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Universidad Latina de Costa Rica Bachiller Ingeniería en Sistemas Computacionales Profesor: José Antonio Otárola

Trabajo Final Ecuaciones Diferenciales

Estudiante: Hersann Fonseca Quirós Andrés Cartin Montero Kenneth Chacón Villalobos Jimmy González Núñez

Tabla de Contenidos Justificación Marco Teórico  Transformada de la Place  Importancia y aplicación de la transformada de Laplace en la

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ingeniería  Herramienta Utilizada para el desarrollo de La Transformada de

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Laplace: Matlab  MATLAB  Comandos Utilizados para el desarrollo de la Transformada de

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Laplace en Matlab Desarrollo de Ejercicios  Ejemplo 1  Ejemplo2 Transformada de Laplace Inversa  Ejemplo 3 Ejercicios para resolver  Ejemplo 1  Ejemplo 2 Conclusiones Bibliografía

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Justificación Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab Las aplicaciones de la Transformada de Laplace, aparecen comúnmente en tratados sobre solución de ecuaciones diferenciales. Un campo específico de aplicación es el cálculo de valores tales como corrientes, voltajes y otros factores en redes eléctricas, cuando estos varían en el tiempo. Tales aplicaciones son brevemente presentadas en libros dedicados a los circuitos eléctricos. La importancia de este proyecto radica en que en él se hallará de una manera ilustrada con ejemplos, las aplicaciones del tema mostrando la importancia de éstos tópicos en la formación del ingeniero y cómo los temas tratados en el curso de Matemática IV tienen amplias aplicaciones. Para lograr un fácil manejo de la resolución de cualquier transformada de Laplace, en cualquier campo de la ingeniería, daremos a conocer una herramienta y su funcionamiento para lograr tener un entendimiento de la misma de una manera eficaz. Y además proporcionar a nuestros compañeros del curso una alternativa de resolución a este tipo de problemas matemáticas, en cualquier campo que se desarrolle y se tenga de por medio una Transformada de Laplace.

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Marco Trabajo deTeórico Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab La investigación tiene como objetivo disminuir la complejidad de solución de cualquier ejercicio que esté presente la Transformada de Laplace. Con ello vamos a dar a conocer la herramienta informática llamada Matlab, la cual nos permite desarrollar cualquier ejercicio involucrado con el tema central, ya sea en el campo de la electrónica, en el manejo de control digital entre otras áreas de la ingeniería. Se utilizara Matlab para desarrollar transformada de Laplace y su inversa, ejecutando una serie de comandos para llegar a tener el resultado final, al igual como si hubiéramos realizado con dicho desarrollo matemático visto en clases. Primeramente vamos a dar a conocer aspectos teóricos, que debemos a dar conocer, antes de entrar a desarrollar ejercicios en Matlab. Luego de tener esos conocimientos, vamos a pasar a explicar de qué trata la herramienta Matlab, y por ultimo vamos a desarrollar ejercicios matemáticos que nos piden que lo solucionemos utilizando la trasformada de la place, utilizando la herramienta Matlab.

Transformada de Laplace Ahora bien vamos a definir que es la transformada de Laplace, para adquirir su concepto y aplicarlo en desarrollo de la investigación. ¿Qué es la Transformada de Laplace? Es una técnica matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales, como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la Transformada de Mellin, entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable.

3 Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

 Definición de la Transformada de Laplace

 Principales Propiedades de la Transformada de Laplace a) La transformada de la place es Lineal

b) La transformada de una derivada

c) Transformada de una integral

Es importante conocer o bien entender las propiedades de Laplace descritas anteriormente, para posterior resolver ya sea por desarrollo matemático, o bien tener una noción de ellas mismas para poder desarrollar ejercicios en Matlab. A continuación vamos a dar a conocer para que se utiliza la Transformada de Laplace en el desarrollo de la ingeniería, los cuales la mayoría de oportunidades está presente.

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Importancia y aplicación de la transformada de Laplace en la ingeniería

Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

La transformada de Laplace se en la ingeniería de diferentes formas entre las cuales podemos mencionar varias de ellas tales como: El control de procesos que lo podemos aplicar por ejemplo: El ámbito doméstico (para controlar las temperaturas, humedad, en edificios), en la transportación (para controlar que los autos o aviones se muevan de un lugar a otro de forma segura y exacta), en la industria (para controlar un sin número de variables en los procesos). También en la ingeniería química tienen una gran importancia en control de procesos y en el estudio de la cinética de reacciones complejas, donde pueden existir sistemas de ecuaciones diferenciales fácilmente resolubles por Laplace. Y por último en otra área de la ingeniería donde la transformada de Laplace cumple un papel importante es en la ingeniería electrónica, donde se utiliza para el estudio de transistores para averiguar cuál es el escalón de tensión de un circuito dado, entre otros usos que se le da a este método matemático.

Herramienta Utilizada para el desarrollo de La Transformada de Laplace: Matlab Ya tenemos los conocimientos básicos acerca de la transformada de Laplace, ya conocemos el concepto, su fórmula general, sus propiedades, y además conocemos las aplicaciones de la misma en la ingeniería. Por lo que vamos a proceder a utilizar la herramienta Matlab para la solución de ejercicios que esté presente Laplace, esto con el objetivo de proporcionar a los ingenieros de

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cualquier área, el conocimiento acerca del uso de la herramienta y así contar con Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

una alternativa más de solución o de obtener conclusiones

MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") Es una herramienta de software matemático que ofrece un entorno de cálculo técnico de altas prestaciones para cálculo numérico y visualización, el cual su desarrollo está integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Está disponible para las plataformas Unix, Windows, Mac OS X y GNU/Linux.    

Análisis numérico Cálculo matricial Procesamiento de señales Gráficos

Utiliza un entorno fácil de usar, donde los problemas y las soluciones son expresados como se escriben matemáticamente, sin la programación tradicional. El nombre MATLAB proviene de ``MATrix LABoratory'' (Laboratorio de Matrices). MATLAB fue escrito originalmente para proporcionar un acceso sencillo al software matricial desarrollado por los proyectos LINPACK y EISPACK, que juntos representan lo más avanzado en programas de cálculo matricial. MATLAB es un sistema interactivo cuyo elemento básico de datos es una matriz que no requiere dimensionamiento. Esto permite resolver muchos problemas numéricos en una fracción del tiempo que llevaría hacerlo en lenguajes como C, BASIC o FORTRAN. MATLAB ha evolucionado en los últimos años a partir de la colaboración de muchos usuarios. En entornos universitarios se ha convertido en la herramienta de enseñanza estándar para cursos de introducción en álgebra lineal aplicada, así como cursos avanzados en otras áreas. En la industria, MATLAB se utiliza para investigación y para resolver problemas prácticos de ingeniería y matemáticas, con un gran énfasis en aplicaciones de control y procesamiento de señales. MATLAB también proporciona una serie de soluciones específicas denominadas TOOLBOXES. Estas son muy importantes para la mayoría de los usuarios de MATLAB y son conjuntos de funciones MATLAB que

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extienden el entorno MATLAB para resolver clases particulares de problemas Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

como:

    

Procesamiento de señales Diseño de sistemas de control Simulación de sistemas dinámicos Identificación de sistemas Redes neuronales y otros.

Probablemente la característica más importante de MATLAB es su capacidad de crecimiento. Esto permite convertir al usuario en un autor contribuyente, creando sus propias aplicaciones. En resumen, las prestaciones más importantes de MATLAB son:  Escritura del programa en lenguaje matemático.  Implementación de las matrices como elemento básico del lenguaje, lo que permite una gran reducción del código, al no necesitar implementar el cálculo matricial.  Implementación de aritmética compleja.  Un gran contenido de órdenes específicas, agrupadas en TOOLBOXES.  Posibilidad de ampliar y adaptar el lenguaje, mediantes ficheros de script y funciones .m.

Comandos Utilizados para el desarrollo de la Transformada de Laplace en Matlab  Definición de la Transformada de Laplace

7 Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

MATLAB, resuelve la transformada de Laplace, mediante el comando: Laplace Sintaxis:  laplace(F)  laplace(F,t) Nota: Donde t es el símbolo de la variable en f que viene determinada por el comando syms A continuación vamos a desarrollar dos ejemplos utilizando los comandos descritos anteriormente, y conforme avancemos en el desarrollo de los ejercicios, vamos a dar a conocer otros comandos y su rol que desempeña en la ejecución del ejercicio

Desarrollo de Ejercicios 1. Ejemplo: Calcular la transformada de la función, mediante MATLAB. a) Procedimiento: Introduzca los siguientes comandos:

 syms t  f  t.  4;  laplace  f   Nos devuelve: b)

24 / s  5

Escribiendo la el comando:

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 pretty  ans  

Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

Nos devuelve el resultado en formato matemático normal: 24 s5

2. Ejemplo: Calcular la transformada de la función MATLAB.

h  t   e  at

, mediante

1. Procedimiento: Introduzca los siguientes comandos:

 syms t  h  exp   a * t  ;  laplace  h   Nos devuelve:

1/  x  a 

2. Escribiendo la el comando:  pretty  ans  

Nos devuelve el resultado en formato matemático normal:

1 sa

Transformada de Laplace Inversa El comando ilaplace, calcula la transformada inversa de Laplace. 3. Ejemplo.- Calcular la transformada inversa de

f  1/ s  2

a) Procedimiento.- Introduzca los siguientes comandos:

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 syms s Trabajo Transformada de Laplace utilizando Matlab  f de 1/ Investigación: s.  2;  ilaplace  f   Nos devuelve:

t

Ejercicios para resolver Ya conocidos los conceptos de la transformada de Laplace y sus características y además de eso tener el conocimiento de la herramienta Matlab, y ejecutando los comandos requeridos para resolver Laplace, resuelva los siguientes ejercicios. g  t  1. Ejercicio: Calcular la transformada de la función

1 t

, mediante

MATLAB.

2. Calcular la transformada de la función

h  t   e  at

, mediante MATLAB.

10 Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

Conclusiones Como grupo de trabajo podemos tener la satisfacción de haber cumplido con el objetivo y solucionar el problema que se tenía con el planeamiento de la investigación desde un inicio, el cual era proporcionar una alternativa a los estudiantes de ingeniera, para resolver la transformada de Laplace de una manera más rápida y eficaz. Y además se tuvo como objetivo enseñar a los compañeros del curso, aspectos básicos de uso de la herramienta utilizada en la investigación, en este caso Matlab. Lo cual es una herramienta fácil de utilizar, y además de eso nos proporciona una infinidad de utilidades. Y finalmente logramos que el estudiante tuviese un mejor entendimiento de la aplicación matemática de la Transformada de Laplace, y además de eso dejamos claro las diferentes aplicaciones de la ingeniería donde está presente Laplace, de ahí la importante de tener conocimiento de la Herramienta Matlab.

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Bibliografía Aguilar, G. (2011). Transformada de Laplace. Consulta realizada el 04 de agosto 2015, en: http://www.unizar.es/pde/fjgaspar/TransLaplace.pdf Barreto, J. (2013). Aplicación de la Transformada de Laplace y las ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo en cálculo de circuitos eléctricos. Consulta realizada el 07 de agosto 2015, en: http://www.abaco.com.ve/Calculo/ProyectoLaplaceb.pdf

Guía para el uso de Matlab Symbolic Math Toolbox. (s.f). Consulta realizada el 05 de agosto 2015, en: http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/control/archivos/material/Anex os/apunte%20matlab%20parte3 Miranda, A. (2013). Transformada de Laplace. Consulta realizada el 04 de agosto 2015, 22131966

en:

http://es.slideshare.net/AlexisMiranda1/transformada-de-laplace-