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Prueba de Hipótesis para diferencia de medias

Dr. Edwin Asnate Salazar

Resumen Prueba de dos muestras Medias, Muestras independientes

Varianzas poblacionales

Prueba de dos muestras Prueba dos muestras

Medias, Muestras independientes

Varianzas poblacionales

Ejemplos: Media 1 vs. independiente Media 2

Varianza 1 vs. Varianza 2

Diferencia Entre dos Medias Medias poblacionales, Muestras independientes

*

Objetivo: Determinar diferencia de medias de dos poblaciones, μ1 – μ2

σ1 y σ2 conocido σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 = σ2

σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 ≠ σ2

El punto estimado para la diferencia es

X1 – X2

Muestras Independientes Medias poblacionales, Muestras independientes

*

σ1 y σ2 conocido σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 = σ2 σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 ≠ σ2

 Diferentes fuentes de datos  No relacionado  Independiente  La muestra seleccionada de una población no afecta la muestra seleccionada de otra población

 Usa la diferencia entre 2 medias muestrales  Usa Z, una varianza conjunta con prueba t, o una varianza separada con prueba t

Diferencia Entre dos Medias Medias Poblacionales, muestras independientes

*

σ1 y σ2 conocido σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 = σ2 σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 ≠ σ2

Usa una prueba estadística Z Usa Sp para estimar σ desconocido, usa una prueba estadística t y desviación standard conjunta

Usa S1 y S2 para estimar σ1 y σ2 desconocido, usa una prueba estadística t con varianza separada

σ1 y σ2 Conocido Medias Poblacionales, muestras independientes

σ1 y σ2 Conocido σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 = σ2 σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 ≠ σ2

Supuestos:  Muestras seleccionadas aleatoriamente e independiente

*  La distribución de las

poblaciones son normales o el tamaño de ambas muestras es 30  Las desviaciones Standard de las poblaciones son conocidos

σ1 y σ2 Conocido (continuación) Medias Poblacionales, muestras independientes

σ1 y σ2 conocido

Cuando σ1 y σ2 son conocidos y ambas poblaciones son normales o el tamaño de las muestras son≥ 30, la prueba estadística es Z

*

…y el error standard de X1 – X2 es

σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 = σ2 σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 ≠ σ2

σ X1  X2

2 1

2

σ σ2   n1 n2

σ1 y σ2 Conocido (continuación) Medias Poblacionales, muestras independientes

σ1 y σ2 conocido σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 = σ2 σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 ≠ σ2

La prueba estadistica para μ1 – μ2 es:

*

 X  X   μ  μ  Z 1

2

2 1

1

2

σ σ2  n1 n2

2

Prueba de Hipótesis para dos Medias Poblacionales Dos Medias poblacionales, Muestras Independientes

Unilateral Izquierda:

Unilateral Derecha:

H0: μ1  μ2 H1: μ1 < μ2

H0: μ1 ≤ μ2 H1: μ1 > μ2

i.e.,

i.e.,

H0: μ1 – μ2  0 H1: μ1 – μ2 < 0

H0: μ1 – μ2 ≤ 0 H1: μ1 – μ2 > 0

Bilateral: H0: μ1 = μ2 H1: μ1 ≠ μ2 i.e., H0: μ1 – μ2 = 0 H1: μ1 – μ2 ≠ 0

Prueba de Hipótesis for μ1 – μ2 Dos Medias poblacionales, Muestras Independientes Unilateral Izquierda:

Unilateral Derecha:

Bilateral:

H0: μ1 – μ2  0 H1: μ1 – μ2 < 0

H0: μ1 – μ2 ≤ 0 H1: μ1 – μ2 > 0

H0: μ1 – μ2 = 0 H1: μ1 – μ2 ≠ 0

a

a -za

Rechazar H0 si Z < -Za

za Rechazar H0 si Z > Za

a/2 -za/2

a/2 za/2

Rechazar H0 si Z < -Za/2 o Z > Za/2

Intervalo de Confianza, σ1 y σ2 Conocido Medias Poblacionales, muestras independientes

σ1 y σ2 conocido σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 = σ2 σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 ≠ σ2

Intervalo de confianza para μ1 – μ2 es:

*





2 1

2

σ σ2 X1  X2  Z  n1 n2

σ1 y σ2 Desconocido, Asumiendo Igualdad Supuestos:

Medias Poblacionales, muestras independientes

 Muestras aleatorias elaboradas independientemente

σ1 y σ2 conocido σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 = σ2 σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 ≠ σ2

*

 Población distribuida normalmente y n≥ 30  Varianzas poblacionales desconocidas pero iguales

σ1 y σ2 Desconocido, Asumiendo Igualdad (continuación)

Para estimar intervalos:

Medias Poblacionales, muestras independientes

σ1 y σ2 conocido σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 = σ2 σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 ≠ σ2

*

 La varianzas poblacionales son asumidos iguales, para estimar σ2, usar las dos varianzas muestrales y en conjunto  El estadístico es un t valor con (n1 + n2 – 2) grados de libertad.

σ1 y σ2 Desconocido, Asumiendo Igualdad (continuación) Medias Poblacionales, muestras independientes

La varianza conjunta es σ1 y σ2 conocido σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 = σ2 σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 ≠ σ2

*

S

2 p

 n1  1S 

 n2  1S 2 (n1  1)  (n2  1) 2 1

2

σ1 y σ2 Desconocido, Asumiendo Igualdad (continuación)

El estadístco para μ1 – μ2 es:

Medias Poblacionales, muestras independientes

 X t

1

σ1 y σ2 conocido σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 = σ2 σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 ≠ σ2



 X2   μ1  μ2  1 1  S     n1 n2  2 p

*

Donde t tiene (n1 + n2 – 2) G.L., y

S

2 p

2 2  n1  1S1  n2  1S2 

(n1  1)  (n2  1)

Intervalo de Confianza, σ1 y σ2 Desconocido Medias Poblacionales, muestras independientes

El intervalo de Confianza para μ1 – μ2 es:

X

σ1 y σ2 conocido σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 = σ2 σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 ≠ σ2

1



 X 2  t n1 n2 -2

*

1 1  S     n1 n2  2 p

Donde 2 2     n  1 S  n  1 S 1 2 2 S2  1 p

(n1  1)  (n2  1)

Prueba t con Varianza Conjunta: Ejemplo Se mide la concentración de atención en CCEE de dos hospitales. Hay alguna diferencia en el rendimiento entre los dos hospitales? Se recoje los siguientes datos: Hospital 1 Hospital 2

Tamaño 21 Media muestral 3.27 Desviación muestral 1.30

25 2.53 1.16

Asumiendo que las dos poblaciones tienen distribución normal con igual varianza, ¿Hay alguna diferencia en el rendimiento promedio(a = 0.05)?

Calculando el Estadístico El estadístico de prueba es :

 X t

1



 X2  μ1  μ2  1 1 S     n1 n2  2 p



3.27  2.53   0 1   1 1.5021     21 25 

2 2 2 2         n  1 S  n  1 S 21  1 1.30  25  1 1.16 1 2 2 S2  1  p

(n1  1)  (n2  1)

(21 - 1)  (25  1)

 2.040

 1.5021

Solución H0: μ1 - μ2 = 0 i.e. (μ1 = μ2) H1: μ1 - μ2 ≠ 0 i.e. (μ1 ≠ μ2) a = 0.05 Gl = 21 + 25 - 2 = 44 Valor Critico: t = ± 2.0154

Rechazar H0

0.025

-2.0154

Rechazar H0

0.025

0 2.0154

t

2.040

Estadístico: Decision: 3.27  2.53 t  2.040 Rechazar H0 con a = 0.05 1  1 Conclusion: 1.5021     21 25  Hay evidencia de una diferencia en los promedios.

σ1 y σ2 Desconocido, Sin Asumir igualdad Supuestos: Medias Poblacionales, muestras independientes

 Muestras seleccionadas aleatoriamente e independientes

σ1 y σ2 Conocido

 Poblaciones con distribución normal con n≥30

σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 = σ2 σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 ≠ σ2

*

 Varianzas poblacionales desconocidas, pero no se asumen igualdad entre ellas.

σ1 y σ2 Desconocido, Sin Asumir igualdad (continuación) Medias Poblacionales, muestras independientes

Formando el estadístico:  Las varianzas poblacionales no son iguales, se incluye las dos varianzas muestrales para el calculo del Estadístico.

σ1 y σ2 Conocido σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 = σ2 σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 ≠ σ2

 El estadísitico es un valor t

*

σ1 y σ2 Desconocido, Sin Asumir igualdad (continuación)

El estadístico para μ1 – μ2 es:

Medias Poblacionales, muestras independientes

 X  X   μ  μ  t 1

σ1 y σ2 conocido

1

2 1

2

2 2

S S  n1 n2

σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 = σ2 σ1 y σ2 desconocido, asumiendo σ1 ≠ σ2

2

S S     n n Con v GL v  2 12 22  2 1

*

2 2

2

    S1

n1

n1  1

S2

2

n2

n2  1

2

Prueba de Hipótesis para Varianzas Prueba para dos Varianzas poblacionales

Estadístco F

*

H0: σ12 = σ22 H1: σ12 ≠ σ22

Bilateral

H0: σ12  σ22 H1: σ12 < σ22

Unilateral Izquierda

H0: σ12 ≤ σ22 H1: σ12 > σ22

Unilateral Derecha

Prueba de Hipótesis para Varianzas (continuación)

Prueba para dos Varianzas poblacionales

Estadístico F

Estadístico F es:

*

2 1 2 2

S F S

S12 = Varianza de la muestra

1 n1 - 1 = Grados de libertad del numerador

S22 = Varianza de la muestra 2 n2 - 1 = Grados de libertad del denominador

La Distribución F  El valor crítico F se busca en una tabla estadística  Hay dos grados de libertad apropiados: numerador y denominador

S12 F 2 S2

donde gl1 = n1 – 1 ; gl2 = n2 – 1

 En la tabla F ,  Los grados de libertad del numerador esta en la columna  Los grados de libertad del denominador esta en la fila

Encontrar la región de rechazo H0: σ12  σ22 H1: σ12 < σ22

a

H0: σ12 = σ22 H1: σ12 ≠ σ22 a/2

0 Rechazar H0

FL

Rechazar H0 is F < FL

2

FU

Rechazar H0

Reject H0 if F > FU

No

Rechazar

Rechaza H0

FL

F

F FU

La región de rechazo para una prueba bilateral es: 

a

No Rechaza H0

0 H0

H0: σ1 ≤ σ2 H1: σ12 > σ22 2

0

a/2

F

No Rechaza H0

Rechazar H0

S12 F  2  FU S2 S12 F  2  FL S2

Encontrar la región de rechazo (continuación)

Para encontrar los valores críticos F: 1. Encontrar FU de la tabla F para n1 – 1 numerador y n2 – 1 denominador grados de libertad

H0: σ12 = σ22 H1: σ12 ≠ σ22

a/2

a/2

0 Rechazar H

0

F

No

Rechaza H0

FL

FU

2. Encontrar FL usando la formula:

Rechazar H0

1 FL  FU*

Donde FU* es de la tabla F con n2 – 1 numerador y n1 – 1 denominador grados de libertad (i.e., cambiar los grados de Libertad de FU)

Ejemplo de Prueba F: Se mide la concentración de atención en CCEE de dos hospitales. Hay alguna diferencia en el rendimiento entre los dos hospitales? Se recoje los siguientes datos: Hospital 1 Hospital 2

Tamaño 21 Media muestral 3.27 Desviación muestral 1.30

25 2.53 1.16

¿Hay alguna diferencia entre las varianzas de los hospitals Use (a = 0.05)?

Solucion  Hipótesis: H0: σ21 – σ22 = 0 H1: σ21 – σ22 ≠ 0

(No hay diferencia entre las varianzas) (Hay diferencia entre las varianzas)

 Encontrar el valor crítico F para a = 0.05:

FU:  Numerador:  n1 – 1 = 21 – 1 = 20 g.l.

 Denominador:  n2 – 1 = 25 – 1 = 24 g.l.

FU = F.025, 20, 24 = 2.33

FL:  Numerador:  n2 – 1 = 25 – 1 = 24 g.l.

 Denominador:  n1 – 1 = 21 – 1 = 20 g.l.

FL = 1/F.025, 24, 20 = 1/2.41 = 0.415

Solución (continuación)

 El estadístico es:

H0: σ12 = σ22 H1: σ12 ≠ σ22

S12 1.30 2 F 2   1.256 2 S2 1.16

a/2 = .025 0 Rechazar H0

 F = 1.256 no esta en la region de rechazo, No se rechaza H0

a/2 = .025 No Rechaza H0

FL=0.43

Rechazar H0

FU=2.33

 Conclusion: No hay evidencia suficiente para la diferencia de varianzas con a = 0.05

F