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• Miguel Bolsa Peña

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PROBLEMAS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 1.- Se lanzan dos dados y sea X una variable que recoge la suma de sus puntuaciones. Calcula a) La función de probabilidad de la variable X b) La media y varianza de la variable X SOLUCIÓN a) La variable aleatoria en cuestión es aquella que, a cada posible suceso le asigna un número real coincidente con la suma de las puntuaciones obtenidas. Y la función de probabilidad será la que asigna a cada valor de la v.a. su probabilidad de ocurrencia. La siguiente tabla relaciona los sucesos posibles (puntuación dado 1, puntuación dado 2) con el valor de la v.a. asignado y su probabilidad: Valor v.a. suma 2 3 4 5 6

Sucesos posibles 1,1 1,2 - 2,1 1,3 - 2,2 - 3,1 1,4 - 2,3 - 3,2 - 4,1 1,5 - 2,4 - 3,3 - 4,2 - 5,1 1,6 - 2,5 - 3,4 - 4,3 - 5,2 6,1 2,6 - 3,5 - 4,4 - 5,3 - 6,2 3,6 - 4,5 - 5,4 - 6,3 4,6 - 5,5 - 6,4 5,6 - 6,5 6,6

Nº casos posibles

7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5

Probabilidad 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36

6 5 4 3 2 1 36

6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1

b) La media de una v.a o esperanza matemática se calcula con la siguiente fórmula:

X Probabilidad

2 1/36

3 2/36

4 3/36

5 4/36

6 5/36

7 6/36

8 5/36

9 4/36

Xi pi

1/18

1/6

1/3

5/9

5/6

7/6

10/9

1

10 3/36

11 12 SUMA 2/36 1/36

5/6 11/18

Con respecto a la varianza, la fórmula de cálculo es la siguiente:

1

1/3

7

X

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

6 -1

25

16

9

4

1

25/36

8/9

3/4

4/9 5/36

7

8

9

10

11

0

1

2

3

4

0

1

4

9

16

0 5/36

4/9

3/4

12 SUMA 5 25

8/9 25/36

2.- Un individuo dispone de 6000€ para invertir en un negocio. Su analista le propone una inversión cuya rentabilidad es del 15% pero con el riesgo de perder el 50% del capital. Según su conocimiento, la inversión será rentable con una probabilidad de 0,70. Si decide invertir, ¿cuál es el beneficio esperado? SOLUCIÓN Definimos la variable aleatoria X que asigna a cada suceso posible (éxito, fracaso) el importe del beneficio o pérdida que se obtiene, de manera que el beneficio esperado de la inversión será E[X], sabiendo que:

Suceso éxito fracaso E[X]

Xi 900 -3000

Pi

Xi Pi 0,7 0,3

630 -900 -270

3.- Una Comunidad Autónoma decide gravar con una tasa a todos los turistas que acceden con vehículo propio a un parque natural. Se ha estudiado que la variable aleatoria X, número de personas por coche que entran en el parque, tiene la siguiente probabilidad:

a) Hállese el número medio de visitantes por vehículo b) ¿Cuánto debe pagar cada persona para que la ganancia esperada por coche sea de 13 euros? c) Si cada visitante paga 5 euros, ¿cuál es la ganancia esperada de un día en el que se registre una entrada de 1000 vehículos? SOLUCIÓN

2

5,83

a) Partiendo de la tabla anterior, calculamos el número medio de visitantes por vehículo como la esperanza matemática de la v.a. X Xi Pi Xi Pi

1 0,05 0,05

2 0,2 0,4

3 0,35 1,05

4 0,25 1

5 0,15 0,75

3,25

b) A partir de X, podemos construir otra v.a. Y = Ganancia por coche = p· X, siendo p el precio de la entrada y X el número de visitantes por coche. De manera que, aplicando las propiedades de la esperanza matemática: E[Y] = E[pX] = p E[X] = p· 3,25 = 13 Y despejando: p= 4 c) De forma análoga al apartado anterior, podemos definir la v.a. Z = p·N·X donde p es el precio de la entrada y N el número de vehículos que entran en un día, cuya esperanza matemática será: E[Z] = p·N·E[X] = 5·1000·E[X] = 5·1000·3,25 = 16.250 4.- Una empresa tiene que presentar una oferta para una obra pública. Estima que los materiales necesarios costarán 25000€, cada día de trabajo supone un coste laboral de 800€ y el plazo de ejecución tiene que ser 10 días porque cada día de retraso supondrá una penalización de 1000€. Analizando obras similares ha calculado que la variable aleatoria que mide el número de días de ejecución tiene la siguiente distribución:

a) ¿Cuál es el coste medio de la obra? b) ¿Cuál es la desviación típica del coste de la obra? c) La oferta debe incluir además del coste, el beneficio de la empresa que será un 10% del coste de la obra y una tasa municipal de impuestos de 5000€ que la empresa debe pagar al Ayuntamiento. Determinar la oferta esperada que hará la empresa y su desviación típica. SOLUCIÓN a) A partir de la v.a. dada X = nº de días de ejecución, podemos construir la v.a.

Cuya función de probabilidad, se recoge en la siguiente tabla:

3

De manera que su esperanza matemática es: Yi Pi Yi Pi

31.400 0,1 3.140

32.200 0,2 6.440

33.000 0,4 13.200

34.800 0,2 6.960

36.600 0,1 3.660

33.400

b) Para calcular la desviación típica, calculamos la varianza y luego su raíz cuadrada: SUMA 2000 1200 400 1400 3200 4000000 1440000 160000 1960000 10240000 0,1

0,2

0,4

0,2

0,1 2168000

Y de aquí la desviación típica: 1.472,41 c) Definimos la v.a. O = 1,1 ·Y + 5.000 y, por las propiedades de la esperanza matemática: E[O] = E[1,1·Y + 5.000] =1,1·E[Y]+5.000 = 41.740 Var[O] = Var[1,1·Y+ 5.000] =1,12·E[Y] Y, por tanto Desv. Tip. O = 1,1 · Desv. Tip. Y = 1.619,65 5.- De 2000 familias con 4 churumbeles, calcular el número que se supone que habrá con a) al menos 1 niño. b) 2 niños. c) 1 ó 2 niñas. d) Ninguna niña SOLUCIÓN a) Considerando éxito que la familia tenga al menos 1 niño, nos encontraríamos ante una distribución binomial cuyos parámetros serían n= 2000 y p= a la probabilidad de que 1 familia de 4 hijos tenga al menos 1 niño (bajo la consideración de que la probabilidad de niño es 0,5) p (al menos 1 niño entre 4 hijos) = 1 – p (4 niñas) = 1 – 0,54 = 1 – 0,0625 = 0,9375 Y el número de familias que se espera cumplan la condición es la media de dicha binomial = np np= 2000 * 0,9375 = 1.875

4

b) Se trata de nuevo de una binomial de parámetros n= 2000 y p = probabilidad de 2 niños de entre 4 p= 4 2

0,52 0,52= 0,375

Y el valor esperado = np = 2000 * 0,375 = 750 c) P (1 ó 2 niñas) = P(1 niña) + P(2 niñas) = 4*0,5 0,53 + 6 *0,52 0,52= 0,6275 Y el número de familias que se espera cumplan la condición es la media de dicha binomial = np np= 2000 * 0,6275 = 1.250 d) P (1 niña) = 4*0,5 0,53= 0,6275 Y el número de familias que se espera cumplan la condición es la media de dicha binomial = np np= 2000 * 0,6275 = 1.250 6.- El propietario de una tienda de discos clasifica las personas que entran en su tienda en clientes muy jóvenes, clientes en edad universitaria y clientes mayores y sabe que el 20%, 45% y 35% pertenecen a estas categorías, respectivamente. El propietario comprueba también, que el 25% de los clientes muy jóvenes, el 60% de los clientes en edad universitaria y el 80% de los clientes mayores realizan alguna compra a) ¿Cuál es la probabilidad de que de los próximos 100 clientes que entren en la tienda, al menos 45 compren algún disco? ¿Qué hipótesis has utilizado para resolver este apartado? b) Sabiendo que el número de clientes que entran en la tienda se distribuye según una Poisson de media 5 por hora ¿Cuál es la probabilidad de que un día cualquiera (jornada de 8 horas) entren más de 35 clientes en la tienda? SOLUCIÓN a) Podemos ver que se trata de una distribución binomial identificando la probabilidad de éxito con la probabilidad de comprar

No obstante, si acudimos a las tablas de la binomial no aparece p = 0,6, por lo que definimos la v.a. número de personas que no compran que será una binomial

0,4) Que sí aparece en las tablas

5

b) Sabemos que el nº de clientes en una hora es una Poisson de parámetro 5, aplicamos la propiedad de la distribución de Poisson que dice que:

Si cambiamos el intervalo de estudio entonces el parámetro se transforma proporcionalmente, es decir, si X = número de ocurrencias en 1 unidad de tiempo y es X~P(5) entonces Y = número de ocurrencias en 8 unidades de tiempo tiene una distribución Poisson de parámetro 8*5 Y~ P(40)

7.- De una empresa el número de accidentes laborales ocurridos en un día se distribuye según una Poisson de media 0,1 y el porcentaje de absentismo laboral es de un 25%. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran 3 o más accidentes en dos meses (tomar los meses de 20 días laborales)? b) Si se extrae una muestra de 100 trabajadores de dicha empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan a lo más 30 trabajadores en los que se haya producido absentismo laboral? SOLUCIÓN a) Si el nº de accidentes en 1 días sigue una Poisson de parámetro 0,1, el número de accidentes en dos meses de 20 días laborables cada uno seguirá una Poisson de parámetro 2x20x0,1=4. Por tanto:

b) Podemos identificar el número de trabajadores con absentismo laboral de entre 100 seleccionados con una Binomial de parámetros (100, 0,25) teniendo que:

8.- En un cruce de carreteras se producen accidentes a razón de 2 por semana (en media), siguiendo una distribución de Poisson. Reconociendo que la frecuencia anterior es intolerable para la Dirección General de Tráfico se ha decidido instalar un semáforo en dicho cruce. La siguiente semana de la instalación sólo ocurre un accidente. a) ¿Se puede afirmar que el semáforo ha ayudado a mejorar la seguridad vial? b) ¿Cuál sería la conclusión si se hubiera producido un accidente en dos semanas? c) ¿Y si se hubiera producido un accidente en 4 semanas? SOLUCIÓN Para determinar si la medida ha resultado efectiva, hemos de ver si el resultado obtenido podría haberse dado con la distribución original, es decir si era bastante probable obtener esa observación con los datos iniciales. 6

a) La probabilidad de que se hubiese producido un solo accidente en una semana, considerando la Poisson de parámetro 2 era, utilizando la fórmula de la función de probabilidad de la Poisson:

P(x)= e-2 2 = 0,2707 Por tanto es bastante probable que sin el semáforo se hubiese producido igualmente un único accidente en una semana concreta. b) Si se hubiera producido un accidente en 2 semanas, estaríamos ante una Poisson de parámetro 4 y p(1) = e-4 4 = 0,0733 Se ha mejorado la seguridad vial pero no lo suficiente puesto que sin semáforo ocurría el suceso con probabilidad del 7,33% c) Si se hubiera producido un accidente en 4 semanas, estaríamos ante una Poisson de parámetro 8 y p(1) = e-8 8 = 0,0027 Se ha mejorado la seguridad vial porque sin semáforo este suceso sería muy poco probable 9.- El número de hombres que llegan a un comercio sigue una distribución de Poisson, a razón media de uno por minuto. El número de mujeres que llegan al mismo comercio sigue también una distribución de Poisson, a razón media de dos por minuto. Suponiendo la independencia de los dos sucesos, calcular: a) La probabilidad de que lleguen menos de tres clientes en un minuto. b) La probabilidad de que hayan llegado cinco hombres en media hora, si en esa media hora han llegado diez clientes en total. SOLUCIÓN Se describen las dos variables aleatorias siguientes:

a) Como nos preguntan sobre el número de clientes totales (hombres y mujeres) se identifica una nueva v.a. Z que seguirá una Poisson de parámetro 3 ya que la suma de dos v.a. de tipo Poisson independientes sigue otra distribución Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros de cada sumando P(Z