• Author / Uploaded
• MiltonAngelinoAychoFlores

• Categories
• Espacio de Banach
• Optimización Matemática
• Física y matemáticas
• Matemáticas
• Análisis matemático

Citation preview

Universidad Nacional Decana Mayorde deAmérica San Marcos (Universidad del Perú,

)

Escuela de Posgrado Facultad de Ciencias Matemáticas Unidad de Posgrado

Optimización en Espacios de Banach y Aplicaciones PROYECTO DE TESIS Para optar el Grado Académico de Magíster en Matemática Aplicada Mención: Matemática Computacional

AUTOR Milton Angelino Aycho Flores

Lima, Perú Octubre, 2013

OPTIMIZACIÓN EN ESPACIOS DE BANACH Y APLICACIONES Proyecto de Tesis para optar el Grado Académico de Magíster en Matemática Aplicada. Mención: Matemática Computacional

I. Planteamiento del Problema 1.1 Situación Problemática En la teoría de optimización clásica, dada una función diferenciable f : D ⊆ R −→ R, la condición necesaria para encontrar el punto óptimo de f en D es dar solución a la ecuación: f 0 (x) = 0

donde f 0 (x) es la derivada de la función, en el sentido habitual. En el caso de una función real de varias variables reales, se emplean los métodos del gradiente y la matriz Hessiana para resolver los problemas de optimización sin restricciones; además el uso de la función Lagrangiana y el de los multiplicadores de Lagrange para el caso de la optimización con restricciones de igualdad. Hacia la mitad del siglo XX, H. Khun y A. Tucker, estudian el problema de minimización de una función de varias variables, bajo restricciones o condiciones de desigualdad, obteniendo condiciones necesarias y sucientes para los puntos mínimos. A partir de ese momento, muchos investigadores han estudiado la existencia de soluciones del problema de minimización: m´ın f (x) x∈X

donde X es un espacio normado y f es un funcional real. La necesidad de esta extensión, se debe a que casi todos los modelos matemáticos de la vida real, en especial los modelos de aplicación hacia otras ramas de las ciencias exactas y aplicadas, trabajan en espacios que no son necesariamente el conjunto R o en general como los que surgen en la investigación de operaciones como es el caso del espacio Rn . Dentro del contexto de la optimización en el espacio Rn , en las últimas décadas, se han descubierto y demostrado una amplia gama de algoritmos y condiciones necesarias y sucientes, que permiten obtener o aproximar el punto óptimo local o global, entre los cuales podemos citar los métodos de gradiente, métodos de Newton generalizados, algoritmos de punto interior y proximal, los métodos de haces, etc. Para abordar el problema de la optimización en un espacio de Banach X , se emplean conceptos de diferenciabilidad más generales que la denición de de1

rivada clásica, así como también, resultados especícos del Análisis Convexo y del Análisis Funcional en dimensión innita, para lograr la formulación del teorema de los multiplicadores de Lagrange y las condiciones de Khun-Tucker para funciones reales denidas en X . Con estos resultados, se pueden tener las herramientas matemáticas para resolver los problemas de optimización global y restringida planteados en espacios normados y de Banach que no son necesariamente los euclidianos (R o Rn ), como por ejemplo, tratar el problema de optimización de funcionales denidos sobre el espacio de Banach C 1 ([a, b]), el cual es un caso especial de la Programación Dinámica o comúnmente conocida como Cálculo Variacional o Cálculo de Variaciones.

1.2 Formulación del Problema En este trabajo, se estudia la existencia de solución para el problema de optimización: m´ın f (x) x∈S

(1)

donde S es un conjunto convexo en un espacio de Banach X y f : X −→ R es un funcional Fréchet diferenciable. Asimismo se demostraran diversos resultados de existencia de solución para el problema (1) para el caso global (cuando S = X ), el caso restringido y bajo condiciones calicadas (conjuntos de restricciones), además de enunciar y demostrar teoremas sobre condiciones necesarias y sucientes para el punto óptimo. También, como resultado principal del trabajo, se desarrollará una generalización del teorema de los multiplicadores de Lagrange en un espacio de Banach. Este problema de la optimización condicionada es muy empleado y aplicado en problemas involucrados en la física, mecánica, ingeniería, economía, logística, administración de operaciones, etc. Para el caso de un espacio de Banach, este resultado generalizado, es conocido como el teorema de Karush-Khun-Tucker.

1.3 Justicación de la investigación La optimizacion de funciones denidas en el espacio euclidiano Rn posee muchas aplicaciones en ciencias, especícamente en economía, ingeniería e investigación de operaciones. Este trabajo presenta la extensión de la teoría de optimización hacia espacios más abstractos y generales que Rn , pretendiendo establecer un punto de partida para investigaciones y trabajos referidos a problemas de optimización en espacios normados que no sean los usuales. Por otra parte, este estudio da a conocer el uso de herramientas y conceptos matemáticos, además introduce conceptos y contenidos en la matemática aplicada, mostrando así la importancia de esta área del saber humano, dentro del 2

conocimiento cientíco y tecnológico, así como también, descubrir nuevos horizontes para la investigación dirigida a aplicaciones de la teoría de optimización en fenómenos o hechos reales de la industria, tecnología y sociedad.

1.4 Objetivos de la investigación Este trabajo, presenta los objetivos generales y especícos siguientes:

1.4.1 Objetivo general Esta investigación pretende demostrar y desarrollar la generalización de la optimizacion convexa de tipo global y restringida para funciones reales denidas en un espacio normado, bajo ciertas hipótesis de diferenciabilidad, mostrando su aplicación en problemas de optimizacion más generales.

1.4.2 Objetivos especícos  Estudiar el Análisis Convexo para espacios vectoriales normados.  Establecer teoremas de existencia de soluciones para problemas de op-

timización global de funciones reales denidas en un espacio de Banach.  Estudiar los conceptos y las propiedades de la diferenciabilidad de tipo

Fréchet, Gâteaux y Clarke sobre espacios de Banach reales.  Analizar las propiedades de una función cuasidiferenciable y del subdi-

ferencial de una funcional en un espacio normado.  Demostrar el teorema de Lyusternik en un espacio de Banach.  Desarrollar el teorema de los multiplicadores de Lagrange para funciones

en un espacio de Banach.  Emplear los resultados obtenidos en problemas de optimizacion aplica-

dos a problemas reales.

II. Marco Teórico 2.1 Antecedentes del Problema La optimizacion no lineal (programación no lineal) tuvo sus orígenes en establecer condiciones calicadas (condiciones de restricción) que generalizan el caso de las igualdades. Para esta situación, el método de los multiplicadores de Lagrange, era la técnica más empleada para resolver el problema de optimizacion bajo condiciones de igualdad. En 1951, los matemáticos H. W. Khun y A. W. Tucker estudian el problema de optimización sobre conjuntos convexos en el espacio Rn , estableciendo condiciones necesarias y sucientes para el problema de optimizacion: m´ın f (x) x∈S

3

donde S = {x ∈ Rn /g(x) ≤ 0} siendo f : Rn −→ R y g : Rn −→ Rm dos funciones sucientemente diferenciables. Desde ese momento esa técnica recibe el nombre de método de Khun-Tucker. Los trabajos de K. Arrow, L. Hurwicz y H. Uzawa (1959), estudian el problema de maximización de funciones cóncavas, sujeto a condiciones calicadas de desigualdad, demostrando condiciones necesarias y sucientes para el máximo condicionado usando la técnica de los multiplicadores de Lagrange de tipo regular. D. L. Russel en 1966, estudia la teoría de optimizacion global, para el caso de espacios vectoriales topológicos y analiza las condiciones necesarias estudiadas por Khun y Tucker para una función real denida en un espacio de Banach, aplicando sus resultados en varios problemas de control óptimo. P. Varaiya, en 1967 trabaja el problema de maximización: m´ax f (x) x∈S

(2)

donde S = {x ∈ A/g(x) ∈ AY } ⊆ X , siendo X, Y espacios de Banach, A un conjunto no vacío en X , AY un subconjunto convexo no vacío de Y ; g : X −→ Y una función Fréchet diferenciable y f : X −→ R una función diferenciable. En su trabajo, encuentra condiciones necesarias y sucientes para el punto solución del problema (2). Años más tarde, M. Guignard estudia el problema de optimización (2) sobre un espacio de Banach, para una función dos veces Fréchet diferenciable, bajo condiciones de pseudoconvexidad y pseudoconcavidad sobre las condiciones calicadas, logrando una generalización de las condiciones de Khun-Tucker en un espacio abstracto. En 1970, los artículos de K. Ritter, estudian y presentan el fundamento teórico que permite la generalización de la teoría de optimización en espacios normados para el caso de funcionales con valores vectoriales, es decir f : X −→ Y donde Y no es necesariamente el conjunto R. En dichos trabajos demuestra resultados para las condiciones de optimalidad y las de calicación. Ritter hace un estudio minucioso del Análisis Convexo desde el punto de vista topológico para un espacio normado. Uno de los primeros investigadores en estudiar el teorema generalizado de los multiplicadores de Lagrange, fue R. Wheatherwax, que en 1974, enfoca el problema de programación no lineal en un espacio de Banach, bajo condiciones calicadas denidas en conos tangentes, obteniendo condiciones sucientes para problemas de minimizacion restringidos, con las hipótesis de Frechet diferenciabilidad en la función objetivo. 4

La extensión de la teoría de optimización a un espacio vectorial topológico, fue lograda en 1980 por S. Dolecki. En su trabajo, considera el problema de minimizacion generalizado: (f, A, (X, T ))

donde (X, T ) es un espacio topológico, f : X −→ R un funcional y A ⊆ X un subconjunto no vacío. Dolecki, establece condiciones necesarias para el punto mínimo restricto cuando X es un espacio de Banach. En la década de los 80, muchos investigadores estudian el problema de minimizacion de funciones reales de tipo Fréchet diferenciables sobre un espacio de Banach, para el caso irrestricto y bajo restricciones sobre conos convexos. En particular, Jahn (1986), Staib (1989) y Bhakta-Roychaudhuri (1988) consideran los casos en el cual el funcional objetivo es cuasidiferenciable y Fréchet diferenciable, además de estudiar con mayor detalle el problema del funcional Lagrangiano en la optimización con restricciones, en espacios de Banach. En los últimos veinte años, los estudios sobre problemas de optimización en espacios normados, tienen un gran auge, gracias a los resultados e investigaciones dentro del campo del Análisis Funcional Convexo, permitiendo así dar nuevas generalizaciones a muchos conceptos del análisis convexo clásico en Rn , que a su vez concluyeron en resultados que resuelven los problemas de optimización abstracta y en particular sobre los problemas de optimización con restricciones, logrando así dar muchas extensiones del teorema de Khun-Tucker a espacios topologicos localmente convexos. Los trabajos de Staib (1991), Chen y Craven (1994), Kazmi (1998) y Yu-Lui (2007) son algunas referencias del gran avance de la investigación en el área de la Optimización en espacios normados.

2.2 Bases Teóricas Análisis convexo Aquí se estudia a los conjuntos convexos, las propiedades algebraicas y topologicas de un conjunto convexo, las funciones convexas, pseudoconvexas, cuasiconvexas y sus propiedades, además de la denición de subdiferencial de una función.

Análisis funcional En este trabajo se utilizan los resultados de la topología de espacios normados, las propiedades y teoremas referidos al espacio dual topológico X ∗ , los teoremas de separación en espacios de Banach, además de resultados sobre convergencia débil y varios tipos de diferenciabilidad de funciones reales en espacios normados.

5

2.3 Marcos conceptuales y glosario En esta investigación, se emplearan los siguientes términos y conceptos: (a ) Conjunto convexo. (b ) Subgradiente y subdiferencial. (c ) Función convexa, cuasiconvexa, pseudoconvexa. (d ) Función cuasidiferenciable. (e ) Derivada de Gâteaux, Fréchet y Clarke. (f ) Cono de orden, cono tangente y cono tangente de Bouligand (g ) Multiplicador de Lagrange generalizado.

III. Hipótesis y variables 3.1 Hipótesis general En este trabajo (X, k k) será un espacio de Banach real, f : X −→ R un funcional y S ⊆ X un conjunto convexo con interior no vacío.

3.2 Hipótesis especícas Se consideran (Y, k kY ) un espacio normado y (Z, k kZ ) un espacio de Banach real, C ⊆ Y un cono de orden con interior no vacío; g : X −→ Y , h : X −→ Z dos aplicaciones y el conjunto de condiciones calicadas: Sˆ = {x ∈ S/g(x) ∈ −C ∧ h(x) = 0Z }

Si x es una solución del problema de optimización: m´ın f (x) x∈Sˆ

se asumen como hipótesis adicionales, la diferenciabilidad de Fréchet de f y g en x y la diferenciabilidad local de h en x.

IV. Metodología 4.1 Tipo y diseño de la investigación Este estudio esta basado en una investigación de carácter descriptivo, histórico, cualitativo, básico y extensivo, respecto al problema de la minimizacion de funcionales reales bajo restricciones, denidos en un espacio de Banach. Asimismo esta diseñada en base a la siguiente fuente de información: Artículos de investigación, divulgaciones y bibliografía especializada que hacen referencia al problema planteado en su casos general y especico.

6

4.2 Unidad de análisis En el presente trabajo, el objeto de estudio es la optimización restringida de funcionales Fréchet diferenciables en un espacio de Banach, logrando condiciones necesarias de optimalidad y emplear la teoría desarrollada en un problema de aplicación.

V. Presupuesto Para el presente proyecto de tesis de grado, se planica el siguiente presupuesto:

Descripción

Monto en soles

Búsqueda y descarga de información Impresión de artículos y textos Viáticos y pasajes Materiales de trabajo Redacción digital del trabajo Impresión de Ejemplares

Total

100 100 150 100 150 100

700

Luego del estudio correspondiente a la evaluación del presente proyecto, se determina su viabilidad y ejecución.

VI. Cronograma de actividades El presente Proyecto de Tesis, se inició en abril del 2013, bajo la asesoría del Mg. Tomás Alberto Nuñez Lay, docente principal de la Facultad de Ciencias Matemáticas.

7

VII. Referencias Bibliográcas  Barbu, V., Precupanu, T. Convexity and Optimization in Banach Spaces. Sprin-

ger Science+Bussines Media B.V., Dordrecht, (2012).  Bazaraa, M., Shetty, C., Nonlinear

Programming. Theory and Algorithms

. John

Willey & Sons, New York, (1979).  Guignard, M., Generalized Khun-Tucker conditions for Mathematical Program-

ming Problems in Banach Spaces. SIAM

J. Control

, 7(2):232-241, (1969).

 Holmes, R., Geometric Functional Analysis and its Applications. Springer-Verlag,

New York, (1975)  Jahn, J., Existence Theorems in Vector Optimization.

, 50(3):397-406,

JOTA

(1986).  Kazmi, K., Some remarks on Vector Optimization Problems.

, 96(1):133-

JOTA

138, (1998).  Luenberger, D.,

. John Willey & Sons,

Optimization by Vector Spaces Methods

New York, (1998).  Mangasarian, O.,

Nonlinear Programming

. McGraw-Hill, New York, (1963).

 Ritter, K., Optimization Theory in Linear Spaces. Part III. Mathematical Pro-

gramming in Partially Ordered.

, 184:133-154, (1970).

Math. Ann.

 Staib, T., On Neccesary and Sucient Optimality conditions for Multicriterial

Optmizations Problems. Meth. (1991).  Valentine, F.,

Convex Sets

and Models of Operations Research

, 35:231-248,

. McGraw-Hill Book Company, New York, (1964).

 Varaiya, P., Nonlinear Programming in Banach Spaces.

.,

SIAM J. Appl. Math

15(2): 284-293, (1967).  Werner, J., Optimization Theory and Applications. Vieweg, Braunschweig, (1984).  Wheatherwax, R. General Lagrange Multiplier Theorems. JOTA , 14(1):51 -72,

(1974).  Yu, G., Liu, S., Some Vector Optimization Problems in Banach Spaces with

Generalized Convexity. Computers and Mathematics with Applications, 54:14031410, (2007).

Br. Milton Angelino Aycho Flores

Mg. Tomás Alberto Nuñez Lay

Código de Matricula: 11147007

Docente de la UPG-FCM

TESISTA

ASESOR

8