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Segunda Parte: PROBLEMAS RESUELTOS Problemas Resueltos 1 CAPITULO 1 PROBLEMA 1.1 Hallar las formas de onda sobre la
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Segunda Parte: PROBLEMAS RESUELTOS
Problemas Resueltos
1
CAPITULO 1
PROBLEMA 1.1 Hallar las formas de onda sobre las resistencias del circuito de la Fig. 1.1.
Fig. 1.1 Problema 1.1.
SOLUCION: Se dibujan los circuitos equivalentes para cada semiciclo.
(a)
(b)
Fig. 1.2 Circuitos Equivalentes; (a) Semiciclo Positivo; (b) Semiciclo Negativo.
Facultad de Ingeniería - U.M.S.A.
Ing. José Ríos Altamirano
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2
Del análisis visual de los circuitos equivalentes se obtiene las señales sobre las resistencias que son:
ei
e (Ra)
e (Rb)
e (Rc)
Fig. 1.3 Formas de Onda del Problema 1.1.
PROBLEMA 1.2 Hallar las formas de onda sobre las resistencias del circuito de la Fig. 1.4.
Fig. 1.4 Problema 1.2.
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Ing. José Ríos Altamirano
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SOLUCION:
Se dibujan los circuitos equivalentes para cada semiciclo.
(a)
(b)
Fig. 1.5 Circuitos Equivalentes; (a) Semiciclo Positivo; (b) Semiciclo Negativo.
Del análisis visual de los circuitos equivalentes se obtiene las señales sobre las resistencias que son:
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ei
e (Ra)
e (Rb)
e (Rc)
Fig. 1.6 Formas de Onda del Problema 1.2.
PROBLEMA 1.3 Hallar la forma de onda de salida del circuito de la Fig. 1.7.
Fig. 1.7 Circuito del Problema 1.3
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SOLUCION: El análisis del circuito de la figura 1.7, es similar al que se realizó en el capítulo 1 del texto, donde en vez de los diodos zener se tenía fuentes de voltaje de corriente continua, en este caso la función de la fuentes es reemplazada por el voltaje que se tiene sobre los diodos zener. Por tanto, el circuito se comporta como un recortador de dos niveles (positivo y negativo), la forma de onda se observa en la Fig. 1.8.
Fig. 1.8 Señales de Entrada y Salida del Problema 1.3.
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PROBLEMA 1.4
Hallar la forma de onda de salida del circuito de la Fig. 1.7.
Fig. 1.7 Circuito del Problema 1.4.
SOLUCION
El circuito, es similar al del problema anterior, en lo que se refiere al análisis del semiciclo positivo, para el semiciclo negativo se tiene que tanto el diodo D2 y el diodo zener D2Z, están con la misma polaridad, por tanto, en el semiciclo negativo los dos dispositivos mencionados se comportan como un corto circuito, aunque en la realidad, presentan caídas de voltaje, del orden de 0.6 (v) cada uno.
En la Fig. 1.8 se observa el circuito con las señales de entrada y salida, donde la señal de salida para el semiciclo positivo, es igual al del problema anterior, sin embargo en el semiciclo negativo, se observa un pequeño voltaje de recorte.
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Fig. 1.8 Señales de Entrada y Salida del Problema 1.4.
PROBLEMA 1.5
Diseñar la fuente de voltaje regulada de la Fig. 1.9, considerando las siguientes especificaciones y datos.
Vz = 6 (v) Pz = 1.5 (w) Vef (entrada) = 15 (v) C = 330 (uF)
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Fig. 1.9 Circuito del Problema 1.5.
SOLUCION
Se calcula inicialmente el valor máximo de la señal de entrada.
Vm = 1.4 * Vef = 1.4 * 15
Vm = 21 (v)
Considerando que se tiene un circuito rectificador de onda completa con filtro C, se puede calcular el voltaje de rizado que está dado por:
Vr = Vdc / (2 * f * C * R’) = Idc / (2 * f * C)
Donde Idc, será el valor de la corriente máxima del circuito regulador, que a su vez es igual a la corriente máxima del diodo zener, por tanto:
Idc = Izmáx.
Como:
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9
Izmáx = 0.6 * (Pz / Vz) = 0.6 * (1.5 / 6)
Izmáx = 150 (mA)
Izmín = 0.075 * (Pz / Vz) = 0.075 * (1.5 / 6)
Izmín = 19 (mA)
Entonces:
Idc = Izmáx = 150 (mA)
Luego, considerando que la frecuencia de línea, en el país es de 50 Hz, se tiene: Vr = 150 * 10-3 / (2 * 50 * 330 * 10-6 )
Vr = 4.5 (v)
Como:
Vdc = Vm – (Vr / 2) = 21 - (4.5 / 2)
Vdc = 18.7 (v)
De donde:
R = (Vdc – Vz) / Izmáx = (18.7 – 6) / 0.15
Normalizado:
R = 82 (Ohmios)
La carga mínima del circuito regulador, es:
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RLmín = Vz / (Izmáx – Izmín) = 6 / (150 – 19)
Normalizado:
RLmín = 47 (Ohmios)
PROBLEMA 1.6
Diseñar la fuente de voltaje regulada de la Fig. 1.10, considerando las siguientes especificaciones y datos.
Vz = 8 (v) Pz = 2 (w) Vm = 24 (v) C = 470 (uF)
Fig. 1.10 Circuito del Problema 1.6.
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SOLUCION
Considerando que se tiene un circuito rectificador de onda completa con filtro C, se puede calcular el voltaje de rizado que está dado por:
Vr = Vdc / (2 * f * C * R’) = Idc / (2 * f * C)
Donde Idc, será el valor de la corriente máxima del circuito regulador, que a su vez es igual a la corriente máxima del diodo zener, por tanto:
Idc = Izmáx.
Como:
Izmáx = 0.6 * (Pz / Vz) = 0.6 * (2 / 8)
Izmáx = 150 (mA)
Izmín = 0.075 * (Pz / Vz) = 0.075 * (2 / 8)
Izmín = 19 (mA)
Entonces:
Idc = Izmáx = 150 (mA)
Luego, considerando que la frecuencia de línea es 50 Hz, se tiene: Vr = 150 * 10-3 / (2 * 50 * 470 * 10-6 )
Vr = 3.2 (v)
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Como:
Vdc = Vm – (Vr / 2) = 24 - (3.2 / 2)
Vdc = 22.4 (v)
De donde:
R = (Vdc – Vz) / Izmáx = (22.4 / 8) / 0.15
Normalizado:
R = 100 (Ohmios)
La carga mínima del circuito regulador, es:
RLmín = Vz / (Izmáx – Izmín) = 8 / (150 – 19)
Normalizado:
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RLmín = 62 (Ohmios)
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CAPITULO 2
PROBLEMA 2.1
Diseñar una fuente de corriente regulada, considerando las siguientes especificaciones y datos:
If = 100 (mA) Vi = 30 (v) Beta = 100 Vz = 5.2 (v) Izn = 45 (mA)
SOLUCION
Aplicando las fórmula obtenidas en el análisis del capítulo 2, en el punto correspondiente, se tiene lo siguiente.
Rf = (Vz – 0.6) / If = (5.2 – 0.6) / 100
Normalizado:
Rf = 0.47 K
R = (Vi – Vz) / Izn = (30 – 5.2) / 45
Normalizado:
R = 0.56 K
La carga máxima del circuito será:
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RLmáx = (Vi – Vz – 0.6) / If = (30 – 5.2 – 0.6) / 100
RLmáx = 0.24 K
PROBLEMA 2.2 Diseñar una fuente regualada de corriente para cumplir con:
If = 0.2 (A) Vi = 40 (v) Beta = 200 Vz = 3.3 (v) Pz = 1 (w)
SOLUCION
Aplicando las fórmulas ya obtenidas en el texto (capítulo 1 y 2), se tiene:
Izmáx = 0.6 * (Pz / Vz) = 0.6 * (1 / 3.3)
Izmáx = 182 (mA)
Izmín = 0.075 * (Pz / Vz) = 0.075 * (1 / 3.3)
Izmín = 23 (mA)
Entonces:
Izn = (Izmáx – Izmín) / 2 = (182 – 23) / 2
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15
Izn = 79.5 mA
Por tanto:
Rf = (Vz – 0.6) / If = (3.3 – 0.6) / 0.2
Normalizado:
Rf = 12 (Ohmios)
R = (Vi – Vz) / Izn = (40 – 3.3) / 79.5
Normalizado:
R = 0.47 K
La carga máxima del circuito es:
RLmáx = (Vi – Vz – 0.6) / If = (40 – 3.3 – 0.6) / 0.2
RLmáx = 0.18 K
PROBLEMA 2.3
Para una fuente de corriente regulada, determinar el valor de RLmáx, considerando los siguientes valores del circuito.
Rf = 30 (Ohmios) R = 0.62 K V® = 30 (v) (voltaje sobre la resistencia R) If = 0.3 (A)
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SOLUCION
De la ecuación de Rf, se obtiene el valor del voltaje del diodo zener.
Rf = (Vz – 0.6) / If
è Vz = Rf * If + 0.6
Vz = 10 (v)
De la ecuación de R, se tiene:
R = (Vi – Vz) / Izn è Vi = R * Izn + Vz
Donde:
V® = R * Izn = 30 (v)
Por tanto:
Vi = 30 + 10
Vi = 40 (v)
Entonces, la carga máxima del circuito será:
RLmáx = (Vi – Vz – 0.6) / If = (40 – 10 – 0.6) / 0.3
RLmáx = 0.098 K
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PROBLEMA 2.4
Diseñar una fuente regulada de voltaje, con circuito de protección, para cumplir con las siguientes especificaciones y datos.
Vi = 35 (v) Iomáx = 1 (A) Vomáx – Vomín >= 15
Se dispone de los siguientes dispositivos:
Transistor
Vce (v)
P (w)
Ic (A)
Diodos
Vz (v)
A
24.05
22.4
1.0
A
3.4
B
18.15
20.0
1.2
B
5.4
C
20.50
21.0
1.2
C
9.4
D
21.05
20.5
1.1
D
13.4
E
21.05
21.5
1.0
E
18.4
Beta = 100 (todos los Transistores)
Izmáx = 35 (mA); Izmín = 4 (mA)
Tabla de valores de los Dispositivos.
SOLUCION
Primer Paso: Se establece si se requiere la configuración darlington.
Sí:
Ib > Izmáx / 2 è
Sí: 1000 / 100 > 35 / 2
Como 10 no es mayor que 17.5, entonces no se requiere la configuración darlington.
Segundo Paso: Definir Vz2
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Sí: Vz2 = 18.4 è Vomín = 19
Y considerando: Vomáx = Vomín + 15 = 19 +15
Vomáx = 34
Valor muy alto, en relación al voltaje de entrada, que no permitiría que el transistor T1 funcione. Por tanto, se escoge otro valor, menor para Vz2.
Sí: Vz2 = 13.4 è Vomín = 14
Y considerando:
Vomáx = Vomín + 15 = 14 +15
Vomáx = 29
Por tanto, este valor de Vz2 = 13.4 es procedente, inicialmente, sin embargo depende si se utiliza, en función de los resultados de los siguientes pasos.
Tercer Paso: Definir Vz1
De la fórmula:
Vz1 < Vi – Vomáx – 1.8 = 35 – 29 – 1.8
Vz1 < 4.2 (v)
Se escoge:
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19
Vz1 = 3.4 (v)
Este valor, también es dependiente de los resultados de los siguientes pasos.
Cuarto Paso: Definir Transistor de Potencia
El transistor T1 debe cumplir con las siguientes condiciones:
Ic > Iomáx
è
Vce > Vi – Vomín
Ic > 1 (A)
è
Vce > 35 – 14 = 21
P > (Vi – Vomín – 0.6) * Iomáx
è
P > (35 – 14 – 0.6) * 1 = 20.4
El transistor T (D) cumple con las tres condiciones.
Con la definición positiva de T1 se confirma los valores de los diodos zener, por tanto:
Vz1 = Vz (A) = 3.4 (v)
Vz2 = Vz (D) = 13.4 (v)
Quinto Paso: Calcular los valores de las Resistencias
Utilizando las fórmulas definidas en el texto, se tiene:
Rf = (Vz1 – 0.6) / (Ib1 + Izmín) = (3.4 – 0.6) / (10 + 4)
Rf = 0.2 K
R = (Vi – Vz1) / Izn = (35 – 3.4) / ((35 – 4) / 2 )
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R=2K
Rs = (Vomáx – Vz2) / (Izmáx / 3) = (29 – 13.4) / (35 / 3)
Rs = 1.3 K
Considerando, que se debe cumplir, con: (Ib1 + Izmín) / Beta 2 (A) è
Vce > 35 – 14 = 21
P > (Vi – Vomín – 0.6) * Iomáx
è
P > (35 – 14 – 0.6) * 2 = 40.8
El transistor T (D) cumple con las tres condiciones.
Con la definición positiva de T1 se confirma los valores de los diodos zener, por tanto:
Vz1 = Vz (A) = 3.4 (v)
Vz2 = Vz (D) = 13.4 (v)
Quinto Paso: Calcular los valores de las Resistencias
Utilizando las fórmulas definidas en el texto, se tiene:
Rf = (Vz1 – 0.6) / ((Ib1/Beta) + Izmín) = (3.4 – 0.6) / ((20/100) + 4)
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Rf = 0.66 K
R = (Vi – Vz1) / Izn = (35 – 3.4) / ((35 – 4) / 2)
R=2K
Rs = (Vomáx – Vz2) / (Izmáx / 3) = (29 – 13.4) / (35 / 3)
Rs = 1.3 K
Considerando, que se debe cumplir, con: ((Ib1 / Beta) + Izmín) / Beta 1.2 (A) è
Vce > 50 – 13 = 37
P > (Vi – Vomín – 0.6) * Iomáx
è
P > (50 – 13 – 0.6) * 1.2 = 43.7
El transistor T (B) cumple con las tres condiciones.
Con la definición positiva de T1 se confirma los valores de los diodos zener, por tanto:
Vz1 = Vz (A) = 3.4 (v)
Vz2 = Vz (D) = 12.4 (v)
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29
Quinto Paso: Calcular los valores de las Resistencias
Utilizando las fórmulas definidas en el texto, se tiene:
Rf = (Vz1 – 0.6) / ((Ib1/100) + Izmín) = (3.4 – 0.6) / ((40/100) + 10)
Rf = 0.27 K
R = (Vi – Vz1) / Izn = (50 – 3.4) / ((70 – 10)/2)
R = 1.5 K
Rs = (Vomáx – Vz2) / (Izmáx / 3) = (43 – 12.4) / (70 / 3)
Rs = 1.3 K
Considerando, que se debe cumplir, con: (Ib1 + Izmín) / Beta 1 (A) è
Vce > 35 – 14 = 21
P > (Vi – Vomín – 0.6) * Iomáx
è
P > (35 – 14 – 0.6) * 1 = 20.4
Ningún Transistor cumple éstas especificaciones, y sí se utiliza otro diodo zener de menor valor, se requerirá mayores niveles de potencia del transistor, y por lo tanto, tampoco se encontrará transistor que cumpla las especificaciones. Entonces, la respuesta a este problema, es que no se puede diseñar el regulador, con los dispositivos que se disponen en la tabla.
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CAPITULO 3
PROBLEMA 3.1
Polarizar un circuito Emisor Común, para obtener:
RB > 20 k
Con los siguientes datos:
9 < Vcc < 21 0.9 mA < Ic < 5 mA Beta = 100
SOLUCION
Para obtener el máximo valor de RB, se debe utilizar el máximo valor de Vcc y el mínimo valor de Ic, por tanto:
Vcc = 20 (v) Ic = 1 (mA)
Aplicando las ecuaciones, obtenidas en el texto, se encuentra los valores de las resistencias, de la siguiente manera:
Rc = (4 * Vcc / 10) / Ic = (4 * 20 / 10) / 1
Normalizado:
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Rc = 8.2 K
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34
Re = (Vcc / 10) / Ic = (20 / 10) / 1
Normalizado:
Re = 2.2 K
La corriente de base será:
Ib = Ic / Beta = 1 / 100
Ib = 0.01
La corriente por las resistencias R1 y R2 es al menos diez veces, el valor de Ib.
I = 10 * Ib = 10 * 0.01
I = 0.1 (mA)
Entonces los valores de las resistencias son:
R2 = (0.6 + Vcc/10) / I = (0.6 + 2) / 0.1
Normalizado:
R2 = 27 K
R1 = (Vcc – 0.6 – Vcc/10) / I = (20 – 0.6 –2) / 0.1
Normalizado:
R1 = 180 K
Por tanto:
RB = R1 // R2 = 27 // 180
RB = 23.47 K
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35
Valor que cumple con la condición de que RB sea mayor a 20 K.
PROBLEMA 3.2
Polarizar un Emisor Común, en la configuración Darlington, para cumplir con:
100 K < RB < 200 K
Con los siguientes datos.
Vcc = 30 (v) Ic = 2 (mA)
SOLUCION
Aplicando las ecuaciones, obtenidas en el texto, se encuentra los valores de las resistencias, de la siguiente manera:
Rc = (4 * Vcc / 10) / Ic = (4 * 30 / 10) / 2
Normalizado:
Rc = 6.2 K
Re = (Vcc / 10) / Ic = (30 / 10) / 2
Normalizado:
Re = 1.5 K
La corriente de base, del primer transistor será:
Ib1 = Ic1 / Beta = 2 / 100
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36
Ib1 = 0.02
La corriente de base, del segundo transistor (darlington) será:
Ib2 = Ic2 / Beta = 0.02 / 100
Ib2 = 0.0002
La corriente por las resistencias R1 y R2 es al menos diez veces, el valor de Ib.
I = 10 * Ib = 10 * 0.0002
I = 0.002 (mA)
Entonces los valores de las resistencias son:
R2 = (0.6 + 0.6 + Vcc/10) / I = (0.6 + 0.6 + 3) / 0.002
Normalizado:
R2 = 2.2 M
R1 = (Vcc – 0.6 – 0.6 - Vcc/10) / I = (30 – 0.6 – 0.6 – 3) / 0.002
Normalizado:
R1 = 12 M
Por tanto:
RB = R1 // R2 = 2.2 // 12
RB = 1.8 M
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37
Valor que NO cumple con la condición para RB, por tanto se debe incrementar el valor de la corriente I, que circula por R1 y R2.
I = 100 * Ib = 100 * 0.0002
I = 0.02 (mA)
Entonces los valores de las resistencias son:
R2 = (0.6 + 0.6 + Vcc/10) / I = (0.6 + 0.6 + 3) / 0.02
Normalizado:
R2 = 220 K
R1 = (Vcc – 0.6 – 0.6 - Vcc/10) / I = (30 – 0.6 – 0.6 – 3) / 0.02
Normalizado:
R1 = 1.2 M
Por tanto:
RB = R1 // R2 = 220 K // 1.2 M
RB = 186 K
Valor que cumple con las especificaciones del problema.
PROBLEMA 3.3
Polarizar el circuito de la siguiente figura.
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38
Circuito del Problema 3.3.
Los datos, son los siguientes:
Vcc = 20 (v) Ict (del circuito) = 2 (mA) Beta = 100
SOLUCION
Los transistores T1 y T2 están en paralelo y el transistor T3 esta en la configuración darlington, por tanto, la polarización, se realiza de la siguiente manera:
Rc = (4 * Vcc / 10) / Ict = (4 * 20 / 10) / 2
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Normalizado:
39
Rc = 3.9 K
Re = (Vcc / 10) / Ic = (20 / 10) / 2
Normalizado:
Re = 1 K
La corriente de base, (sumada de los transistores T1 y T2) será:
Ibt = Ict / Beta = 2 / 100
Ibt = 0.02
La corriente de base, del en darlington será:
Ib3 = Ic3 / Beta = 0.02 / 100
Ib2 = 0.0002
Sí:
I = 100 * Ib = 100 * 0.0002
I = 0.02 (mA)
Entonces los valores de las resistencias son:
R2 = (0.6 + 0.6 + Vcc/10) / I = (0.6 + 0.6 + 2) / 0.02
Normalizado:
R2 = 160 K
R1 = (Vcc – 0.6 – 0.6 - Vcc/10) / I = (20 – 0.6 – 0.6 – 2) / 0.02
Normalizado:
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R1 = 840 K
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40
PROBLEMA 3.4
Polarizar un circuito Colector Común, con las siguientes especificaciones y datos:
9 < Vcc < 21 Ic > 2 mA Beta = 200 RB > 40 K
SOLUCION
Para obtener el máximo valor de RB, se debe utilizar el máximo valor de Vcc y el mínimo valor de Ic, por tanto:
Vcc = 20 (v) Ic = 2 (mA)
Aplicando las ecuaciones, que corresponden a éste circuito, se tiene:
Re = (Vcc / 2) / Ic = (20 / 2) / 2
Normalizado:
Re = 4.7 K
La corriente de base será:
Ib = Ic / Beta = 2 / 200
Ib = 0.01
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La corriente por las resistencias R1 y R2 es al menos diez veces, el valor de Ib.
I = 10 * Ib = 10 * 0.01
I = 0.1 (mA)
Entonces los valores de las resistencias son:
R2 = (0.6 + Vcc/2) / I = (0.6 + 10) / 0.1
Normalizado:
R2 = 100 K
R1 = (Vcc – 0.6 – Vcc/2) / I = (20 – 0.6 – 10) / 0.1
Normalizado:
R1 = 100 K
Por tanto:
RB = R1 // R2 = 100 // 100
RB = 50 K
Valor que cumple con la condición de que RB sea mayor a 40 K.
PROBLEMA 3.5
Polarizar un circuito Colector Común en la configuración darlington. Para los siguientes datos:
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42
Vcc = 15 (v) Ic = 15 (mA) Beta = 100
SOLUCION
Aplicando las ecuaciones, se encuentra los valores de las resistencias, de la siguiente manera:
Re = (Vcc / 2) / Ic = (15 / 2) / 15
Normalizado:
Re = 0.47 K
La corriente de base, del primer transistor será:
Ib1 = Ic1 / Beta = 15 / 100
Ib1 = 0.15
La corriente de base, del segundo transistor (darlington) será:
Ib2 = Ic2 / Beta = 0.15 / 100
Ib2 = 0.0015
La corriente por las resistencias R1 y R2, se toma como diez veces, el valor de Ib.
I = 10 * Ib = 10 * 0.0015
I = 0.015 (mA)
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Problemas Resueltos
43
Entonces los valores de las resistencias son:
R2 = (0.6 + 0.6 + Vcc/2) / I = (0.6 + 0.6 + 7.5) / 0.015
Normalizado:
R2 = 560 K
R1 = (Vcc – 0.6 – 0.6 - Vcc/2) / I = (15 – 0.6 – 0.6 – 7.5) / 0.015
Normalizado:
R1 = 390 K
PROBLEMA 3.6
Polarizar un Emisor Común para un factor de estabilidad igual o menor a 8. Con los siguientes datos:
Vcc = 20 (v) Ic = 1 (mA)
SOLUCION
Aplicando las ecuaciones, obtenidas en el texto, se encuentra los valores de las resistencias, de la siguiente manera:
Rc = (4 * Vcc / 10) / Ic = (4 * 20 / 10) / 1
Normalizado:
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Rc = 8.2 K
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Problemas Resueltos
44
Re = (Vcc / 10) / Ic = (20 / 10) / 1
Normalizado:
Re = 2.2 K
La corriente de base será:
Ib = Ic / Beta = 1 / 100
Ib = 0.01
La corriente por las resistencias R1 y R2 es al menos diez veces, el valor de Ib.
I = 10 * Ib = 10 * 0.01
I = 0.1 (mA)
Entonces los valores de las resistencias son:
R2 = (0.6 + Vcc/10) / I = (0.6 + 2) / 0.1
Normalizado:
R2 = 27 K
R1 = (Vcc – 0.6 – Vcc/10) / I = (20 – 0.6 –2) / 0.1
Normalizado:
R1 = 180 K
Por tanto:
RB = R1 // R2 = 27 // 180
RB = 23.47 K
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Problemas Resueltos
45
La fórmula del factor de estabilidad es:
S = B / (1 + B * (Re / (Re + RB))) = 100 / (1 + 100 * (2.2 / (2.2 + 23.47)))
S = 10.3
Valor que no cumple con la condición del problema, por tanto, se debe incrementar la corriente de la resistencias R1 y R1.
Entonces:
I = 20 * Ib = 20 * 0.01
I = 0.2 (mA)
Entonces los valores de las resistencias son:
R2 = (0.6 + Vcc/10) / I = (0.6 + 2) / 0.2
Normalizado:
R2 = 12 K
R1 = (Vcc – 0.6 – Vcc/10) / I = (20 – 0.6 –2) / 0.2
Normalizado:
R1 = 82 K
Por tanto:
RB = R1 // R2 = 12 // 82
RB = 10.47 K
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Problemas Resueltos
46
La fórmula del factor de estabilidad es:
S = B / (1 + B * (Re / (Re + RB))) = 100 / (1 + 100 * (2.2 / (2.2 + 10.47)))
S = 5.44
Valor que no cumple con la condición del problema.
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47
CAPITULO 4
PROBLEMA 4.1
Diseñar un amplificador Emisor Común, con resistencia Rf en Emisor, para cumplir con:
/Av/ = 20 Zi = 10 K Beta = 200 rpi = 5 K RB = 20 K Rc = 3 K
SOLUCION
Como no existe restricción respecto a RL, entonces:
RL = Rc = 3 K
è
Rz = Rc // RL = 3 // 3
Rz = 1.5 K
Reflejando la resistencia de emisor a base, las ecuaciones de la ganancia y la impedancia de entrada son:
/Av/ = g’m * Rz * (RB // rpi’) / (Rs + RB//rpi’)
Zi = Rs + RB // rpi’
Reemplazando la impedancia de entrada en la ecuación de la ganancia se obtiene:
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48
/Av/ = g’m * Rz * (RB // rpi’) / Zi
ecuación en la que, la única incógnita es rpi’ (en realidad la incógnita es Rf, que está incluida en rpi’), por tanto, se despeja rpi’.
rpi’ = (B * Rz * RB / (/Av/*Zi)) – RB = (200 * 1.5 * 20 / (20 * 10)) – 20
rpi’ = 10 K
Como rpi’ es:
rpi’ = rpi + B * Rf
Entonces, de rpi’ se despeja Rf y se tiene:
Rf = (rpi’ – rpi) / B = (10 – 5) / 200
Rf = 0.025 K
Rs, se obtiene de la ecuación de Zi.
Rs = Zi – RB//rpi’ = 10 – (20 // 10)
Rs = 3.3 K
PROBLEMA 4.2
Hallar la ganancia de voltaje del amplificador Colector Común con Rf en emisor.
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49
Circuito del Problema 4.2.
SOLUCION
La ecuación de la primera malla es:
ei = V + gm * V * Rf + eo
La ecuación de la señal de salida es:
eo = gm * V * Rz
Despejando V de la primera ecuación y reemplazando en la segunda se obtiene la ganancia de voltaje que tiene la siguiente expresión:
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Problemas Resueltos
50
Av = gm * Rz / (1 + gm * Rf + gm * Rz)
PROBLEMA 4.3
Hallar la ganancia de voltaje del amplificador Base Común con Rf en emisor.
Circuito del Problema 4.3.
SOLUCION
La ecuación del nudo en (- V) es:
(ei + V) / Rf = gm * V Facultad de Ingeniería - U.M.S.A.
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51
La ecuación de la señal de salida es:
eo = - gm * V * Rz
Despejando V de la primera ecuación y reemplazando en la segunda se obtiene la ganancia de voltaje que tiene la siguiente expresión:
Av = - gm * Rz / (1 + gm * Rf)
PROBLEMA 4.4
Hallar la ganancia de voltaje del circuito de la siguiente figura.
Circuito del Problema 4.4.
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52
SOLUCION
La ecuación del primer nudo es:
(ei – V – eo) / 5 = (V + eo) / 5 + V / 5
La ecuación del segundo nudo es:
V / 5 + gm * V = eo / 0.5
Despejando V de la primera ecuación y reemplazando en la segunda se obtiene la ganancia de voltaje que tiene la siguiente expresión:
Av = 20 / 23
PROBLEMA 4.5 Hallar la Rs del circuito de la siguiente figura.
Circuito del Problema 4.5.
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53
Los datos son los siguientes:
B = 200 rpi = 5 K Av = 0.2
SOLUCION
La ecuación de la señal de salida es:
eo = (V/0.1 + gm * V) * 2 = (10 * V + 20 * V) * 2 = 60 * V
La ecuación del primer nudo es:
(ei – V – eo) /Rs = (V + eo) / 10 + V / 0.1
de donde:
V = (ei – eo – 0.1 * Rs * eo) / (1 + 10 * Rs)
Igualando a ésta ecaución, el resultado de la primera ecuación se tiene:
eo / 60 = (ei – eo – 0.1 * Rs * eo) / (1 + 10 * Rs)
de donde, se despeja Rs, y se tiene:
Rs = 15 K
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54
PROBLEMA 4.6
Hallar Av, Zi y Zo del siguiente circuito.
Circuito del Problema 4.6.
Los datos son:
B = 300 Rpi = 2 K
SOLUCION
La ecuación de la señal de salida, aplicando un divisor de corriente, será:
eo = (1 / (1 + 5)) * (- gm * V) * 2 = - 50 * V
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55
De la malla de entrada se obtiene la relación de V.
V = (2 / (2 + 2)) * ei = ei / 2
Reemplazando ésta relación en la primera, se tiene:
V = ei / 2 = - eo / 50
Av = - 25
La impedancia de entrada es:
Zi = Rs + RB // rpi = 2 + 40 // 2
Zi = 4 K
La impedancia de salida es:
Zo = 3 + 1
Zo = 4 K
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56
CAPITULO 5
PROBLEMA 5.1
Hallar la ganancia del amplificador multietapa, conformada por dos amplificadores Emisor Común en cascada, en cada caso con Rf en emisor. El circuito se muestra en la siguiente figura.
Circuito del Problema 5.1.
Los datos son:
B = 100 rpi = 1 K
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57
SOLUCION
Aplicando la ecuación de la ganancia obtenida en el análisis en el texto, pero considerando la influencia de Rf.
Por tanto, Rf, implica que los rpi se convierten en rpi’ y los gm en gm’. Entonces, se tiene:
Av = g’m * Rz *g’m * (Rc // RB // rpi’) * (RB // rpi’) / (Rs + RB//rpi’)
Como:
rpi’ = rpi + B * Rf = 1 + 100 * 0.2
rpi’ = 20 K
Entonces:
Av = (100 / 20) * 1 * (100 / 20) * (1 // 20 // 20) * (20 // 20) / (10 + 20//20)
Av = 12.5
La impedancia de entrada es:
Zi = Rs + RB // rpi’ = 10 + 20 // 20
Zi = 20 K
La impedancia de salida es:
Zo = Rc = 2 K
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58
Zo = 2 K
PROBLEMA 5.2
Para el mismo circuito del problema 5.1, que valores deben tener Rf del primer y segundo amplificador, si se quiere obtener:
Av = 50 Zi = 20 K
SOLUCION
Considerando la ecuación de la impedancia de entrada, se tiene:
Zi = Rs + RB // rpi’
De donde RB // rpi’, será:
RB // Rpi’ = Zi – Rs = 20 – 10 = 10 K
Como:
RB = 20 K
Entonces:
rpi’ = 20 K
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59
Como:
rpi’ = rpi + B * Rf1 = 20 K
Rf1 = (rpi’ – rpi) / B = (20 – 1) / 100
Rf1 = 0.2 K
De la ecuación de la ganancia, se obtiene la relación, para rpi’ del segundo amplificador:
Av = g’m1 * Rz *g’m2 * (Rc // RB // rpi2’) * (RB // rpi1’) / (Rs + RB//rpi1’)
Av = (B / rpi’1) * Rz * (B / rpi’2) * Rc * (RB // rpi’1) / (Rs + RB//rpi’1)
Ecuación válida sí:
rpi’2 >> Rc
Entonces:
rpi’2 = B * B * Rz * Rc * (RB // rpi’1) / (Av * rpi’1 * (Rs + RB//rpi’1))
rpi’2 = 100 * 100 * 1 * 1 * 10 / (50 * 20 * (10 + 10))
rpi’2 = 5 K
Como:
rpi2’ = rpi2 + B * Rf2 = 5 K
Rf2 = (rpi2’ – rpi) / B = (5 – 1) / 100
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Problemas Resueltos
60
Rf2 = 0.04 K
Valor que confirma la suposición de rpi’2 >> Rc.
PROBLEMA 5.3
Hallar la ganancia del amplificador multietapa, conformada por amplificadores Emisor Común y Colector Común en cascada, el primer amplificador (Emisor Común) con Rf en emisor.
Los datos son: Beta = B = 100 rpi = 2 K /Av/ = 10 Zi = 8 K RB1 = 100 // 25 = 20 K RB2 = 40 // 40 = 20 K Por tanto: RB1 = RB2 = RB = 20 K Rc = 1 K (primera etapa) Rz = 1 K
SOLUCION
Le ecuación de la ganancia se obtuvo en el texto, en el capítulo 5, entonces se tiene:
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61
Av = B*B*Rz*(Rc//RB)*(RB//rpi’1) / (rpi’1 * (Rs + RB//rpi’1) * (rpi2 + Rc//RB + B*Rz))
Donde solamente se reemplazó rpi1, por rpi’1.
Como:
Zi = Rs + rpi’1
Reemplazando los valores, de las resistencias, parámetros del transistor, de la ganancia y la impedancia de entrada la ecuación se reduce a :
10 = 100 * 100 * 1 * (20//1) * (20//rpi’1) / (rpi’1 * 8 * (2 + 1 + 100 * 1))
10 = 10000 * (20 // rpi’1) / (800 * rpi’1) = 12.5 * (20 * rpi’1 / (20 + rpi’1)) / (rpi’1)
10 = 250 / (20 + rpi’1)
De donde, se despeja rpi’1, y se tiene:
rpi’1 = 25 – 20
rpi’1 = 5 K
Como:
rpi’1 = rpi + B * Rf
Entonces Rf es:
Rf = (rpi’1 – rpi) / B = (5 - 2) / 100
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62
Rf = = 0.03 K
De la ecuación de Zi se obtiene, el valor de RS:
Rs = Zi – (RB // rpi’1) = 8 – (20 // 5)
Rs = 4 K
PROBLEMA 5.4
Hallar la ganancia de voltaje, del circuito multietapa Base Común – Colector Común, de la siguiente figura.
Circuito del Problema 5.4.
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63
Los datos son:
Beta = B = 100 rpi = 5 K
SOLUCION
La primera malla indica:
ei = - V1
El segundo nudo, permite escribir la siguiente ecuación:
gm * V1 + (V2 + eo) / Rc//RB = 0
La ecuación de la salida es:
eo = gm * V2 * Rz
Combinando las tres ecuaciones, se llega a:
Av = gm * Rz * gm * (Rc // RB) / ( 1 + gm * Rz)
Av = (100 / 5) * 0.1 * (100 / 5) * (2 // 25) / (1 + (100 * 0.1 /5))
Av = 26.7
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64
PROBLEMA 5.5
Hallar Rs para que la ganancia de voltaje del un amplificador cascode con Rf en emisor, sea igual a -10.
Circuito del Problema 5.5.
Los datos son:
Beta = B = 100 rpi = 1 K
SOLUCION
La ecuación de la señal de salida es:
eo = - gm * V2 * Rz Facultad de Ingeniería - U.M.S.A.
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Problemas Resueltos
65
La relación de las fuentes controladas, se obtiene del nudo respectivo, y se tiene:
gm’ * V1 = gm * V2
V1 respecto de ei, se halla mediante un divisor de tensión y se tiene:
V1 = (RB // rpi’) * ei / (Rs + RB//rpi’)
Combinando las tres ecuaciones, se obtiene la ganancia de voltaje, que es:
Av = - gm’ * Rz * (Rb//rpi’) / (Rs + RB//rpi’)
Despejando Rs:
Rs = - (gm’ * Rz * (Rb//rpi’) / Av) - RB//rpi’ = 54.5 – 5.45
Rs = 49 K
PROBLEMA 5.6
Hallar la ganancia de voltaje e impedancia de entrada de un amplificador Emisor Común en la configuración darlington, con Rf en emisor. El circuito se muestra en la siguiente figura.
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66
Circuito del Problema 5.6.
Los datos son:
Beta = B = 200 rpi = 3.5 K
SOLUCION
La ecuación de la primera malla es:
ei = V1 + V2
V2 es igual a:
V2 = gm * V1 * rpi’
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67
La ecuación de la señal de salida es:
eo = - (gm* V1 + g’m * V2) * Rz
Combinando las ecuaciones se obtiene:
Av = - g’m * Rz = - (200 / 23.5) * 1.1
Av = - 9.36
La impedancia de entrada es:
Zi = RB
Zi = 192 K
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68
CAPITULO 6
PROBLEMA 6.1
Hallar Ce y C para obtener:
W1 = 100
W2 = 100 K
En un amplificador Emisor Común, donde, C es un condensador colocado entre base y colector (en paralelo con Cu).
Los datos son:
Beta = B = 200 rpi = 3.5 K Cpi = 20 pF Cu = 10 pF RB = 15.25 K Rs = 33 K Re = 0.56 K Rc = 2.2 K RL = 2.2 K Cb = 10 uF Cc = 10 uF
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69
SOLUCION
Se utiliza las fórmulas obtenidas en el texto para W1 y W2, donde, en la capacidad Cm se incluirá como suma a Cu el factor C.
De W1:
W1 = 1 / (Cb * RB // rpi // Rs) + 1 / (Cc * (Rc + RL)) + (RB*Rs + (RB+Rs)*(rpi + B*Re) / (Ce*Re*(RB*Rs + (RB+Rs)*rpi)) –1/ (Ce* Re)
Reemplazando valores se tiene: 100 = 2.8 +22.7 + 16 * 10-3 / Ce - 1.78 * 10-3 / Ce
De donde:
Ce = 190 uF
De W2:
W2 = 1 / (Cmx * RB // rpi // Rs)
Reemplazando valores se tiene:
100 * 103 = 1 / (Cmx * 15.25 K // 3.5 K // 33 K)
De donde:
Cmx = 3.846 nF
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Problemas Resueltos
70
Como:
Cmx = Cpi + (Cu + C) (1 + gm * Rz)
De donde:
C = (Cmx – Cpi) / (gm * Rz) = (3846 – 20) / ( (200/3.5) * 1.1)
C = 55 pF
PROBLEMA 6.2
Hallar W1, para un amplificador Emisor Común, con Rf en emisor, con los siguientes datos:
Beta = B = 200 rpi = 3.5 K Cpi = 20 pF Cu = 10 pF RB = 15.25 K Rs = 33 K Re = 0.56 K Rc = 2.2 K RL = 2.2 K Rf = 0.1 K Cb = 10 uF Cc = 10 uF Ce = 190 uF
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71
SOLUCION
Utilizando la formula de W1, con el sólo cambio de rpi por rpi’, se puede obtener el valor de W1, de la siguiente manera.
rpi’ = rpi + B * Rf
rpi’ = 3.5 + 200 * 0.1
rpi’ = 23.5 K
Entonces, W1 será:
W1 = 1 / (Cb * RB // rpi’ // Rs) + 1 / (Cc * (Rc + RL)) + (RB*Rs + (RB+Rs)*(rpi’ + B*Re) / (Ce*Re*(RB*Rs + (RB+Rs)*rpi’)) –1/ (Ce* Re)
Reemplazando valores se tiene:
W1 = 2.37 + 22.7 + 40.53 – 9.47
W1 = 56.1
Resultado que permite, observar el efecto de una resistencia en emisor.
PROBLEMA 6.3
Hallar Ce, de un amplificador Colector Común, para cumplir con: Facultad de Ingeniería - U.M.S.A.
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Problemas Resueltos
72
W1 = 100
Los datos son:
Beta = B = 120 rpi = 1.5 K RB = 1.95 K Rs = 0.1 K Re = 0.33 K RL = 0.33 K Cb = 10 uF
La ecuación de W1 (obtenida en el texto) es:
W1 = (B * Rz + rpi + RB) / (B * Cb * Rz * RB) + 1 / (Ce * Re)
Reemplazando valores se tiene: 100 = (120 * 0.16 * 1.5 * 1.95) / (120 * 10-5 * 0.16 * 1.95) + 1 / (Ce * 330)
Operando cada término, se llega a:
100 = 60.2 + 0.003 / Ce
De donde:
Ce = 75 uF
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73
PROBLEMA 6.4
En un amplificador Cascode, hallar RL y C (condensador colocado entre Base y Colector, del segundo transistor), para obtener:
/Av/ = 50 W2 = 5 * 106
Los datos son:
RB = 7.5 K Rz = 1.1 K Rs = 0.1 K Rc = 2.2 K Beta = 200 rpi = 3.5 K Cpi = 20 pF Cu = 6 pF
SOLUCION
La ecuación de la ganancia (obtenida en el texto) es:
/Av/ = gm * Rz
de donde, se tiene que Rz es:
Rz = /Av/ / gm = 50 / (200 / 3.5)
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74
Rz = 0.875 K
Como Rz es el paralelo de RC y RL, entonces: RL = 1 / (Rz-1 - Rc-1 ) = 1 / ( 0.875-1 – 2.2-1 )
RL = 1.45 K
La ecuación de W2 (obtenida en el texto), para un amplificador cascode, es:
W2 = 1 / (Cu * Rz)
Sin embargo, como se está incluyendo C, la ecuación se convierte en:
W2 = 1 / ((Cu + C) * Rz)
De donde:
C = 1 / (W2 * Rz) -
Cu = 1 / (5 * 106 * 875) - 6 * 10-12
C = 0.222 nF
PROBLEMA 6.5
Utilizando los Gráficos de Bode, llenar la tabla 1, para la respuesta de frecuencia de un amplificador Emisor Común, que tiene los siguientes datos:
/Av/ = 5
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75
Para Cb: Polo = 2.8 Cero = 0
Para Cc: Polo = 22.7 Cero = 0
Para Ce: Polo = 84.2 Cero = 9.39 W2 = 967 * 103
W
103
10
106
Ganancia
Tabla 1.
SOLUCION
Con los datos, se obtiene el valor de K, que será:
K = /Av/ * (Cero de Ce) / ((Cero de CB) * (Cero de Cc) * ( Cero de Ce))
Reemplazando valores se tiene:
K = 5 * 9.39 / (2.8 * 22.7 * 84.2)
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Problemas Resueltos
76
K = 0.0088
Obteniendo el valor en decibeles, se tiene:
20 * Log K = 20 * Log 0.0088 = - 41.1 dB
Por tanto el Gráfico de Bode será el siguiente:
40
20
0
101
102
103
104
105
106
107
-20
-40
Grafico de Bode.
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Problemas Resueltos
77
Del gráfico de Bode se obtienen los resultados del problema, aunque, previamente se obtiene la ganancia a frecuencias medias, para verificar si el gráfico esta razonablemente correcto. Por tanto: /Av/ = Log-1 (14 / 20)
/Av/ = 5
Resultado que valida razonablemente el gráfico.
Por tanto:
Para W = 10
Ganancia = Log-1 (-12 / 20)
Ganancia = 0.25 Para W = 106
Ganancia = Log-1 (11 / 20)
Ganancia = 3.55
Entonces, la tabla se llena con los siguientes resultados:
W
10
103
106
Ganancia
0.25
5
3.55
Tabla de Resultados.
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78
CAPITULO 7
PROBLEMA 7.1
Hallar el rango de Ra, para que la ganancia de voltaje del amplificador realimentado Serie – Paralelo, sea aproximadamente igual a:
Av = Rb / Ra
Los datos son los siguientes:
Beta = B = 200 rpi = 1 K RB = 20 K Rc = 1K Rz = 2 K Rb = 10 K Rs = 0 (no existe)
SOLUCION
De las ecuaciones obtenidas en el texto se tiene lo siguiente:
A = a / (1 + a*f)
Donde sí:
a * f >> 1
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Problemas Resueltos
79
La ganancia de voltaje será:
Av = 1 / f
Donde:
f = Ra / (Ra + Rb)
condicionando que:
Rb >> Ra
Se llega a:
Av = Rb / Ra
Entonces se debe cumplir las dos condiciones, para esto se inicia el análisis por la primera condición.
De las ecuaciones obtenidas en el texto, se tiene:
a * f = gm * gm’ * Rb * (Rc//RB//rpi) * Ra / (Ra + Rb)
aplicando la condición de Rb >> Ra, se tiene:
a * f = (B / rpi) * (B / rpi’) * (Rc//RB//rpi) * Ra >> 1
Entonces, reemplazando, la expresión “mucho mayor” por el valor de diez veces, es decir, reemplazando por 10, se tiene:
a * f = (B / rpi) * (B / rpi’) * (Rc//RB//rpi) * Ra > 10
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Problemas Resueltos
80
Con valores:
(200/1) * (200 / rpi’) * (1//20//1) * Ra > 10
20000 * Ra / rpi’ > 10
2000 * Ra > rpi’
Reemplazando la relación de rpi’, se tiene:
2000 * Ra > rpi + B * Ra = 1 + 200 * Ra
De donde:
Ra > 1 / 1800
Ra > 0.5 (Ohmios)
De la segunda condición, se obtiene el límite superior de Ra:
Ra rpi
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Problemas Resueltos
83
Rs >> rpi
RB >> rpi / B
A éstas condiciones se debe agregar la siguiente, para obtener lo requerido en el problema.
B * Rz >> Rf
Sí se cumple ésta condición se obtendrá:
/Av/ = Rf / Rs
Con los valores del problema, los rangos de Rf y Rs serán:
Rf >> rpi = 1 K
Entonces:
Rf > 10 K
Pero, también se debe cumplir con:
B * Rz >> Rf Rf > rpi = 1 K
Entonces:
Rs > 10 K
Probando los rangos con valores extremos, en la ecuación de la ganancia se tiene:
Con:
Rf = 10.5 K
y
Rs = 10.5 K
Reemplazando en:
/Av/ = B * Rz * Rf / (Rs * (B * Rz + Rf)) = 200 * 2 * 10.5 / (10.5 * (200 * 2 + 10.5))
/Av/ = 0.97
Resultado muy aproximado, al que se obtiene si se utiliza:
/Av/ = Rf / Rs = 10.5 / 10.5
/Av/ = 1
Con:
Rf = 39.5 K
y
Rs = 10.5 K
Reemplazando en:
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Problemas Resueltos
85
/Av/ = B * Rz * Rf / (Rs * (B * Rz + Rf)) = 200 * 2 * 39.5 / (10.5 * (200 * 2 + 39.5))
/Av/ = 3.42
Resultado muy aproximado (10 % de variación), al que se obtiene si se utiliza:
/Av/ = Rf / Rs = 39.5 / 10.5
/Av/ = 3.76
PROBLEMA 7.3
Hallar el rango de Rf y Rs para que la ganancia de una amplificador multietapa (tres etapas de Emisor Común), realimentado Paralelo – Paralelo, sea aproximadamente igual a la siguiente relación:
/Av/ = Rf / Rs
Los datos son los siguientes:
Beta = B = 200 rpi = 1 K RB = 20 K Rc = 4 K Rz = 2 K
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Problemas Resueltos
86
Circuito del Problema 7.3.
Donde:
Ra = rpi //Rf Rb = Rc // RB // rpi Rc = Rc // RB // rpi Rd = Rc//Rf
SOLUCION
La relación de A es:
Av = a / (1 + a*f)
Donde sí:
a * f >> 1 Facultad de Ingeniería - U.M.S.A.
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Problemas Resueltos
87
Rs >> RB // ((Rf //rpi)/10)
Entonces:
Av = Rf / Rs
Por tanto, se inicia el análisis con la primera condición:
a * f >> 1
a * f = 10
Donde:
a * f = gm * gm * gm * (Rc // RB // rpi) * (Rc // RB // rpi) * (Rf // rpi)
Reemplazando valores:
(200 / 1) * (200 / 1) * (200 / 1) * (4 // 20 // 1) * (4 // 20 // 1) * ( Rf // 1) > 10
Rf // 1 > 0.000002 Por tanto, para valores prácticos, se puede tomar que Rf tiene como valor mínimo a, prácticamente, cualquier valor.
Rf > 0.01 (Ohmios)
La condición para Rs, es:
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88
Rs >> RB // ((Rf //rpi)/10)
Donde, interviene el valor de Rf, por tanto, el peor caso será cuando Rf, tome el máximo valor permisible, en éste problema no se tiene límite superior, entonces, se tomará como sí Rf fuese un circuito abierto.
Rs >> RB // (rpi / 10)
Reemplazando valores se tiene:
Rs >> 20 // (1 / 10) = 0.1 K
Rs > 1 K
Resultados que permiten ampliar de manera notoria los rangos de Rs y Rf , en relación a los valores hallados en el problema anterior, que sólo implicaba una etapa amplificadora.
Como un complemento a éste problema, en el siguiente se encontrará la ganancia de voltaje del mismo circuito sin utilizar los criterios de realimentación.
PROBLEMA 7.4
Hallar Av del circuito de la siguiente figura, por el método de realimentación y sin utilizar los criterios de realimentación.
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Problemas Resueltos
89
Circuito del Problema 7.4.
Donde:
Beta = B = 200 rpi = 1 K RB = 20 K Rc = 4 K Rz = 2 K Ra = RB // rpi Rb = Rc // RB // rpi Rd = Rc // RB // rpi
SOLUCION
De las mallas centrales, se obtiene:
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Problemas Resueltos
90
V3 = gm * V2 * (Rc // RB // rpi)
V2 = gm * V1 * (Rc // RB // rpi)
Del nudo de entrada, se obtiene:
(ei – V1) / Rs = V1 / (RB // rpi) + (V1 – eo) / Rf
Del nudo de salida, se obtiene:
(V1 – eo) / Rf = gm * V3 + eo / Rz
Combinando éstas cuatro ecuaciones, se llega a:
/Av/ = Rf / Rs
Ecuación que confirma los resultados hallados, utilizando métodos de realimentación.
PROBLEMA 7.5
Hallar Ra, del circuito realimentado Serie – Paralelo, para que la W1 (de corte inferior), se reduzca en once veces, es decir:
W1f = W1 / 11
El análisis se debe realizar utilizando los criterios de realimentación. Los datos son los siguientes:
Rs = 10 K
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Problemas Resueltos
91
RB = 20 K Rc = 2 K Rz = 1 K Beta = B = 100 rpi = 5 K Rb = 1 K
SOLUCION
Considerando que:
W1f = W1 / (1 + a*f)
Se tiene, de la condición del problema, que:
1 + a * f = 11
Entonces:
a * f = 10
La ecuación de a * f, es la siguiente, donde se considera que Rb >> Ra, condición que se verificará al final del problema, cuando ya se conozca el valor obtenido de Ra. Reemplazando la ecuación de a y f, se tiene:
a * f = gm * gm’ * (Rc // RB // rpi) * Ra = (100 / 5) * (100 / rpi’) * (2 // 20 // 5) * Ra
Como:
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Problemas Resueltos
92
rpi’ = rpi + B * Ra = 5 + 100 * Ra
Entonces:
a * f = 10 = (20 ) * (100 / (5 + 100 * Ra)) * (1.33 ) * Ra
50 + 1000 * Ra = 20 * 100 * 1.33 * Ra
Ra = 0.03 K
Resultado que cumple con la condición de que:
Rb >> Ra
Ya que:
1 K >> 0.03 K
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93
CAPITULO 8
PROBLEMA 8.1
Diseñar un amplificador sintonizado a la entrada, para cumplir con: W = 106 Q = 10 /Av/ = 20
Los datos son los siguientes:
Beta = B = 100 rpi = 3 K Cpi = 20 pF Cu = 8 pF RB = 20 K Rz = 1 K
Las bobinas disponibles son:
L = 10 uH è
rbl = 1 (Ohmios)
L = 50 uH è
rbl = 4 (Ohmios)
L = 100 uH è
rbl = 9 (Ohmios)
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94
SOLUCION
El método para solucionar, éste problema será el de llenar una tabla, considerando el uso de todas las bobinas
A cada ecuación enumerada se asociará una casilla en la tabla de resultados, donde se observará cuál ó cuales bobinas son válidas para el diseño. Las dos primeras columnas simplemente son los datos de las bobinas, por tanto, no estarán enumeradas.
De:
W2 = 1 / (L * C)
Columna 1
De:
è
C = 1 / (W2 * L)
Q = W / (A.B.)
A.B. = W / Q = 106 / 10 A.B. = 105
El Ancho de Banda, es :
A.B. = 1 / (R * C)
Despejando R, se tiene:
Columna 2
è
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R = 1 / (A.B. * C)
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Problemas Resueltos
Columna 3
De:
95
Rbl = (W2 * L) / rbl
è
R = RB // Rbl // rpi // R’ R’ = (R-1 - RB-1 - Rbl-1 - rpi-1 )-1
Columna 4 è
De: /Av/ = gm * Rz * R / (R + Rs)
Columna 5
è
Rs = (gm * Rz * R / (/Av/)) - R
Como:
Cm = Cpi + Cu * (1 + gm * Rz) = 20 + 8 * (1 + 33.3 * 1)
Cm = 0.29 nF
De: C = C’ + Cm
Columna 6
è
C’ = C - Cm
La Tabla de resultados es la siguiente:
L (uH)
rbl (Oh)
1
2
3
4
5
6
C (nF)
R (K)
Rbl (K)
R’ (K)
Rs (K)
C’ (nF)
10
1
100
0.1
50
4
20
0.5
100
9
10
1.0
0.1 Negativo 0.62
60
0.33
20
1.1 Negativo
Tabla de Resultados.
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96
Por tanto, el diseño se lo realiza con la bobina, L = 50 uH.
PROBLEMA 8.2
Diseñar un amplificador sintonizado a la entrada, para cumplir con: W = 107 Q = 10 /Av/ = 20 Zi > 5 K
Los datos son los siguientes:
Beta = B = 100 rpi = 3 K Cpi = 20 pF Cu = 8 pF RB = 20 K Rz = 1 K
Las bobinas disponibles son: è
rbl = 0.1 (Ohmios)
L = 15 uH è
rbl = 1.2 (Ohmios)
L = 50 uH è
rbl = 3 (Ohmios)
L = 1 uH
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Problemas Resueltos
97
SOLUCION
El método para solucionar, éste problema será el de llenar una tabla, considerando el uso de todas las bobinas
A cada ecuación enumerada se asociará una casilla en la tabla de resultados, donde se observará cuál ó cuales bobinas son válidas para el diseño. Las dos primeras columnas simplemente son los datos de las bobinas, por tanto, no estarán enumeradas.
De:
W2 = 1 / (L * C)
Columna 1
De:
è
C = 1 / (W2 * L)
Q = W / (A.B.)
A.B. = W / Q = 107 / 10 A.B. = 106
El Ancho de Banda, es :
A.B. = 1 / (R * C)
Despejando R, se tiene:
Columna 2
è
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R = 1 / (A.B. * C)
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Problemas Resueltos
Columna 3
De:
98
Rbl = (W2 * L) / rbl
è
R = RB // Rbl // rpi // R’ R’ = (R-1 - RB-1 - Rbl-1 - rpi-1 )-1
Columna 4 è
De: /Av/ = gm * Rz * R / (R + Rs)
Columna 5
è
Rs = (gm * Rz * R / (/Av/)) - R
Columna 6
è
Zi = Rs + R
Como:
Cm = Cpi + Cu * (1 + gm * Rz) = 20 + 8 * (1 + 33.3 * 1)
Cm = 0.29 nF
De: C = C’ + Cm
Columna 7
è
C’ = C - Cm
La Tabla de resultados es la siguiente:
L (uH)
rbl (Oh)
1
2
3
4
5
6
7
C (nF)
R (K)
Rbl (K)
R’ (K)
Rs (K)
Zi (K)
C’ (nF)
1
0.1
10
0.1
1
0.12
6.67
6.77
15
1.2
0.67
1.5
18.75
4.37
1.00
No
10
Cumple 50
3
0.20
5.0
83.3 Negativo
Tabla de Resultados.
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99
Por tanto, el diseño se lo realiza con la bobina, L = 1 uH.
PROBLEMA 8.3
Diseñar un amplificador sintonizado a la salida, para cumplir con: W = 106 Q = 10 /Av/ = 20
Los datos son los siguientes:
Beta = B = 100 rpi = 3 K Cpi = 20 pF Cu = 8 pF RB = 20 K Rc = 2 K
Las bobinas disponibles son: L = 10 uH è
rbl = 1 (Ohmios)
L = 50 uH è
rbl = 4 (Ohmios)
L = 100 uH è
rbl = 9 (Ohmios)
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Problemas Resueltos
100
SOLUCION
El método para solucionar, éste problema será el de llenar una tabla, considerando el uso de todas las bobinas
A cada ecuación enumerada se asociará una casilla en la tabla de resultados, donde se observará cuál ó cuales bobinas son válidas para el diseño. Las dos primeras columnas simplemente son los datos de las bobinas, por tanto, no estarán enumeradas.
De:
W2 = 1 / (L * C)
Columna 1
De:
è
C = 1 / (W2 * L)
Q = W / (A.B.)
A.B. = W / Q = 106 / 10 A.B. = 105
El Ancho de Banda, es :
A.B. = 1 / (R * C)
Despejando R, se tiene:
Columna 2
è
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R = 1 / (A.B. * C)
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Problemas Resueltos
Columna 3
De:
101
Rbl = (W2 * L) / rbl
è
R = Rc// Rbl // R’ R’ = (R-1 - Rc-1 - Rbl-1 )-1
Columna 4 è
La Tabla de resultados es la siguiente:
L (uH)
rbl (Oh)
1
2
3
4
5
6
C (nF)
R (K)
Rbl (K)
R’ (K)
Rs (K)
C’ (nF)
10
1
100
0.1
0.1 Negativo
50
4
20
0.5
0.625 Negativo
100
9
10
1.0
1.0 Negativo
Tabla de Resultados.
Por tanto, el diseño no se puede realizar, con ninguna de las bobinas propuestas.
PROBLEMA 8.4
Diseñar un amplificador sintonizado a la salida, para cumplir con: W = 107 Q = 10 /Av/ = 20 Zi > 5 K
Los datos son los siguientes:
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Problemas Resueltos
102
Beta = B = 100 rpi = 3 K Cpi = 20 pF Cu = 8 pF RB = 20 K Rc = 1 K
Las bobinas disponibles son:
è
rbl = 0.1 (Ohmios)
L = 15 uH è
rbl = 1.2 (Ohmios)
L = 50 uH è
rbl = 3 (Ohmios)
L = 1 uH
SOLUCION
El método para solucionar, éste problema será el de llenar una tabla, considerando el uso de todas las bobinas
A cada ecuación enumerada se asociará una casilla en la tabla de resultados, donde se observará cuál ó cuales bobinas son válidas para el diseño. Las dos primeras columnas simplemente son los datos de las bobinas, por tanto, no estarán enumeradas.
De:
W2 = 1 / (L * C)
Columna 1
De:
è
C = 1 / (W2 * L)
Q = W / (A.B.)
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Problemas Resueltos
103
A.B. = W / Q = 107 / 10 A.B. = 106
El Ancho de Banda, es :
A.B. = 1 / (R * C)
Despejando R, se tiene:
Columna 2
è
R = 1 / (A.B. * C)
Columna 3
è
Rbl = (W2 * L) / rbl
De:
R = Rc // Rbl // R’ R’ = (R-1 - Rc-1 - Rbl-1 )-1
Columna 4 è
De: /Av/ = gm * R * (RB//rpi) / (RB//rpi + Rs)
Columna 5
è
Rs = (gm * R * (RB//rpi) / (/Av/)) – RB//rpi
Como:
Gs = 1 / (RB // Rs // rpi)
Columna 6
De:
è
Gs = 1 / ( 20 // Rs // 3)
Cm’ = Cu * (gm / (gpi + Gs)
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Problemas Resueltos
Columna 7
è
104
Cm’ = 8 * (33.3 / (0.33 + Gs)
De: C = C’ + Cm
Columna 8
è
C’ = C – Cm’
La Tabla de resultados es la siguiente:
L (uH)
rbl
1
2
3
4
5
6
7
8
C (nF)
R (K)
Rbl
R’ (K)
Rs (K)
Gs
Cm’
C’
(nF)
(nF)
(Oh)
(K)
1
0.1
10
0.1
1.0
15
1.2
0.67
1.5
18.75
50
3.0
0.2
5.0
83.3
0.11 Negati. 8.8
3.85
0.64
0.27
0.4
Negati.
Tabla de Resultados.
Por tanto, el diseño se lo realiza con la bobina, L = 15 uH.
PROBLEMA 8.5
Diseñar un amplificador sintonizado doble, para cumplir con: W = 106 Q=5 /Av/ = 20
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Problemas Resueltos
105
Los datos son los siguientes:
Beta = B = 100 rpi = 3 K Cpi = 20 pF Cu = 2 pF RB = 20 K Rc = 1 K
Las bobinas disponibles son:
L = 10 uH
è
rbl = 1 (Ohmios)
L = 50 uH è
rbl = 4 (Ohmios)
L = 100 uH è
rbl = 9 (Ohmios)
SOLUCION
El método para solucionar, éste problema será el de llenar una tabla, considerando el uso de todas las bobinas
A cada ecuación enumerada se asociará una casilla en la tabla de resultados, donde se observará cuál ó cuales bobinas son válidas para el diseño. Las dos primeras columnas simplemente son los datos de las bobinas, por tanto, no estarán enumeradas.
De:
W2 = 1 / (L * C)
Columna 1
De:
è
C1 = C2 = 1 / (W2 * L)
Q = W / (A.B.total)
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Problemas Resueltos
106
A.B. = W / Q = 106 / 5 A.B.total = 2 * 105
Por tanto, el Ancho de Banda Etapa es:
A.B.etapa = 1.2 * 1.4 * A.B.total A.B.etapa = 3.4 * 105
El Ancho de Banda, es :
A.B.etapa. = 1 / (R * C)
Despejando R, se tiene:
Columna 2
è
R1 = R2 = 1 / (A.B.etapa * C)
Columna 3
è
Rbl1 = Rbl2 = (W2 * L) / rbl
De:
/Av/ = gm * R1 * R2 / (R1 + Rs)
Columna 4
è
Rs = gm * R1 * R2 / (/Av/) – R1
La Tabla de resultados es la siguiente:
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Problemas Resueltos
L (uH)
rbl
107
1
2
3
4
C (nF)
R1 =
Rbl1 =
Rs (K)
R2 (K)
Rbl2
(Oh)
(K) 10
1
100
0.03
0.1 Negativo
50
4
20
0.15
0.625 Negativo
100
9
10
0.29
1.1 Negativo
Tabla de Resultados.
Por tanto, el diseño no se lo puede realizar, con ninguna de las bobinas.
PROBLEMA 8.6
Diseñar un amplificador sintonizado doble, para cumplir con: W = 107 Q=5 /Av/ = 20
Los datos son los siguientes:
Beta = B = 100 rpi = 3 K Cpi = 20 pF Cu = 2 pF RB = 20 K
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Problemas Resueltos
108
Rc = 1 K
Las bobinas disponibles son: è
rbl = 0.1 (Ohmios)
L = 15 uH è
rbl = 1.2 (Ohmios)
L = 50 uH è
rbl = 3 (Ohmios)
L = 1 uH
SOLUCION
El método para solucionar, éste problema será el de llenar una tabla, considerando el uso de todas las bobinas
A cada ecuación enumerada se asociará una casilla en la tabla de resultados, donde se observará cuál ó cuales bobinas son válidas para el diseño. Las dos primeras columnas simplemente son los datos de las bobinas, por tanto, no estarán enumeradas.
De:
W2 = 1 / (L * C)
Columna 1
De:
è
C1 = C2 = 1 / (W2 * L)
Q = W / (A.B.total)
A.B. = W / Q = 107 / 5 A.B.total = 2 * 106
Por tanto, el Ancho de Banda Etapa es:
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Problemas Resueltos
109
A.B.etapa = 1.2 * 1.4 * A.B.total A.B.etapa = 3.4 * 106
El Ancho de Banda, es :
A.B.etapa. = 1 / (R * C)
Despejando R, se tiene:
Columna 2
è
R1 = R2 = 1 / (A.B.etapa * C)
Columna 3
è
Rbl1 = Rbl2 = (W2 * L) / rbl
La condición que debe cumplir todo amplificador sintonizado doble, es: 1 /(R1 * R2) = 5 * W * gm * Cu = 5 * 107 * 33.3 * 10-3 *2 * 10-12
Columna 4
De:
è
Rs = gm * R1 * R2 / (/Av/) – R1
R1 = RB // Rbl1 // R1’//rpi
Columna 6
De:
1 / (R1 * R2) > 3.3 * 10-6
/Av/ = gm * R1 * R2 / (R1 + Rs)
Columna 5
De:
è
è
R1’ = (R1-1 – RB-1 - Rbl1-1 – rpi-1 )-1
R2 = Rc // Rbl2 // R2’
Columna 7
è
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R2’ = (R2-1 – Rc-1 - Rbl2-1 )-1
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Problemas Resueltos
110
Como:
Gs = 1 / (RB // Rs // rpi)
Columna 8
è
Gs = 1 / ( 20 // Rs // 3)
Como:
Cm = Cpi + Cu * (1 + (gm + Gs) * R2)
Columna 9
è
Cm = 20 + 2 * (1 + (33.3 + Gs) * R2)
De: C1 = C1’ + Cm Columna 10 è
De:
C1’ = C1 - Cm
Cm’ = Cu * (gm / (gpi + Gs)
Columna 11 è
Cm’ = 2 * (33.3 / (0.33 + Gs)
De: C2 = C2’ + Cm
Columna 12 è
C2’ = C2 – Cm’
La Tabla de resultados es la siguiente:
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Problemas Resueltos
L
rbl
1
2
3
C1
R1
Rbl1 CUMPLE Rs
=
=
C2
R2
Rbl2 CIÓN
nF
K
K
uH Ohm =
1 15 50
0.1
111
10 0.03
4
CONDI-
0.2
1.5
K
6
7
9
10
R1’ R2’ Gs
Cm
C1’ Cm’
C2’
K
nF
nF
nF
K
8
11
nF
12
¿? 1.0 SI
1.2 0.67 0.45 18.75 3
5
83.3
Neg. SI
0.22 0.56
0.6 6.75 0.058
0.6 0.067
0.6
NO
Tabla de Resultados.
De la tabla de resultados, se establece que, el amplificador se puede diseñar si se utiliza bobinas de 15 uF, tanto en el circuito resonante de entrada y de salida.
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Problemas Resueltos
112
CAPITULO 9
PROBLEMA 9.1
Diseñar un oscilador de fase, para cumplir con: W = 104 Beta = B = 200 rpi = 2 K Vcc = 20 v Ic = 2 mA
SOLUCION
La polarización, se realiza utilizando las ecuaciones correspondientes.
Rc = 4 * Vcc / (10 * Ic) = 4 * 20 / (10 * 2)
Rc = 3.9 K
Re = Vcc / (10 * Ic) = 20 / (10 * 2)
Re = 1 K
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Problemas Resueltos
113
La corriente de base es:
Ib = Ic / B = 2 / 200
Ib = 0.01 mA
La corriente de R1 y R2, es:
I = 10 * Ib = 10 * 0.01
I = 0.1 mA
Entonces:
R2 = (0.6 + Vcc/10) / I = (0.6 + 2) / 0.1
R2 = 27 K
R1 = (Vcc – 0.6 – Vcc/10) / I = (20 – 0.6 – 2) / 0.1
R1 = 180 K
Por tanto:
RB = R1 // R2 = 27 // 180
RB = 23 K
Como: 23 K >> 2 K
è
RB >> rpi
Entonces se puede utilizar la siguiente fórmula:
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Problemas Resueltos
114
2 Rc b - 23 ± ( b - 23) - 464 = R 8
Reemplazando valores, se tiene:
Rc / R = 0.16
De donde:
R = Rc / 0.16 = 3.9 / 0.16
R = 24 K
De la ecuación de W, se obtiene C:
1
W=
R *C * 4*
Rc +6 R
==> C =
1 W * R * 4*
Rc +6 R
Reemplazando valores, se tiene:
C = 1.6 nF
De la ecuación:
R = R’ + rpi
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Problemas Resueltos
115
R’ = R – rpi = 24 – 2 = 22 K
Se debe utilizar un potenciómetro de:
R’(potenciómetro) = 50 K
PROBLEMA 9.2
Diseñar un oscilador de fase, para cumplir con: W = 2 * 103 Beta = B = 200 rpi = 1.5 K Vcc = 20 v C = 10 nF
SOLUCION
Entonces se puede utilizar la siguiente fórmula:
2 Rc b - 23 ± ( b - 23) - 464 = R 8
Reemplazando valores, se tiene:
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Problemas Resueltos
116
Rc / R = 0.16
De la ecuación de W, se obtiene R:
1
W=
R *C * 4*
Rc +6 R
1
==> R =
W *C * 4*
Rc +6 R
Reemplazando valores, se tiene:
R = 18 K
De la ecuación:
R = R’ + rpi
R’ = R – rpi = 18 – 2 = 16 K
Se debe utilizar un potenciómetro de:
R’(potenciómetro) = 20 K
La polarización, se realiza utilizando las ecuaciones correspondientes.
De:
Rc / R = 0.16
Rc = 0.16 * R = 0.16 * 18
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117
Rc = 2.7 K
Como:
Rc = 4 * Vcc / (10 * Ic)
Ic = 4 * Vcc / (10 * Rc) = 4 * 20 / (10 * 2.7)
Ic = 3 mA
Entonces, se puede continuar con el proceso de polarización.
Re = Vcc / (10 * Ic) = 20 / (10 * 3)
Re = 0.68 K
La corriente de base es:
Ib = Ic / B = 3 / 200
Ib = 0.015 mA
La corriente de R1 y R2, es:
I = 10 * Ib = 10 * 0.015
I = 0.15 mA
Entonces:
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Problemas Resueltos
118
R2 = (0.6 + Vcc/10) / I = (0.6 + 2) / 0.15
R2 = 18 K
R1 = (Vcc – 0.6 – Vcc/10) / I = (20 – 0.6 – 2) / 0.15
R1 = 120 K
Por tanto:
RB = R1 // R2 = 18 // 120
RB = 15.6 K
Como: 15.6 K >> 1.5 K
è
RB >> rpi
Se cumple la condición.
PROBLEMA 9.3
Diseñar un oscilador Colpitts, que cumpla con la siguiente especificación: W = 20 * 106
Los datos son los siguientes:
Beta = B = 100 rpi = 5 K Cpi = 20 pF
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119
Cu = 10 pF L = 1 uH RB = 50 K Rc = 1 K
Condición de diseño:
C2 >> C1 >> Cpi
SOLUCION
De la ecuación de W (obtenida en el texto): W2 = 1 / (L * C1) C1 = 1 / (W2 * L) = 1 / (4 * 1014 * 1 * 10-6 )
C1 = 2.5 nF
De la ecuación de la condición de oscilación (obtenida en el texto), se tiene:
C2 = B * C1 * Rc / (RB //rpi) = 100 * 2.5 * 1 / (50 // 5)
C2 = 50 nF
Prueba de condiciones de diseño:
C2 >> C1
è
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50 nF >> 2.5 nF
è
Se cumple.
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C1 >> Cpi
è
120
2500 pF >> 20 pF
è
Se cumple.
Por tanto, los valores calculados son adecuados para el diseño.
PROBLEMA 9.4
Establecer si el circuito de la siguiente figura oscila, se considera que es un circuito que funciona en frecuencias bajas. (RB è Muy Alto)
Circuito del Problema 9.4.
SOLUCION
Se utilizará el método propuesto en el texto para establecer si el circuito oscila o no.
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121
Primer Paso:
El circuito equivalente se presenta en la figura anterior, donde RB no interviene porque se considerá de un valor muy alto.
Segundo Paso:
Por divisores de corriente se obtiene la corriente que circula por la resistencia rpi.
El primer divisor de corriente, es entre la fuente controlada y la corriente que circula por el paralelo de (rpi + 1/SC) // SL.
I = gm V * SL * (SL + 1/SC + rpi) / ((SL + 1/SC)*(SL + 1/SC +rpi) + SL * (rpi +1/SC))
El Segundo divisor de corriente, es entre la corriente I y la corriente que circula por la resistencia rpi.
I’ = I * SL / (SL + 1/SC + rpi)
Por la Ley de Ohm, se tiene el voltaje V, sobre rpi.
V = - I’ * rpi
Reemplazando la primera ecuación en la segunda y el resultado de ésta operación en la tercera, se obtiene la ecuación general.
B * S4 L2 C2 + 2S3 LC2 rpi +3S2 LC +SCrpi + 1 = 0
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122
Tercer Paso: Parte Real è
S4L2C2 B +3S2LC + 1 = 0
Parte Imaginaria è
2S3 LC2 rpi + SCrpi = 0
Cuarto Paso:
De la ecuación de la parte imagianria, se obtiene W. W2 = 1 / (2 L C)
Reemplazando éste resultado en la ecuación de la parte real, se obtiene la condición de oscilación. (-1/2)2 B + 3 (-1/2) + 1 = 0
B=2
Resultado que no es práctico, puesto que no existe transistor con este valor de Beta, por tanto, el circuito NO oscila.
PROBLEMA 9.5
Hallar W de oscilación del circuito de la siguiente figura, se considera que se trabaja en altas frecuencias.
Las condiciones son las siguientes:
Cpi > Cu >> C1 > C2
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123
Circuito del Problema 9.5; (a) Circuito; (b) Circuito Equivalente del Cristal; (c) Circuito Equivalente.
SOLUCION
El análisis considera que:
R = rpi > C1
Lo importante de los resultados, es que el circuito, sí oscila, es a la frecuencia determinada por los parámetros internos del Cristal.
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126
CAPITULO 10
PROBLEMA 10.1
Hallar el valor de Rf, del circuito de la Figura, para que, la señal de salida, sea:
eo = 2
Circuito del Problema 10.1
Los datos son:
A=8v B=9v C=6v D=8v
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127
SOLUCION
La ecuación del nudo (donde se unen las señales de C y D), es:
(6 – V) / 3 + (8 – V) / 2 = V / 6
De donde:
V=6v
La ecuación del nudo (donde se unen las señales de A y B), es:
(V – eo) / Rf = (8 – V) / 2 + (9 – V) / 3
Reemplazando el valor de V, y despejando Rf, se tiene:
Rf = 2 K
PROBLEMA 10.2
En el siguiente circuito, cual debe ser la relación de Rf a R, para que la señal de salida sea:
eo = K * (B + C + D – A)
donde, K es un factor de ganancia.
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128
Circuito del Problema 10.2
SOLUCION
La ecuación del nudo de V, es:
(B – V) / R + (C – V) / R + (D – V) / R = V / R
De donde:
V = (B + C + D) / 4
La ecuación del nudo de A y eo, es:
(A – V) / R = (V – eo) / Rf
Reemplazando V es ésta ecuación, se obtiene:
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Problemas Resueltos
129
eo = ((Rf + R) / (4*R)) * (B + C + D) – (Rf / R) * A
Para cumplir la condición, se igualan los coeficientes de los dos términos, y se tiene:
(Rf +R) / (4 * R) = Rf / R
De donde se obtiene:
R = 3 * Rf
Relación, que si se reemplaza en la ecuación de eo, se obtendría:
eo = (1 / 3) (B + C + D – A)
PROBLEMA 10.3
Hallar la impedancia de entrada del circuito de la figura, establecer la función del mismo.
Circuito del Problema 10.3
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130
SOLUCION
Zi = ei /Ii
Donde:
Ii = (ei – Vy) * SC
En el segundo amplificador operacional, se tiene un circuito inversor de ganancia unitaria, por tanto:
Vx = - Vy
De la malla de salida del primer operacional, se obtiene, por divisor de tensión:
ei = Vx * R / (R + n R) = Vx / (1 + n)
Reemplazando, éstas relaciones en la ecuación de I, se tiene:
I = ei * SC (2 + n)
Reemplazando I en la ecuación de Z, se tiene:
Zi = 1 / (n + 2)SC
Que representa un condensador de valor:
C(circuito) = (n + 2) * C
Lo que significa, un circuito multiplicador de capacidad.
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131
PROBLEMA 10.4
Hallar la impedancia de entrada del circuito de la figura, establecer la función del mismo.
Circuito del Problema 10.4
SOLUCION
Zi = ei / Ii
Al nudo de entrada concurren tres corrientes, por tanto:
Ii = I1 + I2 + I3
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Problemas Resueltos
132
I1, es la corriente que circula por la resistencia R del primer amplificador, por tanto:
I1 = ei / R
I2, es la corriente que circula por la resistencia de realimentación del primer amplificador, por tanto:
I2 = (ei – Vx) / R
La relación de Vx con ei, se obtiene del circuito inversor del amplificador, entonces:
Vx = - ei / SCR
Reemplazando ésta relación en la ecuación de I2, se tiene: I2 = ei / R + ei / (SCR2 )
I3, es la corriente que circula por la resistencia de realimentación del segundo operacional, por tanto:
I3 = (ei – Vy) / R
La relación de Vy con ei, se obtiene del circuito no inversor del segundo amplificador, entonces:
Vx = 3 * ei
Reemplazando ésta relación en la ecuación de I3, se tiene:
I3 = - 2 * ei / R
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Problemas Resueltos
133
Reemplazando, las tres corrientes en Ii, se tiene: Ii = ei / (SCR2 )
Reemplazando Ii en la ecuación de Zi, se obtiene: Zi = SCR2
Que representa una bobina de valor: L = CR2
Por tanto, el circuito simula la función de una bobina.
PROBLEMA 10.5
Hallar la impedancia de entrada del circuito de la figura, establecer la función del mismo.
Circuito del Problema 10.5
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Problemas Resueltos
134
SOLUCION
Zi = ei / I
Donde:
I = (ei – Vy) / SL
En el segundo amplificador operacional, se tiene un circuito inversor, por tanto:
Vx = - Vy
De la malla de salida del primer operacional, se obtiene, por divisor de tensión:
ei = Vx * R / (R + n R) = Vx / (1 + n)
Reemplazando, éstas relaciones en la ecuación de I, se tiene:
I = ei * (2 + n) / SL
Reemplazando I en la ecuación de Z, se tiene:
Zi = SL / (n + 2)
Que representa una bobina de valor:
L(circuito) = L / (n + 2)
Lo que significa, un circuito divisor de inductancia.
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135
CAPITULO 11
PROBLEMA 11.1
Diseñar un filtro pasa banda, de primer orden, para cumplir con: W1 = 104 W2 = 105 /K/ = 10
Llenar la siguiente tabla.
W
103
106
Ganancia
SOLUCION
Las ecuaciones son las siguientes: W2 = 1 / C2 R2 = 105 W1 = 1 / C1 R1 = 104
/K/ = 10
Los datos son:
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136
R1 = 1 K De la ecuación de la ganancia:
K = R2 / R1
è
R2 = K * R1 = 10 * 1
R2 = 10 K De W2 : W2 = 1 / C2 R2 è
C2 = 1 / (W2 *R2 ) = 1 / (105 * 104 ) C2 = 1 nF
De W1 : W1 = 1 / C1 R1 è
C1 = 1 / (W1 *R1 ) = 1 / (104 * 103 ) C1 = 100 nF
El gráfico de Bode tiene dos polos y un cero en el origen, y K (de Bode) es: K (Bode) = C1 * R2 = 10-7 * 104 Por tanto: 20 * Log (10-3 ) = - 60 dB
El Gráfico es el siguiente:
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137
40
20
0
101
102
103
104
105
106
107
-20
-40
-60
Grafico de Bode.
Del gráfico se puede observar, que tanto para 103 y 106 de W, la ganancia es cero dB, que significa, en valor, la unidad, por tanto, la tabla será:
W
103
106
Ganancia
1
1
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138
PROBLEMA 11.2
Hallar las ecuaciones de diseño del siguiente circuito:
Circuito del Problema 11.2
SOLUCION
Del primer amplificador (inversor) la relación de Vx a ei, es la siguiente:
Vx / ei = - (SC1 R2 ) / (SC1 R1 +1) Del segundo amplificador (inversor) la relación de eo a Vx, es la siguiente:
eo / Vx = - (R2 / R1 ) / (SC2 R2 +1) Multiplicando las ecuciones miembro a miembro, se tiene:
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Problemas Resueltos
139
R2 * SC1 R 2 R1 eo = ei ( SC1 R1 + 1) * ( SC 2 R 2 + 1)
Que es la función de transferencia. Esta ecuación se iguala a la ecuación general, para filtros pasa banda, y se tiene:
eo b*S *K = ei a * S 2 + b * S + 1
Igualando ambas ecuaciones, se obtiene:
a = C1 C2 R1 R2 b = C1 R1 + C2 R2 b * K = C1 R2 *(R2 / R1 )
Despejando K de la última ecuación y reemplazando el valor de b, se tiene:
K = C1 R2 *(R2 / R1 ) / (C1 R1 + C2 R2 ) Sí: C1 R1 >> C2 R2
è
Esto implica ue:
W2 >> W1
Entonces K es: K = (R2 / R1 )2
Los polos del sistema
W2 = 1 / C2 R2
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Problemas Resueltos
140
W1 = 1 / C1 R1 Se tiene un cero en el origen.
PROBLEMA 11.3
Diseñar un filtro pasa banda de segundo orden, para cumplir con:
Ws = 20 * Wi
K = 15
SOLUCION
Las ecuaciones son las siguientes (obtenidas en el texto).
Considerando:
C3 >> C4
Condición que se verificará, con los resultados del diseño:
K = R5 / R1 Ws + Wi = 1 / C4 R5
Ws*Wi = 1 / (C3 C4 R1 R5 ) Combinando las tres ecuaciones se llega a:
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Problemas Resueltos
141
C3 R5 = K / Wi Se considera los siguientes datos:
C3 = 50 nF Wi = 104
è
Ws = 20 * Wi = 20 * 104 = 2 * 105
De la ecuación obtenida, se despeja R5 y se tiene: R5 = K / (Wi * C3 ) = 15 / (104 * 50 *10-9 )
R5 = 30 K De la ecuación:
Ws + Wi = 1 / C4 R5 C4 = 1 / (Ws * R5 ) = 1 / (2 * 105 * 30 * 103 ) C4 = 0.16 nF Valor que confirma la condición de C3 >> C4 De la ecuación:
Ws*Wi = 1 / (C3 C4 R1 R5 ) R1 = 1 / (Ws*Wi*C3 C4 R5 ) = 1 / (2*105 *104 *50*10-9 *0.16*10-9 *30*103 ) R1 = 2 K
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142
PROBLEMA 11.4
Hallar la función de transferencia del siguiente circuito.
Circuito del Problema 11.4
SOLUCION
La ecuación del nudo en Va, será:
(ei – Va) Y1 = Va Y2 + Va Y3 La ecuación del nudo en la entrada del amplificador operacional, es: Facultad de Ingeniería - U.M.S.A.
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143
Va Y3 =(-eo) Y4 + (- Vb) Y5 La ecuación del nudo en Vb, será:
Vb Y5 + Vb Y6 + (Vb – eo) Y7 = 0 De las dos primeras ecuaciones se despeja Va y se tiene:
Va = ei * Y1 / (Y1 + Y2 + Y3 ) = - (eo * Y4 + Vb * Y5 ) / Y3 De la tercera ecuación y de ésta última hallada, se despeja Vb y se tiene:
Vb = eo * Y7 / (Y5 +Y6 +Y7 ) = - (ei*Y1 *Y3 + eo*Y4 *(Y1 +Y2 +Y3 )) / (Y5 *(Y1 +Y2 +Y3 )) De donde se obtiene la función de transferencia, que es:
Y1Y3 * (Y5 + Y6 + Y7 ) eo =ei (Y1 + Y2 + Y3 ) * [Y5 Y7 + Y4 * (Y5 + Y6 + Y7 )]
PROBLEMA 11.5
Hallar las ecuaciones de diseño para un filtro pasa banda de siete elementos (figura del problema 11.4).
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144
SOLUCION
Para que la topología analizada en el problema 11.4, sea un filtro pasa banda se debe cumplir con:
Y1 = SC1 Y2 = 0 Y 3 = 1 / R3 Y 4 = 1 / R4 Y5 = SC5 Y 6 = 1 / R6 Y7 = SC7 Reemplazando estas relaciones en la función de transferencia, obtenida en el problema anterior se tiene:
Y1Y3 * (Y5 + Y6 + Y7 ) eo =ei (Y1 + Y2 + Y3 ) * [Y5 Y7 + Y4 * (Y5 + Y6 + Y7 )]
SC1 R 4 * [S (C 5 + C 7 )R6 + 1] eo =ei ( SC1 R3 + 1) * ( S 2 C 5 C 7 R 4 R6 + S (C 5 + C 7 ) R6 + 1) Se impone una condición de diseño, que es:
R6 * (C5 + C7 ) = C1 R3 Entonces La función de transferencia será:
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Problemas Resueltos
145
SC1 R 4 eo =- 2 ei S C 5 C 7 R 4 R6 + S (C 5 + C 7 ) R6 + 1 Igualando esta ecuación a la ecuación general de un filtro pasa banda, se obtiene las siguientes ecuaciones: eo/ ei = - KbS / (aS2 + bS +1)
Ecución General è
a = C5 C7 R4 R6 b = R6 * (C5 +C7 ) K * b = C1 R4 De donde se obtiene, la ecuación de la ganancia K:
K=
C1 R 4 R6 * (C 5 + C 7 )
Ws * Wi = 1 / a
Ws * Wi = 1 / (C3 C5 R4 R6 ) Ws + Wi = b / a
Ws + Wi = R6 * (C5 +C7 ) / (C3 C5 R4R6 )
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Problemas Resueltos
146
Entonces se tiene cuatro ecuaciones, para diseñar el circuito del filtro pasa banda, la ecuación de la condición, de la ganancia y las dos ecuaciones referidas a Ws y Wi.
PROBLEMA 11.6
Hallar las ecuaciones de diseño de un filtro rechaza banda, basado en el siguiente circuito:
Circuito del Problema 11.6
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