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• Jose Luis Al Bellido Huaman

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Tema 10 : PANDEO x Ncr

(2)

(1) L

y

N cr =

π 2 .E .I z L2

x y

Problemas resueltos

Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008

10.1.- Un pilar, de 3 m de longitud, se encuentra sometido a una carga F de compresión centrada. Se pide calcular el valor de la carga máxima que podrá soportar para los siguientes supuestos: 1) El pilar tiene impedido totalmente el pandeo 2) El pilar tiene impedido el pandeo en el plano xy 3) El pilar tiene impedido el pandeo en el plano xz 4) El pilar puede pandear líbremente Datos: fy= 275 N/mm2, E= 2,1.105 N/mm2. Perfil : HEB-160, γM = 1,1, γ = 1,35 F

HEB-160

z 3m z y

y

1) Comprobación sec ción pilar a compresión : N * ≤ A. f yd F .1,35 ≤ 54,3.102. 275

→ F ≤ 1055555 N 1,1 2) Comprobación pilar a pandeo (impedido pandeo en plano xy ) N * ≤ χ . A. f yd N cy =

λy =

π 2 .E.I y L2k A. f y Ny

=

π 2 .2,1.105.889, 2.104

(1.3000 )

2

= 2045669,8 N

54,3.102.275 = 0,854 → curva c de pandeo → χ = 0, 63 2045669,8

=

Lk = β .L = 1.3000 mm fórmula : F .1,35 ≤ 0, 63.54,3.102. 275

→ F ≤ 469259,3 N 1,1 3) Comprobación pilar a pandeo (impedido pandeo en plano xz ) N * ≤ χ . A. f yd N cz =

λy =

π 2 .E.I z L2k A. f y Ny

=

=

π 2 .2,1.105.2492.104

(1.3000 )

2

= 5733028, 7 N

54,3.102.275 = 0,51 → curva c de pandeo → χ = 0,84 5733028, 7

Lk = β .L = 1.3000 mm fórmula : F .1,35 ≤ 0,84.54,3.102. 275

→ F ≤ 844666, 7 N 1,1 4) Comprobación pilar a pandeo ( puede pandear líbremente) F ≤ 469259,3 N

10.2- Un pilar de 6 m de longitud, articulado en sus extremos, se encuentra sometido a una carga de compresión de 1100 kN. La sección del pilar es tubular rectangular. Se pide: 1) Dimensionar la sección de dicho pilar a resistencia 2) Comprobar el pilar a pandeo utilizando: a) La fórmula de Euler b) La fórmula de la Normativa española DBE-SE-A 3) Repetir los apartados anteriores suponiendo que el pilar tiene 8 m de longitud Datos: fy = 275 N/mm2, E = 2,1.105 N/mm2 , γ = 1,5, γM = 1,1 Sección

z

y Cálculo de las reacciones:

∑F

Diagrama de esfuerzos:

0− x−6

x

=0

RA = 1100 kN N = −1100 kN

x 1100 kN

x

1100

-

6m z N y RA

Dimensionamiento a resitencia: Sección más solicitada: todas igual

N * ≤ N pl , d = A. f yd

→ 0− x−6

→ 1100.103.1, 5 ≤ A. 275

→ tablas : 200 /120 /12,5

200 /120 /12, 5

1,1

N = −1100 kN = cte

→

A ≥ 66.10 2 mm 2

Comprobación a pandeo: a) Pandeo teórico: Fórmula de Euler

π 2 .E.I min

Carga crítica de Euler: N cr =

L2k

Comprobación a pandeo: N* < N cr 1er . tan teo : perfil I z = 3099 cm

4

siendo: N* = N .γ = 1100.103.1,5 = 1650000 N

200 /120 /12,5 :

I y = 1397 cm = I min → N cr = 4

π 2 .E.I min L2k

=

π 2 .2,1.105.1397.104 (1.6000) 2

= 803475 N

N * = 1650000 < N cr = 803475 → No cumple 2o. tan teo : perfil I z = 3979 cm 4

200 /160 /12,5 :

I y = 2820 cm 4 = I min → N cr =

π 2 .E.I min L2k

=

π 2 .2,1.105.2820.104 (1.6000) 2

= 1624000 N

N * = 1650000 < N cr = 1624000 → No cumple 3er . tan teo : perfil I z = 4109 cm 4

220 /180 / 8 :

I y = 3020 cm 4 = I min → N cr =

π 2 .E.I min L2k

=

π 2 .2,1.105.3020.104 (1.6000) 2

= 1739000 N

N * = 1650000 < N cr = 1739000 → Si cumple 220 /180 / 8 b) Pandeo práctico: Método de la Normativa española DBE-SE-A

Comprobación a pandeo : N * ≤ N b , Rd = χ . A. f yd 1er tan teo : 220 /180 / 8 → N crz = N cry =

π 2 .E .I z L2k

π 2 .E .I y L2k

= =

siendo : N * = N .γ = 110.103.1,5 = 1165000 N

A = 59, 2 cm 2 ; I z = 4109 cm 4 ; I y = 3020 cm4

π 2 .2,1.105.4109.104 (1.6000) 2

π 2 .2,1.105.3020.104 (1.6000) 2

= 2366000 N

λz =

A. f y

= 1739000 N

λy =

A. f y

N crz N cry

=

59, 2.102.275 = 0,83 2366000

=

59, 2.102.275 = 0,968 1739000

λ z = 0,83 → curva a de pandeo → χ = 0, 78 λ y = 0,968 → curva a de pandeo → χ = 0, 69 nos quedamos naturalmente con el valor menor de los 2 : χ = 0, 69 N * = 1165000 N ≤ χ . A. f yd = 0, 69.59, 2.102.

275 = 1021200 N → No cumple 1,1

2º tan teo : 250 / 200 /10 → N crz = N cry =

π 2 .E .I z L2k

π 2 .E .I y L2k

= =

A = 82, 6 cm 2 ; I z = 7266 cm 4 ; I y = 5154 cm 4

π 2 .2,1.105.7266.104 (1.6000)2

π 2 .2,1.105.5154.104 (1.6000) 2

= 4183000 N

λz =

A. f y

= 2967000 N

λy =

A. f y

N crz N cry

=

82, 6.102.275 = 0, 737 4183000

=

82,6.102.275 = 0,875 2967000

λ z = 0, 737 → curva a de pandeo → χ = 0, 781 λ y = 0,875 → curva a de pandeo → χ = 0, 747 nos quedamos naturalmente con el valor menor de los 2 : χ = 0, 747 275 N * = 1165000 N ≤ χ . A. f yd = 0, 747.82, 6.102. = 1543000 N → No cumple 1,1 3er tan teo : 250 / 200 /12 → N crz = N cry =

π 2 .E .I z L2k

π 2 .E.I y L2k

= =

A = 96,1cm2 ; I z = 8159 cm4 ; I y = 5792 cm4

π 2 .2,1.105.8159.104 (1.6000)2

π 2 .2,1.105.5792.104 (1.6000) 2

= 4697000 N

λz =

A. f y

= 3335000 N

λy =

A. f y

N crz N cry

=

96,1.102.275 = 0, 75 4697000

=

96,1.102.275 = 0,89 3335000

λ z = 0, 75 → curva a de pandeo → χ = 0,825 λ y = 0,89 → curva a de pandeo → χ = 0, 737 nos quedamos naturalmente con el valor menor de los 2 : χ = 0, 737 275 = 1771000 N → Si cumple N * = 1165000 N ≤ χ . A. f yd = 0, 74.96,1.102. 1,1 250 / 200 /12

resultados finales : dim ensionamiento a compresión : 200 /120 /12,5 dim ensionamiento a pandeo por la formula de Euler : 220 /180 / 8 dim ensionamiento a pandeo por la formula de la Normativa española : 250 / 200 /12 3.-Repitiendo el procedimiento para una longitud del pilar de 8 m:

resultados finales : dim ensionamiento a compresión : 200 /120 /12,5 dim ensionamiento a pandeo por la formula de Euler : 300 / 200 /10 dim ensionamiento a pandeo por la formula de la Normativa española : 300 / 220 /12

10.3- En la estructura de la figura se pide el dimensionamiento a resistencia de las secciones de la viga( utilizando un criterio plástico) y del pilar y la comprobación de éste a pandeo, en los dos casos siguientes: Datos: fy = 275 N/mm2, E = 2,1.105 N/mm2 , γ = 1,5, γM = 1,1 a) Se considera el pilar de rigidez axil infinita (no se acorta) b) El pilar se acorta Perfil viga: IPE, perfil pilar: HEB El pilar se considera debidamente arriostrado en el plano perpendicular al de la figura.

50 kN/m B

6m

A

5m

C Cálculo de las reacciones en los apoyos. Ecuaciones de equilibrio: RA

MA

A

50 B

6

∑F =0 ∑M = 0 A

RA + RC = 50.6 (1) RC .6 + M A = 50.6.3 (2)

es una estructura hiperestática ↓ tiene una ligadura de más ↓ se buscará una ecuación de deformación

5

C RC Estructura isostática equivalente: se quita el apoyo en C y se pone la condición: Ecuación que se desarrollará aplicando el Teorema de ls Trabajos Virtuales RA MA

yC = 0 (3)

50

A

B

6

AB : M z = R A .x − M A − 50.x. V y = R A − 50. x

5

BC : N = − RC C RC

x 2

R´A

M´A

Cálculo de las reacciones. Ecuaciones de equilibrio

50

∑F =0 ∑M = 0

B

6

A

A

5

R´A = 1 kN M ´A = 1.6 = 6 kN .m

AB : M ´z = −1. x + 6 V ´ y = −1 BC : N ´= −1

C 1 Kg

Teorema de los Trabajos Virtuales: L

∑ Fi .δ ´i +∑ Ri .∆´i = ∫ 0

L

M .M ´z .dx N .N ´ .dx +∫ z E. A E.I z 0

( se desprecia efectosV y )

a) Se considera el pilar de rigidez axil infinita (no se acorta) al considerarse el pilar de rigidez axil infinita ( no se acorta) → el trabajo interno debido a las Rx será cero, es decir se cumplirá: L

N .N ´ .dx ∫0 E. A = 0 siendo:

Fi = 1 kN

δ ´i = yC = 0

Ri = ( R´A = 1 kN

6

∫ (−1.x + 6).( R .x − M A

1.0 + 0 =

0

A

y

M ´A = 6 kN .m)

∆´i = 0

y sustituyendo :

x − 50.x. ).dx 2

E .I z

operando : 36.RA − 18.M A − 2700 = 0 (3) y resolviendo (1), (2), (3) : RA = 187,5 kN . M A = 225 kN .m RC = 112,5 kN Diagrama de esfuerzos: 225

Mz

N

Vy 112,5

A

+

B

A

112,5 B 0 -

126,5 3,75 m 6

C

C

A +

B

18,75 3,75 m

C

AB : M z = 187,5.x − 225 − 50.x.

x 2

V y = 187,5 − 50.x

x = 0 → M z = −225

N =0

x = 0 → V y = 187,5

x = 6 → Mz = 0

x = 6 → Vy = −112,5

x = 3, 75 → M z = 126,56

Vy = 0 → x = 3, 75

BC : M z = 0

Vy = 0

N = −112,5

Dimensionamiento sección viga AB a resistencia con criterio plástico: sección más solicitada:

x=0

→ M z = −225 kN .m., Vy = 187,5 kN

Comprobación a flexión : M z* ≤ M zpl , d = Wzpl . f yd

M z* = M z .γ = 225.106.1,5 = 337,5.106 N .mm

337,5.106 ≤ Wzpl . 275

→ tablas → IPE − 450 1,1 Comprobación a cortadura :

Vy* ≤ Vypl ,d = Av .

f yd

Vy* = Vy .γ = 187,5.103.1,5 = 281250 N

3 Av = area alma = h.tw = 450.9, 4 = 4230 mm 2

275 1,1 281250 ≤ 4230. = 610547,9 N → sí cumple 3 1 además se c umple que : Vy* ≤ .Vypl → no se necesita combinar flectores con cor tan tes 2

viga AB : IPE − 450 Dimensionamiento sección pilar BC a resistencia: sección más solicitada: todas igual:

N * ≤ N pl ,d = A. f yd 168750 ≤ A. 275

1,1

N = −112,5 kN

N * = N .γ = 112, 5.103.1,5 = 168750 N → A ≥ 675 mm 2 → tablas → HEB − 100

Comprobación pilar BC a pandeo:

N * ≤ N b ,d = χ . A. f yd

N * = N .γ = 112, 5.103.1,5 = 168750

A( HEB − 100) = 2600 mm 2

π 2 .E .I z

N cz =

L2k A. f yd

λ=

N cz

=

I z ( HEB − 100) = 449,5.104 mm 4

π 2 .2,1.105.449,5.104

(1.5000 )

2

= 372278,8 N

2600. 275 1,1 = = 1,386 → curva b de pandeo → χ = 0,39 372278,8

fórmula :168750 ≤ 0, 39.2600. 275

1,1

= 253500 N → sí cumple

pilar BC : HEB − 100

b) Se considera que el pilar se acorta al considerar que el pilar no se acorta → el trabajo interno debido a las Rx ya no será cero y habrá que tomarle en cuenta, es decir se cumplirá: Teorema de los Trabajos Virtuales: L

L

M .M ´ .dx N .N ´.dx ∑ Fi .δ ´i +∑ Ri .∆´i = ∫ E. A + ∫ z E.I z z 0 0

( se desprecia efectosV y )

siendo:

δ ´i = yC = 0

Fi = 1 Kg

Ri = ( R´A = 1 kN

6

y

M ´A = 6 kN .m)

∆´i = 0

y sustituyendo :

5

x ∫0 (−1.x + 6).( RA .x − M A − 50.x. 2 ).dx ∫0 (−1).(− RC ).dx 1.0 + 0 = + E .I z E. A primer tan teo : viga → IPE − 450 ( I z = 33740 cm 4 ), pilar → HEB − 100 ( A = 26 cm 2 ) operando : 936.RA − 468.M A − 70200 + 16,87.RC = 0 (3) y resolviendo (1), (2), (3) : RA = 188,5 kN . M A = 231, 03 kN .m RC = 111,5 kN Los diagramas de esfuerzos serían ahora: 231,0 3

A

Mz

N 111,5

+

B

A

111,5 B 0 -

124,2 3,77 m 9

C

C

A +

B

188,5

C

Comprobación sección viga AB (IPE-450) a resistencia: sección más solicitada:

x=0

→ M z = −231, 03 kN .m., Vy = 188,5 kN

Comprobación a flexión : M z* = M z .γ = 231, 03.106.1,5 = 346,545.106 N .mm

M z* ≤ M zpl , d = Wzpl . f yd 346,545.106 ≤ Wzpl . 275

= 1702.103. 275 = 425,5.106 → sí cumple 1,1 1,1 Comprobación a cortadura : f Vy* ≤ Vypl ,d = Av . yd Vy* = Vy .γ = 188,5.103.1,5 = 282, 75.103 N 3 Av = area alma = h.tw = 450.9, 4 = 4230 mm 2 275 1,1 282, 75.10 ≤ 4230. = 610,547.103 N → sí cumple 3 1 además se c umple que : Vy* ≤ .Vypl → no se necesita combinar flectores con cor tan tes 2 3

viga AB : IPE − 450

Comprobación pilar BC (HEB-100) a resistencia y a pandeo: Dado que el pilar va a trabajar ahora, en el apartado b) con N = 111,5 kN < que la N = 112,5 kN con los que trabajaba en el apartado a), no será necesario su comprobación. Así pues:

pilar BC : HEB − 100

10.4.-Un pilar de 4 m de longitud articulado en ambos extremos y de sección tubular cuadrada: 100/10 está sometido a una carga de compresión centrada. Se pide calcular la máxima carga que podrá soportar y la tensión correspondiente a) Utilizando la fórmula del pandeo teórico de Euler b) Utilizando la fórmula práctica de la Normativa Española DB-SE-A Datos: fy = 275 N/mm2 , E = 2.1.105 N/mm2 , γM = 1,1

Datos sec ción tubular cuadrada : A = 32, 6 cm 2 , I z = I y = 411 cm 4 , iz = i y = 3,55 cm a ) Pandeo teórico : Fórmula de Euler : N * ≤ N cr N cr =

π 2 .E .I

=

L2k

π 2 .2,1.105.411.104 (1.4000)2

= 531863,8 N

N 531863,8 = 163 N / mm 2 σ cr = cr = 2 A 32, 6.10 siendo : λ =

π 2 .E π 2 .2,1.105 = 163 N / mm2 o bien : σ cr = 2 = 2 112, 676 λ

Lk β .L 1.400 = = = 112, 676 i i 3,55

con lo cual : N * ≤ N cr

→ N * ≤ 531863,8 N

(λlim =

π 2 .E fy

=

o bien : σ * ≤ σ cr

π 2 .2,1.105 275

= 86,8)

→ σ * ≤ 163 N / mm 2

b) Pandeo práctico : Fórmula dela Normativa Española DB − SE − A : N * ≤ N b , Rd = χ . A. f yd Cálculo del coeficiente de pandeo χ : N cr =

λ=

π 2 .E .I

=

L2k A. f y Nr

=

π 2 .2,1.105.411.104 (1.4000)2

32, 6.102.275 = 1, 298 ≃ 1,3 → curva a de pandeo → χ = 0, 47 531863,8

con lo cual : N * ≤ N b , Rd = χ . A. f yd o bien : σ * =

= 531863,8 N

→ N * ≤ 0, 47.32, 6.10 2.

275 = 383050 N 1,1

N * 383050 ≤ = 117,5 N / mm2 A 32, 6.102

Con los resultados obtenidos comprobamos cómo el cálculo a través de la normativa es más restrictivo que el teórico de Euler, tal y como nos dice la teoría (ver tema 10, sección 10.3.1)

σ

fy=275

163 117,5

λlim=86,8

λ=112,676

λ