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• Juan Carlos Carrillo

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GEOMETRÍA ANALÍTICA PRODUCTO ESCALAR CPI - 2020

PRODUCTO ESCALAR En el espacio de tres dimensiones se denomina producto escalar de dos vectores al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman

entre si estos vectores Sean los vectores 𝑃, 𝑄 y 𝛼 el ángulo entre ellos, el producto escalar es 𝑃. 𝑄 y

se lee 𝑃 escalar 𝑄. De acuerdo a esta definición será: 𝑃. 𝑄 = 𝑃 . 𝑄 cos 𝛼

PRODUCTO ESCALAR Como se puede notar, 𝑃 , 𝑄 y cos 𝛼 son cantidades escalares, por tanto, la operación producto escalar transforma dos vectores en un escalar Propiedades: 1. Propiedad conmutativa Para dos vectores cualquiera P y Q se tiene: 𝑃. 𝑄 = 𝑄. 𝑃 En efecto: 𝑃. 𝑄 = 𝑃 . 𝑄 cos 𝛼 = 𝑄 . 𝑃 cos 𝛼 = 𝑄. 𝑃

PRODUCTO ESCALAR 2. Propiedad distributiva respecto a la multiplicación por un escalar Para todo vector 𝑃 y 𝑄, y cualquier numero real 𝑘, se tiene: 𝑘𝑃 . 𝑄 = 𝑘(𝑃. 𝑄) En efecto: 𝑘𝑃 . 𝑄 = 𝑘 𝑃 . 𝑄 cos 𝛼 = 𝑘. 𝑃 . 𝑄 cos 𝛼 = 𝑘(𝑃. 𝑄)

PRODUCTO ESCALAR 3. Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores Para tres vectores cualesquiera 𝑃, 𝑄 y 𝑅 se tiene:

𝑃. 𝑄 + 𝑅 = 𝑃. 𝑄 + 𝑃. 𝑅

MÓDULO DE UN VECTOR Sea 𝑃 un vector cualquiera, si se realiza el producto escalar de 𝑃 por sí mismo, se tiene 𝑃. 𝑃 = 𝑃 . 𝑃 . cos 0

Finalmente:

𝑃. 𝑃 = 𝑃 . 𝑃 . 1

𝑃 =

𝑃. 𝑃

𝑃. 𝑃 = 𝑃

2

PERPENDICULARIDAD DE VECTORES Condición de perpendicularidad entre dos vectores Sean los vectores no nulos 𝑃 y 𝑄, el producto escalar de ambos será: 𝑃. 𝑄 = 𝑃 . 𝑄 cos 𝛼 Pero si los vectores son perpendiculares, entonces: 𝛼 = 90° y cos 90° = 0,

por lo tanto 𝑃. 𝑄 = 𝑃 . 𝑄 cos 𝛼 = 0

PERPENDICULARIDAD DE VECTORES Por tanto se puede afirmar: si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es igual a cero. Trabajando en el sistema cartesiano ortonormal, los vectores unitarios 𝑖, 𝑗, 𝑘 que forman la base del sistema ortonormal son perpendiculares de a dos, luego:

𝑖. 𝑗 = 𝑖. 𝑘 = 𝑗. 𝑘 = 0

También: 𝑖. 𝑖 = 𝑗. 𝑗 = 𝑘. 𝑘 = 𝑖

2

= 𝑗

2

= 𝑘

2

=1

PRODUCTO ESCALAR Producto escalar de dos vectores dados por sus componentes cartesianas Sean los vectores:

𝑃 = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘 𝑄 = 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2 𝑘

Entonces: 𝑃. 𝑄 = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘 . 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2 𝑘 = 𝑥1 𝑥2 𝑖. 𝑖 + 𝑥1 𝑦2 𝑖. 𝑗 + 𝑥1 𝑧2 𝑖. 𝑘 + 𝑦1 𝑥2 𝑗. 𝑖 + 𝑦1 𝑦2 𝑗. 𝑗 + 𝑦1 𝑧2 𝑗. 𝑘 + 𝑧1 𝑥2 𝑘. 𝑖 + 𝑧1 𝑦2 𝑘. 𝑗 + 𝑧1 𝑧2 𝑘. 𝑘

PRODUCTO ESCALAR Como:

𝑖. 𝑗 = 𝑖. 𝑘 = 𝑗. 𝑘 = 0 𝑖. 𝑖 = 𝑗. 𝑗 = 𝑘. 𝑘 = 1

Finalmente: 𝑃. 𝑄 = 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 + 𝑧1 𝑧2

“El producto escalar de dos vectores dados por sus componentes cartesianas es igual a la suma de los productos de sus componentes homologas”

MÓDULO DE UN VECTOR Módulo de un vector expresado por sus componentes Dado el vector: Entonces:

𝑃 = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘 𝑃. 𝑃 = 𝑃 . 𝑃 . cos 0 = 𝑃

De donde se obtiene: 𝑃 =

𝑥1

2

+ 𝑦1

2

2

= 𝑥1 𝑥1 + 𝑦1 𝑦1 + 𝑧1 𝑧1

+ 𝑧1

2

“El módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes”

PERPENDICULARIDAD DE DOS VECTORES Perpendicularidad de dos vectores expresados por sus componentes Sean los vectores:

𝑃 = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘 𝑄 = 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2 𝑘

Si ellos son perpendiculares, se verifica: 𝑃. 𝑄 = 0

O sea: 𝑃. 𝑄 = 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 + 𝑧1 𝑧2 = 0

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean los puntos 𝑃 y 𝑀, expresados como vectores de posición: 𝑃 = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘 𝑀 = 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2 𝑘 Como se puede observar en el gráfico: 𝑃𝑀 = −𝑂𝑃 + 𝑂𝑀 = 𝑀 − 𝑃

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS El 𝑃𝑀 es la diferencia de los vectores de posición de su extremo y su origen. 𝑃𝑀 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑖 + 𝑦2 − 𝑦1 𝑗 + 𝑧2 − 𝑧1 𝑘 Entonces la distancia entre los puntos 𝑃 y 𝑀 será el módulo de 𝑃𝑀

𝑑𝑖𝑠𝑡. 𝑃𝑀 = 𝑃𝑀 =

𝑥2 − 𝑥1

2

+ 𝑦2 − 𝑦1

2

+ 𝑧2 − 𝑧1

2

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES Por la definición de producto escalar: 𝑃. 𝑄 = 𝑃 . 𝑄 cos 𝛼 Entonces: cos 𝛼 =

𝑃.𝑄 𝑃.𝑄

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES Si los vectores están expresados por sus coordenadas cartesianas 𝑃 = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘 𝑄 = 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2 𝑘 Entonces: cos 𝛼 =

𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 + 𝑧1 𝑧2 𝑥1

2

+ 𝑦1

2

+ 𝑧1

2

𝑥2

2

+ 𝑦2

2

+ 𝑧2

2

ÁNGULO Y COSENOS DIRECTORES Ángulos y cosenos directores de un vector Sea 𝑃 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘, un vector cualquiera del espacio, se denominan ángulos directores 𝛼, 𝛽, 𝛾 a los ángulos formados por P con los ejes

coordenados, o sea:

ÁNGULO Y COSENOS DIRECTORES 𝛼 es el ángulo entre 𝑃 e 𝑖 𝛽 es el ángulo entre 𝑃 y 𝑗 𝛾 es el ángulo entre 𝑃 y 𝑘 Los cosenos de estos ángulos son denominados cosenos directores cos 𝛼 =

𝑃. 𝑖 𝑃. 𝑖

=

𝑥 𝑃

cos 𝛽 =

𝑃. 𝑖

𝑃. 𝑗

=

𝑦

𝑃

cos 𝛾 =

𝑃. 𝑘 𝑃. 𝑘

=

𝑧 𝑃

PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO Sean 𝑃 y 𝑄 tal como se indican en el gráfico, y sea 𝑀 la proyección de 𝑃 sobre 𝑄. Es decir: 𝑀 = 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑄 𝑃

Como se puede deducir, el módulo de 𝑀 será:

𝑀 = 𝑃 cos 𝛼

PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO Ahora bien, como 𝑀 es paralelo a 𝑄, se puede escribir: 𝑀 = 𝑚𝑄 Y también:

Igualando:

𝑚 ∈𝑅 𝑀 =𝑚𝑄

𝑚 𝑄 = 𝑃 cos 𝛼

o sea

𝑚=

𝑃 cos 𝛼 𝑄

PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO Por otro lado:

Entonces:

Finalmente:

𝑃. 𝑄 = 𝑃 . 𝑄 cos 𝛼

𝑚=

𝑃

𝑃. 𝑄

𝑄 𝑃. 𝑄

=

cos 𝛼 =

𝑃. 𝑄 𝑄

𝑀 = 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑄 𝑃 =

2

𝑃. 𝑄

𝑄

2.𝑄

𝑃. 𝑄 𝑃. 𝑄

INTERPRETRACIÓN FISICA Interpretación física del producto escalar El trabajo es el producto de entre la intensidad de la fuerza aplicada a un cuerpo y el desplazamiento (en la dirección de la fuerza) que produce dicha fuerza

INTERPRETRACIÓN FISICA La intensidad de la fuerza que produce el desplazamiento conforme al grafico es 𝐻, por tanto: 𝑇 = 𝐻 .𝑑 Pero: 𝐻 = 𝐹Ԧ cos 𝛼 Luego:

Ԧ cos 𝛼 𝑇 = 𝐹Ԧ . 𝑑.

Ԧ como vector desplazamiento considerando “𝑑”