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• Priscila Videla Lagos

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UNIVERSIDAD DE CHILE – FACULTAD DE MEDICINA ESCUELA DE SALUD PUBLICA División de Bioestadística y demografía

BIOESTADISTICA PROBABILIDADES Guía Nº 1 Waldo Aranda Chacón 1.

Defina para los siguientes experimentos aleatorios un espacio muestral adecuado: a) b) c) d) e) f)

g) h) i)

2.

Se selecciona al azar un empleado en una sección de una empresa que tiene 20 empleados y 15 empleadas. Se cuenta el número de errores en las 5 primeras hojas de un texto. Se lanza una moneda de 10 pesos, una de 5 pesos y un dado. Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en un período de 24 horas. Se lanza un dado rojo y otro negro y se observan los números que aparecen en la cara superior. Los artículos provenientes de una línea de producción se clasifican en defectuosos (D), y no defectuoso (B). Se observan los artículos y se anota su condición. Este proceso se continua hasta que se produzcan dos artículos defectuosos consecutivos o se hayan verificado cuatro artículos cualesquiera sea su condición. En una encuesta a familias con dos hijos varones o mujeres se consulta sobre el sexo de los hijos (empezando por el mayor). Dos libros distinguibles se colocan en dos casilleros numerados. Los lápices de cierta marca poseen sección cuadrada. Dos de ellos, de los que uno es verde y el otro rojo tienen sus lados numerados con 1, 2, 3, 4. Se hacen rodar ambos lápices sobre una mesa y cuando están en reposo se leen los números que aparecen en el lado superior.

Un experimento consiste en seleccionar una ficha de una caja que contiene seis fichas numeradas del 1 al 6. Dados las siguientes descripciones determine los espacios muestrales apropiados al experimento considerado: a) b) c) d) e) f)

     

= = = = = =

{1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5} {Número par, Número impar} {1, 3, 5, número par} {1, 2, número menor que 6,6} {Número menor que 3,3, número mayor que 3}

1

3.

Se selecciona al azar un alumno de una sala de clases en la cual se encuentran 15 mujeres que fuman y 10 que no fuman, 20 hombres que fuman y 10 que no fuman. Además se sabe que el 20% y 15% de las mujeres y hombres respectivamente son mayores de 21 años. Defina para este experimento aleatorio cuatro espacios muestrales distintos.

4.

A tres personas A, B y C se les pide resolver un problema de estadística. Considerando los siguientes sucesos: A : {El problema es resuelto por A} B : {El problema es resuelto por B} C : {El problema es resuelto por C} Exprese usando notación de conjunto las siguientes proposiciones verbales: a) b) c) d) e)

5.

El problema no es resuelto por ninguna de las tres personas. El problema es resuelto por al menos una de las tres personas. Exactamente una de ellas resuelve el problema. El problema es resuelto por lo menos por El problema es resuelto por A pero no por B ni por C.

Sea G el suceso de que un empleado es graduado de una escuela superior, M el suceso de que un empleado sea casado y C el suceso de que un empleado prosiga su educación mientras trabaja. Determinar los siguientes sucesos usando notación de conjuntos: a) b) c)

Un empleado es graduado y casado pero no sigue su educación. Un empleado es graduado pero no es casado ni prosigue su educación. Un empleado prosigue su educación pero permanece soltero y no se ha graduado todavía.

6.

Tres estudiantes A, B y C intervienen en una prueba de natación, A y B tienen la misma probabilidad de ganar y el doble de la de C Hallar la probabilidad de que gane B o C.

7.

De las 10 niñas de una clase tres tienen ojos azules. Si se escogen dos niñas al azar, primero con sustitución y luego sin sustitución. ¿Cuál es la probabilidad en cada una de las elecciones de que: a) Las dos tengan ojos azules. b) Ninguna tenga ojos azules. c) Una por lo menos tenga ojos azules.

8.

En cierta facultad el 25% de los estudiantes reprobaron matemáticas, el 15% reprobaron contabilidad y el 10% reprobaron ambos. Se selecciona al azar un estudiante: a) Si reprobó contabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que reprobara matemáticas?. b) Si reprobó matemáticas. ¿Cuál es la probabilidad de que reprobara contabilidad?. c) ¿Cuál es la probabilidad de que reprobara matemáticas o contabilidad?. 2

9.

El siguiente cuadro contiene la clasificación de 321 empleados de una empresa, respecto a dos características: i)

El número de años de permanencia de cada uno de los empleados en la empresa.

ii) Su respuesta a la pregunta : “Desea que se realice una negociación colectiva para obtener un aumento en los salarios”. Respuesta Si

Nº de años en la empresa Menos de 1 1 - 3 4 - 10 Más de 10 27 54 137 28

No

14

18

34

3

No sé

3

2

1

0

Se definen los siguientes sucesos : S N A B C

= = = = =

{Empleados que contestaron sí} {Empleados que contestaron no} {Empleados que pertenecen a la empresa menos de un año} {Empleados con uno a tres años en la empresa} {Empleados con cuatro a diez años en la empresa}

a) Encuentre la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: i) S  B

ii) S  B

iii) (S  N)C  A

iv) (N  C)C

b) Escriba usando notación de conjuntos los siguientes sucesos: i) ii) iii) iv)

Empleados que contestaron sí y pertenecen a la empresa de 4 a 10 años. Empleados que contestaron sí y pertenecen por lo menos hace cuatro años a la empresa. Empleados que contestaron no sé. Empleados que contestaron no sé, y están en la empresa más de diez años.

c) Evalúe las probabilidades de cada uno de los sucesos considerados en el punto b). d) Calcule las siguientes probabilidades : i)

Probabilidad de seleccionar un empleado que pertenezca a la empresa hace menos de un año dado que su respuesta fue negativa.

ii)

Si se sabe que un empleado respondió que no. ¿Cuál es la probabilidad de que este entre uno a tres años en la empresa.

iii)

¿Cuál es la probabilidad de que un empleado que pertenezca a la empresa hace menos de un año o entre un año y tres, responda afirmativamente?. 3

10.

A, B y C son tres sucesos de un espacio muestral, tales que A y B son independientes y B y C incompatibles. Se sabe además que P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,3 ; P(C) = 0,2 y P(A  C) = 0,15. Calcule la probabilidad de que : a) No ocurra ninguno de los tres sucesos. b) Ocurra A o B. c) Ocurra B o C.

11.

En un triangulo participan los equipos A, B y C. Se estima que la probabilidad de que: A gane a B es 0,75 ; A y B empaten es 0,10 A gane a C es 0,50 ; A y C empaten es 0,30 B gane a C es 0,40 ; B y C empaten es 0,15 a) b) c) d)

12.

Calcule la probabilidad de que A obtenga cero puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 equipos terminen empatados?. Calcule la probabilidad de que A gane el campeonato. Si A ganó a B.¿Cuál es la probabilidad de que C gane el campeonato?.

En una ciudad el 70% de los adultos escucha radio, el 40% lee el periódico y el 10% ve televisión. Entre los que escuchan radio el 30% lee los periódicos y el 4% ve televisión. El 90% de los que ven televisión lee el periódico y sólo el 2% de la población total adulta lee el periódico, ve televisión y escucha radio. Si se elige una persona al azar, se pide la probabilidad: a) De que escuche radio, vea TV y lea periódico b) Sabiendo que lee el periódico. ¿Cuál es la probabilidad de que vea la televisión?

13.

Un grupo de 200 propietarios de artefactos electrodomésticos tienen la siguiente distribución de máquinas lavadoras, secadoras, y lavaplatos: Lavadoras Secadoras Lavaplatos

110 110 60

Lavadoras y secadoras Lavaplatos y secadoras Lavadoras y lavaplatos Lavadoras, secadoras y Lavaplatos

40 25 35 20

Encuentre la probabilidad de que un propietario tenga: a) b) c) 14.

Una lavadora y/o secadora y/o lavaplatos Tenga sólo una lavadora Tenga lavaplatos y secadora, sabiendo que tiene lavadora.

Demuestre que si A y B son dos sucesos cualesquiera del espacio muestral S, entonces:



 



P A  B C  B  AC  P( A)  P( B) - 2 P A  B  4

15.

Considere los sucesos A y B, cuyos resultados se muestran en el siguiente cuadro: A

AC

B

0,56

0,24

BC

0,14

0,06

a) ¿Son A y B independientes? b) ¿Son AC y BC independientes?. 16.

Demostrar que si A y B son dos acontecimientos independientes, también lo son: i) A y BC

ii) AC y B

17.

Demuestre que si A y B son sucesos independientes, entonces sus complementos también lo son.

18.

Sean A, B y C sucesos tales que: P (A) = 0,4 ;

P (B) = 0,5 ;

P (A ∩ C) = 0,3 ;

P (C) = 0,6

Si se sabe además que A y B son sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientes, calcular: a) P (A  B  C)

b)

P (A / C)

B y C son

c) P (C  AC)

19.

Cierto motor eléctrico falla por obstrucción de los cojinetes, por combustión del embobinado o por desgaste de las escobillas. Supóngase que la probabilidad de obstrucción es el doble de la de combustión del embobinado, la cual es cuatro veces más probable que la inutilización de las escobillas. ¿Cuáles son las respectivas probabilidades de fallar?

20.

Un hombre de 40 años contrata un seguro de vida diferido a 20 años. Su mujer tiene 38 años. Si la probabilidad de que un hombre de 40 años sobreviva 20 años es 0,80 y la de que una mujer de 38 años sobreviva 20 años es de 0,90. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno este vivo para cobrar el seguro?.

21.

Una compañía de investigación de mercado está interesada en examinar algunas actitudes en una pequeña comunidad. Hay 125 hogares clasificados de acuerdo con sus ingresos y con el hecho de ser propietarios de teléfonos y televisión.

5

Hogares con ingresos de $ 30.000 o menos Con teléfono Sin teléfono

Hogares con ingresos de más de $ 30.000 Con teléfono Sin teléfono

Sin TV

27

20

8

10

Con TV

18

10

12

10

a) ¿Cuál es la probabilidad de elegir un dueño de TV, en una selección aleatoria? b) Si una familia con ingresos de más de $ 30.000 tiene teléfono.¿Cuál es la probabilidad de que tenga TV?. c) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una familia que tenga TV, dado el hecho de que tiene teléfono? d) ¿Son estadísticamente independientes los sucesos “ser propietario de TV” y “poseer un teléfono”?. e) ¿Son independientes los eventos “ingresos de $ 30.000 o menos” y “ser propietario de TV”?. 22.

La probabilidad de que un alumno de estadística obtenga promedio 7 en los controles es 0,2; la probabilidad de que obtenga 7 en las pruebas solemnes habiendo obtenido 7 en controles es 0,75; y la probabilidad de que obtenga 7 en el examen si obtuvo 7 en solemnes y controles es 0,9. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno obtenga 7 final?.

23.

En cierta facultad el 4% de los hombres y el 1% de las mujeres tienen más de 1,70 mts. de estatura, además el 60% de los estudiantes son mujeres. Si selecciona al azar un estudiante y mide más de 1,70 mts. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante sea mujer.

24.

Supóngase que hay tres cajas idénticas A, B y C. La caja A contiene dos monedas de cobre, la caja B una de cobre y dos de niquel y la C contiene una de plata, dos de niquel y dos de cobre. Se toma al azar una de las cajas y luego se saca una moneda de esa caja, si la moneda es de cobre. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido tomada de: a) La caja A.

25.

B) La caja B.

C) La caja C.

El gerente de ventas de una compañía de seguros dice a su nuevo vendedor que el 30% de las personas que se informan sobre pólizas de seguros de vida, adquieren efectivamente una de dichas pólizas y el 70% no lo hace. Según los registros de la compañía el 40% de quienes preguntaron por seguros de vida y los adquirieron tienen ingresos anuales entre $ 300.000 y $ 400.000, mientras que sólo el 20% de quienes se informaron y no tomaron el seguro de vida tienen el mismo nivel de ingresos: a) Una persona que pidió informes sobre seguros tenía un ingreso de $ 230.000. ¿Cuál es la probabilidad de que tome una póliza de seguros de vida? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que toma informes y no tiene ingresos entre $ 300.000 y $ 400.000 tome una póliza de seguros de vida?. 6

26.

El 80% de las ventas a crédito de una empresa corresponden a clientes mayoristas, mientras que el 20% de ellas corresponde a clientes minoristas. Se sabe que el 30% de los clientes mayoristas no pagan puntualmente sus facturas, mientras que sólo el 10% de lo9s clientes minoristas se atrasan en sus pagos. Si se escoge al azar una factura y resulta de las que no han sido canceladas oportunamente. ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a un comerciante mayorista?

27.

Se tiene dos urnas cada una con dos cajones. La urna uno tiene una moneda de oro en un cajón y una de plata en el otro. La urna dos tiene una moneda de oro en cada cajón. Se elige una urna al azar y luego se elige un cajón y se saca una moneda que resulta ser de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la urna dos?

28.

Dos tubos defectuosos se confunden con dos buenos. Los tubos se prueban uno por uno hasta encontrar los defectuosos. a) b)

¿Cuál es la probabilidad de encontrar el último defectuoso en la segunda prueba? ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el último tubo defectuoso en la tercera prueba?

29.

Cierto industrial produce televisores en dos fábricas. El 10% de televisores producidos en la fábrica A se envían con defectos y el 5% de los producidos en B, también se envían con defectos. Si A produce 10.000 televisores al año y B produce 50.000 televisores al año. ¿Cuál es la probabilidad de comprar un televisor defectuoso a este industrial?.

30.

Un estudiante tiene un despertador cuya campanilla suena con una probabilidad de 0,7. Si suena, el estudiante despierta a tiempo con una probabilidad de 0,8 si no suena, despierta a tiempo con probabilidad 0,3. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante despierte a tiempo? b) Si un día se quedó dormido. Cuál es la probabilidad de que no hubiera sonado el despertados?

31.

El director de seguridad pública, estima que el 5% de los automóviles estacionados en el centro de la ciudad se quedan con las llaves en el encendido. Considera además que hay un 10% de probabilidad de que estos autos sean robados, en cambio existe un 0,005% de probabilidad de que se roben un auto al que no le han dejado las llaves. De haberse robado un auto. ¿Cuál es la probabilidad de que las llaves estuviesen en el encendido?.

32.

Se ha determinado que el 45% de los gerentes de oficina son mayores de 45 años. De aquellos que son menores de 45 años, el 60% llegaron a la gerencia pasando por ventas. Si se escoge un gerente de oficina al azar y es de los que no llegaron a la gerencia pasando por ventas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor de 45 años?.

33.

Tres alumnos resuelven un problema de estadística. Se sabe que el alumno uno resuelve el doble de problemas que el alumno dos, y que el alumno dos y tres resuelven el mismo número de problemas. Además se sabe que el alumno uno 7

realiza el 50% de sus problemas buenos, mientras que el alumno dos realiza el 25% de sus problemas buenos y para el alumno tres no se tienen antecedentes en este sentido. Se juntan los tres resultados y se escoge uno al azar. Si la probabilidad de que el problema este bueno es 0,375. ¿Cuál es el porcentaje de problemas buenos resueltos por el estudiante tres?. 34.

En calidad de vendedor de bonos, usted está pensando usar una lista de propietarios de acciones para efectuar su publicidad por correo. Se sabe que el 40% de los inversionistas financieros tienen solamente acciones y el 10% tienen sólo bonos, mientras que otro 20% tienen de ambos y los restantes no tienen ni bonos ni acciones. Entonces, si un inversionista es propietario de acciones. ¿Cuál es la probabilidad de que también sea inversionista en bonos?. 35. Eduardo conoce a una nueva chica en la mitad de las fiestas que asiste. Tres cuartas partes de las veces en que conoce a una nueva joven se divierte, pero la probabilidad de que se divierta cuando no conoce a una nueva chica es solamente del 10%. Eduardo acaba de decir que se está divirtiendo. ¿Cuál es la probabilidad de que haya conocido una nueva joven?.

36.

Un representante de ventas debe visitar una región que tiene 8 ciudades grandes y 12 ciudades pequeñas. En cada ciudad grande se encuentran establecidos distribuidores mayoristas y distribuidores minoristas en una proporción de 2 es a 8 en cada ciudad pequeña los mayoristas y minoristas están en una relación de 3 es a 9. Si se selecciona una ciudad al azar y de la ciudad seleccionada. a) b) c)

37.

¿Cuál es la probabilidad de que el distribuidor elegido sea minorista? Si se seleccionan al azar dos ciudades a la vez y se comprueba que una de las ciudades es grande. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra ciudad también sea grande? ¿Cuál es la probabilidad de que habiendo seleccionado un distribuidor mayorista este provenga de una ciudad grande?

Una agencia de viajes, organizó tres tipos de excursiones a Europa; “Europa pintoresca”, “Europa deportiva” y “Europa cultural”, que los turistas compraron en las siguientes proporciones 45%, 30% y 25% respectivamente. Para el transporte al viejo continente se ofrecieron tres alternativas, utilizando diferentes aerolíneas (A, B, C) cuyos respectivos porcentajes de excursionistas para cada uno de los tipos de excursiones ofrecidas fueron los siguientes: Aerolínea A Aerolínea B Aerolínea C

E. pintoresca 50% 15% 35%

E. deportiva 10% 80% 10%

E. Cultural 40% 5% 55%

Con la información anterior se pide: a) b)

¿Cuál aerolínea transportó el mayor número de pasajeros Si seleccionamos un excursionista al azar y nos dice que tomó la excursión “Europa cultural”. ¿Cuál es la probabilidad de que haya volado por la aerolínea B?. 8

38.

Una moneda está cargada de modo que sale cara tres veces ,más a menudo que sello. La moneda se lanza tres veces. Sea X el número de caras que se obtienen. Calcular: a) b) c) d)

39.

La función de probabilidad La función de distribución acumulada La probabilidad de obtener menos de tres caras. La probabilidad de que el número de caras obtenidas sea menor que uno, si sabe que dicho número es menor que dos.

La cantidad x de diarios que vende cierto vendedor de periódicos por horas corresponde a un fenómeno aleatorio con la siguiente función de probabilidad: P (x) = a) b) c)

40.

si x = 1, 2, 3 x = 4, 5, 6 t.o.1.

Evaluar A ¿Cuál es la probabilidad de que el número de periódicos vendidos en una hora sea mayor que dos pero menor e igual a cinco? Calcular el número esperado de periódicos vendidos en una hora.

Dada la siguiente función: F (x) =

a) b) c) d) 41.

Ax A (50 – x)

0,2 + 0,1x 0,5 0,1x 0

si

x = 1,2 x = 3,4 t.o.1.

Verifique si f (x) es función de cuantía Construya la función de distribución acumulada F(x) Calcule F (x  2 / x  4). Calcule E (x) y V (2x + 3).

El número de problemas resueltos correctamente por un alumno en una prueba de estadística es una variable aleatoria x, con la siguiente función de distribución acumulada: 0 si : x  0 1/7 0  x