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Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas. Academia de Matemáticas Aplicadas “Métodos Numéricos” Proyecto 1.11: “Polinomio de LaGrange” Integrantes: García Guzmán Mariana Gutiérrez Vega Ana Karen Pérez Pérez Claudia

Profesora: Vázquez Camarillo Grecia Elizabeth Grupo: 2IM46

Ciudad de México a 28 de Septiembre de 2016

Descripción del Método: La interpolación de LaGrange es una de las interpolaciones más útiles en integración numérica, ésta consiste en una representación de polinomios de la función, a considerar. Suponga que se dan n+1 puntos como: x0 f(x0)

x1 f(x1)

…… ……

xn f(xn)

Donde x0 , x1 … son las abscisas de los puntos dados en orden creciente, los espacios entre los puntos son arbitrarios. Por otro lado, de manera general podemos definir al polinomio como: Pn(X)=∑𝑛𝑘=0 𝑃𝑘 (𝑋 )𝑓(𝑥𝑘 ) El cuál es la suma de los valores ponderados de la función en los puntos n+1. Los valores Pk(X) son las funciones polinomiales de grado n correspondientes a cada punto. La ecuación anterior es en realidad una combinación lineal de los polinomios de grado n, por lo tanto Pn(X) es también un polinomio de grado n. Para encontrar los coeficientes, hay que establecer y resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas que resultan de cada observación, lo que finalmente da, para el polinomio de LaGrange de orden n:

La ecuación anterior parece complicada, pero en realidad no es tan difícil, incluso la memorización. Hablando en General el polinomio de LaGrange se resume a una multiplicatoria que abarca diferentes puntos entre los cuales nos arrojará un valor deseado entre los mismos, resumido por la siguiente fórmula: La fórmula general del polinomio li(x) es:

Algoritmo de Solución: Cuando hablamos de LaGrange nos encontramos con una tabla de X número de datos por Y características del mismo. El problema nos indicará cuántos puntos hemos de considerar para interpolar, pueden ir desde 2 hasta “n”, así mismo estos datos los tomaremos de nuestra tabla indicada en cada problema, por lo cual nos referiremos a una tabla de datos XY en el siguiente esquema de resolución.

Ubicar cuantos puntos nos pide utilizar el problema. (El orden de nuestro polinomio es igual al numero de puntos requeridos -1, es decir, si nuestro problema pide usar 5 puntos nuestro polinomio será de orden 4) De acuerdo a los puntos que se requieran, hallar en la tabla los más cercanos a la X que se nos solicite. Por ejemplo, si se nos solicitan 4 puntos en una recta númerica de 1 en 1 cercanos a 5, podemos utilizar dos a la derecha (6 y 7) y dos a la izquierda (3 y 4). Una vez tomados los valores más cercanos a nuestra X solicitada, tomar sus valores correspondientes de Y, los cuales llamaremos f(x) y nos serviran para evualuar nuestro polinomio en la forma general (dependiendo el grado/orden del mismo) Aplicar el desarrollo de acuerdo a la fórmula general y al grado de nuestro polinomio y así obtener nuestras "ln(X)"

Una vez obtenidas nuestras ln(x), debemos multiplicarlas por sus respectivos valores de Y ó [f(x)] y hacer la sumatoria de las mismas multiplicatorias, como lo expresamos: p(x)= l0(x)f(x0)+ l1(X)f(X1)+ l2(X)f(X2)...ln(X)f(xn)

Una vez resuelta la multiplicatoria de nuestro polinomio, podemos decir que hemos hallado el valor de Y ó f(x) de la X que se nos solicitaba en un principio.

Fin

Bibliografía: “Problemario de Métodos Numéricos” Elaborado: Prof. Grecia E. Vázquez Camarillo y Prof. Rogelio Márquez Nuño, Enero 2016. ESIQIE, IPN. Págs.: 68-69. “Apuntes del curso Métodos Numéricos con la Profa.: Grecia E. Vázquez Camarillo”, Semestre 17/1, Septiembre 2016. ESIQIE, IPN. http://www.uv.es/~diaz/mn/node38.html http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/polilibros/p_terminados/MetNum-Garzo/42.html