESTRAS INDEPENDIENTES Cuando se está interesado en determinar si existe o no diferencia significativa entre la media de dos poblaciones se debe llevar a cabo una prueba de hipótesis para contrastar la diferencia de las medias de las poblaciones. Sea 𝑋 una variable aleatoria con media 𝜇1 y varianza 𝜎12 de la cual se obtiene una muestra aleatoria de tamaño 𝑛1 cuyos estadísticos son: 𝑋̅1 y 𝑆12 Sea 𝑌 una variable aleatoria con media 𝜇2 y varianza 𝜎22 de la cual se obtiene una muestra aleatoria de tamaño 𝑛2 cuyos estadísticos son: 𝑋̅2 y 𝑆22 Para realizar la prueba hipótesis estadística de la diferencia de medias se toman en cuenta los siguientes casos: Caso 1: Cuando las varianzas poblacionales 𝝈𝟐𝟏 y 𝝈𝟐𝟐 se suponen iguales (son homogéneas). Caso 2: Cuando las varianzas poblacionales 𝝈𝟐𝟏 y 𝝈𝟐𝟐 se suponen diferentes (no son homogéneas). 1. Formulación de hipótesis 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 𝐻𝐴 : 𝜇1 < 𝜇2

𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 𝐻𝐴 : 𝜇1 > 𝜇2

𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 𝐻𝐴 : 𝜇1 ≠ 𝜇2

2. Establecer el nivel de significación (α) si no nos dan se asume 𝛼 = 5% 3.

Elección del estadístico de prueba. Utilizando el software Minitab

4. Conclusiones: Si 𝑃 < 𝛼 entonces se rechaza la hipótesis nula 𝐻0 Si 𝑃 > 𝛼 entonces se acepta la hipótesis nula 𝐻0

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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

EJRCICIOS: 1. Se tienen dos grupos de estudiantes, el grupo A perteneciente a familias en que ambos padres trabajan y el grupo B en que solamente el padre trabaja. Se seleccionaron muestras aleatorias de ambos grupos y se obtuvo los siguientes puntajes de rendimiento académico de los dos grupos:

Grupo A (ambos grupos trabajan)

𝒏𝒊 20

media 14

Grupo B (solo el padre trabaja)

16

17

GRUPO

La experiencia muestra que las poblaciones de puntajes para ambos grupos están distribuidas en forma aproximadamente normal, con varianzas 36 y 20 respectivamente, ¿Se puede concluir que la media del grupo B es mayor a la media del grupo A?

Nota: Primero se debe realizar una prueba de homogeneidad para la varianza para determinar si son homogéneas o no PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS Hipótesis nula: 𝜎𝐴2 = 𝜎𝐵2 (Las varianzas de puntajes en el rendimiento académico de los dos grupos son homogéneos) Hipótesis alterna: 𝜎12 ≠ 𝜎22 (Existe diferencia entre las varianzas de puntajes en el rendimiento académico de los dos grupos) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN: 𝛼 = 0.05

ESTADÍSTICO DE PRUEBA

Estadísticas descriptivas Muestra

N

Desv.Est.

Varianza

IC de 95% para σ²

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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

Muestra 1

20

6.000

36.000

(20.820; 76.798)

Muestra 2

16

4.472

20.000

(10.914; 47.907)

Relación de varianzas Relación estimada 1.8

IC de 95% para la relación usando F (0.649; 4.711)

Prueba Hipótesis nula

H₀: σ₁² / σ₂² = 1

Hipótesis alterna

H₁: σ₁² / σ₂² ≠ 1

Nivel de significancia

α = 0.05

Método

Estadística de prueba

GL1

GL2

Valor p

1.80

19

15

0.252

F

CONCLUSIÓN Como 𝑝 = 0.252 > 0.05 se acepta la hipótesis nula, es decir al 95% de confianza se afirma Las varianzas de puntajes en el rendimiento académico de los dos grupos son homogéneos.

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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS (CASO 1) FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS Hipótesis nula: 𝜇𝐴 = 𝜇𝐵 (No existe diferencia en el rendimiento académico de los dos grupos) Hipótesis alterna: 𝜇𝐴 < 𝜇𝐵 (El rendimiento académico en el grupo B (Solo papá trabaja) es mayor con respecto al grupo A (Ambos padres trabajan)) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN: 𝛼 = 0.05

ESTADÍSTICO DE PRUEBA

Estadísticas descriptivas N

Media

Desv.Est.

Error estándar de la media

Muestra 1

20

14.00

6.00

1.3

Muestra 2

16

17.00

4.47

1.1

Muestra

Estimación de la diferencia Diferencia

Desv.Est. agrupada

-3.00

5.38

Límite superior de 95% para la diferencia 0.05

Prueba Hipótesis nula

H₀: μ₁ - µ₂ = 0

Hipótesis alterna

H₁: μ₁ - µ₂ < 0

Valor T

GL

Valor p

-1.66

34

0.053

CONCLUSIÓN Como 𝑝 = 0.053 > 0.05 se acepta la hipótesis nula, es decir al 95% de confianza se afirma no existe diferencia en el rendimiento académico de los dos grupos (las notas promedio en ambos grupos son homogéneas)

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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

2. El gerente de ventas de la gran compañía C&P analiza dos técnicas de ventas A y B. Escogió dos muestras aleatorias independientes de 50 vendedores. La Primera, aplico la técnica A y la segunda, la técnica B. Al final de un mes el número de ventas por vendedor ha dado las medias respectivas de 67 y 60 y las varianzas respectivas 225 y 100. Al nivel de significancia del 5%, ¿presentan los dos resultados muestrales suficiente evidencia que indique que la técnica A da mejores resultados que la técnica B?

FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS Hipótesis nula: 𝜎𝐴2 = 𝜎𝐵2 (Las varianzas de puntajes en el rendimiento académico de los dos grupos son homogéneos) Hipótesis alterna: 𝜎12 ≠ 𝜎22 (Existe diferencia entre las varianzas de puntajes en el rendimiento académico de los dos grupos) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN: 𝛼 = 0.05

3. Una medicina A fue aplicada a una muestra de 10 pacientes aquejados de cierta enfermedad, otra medicina B fue aplicada a otra muestra de 9 pacientes aquejados de la misma enfermedad. Los tiempos en días de recuperación de los pacientes fueron los siguientes: Medicina A 6 5 6 7 4 7 6 4 3 6 Medicina B 7 6 7 9 5 8 7 6 8 Utilizando un nivel de significancia del 5% y suponiendo poblaciones normales ¿Es válido inferir que no hay diferencias significativas en las medias de los tiempos de tratamiento de las 2 medicinas? Si hay diferencias, ¿Cuál de las medicinas es más eficaz? FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS Hipótesis nula: 𝜎12 = 𝜎22 (Que las mujeres son más efectivas que los hombres para conseguir nuevas cuentas) Hipótesis alterna: 𝜎12 ≠ 𝜎22 (Parece que las mujeres no son más efectivas que los hombres para conseguir nuevas cuentas) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN: 𝛼 = 0.05

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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

4. Una empresa de corretaje de acciones desea determinar que tanto éxito han tenido sus nuevos ejecutivos de cuenta en la consecución de clientes. Luego de su entrenamiento, los nuevos ejecutivos pasan varias semanas haciendo llamadas a posibles clientes, tratando de conseguir prospectos para abrir cuentas con las empresas. Los datos siguientes dan el número de cuentas nuevas que fueron abiertas durante las primeras dos semanas por diez ejecutivas y ocho ejecutivos de cuentas escogidos aleatoriamente:

Ejecutivas

12 11 14 13 13 14 13 12 14 12

Ejecutivos

13 10 11 12 13 12 10 12

A un nivel del 5%, ¿parece que las mujeres son más efectivas que los hombres para conseguir nuevas cuentas? FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS Hipótesis nula: 𝜎12 = 𝜎22 (Que las mujeres son más efectivas que los hombres para conseguir nuevas cuentas) Hipótesis alterna: 𝜎12 ≠ 𝜎22 (Parece que las mujeres no son más efectivas que los hombres para conseguir nuevas cuentas) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN: 𝛼 = 0.05

Test and CI for Two Variances: ejecutivas; ejecutivos Method Null hypothesis

σ(ejecutivas) / σ(ejecutivos) = 1

Alternative hypothesis

σ(ejecutivas) / σ(ejecutivos) ≠ 1

Significance level

α = 0.05

F method was used. This method is accurate for normal data only. Statistics 95% CI for Variable

N

StDev

Variance

StDevs

ejecutivas

10

1.033

1.067

(0.710; 1.885)

ejecutivos

8

1.188

1.411

(0.785; 2.417)

Ratio of standard deviations = 0.870 Ratio of variances = 0.756 95% Confidence Intervals CI for CI for StDev Method F

Variance

Ratio

Ratio

(0.396; 1.781)

(0.157; 3.173)

Tests Test Method F

DF1

DF2

Statistic

P-Value

9

7

0.76

0.680

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11

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

CONCLUSIÓN Como 𝑝 = 0.68 > 0.05 la hipótesis nula, es decir al 95% de confianza se afirma que las mujeres son más efectivas que los hombres para conseguir nuevas cuentas.

5. Una compañía quiere probar la resistencia de dos tipos de vigas de acero, A y B. Para esto, toma una muestra de 16 vigas del tipo A y una muestra de 10 vigas del tipo B, obteniendo los siguientes resultados: Tipo

Media

Varianza

A

70.5

81.6

B

84.3

280.5

¿La resistencia media de los dos tipos de vigas es la misma? PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS Hipótesis nula: 𝜎𝐴2 = 𝜎𝐵2 (La resistencia media de los dos tipos de vigas es la misma) Hipótesis alterna: 𝜎12 ≠ 𝜎22 (La resistencia media de los dos tipos de vigas no es la misma) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN: 𝛼 = 0.05

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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

Test and CI for Two Variances Method Null hypothesis

Variance(First) / Variance(Second) = 1

Alternative hypothesis

Variance(First) / Variance(Second) ≠ 1

Significance level

α = 0.05

F method was used. This method is accurate for normal data only. Statistics 95% CI for Sample

N

StDev

Variance

First

16

9.033

81.600

( 44.528; 195.460)

Variances

Second

10

16.748

280.500

(132.709; 934.865)

Ratio of standard deviations = 0.539 Ratio of variances = 0.291 95% Confidence Intervals CI for CI for StDev Method F

Variance

Ratio

Ratio

(0.278; 0.953)

(0.077; 0.908)

Tests Test Method F

DF1

DF2

Statistic

P-Value

15

9

0.29

0.034

CONCLUSIÓN Como 𝑝 = 0.034 < 0.05 se rechaza la hipótesis nula, es decir al 95% de confianza se afirma que La resistencia media de los dos tipos de vigas no es la misma.

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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

6. Una compañía compara dos métodos de enseñanza de matemática básica: El método tradicional (T) y el método moderno de enseñanza basado en TICS (M). Una muestra aleatoria de 9 calificaciones finales con el método T y 10 calificaciones finales con el método M dieron los siguientes resultados: Método T

6

14 8

11 10 18 15 20 13

Método M

12 11 12 10 14 15 10 13 14 12

Se asume que las calificaciones finales son dos poblaciones independientes con distribución normal. Con un nivel de significancia de 5%, ¿Es la calificación promedio del método tradicional igual a la calificación promedio método moderno? FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS 2 2 Hipótesis nula: 𝜎𝑀𝑇 = 𝜎𝑀𝑀 (Que la calificación promedio del método tradicional igual a la

calificación promedio método moderno) 2 2 Hipótesis alterna: 𝜎𝑀𝑇 ≠ 𝜎𝑀𝑀 (Que la calificación promedio del método tradicional no es igual a la

calificación promedio método moderno) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN: 𝛼 = 0.05

Test and CI for Two Variances: mt; mm

Method Null hypothesis

Variance(mt) / Variance(mm) = 1

Alternative hypothesis

Variance(mt) / Variance(mm) ≠ 1

Significance level

α = 0.05

F method was used. This method is accurate for normal data only. Statistics 95% CI for Variable

N

StDev

Variance

Variances

mt

9

4.549

20.694

mm

10

1.703

2.900

(9.442; 75.952) (1.372;

9.665)

Ratio of standard deviations = 2.671 Ratio of variances = 7.136 95% Confidence Intervals CI for CI for StDev Method F

Variance

Ratio

Ratio

(1.319; 5.576)

(1.740; 31.093)

Tests Test Method F

DF1

DF2

Statistic

P-Value

8

9

7.14

0.008

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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

CONCLUSIÓN Como 𝑝 = 0.008 < 0.05 se rechaza la hipótesis nula, es decir al 95% de confianza se afirma que calificación promedio del método tradicional no es igual a la calificación promedio método moderno.

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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERENTE A LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES Cuando estamos interesados en encontrar si dos poblaciones tienen la misma proporción de éxitos entonces la prueba adecuada es la prueba de hipótesis Donde: ̅̅̅ 𝑃1 =

𝑋1 𝑛1

y ̅̅̅ 𝑃2 =

𝑋2 𝑛2

tiene distribución normal siempre que 𝑛1 y 𝑛2 sean grandes. Los pasos a seguir para realizar la prueba de hipótesis son: 1. Formulación de hipótesis 𝐻0 : 𝑃1 = 𝑃2 𝐻0 : 𝑃1 = 𝑃2 𝐻𝐴 : 𝑃1 < 𝑃2 𝐻𝐴 : 𝑃1 > 𝑃2 Donde: 𝑃1 y 𝑃2 son las proporciones de éxito poblacionales.

𝐻0 : 𝑃1 = 𝑃2 𝐻𝐴 : 𝑃1 ≠ 𝑃2

2. Establecer el nivel de significación (α) si no nos dan se asume 𝛼 = 5%

3.

Elección del estadístico de prueba. Utilizando el software Minitab

4. Conclusiones: Si 𝑃 < 𝛼 entonces se rechaza la hipótesis nula 𝐻0 Si 𝑃 > 𝛼 entonces se acepta la hipótesis nula 𝐻0

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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

1. Un psicólogo cree que un programa de rehabilitación va a deducir la reincidencia entre los prisioneros que se dejan en libertad. Se escogieron al azar 100 prisioneros para participar durante un año en el programa de rehabilitación. Otros 100 se escogieron, también al azar, para servir de grupo control. Se hizo un seguimiento a los dos grupos durante 5 años. Al término de este periodo, 22 personas del grupo experimental y 45 del grupo control habían sido halladas nuevamente culpables. ¿Se justifica la tesis del consejero? FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS Hipótesis nula: 𝑃𝐸𝑋𝑃 = 𝑃𝐶𝑂𝑁𝑇𝑅𝑂𝐿 (El programa de rehabilitación NO reduce la reincidencia entre los prisioneros que se dejan en libertad) Hipótesis alterna: 𝑃𝐸𝑋𝑃 < 𝑃𝐶𝑂𝑁𝑇𝑅𝑂𝐿 (Se justifica la tesis del consejero, es decir; el programa de rehabilitación reduce la reincidencia entre los prisioneros que se dejan en libertad) Datos ni

Xi

Pi: Proporción de relación

Grupo experimental

100

22

Grupo control

100

45

𝟐𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟒𝟓 𝒑= 𝟏𝟎𝟎 𝒑=

NIVEL DE SIGNIFICACIÓN: 𝛼 = 0.05

ESTADÍSTICO DE PRUEBA

Estadísticas descriptivas Muestra

N

Evento

Muestra p

Muestra 1

100

22

0.220000

Muestra 2

100

45

0.450000

Estimación de la diferencia Diferencia

Límite superior de 95%

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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

para la diferencia -0.23

-0.123516

IC basado en la aproximación a la normal

Prueba Hipótesis nula Hipótesis alterna

H₀: p₁ - p₂ = 0 H₁: p₁ - p₂ < 0

Método Aproximación normal

Valor Z

Valor p

-3.45

0.000

Exacta de Fisher

0.000

La estimación agrupada de la proporción (0.335) se utiliza para las pruebas.

CONCLUSIÓN Como 𝑝 = 0.000 < 0.05 se rechaza la hipótesis nula, es decir al 95% de confianza se afirma Se justifica la tesis del consejero, es decir; el programa de rehabilitación reduce la reincidencia entre los prisioneros que se dejan en libertad 2. Un patrocinador de un programa especial de televisión afirma que el programa representa un atractivo mayor para los televidentes varones que para las mujeres, pero, el personal de producción del programa piensa que es igual el porcentaje de televidentes varones y mujeres que ven el programa especial. Si una muestra aleatoria de 300 varones y otra de 400 mujeres revelo que 120 varones y 120 mujeres estaban viendo el programa especial de televisión, ¿puede considerarse significativa la diferencia al nivel de significación del 5%?

FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS Hipótesis nula: 𝑃𝑣 = 𝑃𝑚 (Se acepta la afirmación del equipo de producción, no existe diferencia entre las proporciones que miran los varones que las mujeres)

Hipótesis alterna: 𝑃𝑣 > 𝑃𝑚 (Se acepta la afirmación del patrocinador, el programa representa más atractivo para varones que para las mujeres) Datos Ni

Xi

Pi: Proporción de televidentes que ven el programa

Varones

300

120

Mujeres

400

120

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𝒑=

𝟏𝟐𝟎 𝟑𝟎𝟎

𝒑=

𝟏𝟐𝟎 𝟒𝟎𝟎

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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

Test and CI for Two Proportions Sample 1 2

X 120 120

N 400 300

Sample p 0.300000 0.400000

Difference = p (1) - p (2) Estimate for difference: -0.1 95% upper bound for difference: -0.0401264 Test for difference = 0 (vs < 0): Z = -2.76

P-Value = 0.003

Fisher’s exact test: P-Value = 0.004

CONCLUSIÓN Como 𝑝 = 0.003 < 0.05 se rechaza la hipótesis nula, es decir al 95% de confianza se se acepta la afirmación del equipo de producción, no existe diferencia entre las proporciones que miran los varones que las mujeres

TRABAJO 1. El jefe de logística de cerámicas “Loza” tiene que escoger entre dos marcas A y B de máquinas para su planta de producción. Él sabe que cada marca tiene un tiempo de producción por pieza cuya distribución es normal. Se le permitió probar ambas maquinas durante un periodo de prueba para luego escoger 10 tiempos al azar para cada una de ellas, resultando los siguientes tiempos en segundos: Maquina A Maquina B

40 40

49 41

47 39

42 40

48 38

38 42

44 43

49 37

50 38

37 41

En el nivel de significación de 0.05 y en una prueba bilateral, ¿se podría concluir que las varianzas poblacionales son iguales?, ¿Qué marca de maquina debería adquirir? 2. Los salarios en dólares del personal de las compañías A y B se distribuyen según el modelo de probabilidad normal con igual media. Para determinar cuál de ellas tiene salarios más homogéneos, se escogió una muestra aleatoria de 10 salarios de A, y 9 de B resultando las varianzas 100 y 225 respectivamente. En el nivel de significación 𝛼 = 0.01, ¿hay razón suficiente para decidir que en la compañía A los salarios son más homogéneos? 3. Un estudio estadístico sobre el uso cajeros automáticos indica que el monto diario (en dólares) de los movimientos tanto para hombres y mujeres tienen distribución normal con la misma media y con varianzas respectivas de 64 y 49. Sin embargo la inferencia respecto a la igualdad de las medias es Lic Jessica Chalco Suárez - Lic. Wilbert Colque Candia

19

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

poco fiable. Para investigar más al respecto, se seleccionaron aleatoriamente los montos de los movimientos de 20 hombres y 25 mujeres dando las medias respectivas de 200 y 205. Para el nivel de significación del 1%, ¿se puede concluir que las medias de las dos poblaciones de montos son diferentes? 4. Un analista financiero está interesado en comparar los niveles de rendimiento, en puntos porcentuales, de dos empresas de sectores diferentes 1 y 2. El sabe que las tasas de rendimiento de cada una de estas empresas tienen distribución normal. Selecciono al azar 16 acciones de cada una de las empresas y observó las tasas de rendimiento. Las tasas de rendimiento dieron las medias 45 y 38, y las varianzas 128 y 64 respectivamente para las empresas 1 y 2. Al nivel de significación 0.05. a. ¿Son diferentes las dos varianzas poblacionales de las tasas de rendimiento? b. ¿Es la tasa de rendimiento promedio de la empresa 1 mayor que la de la empresa 2? 5. El gerente de compras de la empresa de transportes “Rápidos y furioso” debe decidir por dos marcas A y B de bujías para su flota de autos, Él sabe que las vidas útiles en km., para cada marca de bujía tienen distribución normal. La vida útil de una muestra aleatoria de 10 bujías de la marca A, dio una media de 8000 y una varianza de 5600. La vida útil de una muestra aleatoria de 9 bujías de marca B dio una media de 7900 y una varianza de 810. Al nivel de significación 0.05: a. Realice una prueba bilateral de homogeneidad de las varianzas b. ¿Por cuál de las dos marcas de bujía debería decidir el gerente?

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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES

6. Una empresa de estudios de mercado quiere saber si un producto promocionado a nivel nacional lo adquieren los hombres en mayor porcentaje que las mujeres. Para esto se escogieron dos muestras aleatorias independientes de 900 hombres y 800 mujeres resultando que 270 hombres y 200 mujeres adquirieron el producto. Al nivel de significancia del 5%, ¿Cuál es su decisión? 7. En un estudio de mercado para determinar el rating de los programas de TV del mediodía una muestra aleatoria de 400 hogares de cierta comunidad reveló que 80 estan sintonizando el programa B de TV, 120 sintonizan el programa G y el resto sintonizan otra cosa. ¿Es la proporción global de televidentes que sintonizan el programa B igual al que sintonizan G?. Utilice 𝛼 = 0.01 y una prueba bilateral. 8. Se desea saber si existe diferencia significativa entre los puntajes de autoestima de dos grupos de estudiantes. Para ello se toma una muestra aleatoria de 16 estudiantes del Grupo A y una muestra aleatoria de 10 estudiantes del grupo B, obteniendo los siguientes resultados: Grupo Media 84.3 A 70.5 B

Varianza 280.5 81.6

A que conclusión llegará con una confianza del 95% 9. Una encuesta a 200 electores indicó que 110 votantes estaban a favor del candidato A, después de un mes de ardua campaña electoral, una encuesta a 300 electores indicó 185 a favor de A. ¿Se puede afirmar que la campaña electoral ha sido efectiva? Considere una confianza del 90%. 10. Se mide la producción diaria de dos máquinas para lo cual se seleccionaron al azar dos muestras cuyos resultados se observan a continuación: Maquina 1 Maquina 2

103 115 101 105 107 110 105 110 115 101 98 110 99 98 110 109 99 100

¿Se puede afirmar que la producción diaria de ambas maquinas es similar? 11. Para estudiar el rendimiento en el trabajo por turnos de los obreros de una empresa, se han escogido una muestra de datos de la evaluación continua sobre rendimiento en el trabajo (calificados de 20 a 40) de los obreros por turnos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla: Grupos Turno de día Turno de noche 40 35 Medias 81 64 Varianzas 16 16 Tamaño Al nivel de significación del 1%. ¿es el rendimiento promedio del turno de día mayor al rendimiento promedio de noche? Suponga que cada población de rendimientos se distribuye en forma normal.

Lic Jessica Chalco Suárez - Lic. Wilbert Colque Candia

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