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PROYECTO DE TRABAJO: PERDIDA DE PESO ABSTRACT. El proyecto de investigación basado en el modelo de pérdida de peso realizado a través de ecuaciones diferenciales, brinda información de cómo poder llegar a ciertos resultados a través de un método matemático y gráfico, demostrando que una persona puede perder peso llevándolo a cabo este método antes mencionado. Una libra (0,453 g) de grasa contiene aproximadamente 3.500 calorías, es decir, que para perder 1 libra de peso por semana una persona debe consumir aproximadamente 3.500 calorías semanales menos. Esto se logra reduciendo 500 calorías de la ingestión diaria de alimentos (500 x 7 días provee un déficit de 3.500 calorías por semana). De igual manera, para perder 2 libras (0,90 kg) por semana, se requiere un déficit diario de 1.000 calorías.

The project of investigation based on the model of loss of weight realized through differential equations, offers information of how being able to reach certain results through a mathematical and graphical method, demonstrating that a person can lose weight carrying out it east method indicated above. A pound (0.453 g) of fat contains approximately 3,500 calories, that is to say, that stops to lose 1 pound of weight per week a person must consume approximately 3,500 calories weekly less. This is obtained reducing 500 calories of the daily food ingestion (500 xs 7 days provide a deficit with 3,500 calories per week). Of equal way, to lose 2 pounds (0.90 kg) per week, a daily deficit of 1,000 calories is required.

Universidad Mariano Gálvez de Guatemala Curso: Calculo Estudiantes de la Carrera de Ingeniería en Sistemas: Oscar Eduardo Murga Flores Carlos Eduardo Espinosa Gómez Guatemala 16 de noviembre de 2009.

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INTRODUCCION. En el presente proyecto se encuentra enmarcado al tema: Pérdida de Peso, utilizando “ecuaciones diferenciales”, se pretende encontrar la solución que permita encontrar el tiempo necesario para bajar una cantidad específica de peso, se sabe que una persona depende de la cantidad de energía usada como del peso de una persona, así entre mayor peso pierde una persona, es menor la energía que una persona usa. Existe diversidad de formas para poder perder peso como por ejemplo dietas, ejercicios, etc. Pero en este caso utilizaremos un modelo matemático para su resolución.

Universidad Mariano Gálvez de Guatemala Curso: Calculo Estudiantes de la Carrera de Ingeniería en Sistemas: Oscar Eduardo Murga Flores Carlos Eduardo Espinosa Gómez Guatemala 16 de noviembre de 2009.

EL PESO. Un

peso saludable es aquel que nos permite mantenernos en un buen estado de salud más allá de cuanto pesemos. El exceso de peso contribuye a la aparición de la enfermedad coronaria, cerebro vascular y diabetes, entre otras, además de generar conflictos psicológicos y de aceptación social. Una correcta alimentación va más allá de la imagen estética que se pueda lograr, nos ayuda a prevenir enfermedades y preservar las capacidades cognoscitivas, además nos da energía para nuestras actividades diarias. El Sobrepeso y la Obesidad son enfermedades crónicas, que requieren tratamiento médico y pueden ser controladas. Se producen, principalmente, como resultado de un consumo excesivo de grasa, lo que se traduce en la acumulación, también excesiva, de grasa corporal y una disminución del gasto de energía (sedentarismo).

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Existe una diferencia entre el peso ideal -el que indican las tablas o el que se tuvo durante la juventud temprana- y el peso posible de cada persona, este es el peso razonable que puede alcanzar una persona que necesita adelgazar, un peso que pueda mantenerse en el tiempo sin exigir demasiados sacrificios. CONSECUENCIAS DEL SOBREPESO PARA LA SALUD. El sobrepeso sucede cuando la persona consume más calorías de las que gasta y allí es cuando la grasa comienza a acumularse en el cuerpo, en las mujeres generalmente en abdomen, caderas, glúteos, piernas y brazos; mientras que en los hombres en el abdomen especialmente. La persona con sobrepeso tarda en darse cuenta de su aumento de peso excesivo, generalmente se queja más de otras dolencias que de los cambios de volumen de su cuerpo, sin darse cuenta que la causa principal muchas veces está en una dieta desequilibrada y excesiva. Universidad Mariano Gálvez de Guatemala Curso: Calculo Estudiantes de la Carrera de Ingeniería en Sistemas: Oscar Eduardo Murga Flores Carlos Eduardo Espinosa Gómez Guatemala 16 de noviembre de 2009.

Algunos de las consecuencias comunes de sobrepeso son: Agitación ante el menor esfuerzo. Cansancio fácil y tendencia excesiva al sueño. Enfermedades como trastornos del corazón, hipertensión arterial, facilidad para infecciones del aparato respiratorio, tendencia a la diabetes, enfermedades del riñón, hígado y vías biliares, afecciones de las articulaciones como nefritis, arteriosclerosis, edema pulmonar, reumatismo, trastornos menstruales, hernias. El tratamiento del sobrepeso debe estar controlado por un médico, a través de una dieta baja en calorías y ejercicio físico diario. El ejercicio regular y una dieta saludable son esenciales cuando del control de peso se trata. Un plan de manejo del peso depende de si la persona tiene sobrepeso o peso insuficiente.

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Las mediciones de la masa y grasa corporales se utilizan para determinar si una persona está por debajo o por encima de su peso. Un dietista o un fisiólogo del ejercicio debidamente certificado puede ayudar a calcular la grasa corporal. La cantidad de grasa corporal recomendada difiere entre los hombres y las mujeres. Para las mujeres: La cantidad de grasa corporal recomendada es 20 a 21%. La mujer estadounidense promedio tiene aproximadamente de 22 a 25% de grasa corporal. Una mujer con más de 30% de grasa corporal es considerada obesa. Para los hombres: La cantidad de grasa corporal recomendada es 13 a 17%. El hombre estadounidense promedio tiene aproximadamente de 17 a 19% de grasa corporal. Un hombre con 25% de grasa corporal o más es considerado obeso. Universidad Mariano Gálvez de Guatemala Curso: Calculo Estudiantes de la Carrera de Ingeniería en Sistemas: Oscar Eduardo Murga Flores Carlos Eduardo Espinosa Gómez Guatemala 16 de noviembre de 2009.

El índice de masa corporal (IMC) es una medición indirecta de la composición corporal y tiene en cuenta tanto el peso como la estatura. Este índice ayuda a determinar el riesgo de padecer ciertas enfermedades, incluyendo diabetes e hipertensión. Es importante anotar que los términos "sobrepeso" y "obesidad" no significan la misma cosa. El manejo del peso para una persona que ha tenido sobrepeso incluye mantener una actividad física continua y controlar la cantidad de los alimentos ingeridos. CALORÍAS PARA EL MANTENIMIENTO DEL PESO Para mantener el peso, se puede utilizar la siguiente fórmula: 10 calorías por libra (453 g) de peso corporal deseable si es una persona sedentaria o muy obesa. 13 calorías por libra de peso corporal deseable si el nivel de actividad es

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bajo o la persona es mayor de 55 años. 15 calorías por libra de peso corporal deseable si la persona hace actividad moderada regularmente. 18 calorías por libra de peso corporal deseable si la persona realiza actividades extenuantes. Tabla indicadora del peso ideal para personas de más de 25 años de acuerdo a la estatura Sexo Sexo Altura (m) masculino femenino

Altura (m)

IMC (Índice de masa corporalcálculo): Para medir el nivel de delgadez o sobrepeso algunos especialistas utilizan una fórmula que establece un índice de masa corporal (IMC): Peso en kilogramos Altura en metros

Según el valor obtenido mediante este cálculo, surge la siguiente clasificación:

Sexo Sexo masculino femenino

1,50

44,5-50kg

1,72

63,1-68,3

57,5-64,3

1,51

45,1-50,5

1,73

63,8-69,1

58,3-65,1

1,52

45,6-51

1,74

64,5-69,8

59-65,8

1,53

46,1-54,4

1,75

65,2-70,6

59,7-66,5

1,54

46,7-52,1

1,76

65,6-71,3

60,4-67,2

1,55

47,2-52,6

1,77

66,7-72

61,1-67,8

1,56

47,7-53,2

1,78

67,4-72,8

61,7-68,6

1,57

54,3-58,1kg 48,2-53,7

1,79

68,1-73,6

62,5-69,3 63,3-70,1

1,58

54,8-58,9

48,6-54,3

1,80

68,8-74,4

1,59

53,3-59,6

49,3-54,8

1,81

69,5-75,4

64-70,7

1,60

55,8-60,3

49,9-55,3

1,82

70,2-76,3

64,7-71,5

1,61

56,4-60,9

50,4-55,4

1,83

70,9-77,2

65,4-72,2

1,62

56,9-61,4

51-56,6

1,84

71,7-78,1

66,1-72,9

1,63

57,5-61,8

51,5-57,5

1,85

72,4-79

66,6-73,6

1,64

58-62,5

52-58,2

1,86

73,1-79,7

1,65

58,6-63

52,6-58,9

1,87

73,8-80,8

1,66

59,1-63,7

53,3-59,6

1,88

74,5-81,7

1,67

59,6-64,4

54-60,7

1,89

75,4-82,6

1,68

60,2-65,1

54,7-61,5

1,90

76,3-83,5

1,69

60,9-65,6

55,4-62,2

1,91

77,2-84,4

1,70

61,7-66,6

56,1-62,8

1,92

78,1-85,3

1,71

62,4-67,4

56,8-63,6

1,93

79-86

Fuente: http://www.vida7.cl/tablas/imc.htm año de obtención: 2005

I

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HOMBRE

MUJER

Delgadez pronunciada

hasta 15

hasta 13

Delgadez

15/20

13/18

Normalidad

20/25

18/23

Gordura

25/30

23/28

Obesidad

arriba de 30

arriba de 28

Fuente: http://www.vida7.cl/tablas/imc.htm año de obtención: 2005

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RESULTADOS MODELO LINEAL DE DIETA. PROBLEMA PROPUESTO: El peso de una persona depende tanto del número de calorías consumidas como de la energía utilizada. Además la cantidad de energía usada depende del peso de una persona; la cantidad media de energía usada por una persona es 17.5 calorías por libra por día. Así, entre mayor peso pierde una persona, es menor la energía usa (se supone que la persona mantiene un nivel de actividad constante). Para calcular el peso perdido se puede usar la siguiente ecuación: Ecuación General. =

A) Encontrar la general de la diferencial.

solución ecuación

Paso No. 1 Ecuación

Paso No. 2: pasamos “w” para desplegarlos en términos de ella.

Paso No. 3: factor de integración: agarramos a la variable que c compara “10” y la integramos en función de “t” para dejarlo en función de la misma

t/200

=

Donde: w = peso (libras) t = tiempo (días) C = consumo diario de Calorías que es constante

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Paso No.4: multiplicación en la ecuación.

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Paso No. 5: Integramos ambas partes.

180 = 180 -

Paso No. 6: respuesta de la integración

+ +

=D

180 =

D = 37.1429 Paso No. 7: D= es la constante de Integración

Paso No. 8: despejamos “w” para encontrar la ecuación general. w (t) =

=+

w (t) = w (t) =

b) Considerar una persona que pesa 180 libras e inicia una dieta de 2500 calorías por día. ¿Cuánto tiempo tardar la persona en perder 10 libras? ¿Cuánto tiempo le tomara la persona en perder 35 libras? Datos: w(t)=180 w(t)=180-10 w(t)=170 w(t) =

t=?

+

170 =

+

solución general Encontrar el valor de “D” inicialmente 180 libras, tiempo D es cero. w(t) =

+

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170 -

=

= 190

= 7(37.1429)

8

190

= 260.0003

= = = 1.3684 =

t = (0.3136)(200) t = 62.73 t = 63 Días.

= 260.0003

=

¿Cuánto tiempo le tomara la persona en perder 35 libras cuando pesa 180?

Datos: w(t)=180 w(t)=180-35 w(t)=145

145 -

15

= 17.3333

A la persona le tomara un tiempo estimado de 63 días para poder bajar 10 libras.

t=?

+

145 =

= (7) (37.1429)

=

= 0.3136

w (t) =

15

+ =

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= 2.8526 t = (2.8526)(200) t = 570.5265 t = 570 días. A la persona le tomara un tiempo estimado de 570 días para poder bajar 35 libras.

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c) Usar un método grafico de computadora para presentar la solución ¿Cuál es el peso límite de la persona?

x 0 5 11 16 23 28 35 41 48 55 62

y 180 179 178 177 176 175 174 173 172 171 170

A continuación se les mostrara la grafica de una persona que pesa 180 libras y baja de peso 10 libras en 63 días.

GRAFICA NO. 1

Tabla de peso requerido para perder 10 libras 182 180 178 176 174 172 170 168

y Lineal (y)

0

20

40

60

80

Representación en Excel 2007

Como podemos observar en el eje “Y” se encuentra el peso de dicha persona y en el eje “X” se encuentra el tiempo necesario para perder peso. Entre menos

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peso tiene la persona menos energía usara por lo tanto se tardara mas días en bajar de peso ya que la su energía ya no es la misma con la que empezó.

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A continuación se les mostrara la grafica de una persona que

pesa 180 libras y baja de peso 35 libras en 570 días.

GRAFICA NO. 2

x 0 28 62 103 154 223 329 570

y 180 175 170 165 160 155 150 145

Tabla de peso requerido para perder 35 libras 200 150 100

y

50

Lineal (y)

0 0

100

200

300

400

500

600

Representación en Excel 2007

Como podemos observar en el eje “Y” se encuentra el peso de dicha persona y en el eje “X” se encuentra el tiempo necesario para perder peso. El peso limite que esta persona pude llegar a bajar es de 143 libras ya que su condición física hasta ese peso le permite. d) Repetir los apartados b) y c) para una persona que pesa 200 libras cuando la dieta.  Primero debemos de calcular “D” ya que como el peso inicial cambio nos debe de cambiar nuestra constante “D” el valor de Universidad Mariano Gálvez de Guatemala Curso: Calculo Estudiantes de la Carrera de Ingeniería en Sistemas: Oscar Eduardo Murga Flores Carlos Eduardo Espinosa Gómez Guatemala 16 de noviembre de 2009.

“T” se debe de tomar como cero ya que no ha perdido peso. w(t) =

w(t) =

200 = 200 -

+ +

=

= D D = 57.1428

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¿Cuánto tiempo le tomara la persona en perder 10 libras cuando pesa 200? Datos: w(t)=200 w(t)=200-10 w(t)=190 w(t) =

¿Cuánto tiempo le tomara la persona en perder 35 libras cuando pesa 200?

t=? Datos: w(t)=200 w(t)=200-35 w(t)=145

+

190 =

+

190 -

=

=

t=?

w(t) =

+

165 =

+

165 = (7)(57.1428)

=

=

= 399.9996

= (7)(57.1428)

=

= 399.9996 = 1.2121 =

= 0.1923 t = (0.1923)(200) t = 38.46 t = 38 Días.

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= = 2.5806 = = 0.9480

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t = (0.9480)(200) t = 189.60 t = 190 Días. A continuación se les mostrara la grafica de una persona que pesa 200 libras y

baja de peso 10 libras en 38 días.

GRAFICA NO. 3

x

Tabla de peso requerido para perder 10 libras

y 0 200 7 198

14 196 22 194 35 192 38 190

202 200 198 196 194 192 190 188

y Exponencial (y)

0

10

20

30

40

Representación en Excel 2007

Como podemos observar en el eje “Y” se encuentra el peso de dicha persona y en el eje “X” se encuentra el tiempo necesario para perder peso. Pero si nos damos cuenta esta persona para bajar las diez libras se tardo menos días que la anterior. Esto se debe a que tiene mayor peso y entre mayor peso tiene una persona menos son los días en que quema las Universidad Mariano Gálvez de Guatemala Curso: Calculo Estudiantes de la Carrera de Ingeniería en Sistemas: Oscar Eduardo Murga Flores Carlos Eduardo Espinosa Gómez Guatemala 16 de noviembre de 2009.

calorías, esto se debe a que lo primero que pierde una persona son todos los líquidos que posee dentro de su organismo y luego reduce la grasa que posee dicha persona . Por lo tanto lo mismo va a pasar en la siguiente grafica.

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A continuación se les mostrara la grafica de una persona que

pesa 200 libras y baja de peso 35 libras en 190 días.

GRAFICA NO. 4

x

Tabla de peso requerido para perder 35 libras

y 0 200 18 195 38 190 61 185 86 180

115 175

250 200 150 y 100

148 170

50

190 165

0

Exponencial (y)

0

50

100

150

200

Representación en Excel 2007

Como podemos observar en el eje “Y” se encuentra el peso de dicha persona y en el eje “X” se encuentra el tiempo necesario para perder peso. El peso limite que esta persona pude llegar a bajar es de 143

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libras ya que su condición física hasta ese peso le permite.

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COMPARACION DE RESULTADOS: Bueno como podemos observar en la primera grafica, la persona pesa 180 libras y desea poder 10 libra se tarda 63 días para perder dicho peso, pero si observamos en la tercera grafica la persona pesa 200 libras y también desea bajar 10 libras esta persona se tarda 38 días para perder dicho peso, esto se debe a la diferencia de peso y grasa que poseen estas persona ya que entre más peso tenga la persona menos van hacer los días que se va a tardar la persona para bajar dicho peso. Ya que una persona que pesa más posee en su organismo mas liquido que la otra persona. Ahora explicaremos la segunda grafica. La persona pesa 180 libras y desea poder perder 35 libra se tarda 570 días para perder dicho peso,

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pero si observamos en la tercera grafica la persona pesa 200 libras y también desea bajar 35 libras esta persona se tarda 190 días para perder dicho peso, la persona que posee 180 libras se tarda más días para poder bajar de peso ya que poses menos líquidos en su organismo y como todos sabemos lo que más cuesta perder de nuestro organismo es la grasa esto se debe a que la grasa corporal constituye aproximadamente de 15 a 20 % del peso de nuestro cuerpo en condiciones ideales para un hombre y de menos del 25 % para una mujer también en condiciones ideales.

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Conclusiones. 1. Los resultados varían entre mayor peso pierde la persona menos es el uso de energía, por lo tanto conlleva a que la pérdida de peso sea menor y se realiza en más tiempo.

2. En investigación previa se determino el peso en una esfera comprobamos que al tener menos peso la esfera girara con menos fuerza , que una esfera que tenga un mayor volumen, girara mucho más rápido, como en el caso de las personas en cuanto a la pérdida de peso.

3. Si partimos de un peso inicial de 180 libras y queremos obtener el tiempo estimado en que se podrá perder un peso de 10 libras concluimos que la persona lo perderá alrededor de 63 días siempre y cuando mantenga una dieta de calorías de 2500 por día, debemos de tomar en cuenta que los resultados podrían variar. Universidad Mariano Gálvez de Guatemala Curso: Calculo Estudiantes de la Carrera de Ingeniería en Sistemas: Oscar Eduardo Murga Flores Carlos Eduardo Espinosa Gómez Guatemala 16 de noviembre de 2009.

4. Si se quiere perder un peso de 35 libras partiendo de un peso de 180 libras, la persona podrá perder peso a razón de 570 días, esto nos indica que variara el tiempo en reducirlo porque la persona utilizara menos energía de la acostumbrada.

5. En el modelo encontrado nos permite conocer la pérdida de peso aproximado de una persona con condiciones iníciales en un determinado tiempo, es decir que depende tanto del modelo como del método que utilice la persona para bajar de peso.

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BIBLIOGRAFIA

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.  “Conceptos fundamentales del Cálculo diferencial e integral. Larson Hostetler Edwards. 6ª Edición. McGraw-Hill.  “Ecuaciones diferenciales con problemas de valores de frontera”.Dennis G. Zill. THOMPSON. Sexta Edicion. Páginas consultadas 5-9, 19-27  “Ecuaciones Diferenciales”. C. Henry Edwards David E. Penney. Cuarga Edicion. Prentico Hall.  B. P. Demidowitsch. I. A. Maron, E. S. Schuwalowa. Métodos numéricos de análisis. Editorial Paraninfo (1980).

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REFERENCIAS ELECTRONICAS.  http://www.elcalculo.8k.co m/5%20ECU.%20NO%20 HOMOGENEA5.htm  http://www.sc.ehu.es/sbwe b/fisica/cursoJava/numeric o/eDiferenciales/eDiferenc iales.htm  http://matematicas.udea.e du.co/~jescobar/