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• Angel Pendragon Lara

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Practica Nº 5 Método de la secante Métodos Numéricos Bermúdez Mosiño Karen Margoth Lara Hernández Angel Morales Cerrillo Ricardo Daniel Talavera Hernández Paul Eduardo Grupo: 2SM1 12 de marzo de 2012

RESUMEN En esta práctica estudiaremos el método de interpolación de lagrange para polinomios, además de su, funcionamiento, implementación, ventajas y desventajas.

INTRODUCCIÓN La interpolación de Lagrange es el método más explícito para probar existencia de solución a un conjunto de puntos, ya que la construye. Sin embargo su utilidad se reduce a dar una respuesta formal y razonada, pues no es eficiente en términos de cálculo (requiere muchas operaciones y tiene limitaciones técnicas). Para calcular el polinomio interpolador P(x) asociado a una tabla de datos con = podemos plantearnos una simplificación previa: ¿qué ocurre si construimos polinomios grado que valgan 1 en el nodo y 0 en el resto?

de

Es inmediato que con esto se resuelve el problema original, tomando la suma de esos ∑ polinomios de grado n: . ¿Es posible encontrar tales ? Si damos el polinomio factorizado para que tenga en cada nodo una raíz, el candidato es:

Lo único que no conseguimos es que en = 1, para ello hay que “normalizar” la función anterior. Así, finalmente la fórmula de interpolación de Lagrange es:

Los polinomios

reciben el nombre de polinomios de Lagrange.

En este método suele presentarse el fenómeno de Runge; si estamos aproximando curvas por polinomios que ajusten ciertos datos podríamos pensar que cuanto más aumentemos el grado de los polinomios involucrados, mejor se aproximarán a la curva original. Esto no siempre es así, incluso para curvas “sencillas”. Por ejemplo, si tenemos la curva definida de modo implícito por

, su gráfica es:

Si tomamos los cuatro puntos que están marcados en el dibujo y los valores dados por las primeras coordenadas de esos puntos (-5, -5/3, 5/3, 5), podemos pensar que si aproximamos esos datos por polinomios, obtendremos algo similar a la gráfica de la función. Sin embargo, el resultado se muestra en la siguiente grafica:

•La gráfica roja es la original. •La gráfica verde es la del polinomio interpolador utilizando 4 puntos. Si utilizamos más puntos de la gráfica de la función, el resultado no mejora:

•La gráfica roja es la original. •La gráfica azul es la del polinomio interpolador utilizando 9 puntos. Es importante tener en cuenta este fenómeno, recordando que la interpolación de Lagrange nos da como resultado un polinomio aproximado a los puntos que tomamos como muestra, es decir, es seguro encontrar los puntos base dentro del polinomio de Lagrange, pero otros puntos pueden o no estar dentro de este polinomio.

ACTIVIDADES REALIZADAS 1.-Construye en Scilab la función que implemente el algoritmo del polinomio nterpolador de lagrange, cuyos valores de entrada serán los vectores de puntos , y el valor de salida será el polinomio de Lagrange.

//definimos el conjunto de puntos en x=[...] y las imagenes de estos puntos en y=[...] function[P]=lagrange(X,Y)//p = polinomio de lagrange para un grupo de puntos dados. n=length(X);//numero de nodos. el grado del polinomio sera a lo mas n-1 x=poly(0,"x");P=0; for i=1:n, L=1; for j=[1:i-1,i+1:n] L=L*(x-X(j))/(X(i)-X(j));end P=P+L*Y(i); End endfunction

2.-Utilizando la función lagrange, halla el polinomio que pasa por los siguientes puntos: Grafica el polinomio junto con todos los datos y verifica que, en efecto, el polinomio pasa por todos ellos.

En la grafica, la linea roja representa el polinomio de Lagrange para los puntos dados,mientras que la linea azul punteada representa los puntos dados unidos mediante lineas rectas.

3.-Ahora estudiaremos las estimaciones realizadas mediante el polinomio de Lagrange, para ello consideremos la función: Halla las imágenes de los puntos . Utilizando los puntos y sus imágenes construye el polinomio interpolador de Lagrange .

Calcula el error relativo de

¿Cuál creen que sea la razón de este error?

error x L(x) relativo 2.5 3.3360479 0 3.5 2.8018639 0.190653086 4.5 2.2925974 0.222135164 R=el error puede deberse a la cercanía que tienen los puntos con la grafica del polinomio de Lagrange. Calcula el error relativo de son mayores?

. ¿Por qué creen que los errores en estos puntos

error L(x) relativo 0 4.1233496 0 6 1.7944752 1.2978025 10 4.4120596 0.593279474 R=puede deberse a la lejanía que tienen estos puntos con la grafica del polinomio de Lagrange, ya que la grafica pasa por los puntos 2, 3, 4 y 5; la grafica no cruza estos 3 puntos. x

4.-Halla el polinomio de Lagrange para el siguiente conjunto de datos Observen que los puntos son colineales, ¿cuál es el comportamiento del polinomio de Lagrange?, ¿de qué grado es?

R=es de grado 1, es una línea recta. Halla el polinomio de Lagrange para el siguiente conjunto de datos Aunque los puntos no son colineales, el polinomio de Lagrange no es de grado 4 como se esperaría, ¿por qué?

R=por la localización de los puntos dados.

Finalmente, ¿existe el polinomio de Lagrange para el siguiente conjunto de datos?, ¿por qué?

R=resulta una división entre cero, además de que en los puntos dados una x tiene 2 valores en y, para que sea función cada x tiene que tener un valor en y, además de que una misma x no puede tener 2 valores en y.

CONCLUSIONES El método de interpolación de Lagrange puede ser útil para encontrar una función que pase por un grupo de puntos dados, y tener valores aceptables para el rango de estos puntos, pero a su vez la función encontrada puede dar un resultado totalmente diferente a lo esperado debido al fenómeno de Runge, esta también es la explicación al margen de error obtenido en ciertos puntos para la función de Lagrange, podríamos interpretar el error como la distancia del punto a la grafica del polinomio de Lagrange, es decir que tan cerca o que tan lejos puede estar este punto y que tan confiable es este valor para utilizarlo en otras aplicaciones.

REFERENCIAS Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2010). Métodos Numéricos para Ingenieros. Mc Graw Hill. Kaw, A. (sf). Recuperado el 19 de diciembre de 2011, de Holistic Numerical Methods: http://numericalmethods.eng.usf.edu/ Aplicada, G. d. (s.f.). Universidad Rey Juancarlos. Recuperado el 13 de marzo de 2012, de Escuela Superior de Ciencias Experimentales y Tecnología: http://www.escet.urjc.es/~matemati/tg/interpolacion.pdf Autar Kaw, M. K. (23 de diciembre de 2009). numericalmethods.eng.usf.edu. Recuperado el 12 de marzo de 2012, de http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/gen/05inp/mws_gen_inp_txt_lagrange.pdf matemáticas, d. d. (s.f.). Universidad de Huelva. Recuperado el 13 de marzo de 2012, de http://www.uhu.es/03006/ficheros/Temas/forcal3.pdf