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Problemas de razon de Cambio Problema de la sombra Paulina, de

de alto, corre en la noche alejandose de un poste a la velocidad de

el foco del poste que ilumina a Paulina esta a de altura. A medida que se aleja del poste la sombra de lella crece (¿es verdad? o ¿realmente decrece?). Contestemos las siguientes preguntas a.- ¿A qué velocidad cambia el largo de la sombra de Paulina ? b.- El extremo de la sombra se aleja también del poste, la velocidad de este alejamiento ¿ es la misma velocidad de la niña? o ¿es la misma velocidad dada como respuesta a la pregunta anterior?.

Sea: la distancia de la niña al poste en el instante el largo de la sombra de la niña en el tiempo Entonces la velocidad de la niña es

y en término de estas variables, lo que

buscamos para contestar la primera pregunta es Lo que debemos hacer es encontrar una relación en donde aparezca derivar.

y después

Como los triángulos y son semejantes (tienen los mismos ángulos), se da la siguiente relación entre los lados

y de esta forma tenemos

Que es lo mismo que

derivando a ambos lados

La pregunta b se refiere a la derivada de la suma y como conocemos cada derivada, la respuesta es no es igual a ninguna de las dos sugeridas, la velocidad del extremo de la sombra es Supongamos ahora que Pedrito es el que corre, pero a ´¿Cuál corre más rápido, Pedrito o la niña? Si Pedrito mide ¿A qué velocidad el extremo de la sombra se aleja del poste? Problema de la escalera Una escalera de metal con ruedas en su base esta apoyada en una muralla de tal forma que su extremo superior esta a

del suelo. El bloqueo de sus ruedas le impide

moverse. La escalera mide de largo y es pesada de modo tal que cuando se desbloquean las ruedas la escalera se desliza en la muralla moviendose su extremo superior a la velocidad de Cuando esta a un metro del suelo ¿a qué velocidad se mueven las ruedas en ese instante? Para contestar esa pregunta necesitamos definir algunas variables y hacer un diagrama del problema El diagrama del problema es:.

Sean: la distancia de las ruedas a la muralla y la distancia del extremo superior de la escalera al suelo. Por lo tanto escalera está a

y lo que buscamos es del suelo, es decir,

en

que es el instante en que la

metro.

Como se ve, la muralla con la escalera y el suelo en todo tiempo forman un triángulo rectángulo asi tenemos el teorema de Pitágoras,

derivando en ambos lados de la igualdad (y usando la regla de la cadena) tenemos

y por lo tanto en el instante

Usando

podemos obtener

Por lo tanto las ruedas se deslizan a la velocidad de

¿Por qué nos dió una respuesta negativa? Por el sistema de referencia elegido; como la distancia

disminuye, la velocidad de

caida de la escalera debería ser negativa, es decir, en vez de haber puesto en deberiamos haber puesto Problema de la Sombra 2 En el cruce de dos calles, que tienen ancho

cada una, hay un poste de 3 metros

de alto en una de las esquinas. En la noche Pedrito, de , camina a alejandose de la esquina por la vereda contraria al poste y a un metro de la orilla de la calle. ¿A qué velocidad se alarga la sombra de Pedrito cuando este se encuentra a la orilla de la calle que recien cruzó?

de

Como podemos ver en el diagrama este se puede simplificar a un triángulo rectángulo como sigue

Sea distancia de Pedrito a la base del poste ( largo de la sombra de Pedrito (

) )

distancia de Pedrito a la calle transversal a la calle donde camina ( Sea

)

el instante que Pedrito esta a

¿Qué buscamos ?,El valor de

,

¿Qué conocemos? Como tenemos dos triángulos rectángulos semejantes

Por lo tanto necesitamos conocer tenemos

Como AFC forma un triángulo rectángulo,

derivado

asi, en el instante

En el instante

usando

tenemos

De esta forma logramos

y así,

El globo de Pedrito En una carretera un auto va a

en el interior va Pedrito con un globo con helio.

Pedrito suelta el globo y este sube en forma perpendicular a velocidad se separa Pedrito del globo después de segundos. Esquema del problema

Veamos a qué

Sea

el instante que Pedrito suelta el globo y sea

globo y el auto, al punto de

la distancia del globo al suelo,

la distancia entre el la distancia del auto

, donde se forma un ángulo recto.

¿Qué buscamos?. Respuesta : ¿Qué tenemos?. Respuesta :

en particular

el cual esta en kilómetros por hora, asi que debemos cambiarla a metros segundos

Como

forma un triángulo rectángulo

por lo tanto necesitamos después de segundo el globo esta a

metros

después de segundo el auto está a utilizando

metros y

en

De esta forma tenemos toda la información para ponerla en

La Teletón El círculo de la figura representa un escenario redondo, de radio 3 metros, ubicado al centro del Estadio Nacional y que gira a camina desde el centro del escenario (punto a la orilla del escenario La recta

revoluciones por minutos. Don Francisco ) en forma recta hasta el punto

forma un ángulo

ubicado

con la recta que une

con

la ubicación de Paula que esta en la galeria (punto ) a docientos metros del centro. ¿A que velocidad varia la distancia entre Don Francisco y Paula si Don Francisco camina a Sea

?.

la distancia entre Don Francisco y Paula en el tiempo la distancia de Don Francisco al centro del escenario en el tiempo

asi

el ángulo que forma la ruta de Don Francisco en el escenario con la recta OP.

Lo que buscamos es

donde

es el instante que Don francisco llega a

Como la ubicacion de Don Francisco, Paula y el centro del escenario en todo tiempo forman un triángulo, usaremos la ley del coseno

Derivando en

respecto al tiempo nos queda

Como en

De esta forma

y

nos queda

utilizando

lograremos

Problema del tren a vapor: En la figura hay una varilla de largo L fija (en el punto B),en el aro de una rueda de radio R el otro extremo de la varrilla (A) se mueve en forma horizontal (eje x). La rueda rota fija en su centro O contra el sentido del reloj a revoluciones por segundo

Veamos la velocidad del movimiento del extremo A. Sea

la distancia desde el centro O hasta el punto A (OA) en el tiempo . Con esta

notacion podemos decir que buyscamos Sea

el ángulo que forma el eje horizontal con el radio que une el centro con el

extremo B de la varilla en el tiempo Utilizando la ley del coseno en el triángulo

derivando en ambos lados (no olvidar la derivada del producto y la regla de la cadena)tenemos

¿Qué ralacion deben cumplir y ¿En que posición del ángulo se tiene mayor velocidad? ¿En que momento se tiene velocidad ? Con un mismo Las velocidaddes aumenrtan o disminuyen si la rueda es mas grande?. Problema de arena En un estanque en forma de cono circular recto de radio y altura se deja caer arena de tal forma que a medida que se llena el estanque se forma dos conos iguales.

Si se deja caer ¿Con qué velocidad sube el extremos de superior de la pila de arena cuando se hecha el máximo de arena? Sea

el nivel de la arena en la pared del cilindro en el tiempo t,

el radio de los

conos asociados al nivel Dada estas notaciones, se puede decir que buscamos

donde

es el instante que

se llena el estanque , es decir, Si

denota el volumen de la arena en el tiempo

como el volumen total de arena en

el tiempo es dos veces el volumen del cono recto de altura

De esta relación se puede obtener derivada de

y radio

se tiene

via derivación, pero también aparecería la

, como se ve acontinuación

Pero si vemos el triángulo dibujado al lado del cono (como modelo matemático), vemos dos triángulos semejantes, por lo tanto tenemos la siguiente relación entre sus lados

y por lo tanto y

reemplazando en

tenemos

¿Cuando el nivel sube más rápido, cuando la altura de la arena es más poca ´cuando está cerca de This document created by Scientific WorkPlace 4.0.