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• Laura González

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Prueba 1 Nombre:________________________________________________________ Problema 1 Para estimar la proporció n de trabajadores desempleados, un economista seleccionó al azar a 400 personas, de las cuales 30 no tenían trabajo. a) Estimar la verdadera proporció n de trabajadores sin empleo, mediante un intervalo de 95 % de confianza. b) ¿Cuá ntas personas hay que seleccionar para reducir el error de estimació n hasta 0.02?. Problema 2 El gerente de una empresa de comida rápida ha recibido quejas de parte de sus clientes acerca de que últimamente la calidad del servicio se ha deteriorado. Las quejas indican que principalmente ha habido un aumento del tiempo de espera para recibir sus pedidos. Para comprobar estas quejas, el gerente de la empresa realizó una encuesta para medir el tiempo que transcurre entre que el cliente hace su pedido hasta que lo recibe. El cuestionario de la encuesta fue aplicada a cincuenta clientes y dio un tiempo medio de atención de 4,5 minutos. Suponga que el tiempo de atención a los clientes sigue una distribución normal con desviación estándar igual a 2,3 minutos. a) Tomando los datos de los cincuenta cuestionarios aplicados, encuentre un intervalo de 95% de confianza para estimar el tiempo medio de atención a los clientes. b) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para que la estimación del tiempo medio de espera resulte en un intervalo de confianza del 95% con una longitud no mayor que medio minuto? c) Si históricamente el tiempo medio de espera era de 3,1 minutos, ¿cree usted que los resultados de la encuesta a los cincuenta clientes apoyan sus reclamos? Justifique su respuesta.

Problema 3 El gerente de una farmacia está interesado en determinar el tiempo medio de vencimiento de un medicamento. Sabe que este tiempo (en días) es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidades definida por 𝑥

𝑓(𝑥) = 𝜃2 𝑒 1) 2)

−𝑥⁄ 𝜃

; 𝑥 > 0 𝑦 𝜃 > 0.

Para una muestra aleatoria 𝑋1 , . . , 𝑋𝑛 , obtenga el estimador de verosimilitud máxima de 𝜃. Al extraer un muestra aleatoria de tamaño n = 15, se observan los siguientes tiempos de vencimiento del medicamento (en días): 556 223 58 137 21 198 244 271 112 47 35 173 351 119 97 Basado en estos datos, proporcione una estimación de verosimilitud máxima del parámetro 𝜃.

Problema 4 Suponga que 𝑋 es una variable aleatoria que representa el ingreso familiar de una población y que sigue una distribución normal de media 𝜇 y varianza 𝜎 2 . Se seleccionan dos muestras aleatorias desde esta población, ambas de tamaño n e independientes entre sí. Sea 𝑋̅1 la media muestral de la primera muestra y 𝑋̅2 la media muestral de la segunda muestra. Considere el siguiente estimador para la media poblacional 𝜇: 𝜇̂ = 𝛼𝑋̅1 + (1 − 𝛼)𝑋̅2 . a) ¿Es 𝜇̂ un estimador insesgado de µ? b) Posteriormente, se toman tres muestras aleatorias e independientes entre sí desde la misma población de tamaños 𝑛1 = 20 , 𝑛2 = 10 y 𝑛3 = 8 respectivamente. Sean 𝑆12 , 𝑆22 y 𝑆32 las varianzas muestrales de la primera, segunda y tercera muestra respectivamente. Considere el siguiente estimador de 𝜎 2 : ̂2 = 𝜎

(20 𝑆12 + 10 𝑆22 + 8 𝑆32 ) . 38

̂2 un estimador insesgado de 𝜎 2 ? ¿Es 𝜎