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Por: Marcos Jaraba PROBLEMAS DE MECANICA PARTE 2 1. Cierto sistema estelar cuaternario consiste en tres estrellas, cada una de masa m, que se mueven en la misma orbita circular de radio r en torno a una estrella central de masa M. Las estrellas orbitan en el mismo sentido y se ubican a un tercio de revolución una de otra. Demuestre que el periodo de cada una de las tres estrellas es: √

(

√ )

Solución En la figura siguiente podemos observar cómo están distribuidas las estrellas de este sistema:

R

D

120° °

30°

120° ° 120° °

Cada una de las tres estrellas que orbitan se mueve en un círculo de radio R a rapidez constante. Cada una de ellas es afectada por el tirón gravitacional de cada una de las restantes estrellas, por lo que deben actuar 3 fuerzas sobre cada estrella. Un diagrama de cuerpo libre con un sistema de referencia adecuado nos ayudara a formular las ecuaciones del movimiento:

Por: Marcos Jaraba

F3 F2

30° 30°

F1

Los vectores fuerzas están dados por: ⃗⃗⃗

|⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗ | ̂

̂ ⃗⃗⃗ 𝐅𝟑

⃗⃗⃗

|⃗⃗⃗ |

̂ 𝐺𝑚 √ 𝐢̂ 𝑑

|⃗⃗⃗ | ̂

|⃗⃗⃗ | ̂

|⃗⃗⃗ |

𝐺𝑚 𝐣̂ 𝑑

̂

̂

( ̂

) ̂

𝐺𝑚 √ 𝐢̂ 𝑑

⃗⃗⃗ 𝐅𝟏

̂

𝐺𝑀𝑚 𝐢̂ 𝑟

⃗⃗⃗ 𝐅𝟐 ⃗⃗⃗

̂

(

) ̂

𝐺𝑚 𝐣̂ 𝑑

Aplicando la segunda Ley de Newton: ⃗

∑

Como cada estrella se mueve en un círculo a rapidez constante, toda la aceleración que sufre es normal: ⃗ (

√ ̂

̂)

(

( √

̂ ̂)

(

) ̂

√ ̂

̂

̂)

̂

Por: Marcos Jaraba √ Despejando

: √

√

Teniendo en cuenta que,

y que por el teorema del coseno:

Nos queda, √

⁄ √ ( √ )

√ (

)

𝑇

𝜋√ 𝐺(𝑀

⁄√ )

√ (

𝑟 𝑚 √ )

2. Calcule el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de una placa y la intercepta perpendicularmente. La placa es un rectángulo de dimensiones a y b y de masa M.

b

a

Solución La masa de la placa se distribuye uniformemente a través de toda el área rectangular por lo tanto es correcto escribir:

Por: Marcos Jaraba

Tomemos un pequeño elemento diferencial de área del rectángulo:

b

a

Ahora el momento de inercia viene dado por la siguiente formula: ∫

∬

En la figura de deduce que:

Con esto nos queda que la integral doble se convierte en:

∫ ∫(

∫(

|

(

)

)

∫(

)

(

𝐼

𝑚(𝑎

)

)

𝑏 )

(

(

|

)

)

Por: Marcos Jaraba 3. La masa M está distribuida uniformemente en un disco de radio a. Calcule la fuerza gravitacional (magnitud y dirección) que actúa entre esta masa y una partícula de masa m situada a una distancia x arriba del centro del disco. ¿Su resultado se reduce a la expresión correcta cuando x se hace muy grande? Z Y

X

Solución Tomemos un elemento diferencial de masa del disco de masa M. Este produce una pequeña fuerza diferencial sobre la masa m ubicada a una distancia x del disco: ‖⃗⃗⃗⃗

‖

(⃗⃗⃗⃗

)

En donde, es el vector de posición de cada una de los puntos que conforman al disco y ⃗⃗⃗⃗ es el vector de posición de la masa m. Por tanto estos vectores se puede expresar utilizando coordenadas cilíndricas como: ̂ ⃗⃗⃗⃗

̂

Los vectores unitarios ortogonales en el sistema de coordenadas cilíndricas son: 𝐫̂ 𝛉 ̂ 𝐤

𝜃 𝐢̂ 𝜃 𝐢̂ ̂ 𝐤

𝜃 𝐣̂ 𝜃 𝐣̂

Por: Marcos Jaraba Utilizando este resultado: ‖ ̂

̂‖

( ̂

̂)

(

( ̂

)

̂)

El diferencial de masa es:

Por tanto la fuerza total se convierte en: ∫∫

(

)

̂)

( ̂

*∫ ∫

(

̂

)

(∫ ∫

(

)̂ +

)

Calculemos las dos integrales por aparte como sigue: ∫∫

(

̂

)

(∫

(

) (∫ ̂

)

)(

)

En donde se sabemos que: ∫ ̂

|

Por tanto; 𝜋 𝑎

∫∫

𝑎

𝑟

(𝑥

𝑟 )

𝐫̂ 𝑑𝑟𝑑𝜃

(∫

𝑟

(𝑥

𝑑𝑟) 𝟎

𝑟 )

𝟎

Ahora resolviendo la otra integral: ∫∫

(

)

(∫

(

)

) (∫

)

(

√

| ) ( | )

Por: Marcos Jaraba 𝜋 𝑎

∫∫

𝑟 𝑟 )

(𝑥

𝑑𝑟𝑑𝜃

𝑥

𝜋(

𝑎

√𝑥

)

Finalmente se obtiene que la fuerza total es: (

)̂

√

entonces (

)

𝐺𝑀𝑚 𝑥 ( 𝑎 𝑎 √𝑥

𝐅

Ahora si

(

(

)̂

√

̂ )𝐤

. Teniendo en cuenta que: )

Entonces;

̂ (

√

( )

((

( ) )

)̂

) ((

)

̂

)

Se puede observar que la expresión de fuerza cuando x tiende a infinito se reduce a la expresión de la fuerza con masas puntuales. 4. Un tanque grande con diámetro D, abierto al aire, contiene agua hasta una altura H. Se perfora un agujero pequeño con diámetro d (d D) en la base del tanque. Ignorando los efectos de viscosidad, calcule el tiempo que el tanque tarda en vaciarse por completo.

D

H

d

Por: Marcos Jaraba Solución Teniendo en cuenta que se desprecian los efectos de viscosidad y partiendo de que en el tanque no se acumula masa de agua; podemos aplicar la ecuación de continuidad, que establece que:

En dónde;

Ahora sea ( ) la altura del agua en el tanque a cualquier instante, entonces:

Por el principio de Bernoulli sabemos que:

Las presiones en los puntos B y S son iguales ya que es la presión atmosférica y si se toma como nivel de referencia para medir la altura la base del cilindro entonces: ( ) Nos queda con esto que: (

)

Con la ecuación continuidad sabemos que:

Remplazando esto en la ecuación: (

)

(

)

Por: Marcos Jaraba (

)( (

√

√

) )

Esta es una ecuación diferencial de variables separables con las condiciones iniciales de cuándo y=0; t=T (Tiempo de vaciado) ∫

∫

√

√

|

√

|

√

√

√

Despejando T: √

√( )

𝑇

√

𝑑

√

√(

𝐻 (𝐷 𝑔

)

𝑑 )

5. Calcule el momento de inercia alrededor del eje central de un cono truncado de radio mayor R y base menor r y altura H como se muestra en la figura.

x

y

Por: Marcos Jaraba Solución Tomando un elemento diferencial de masa como el mostrado en la figura anterior deducimos que:

Sabemos que el volumen de un cono truncado como el de la figura es: (

)

Por tanto: (

)

También se puede relacionar a X y a Y con la siguiente ecuación:

(

)

Por lo que;

Con lo cual:

El momento de inercia de un disco de masa diferencial es: ∫

(

)

∫

|

( (

(

) )

( (

)

𝐼

𝑅 𝑚( 𝑅

( ) )

𝑟 ) 𝑟

) (

(

∫

)

)