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Problemas en el origen: Uso consistente y Propiedades de la Transformada de Laplace unilateral En el artículo nos dice que la transformada de Laplace es una herramienta estándar, se encuentra asociada con el análisis de señales (funciones), modelos, y sistemas de control, sin conocer cuáles o cómo son esos modelos y sistemas de control, y que esto de una o de otra manera se le enseñar a casi todos los estudiantes de ingeniería. Existen dos tipos de transformadas una es la bilateral la cual es fundamental para el procesamiento de señales, y la unilateral la cual se asocia más con el estudio del sistema dinámico, en donde existirán condiciones iniciales y éstas tomaran un papel muy importante en este tipo de transformada. Uno de los principales problemas que existen en muchos libros de texto de matemáticas es la manera en cómo se entiende el origen de la transformada de Laplace unilateral, ya que en diversos libros de texto presentan la trasformación de la siguiente manera: (1)

Pero en otros textos la presentan de manera distinta, y esto hace que haya una confusión seria para los estudiantes, ya que no se explica de manera clara, concisa y correcta el significado del límite inferior de integración que aparece en la transformada. No sabemos si el integrante incluye el origen totalmente, parcialmente, o absolutamente en nada. Los autores nos dicen que es imposible dedicar toda nuestra atención a este problema en un curso, en el cual se ven más temas. El propósito de los autores con este artículo es mostrar a la transformada de Laplace, sus definiciones y propiedades que permitan a los estudiantes un correcto análisis de dinámica de sistemas con condiciones iniciales arbitrarias para el buen entendimiento hacia los estudiantes sobre este tema. La forma más apropiada de escribir la transformada de Laplace unilateral es: (2)

Donde se incluye el origen como se muestra en la notación 0. Se observa que la integral incluye eventos interesantes que suceden en un tiempo t=0. Otros textos nombran a la transformada como L, la cual es el uso correcto para representar a la transformada.

A base de la definición anterior de la transformada, se puede decir que es la regla de tiempo de la derivada, y se muestra de la siguiente manera: (3)

Donde se toma en cuenta que el 0 que la respuesta se calculará en términos de las condiciones pre-iniciales. De igual manera, el teorema de valor inicial está asociado a la definición anterior: (4)

Donde la notación ∞ indica que el límite se toma a lo largo del eje positivo. Esta forma del teorema de valor inicial es el resultado correcto, y también es la deseada, ya que el valor inicial es tomado después de cualquier discontinuidad en t = 0. Nos dice que si la función F(s) puede ser escrita como un polinomio más otra función que converja a cero, entonces el límite se puede escribir como: (5)

En el artículo se presentan un par de ejemplos extraídos de la ingeniería eléctrica y mecánica, de los cuales se abordará el ejemplo B el cual podemos considerarlo como el más esencial y el que cubre todos los aspectos para el uso adecuado de la transformada de Laplace.

Figura 3. Un sistema idealizado automóvil suspensión acercarse a un badén rectangular. En el análisis, el centro de la rueda se supone que sigue exactamente la protuberancia.

B segundo orden. Suspensión de coche El ejemplo consiste en el sistema de suspensión de un automóvil que es de segundo orden como se muestra en la figura 3. En este modelo, se supone que el centro de la rueda sigue el contorno, de manera que el movimiento de entrada x (t) toma la forma de un paso. Se está interesado en calcular el movimiento de salida del cuerpo del coche resultante y (t). Se examina esta respuesta en tres conjuntos de condiciones iniciales con el fin de dar una idea de los tipos de soluciones que se pueden calcular con la técnica de la transformada de Laplace donde: La ecuación diferencial que describe el sistema se expresa de la siguiente manera:

Donde: ¿⋅¿

y ¿

= segunda derivada ¿

¿

x

,

y

= primera derivada

Entonces, la transformada de Laplace para las primeras derivadas es:

Y la transformada de Laplace para la segunda derivada es:

Sustituyendo las transformadas de Laplace en la ecuación diferencial, obtenemos lo siguiente:

−¿ 0¿ ¿ −¿ 0¿ ¿ −¿ 0¿ ¿ −¿ ¿ 0 sX ( s )−x ¿ m s2 Y ( s )−msy ¿

Resolviendo para la salida de Y(s), se obtiene:

Utilizando esta solución que se obtuvo, se puede encontrar correctamente la respuesta del sistema a las entradas arbitrarias y las condiciones iniciales. Se supusieron los siguientes datos para el ejemplo: la entrada toma la forma de un paso unidad de x (t) = u (t), que tiene un valor pre-inicial x (0) = 0. La transformada es X (s) = 1 / s. La solución para este problema se realiza mediante tres conjuntos de condiciones iniciales. Tenemos: C. I. 1. La posición inicial es:

−¿¿ 0 ¿ y¿

y

−¿¿ 0 ¿ ´y ¿

Por lo tanto, la transformada resultante de salida es:

C. I. 2. La posición inicial es:

−¿¿ 0 ¿ y¿

y la velocidad inicial es:

−¿¿ 0 ¿ ´y ¿

Esto quiere decir que la posición del sistema se inicia en el nivel que se asentará en el estado estacionario. En este caso, la salida de transformada de expresión es:

2

m s +2 bs+k Y ( s )= 3 2 m s +b s +ks