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APLICACION DEL ALGEBRA LINEAL PARA EL DISEÑO DE SISTEMA DE ABASTECIMIENTO DE AGUA POTABLE.

Autor(es): Geraldine Julieth Guzmán Ríos – [email protected] Diego Fernando Amezquita Sánchez – [email protected]

PROYECTO CURRICULAR INGENIERIA SANITARIA

RESUMEN El

dimensionamiento

PALABRAS CLAVES de

redes

de

distribución de fluidos es un problema

Caudal, Red, Agua Potable, Hardy Cross, Gauss Jordán, Matlab.

común a diferentes áreas de la ingeniería, como la sanitaria y la civil, presente en el

ABSTRACT

diseño de acueductos. Este trabajo presenta un método para su simulación, mediante la

The dimensioning of fluid distribution

aplicación del balance de nodos y la teoría

networks is a problem common to different

de linealización de ecuaciones. Permite

areas of engineering, such as sanitation and

dimensionar una red mediana que se une

civil, present in the design of aqueducts.

directamente a la red madre de distribución

This work presents a method for its

para el municipio de Lourdes – Norte de

simulation, by applying the balance of

Santander, mediante la determinación del

nodes and the theory of linearization of

caudal máximo diario, esto con el fin de

equations. It allows dimensioning a medium

establecer la cantidad de caudal requerida

network that is directly connected to the

para la aplicación a un sistema de circuito

main distribution network for the

cerrado en donde el caudal que ingresa a la

municipality of Lourdes - Norte de

red debe ser igual al caudal de salida sin

Santander, by determining the maximum

presentarse acumulación de este mismo.

daily flow, this in order to establish the

amount of flow required for application to

Estas

dos

leyes

deben

cumplirse

a system closed circuit where the flow that

independientemente del tipo de análisis.

enters the

Para restringir el modelo al estado estable,

network must be equal to the outlet flow

es necesario que la suma algebraica de los

without presenting accumulation of this

flujos que entran y salen de la red sea cero

same.

[1]. La disponibilidad del agua es un problema actual y complejo en el que interviene una

KEYWORDS

serie de factores que van más allá del Flow, Network, Drinking Water, Hardy

incremento poblacional que demanda cada

Cross, Jordan Gauss, MATLAB.

vez más este recurso para uso del consumo humano, así como para llevar a cabo actividades económicas. Conocer el caudal que se necesita para satisfacer la demanda

INTRODUCCIÓN

de agua potable en un centro poblado así El análisis de redes hidráulicas es un

como su distribución dentro del sistema de

problema

red de distribución.

de

gran

importancia

en

ingeniería, que puede realizarse en estado estable

o

inestable,

dependiendo

del

El objetivo principal de este artículo

es

objetivo que se persiga. Si el fin es

mediante la aplicación del Método Gauss

dimensionar la red, el análisis en estado

Jordan y el software Matlab demostrar el

estable es el más adecuado, pues permite

diseño de un sistema de flujo de redes

determinar la capacidad del sistema para

mediante la determinación del caudal

cumplir

máximo diario evaluado para el municipio

las

necesidades

de

diseño,

de Lourdes. Con el fin de dar solución y

presiones y flujos. [1].

alternativa a problemática existente en el Hay dos leyes físicas que rigen el

abastecimiento de agua potable en el

comportamiento

municipio de Lourdes.

de

las

redes

de

distribuci6n de fluidos: • La suma algebraica de los flujos en cualquier punto dentro de la red es cero. • La suma algebraica de las pérdidas de energía alrededor de un circuito es cero.

MÉTODOS Para dar cumplimento con el objetivo del presente artículo, es necesario determinar

el caudal máximo diario que va a entrar a

el que se quiere proyectar la población.

la red, por consiguiente se realiza

Puc: Es la población correspondiente al

mediante el método de la proyección de la

último año censado con información.

población aritmético y de esta manera de

Pci: Es la población correspondiente al

da la solución y demostración del método

censo

de Gauss Jordan en la aplicación de este

Tuc: es el año correspondiente al último año

campo de la ingeniería, con el fin de

censado

aplicarlo a un sistema de circuito cerrado

Tci Es el año correspondiente al censo

en donde el caudal que ingresa a la red

inicial

debe ser igual al caudal de salida y no se

Tf: es el año al cual se quiere proyectar la

presenta acumulación del mismo.

información. [7]

inicial

con

información.

con

información.

con

información.

Aplicando los datos a la fórmula se obtiene

Métodos de proyección de la población

La población proyectada.

El método de cálculo empleado para estimar la población futura del municipio es el método aritmético ya que según el RAS 2000 el nivel de complejidad del municipio es bajo.

(Tabla 1.

Proyección de la población según el Método aritmético.) Tomando como población de diseño 1488 habitantes para el año 2033, ya que al tener decimales no se pueden dejar de lado por lo que se aproxima al número entero mayor al promedio obtenido.

Método Aritmético Este

método

balanceado

supone

por

la

un

crecimiento

mortalidad

y

la

emigración. La ecuación a utilizar será la siguiente. [7]

Método de Gauss Jordan para el diseño de la red de agua potable. El método de solución propuesto para el sistema de ecuaciones es el método de linealización,

Pf = puc+

puc− pci ∗(tf −tuc ) tuc−tci

(1)

Dónde: Pf: población correspondiente al año para

que

mediante

la

reorganización de los términos transforma en una ecuación lineal, que al remplazarse en el sistema que resulta al plantear el balance de lazos de la red. Se genera un sistema de ecuaciones lineales que puede

resolverse, en este caso, teniendo en cuenta

Para

conocer

el

consumo

máximo

que la matriz que resulta siempre tiene

registrado durante 24 horas a lo largo de

valores diferentes de cero en la diagonal, se

un periodo de un año se lleva a cabo el

elige el método de Gauss-Jordan.

cálculo de los siguientes valores: [8] 4.1 Dotación Neta por habitantes:

RESULTADOS 1. Período de diseño del sistema: El período de diseño debe fijar tanto la demanda,

la tasa de crecimiento de la

población y de la tasa de crecimiento del comercio y la industria. Según el artículo 2 de la resolución 2320 de 2009 que modifica el artículo 69 de la norma [7] el nivel de complejidad del sistema del municipio de Lourdes al tener una población de 1211 habitantes en la cabecera municipal según censo [8] (Nivel de complejidad medio) se decide tomar un periodo de diseño de 15 años, dado la baja capacidad económica del municipio. 3. Proyección de la población: Población: El municipio de Lourdes cuenta con una población total de 3407 (donde 1211 habitantes se encuentran en la cabecera municipal y 2196 ubicadas en las zonas veredales y rurales). (Tabla. 2 Población Total Municipio de Lourdes, Norte de Santander. [8] 4. Calculo del Caudal Máximo Diario:

Según

RAS,

2000

esta

dotación

corresponde a la cantidad mínima de agua requerida para satisfacer las necesidades básicas de un suscriptor o de un habitante, dependiendo de la forma de proyección de la demanda de agua, sin considerar las pérdidas que ocurran en el sistema de acueducto. Según

resolución

330

de

2017,

se

establecen las dotaciones netas para cada nivel de complejidad según su clima; en el caso de Lourdes, aplicando los criterios de nivel de complejidad y conociendo que el municipio se encuentra en un clima frío donde la dotación neta es de (130 L/hab*d) al estar ubicado a los 1450 metros sobre el nivel del mar. [8] 4.2 Dotación neta ajustada: Para hallar la dotación neta ajustada se usa la fórmula de consumo total adoptado según la Resolución 330 de 2017, donde se obtiene 182 L/hab*d. como consumo total adoptado, se tuvo en cuenta 15% por evaporación y 25% por Pérdidas técnicas. Ct =130+ ( 130∗15 % ) +(130∗25 %) (2)

[8]

El consumo total se redondea a la decena

254 Qmd=

( habL . d)∗1489 hab =4,37 L/ s 86400 s

más próxima dado el nivel de precisión con el cual se determinan los consumos, por lo

(6)

que la dotación neta con la cual se trabajará será de 190 L/hab*d. El caudal medio diario para el año 2033 es de 4,37 L/s.

4.3 Dotación Bruta: De acuerdo con la Resolución 2320 de 2009,

esta

dotación

es

aquella

que

4.5 Caudal máximo diario Es el consumo máximo registrado durante

contempla las pérdidas de agua.

24 horas a lo largo de un período de un año. DB=

DN 1−25 %

Se calcula multiplicando el caudal medio diario por el coeficiente de consumo máximo

(3)

diario QMD=Qmd∗k 1

L hab . d L DB= =253,33=254 1−25 % hab . d 190

k1: (7)

El factor k1 es la relación entre el mayor

(4)

consumo diario y el consumo medio diario,

La dotación bruta con la cual se trabajará será de 254 L/hab*d.

pero al no contar con esta información del municipio, emplearemos k1 = 1.30, que es el valor para sistemas nuevos según el RAS 2000 y es acorde al nivel de complejidad

4.4 Caudal medio diario Corresponde al promedio de los consumos

del municipio.

diarios de caudal en un período de un año, y se calculará mediante la siguiente

QMD=

expresión:

4,37 L ∗1,3=5,69 L /s s

(8)

Para el año 2033 el consumo máximo diario Qmd=

Db∗pf 86400

(5)

es de 5.69 l/s lo que equivale a 491.616 l/día. [8] 5. Solución y demostración del Método

Gauss Jordan para una fracción de la

madre con la altitud máxima, que en este

red madre del municipio de Lourdes –

caso es de 1468 m.s.n.m. para la red

Norte de Santander.

diseñada para Lourdes.

Para abastecer a un determinado poblado con agua potable, es necesario el diseño de

Trazado de la red secundaria o relleno:

una red de distribución la cual estará

La conexión domiciliaria se hace a partir de

conformado por una red madre por donde

la

pasará los caudales iniciales unido a una

distribución de agua a través de las vías

red de relleno para que circulen los

principales a los que se unirá en una serie

caudales secundarios y hasta terciarios,

de elementos que permiten la distribución

todo dependiendo del tamaño que tenga el

del agua hacia la caja de cada vivienda en

casco

donde se encuentra el medidor, de este

urbano y el

plan de diseño

red

primaria

y

consiste

en

una

determinado para ese centro poblado.

punto en adelante todas las obras son

En este artículo se enfocará en la

propiedad del dueño del domicilio. En

distribución de caudales de relleno el cual

especial nos centraremos en la aplicación

se hará con ayuda del método de Gauss

del algebra lineal para el diseño de una red

Jordan pero para ello es necesario conocer

secundaria y determinar los caudales que

los caudales iniciales los cuales circular por

circulan a través de esta, lo que permitirá

la red madre, hay que resaltar que toda la

una mejor toma de decisión para una mejor

distribución de caudales tendrá la premisa

distribución de las áreas de actividad

de que la distribución será de manera

económica dentro del centro poblado según

uniforme repartiendo el agua de consumo

sus necesidades de consumo de agua.

doméstico por metro lineal de tubería alimentada.

A continuación, se muestra la posible red de diseño para el centro poblado de Lourdes

Trazado de la red principal o madre: El

donde se destaca la red primaria y

trazado de esta red se debe hacer teniendo

secundaria:

en cuenta la mejor distribución del agua con respecto al área que se va abastecer,

Figura 1. Red de diseño para el centro

tomando como factor importante las zonas

poblado Lourdes.

donde se concentra la mayor demanda, y es a donde llegara el caudal máximo diario, por lo que se determinara el punto de la red

(10)

Para la creación de la hipótesis de distribución de agua a través de da la malla 1 y 2, y conocer los caudales de la red madre necesaria para trabajar con la red de relleno, se aplicó el método de Hardy Cross donde era necesario conocer el caudal que se va a gastar en cada malla, obteniendo los Caudal de gasto en cada malla: Debido a

valores de caudal de la red principal y sus

la falta de estudio de campo y como

flujos, como se muestra a continuación: [17]

ejemplo teórico, se supone una distribución de caudal domestico proporcional a la

Figura 2. Red principal y flujos.

longitud de la tubería alimentada, a partir de la siguiente formula: Q: Caudal máximo diario Ltotal: Longitud total de la tubería

q=

Q Ltotal

(9)

Para conocer la longitud de la tubería de la red de distribución, se trazó un posible diseño sobre el centro poblado de Lourdes en el programa de Google Earth para

Al tener todas las variables en el lado

posteriormente ser medido:

izquierdo

del

igual

y

los

términos

independientes al lado derecho de las Malla I: 759,828 m

ecuaciones.

(Tabla

4.

Sistemas

de

Malla II: 1.119,921 m

ecuaciones lineales), pasamos por construir

Ltotal: 1880 m

la matriz y colocamos una columna para cada una de las variables y debajo

q=

Q 5,69 L /s L = =0,003037 Ltotal 1880 m s∗m

agregaremos sus coeficientes. (Tabla 5. Construcción de la Matriz). Después de

resolverla por el método de Gauss Jordán

variables en el software MATLAB para así

podemos conocer cada uno de los caudales

lograr el resultado de los caudales de la red

de la red de relleno en la malla 1. (Tabla 6.

y poder determinar el tipo de tubería a

Caudales de la red en la malla 1).

utilizar.

Mediante la construcción de la matriz se

3. ¿Dónde se está desarrollando?

realiza su solución por medio de la

Este diseño de red de distribución de agua

aplicación del Software MATLAB el cual

potable, se realiza para el municipio de

nos permite operar matrices de gran

Lourdes, Ubicado en el departamento de

tamaño con muchos datos de una manera

Norte de Santander, situado a 68 km de

rápida y eficiente. (Tabla 7. Solución de

Cúcuta, la capital del departamento.

Matriz MATLAB). DISCUSIÓN Mediante el desarrollo del artículo se puede

4. ¿Para qué se está desarrollando?

responder a cuatro interrogantes

Como primera instancia, el desarrollo de

fundamentales:

este

artículo

dimensionamiento

se de

basa las

en

el

redes

de

1. ¿Qué tema se aborda?

distribución de agua potable mediante el

El tema tratado a través del artículo,

método de Gauss Jordan, en base al

corresponde a realizar y analizar el

objetivo principal se deben llevar a cabo

dimensionamiento de redes de distribución

una serie de procesos para llegar al

de agua potable, principalmente la de una

resultado de lo anteriormente nombrado,

red mediana, la cual va conectada que

por lo tanto se debe hallar los caudales

directamente a la red madre de distribución

iniciales y mediante la aplicación del

perteneciente al municipio de estudio.

método base en Matlab obtener un resultado que servirá como elemento principal para el

2. ¿Cómo se incorpora el álgebra lineal y

diseño de redes de distribución de agua

Matlab al tema que se aborda?

potable para beneficio de la población del

El uso del algebra lineal para el realizar el

municipio, la cual se proyectó para el año

dimensionamiento que debe tener la red de

2033.

distribución a diseñar, se hace mediante la aplicación del Método Gauss Jordan y a partir de esto, el desarrollo de las diferentes

CONCLUSIONES

AGRADECIMIENTOS

- La aplicación de algebra lineal al diseño de sistemas de red de tuberías, ayuda como método para llevar a cabo este tipo de proyectos, donde por medio de estos procesos se logra obtener los diferentes caudales

del

sistema

y

así

poder

determinar mediante el método de Gauss Jordan el respectivo caudal máximo diario para poder llegar a la longitud de la tubería que se necesita implementar.

A la Universidad Distrital Francisco José de Caldas por permitirnos hacer el desarrollo de nuestra carrera como profesionales, al profesor encargado de dictar la presente materia, por encargarse en enseñar los diversos temas que comprenden el álgebra lineal y ayudar al relacionamiento de esta materia con la carrera.

- En el presente artículo se puede observar cómo realizar una matriz con

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

muchos elementos tanto en filas como columnas, pero como se evidencia, estas

1.

matrices tan extensas requieren de más

assumption: what it means and how it

procesos para resolverlas paso a paso, por

wOlks". Pipe Une Industry. March 1992.

eso la principal ventaja del MATLAB es

pp. 79-84.

resolver

2. BERGHOUT.

estas

matrices

de

manera

eficiente y más rápida.

SCHROEDER.

D.

"Steady

B. "Networt

state

linear

programing as pipe networt hydraulic lIII8Iysistool".

Joumal

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Hydraulic

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como herramienta para establecer

3. Pecci, F., Abraham, E. y Stoianov, I.

proyectos a corto plazo y así poder

Límites de optimización global para la

promediar los costos de implementación al

colocación de válvulas de control en redes

saber la longitud de la tubería que se debe

de

usar, lo que permite solucionar problemas

Eng 20, 457–495 (2019).

de abastecimiento de agua por medio de

4.

redes de tuberías conociendo el caudal.

Aplicación del valor en riesgo (VaR) de

suministro Khorshidi,

de E.,

agua. Optim

Ghezavati,

VR

modelado matemático para optimizar la

toma

de

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