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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISION DE CIENCIAS BÁSICAS PROYECTO: APLICACIONES DEL ALGEBRA LINEAL EN INGENIERÍA ELECTRICA ELÉCTRONICA REALIZADO POR: GUILLEN MARTINEZ JULIO CESAR MATERIA: ÁLGEBRA LINEAL GRUPO: 28 PROFESORA: LETICIA HERNANDEZ SANCHEZ SEMESTRE: 2018-2

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Introducción

En la actualidad el uso de las matemáticas y sus distintas ramas que la conforman han sido de gran importancia en el desarrollo de nuevas tecnologías gracias a nuevos modelos matemáticos, teoremas, leyes, teorías, y aplicaciones en la vida cotidiana. En el proyecto “Aplicaciones del algebra lineal en ingeniería eléctrica electrónica”, de la Universidad Nacional Autónoma De México, se realiza la investigación de algunas aplicaciones de Álgebra lineal en ingeniería eléctrica electrónica, con su respectiva teoría y como estas se relacionan con lo que existe hoy en día.

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Índice 1. Ingeniería......................................................................................................................................... 4 1.1. Definición de ingeniería ........................................................................................................... 4 1.2. ¿Qué es un ingeniero?.............................................................................................................. 4 1.3. Ingeniería eléctrica electrónica ................................................................................................ 4 2. Algebra lineal................................................................................................................................... 5 2.1. Definición de algebra lineal ...................................................................................................... 5 2.2. Temas de interés del algebra lineal.......................................................................................... 5 2.3. Aplicaciones del algebra lineal en ingeniería eléctrica electrónica.......................................... 6 2.3.1. Espacios vectoriales y Espacios con producto interno ...................................................... 6 2.3.2. Transformación lineal ........................................................................................................ 7 2.3.3. Teorema espectral............................................................................................................. 7 3. Desarrollo de la aplicación .............................................................................................................. 8 3.1. Espacios vectoriales y Espacios con producto interno ............................................................. 8 3.1.1. Axiomas del espacio vectorial ........................................................................................... 9 3.1.2. Subespacio vectorial.......................................................................................................... 9 3.1.3. Conjunto generador de un espacio vectorial .................................................................. 10 3.1.4. Base de un espacio vectorial ........................................................................................... 10 3.1.5. Producto interno de un espacio ...................................................................................... 10 3.1.6. Axiomas del producto interno......................................................................................... 10 3.1.7. Propiedades del producto interno .................................................................................. 11 3.1.8. Vectores ortogonales ...................................................................................................... 11 3.1.8.1. Conjunto ortogonal ...................................................................................................... 11 3.1.8.2 Coordenadas de un vector referidos a una base ortogonal.......................................... 12 3.2. Campos eléctricos .................................................................................................................. 12 3.2.1. Definición formal de campo eléctrico ............................................................................. 13 3.2.2. Ley de Coulomb ............................................................................................................... 14 3.2.3. Ley de Faraday................................................................................................................. 15 3.2.4. Ley de Gauss .................................................................................................................... 16 3.2.5. Campo magnético ........................................................................................................... 16 3.3. Relación de los temas............................................................................................................. 18

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1. Ingeniería 1.1. Definición de ingeniería La ingeniería es la profesión en la que el conocimiento de las ciencias matemáticas y naturales adquiridas mediante el estudio, la experiencia y la práctica, se emplean con el buen juicio a fin de desarrollar modos en que se puedan utilizar, de manera óptima los materiales en beneficio de la humanidad, en el contexto de restricciones éticas, físicas, económicas, ambientales, humanas, políticas, legales y culturales. La ingeniería desarrolla varias funciones como lo son: 

La investigación



El desarrollo



El diseño



La construcción y operación



Las ventas, producción y administración

1.2. ¿Qué es un ingeniero? un ingeniero es un profesional que ha adquirido una metodología de trabajo que le permite tomar un problema, analizarlo, conocer sus objetivos y metas, poder trazar un programa de trabajo, tomar los elementos auxiliares necesarios, pronosticar los resultados, saber que medios humanos y materiales necesita, saber el costo de la solución, plantear y poner en marcha los resultados para la solución y dar una solución concreta de la cual se trabajó para el uso posterior en la población.

1.3. Ingeniería eléctrica electrónica La ingeniería tiene varias áreas en las cuales cada una de ellas tiene distintas ramas por las cual una persona se puede especializar, la ingeniería eléctrica, por

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ejemplo, desarrolla una capacidad de crear, diseñar y generar tecnología; así como de innovar, planear y poner en operación sistemas eléctricos-electrónicos. La ingeniería eléctrica es el campo de la ingeniería que se ocupa del estudio y la aplicación de la electricidad, la electrónica y el electromagnetismo. Aplica conocimientos de ciencias para diseñar sistemas y equipos que permiten generar, transportar y utilizar energía eléctrica. La ingeniería electrónica se encarga de resolver problemas como el control de procesos industriales, sistemas electrónicos de potencia, instrumentación y control, así como la transformación de la electricidad para el uso en diversos aparatos eléctricos. Dentro de lo que cabe se diseñan y programan instalaciones, maquinas eléctricas, sistemas eléctricos, desarrollo de nuevas fuentes que generen energía limpia y libre. Asimismo, se traza y construyen dispositivos de control de procesos industriales y de servicio con base en microcomputadoras. Un ingeniero eléctrico electrónico aplica su conocimiento en sectores: eléctricos, de comunicaciones, salud, económicos, administrativos, entre muchos otros, los ingenieros eléctricos electrónicos transforman la naturaleza mediante dispositivos mecánicos, eléctricos y electrónicos en beneficio de la sociedad.

2. Algebra lineal 2.1. Definición de algebra lineal El algebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos como vectores, matrices, espacio dual, sistemas de ecuaciones, espacios vectoriales, transformaciones lineales, operadores, entre muchos otros. Es un área que tiene conexiones con otras áreas dentro y fuera.

2.2. Temas de interés del algebra lineal En la rama del algebra lineal se encuentran muchos temas a tratar como son:

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

Grupos y campos



Espacios vectoriales



Transformaciones lineales



Productos internos



Operadores



Ecuaciones lineales



Matrices

Los temas por tratar y que gracias a ellos se desarrolla el proyecto son: los espacios vectoriales que son muy importantes para entender cómo se comporta la corriente eléctrica, teorema espectral que gracias a ello se ha podido realizar la descomposición de la luz blanca como hoy en día lo conocemos en colores rojos, anaranjados, verdes, amarillos, azul, violeta, mucho más, y por último el uso de transformaciones lineales en la codificación de imágenes.

2.3. Aplicaciones del algebra lineal en ingeniería eléctrica electrónica 2.3.1. Espacios vectoriales y Espacios con producto interno Como bien sabemos un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío con elementos en el espacio vectorial llamados vectores1 y los elementos del cuerpo escalares.2 Los elementos de V como:

V:

𝑢 ⃗ , ⃗⃗𝑣 , 𝑤 ⃗⃗ ∈ 𝑉 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠.

K: 𝑢 ⃗ , ⃗⃗𝑣, 𝑤 ⃗⃗

𝛼, 𝛽, 𝛾

𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ 𝐾 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠. Ahora bien, un producto interno es una función que convierte dos vectores en un escalar, se denota por (𝑢 ⃗ |𝑣) esto se puede dar en un espacio vectorial sobre un campo en definición que asocia a cada pareja de vectores 𝑢 ⃗ 𝑦 𝑣 cumpliendo con ciertos axiomas.

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Vectores: elemento de un espacio vectorial con magnitud, dirección y sentido. Escalares: números reales o complejos que sirven para describir un fenómeno físico con magnitud.

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Ahora bien, como se puedes relacionar con una aplicación en ingeniería eléctrica electrónica, el campo eléctrico no es más que una región en un espacio donde interactúan fuerzas llamadas fuerzas eléctricas3 que describen la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades eléctricas, también se da el caso que puede ser utilizado el producto interno en la propagación de una onda electromagnética siempre y cuando los vectores sean ortogonales. (𝑢 ⃗ |𝑣) = 0 2.3.2. Transformación lineal Una transformación no es más que una función, una regla o criterio que asocia a cada elemento de A en B, donde A y B son conjuntos no vacíos 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Las transformaciones son funciones entre espacios vectoriales que se detonan como: 𝑇: 𝑀 → 𝑉 donde: 𝑀 y 𝑉 son espacios vectoriales sobre el mismo campo y T la regla de correspondencia. Entonces como se puede relacionar esto con la codificación de imágenes en la tv. La televisión contiene sistemas (espacios de colores en la CDI): pasaje de coordenadas RGB (colores naturales) a YUV (luminancia y crominancia) es decir pasar de un espacio vectorial a otro espacio vectorial del mismo orden. 2.3.3. Teorema espectral El teorema de descomposición espectral expresa las condiciones bajo las cuales un operador o un matriz pueden ser diagonalizados. Se identifica así, un tipo de operadores lineales que pueden representarse como una multiplicación de operadores. El teorema espectral, proporciona, además, una descomposición canónica del espacio vectorial sobre el cual actúa el operador. 𝜆1 La matriz es de la forma: → 𝐷 = [ 0 0

0 0 𝜆2 0 ] 0 𝜆𝑛

Entonces donde es posible utilizar dicha descomposición espectral, la dispersión refractiva es conocida como luz blanca, es una superposición de luces de diferentes

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Fuerza eléctrica: es la fuerza con la que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y tiene la dirección de la línea que las une.

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colores, las cuales presentan una longitud de onda y una frecuencia especifica. La dispersión de la luz es un fenómeno de luz blanca atraviesa un medio transparente (por ejemplo, la nada) y se refracta, mostrando a la salida de este los respectivos colores que la constituyen. La variación en la velocidad de propagación depende del índice de refracción del material y hacen que la luz, para frecuencias diferentes, se refracte de manera diferente. La longitud de onda está dada por la ecuación:

𝜆4 =

𝑐5 𝑓6

Entonces la relación que hay entre el teorema espectral y la dispersión refractiva es que gracias a ello se pueden tener las diferentes variaciones en la luz visibles y con ello obtener colores diferentes a la de la luz ordinaria con diferentes longitudes de onda.

3. Desarrollo de la aplicación 3.1. Espacios vectoriales y Espacios con producto interno Los espacios vectoriales son producto de una de las ramas de las matemáticas la geometría afín7 a través de introducir coordenadas en el espacio tridimensional y los planos. En 1636, los matemáticos franceses rene descartes y Pierre de Fermat fundaron algunas bases que ayudaron a la geometría analítica a crecer mediante ecuaciones del plano, Bernhard Bolzano posteriormente introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos que posteriormente dieron lugar a los vectores. El primer axioma introducido en los espacios vectoriales se debe a Giuseppe Peano, los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales son gracias a los espacios de funciones8.

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𝝀 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑢𝑧. 𝑪 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑢𝑧 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜, 6 𝒇 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 7 Geometría afín: estudio de las propiedades geométricas inmutables con geometrías que contienen ángulos indefinidos, los postulados de Euclides no son tomados en cuenta. 8 Espacios de funciones: conjunto de funciones de un conjunto “x” a un conjunto “y”, de una clase dada. Se le llama espacio ya que la mayoría de sus aplicaciones8se realizan en espacios topológicos. 5

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío con una operación interna donde intervienen los vectores y una externa que es denominado producto por un escalar. Es decir, un grupo abeliano que interactúa entre si con un campo. Los elementos de V como:

V:

𝑢 ⃗ , ⃗⃗𝑣 , 𝑤 ⃗⃗ ∈ 𝑉 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠.

K: 𝑢 ⃗ , ⃗⃗𝑣, 𝑤 ⃗⃗

𝛼, 𝛽, 𝛾

𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ 𝐾 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 3.1.1. Axiomas del espacio vectorial Los espacios vectoriales o grupo abeliano que interactúan con un campo tienen que cumplir con 10 axiomas fundamentales. 

Propiedades

1. Cerradura

(𝑢 ⃗ + 𝑣) ∈ 𝑉

2. Asociatividad

(𝑢 ⃗ + 𝑣) + 𝑤 ⃗⃗ = 𝑢 ⃗ (𝑣 + 𝑤 ⃗⃗ )

3. Idéntico

𝑢 ⃗ + ⃗0 = 𝑢 ⃗ ∀𝑢 ⃗ , ⃗0 ∈ 𝑉

4. Inverso

𝑢 ⃗ + (−𝑢 ⃗ ) = ⃗0

5. Conmutatividad

∀−𝑢 ⃗ , ⃗0 ∈ 𝑉

𝑢 ⃗ + 𝑣= 𝑣+ 𝑢 ⃗

6. Cerradura

(𝛼𝑢 ⃗)∈𝑉

7. Distributiva

𝛼(𝑢 ⃗ + 𝑣 ) = 𝛼𝑢 ⃗ + 𝛼𝑣

8. Distributiva

(𝛼 + 𝛽)⃗⃗⃗𝑢 = 𝛼𝑢 ⃗ + 𝛽𝑢 ⃗

9. Asociativa

𝛼 (𝛽)𝑢 ⃗ = (𝛼𝛽)𝑢 ⃗⃗⃗

10. Idéntico

𝑘𝑢 ⃗ = 𝑢 ⃗⃗⃗ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑘 = 1

3.1.2. Subespacio vectorial Es el subconjunto de un espacio vectorial, que cumple la definición de espacio vectorial. Nota: sea 𝑉 un espacio vectorial sobre un campo 𝐾. si 𝑊 es un subconjunto no vacío de 𝑉, entonces 𝑊 será un subespacio de 𝑉 si y solo si se cumple que: ∀𝑢 ⃗ ,𝑣 ∈ 𝑊 ; ∀ 𝛼 ∈ 𝐾 1. (𝑢 ⃗ + 𝑣) ∈ 𝑊 2. (𝛼𝑢 ⃗)∈𝑊

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3. Contenga al vector ⃗0 3.1.3. Conjunto generador de un espacio vectorial Es un conjunto de vectores que se obtiene gracias a una combinación lineal. Si se tiene un vector V puede expresarse como combinación lineal de los vectores de G. si ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 … . 𝛼𝑛 el conjunto generador se denota como: 𝑥 = 𝛼1 𝑣 + 𝛼2 𝑣 + 𝛼3 𝑣 … + 𝛼𝑛 𝑣 combinación lineal. 𝐿(𝐺) = {𝑥| 𝑥 = 𝛼1 𝑣 + 𝛼2 𝑣 + 𝛼3 𝑣 … + 𝛼𝑛 𝑣 ∈ 𝐾} conjunto generador. 3.1.4. Base de un espacio vectorial Una base del espacio vectorial es un conjunto generador cuyos vectores son linealmente independientes. La mayoría de las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo numero de vectores y ese número se denomina dimensión9 del espacio vectorial. Dada una base: ⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 = {𝑈 𝑈2 , … , ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑛 } ⃗ = 𝛼1 ∗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑉 𝑈1 + 𝛼2 ∗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑈2 … + 𝛼𝑛 ∗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑛 3.1.5. Producto interno de un espacio El producto interno no es más que una función que convierte dos vectores en un escalar, es decir a través del producto entre dos vectores en un espacio vectorial sobres un campo en definición que asocia a cada pareja de vectores. ⃗ |𝑉 ⃗) ∈𝑉 (𝑈 3.1.6. Axiomas del producto interno El producto interno en si tiene que cumplir con ciertos axiomas para cada campo en específico, en el campo de los números reales 𝑅 y en el campo de los números complejos 𝐶.

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Dimensión: cantidad de elementos de cualquiera de sus bases, se denota como: dim(v).

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Campo Real

Campo

Complejo ⃗ |𝑉 ⃗ ) = (𝑉 ⃗ |𝑈 ⃗) (𝑈

1. Simetría o conmutatividad

⃗ |𝑉 ⃗ ) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⃗|𝑈 ⃗) (𝑈 (𝑉

⃗ |𝑉 ⃗ +𝑊 ⃗⃗⃗ ) = (𝑈 ⃗ |𝑉 ⃗ ) + (𝑈 ⃗ |𝑊 ⃗⃗⃗ ) (𝑈

2. Distributividad en adición 3. Homogeneidad

⃗ |𝑉 ⃗ ) = 𝛼(𝑈 ⃗ |𝑉 ⃗) (𝛼𝑈

4. Positividad

⃗ |𝑈 ⃗ )> 0𝑈 ⃗ ≠0 (𝑈

3.1.7. Propiedades del producto interno Al igual que el espacio vectorial usual también el producto interno tiene algunas propiedades para la realización del producto entre los vectores. ⃗ | 𝛼𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝛼 (𝑈 ⃗ |𝑉 ⃗) 1. (𝑈 ⃗ |𝑈 ⃗)∈𝑅 2. (𝑈 ⃗ |𝑈 ⃗ ) = (𝑈 ⃗ | ⃗0) = 0 3. (0 ⃗ |𝑈 ⃗ ) = 0 𝑆𝐼 𝑌 𝑆𝑂𝐿𝑂 𝑆𝐼 𝑈 ⃗ =0 4. (𝑈 ⃗ |𝑉 ⃗ −𝑊 ⃗⃗⃗ ) = (𝑈 ⃗ |𝑉 ⃗ ) − (𝑈 ⃗ |𝑊 ⃗⃗⃗ ) 5. (𝑈 3.1.8. Vectores ortogonales Si se tiene un espacio vectorial con un producto interno estos son ortogonales si solo si realiza el siguiente producto interno. ⃗ |𝑉 ⃗)=0 (𝑈 3.1.8.1. Conjunto ortogonal Se tiene un espacio vectorial con producto interno y tenemos un subconjunto de ese mismo espacio entonces el subconjunto es ortogonal cuando: ⃗⃗𝑖 | ⃗⃗𝑉𝑗 ) = 0; ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 (𝑉 Todo conjunto de vectores ortogonales no nulos es linealmente independiente.

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3.1.8.2 Coordenadas de un vector referidos a una base ortogonal Si se tiene un espacio vectorial con producto interno y una base ortogonal en ese mismo espacio vectorial entonces se tiene que: Si 𝑎 ∈ 𝑉 𝑎 = 𝛼1 𝑣 + 𝛼2 𝑣 + 𝛼3 𝑣 … + 𝛼𝑛 𝑣 Donde los escalares tienen la forma: 𝛼𝑖 =

(𝑎|𝑣 ⃗⃗⃗𝑖 ) (𝑣 ⃗⃗⃗𝑖 | ⃗⃗𝑣⃗𝑖 )

3.2. Campos eléctricos y Campos magnéticos El campo eléctrico es una región del espacio donde interactúan distintas fuerzas eléctricas es decir la interacción entre dos partículas en reposo cargadas eléctricamente (fuerza natural) ha distancia, dichas cargas pueden ser opuestas (se atraen) o cargas iguales (se repelen). Se describe también como un campo vectorial donde existe una carga eléctrica puntual “q” sufre los efectos de una fuerza eléctrica “F” y “E” es el campo eléctrico producido por un conjunto de cargas puntuales y está dado por la siguiente ecuación.

𝐹 = 𝑞𝐸 donde: 𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 + ⋯ + 𝐸𝑛 𝐸⃗2 𝐸⃗1

𝑞3

𝐸⃗

𝑞1 𝐸⃗3

𝑞2

Los campos eléctricos pueden tener su origen tanto en cargas eléctricas como también en campos magnéticos variables y siendo aun mas estrictos en campos

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electromagnéticos. Así pues, podemos considerar un campo eléctrico como una región del espacio cuyas propiedades han sido modificadas por la presencia de una carga eléctrica, de modo que, si se introduce otra carga eléctrica dentro del campo eléctrico, esta experimenta una fuerza ya sea de repulsión o atracción. El campo eléctrico se representa matemáticamente mediante el vector campo eléctrico 𝐸⃗ . Un campo magnético en cualquier punto esta especificado por dos valores, la dirección y la magnitud, de tal forma que es un campo vectorial en el espacio. En teoría el campo magnético es un vector axial10, como lo son los momentos mecánicos y los campos rotacionales. El campo magnético es más comúnmente definido por las fuerzas de Lorentz ejercida en cargas eléctricas. El campo magnético se usa para dos campos distintos, pero estrechamente relacionados, indicados por los símbolos B y H, donde H se mide en amperios por metro y B se mide en teslas o newtons por metro por amperios. En el vacío, B y H son lo mismo, en este caso B representa la no divergencia en su dependencia espacial y H representa la no rotacional, es decir, libre de ondulaciones. Los campos magnéticos son producto de cargas eléctricas producidas por electrones en movimiento y el momento magnético intrínseco de las partículas elementales asociadas con una propiedad cuántica fundamental, su espín11. La relación entre el campo magnético y una corriente eléctrica esta dada por la ley de Ampere. El caso mas general, que incluye a la corriente de desplazamiento, lo da la ley de Ampere-Maxwell. 3.2.1. Definición formal de campo eléctrico El campo eléctrico también aplica para cargas moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz. Este campo forma parte de un campo electromagnético

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Vector axial: magnitud física que presenta propiedades de covariancia o transformación bajo reflexiones anómalas, ejemplos son: el momento angular, velocidad angular y el campo magnético. 11 espín: momento cinético intrínseco de una partícula o de un sistema de partículas.

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tensorial definido por un potencial cuadrivectorial. De esta forma la siguiente ecuación: ∅

𝐹𝜇𝑣 = 𝜕 𝜇 𝐴𝑣 − 𝜕 𝑣 𝐴𝜇 ; 𝐴𝑖 = (𝑐 , 𝐴) campo electromagnético tensorial 1 𝜕𝐴

𝐸 = − 𝑐 𝜕𝑡 − ∇∅ ecuación formal del campo eléctrico Entonces la formula lo que dice es que un campo eléctrico es producido por la variación temporal de un potencial vectorial descrito menos el gradiente de un potencial. Un campo se conoce más propiamente por su divergencia y su rotación donde existen dos leyes que explican esto, la ley de Faraday que explica la rotación del campo y la ley de gauss que explica la divergencia de este. 3.2.2. Ley de Coulomb La ley de coulomb fue enunciada en 1785 por el físico francés CharlesAugustin de Coulomb, forman las bases de la electrostática. La ley dice que la fuerza entre dos cargas en reposo relativo depende del cuadrado de la distancia, es decir la fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, expresado matemáticamente es:

𝐹= 𝐾

𝑞1 𝑞2 𝑟2

𝐾 es una constante de proporcionalidad. Es necesaria para hacer que la respuesta sea correcta cuando llevamos a cabo un experimento real. La constante se puede escribir de la siguiente forma:

𝐾=

1 4𝜋𝜖0

Acomodando la ecuación y en una forma mas general con un vector de posición es de la siguiente manera:

𝐹=

1 𝑞1 𝑞2 𝑟̂ 4𝜋𝜖0 𝑟2

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La ley suponía que la posición de una partícula en un instante dado hace que su campo eléctrico afecte en el mismo instante a cualquier otra carga, ese tipo de interacción en las que el efecto sobre el resto de la partícula parece depender solo de la posición de la partícula causante sin importan la distancia entre las partículas se denomina acción a distancia12. Todo esto y gracias a la teoría de la relatividad13 llevo a que se modificara la ley de coulomb, así pues, el campo eléctrico es una distorsión electromagnética que sufre el espacio-tiempo debió a la presencia de una carga. Entonces para una distribución continua de cargas el campo eléctrico viene dado por:

𝐸(𝑟) =

1 ∫ 4𝜋𝜖0 𝑣

𝜌 (𝑟′ ) 3 ‖𝑟 − 𝑟′ ‖

3 (𝑟 − 𝑟′ ) 𝑑 𝑟′

3.2.3. Ley de Faraday Propuesta en 1821 por Michael Faraday, llego a la conclusión de que los cambios temporales en el campo magnético inducen un campo eléctrico, esto quiere decir que si se induce un voltaje en un circuito cerrado resulta directamente proporcional a la velocidad con que cambia en el tiempo el flujo magnético que atraviesa una dada superficie en el circuito, esto no solo puede llevarse a los campos magnéticos sino también en el comportamiento de un campo eléctrico. La fuerza electromotriz, definida como el rotacional a través de un diferencial de línea está determinado por: 𝜀 = ∮ 𝐸⃗ ∗ 𝑑𝐼 = −

𝑑Φ 𝑑𝑡

Y usando la ley de Lenz en una superficie ⃗ ∗ 𝑑𝑎 Φ = ∫𝐵

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Acción a distancia: características de los campos de fuerzas de partículas que interactúan entre sí. En cada instante de tiempo las fuerzas sobre la partícula concreta hacen que afecten a otras partículas en el campo. 13 Teoría de la relatividad: la localización de los sucesos físicos, tanto en el tiempo como en el espacio, son relativos al estado de movimiento del observador. Formulada por Albert Einstein en el siglo XX.

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Reemplazando la ecuación anterior en la ecuación de la fuerza electromotriz y usando el teorema de Stokes se llega a la forma para campos eléctricos. ⃗ 𝑥 𝐸⃗ = − ∇

⃗ 𝜕𝐵 𝜕𝑡

Esto nos dice que la variación temporal del campo magnético induce un campo eléctrico. 3.2.4. Ley de Gauss La ley fue formulada por Carl Friedrich Gauss en 1835, relacionada con el teorema de divergencia establece que el flujo de ciertos campos a través de una superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes de dicho campo que hay en el interior de la misma superficie, es decir una superficie tal que en cada trozo infinitesimal de superficie este bien definida su orientación. Φ𝐸 = ∮𝑠 𝐸⃗ ∗ 𝑑𝑎 flujo de campo eléctrico Generalmente el flujo eléctrico a través de un área plana se define como el campo eléctrico multiplicado por la componente del área perpendicular al campo. Si el área no es plana, se requiere una integral de área puesto que los ángulos son variantes. El flujo entonces en una superficie cerrada se define como:

∮ 𝐸⃗ ∗ 𝑑𝑎 = 𝑠

1 𝑄 𝜖0 𝑒𝑛𝑐

⃗∇ ∙ 𝐸⃗ = 𝜌 divergencia campo eléctrico 𝜖 14

0

Entonces el campo eléctrico diverge hacia una distribución de carga, es decir comienza en una carga determinada y termina en otra muy distinta. 3.2.5. Fuerzas de Lorentz Entre todas las definiciones de campo magnético se encuentra la fuerza de Lorentz. El efecto generado por una corriente eléctrica a través de un solenoide15 14 15

𝝆: densidad volumétrica de carga, es decir, cantidad carga encerrada en un cuerpo con volumen. Solenoide: bobina formada por un alambre enrollado en espiral sobre una armazón cilíndrica.

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produciendo así un campo magnético artificial o por un imán producido naturalmente, sobre una región del espacio en la que una carga eléctrica puntual de valor (q), que se desplaza a una alimentación (v), experimenta los efectos de una fuerza que es proporcional a la velocidad como al campo dado, la fuerza esta descrita matemáticamente de la siguiente manera: 𝐹 = 𝑞(𝑣 𝑥 𝐵) En dicha ecuación se describe la fuerza magnética, con la velocidad y la inducción magnética interaccionando, siendo estas magnitudes vectoriales y el producto vectorial teniendo como resultado un vector perpendicular de v como a B. el modulo de la fuerza resultante está dada por: |𝐹| = |𝑞||𝑣||𝐵| ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 3.2.6. Ley de Ampere Propuesta por el físico André-Marie Ampere en el año 1831, relacionando un campo magnético estático con una corriente eléctrica estacionaria, es decir, una corriente eléctrica con un flujo constante sobre todo el conductor. La ley de ampere explica que la circulación de la intensidad del campo magnético en un sistema cerrado es proporcional a la corriente que recorre en ese sistema, el campo magnético al ser un campo angular encierra la corriente a través de esas líneas magnéticas dando la dirección del campo en un punto dado tangencial al círculo que encierra la corriente. La ley de ampere posteriormente seria corregida por el físico matemático James Clerk Maxwell introduciendo la corriente de desplazamiento dado por la ecuación siguiente:

⃗ ∙ 𝑑𝑙 = ∬ 𝐽 ∙ 𝑑𝑆 + ∮𝐻 𝐶

𝑠

𝑑 ⃗ ∙ 𝑑𝑆 ∬𝐷 𝑑𝑡 𝑠

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3.3. Relación de los temas La transmisión de información hoy en día es un poco compleja de explicar y difícil, se buscan algunos medios por los cuales se puedan propagar las ondas electromagnéticas, medios cableados, por guía de ondas, medios inalámbricos, entre muchos otros, que gracias a estos es posible llevar la información de un lugar a otro por medio de las ondas electromagnéticas. Problema

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