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• Alexis Poma

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ARITMÉTICA

CONJUNTOS I

Ejemplo: OBJETIVOS

Dado el conjunto : M = { 2, a, 3 }

Al finalizar el presente capítulo, el lector estará en la capacidad de :

2 pertenece al conjunto M ( 2  M ) a pertenece al conjunto M ( a  M )

 Conocer los aspectos básicos de las matemáticas y en los que están sustentados

5 no pertenece al conjunto M ( 5  M ) b no pertenece al conjunto M ( b  M )

 Realizar los estudios de grupos de objetos reales o abstractos

Ejemplo de aplicación :

 Clasificar los objetos por forma, especie, tamaño, etc.

En el siguiente conjunto : A = { 3, { 3} , 5, { 7 } } ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?  3A .......................................... ( )  { 3 }  A .......................................... ( )  { 7 }  A .......................................... ( )  7  A............................................ ( )  9  A .......................................... ( )  { 3, 7 }  A ................................... ( )  { 3, { 3 } }  A ............................... ( )  { { 3 } }  A ................................... ( )  { { 7 }, { 3 } }  A .......................... ( )

INTRODUCCIÓN En la vida diaria observamos a los objetos, cosas e ideas en formas individuales, si quisiéramos realizar un estudio de objetos que poseen características comunes, o realizar una estadística de ellos, hay la necesidad de agruparlos en conjuntos, ya agrupados podemos analizarlos y relacionarlos con otros grupos de objetos coleccionados también por características comunes.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO. NOCIÓN DE CONJUNTO

Un conjunto queda determinado cuando es posible decir si un elemento cualquiera pertenece al conjunto o no. Existen dos métodos para determinar un conjunto.

Intuitivamente es la reunión, colección o agrupación de conjuntos reales o ideales; a este objeto se le denomina elementos del conjunto.

POR EXTENSIÓN O FORMA

TABULAR.-

Cuando se nombran explícitamente a cada uno de los elementos del conjunto, enumerándolas o indicándolos en forma sobreentendida.

Los conjuntos generalmente se denota con letras mayúsculas (A, B, C,....) y sus elementos separados por comas y encerrados por signos de agrupación ( llaves, corchetes, etc.)

Ejemplo:

Ejemplo: El conjunto de los cinco primeros números primos A = { 2, 3, 5, 7, 11 }

Las estaciones del año A = { verano , invierno, otoño, primavera }

El conjunto de las vocales B = { a, e, i, o, u }

Los días de la semana B = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo }

El conjunto de las letras del abecedario C = { a, b, c, d, . . . , z }

Las vocales C = { a , e, i, o, u }

El conjunto de los números primos pares mayor que 2 D={ }

Los números cuadrados perfectos mayores que uno y menores que 37.

RELACIÓN DE PERTENENCIA ()

D = { 2 2 , 3 2, 4 2, 5 2, 6 2 }

Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece() a dicho conjunto en caso contrario no pertenece () a dicho conjunto. La relación de pertenencia es una relación exclusiva de elemento a conjunto

Los países sudamericanos E = { Perú , Bolivia, Argentina, . . . , Chile }

1 AR-10M-01

ARITMÉTICA POR COMPRENSIÓN O FORMA CONSTRUCTIVA Es cuando se mencionan una o más características comunes y exclusivas de los elementos del conjunto.

A= { 1,2, 5, 7, 12, 13 }

.1

.2 .13

7

Esquema : A = { forma del elemento del conjunto / Características de la variable involucrada en el elemento }

A

5 .12

B = { x/ x es un día de la semana }

Ejemplo:

.Lunes

.Martes .Miércoles s e ern .Vi .Sábado

 Las estaciones del año A = { x/x es una estación del año }  Los días de la semana B = { x/ x es un día de la semana }  El conjunto de las vocales C = { x/x es una vocal }

B

.Jueves .Do mi ng o

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS INCLUSIÓN DE CONJUNTOS

 Los números cuadrados perfectos mayores que uno y menores que 37 D = { x2 / 1 < x < 7  x  N }

Se dice que A está incluido en otro conjunto B, si solo si todos los elementos de “A” son también elementos del conjunto “B”

 Los países de Sudamérica E = { x / x es un país sudamericano }

Es decir :

NÚMERO CARDINAL El número cardinal de un conjunto “A” nos indica la cantidad de elementos diferentes que posee el conjunto y se denota por “ n(A) ” Ejemplo :

   

“A” “A” “A” “B”

está incluido en “B” está contenido en “B” es un subconjunto de “B” contiene al conjunto “A”

Diagrama :

 En el conjunto M = { 2, 3, 5, }  n( M ) = 3

A

 En el conjunto N = { 4, 5, 7, 4, 7, 6 }  n( N ) = 4

B

se denota : A  B.

 En el conjunto P = { 17, 27, 37, 47, . . . . .,997 }  n( P ) = 99

Se define : A B(xAxB)

 En el conjunto Q = { 2, 6, 12, 20, 30, . . . ., 930 }  n( N ) = 30

Ejemplo : Dados los conjuntos

 En el conjunto R = { x/ x es una letra del abecedario }  n( R ) = 27

N = { x/x es una vocal débil } M = { x/ x es una vocal }

 En el conjunto S = { a, {a} , b ,{ b }, {a, b} }  n( S ) = 5

Toda vocal débil es una vocal

M

 En el conjunto T = { x/x es un planeta del sistema solar }  n( T ) = 9

N

.a .i

.e

.u .o

NOTA Los Diagramas de VENN – EULER representan a los Ejemplo: conjuntos mediante regiones planas limitadas por figuras

 N  M 2 AR-10M-01

ARITMÉTICA Ejemplo: Sea el conjunto : A = { 2 ,{3}, 4}

Como ( M  N)  N  M ) entonces ( M = N ) CONJUNTOS COMPARABLES Se dice que dos conjuntos son comparables cuando por lo menos uno de ellos esta incluido en el otro.

Entonces :

A  B  B  A {2}  A ; { {3} }  A ;   A

{3}  A ; {3, 4} A

Ejemplo : A = { 4, 5, 7 } B = { 4, 7, 6, 8, 1, 3 }

IMPORTANTE

:

( A  B)  ( A  B ) entonces A y B son comparables

El conjunto vacío está incluido en todo conjunto Si A  B  A  B ; entonces A es subconjunto propio

CONJUNTOS DISJUNTOS. Se dice que conjuntos son disjuntos o separados cuando no poseen elementos comunes. Ejemplo: A = {x/x es un número par} B = {x/x es un número impar} Como A y B no poseen elementos comunes, entonces son disjuntos.

CONJUNTOS IGUALES Intuitivamente dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos Es decir :

CONJUNTOS DIFERENTES Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee el otro.

 A  B  B  A

A=B

AB A  B B A

Ejemplo : A = {– 3 , 1}

y

B = { x  Z / x2 + 2x – 3 = 0 }

CONJUNTOS EQUIVALENTES

Son iguales

Dos conjuntos se dicen equivalentes o equipotentes, si es que poseen un mismo número cardinal; es decir si poseen el mismo número de elementos.

IMPORTANTE :

Si al menos un elemento de dicho conjunto NO es elemento común a dichos conjuntos, entonces los conjuntos ya no son iguales

Ejemplo : A es el conjunto de las vocales

Ejemplos

B es el conjunto de los dígitos impares

01.Sean los conjuntos A = { 2, 4, a, b } Como se cumple : AB



B = { 2, 2, 4, a, b, a, b } B  A

02.Sean los conjuntos A = { 2, 4, a, b } Como se cumple : AB



B  A

Como

n(A) = 5



n(B) = 5

Entonces los conjuntos A y B son equivalentes

 A=B

DIAGRAMAS DE L. CARROL Los diagramas de L. Carrol, son similares a los de Venn, difieren en que los primeros consisten en rectángulos divididos por segmentos, que son apropiados para representar conjuntos disjuntos o conjuntos con sus respectivos complementos

B = { 2, 2, 4, a, b, a, b }  A=B

03.Sean los conjuntos :

1  1 1 1 ,.....,  , ,  420   2 6 20   1 / x  Z  1  x  20 N=   x( x  1)  M=

3 AR-10M-01

ARITMÉTICA MUJERES

 19 alumnos gustan de Trigonometría, pero no de Aritmética.  Los que gustan sólo de Aritmética es igual a 8 ¿Cuántos alumnos gustan de álgebra si todos al menos prefieren un curso ?

NO BAILAN BAILAN

HOMBRES

Respuesta : 10

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

05.

01. Sea el conjunto : A = { a, {a}, 7 { 7 }, {18} } ¿Cuántas proposiciones son verdaderas aA

.......................... (

)

II. { a }  A

.......................... (

)

III. { a }  A

.......................... (

)

I.

CLASES DE CONJUNTOS.

IV. { 7 , { 7}}  A

.......................... (

)

{ {a} }  A

.......................... (

)

VI. n( A ) = 5

.......................... (

)

VII. { 8 }  A

.......................... (

)

{ a, 7 }  A

.......................... (

)

IX. { { 7 } , 7 }  A

........................ (

)

.......................... (

)

V.

VIII. X.

8A

Finito Un conjunto es finito, si posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus elementos terminan en algún momento. Ejemplo: A = {x/x es un día de la semana} B = { 2, 6, 12, 20, 30, . . . . . , 420 } C = { x 3 + 1 / x  Z ; 5 < x < 24 }

Respuesta : 6 02.

A una reunión asistieron 16 damas con falda y 20 varones con Bigote, 26 portaban casaca, 20 damas no llevaban casaca, 5 damas portaban casaca pero no falda, 13 varones de bigote no tenían casaca. ¿Cuántos varones que tenían casaca no tenían bigote, si 12 damas no llevaban falda ni casaca ?

Infinito Un conjunto es infinito, si posee una cantidad ilimitada de elementos, es decir el proceso de contar sus elementos nunca terminan. Ejemplo:

Respuesta : 6 03.

A = { x/ x es un átomo en el espacio } B = {x/x es un número real}

Sean los conjuntos :

C={x+3/xR / 2 5 x 10 4 2 000 ───> 2 x 10 3 800 ───> 8 x 10 2 30 ───> 3 x 101

BASE DECIMAL: Llamada también "base diez"; es el conjunto de diez símbolos (nueve significativos: 1,2,3,4,5,6,7,8 y 9; y uno no significativo: 0 ) con el cual se pueden formar todos los números posibles, por combinaciones de los mismos.

9 ───> 9 x 10 0 Luego: 252837 = 2  10 5 +5  10 4 +2  10 3 +8  10 2 +3



5. LECTURA DE LOS NÚMEROS :

b) Números Menores que la unidad

En vista que desde la escuela primaria se aprendió a nombrar los números por lo menos del UNO hasta el MIL (unidades del cuarto orden); en esta parte daremos a conocer los principios fundamentales para la lectura de números más grandes. a.

b.

101 +7  10 0

Ejemplo. Desarrollar en forma polinómica el número : 0,35476 0,35476 = 0,3 + 0,05 + 0,004 + 0,0007 + 0,00006 =

En el sistema de Numeración Decimal cada cifra ocupa un lugar denominado ORDEN, tres órdenes constituyen una CLASE; cada dos clases o seis órdenes constituyen un PERIODO.

=

3 5 4 7 6     10 100 1 000 10 000 100 000 = 3 10 1 + 5 10 2 + 4 10 3 + 7 10 4 + 6  10  5

En todo número del sistema decimal, cada unidad de orden equivale a diez veces una unidad del orden inmediato inferior; en tal razón:

8. OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

15 AR-10M-01

ARITMÉTICA Desde que la base de un sistema de numeración es un número natural mayor o igual a 2, entonces habrá infinitos sistemas de numeración. A continuación se indican algunos sistemas de numeración y sus símbolos : BASE 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

SISTEMA Binario o Dual Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal o Decuplo Undecimal Dodecimal Base trece

Ejemplo 01 : Sea N = 374562(ocho) = 374562(8) N

2  80

CIFRAS EMPLEADAS

Ejemplo 02 : Podemos generalizar la forma polinómica de un número que tenga "n" cifras :

0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

N = abc....spt (n) (Mayor que la unidad) Número de cifras = n Grado del polinomio = n – 1 N = a  nn 1  b  nn  2  c  nn  3 + ... + s  n2 + p  n1 + t  n0 .

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ,  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , , 

Ejemplo 03 : N = 0, abcde ( n) (Menor que la unidad) N=

9. CARACTERÍSTICAS DE LA BASE DE UN SISTEMA Ya en el sistema decimal señalamos las características de la base diez; ahora lo generalizamos para un sistema de base cualquiera. 01. 02. 03. 04.



a

1 +

n

b n

2 +

c n

3 +

d n

4 +

e n5

10.CONVERSIÓN DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN Consideramos dos situaciones : a) Para números enteros b) Para números positivos, menores que la unidad.

“n” es un número entero y positivo. “n” es igual al número de símbolos “n” > cualquiera de sus símbolos n  2

05. n

= 3  8 5 + 7  8 4 + 4  8 3 + 5  82 + 6  81 +

A) PARA NÚMEROS ENTEROS : Consideramos tres casos: PRIMER CASO : “Cambios de un número dado en el sistema de numeración decimal a otros sistemas de numeración de base "n" diferente a 10 ”

10 en cualquier sistema

Lectura De Los Números En otro sistemas de numeración diferentes al sistema de numeración decimal, la lectura se hace nombrando separadamente, todas cifras de izquierda a derecha, indicando al final la base del sistema en el cual está el número ; la base se escribe dentro de un paréntesis a la derecha y abajo.

Ejemplo 01: Escribir el número 435, en el sistema heptanario. Solución: 435 7 1 62 7 6 8 7 1 1

Ejemplo. La lectura del siguiente número 3264 (7) será así :

435(10) = 1161( 7)

Tres, dos, seis, cuatro en el sistema Heptanario o de base 7 . La forma real como se debe escribir el número anterior es :

SEGUNDO CASO : “Cambios de un número de base “n” al sistema decimal o de base diez ”.

3264 (siete) puesto que en el sistema heptanario no se conoce el símbolo (7); pero para facilitar y abreviar emplearemos la misma fórmula.

Ejemplo 02 : Sea el número 326 en base heptanario, escríbalo en base diez.

FORMA POLINÓMICA DE LOS NÚMEROS Se sigue el mismo criterio del sistema de numeración decimal; es decir que, la forma polinómica de un número en cualquier base ; es representado en sumandos que sean múltiplos de las potencias de la base .

Solución :

326( 7) = N 326( 7) = 3  7 2 + 2  71 + 6 326( 7) = 147 + 14 + 6 = 167 16

AR-10M-01

ARITMÉTICA Solución: Como en el caso anterior, primero convertimos

 326(7) = 167(10) = 167

0,24 ( 6) a fracción

TERCER CASO : “ Transformación de un número de base “n” a un sistema de numeración de base “m” ; ambas diferentes de diez”

0,24 ( 6) =

Ejemplo 03 : Sea el número 3421 en base cinco , escríbalo en base ocho.

0,24 ( 6) =

a) 2 d) 7

PRIMER CASO : "De base 10 a base diferente de 10."

b) 5 e) N. A

Resolución ab  ba  143

Ejemplo 01 : Expresar el número 0,38 a base 5.

c) 6

ab  ba  45

y

Sumemos ambas igualdades: 2 ab = 188  ab = 94 a=9 y b=4  ba  49 = 7 La respuesta es "C" 02. Si a un número se le añade la suma de sus cifras; se obtiene el valor de 6877. Hallar a + b + c + d + 2

Solución : 1° Convertimos 0,38 a fracción

38 19  100 50

Nótese que si se sigue multiplicando la fracción

0,23 ( 4 ) a base 8

01. La suma de un número de dos cifras, con el que se obtiene al invertir las mismas cifras ; es igual a 143; y la diferencia de los mismos es igual a 45 . Hallar ba .

B) PARA NÚMEROS POSITIVOS, MENORES DE 1 Estudiamos tres casos:

Se “guarda”

= 0,4

PROBLEMAS RESUELTOS

 3421 (5) = 746 (8)

1 5 1 5  2 2 2 2

9

Respuesta 0,54(8)

486 8 6 60 8 4 7

Se “guarda”

4

Solución: Se aplica los dos casos anteriores, es decir primero se convierte a fracción y luego se lleva a base 10, luego se le aplica el método de multiplicaciones sucesivas

– A base 8 : ( Por divisiones sucesivas )

9 9 1 5  4 10 2 2

36



Ejemplo: Efectuar :

3421(5) = 375 + 100 + 10 + 1 = 486

Se “guarda”

16

TERCER CASO : “De base diferente a 10, a base diferente a 10 ”

3421(5) = N(10) 3421(5) = 3  5 3  4  5 2  2  51  1 =

19 19 9 5 1 50 10 10

, entonces se convierten a base

100 (6)

decimal

Resolución : Primero lo pasamos a base 10 y luego a la base 8. (Se aplican los dos casos ) – A base 10 :

0,38 

24 (6)

a) 3 d) 9

b) 5 e) N. A

c) 7

Resolución: El número inicial , debe de ser de cuatro cifras de la forma abcd

Por condición : abcd + a + b + c + d = 6877 . . . . . ( ) 1°. Se puede deducir que la cifra de millares (a) y centenas (b) son 6 y 8 respectivamente.

1 por 5 , 2

siempre sale “2”, lo que nos da el “periodo”  El número de base 5 será :

Reemplazando en ( ); obtenemos : 68cd + 6 + 8 + c + d = 6877 Arreglando convenientemente : 6800 + cd + 6 + 8 + c + d = 6877

0, 14222 ...(5) = 0, 14 2 (5) SEGUNDO CASO : " De base diferente a 10, a base diez. "

 11 c + 2 d = 63 ;

cd + c + d = 63

Ejemplo 02 : De donde : c = 5  d = 4

Expresar el número 0,24 (6) a base 10.

a+ b+ c + d+ 2 

17 AR-10M-01

6+ 8+ 5+ 4+ 2 =

25 = 5 La respuesta es "B" .

ARITMÉTICA

Resolución : Sea abc el número de tres cifras : a = 2c, y b = 3a  b = 6c Como a, b y c son enteros menores que 10, deducimos que : c = 1 , a = 2 y b = 6

03. Hallar el valor de "x" en la expresión: 1423 (x ) =

271(15) a) 2 d) 7

b) 5 e) 9

c) 6

Luego el número será : 261

Resolución:

Vemos que: 12

No se desespere resuelva este problema, descomponiendo ambos términos. La respuesta es D



261  Producto de cifras : 2(6)(1) =

La respuesta es "C" 04. ¿Cuál es el mayor número capicúa del sistema de base 13 que se escribe con 4 cifras en el sistema de base 6 ? a) 686(13)

b) 575(13)

d) 787(13)

e) N.A

07. ¿Cuál es la base del sistema de numeración en la que se halla la siguiente progresión geométrica de razón igual a 3?

c) 989(13)

2 : 11 : 33 : 204 : ... a) 4 d) 5

Resolución: Sea el número N13 , capicúa .

N13 =

Según datos :

abcd

1000 (6)

Sabemos que:





216



Recuerda que en una progresión geométrica : “El producto de los términos extremos, es el cuadrado del término medio

abcd (6)