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Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Proyecto de matemática Intermedia 3 Fernando Amilcar Arévalo Morán 2011-14156 José Manuel Pérez Arredondo 2011-14025

PROBLEMA No.1 LEy de Torricelli. Si perforamos un agujero en un cubo lleno de agua, el liquido sale con razon decamnio del volumen es proporcional a la raiz cuadrada de la altura del liquido. La ecuación de la razón de cambio dada en la forma 3.2.11 sutge del principio de Bernnoulli 1 2

de

hidrodinámica

que

establece

que

la

cantidad

P

+

pv2 + pgh es una constante. Aquí p es la presión , p es la densidad del fluido,

v es la velocidad y g es la aceleración de la gravedad. Vomprobando la parte superior del fluido, a la altura h, con el fluido en el agujero tenemos que :

P(parte superior) +

1 2

pv2 Hparte superiorL + pgh = Pagujero +

1 2

pv2 agujero + pg * 0.

si la presión en la parte superior y en el fondo son las dos igual a la prsión atmosferica y el radio del agujero es mucho menor que el radio del cubo, entonces P(superior) = P(agujero) y V(parte superior) =0, por lo que pgh = 1  2 pv2 (agujero) conduce a la ley de Torricelli: V =

2 gh . Puesto que

âv ât

= -A(agujero) * V, tenemops la ecuación diferencial.

En este problema, vemos una comparación de la ecuación diferencial de Torricelli con los datos reales. a) Si el agua está a una altura h, podemos emncontrar el volumen de agua en el cubo usando la fórmula.

V HhL =

Π 3m

AHmh + RB L3 - HRB L3 E

en la que m = (RT -RB )/H. Aqui RT y RB denotan radio superior y del fondo del cubo, respectivamente y H denota la altura del cubo. Tomando esta formula como dadam se deriva para encontra una relacion entre las razones

âv ât

y

âh ât

.

*PROCEDEMOS A DERIVAR RESPECTO DE t LA ECUACION ANTERIOR

v =

Π

3 HHRT - RB L  HL

B

HRT - RB L h H

3

+ RB

- HRB L3 F

AHORA NOS PODEMOS DAR CUENTA QUE SOLO h es variable y lo demás es constante.

âv ât

=

Π

3 HHRT - RB L  HL

B3

HRT - RB L h H

2

+ RB

*

HRT - RB L H

*

âh ât

+ 0 - 0F

SIMPLIFICANDO NOS QUEDA

âv ât

= ΠB

HRT - RB L h H

2

+ RB

F

âh ât

b) Use la expresión deducida en el inciso a) para encontrar una ecuación diferencial para h(t), (es decir tendría una variable independiente t, una variable dependiente h y las constantes de la ecuación.

2

proyecto inter 3.nb

b) Use la expresión deducida en el inciso a) para encontrar una ecuación diferencial para h(t), (es decir tendría una variable independiente t, una variable dependiente h y las constantes de la ecuación. AHORA PARA ENCONTRAR LA ECUACION DIFERENCIAL SUSTITUIMOS EL

-Π HRB L2

HRT - RB L h

2 gh = ΠB

H

2

+ RB

F

âv ât

âh ât

CANCELANDO Π

-HRB L2

HRT - RB L h

2 gh = B

H

2

+ RB

F

âh ât

c) resuelva la ecuación diferncial usando separación de variables. Es relativamente directo determinar al tiempo como una función de la altura, pero despejar la altura como una función del tiempo puede ser dificil.

âh ât

=

-HRB L2

2 gh

BL h BI HRT -R + RB M F H

2

BL h BI HRT -R + RB M F H

2

âh = -HRB L2 ât

2 gh B

BL h I HRT -R M H

BL h 2 I HRT -R M HRB L H

2

+

2 gh

+

HRB L2

2 gh

F âh = -HRB L2 ât

2 gh

INTEGRANDO AMBOS LADOS

á B

á

BL h I HRT -R M H

2

+

BL h 2 I HRT -R M HRB L H

2 gh

BL h I HRT -R M H

2 gh

I HRT H-RB L M 2g

2

à

HRB L2

2 gh 2

âh + à

h2

2 gh

BL h 2 I HRT -R M HRB L H

2 gh

F âh = à -HRB L2 ât

âh + à

HRB L2 2 gh

âh = à -HRB L2 ât

âh +

h

2 I HRT H-RB L M HRB L 2g

+

à

h h

âh +

HRB L2 2g

à

1 h

âh = à -HRB L2 ât

proyecto inter 3.nb

3

I HRT H-RB L M

2

2

*

B

2g

+

2 I HRT H-RB L M HRB L

5

2g 1

2 HhL 5

2

*

3

2g

2

HRT - RB L

5

H

2

HhL 5 + 2

-HRB L HtL + C

2 HhL 3

4

HRT - RB L

3

H

+

HRB L2

*2

h = -HRB L2 HtL + C

2g HRB L HhL 3 + 2

2 HRB L2

HhL 2 F = 1

2g

2

C=

1 2g

B

2

HRT - RB L

5

H

HRB L2 HtL

2

HhL 5 + 2

4

HRT - RB L

3

H

HRB L HhL 3 + 2

2 HRB L2 2g

HhL 2 F + 1