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Producto escalar En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto, es una aplicación cuyo dominio es V 2 y su codominio es K, donde V es un espacio vectorial y K el conjunto de los escalares respectivo.[1] Esta aplicación amplía la oportunidad de emplear los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

1

•:

V ×V (x, y)

−→ K −→ a = x • y

Un espacio vectorial sobre el cuerpo R o C dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de Hilbert. Si la dimensión es finita y el cuerpo es el de los números reales, se dirá que es un espacio euclídeo; si el cuerpo es el de los números complejos (y la dimensión es finita) se dirá que es un espacio unitario. Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

Definición general

∥x∥ :=

√ ⟨x, x⟩

El producto interior o producto escalar de dos vectores En tal caso, esta es una de las infinitas normas que pueden en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica ser generadas a partir de un producto interior. y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

2 Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real

Un producto escalar se puede expresar como una expresión:

⟨·, ·⟩ :

V ×V (x, y)

−→ K −→ a = ⟨x, y⟩

donde V es un espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido V . La función ⟨·, ·⟩ (que toma como argumentos dos elementos de V , y devuelve un elemento del cuerpo K ) debe satisfacer las siguientes condiciones: 1. Linealidad por la izquierda: ⟨ax + by, z⟩ = a⟨x, z⟩ + b⟨y, z⟩ , y linealidad conjugada por la derecha: ⟨x, ay + bz⟩ = a⟨x, y⟩ + b⟨x, z⟩ 2. Hermiticidad: ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ , 3. Definida positiva: ⟨x, x⟩ ≥ 0 , y ⟨x, x⟩ = 0 si y sólo si x = 0, donde x, y, z ∈ V son vectores de V, a, b ∈ K represen- A • B = |A| |B| cos(θ). tan escalares del cuerpo K y c es el conjugado del com- |A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B. plejo c. El producto escalar de dos vectores en un espacio euclíSi el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., R ), la pro- deo se define como el producto de sus módulos por el piedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el coseno del ángulo θ que forman. ser hermítica se convierte en ser simétrica. A · B = |A||B| cos θ = A B cos θ

También suele representarse por: 1

2

5 NORMA O MÓDULO DE UN VECTOR

En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es u · v

3 Propiedades del producto escalar

Esta definición de carácter geométrico es independiente Sean A, B y C vectores en el plano o en el espacio y sea del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la m un escalar: base del espacio vectorial escogida. 1. Conmutativa:

2.1

A·B=B·A

Proyección de un vector sobre otro

Puesto que |A| cos θ representa el módulo de la proyec- 2. Distributiva respecto a la suma vectorial: ción del vector A sobre la dirección del vector B, esto es A · (B + C) = A · B + A · C |A| cos θ = proy AB, será 3. Asociatividad respecto al producto por un escalar m:

A · B = |B| (proyAB ) de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

2.2

Ángulos entre dos vectores

m(A · B) = (mA) · B = A · (mB)

4 Expresión analítica del producto escalar

Si los vectores A y B se expresan en función de sus comLa expresión geométrica del producto escalar permite ponentes cartesianas rectangulares, tomando la base cacalcular el coseno del ángulo existente entre los vecto- nónica en R3 formada por los vectores unitarios {i , j , res, mediante la siguiente definición formal: que nos dice k} tenemos: que la multiplicación de un escalar denominado K tiene que ser diferente de cero. A = Ax i + Ay j + Az k A·B

cos θ =

A B

2.3

B = Bx i + By j + Bz k

Vectores ortogonales

El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son vectoriales

A · B

=

[ Ax

Ay

  ] Bx Az By  Bz

=

Ax Bx + Ay By + Az Bz A·B=0

⇒

A⊥B

ya que el cos π2 = 0 .

2.4

5 Norma o Módulo de un vector Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico considerado.

Vectores paralelos o en una misma diSe calcula a través del producto interno del vector consigo rección mismo.

Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados).

2

A = A · A

→

√

A = A · A

Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del Efectuado el producto escalar, tenemos: coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los mó 2 dulos vale lo mismo que el producto escalar.

A = A · A = (A1 , A2 , ..., An )2 = ∑ 2 A1 + A22 + ... + A2n = A2i A · B = A B cos θ ↔ | cos θ| = 1 ↔ A||B ⇒ |A · B| = |A| |B| de modo que

3



A = √ A21 + A22 + ... + A2n

√∑

A2i

=

• En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo C[a, b], acotado por a y b:

Por componentes, tomando la base canónica en R3 forf·g= mada por los vectores unitarios {i, j, k} A = Ax i + Ay j + Az k

2

A [ Ax

Ay

=  A · A =  A ] x Az Ay  = A2x + A2y + A2z Az

∫

b

f (x)g(x)dx a

• En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n: Dado [x1 , x2 , x3 , ..., xn , xn+1 ] ⊆ R tal que x1 < x2 < x3 < ... < xn < xn+1 : p · q = p(x1 )q(x1 ) + p(x ∑2 )q(x2 ) + ... + p(xn )q(xn ) + p(xn + 1)q(xn + 1) = p(xi ) · q(xi )

de modo que

√

A = A2x + A2y + A2z

6

Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales

7 Generalizaciones 7.1 Formas cuadráticas

Dada una forma bilineal simétrica B(·,·) definida sobre un espacio vectorial V =Rn puede definirse un producto escalar diferente del producto escalar euclídeo mediante Citamos a continuación algunos productos estudiados ge- la fórmula: neralmente en Teoría de Espacios Normados. Todos estos productos -llamados canónicos- son sólo algunos de (u, v)B    = los infinitos productos interiores que se pueden definir en B . . . B v1 1n [ ] 11 sus respectivos espacios. u1 . . . un  . . . . . . . . . . . . = Bn1 . . . Bnn vn ∑n ∑n • En el espacio vectorial Rn se suele definir el proB u i=1 j=1 ij i vj ducto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por: Donde: ∑ A·B = (a1 , a2 , a3 , ..., an )·(b1 , b2 , b3 , ..., bn ) = a1 b1 +a2 b2 +...an bn = a ·b Bij := B(ei , iej )i • En el espacio vectorial Cn se suele definir el producto interior por:

{e1 , . . . , en } es una base del espacio vectorial V

∑ que la operación anterior (·,·)B :V × A·B = (a1 , a2 , a3 , ..., an )·(b1 , b2 , b3 , ..., bn ) = a1 b1 +a2 b2Puede +...ancomprobarse ·bn = ai ·b i V →R satisface todas las propiedades que debe satisfacer Siendo bn el número complejo conjugado de bn un producto escalar. • En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con 7.2 elementos reales

Tensores métricos

Se pueden definir y manejar espacio no-euclídeos o más exactamente variedades de Riemann, es decir, espacios donde tr(A) es la traza de la matriz A y AT es la matriz no-planos con un tensor de curvatura diferente de cero, en los que también podemos definir longitudes, ángulos traspuesta de A. y volúmenes. En estos espacios más generales se adopta • En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con el concepto de geodésica en lugar del de segmento para definir las distancias más cortas en entre puntos y, tamelementos complejos bién, se modifica ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual introduciendo un tensor métri∗ A · B = tr(A · B) co g:M×T M×T M→R , tal que la restricción del tensor a donde tr(A) es la traza de la matriz B y A∗ es la matriz un punto de la variedad de Riemann es una forma bilineal traspuesta conjugada de A. gx (·,·)=g(x;·,·) . A · B = tr(AT · B)

4

10 ENLACES EXTERNOS

Así, dados dos vectores campos vectoriales u y v del espacio tangente a la variedad de Riemann se define su producto interno o escalar como: ⟨u, v⟩ = gx (u, v) =

∑ ∑ i

j

gij (x)ui vj

La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir a partir de su vector tangente T de la siguiente manera: ∫ sb √ LC = g(x, T, T) ds sa √ ∫ sb dxi dxi gij ds ds ds sa

8

=

Véase también • Espacio vectorial • Norma vectorial • Combinación lineal

• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3. • Navarro Camacho, Jorge y otros (julio 2007). Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria ; Matemáticas (Volumen III). MAD. ISBN 84-665-7931-1. • Marsden, J.E.;Tromba, A.J. (2004). Cálculo vectorial (5ª edición). Pearson educación, S.A. ISBN 847829-069-9. • Reinhardt, Fritz;Soeder,Heinrich (1984). Atlas de matemáticas 1.Fundamentos,álgebra y geometría (2 tomos). Alianza universidad. ISBN 84-206-69989. Parámetro desconocido |traductores= ignorado (ayuda)

10 Enlaces externos •

Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.

•

Portal:Física. Contenido relacionado con Física.

• Sistema generador • Independencia lineal • Matriz de Gram • Base (álgebra) • Base Ortogonal • Base Ortonormal • Coordenadas cartesianas • Producto vectorial • Producto mixto • Producto tensorial

9

Referencias

[1] Diccionario de matemáticas. ISBN 84-8055-355-3

9.1

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84604-4445-7 |isbn= incorrecto (ayuda).

• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9. • Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (en inglés) (6ª edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.

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11 11.1

Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias Texto

• Producto escalar Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalar?oldid=87405828 Colaboradores: Pino, SpeedyGonzalez, Tano4595, Ramjar, Wricardoh, Gengiskanhg, Richy, Petronas, Ooscarr, Chobot, Wikiwert, GermanX, Wewe, Banfield, Götz, Juan Antonio Cordero, Chlewbot, ManuelMore, CEM-bot, Marianov, Roberpl, Davius, Hichokei, Fsd141, Cgb, JAnDbot, Algarabia, Pólux, Dusan, VolkovBot, Technopat, Matdrodes, SieBot, Pacomegia, Tirithel, Hanspore, Dnu72, HUB, Botito777, Juan Mayordomo, Atila rey, Raulshc, VanBot, Camilo, UA31, AVBOT, David0811, Diegusjaimes, Luckas-bot, ArthurBot, SuperBraulio13, Kal-El-Bot, Kender00, Jkbw, Bot0811, Igna, Botarel, Rexmania, Halfdrag, AnselmiJuan, Edgardo C, PatruBOT, GrouchoBot, EmausBot, ZéroBot, JA Galán Baho, J. A. Gélvez, Jcaraballo, ChuispastonBot, Diolisinonio, Jharni Elmer Neyra Valverde, AvocatoBot, MetroBot, Acratta, Johnbot, Helmy oved, Magramtu, CheloBozu, Addbot, Balles2601, FedeBosio, Coins, JacobRodrigues, JuanManwell, Jarould, NinoBot y Anónimos: 105

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