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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE “TRUJILLO”

FACULTAD: INGENIERÍA.

CARRERA: INGENIERÍA CIVIL.

TEMA: TRABAJO REALIZADO EN EL VACIADO DE UN LÍQUIDO.

CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA.

DOCENTE: ALVITES CALIPUY, MELBA ELIZABETH.

INTEGRANTES: Aguilar Moscoso. Jose Calderon Suarez, Jhon

TRUJILLO – PERÚ 2016

TRABAJO REALIZADO EN EL VACIADO DE UN DEPÓSITO

METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

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RESUMEN El presente proyecto “TRABAJO REALIZADO EN EL VACIADO DE UN LÍQUIDO” tiene como objetivo, usar integración numérica para evaluar el trabajo realizado en el vaciado de un depósito. Para desarrollar el problema planteado se usa la regla de integral definida, regla Trapezoidal, regla Simpson 1/3 y regla Simpson 3/8, luego se hace una comparación de los resultados, y se define cual método es más exacto. La regla Trapezoidal Simple presenta un error relativo porcentual de 2.22% El análisis muestra que la regla de Trapezoidal Simple presenta un error del 2.22% y que la regla Trapezoidal compuesta presenta un erro del 0.0%9. Además, las reglas de Simpson 1/3 y Simpson 3/8, tanto simple como compuestas presentan un error del 0.00%.

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INTRODUCCIÓN: El presente trabajo aporta, la elaboración de un programa en MATLAB para aproximar integrales definidas al valor real de dichas funciones. El contenido del trabajo está organizado de forma modular que se ajusta a los problemas expuestos con condiciones fijas de frontera. En este proyecto se resolverá un ejercicio aplicativo a la Ingeniería, del cual resolveremos tanto el método analítico, es decir, se hallará la solución del modelo matemático; como en el computador. Los cálculos hechos con computador se presentan mediante un algoritmo. Utilizaremos los distintos métodos de integración para cumplir los objetivos trazados en la investigación del proyecto.

METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

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INDÍCE TRABAJO REALIZADO EN EL VACIADO DE UN DEPÓSITO......................................2 RESUMEN................................................................................................................. 3 INTRODUCCIÓN:......................................................................................................4 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:.......................................................................6 OBJETIVOS:.............................................................................................................. 6 Objetivo general:....................................................................................................6 Objetivos específicos:............................................................................................6 MARCO TEÓRICO:...................................................................................................7 Trabajo para el vaciado de un depósito..................................................................7 Regla Trapezoidal Simple......................................................................................7 Regla Trapezoidal Compuesta...............................................................................8 Regla de Simpson 1/3 Simple................................................................................8 Regla de Simpson 1/3 Compuesta.........................................................................9 Regla de Simpson 3/8 Simple................................................................................9 Regla de Simpson 3/8 Compuesta.......................................................................10 MODELO MATEMÁTICO:........................................................................................10 SOLUCIÓN:............................................................................................................. 11 ALGORITMO COMPUTACIONAL:...........................................................................17 RESULTADOS:........................................................................................................19 CONCLUSIONES:...................................................................................................20 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:........................................................................20

METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA: ¿Se podrá usar integración numérica para evaluar el trabajo realizado en el vaciado de un depósito?

OBJETIVOS:

Objetivo general: Usar integración numérica para evaluar el trabajo realizado en el vaciado de un depósito.

Objetivos específicos: Usar la regla trapezoidal y Simpson para la solución del problema. Diseñar un algoritmo en matlab de las reglas trapezoidal y Simpson.

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MARCO TEÓRICO:

Trabajo para el vaciado de un depósito. Para levantar un objeto se ha de contrarrestar la fuerza de la gravedad. Por consiguiente, el trabajo realizado al levantar un objeto viene dado por:

Trabajo=( peso del objeto)∗( altura a laque se eleva) Trabajo en fuerza variable: b

W =∫ F (x )dx a

Regla Trapezoidal Simple. La razón por la que se llama regla trapezoidal es que si f(x) es una función con valores b

positivos, entonces

∫ f ( x ) dx

se aproxima al área del trapecio mostrado en la

a

Figura X.

b

h I =∫ f ( x ) dx ≅ [ f ( x 0 ) +f ( x 1)] 2 a Dónde: X0 = a, X1 = b, h = b – a (es el tamaño de paso) METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

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Regla Trapezoidal Compuesta. La regla del trapecio se amplía si subdividimos el intervalo [a, b] en “n” sub intervalos,

todos de la misma longitud,

b

h=

b−a n

n−1

h I =∫ f ( x ) dx ≅ [ f ( x 0 ) +2∗∑ f ( x k ) + f ( x n )] 2 k=1 a Dónde:

X0 = a, Xn = b,

h=

b−a n

Regla de Simpson 1/3 Simple. La regla se Simpson 1/3 se obtiene cuando se utiliza polinomios de Lagrange de segundo orden, con tres nodos:

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b

h I =∫ f ( x ) dx ≅ [ f ( x 0 ) + 4∗f ( x1 )+f ( x2 )] 3 a Dónde:

X0 = a, X1 = a + h, X2 = b,

h=

b−a 2

Regla de Simpson 1/3 Compuesta. La regla se Simpson se mejora al dividir el intervalo de integración en varios segmentos de un mismo tamaño.

Dónde:

X0 = a, Xn = b,

h=

b−a n

Regla de Simpson 3/8 Simple. La regla se Simpson 3/8 se obtiene cuando se utiliza polinomios de Lagrange de tercer orden, usando cuatro puntos.

METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

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Dónde:

X0 = a, X1 = a + h, X2 =a + 2*h, X3 = b,

h=

b−a 3

Regla de Simpson 3/8 Compuesta. La regla se Simpson 3/8 se mejora al dividir el intervalo de integración en varios segmentos de un mismo tamaño.

Dónde:

b−a h= X0 = a, Xn = b, n Es importante notar que para el método de Simpson 3/8, el número de intervalos “n”, solo puede ser múltiplo de 3.

MODELO MATEMÁTICO: Un depósito de agua semiesférico de 10 metros de radio se vacía mediante bombeo. Hallar el trabajo realizado cuando el nivel del agua desciende desde 2 a 4 metros por debajo de la cúspide del depósito. METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

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SOLUCIÓN: La sección transversal a x metros de la parte más alta del depósito, es un disco de radio:

r= √ 90−x 2 Luego su área es:

A ( x ) =π∗(90−x 2 ) Entonces:

b

W =∫ F (x )dx a

b

W =∫ m( x )∗g dx a

METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

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b

W =∫ ρ∗V (x )∗g dx a

π 1000∗9,8∗(¿ ¿ x∗(90−x 2 ))dx 4

W =∫ ¿ 2

4

W =∫ 9800∗π∗x∗( 90−x 2 ) dx [N∗m] 2

4

W =∫ 9,8∗π∗x∗( 90−x 2 ) dx [kN∗m] 2

Solución por Integral Definida (Valor verdadero) 4

W =∫ 9,8∗π∗x∗( 90−x 2 ) dx [kN∗m] 2

u = 90-x2 du = -2*x dx 4

u W =−9,8∗π∗∫ du[kN∗m] 2 2 u2 2

4

( ) [kN∗m]

W =−4,9∗π∗

2

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90−x 2 (¿ ¿2) 2 ¿ ¿ ¿2 ¿ ¿ W =−4,9∗π∗¿ 90−4 90−2 (¿ ¿2)2 2 (¿¿ 2)2 −¿ 2 ¿[kN∗m] W =−4,9∗π∗¿ W =−4,9∗π∗( 2738−3698 ) [kN∗m] W =−4,9∗π∗(−960 ) [kN∗m] W =14778.05184[kN∗m]

Solución: Regla Trapezoidal Simple Datos: a=2 b=4 h=4–2=2 f(x) = 9,8* π *x*(90-x2) Solución:

h W ≅ [f ( a )+ f (b)] 2 2 W ≅ [f ( 2 )+ f (4)] 2 f(2) = 5295.4685 f(4) = 9113.13197

W ≅[5295.4685+ 9113.13197] W ≅14408.60047

[kN.m]

Error relativo porcentual: METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

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Et =

14778.05184−14408.60047 ∗100 =2.5 14778.05184 Solución: Regla Trapezoidal Compuesta

Datos: a = x0 = 2 b = xn = 4 n=5

h=

4−2 =0,4 5

f(x) = 9,8* π *x*(90-x2) Solución: n−1

h W ≅ [f ( x 0 ) +2∗∑ f ( x k ) + f ( x n)] 2 k=1

W≅

0,4 [ f ( 2 ) +2∗(f ( 2,4 ) + f ( 2,8 )+ f ( 3,2 ) +f ( 3,6 ) )+f ( 4)] 2

f(2,0) = 5295.468577 f(2,4) = 6224.5154 f(2,8) = 7082.6276 f(3,2) = 7857.9828 f(3,6) = 8538.758355 f(4,0) = 9113.13197

W ≅ 0,2∗[5295.467+2∗( 29700.88 ) +9113.13197 ]

W ≅14762.07179

[kN.m]

Error relativo porcentual:

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Et =

14778.05184−14762.07179 ∗100 =0.11 14778.05184

Solución: Regla Simpson 1/3 Simple Datos: a=2 b=4

h=

4−2 =1 2

Solución:

h W ≅ [f ( x 0 ) + 4∗f (x 1 )+ f (x 2 )] 3 1 W ≅ [f ( 2 ) +4∗f ( 3 ) +f ( 4)] 3 f(2) = 5295.4686 f(3) = 7481.3889 f(4) = 9113.13197

1 W ≅ [5295.4686+ 4∗7481.3889+9113.13197 ] 3 W ≅14778.05186

[kN.m]

Error relativo porcentual:

Et =

14778.05184−14778.05186 ∗100 =0.00 14778.05184 Solución: Regla Simpson 1/3 Compuesta

Datos: a = x0 = 2 b = xn = 4 n=6

h=

4−2 1 = 6 3

f(x) = 9,8* π *x*(90-x2) Solución: METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

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f ( x i) + ¿ f (x n ) n−1

n−2

i=1

i=2

f ( x 0 ) + 4∗∑ f ( x i ) +2∗∑ ¿ h W≅ ¿ 3 1 W ≅ [f ( 2 ) +4∗( f ( 2,33 ) + f ( 3 )+ f (3,67) ) +2∗(f ( 2,67 ) + f ( 3,33 ) )+f (4)] 9 f(2,00) = 5295.467 f(2,33) = 6066.718 f(2,67) = 6812.246 f(3,00) = 7481.389 f(3,33) = 8090.1818 f(3,67) = 8647.2889 f(4,00) = 9113.13197

1 W ≅ ∗[5295.467+4∗( 22195.3959 ) +2∗( 14902.4278 )+ 9113.13197] 9 W ≅14777.22646

[kN.m]

Error relativo porcentual:

Et =

14778.05184−14777.22646 ∗100 =0.00 14778.05184 Solución: Regla Simpson 3/8 Simple

Datos: a = x0 = 2 b = x3 = 4

h=

4−2 2 = 3 3

f(x) = 9,8* π *x*(90-x2)

Solución:

METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

Página 16

W≅

3∗h [f ( x 0 ) +3∗f ( x 1 )+ 3∗f ( x 2) + f ( x 3 )] 8

1 W ≅ [f ( 2 )+ 3∗f ( 2,67 ) +3∗f (3,33)+ f (4 )] 4

f(2,00) = 5295.4685 f(2,67) = 6812.248 f(3,33) = 8090.18 f(4,00) = 9113.13197

1 W ≅ [5295.4685+3∗6812.248+3∗8090.18+9113.13197 ] 4 W ≅14778.97

[kN.m]

Error relativo porcentual:

Et =

14778.05184−14778.97 ∗100 =0.00 14778.05184

Solución: Regla Simpson 3/8 Compuesta Datos: a = x0 = 2 b = xn = 4 n=6

h=

4−2 1 = 6 3

f(x) = 9,8* π *x*(100-x2) Solución: n−3

f ( x i ) +2∗∑ f (x i )+ ¿ f (x n ) i =3 n−2

n−1

f ( x 0 ) +3∗∑ f ( x i ) +3∗∑ ¿ i=1

i=2

3∗h W≅ ¿ 8

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1 W ≅ [f ( 2 ) +3∗( f ( 2,33 ) + f (3,33 ) )+ 3∗( f ( 2,67 ) + f ( 3,67 ) ) +2∗( f ( 3 ) ) + f (4)] 8

f(2,00) = 5295.468577 f(2,33) = 6066.7185 f(2,67) = 6812.2458 f(3,00) = 7481.3887 f(3,33) = 8090.181 f(3,67) = 8647.288 f(4,00) = 9113.13197

1 W ≅ ∗[5295.468577+ 3∗( 6812.2458 )+3∗( 8647.288 ) +2∗( 7481.3887 ) +9113.13197 ] 8 W ≅14778.05184

[kN.m]

Error relativo porcentual:

Et =

14778.05184−14778.05184 ∗100 =0.00 14778.05184

ALGORITMO COMPUTACIONAL: Función function y=f(x) y=9.8*pi*x*(90-(x^2)); end

Trapecio Simple function int=trapsim(f,a,b) %Variables de entrada: %f:función a integrar %a, b son los límites de integración int=((b-a)/2)*(feval(f,a)+feval(f,b)); end

Resultado >> int=trapsim('f',2,4) int = 1.4409e+04

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Trapecio Compuesto function int=trapcom(f,a,b,n) %Variables de entrada: %f:función a integrar %a, b son los límites de integración %n: numero de subtervalos % ============================ h=(b-a)/n; %crear al vector de coordenadas x for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; end s=0; for j=2:n s=s+feval(f,x(j)); end int=(h/2)*(feval(f,a)+2*s+feval(f,b));

Resultado >> trapcom('f',2,4,5) ans = 1.4763e+04

end

Simpson 1/3 Simple function int=simp1_3(f,a,b) %Variables de entrada: %f:función a integrar %a, b son los límites de integración h=(b-a)/2; x1=a+h; int=h/3*(feval(f,a)+4*feval(f,x1)+feval(f,b)); end

Resultado >> int=simp1_3('f',2,4) int = 1.4778e+04

Simpson 1/3 Compuesto function int=simpcom(f,a,b,n) % Variables de entrada: % f: función a integrar % a,b son los límites de integración % n: número se sub intervalos %==================== h=(b-a)/n; % Generamos el vector k; es decir las coordenadas de x. for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; end % Realizamos las sumatorias % Pares: s=0; for j=2:2:n s=s+feval(f,x(j)); end % Impares s1=0; for j=3:2:n-1 s1=s1+feval(f,x(j)); end % Hallando la integral int=(h/3)*(feval(f,a)+4*s+2*s1+feval(f,b)); end

METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

Resultado >> int=simpcom('f',2,4 ,6) int = 1.4778e+04

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Simpson 3/8 Simple

Resultado

function int=simp3_8(f,a,b) %Variables de entrada: % f:función a integrar % a, b son los límites de integración h=(b-a)/3; x2=a+h; x3=a+2*h; int=((3*h)/8)*(feval(f,a) +3*feval(f,x2)+3*feval(f,x3)+feval(f,b)); end

>> int=simp3_8('f',2,4) int = 1.4778e+04

Simpson 3/8 Compuesto

Resultado

function int=simpcomp3_8(f,a,b,n) %variables de entrada:f,a,b,n h=(b-a)/n; % Generamos el vector k; es decir las coordenadas de x. for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; end % Realizamos las sumatorias % primera suma s=0; for j=2:3:n-1 s=s+feval(f,x(j)); end %segunda suma s1=0; for j=3:3:n s1=s1+feval(f,x(j)); end %tercera suma s2=0; for j=4:3:n-2 s2=s2+feval(f,x(j)); end % Hallando la integral int=((3*h)/8)*(feval(f,a)+3*s+3*s1+3*s2+feval(f,b)); end

>> int=simpcomp3_8(' f',2,4,6) int = 1.5713e+04

RESULTADOS: -

Los resultados del trabajo realizado por los distintos métodos se muestran en la siguiente tabla:

Integral Por Integral Definida (Valor Verdadero)

14778.05184

Regla Trapezoidal Simple

14408.60047

Regla Trapezoidal Compuesta

Resultados

14762.07179

Regla Simpson 1/3 Simple

14778.05186

Regla Simpson 1/3 Compuesta

14777.22646

METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

Página 20

14778.97

Regla Simpson 3/8 Simple

14778.05184

Regla Simpson 3/8 Compuesta

-

Los errores relativos porcentuales obtenidos en cada método, se muestran a continuación.

Integral Por Integral Definida (Valor Verdadero) Regla Trapezoidal Simple Regla Trapezoidal Compuesta Regla Simpson 1/3 Simple Regla Simpson 1/3 Compuesta Regla Simpson 3/8 Simple Regla Simpson 3/8 Compuesta

Error Relativo Porcentual 0.00% 2.5% 0.11% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00%

CONCLUSIONES: -

La regla Trapezoidal Simple presenta un error relativo porcentual de 2.5% La regla Trapezoidal Compuesta presenta un error relativo porcentual de

-

0.11%. Las reglas de Simpson 1/3 y Simpson 3/8, tanto simple como compuestas,

-

presentan un error del 0.00%. Las reglas de Simpson son más exactas que la Trapezoidal, debido a que presenta menor error.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 

TareaPlus (2012). Trabajo Vaciado de Tanques. [En línea] Recuperado el 23 de noviembre de 2015, de https://www.youtube.com/watch?v=ds3r3B6j99U



Zaballa, I. (s.f.). Prácticas de Ampliación de Métodos Numéricos con Matlab. [En

línea]

Recuperado

el

24

de

noviembre

de

2015,

de

http://www.ehu.eus/izaballa/Ana_Matr/Matlab/practicas.pdf

METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

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

Chapra (s.f.). Métodos Numéricos para Ingenieros (quinta edición). Mexico: Interamericana.

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