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PROYECTO FINAL - METODOS NUMERICOS Parte II

RICARDO FELIPE JIMENEZ SOTO KAREN DANIELA RINCÓN AGUDELO SERGIO ALFONSO ZAMBRANO VARGAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA BOGOTÁ D.C. 2019

1. En una reacción química, una molécula de sustancia A se combina con una molécula de una sustancia B para formar una molécula de una sustancia C. Se sabe que la concentración y(t) de la sustancia C en el instante t es la solución del problema inicial 𝑦 ′ = 𝑘(𝑎 − 𝑦)(𝑏 − 𝑦)

con 𝑦(0) = 0

Donde k es una constante positiva y a y b son las concentraciones iniciales de las sustancias A y B respectivamente. Supongamos que k=0.01, a= 70 milimoles/litro y b= 50 milimoles/litro. Use el método de Runge-Kutta e orden N=4 con h=0.5 para hallar la solución en el intervalo [0,20]. Observación. Compare la solución dad por el computador con la solución exacta 𝑦(𝑡) = 350(1 − 𝑒 −0.2𝑡 )/(7 − 5𝑒 −0.2𝑡 ). Observe que el valor limite cuando t  +∞ es 50. SOLUCIÓN Reemplazando por lo valores dados la ecuación queda 𝑦 ′ = 0.01(70 − 𝑦)(50 − 𝑦) Teniendo en cuenta el h=0.5 e intervalo de [0,20] se obtiene el numero de pasos n=40 para ejecutar el programa. Aplicando el código RungeKuttaS.sci se tiene

Como se observa, efectivamente el método de Runge Kutta da una solución bastante cercana a la esperada y comparada con la dada por la solución exacta da un error muy pequeño que en aplicaciones ingenieriles sería más que buena. 2. Use el método de Runge- Kutta para aproximar y(0.8= en el problema de valor inicial 𝑦 ′ = 𝑡 2 + 𝑦 2 , 𝑦(0) = 1 𝑒𝑛 [0,0.8]. Se sabe que el valor de la solución exacta en t=0.8 es y(0.8)=5.8486168. Empiece con un tamaño de paso de h=0.05 y utilice como criterio de parada el que el valor absoluto de la diferencia entre dos mejoras de Richardson consecutivas sea menor que 10−7 . SOLUCIÓN Según las instrucciones dadas en clase, como el método de Richardson no fue parte del curso, solo lo fue el de Runge Kutta, pues este será el que se utilice para estimar el valor cercano que se pide. Para este ejercicio se utiliza el algoritmo de RungeKutta2v así:

Como se observa la aproximación es muy cercana y tiene un error absoluto de 0.0005045 y un error relativo de 0.000086259 lo cual en la practica es un error aceptable. 3.

Considere la ecuación integro-diferencial de primer orden: 𝑡

𝑦 ′ = 1.3𝑦 − 0.25𝑦 2 − 0.0001𝑦 ∫ 𝑦(𝜏)𝑑𝜏 0

Use el método de Runge Kutta de orden N=4 con h=0.2, el valor inicial y(0)=250 en el intervalo [0,20] y la regla del trapecio para calcular una solución aproximada de la ecuación. Según lo consultado con el profesor mediante el teorema fundamental del cálculo la fracción integral de la ecuación se resuelve reemplazándola por la primera derivada de la variable y y ello exime de tener que aproximar la solución mediante la regla del trapecio. La ecuación a evaluar queda de la siguiente forma: 𝑦′ = 1.3𝑦 − 0.25𝑦 2 − 0.0001𝑦𝑦′ 𝑦′ + 0.0001𝑦𝑦′ = 1.3𝑦 − 0.25𝑦 2 𝑦′(1 + 0.0001𝑦) = 1.3𝑦 − 0.25𝑦 2 𝑦′ = 1.3𝑦 − 0.25𝑦 2 /(1 + 0.0001𝑦) Usando RungeKutta2v.sci se tiene a.

b. Para y(0)=200

c. Para y(0)=300

d.

4. El modelo predador-presa. Un ejemplo de sistema de ecuaciones diferenciales no lineales es el problema “predador-presa”. En un cierto hábitat vven conejos y linces, cuyas poblaciones en un instante t denotamos x(t) e y(t), respectivamente. El modelo depredador-presa establece que x(t) e y(t) verifican el sistema

𝑥′(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) − 𝐵𝑥(𝑡) 𝑦′(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡)𝑦(𝑡) − 𝐷𝑦(𝑡) Una simulación típica con computador usaría como coeficientes, por ejemplo, A = 2, B = 0.02, C = 0.0002, D = 0.8. Use el método de Runge Kutta para resolver el sistema en el intervalo [0,5] usando M = 40 pasos con h=0.2 en los siguientes casos. SOLUCIÓN a)

x(0) = 3000 conejos y (0) = 120 linces

Solucionando el problema primer se obtienen las ecuaciones para el programa que quedan del siguiente modo:

𝑥′(𝑡) = 2𝑥 − 0.02𝑥 𝑦′(𝑡) = 0.0002𝑥𝑦 − 0.8𝑦 Como no se tiene la solución exacta debemos conformarnos con la aproximación que se obtenga de Runge Kutta y hacer una corrección para el numero de pasos pues no concuerda con la amplitud de h=0.2 que hace que M=25. Ejecutando lo anterior con el código de RungeKuttaSE.sci:

Ese resultado se obtiene cerrado probablemente porque es un proceso natural y como muchos de ellos es un proceso cíclico y repetitivo lo cual conlleva a que la cantidad de conejos y linces varié de esta forma. b)

x(0) = 5000 conejos y (0) = 100 linces

El sistema de ecuaciones sigue siendo el mismo. Cambiando únicamente las condiciones iniciales para el código se obtiene lo siguiente:

Como se observa, el máximo y mínimo de linces se ven afectados por las condiciones iniciales dadas para este modelo, así como también se ve diezmado el máximo de conejos.

5. Resuelva 𝑥′ = 𝑥 − 𝑥𝑦, 𝑦′ = −𝑦 + 𝑥𝑦 con 𝑥(0) = 4 e 𝑦(0) = 1 en [0,8] tomando h=0.1. Las trayectorias de este sistema son curvas cerradas y la trayectoria poligonal obtenida con la solución numérica es una de las curvas que se anexan a continuación

SOLUCIÓN Reemplazando estas ecuaciones en el algoritmo de RungeKuttaSE.sci se tiene:

Gráficamente corresponde a la siguiente imagen

Que corresponde a la grafica mas externa de las dadas por el ejercicio. 6.

En el ejercicio, utilice el método de diferencias finitas para aproximar x(a+0.5)

𝑥′′ = 2𝑥′ − 𝑥 + 𝑡 2 − 1 en [0,1] con 𝑥(0) = 5 y 𝑥(1) = 10 y solución exacta

𝑥(𝑡) = 𝑡 2 + 4𝑡 + 5

a) Tome ℎ1 = 0.5 y realice un paso haciendo las operaciones. Luego tome ℎ2 = 0.25 y realice dos pasos haciendo las operaciones. SOLUCIÓN Según la configuración del programa para h=0.5 no se le puede introducir un M