• Author / Uploaded
• eduardo franco ortega urdanivia

Citation preview

1)Encontrar la solución de la siguiente ecuación diferencial por el método de Lagrange.

2𝑦 = 𝑥𝑦′ + 𝑦′ln(𝑦′)

𝑦 = 𝑥

𝑦′ = 𝑃

𝑦′ 𝑦′ln(𝑦′) + 2 2

𝑦 = 𝑥

𝑃 𝑃ln(𝑃) + 2 2

Derivamos

𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 𝑃𝑑𝑥 = 2

𝑃 1 1 𝑃1 + 𝑥 𝑑𝑝 + 𝑑𝑝ln(𝑃) + 𝑑𝑝 2 2 2 2𝑃 𝑃 𝑥 ln(𝑃) 𝑑𝑝 𝑑𝑥 + 𝑑𝑝 + 𝑑𝑝 + 2 2 2 2

𝑃𝑑𝑥 𝑃 𝑥 ln(𝑃) 𝑑𝑝 − 𝑑𝑥 = 𝑑𝑝 + 𝑑𝑝 + 2 2 2 2 2 𝑃𝑑𝑥 𝑥 ln(𝑃) 1 = ( + + ) 𝑑𝑝 2 2 2 2 𝑃 𝑑𝑥 𝑥 ln(𝑃) 1 = + + 2 𝑑𝑝 2 2 2

2

Multiplicamos por 𝑃

𝑑𝑥 2 𝑥 2 ln(𝑃) 2 1 = + + 𝑑𝑝 𝑃2 𝑃 2 𝑃2 𝑑𝑥 𝑥 ln(𝑃) 1 − = + 𝑑𝑝 𝑃 𝑃 𝑃

Toma la forma de una ecuación diferencial lineal y aplicamos la formula 𝑦 = 𝑒 −∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 [∫ 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐] 1

1

𝑥 = 𝑒 − ∫ −−𝑃𝑑𝑝 [∫ 𝑒 ∫ −−𝑃𝑑𝑝 ( 𝑥 = 𝑒 ln(𝑝) [∫ 𝑒 − ln(𝑝) (

ln(𝑃) 1 + 𝑑𝑝) + 𝑐] 𝑃 𝑃

ln(𝑃) 1 + ) 𝑑𝑝 + 𝑐] 𝑃 𝑃

𝑑𝑦 = 𝑃𝑑𝑥

𝑥 = 𝑃 [∫ 𝑃−1 ( 𝑥 = 𝑃 [(∫

ln(𝑃) 1 𝑑𝑝 + 𝑑𝑝) + 𝑐] 𝑃 𝑃

ln(𝑃) 1 𝑑𝑝 + ∫ 𝑑𝑝) + 𝑐] 𝑃2 𝑃2

En la primera integral:

∫

ln(𝑃) 𝑑𝑝 𝑃2

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 𝑢 = ln(𝑃) 𝑑𝑢 =

𝑑𝑣 =

𝑑𝑃 𝑃

𝑑𝑝 𝑝2

∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑝−2 𝑑𝑝 𝑣=

∫ ln(𝑃)

𝑝−1 −1

ln(𝑃) 𝑑𝑝 𝑃2

−1 1 𝑑𝑝 −∫ − 𝑃 ´𝑃 𝑃

ln(𝑃)

−1 + ∫ 𝑝−2 𝑑𝑝 𝑃

ln(𝑃)

−1 𝑃−1 + 𝑃 −1

−ln(𝑃)

1 − 𝑃−1 𝑃

Reemplazamos

𝑥 = 𝑃 [(∫

ln(𝑃) 1 𝑑𝑝 + ∫ 2 𝑑𝑝) + 𝑐] 2 𝑃 𝑃

1 1 1 𝑥 = 𝑃 [− ln(𝑃) ( ) − − + 𝑐] 𝑃 𝑃 𝑃 𝑥 = − ln(𝑃) − 2 + 𝑐𝑃 𝑃2 𝐶 𝑦 = −𝑃 2

1

−> 𝑣 = − 𝑝

2) Encontrar la solución de la siguiente ecuación diferencial.

𝑦 = 𝑥(1 + 𝑦′) + (𝑦′)2 𝑦′ = 𝑃 𝑦 = 𝑥(1 + 𝑃) + (𝑃)2

Diferenciando

𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑝 + (1 + 𝑝)𝑑𝑥 + 2𝑝𝑑𝑝 𝑝𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑝 + (1 + 𝑝)𝑑𝑥 + 2𝑝𝑑𝑝 0 = 𝑥𝑑𝑝 + 𝑑𝑥 + 2𝑝𝑑𝑝 𝑑𝑥 + 𝑥 = −2𝑝 𝑑𝑝

Toma la forma de una ecuación lineal usamos la formula

𝑦 = 𝑒 −∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 [∫ 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐] 𝑥 = 𝑒 −∫ 𝑑𝑝 [∫ 𝑒 ∫ 𝑑𝑝 (−2𝑝)𝑑𝑝 + 𝑐] 𝑥 = 𝑒 −𝑝 [2∫ 𝑒 𝑝 𝑝𝑑𝑝 + 𝑐]

Integramos por partes

𝑢 = 𝑝 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑝 𝑣 = ∫ 𝑒 𝑝 𝑑𝑝 = 𝑒 𝑝 𝑥 = 𝑒 −𝑝 [2𝑝𝑒 𝑝 − 2∫ 𝑒 𝑝 𝑑𝑝 + 𝑐] 𝑥 = 𝑒 −𝑝 [2𝑝𝑒 𝑝 − 2𝑒 𝑝 + 𝑐] 𝑥 = 2𝑝 − 2 + 𝑐𝑒 −𝑝 𝑦 = 2(1 − 𝑝) + 𝑐𝑒 −𝑝 (1 + 𝑝) + 𝑝2

𝑑𝑦 = 𝑃𝑑𝑥

3) Resolver la ecuación diferencial

y ''  2 y ' y 

ex 2x

La ecuación lineal homogénea asociada a la no homogénea dada es

y ''  2 y ' y  0

Ecuación característica: r 2  2 r  1  0 → r1  r 2  1 → y h  C1 e x  C 2 x e x Proponemos

y p  C 1 ( x ) e x  C 2 ( x) x e x

Planteamos el sistema

 C 1' e x  C ´'2 x e x  0  ex  ' x ' x x C e  C ( e  x e )  2  1 2x 

' ' Resolviéndolo obtenemos C1 ( x )   12 , C 2 ( x)  21x

De donde

C1 ( x ) 

C 2 ( x) 

   2  dx  1



1

1

2x K1   x 2 0

1 1 dx  ln x   K 2  ln 2x 2

x

0

Las constantes K1 y K 2 se consideran nulas porque buscamos una solución particular. Luego una solución particular de la ecuación lineal no homogénea es:

1

y p   2 x e x  ( ln

x ) x ex

y la solución general de la ecuación dada es: 1

y  y h  y p  C1 e x  C 2 x e x  2 x e x  ( ln

4)Sea la ecuación

dy/dx -y = x

En este ejercicio

P = 1; Q = x.

Consideraremos la ecuación incompleta:

dy/dx -y = 0 du/dx-u = 0 du = - u. dx

u

du





  dx

ln u = - x + C

que podemos considerar

C=0

u = e-X

(solución particular) haciendo y=u. v dy / dx = u . (dv /dx) u . (dv/dx)

+

+

v . (du /dx)

v . (du/dx) + u . v = x

x ) x ex

luego

u. (dv/dx) + v.((du/dx) +u )= x du/dx +u= 0 u. dv/dx = x dv = x/u. dx = x/ e- x. dx dv = x. e x. dx

integrando

dv =  x. ex. dx  v =  x. ex. dx + C

reemplazando u y v por los valores obtenidos será:

y = e-x [  x. ex. dx + C] 

 x. ex. dx = ex (x - 1) + C

y = e-x [ ex (x - 1) + C] = (x - 1) + e-x. C

5) Resolver la ecuación diferencial de Lagrange.

𝑦 = 𝑥 (𝑦’)2 + (𝑦’)2

Para ello hacemos 𝑦’ = 𝑝 , entonces tenemos: 𝑦 = 𝑥 𝑝2 + 𝑝2

Derivamos la ecuación respecto a x:

𝑝 = 𝑝2 + [2𝑥𝑝 + 2𝑝]

𝑑𝑝 𝑑𝑥

que puede ser expresada en forma de ecuación diferencial. lineal:

𝑑𝑥 2𝑝 2 − 𝑥 = 𝑑𝑝 𝑝 − 𝑝2 1−𝑝 𝑥 = −1 +

𝐶2 (𝑝 − 1)2

Ahora para hallar la solución general de la ecuación diferencial de Lagrange, eliminamos p, entre las dos ecuaciones en p:

𝑦 = 𝑥𝑝2 + 𝑝2 𝐶 2 } −> 𝑦 = (𝐶 + √𝑥 + 1)2 𝑥 = −1 + (𝑝 − 1)2

Aplicaciones de las ecuaciones de Lagrange

Tenemos el siguiente péndulo simple. Hallar las ecuaciones que lo describen.

𝐿 = 𝑇− 𝑉 𝜕 𝜕𝐿 𝜕𝐿 − = 0 𝜕𝑡 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2

𝑇 =

1 2 −2 𝑚𝑙 𝜃 2

𝑉 = −𝑚𝑔𝑙cos(𝜃) 𝐿 =

𝜕𝐿 .

𝜕𝜃

1 𝑚𝑙 2 𝜃 −2 2

+ 𝑚𝑔𝑙cos(𝜃)

.

𝜕𝐿

= 𝑚𝑙 2 𝜃

.

𝜕𝜃

= −𝑚𝑔𝑙sin(𝜃)

.. 𝜕 𝜕𝐿 . = 𝑚𝑙 2 𝜃 𝜕𝑡 𝜕𝜃 ..

𝑚𝑙 2 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙sin(𝜃) = 0 ..

𝜃 +

𝑔 sin(𝜃) = 0 𝑙

2)Encontrar las ecuaciones de la Maquina de Atwood.

𝐿 = 𝑇− 𝑉 𝜕 𝜕𝐿 𝜕𝐿 − = 0 𝜕𝑡 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2

𝑇 =

1 1 . . 𝑚1 𝑥 2 + 𝑚2 𝑥 2 2 2

𝑉 = −𝑚1 𝑔𝑥 + 𝑚2 𝑔(𝑙 − 𝑥) 𝐿 =

1 1 . . 𝑚1 𝑥 2 + 𝑚2 𝑥 2 + 𝑚1 𝑔𝑥 + 𝑚2 𝑔(𝑙 − 𝑥) 2 2

𝜕𝐿 . . . = 𝑚1 𝑥 + 𝑚2 𝑥 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝐿 .. .. .. . = 𝑚1 𝑥 + 𝑚2 𝑥 = 𝑥 ( 𝑚1 + 𝑚2 ) 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝐿 . = 𝑚1 𝑔 − 𝑚2 𝑔 = 𝑔( 𝑚1 − 𝑚2 ) 𝜕𝑥 ..

𝑥 ( 𝑚1 + 𝑚2 ) − 𝑔(𝑚1 + 𝑚2 ) = 0 ..

𝑥 =

𝑔( 𝑚1 − 𝑚2 ) 𝑚1 + 𝑚2