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• Maricielo Peña Guevara

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PROMEDIOS PROMEDIOS

Sean “n” datos: 𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 ; … ; 𝑎𝑛

തതതത) Promedio aritmético (𝑃𝐴

തതതത = 𝑃𝐴

Promedio Armónico (തതതത 𝑃𝐻 )

തതതത ) Promedio Geométrico (𝑃𝐺

𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ 𝑎𝑛 𝑛

തതതത 𝑃𝐺 = 𝑛ඥ𝑎1 × 𝑎2 × 𝑎3 × … × 𝑎𝑛

തതതത 𝑃𝐻 =

𝑛 1 1 1 1 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛

Para dos datos തതതതത × 𝑀𝐻 തതതതത = തതതതതത 𝑀𝐴 𝑀𝐺 2 

MEDIA ARITMÉTICA (Para dos cantidades) M.A. (A, B) =



AB 2



15 Equidista de 12 y 18

M.G.-(A, B) =

Ejm.:

M.H.(40, 60) =

18

MEDIA GEOMÉTRICA (Para dos cantidades) AxB



9

Media proporcional Cocientes iguales

16

40  60

 48

1.

Para números no iguales el promedio aritmético es mayor que el promedio geométrico y este a su vez es mayor que el promedio armónico. P.A. > P.G. > P.H.

2.

Para dos números a y b se cumple:

9 x 16 = 12

12

2 x 40 x 60

PROPIEDADES :

Ejm.: Hallar la media geométrica de 9 y 16. M.G.(9, 16) =

A.B 2  2 1 1 A B  A B Hallar la media armónica de 40 y 60.

M.H.(A, B) =

Ejm.: Hallar la media aritmética de 12 y 18 18  12 M.A.(18, 12) = = 15 2 12

MEDIA ARMÓNICA (Para dos cantidades)

Si M.A(a, b) = M.G.(a, b) = M.H.(a,b)  a=b

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PRÁCTICA 1. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si P es el promedio de los siguientes datos: 𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3 < ⋯ < 𝑎𝑛 , entonces 𝑎1 < 𝑃 < 𝑎𝑛 . II. Para cantidades diferentes se cumple que തതതത തതതത > 𝑃𝐴 തതതത. 𝑃𝐻 > 𝑃𝐺 III. La media geométrica de “a” y “b” es √𝑎 × 𝑏. a) FFV

b) VVF

c) VFV

d) VVV

e) FFF

2. Calcular el promedio de los “n” primeros números enteros y positivos. 𝑛−1

a)

2

b)

𝑛

c)

2

𝑛(𝑛+1) 2

d)

𝑛(𝑛−1)

e)

2

(𝑛+1) 2

3. Sabiendo que la media aritmética y la media geométrica de dos números a y b están en la razón de 5/4. Hallar entonces en qué razón están los números a y b. a) 3/2 b) 2/3 c) 4/5 d) 1/3 e) 4/1 4. En un salón de clases el promedio de edades de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. Calcular la edad promedio de los alumnos del salón. a) 15 b) 15,2 c) 17,1 d) 16,7 e) 16 5. Calcular el promedio armónico de: 2; 6; 12; 20; 30;….; 600. a) 24 b) 25 c) 13/12 d) 24/25 തതതത de: 6. Hallar la 𝑚ℎ 2; 6; 12; 20;…; 10100 a) 101 b) 100

c) 99

e) 25/24

d) 20

e) 111

7. El promedio geométrico de 4 números enteros y diferentes es 2√2 . Determina el promedio aritmético de dichos números. a) 2,45 b) 2,95 c) 3,75 d) 3,84 e) 4,25 8. El promedio aritmético de las edades de 30 estudiantes es 32 años. Si el promedio de los 10 mayores es 34 años y el de los 10 menores es 29 años, determina el promedio de edad de los 10 estudiantes restantes. a) 32 años b) 34 años c) 36 años d) 33 años e) 35 años 9. El promedio de “m” números es “A”, y el promedio de “N” números es “B” ¿Cuál es el promedio de todos los números? a) 𝐴 + 𝐵

b)

𝐴+𝐵 2

c)

𝐴𝑀+𝐵𝑁 2

d)

𝐴𝑀+𝐵𝑁 𝑀+𝑁

e)

𝐴𝑀+𝐵𝑁 𝐴+𝐵

10. Se efectuó un censo con los resultados: “p” personas tiene “2b” años, “q” personas tiene “(2b+1)” años. Si el promedio general es 2,5b. ¿Entonces “q” será? a)

2𝑝−𝑏𝑝 2𝑏

b)

2𝑏−2𝑏𝑝 𝑏

c)

𝑝−2𝑏𝑝 2𝑏

d)

𝑝−2𝑏𝑝 𝑏

e)

11. El promedio armónico de a y b es 112/15. ¿En qué relación están a y b, sabiendo que (a-b) es 1? a) 8/7 b) 5/6 c) 7/8 d) 4/5 e) 6/5 12. La media armónica de dos números es 9. Si se aumenta 6 a cada uno de dichos números, la nueva media armónica es 16. Calcular la suma de dichos números. a) 12 b) 14 c) 25 d) 18 e) 24 13. El promedio aritmético de 3 números impares es 13/3; el promedio geométrico de los mismos es igual a uno de ellos y su promedio armónico es 27/13. Hallar el mayor de dichos números. a) 3 b) 5 c) 9 d) 4 e) 6 14. El promedio armónico de las edades de 8 personas es 30. Ninguno de ellos es menor de 28 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener una de ellos? a) 52 b) 56 c) 60 d) 64 e) 68 15. El promedio de las edades de un grupo de 16 alumnos es 54. Si ninguno de ellos obtuvo menos de 60, ¿Cuál es la máxima edad común que 4 de ellos pueden obtener? a) 36 b) 18 c) 40 d) 52 e) 26 16. La media geométrica de 5 números es 81. Si la media geométrica de 3 de ellos es 9, calcular la media geométrica de los otros 2 números. a) 34 b) 38 c) 310 d) 37 e) 35 17. El promedio de 50 números es 38; siendo 45 y 55 dos de los números. Si eliminamos esos dos números, determinar el promedio de los restantes. a) 37,50 b) 37 c) 36,75 d) 37,63 e) 38 18. Se tiene un conjunto de 100 números cuyo promedio aritmético es “n”, si el promedio aritmético de 20 de estos 100 números es (n+4); calcular “n” si el promedio aritmético de los otros 80 números es 13. a) 14 b) 16 c) 17 d) 13 e) 15 ̂ si uno de 19. El promedio armónico de 2 números es 5, 09 los números es 4, determinar el otro número. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 11 20. El error que se comete al tomar el promedio aritmético por el promedio geométrico de “a” y “b” es 1/2. ¿Cuál es la diferencia de a y b sabiendo que PA+PG es 32? a) 6 b) 7 c) 8 d) 8,7 e) 9 21. La tabla muestra ingreso mensual vs. N° de familias. Ingreso Mensual N° de familias

$.400

$.500

$.800

$.1200

80

60

40

20

Hallar el sueldo mensual promedio: a) $.550 b) $.560 c) $.670 d) $.580

e) $.590

𝑏𝑝 2−𝑏

8

22. El mayor promedio de dos números enteros es 40 y el menor promedio es 30. Hallar la diferencia de los números. a) 30 b) 20 c) 10 d) 40 e) 22

33. La media aritmética de 200 números pares de tres cifras es 699 y la media aritmética de otros 200 números pares de tres cifras es 299. ¿Cuál es la media aritmética de los números pares de 3 cifras no consideradas? a) 498 b) 499 c) 948 d) 949 e) 449

23. Los números: a, b, c están en la misma relación que los തതതതത(𝑎; 𝑏; 𝑐)/ 𝑚𝑎 തതതത(𝑎, 𝑏, 𝑐) números: 10; 4; 25. Calcular 𝑚𝑔 a) 9/13 b) 10/13 c) 8/13 d) 11/13 e) 8/7

34. En un paseo se observa que la cantidad de piuranos es el 75% de la cantidad de tumbesinos y la cantidad de arequipeños es el 60% de los norteños. Si la edad promedio de los piuranos, tumbesinos y arequipeños son 28, 21 y 8 años respectivamente. ¿Cuál es la edad promedio de todas las personas? a) 7 b) 10 c) 18 d) 21 e) 35

24. El promedio geométrico de tres números proporcionales a: 1/12, 1/6 y 1/3 es 84. Hallar el promedio armónico de los tres números. a) 48 b) 36 c) 72 d) 54 e) 63 25. El promedio geométrico de 20 números es 8 y el promedio geométrico de otros 20 números es 18 ¿Cuál es el promedio geométrico de los 40 números. a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

26. Calcular: - El promedio de los n primeros enteros positivos. - El promedio de los n primeros números impares. - El promedio de los n primeros números pares. Dé como respuesta el promedio de los tres promedios. a)

5𝑛+3 6

b)

4𝑛+3 6

c)

5𝑛+2 6

d)

3𝑛+2 6

e)

2𝑛+5 7

27. El promedio aritmético de “n” números es 3n/2. Si se aumenta a dichos números 1; 2; 3; 4;….., respectivamente, halle el promedio aritmético de los números resultantes. a) 2n  3

b) 4n  3 2

c) 3n2  4n

d)

2 e) 3n  1

4n  1 2

112 3

36. Si para dos números se cumple que cuatro veces la media geométrica es igual a cinco veces la media armónica. Hallar la media aritmética de estos dos números, si uno de ellos es el cuadrado del otro. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 18 37. La media aritmética de tres números es 7, la media geométrica de los mismos es igual a uno de ellos y su media armónica es 36/7. Hallar el menor de los tres números. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2

28. La razón aritmética de dos números es 12 y su promedio aritmético excede a su promedio geométrico en 3. Hallar su promedio armónico. a) 10,18 b) 0,27 c) 2,7 d) 1,8 e) 3,6 തതത; 𝑎2 , 𝑏2 ) = തതതതത(𝑎𝑏 29. Si: 𝑀𝐴

35. Para la producción de zapatos por campaña escolar se distribuyó la producción entre las empresas A, B y C en forma proporcional a 3, 6 y 2 respectivamente. Si dichas empresas producen 45; 54 y 90 zapatos por día respectivamente. Calcular la producción media de una empresa por día. a) 16 b) 27 c) 38 d) 55 e) 58

38. Se tiene 3 números a, b y c tales que: MH (a ;b) = 4 MH (a ;c) = 6 MH (b ;c) = 12 Calcular: MH (a; b y c) a) 4 b) 5 c) 6

d) 7

e) 8

.Calcular: MA(a; b)

തതതതത de 30. La diferencia de dos números es 32, la തതതത 𝑚𝑎 𝑦 𝑚𝑔 estos números son entre sí como 5 a 3. Hallar la തതതത 𝑚ℎ de estos números. a) 6,4 b) 7,2 c) 5,4 d) 8,1 e) 8,4

39. Si la: തതതതത (𝑚; 𝑛) = 20 𝑀𝐺 തതതതത (𝑚; 𝑝) = 40 𝑀𝐺 തതതതത (𝑛; 𝑝) = 50 𝑀𝐺 Calcular la media armónica de m; n; p a) 22 b) 23 c) 25 d) 26 2⁄3

31. Si el promedio de los términos de una proporción aritmética continua es 12. Hallar la suma de los extremos. a) 18 b) 20 c) 24 d) 28 e) 30

40. El promedio aritmético y geométrico de A y B son തത. impares consecutivos; además A excede a B en തത 3𝑎 Halle “a” si es máximo. a) 9 b) 7 c) 8 d) 6 e) 4

a) 5,5

b) 5

c) 3

d) 3,5

e) 4

32. Los promedios aritmético y geométrico de los números “a” y “b” son 13 y 12 respectivamente. Los promedios aritmético y geométrico de otros dos números “c” y “d” തതതതത de los 2 números son 14 y 8√3. Calcular la 𝑀𝐴 mayores. a) 11 b) 17 c) 23 d) 31 e) 43

e) 27

DOCENTE: CÉSAR LLUÉN CUMPA

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