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Progresiones Aritméticas PROFESOR: Héctor Espinoza Hernández [email protected]

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Contenido  

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¿Qué es progresión aritmética? Razón o diferencia de una progresión aritmética. Término “n” de una progresión aritmética. Suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética. Interpolación de “m” medios aritméticos. 2

¿Qué es progresión aritmética? 

Progresión aritmética es una sucesión en la que cada término, a partir del segundo, se obtiene sumando al anterior un número fijo (constante) llamado diferencia o razón. Ejemplo: 5, 9, 13, 17, 21, 25, … +4 +4 +4 +4 +4 3

Razón o diferencia de una progresión 

Se llama razón o también diferencia de una progresión a la diferencia entre dos términos consecutivos de una progresión aritmética. Donde :

d  an  a( n 1)

d : es la diferencia an : es cualquier termino a( n 1) : es el termino anterior 4

EJERCICIOS 



Escribe una progresión con 8 términos 1)Si a1=3 y d=6 2)Si a1=11 y d=7 Calcula la diferencia o razón de cada progresión. 1) 7, 10, 13, 16, 19, … 2) 25, 40, 55, 70, 85, … 5

Término “n” de una progresión aritmética 

Deducimos una fórmula que nos permita calcular cualquier término de una progresión aritmética.

a1  a1 a2  a1  d a3  a1  d  d  a1  2d a4  a1  2d  d  a1  3d a5  a1  3d  d  a1  4d .......................................... an  a1  (n  1)d 6

Término “n” de una progresión aritmética 

Luego, la fórmula para calcular el término de lugar “n” es:

an  a1  (n  1)d

Donde : an : es cualquier termino a1 : es el primer termino n : es el lugar del termino d : es la diferencia o razon

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Término “n” de una progresión aritmética 

Despejando una variable obtenemos otras fórmulas:

an  a1  (n  1)d

a1  an  (n  1)d

an  a1 d n 1

an  a1 n 1 d

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Ejemplo1 

Halla el décimo tercer término de la progresión: 5, 12, 19, 26, …

an  a1  (n  1)d a13  5   13  1 7 a13  5  12  7 a13  5  84 a13  89 9

Ejemplo2 

Una persona decide ahorrar parte de su dinero durante un año, empezando con 150 nuevos soles. Si cada mes agrega 75 nuevos soles a su cuenta de ahorro. ¿Cuánto habrá ahorrado hasta el último mes?

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Ejercicios 1)Calcula el décimo quinto término de la progresión: 5, 11, 17, 23, … 2)Calcula el primer término de una progresión aritmética cuyo décimo sexto término es 65 y su diferencia es 4. 3)¿Cuántos términos tiene una progresión aritmética cuya diferencia es 3, su prime término es 2 y su enésimo término es 26? 4)¿Cuántos múltiplos de 5 hay entre 1234 y 1540? 11

Interpolación de medios aritméticos 

Interpolar medios aritméticos consiste en intercalar “m” términos entre a1 y a2, de tal modo que se forme una progresión aritmética con “m+2” términos.

a1, (m + 2 términos), a2 12

Procedimiento para interpolar “m” medios aritméticos 

Hallamos la razón de una P.A. con “m+2” términos y cuyos extremos son a1 y a2. an  a1   n  1 d an  a1   m  2  1 d an  a1   m  1 d d



an  a1 m 1

Escribimos la progresión intercalando los medios aritméticos. 13

Ejemplo1 Interpolar 5 medios aritméticos entre 4 y 22. Solución c) Hallamos la razón o diferencia. an  a1  (n  1)d 22  4   7  1 d 22  4  6d 18  6d d 3 i)

Escribimos la sucesión. 4, 7,10, 13, 16, 19, 22

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Ejemplo2 Interpolar 8 medios aritméticos entre 5 y 54. Solución c) Hallamos la razón o diferencia. an  a1  (n  1)d 54  5   8  1 d 54  5  7 d 49  7d d 7 i)

Escribimos la sucesión. 5, 12,19, 26, 33, 40, 47, 54

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Ejercicios 1)

2) 3) 4)

Interpolar 7 medios aritméticos entre 11 y 43. Interpolar 5 medios aritméticos entre 28 y 48 Interpola 7 medios aritméticos ente 1 y 13. Interpola 9 medios aritméticos entre 3 y 6.

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