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PROBLEMA NO 2 MODELO VIBRATORIO TIPO BICICLETA DE UN VEHÍCULO QUE INCLUYE MOVIMIENTO DE CABECEO.

En el sistema de la fig. 1 determinar las ecuaciones de movimiento, las frecuencias naturales y los modos de vibración.

Los parámetros observados se describen en la siguiente tabla: PARAMETROS 𝑚 𝑚1 𝑚2 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝜃 𝑦1 𝑦2 𝐼𝑦 𝑎1 𝑎2

DESCRIPCION Masa de la mitad del vehículo Masa de una rueda delantera Masa de una rueda trasera Movimiento vertical del cuerpo Movimiento vertical de una rueda delantera Movimiento vertical de una rueda trasera Movimiento de cabeceo del vehículo Excitación de la carretera en la rueda delantera Excitación de la carretera en la rueda trasera Momento de inercia lateral de la mitad del vehículo Distancia de C a partir del eje delantero Distancia de C a partir del eje trasero

Este sistema se puede modelar asumiendo al vehículo como una barra rígida, con la masa m que equivale a la mitad de la masa del cuerpo completo y momento de inercia lateral 𝐼𝑦 . Los resortes sobre las ruedas delantera y trasera tienen constantes de rigidez 𝑘1 y 𝑘2 respectivamente, y las constantes de amortiguamiento son 𝑐1 y 𝑐2 , respectivamente; mientras que las constantes de rigidez de los neumáticos delantero y trasero son 𝑘𝑡1 y 𝑘𝑡2 respectivamente.

Para formular las ecuaciones de movimiento del sistema utilizaremos la segunda ley de Newton, por lo que se necesita dibujar el Diagrama de Cuerpo Libre de las masas del sistema:

Al aplicar la segunda ley de Newton en los DCL’s podemos determinar las ecuaciones de movimiento del sistema, las cuales son como siguen:

𝑚𝑥̈ + 𝑐1 (𝑥̇ − 𝑥̇ 1 − 𝑎1 𝜃̇) + 𝑐2 (𝑥̇ − 𝑥̇ 2 + 𝑎2 𝜃̇) + 𝑘1 (𝑥 − 𝑥1 − 𝑎1 𝜃) +𝑘2 (𝑥 − 𝑥2 + 𝑎2 𝜃) = 0

(1)

𝐼𝑦 𝜃̈ − 𝑎1 𝑐1 (𝑥̇ − 𝑥̇ 1 − 𝑎1 𝜃̇) + 𝑎2 𝑐2 (𝑥̇ − 𝑥̇ 2 + 𝑎2 𝜃̇) − 𝑎1 𝑘1 (𝑥 − 𝑥1 − 𝑎1 𝜃) +𝑎2 𝑘𝑎 (𝑥 − 𝑥2 + 𝑎2 𝜃) = 0

(2)

𝑚1 𝑥̈ 1 − 𝑐1 (𝑥̇ − 𝑥̇ 1 − 𝑎1 𝜃̇) − 𝑘1 (𝑥 − 𝑥1 − 𝑎1 𝜃) + 𝑘𝑡1 (𝑥1 − 𝑦1 ) = 0

(3)

𝑚2 𝑥̈ 2 − 𝑐2 (𝑥̇ − 𝑥̇ 2 − 𝑎2 𝜃̇) − 𝑘2 (𝑥 − 𝑥2 − 𝑎2 𝜃) + 𝑘𝑡2 (𝑥2 − 𝑦2 ) = 0

(4)

Con las ecuaciones (1),(2),(3) y (4) podemos formar un sistema, el cual se puede reordenar de forma matricial de la siguiente forma:

𝑀𝑋̈ + 𝐶𝑋̇ + 𝐾𝑋 = 𝐹

Donde: 𝑥 𝜃 𝑋 = [𝑥1 ] 𝑥2 𝑚 0 𝑀 = [0 0

𝑐1 + 𝑐2 𝑎 𝑐 −𝑎 𝑐 𝐶 = [ 2 2−𝑐 1 1 1 −𝑐2

0 𝐼𝑦 0 0

0 0 𝑚1 0

𝑎2 𝑐2 − 𝑎1 𝑐1 𝑐1 𝑎12 + 𝑐2 𝑎22 𝑎1 𝑐1 −𝑎2 𝑐2

0 0 0] 𝑚2 −𝑐1 −𝑐2 𝑎1 𝑐1 −𝑎2 𝑐2 0 ] 𝑐1 𝑐2 0

𝑘1 + 𝑘2 𝑎 𝑘 − 𝑎1 𝑘1 𝐾= 2 2 −𝑘1 −𝑘2 [

𝑎2 𝑘2 − 𝑎1 𝑘1 −𝑘1 −𝑘2 −𝑎2 𝑘2 𝑎1 𝑘1 𝑘𝑎12 + 𝑘2 𝑎22 0 𝑘1 + 𝑘𝑡1 𝑎1 𝑘1 𝑘2 + 𝑘 𝑡2 ] −𝑎2 𝑘2 0

0 0 𝐹 = [𝑦1 𝑘𝑡 ] 1 𝑦2 𝑘𝑡2

Las frecuencias naturales y los modos de vibración de este sistema se pueden encontrar mediante las ecuaciones de vibración libre sin amortiguamiento.

𝑀𝑋̈ + 𝐾𝑋 = 0

Multiplicando por 𝑀−1

𝐼𝑋̈ + 𝑀−1 𝐾𝑋 = 0 𝑘

Asumimos una solución de la forma 𝑋 = 𝒖𝑒 𝑖𝜔𝑡 , donde 𝜔 = √ , 𝑚

reemplazamos y se obtiene (𝑀−1 𝐾 − 𝜔2 𝐼)𝒖 = 0 Reordenando y asumiendo 𝜆 = 𝜔2 𝐼 y 𝐴 = 𝑀−1 𝐾 𝐴𝒖 = 𝜆𝒖 Dónde: 𝜆: autovalores de 𝐴 𝒖: autovectores de 𝐴

Para completar el análisis usaremos datos de entrada basados en modelos comerciales como por ejemplo un auto Lotus Elise con las siguientes características: 911 𝑘𝑔 2 53 𝑘𝑔 76 𝑘𝑔 1000 𝑘𝑔𝑚2 1.41 𝑚 1.47 𝑚 10000 𝑁/𝑚 15000 𝑁/𝑚 25000 𝑁/𝑚

𝑚 𝑚1 𝑚2 𝐼𝑦 𝑎1 𝑎2 𝑘1 𝑘2 𝑘𝑡1 = 𝑘𝑡2 Al ingresar los datos en las matrices tenemos:

455.5 0 0 0 1000 0 0 0 𝑀=[ 0 ] 0 53 0 0 0 0 76

25000 7950 −10000 −15000 52294 14100 −22050 𝐾 = [ 7950 ] −10000 14100 35000 0 −15000 −22050 0 40000 Entonces: 54.8847 17.4533 −21.9539 −32.9308 14.1000 52.2945 −22.0500 𝐴 = 𝑀−1 𝐾 = [ 7.9500 ] −188.6792 266.0377 660.3774 0 −197.3684 −290.1316 0 526.3158

Los autovalores de A son: 𝜆1 = 29.2345 𝜆2 = 38.9755

𝜆3 = 552.7735 𝜆4 = 672.8889 Por lo tanto, las frecuencias naturales son: 𝜔1 = √𝜆1 = 5.4069 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ≈ 0.8605 Hz

𝜔2 = √𝜆2 = 6.2430 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ≈ 0.9936 Hz

𝜔3 = √𝜆3 = 23.5111 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ≈ 3.7419 Hz

𝜔4 = √𝜆4 = 25.9401 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ≈ 4.1285 𝐻𝑧

Los autovectores de A, los cuales vienen a ser los modos de vibración, son:

0.0350 𝑢1 = [ −0.0221 ] −0.9991 −0.0034 −0.0672 𝑢2 = [ −0.0452 ] −0.0062 0.9967 0.6974 𝑢3 = [ −0.5600 ] 0.4445 −0.0500 0.7308 𝑢4 = [ 0.4128 ] 0.0452 0.5417