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• Florencia Basualdo

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M´as problemas resueltos sobre teor´ıa elemental de Grupos J. Armando Velazco 3 de marzo de 2013 Resumen Seg´ un las estad´ısticas del sitio, una de las b´ usquedas m´ as recurrentes por las que se ha llegado a este blog es buscando problemas resueltos de teor´ıa de grupos. Cuando estamos aprendiendo matem´ aticas muchas veces no tenemos idea de como utilizar la teor´ıa expuesta por nuestro profesor o, en el libro que estemos estudiando. Por ello decid´ı, en parte tambi´en como una pr´ actica para mi, ampliar la cantidad de problemas resueltos (en la primera entrega s´ olo hay 7 problemas) para que, si alguien se anima, discutir las soluciones en caso de que sean err´ oneas, o bien, dar un camino m´ as f´ acil para resolver determinado problema. No soy profesor, ni mucho menos, soy un estudiante, por lo que posiblemente hallar´ a errores, as´ı que agradecer´e al lector que las haga saber mediante los comentarios, en caso de que encuentre alguna. Por u ´ltimo, si alguien desea enviarme soluciones de ejercicios resueltos, escaneados, con mucho gusto los paso a LATEXy vamos ampliando este documento y entrada del blog (con el respectivo reconocimiento de quien haya enviado la soluci´ on).

Ejercicio Demuestre que todo subgrupo de un grupo c´ıclico es c´ıclico. Soluci´ on Sea G = hai un grupo multiplicativo generado por el elemento a. Sea H 6 G y sea m el menor entero para el cu´al am ∈ H. De la definici´on de subgrupo tenemos que todo elemento b ∈ H ⇒ b = aj ∈ G donde j ∈ Z, por el algoritmo de la divisi´ on se tiene que j = mq + r, 0 ≤ r < m y as´ı b = aj = amq+r = amq ar = (am )q ar Aplicando ahora las propiedades de grupo (cancelaci´ on por la izquierda) se tiene que ar = (am )−q aj Dado que (am ), aj ∈ H entonces el producto se halla en H y por lo tanto ar ∈ H pero 0 ≤ r < m entonces r = 0 y por lo tanto b = aj = (am )q 1

es decir H = ham i ⋄ Ejercicio ¿Cu´ al es el orden de un grupo G generado por los elementos x y y sujeto a las relaciones x3 = y 2 = (xy)2 = e, donde e es el elemento identidad del grupo? Soluci´ on Consideremos las relaciones x3 = e, y 2 = e, (xy)2 = e Entonces de las anteriores tenemos que x2 = x−1 , y = y −1 , xy = y −1 x−1 = yx2 y adem´as yx = x2 y es decir, G tiene 6 elementos, por lo que ord(G) = 6. Otro argumento lo podemos presentar con combinatoria, tomando en cuenta s´olo los productos de la forma xi y j (pues yx = x2 y) con i = 0, 1, 2 y j = 0, 1 que nos da como resultado, por el principio del producto un total de 6 posibles resultados. Los subgrupos los determinaremos a partir de que 6=2·3 Por ello esperamos que de haber subgrupos, como una aplicaci´on directa del teorema de Lagrange, estos deben tener orden 2 o 3 (m´ as a´ un, por el primer teorema de Sylow sabemos que hallaremos subgrupos de orden 2 y 3), tales subgrupos son: {1, x, x2 }, {1, y}, {1, xy}, {1, yx} ⋄ Ejercicio Si G es un grupo tal que (ab)j = aj bj para tres enteros consecutivos j y para todos los a, b ∈ G. Muestre que G es un grupo abeliano. Soluci´ on Como parte de las hip´otesis tenemos que (ab)j (ab)j+1

= =

aj b j aj+1 bj+1

(ab)j+2

=

aj+2 bj+2

De aqu´ı podemos tomar que (ab)j+1 = (ab)(ab)j = aj+1 bj+1 luego entonces, utilizando de manera adecuada la ley de cancelaci´on por la izquierda y por la derecha, v´alidas en cualquier grupo, en conjunto con la ley asociativa y las hip´ otesis obtenemos lo siguiente b(ab)j−1 a = aj bj ⇒ (ba)j = aj bj = (ab)j As´ı, de la misma forma se tiene tambi´en que (ab)j+2 = aj+2 bj+2 ⇒ (ba)j+1 = (ab)j+1 2

Pero entonces (ba)(ba)j = (ab)(ab)j = (ab)(ba)j Utilizando una vez m´as la ley de cancelaci´on en G tenemos que ab = ba ∀a, b ∈ G Luego, G es abeliano. ⋄ Ejercicio Sea G un grupo y sean H, K 6 G tales que [G : H] < ∞ y [G : K] < ∞. Entonces el subgrupo H∩K tiene ´ındice finito en G, es decir [G : H∩K] < ∞. Soluci´ on Sea g ∈ G entonces de (H ∩ K)g ⊂ Hg y (H ∩ K)g ⊂ Kg se tiene que (H ∩ K)g ⊂ Hg ∩ Kg. Por otro lado, observ´ese tambi´en que si x ∈ Hg ∩ Kg entonces x = hg = kg ⇒ h = k ∈ H ∩ K ⇒ x ∈ (H ∩ K)g As´ı (H ∩ K)g = Hg ∩ Kg Por u ´ltimo, como [G : H] < ∞ y [G : K] < ∞ entonces tenemos un n´ umero finito de posibilidades para Hg ∩Kg y por lo tanto se tiene el resultado deseado. ⋄ Observaci´ on El ejercicio anterior tiene un nombre especial: Es conocido como el Lema de Poincar´e. Ejercicio Sea G = U V un grupo, donde U, V 6 G. Entonces, todo subgrupo H de G que satisface U 6 H 6 G puede ser factorizado como H = U (V ∩ H). Soluci´ on Sea h ∈ H entonces, dado que H 6 G, h = uv, u ∈ U, v ∈ V . Ahora, una clase lateral derecha de U en G siempre contiene a un elemento de V , pues G = U V , y por lo tanto una clase lateral de U en H siempre tiene un elemento de V : Como las clases laterales forman una partici´ on de H tenemos entonces que H = U (V ∩ H) ⋄. Observaci´ on Este ejercicio es conocido tambi´en como Identidad de Dedekind. Ejercicio Pruebe que si un grupo G no tiene subgrupos propios entonces G es c´ıclico. Soluci´ on Sea g ∈ G, g 6= e (e es la identidad de G) y sea H = {g j : j ∈ Z} entonces H 6 G pero como G no tiene subgrupos propios entonces H = G por lo tanto G es c´ıclico. ⋄ Ejercicio Si un grupo G no tiene subgrupos propios, muestre que G es c´ıclico de orden primo.

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Soluci´ on Por el problema anterior sabemos que G =< g > donde g 6= e supongamos ahora que ord(G) = p y que, sin p´erdida de generalidad p = mq, m, q ∈ Z>1 ⇒ m < p y q < p. Entonces M = {g1j : j = 0, 1, 2, . . . , m − 1; g1 ∈ G} = G pues G no tiene subgrupos propios y entonces ord(G) = m < p que es una contradicci´on, an´alogamente se llegar´ıa a una conclusi´ on similar para q, as´ı m = 1´ o q = 1 y por lo tanto p es primo. ⋄. Ejercicio Si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, de ´ordenes respectivos m y n, muestre que si (m, n) = 1, es decir, son primos relativos, entonces AB es un subgrupo de orden mn. Soluci´ on Basta con observar que A ∩ B 6 A y A ∩ B 6 B por lo tanto, por el teorema de Lagrange se tiene que ord(A ∩ B)|ord(A) y ord(A ∩ B)|ord(B) luego entonces ord(A ∩ B) = 1 ⇒ A ∩ B = {e} y por lo tanto ord(AB) =

ord(A)ord(B) = mn ⋄ ord(A ∩ B)

Ejercicio Si p es un n´ umero primo, muestre que las u ´nicas soluciones de x2 ≡ 1 (mod p) son x ≡ 1 (mod p) ´ o x ≡ −1 (mod p) Soluci´ on Esta es una aplicaci´on directa de la teor´ıa de grupos a la teor´ıa de los n´ umeros: x2 ≡ 1 (mod p) ⇒ x2 − 1 ≡ 0 (mod p) ⇒ (x + 1)(x − 1) ≡ 0 (mod p) que implican el resultado deseado. ⋄ Ejercicio Muestre por medio de un ejemplo que es posible que la ecuaci´ on x2 = e puede tener m´as de 2 soluciones en alg´ un grupo con identidad e. Soluci´ on Basta con considerar el 4-grupo de Klein, cada elemento es soluci´on de la ecuaci´ on, como puede constatar a partir de la siguiente tabla de grupo: · e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e

⋄ Ejercicio Sea G un grupo y sea Gn = {g n : g ∈ G}. ¿Bajo qu´e hip´otesis sobre G podr´ıamos mostrar que Gn 6 G? Soluci´ on Un subgrupo en particular debe satisfacer la cerradura bajo la operaci´ on de grupo, por lo que para a, b ∈ G tales que an , bn ∈ Gn se tiene que an bn = (ab)n ⇔ ab = ba es decir, necesitamos la hip´otesis de conmutatividad de la operaci´ on, dicho de otra manera, necesitamos que G sea abeliano. ⋄ 4

Ejercicio Sean a, b ∈ G donde G es un grupo, entonces si ab tiene orden finito n muestre que ba tambi´en tiene orden n. Soluci´ on Por hipotesis (ab)n = e entonces b(ab)n a = bea = (ba)e y as´ı (ba)(ba)n = (ba)e ⇒ (ba)n = e Si orden de (ba) fuera menor que n aplicando un argumento completamente an´alogo llegar´ıamos a la conclusi´ on de que el orden de (ab) ser´ıa menor o igual a n contrario a lo que se hab´ıa supuesto en un principio. ⋄ Ejercicio Si A y B son subgrupos de ´ındice finito de un grupo G, es decir, [G : A] < ∞ y [G : B] < ∞ y adem´as ([G : A], [G : B]) = 1 (tales ´ındices son primos relativos), entonces G = AB. Soluci´ on Dado que A 6 G y B 6 G entonces A ∩ B 6 G y se tiene entonces que [G : A ∩ B] = [G : A][A : A ∩ B] y [G : A ∩ B] = [G : B][B : A ∩ B] Lo que implica, pues ([G : A], [G : B]) = 1, que [G : A][G : B]|[G : A ∩ B] ⇒ [G : A ∩ B] ≥ [G : A][G : B]. Por otro lado, dado que [G : B] < ∞ entonces [A : A∩B] < ∞ y [A : A∩B] ≤ [G : B]. Como se tiene tambi´en que [G : A] < ∞ entonces [G : A ∩ B] ≤ [G : A][G : B]. As´ı [G : A ∩ B] = [G : A][G : B] Lo que implica que G = AB. ⋄ Observaci´ on Los resultados utilizados para resolver este problema los podemos hallar en el libro Teor´ıa de los Grupos de Marshall Hall jr. en la secci´ on 1.5

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