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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

: MECÁNICA DE SÓLIDOS II

CURSO

PROFESOR : Mg. JORGE MONTAÑO PISFIL

Semana N° 01: PROBLEMAS DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO SÓLIDO DEFORMABLE Y PROBLEMAS DE ESFUERZO PROBLEMA Nº 1 Determine el par interno resultante o momento torsionante o torque que actúa sobre las secciones transversales por los puntos B y C.

A

B C

Resolución Para determinar el par interno resultante o momento torsionante o torque “T” que actúa sobre las secciones transversales en los puntos B y C, aplicamos el Método de Secciones: - Primero trazamos la sección mm por el punto B, al hacer esto nuestro sistema queda dividido en dos segmentos, cualquiera de ellos se puede analizar. En este caso analizaremos el segmento derecho porque de esta manera se simplifican los cálculos. - A continuación trazamos la sección nn por el punto C y también analizaremos el segmento derecho para facilitar nuestros cálculos. Por segunda condición de equilibrio: m

+

; B

Nota.- El signo negativo indica que TB actúa en dirección opuesta a la mostrada en la figura. Además: y .

m

n C

n

Por segunda condición de equilibrio: ;

+

Nota.- El signo negativo indica que TC actúa en dirección opuesta a la mostrada en la figura. Además: y .

OTRO MÉTODO DE RESOLUCIÓN PARA ESTE PROBLEMA: - Analizar primero todo el sistema, aplicar la segunda condición de equilibrio a lo largo del eje de las flechas y calcular el par interno resultante o momento torsionante en el punto A (el cual es un apoyo fijo o empotrado). Se obtiene que éste es igual a 750 bf  pie - A continuación se traza una sección que pase por el punto B y se analiza el segmento izquierdo. De aquí se obtiene que el par interno resultante o momento torsionante en el punto B es

150 bf  pie - Para Calcular el par interno resultante en el punto C se procede de manera idéntica al método anterior.

PROBLEMA Nº 2 Determine la fuerza normal y cortante internas resultantes en el miembro mostrado en la figura, para los casos siguientes: (a) en la sección aa y (b) en la sección bb, cada una de las cuales pasa por el punto A. La carga de 500 bf está aplicada a lo largo del eje centroidal del miembro.

a

b 30°

b

Resolución

a

Cálculo de “N” y “V” en el punto A para la sección aa Aplicando el método de secciones y analizando el segmento izquierdo (vista frontal), tenemos:

a

Por primera condición de equilibrio:

Nota.- En este caso: (No existe momento flexionante en el punto A).

a Cálculo de “N” y “V” en el punto A para la sección bb Aplicando el método de secciones y analizando el segmento izquierdo (vista frontal), tenemos: Por primera condición de equilibrio:

y 30° b

y 30°

30°

x x b

Nota.- En este caso:

.

PROBLEMA Nº 3 Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal a través del punto D del miembro AB. 50 mm 300 mm 50 mm B A

D

70 N.m 200 mm

C 150 mm

Resolución

Para determinar “V”, “N” y “M” que actúan sobre el punto D del miembro AB, primero analizo dicho miembro, luego aplico el Método de Secciones. * Note que el elemento BC es un elemento sujeto a dos fuerzas, por lo tanto la fuerza FCB actúa a lo largo del eje de dicho elemento. 400 mm 150 mm A

B

70 N.m

200 mm

FCB C Aplicando la segunda condición de equilibrio, respecto al punto A, tenemos:

M

TOTALES A

0

 70 N  m  FCB Sen (53,13) [0,4m]  0

+

FCB  218,75 N (Compresión)

Aplicando la primera condición de equilibrio, tenemos:

F

0

R AX  FCB Cos (53,13)  0

R AX  131,25 N ()

F

0

R AY  FCB Sen (53,13)  0

R AY  175 N ()

X

Y

Trazo la sección mm por el punto D y analizo el segmento izquierdo AD. Por segunda condición de equilibrio: m 131,25 N A m 175 N

MD D

ND Por primera condición de equilibrio:

m

VD

PROBLEMA Nº 4 Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre las secciones transversales por los puntos D y E de la estructura mostrada en la figura siguiente. C

4 pies

A F D

E

B 2 pies

1 pie

3 pies

1 pie

30°

Resolución Para resolver este problema primero analizamos la barra AF y hallamos la magnitud de la fuerza ejercida por el elemento BC ( FBC ). Luego aplicamos el método de secciones para calcular las cargas internas resultantes que actúan sobre las secciones transversales por los puntos D y E.

A

F B 3 pies

2 pies

2 pies

30°

Aplicando la segunda condición de equilibrio, respecto al punto A, tenemos:

M

TOTALES A

FBC Sen 53,13(3)  300(5) 150 Cos 30(7)  0

0

+

FBC  1003,8875 bf (Tracción)

Aplicando la primera condición de equilibrio hallamos las componentes de la fuerza de reacción en el punto A. Los valores de estas componentes son:

RAX  527,3325 bf ()

;

RAY  373,2062 bf ()

Cálculo de las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en el punto D. Trazo la sección nn por el punto D y analizo el segmento izquierdo AD. n 527,3325 lbf

ND

D

A m

1 pie n 373,2062 lbf

+

Por segunda condición de equilibrio:

MD

NOTA.- El signo negativo significa que opuesta a la mostrada en la figura.

VD

tiene dirección

Por primera condición de equilibrio:

Cálculo de las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en el punto E. Trazo la sección aa por el punto D y analizo el segmento derecho EF. a

225 bf Por 2da condición de equilibrio:

a

ME NE

+

F E m

3 pies

a a

VE

30°

NOTA.- El signo negativo significa que sentido contrario.

tiene

Por primera condición de equilibrio:

PROBLEMA Nº 5 La viga uniforme esta soportada por dos barras AB y CD cuyas áreas transversales son de 12 𝑚𝑚2 y 8 𝑚𝑚2 respectivamente. Si 𝑑 = 1 𝑚, determinar el esfuerzo normal promedio en cada barra.

Resolución: Para resolver este problema primero vamos analizar la viga completa y hallar las fuerzas en las barras CD y AB respectivamente.

𝑭𝑨𝑩

𝑭𝑪𝑫

Por segunda condición de equilibrio, en el punto A, tenemos: ∑ 𝑴𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳𝑬𝑺 =𝟎 𝑨

+

𝐹𝐶𝐷 (3 𝑚) − 6 𝑘𝑁(1 𝑚) = 0 𝐹𝐶𝐷 = 2 𝑘𝑁 (TRACCIÓN O TENSIÓN) Por segunda condición de equilibrio, en el punto C, tenemos: ∑ 𝑴𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳𝑬𝑺 =𝟎 𝑪

+

−𝐹𝐴𝐵 (3 𝑚) + 6 𝑘𝑁 (2 𝑚) = 0 𝐹𝐴𝐵 = 4 𝑘𝑁 (TRACCIÓN O TENSIÓN) Cálculo del esfuerzo normal promedio en las barras AB y CD Se sabe que el esfuerzo normal promedio, viene dado por:

𝝈=

𝑭 𝑨

Para la barra AB: 𝐹𝐴𝐵 = 4 × 103 𝑁

;

𝐴 = 12 𝑚𝑚2 = 12 × 10−6 𝑚2 𝝈𝑨𝑩

4 × 103 𝑁 = = 333,33 MPa 12 × 10−6 𝑚2

Para la barra CD: 𝐹𝐶𝐷 = 2 × 103 𝑁

;

𝐴 = 8 𝑚𝑚2 = 8 × 10−6 𝑚2 𝝈𝑪𝑫 =

2 × 103 𝑁 = 250 MPa 8 × 10−6 𝑚2

PROBLEMA Nº 6 La carga de

D

C

0,3 pulg

está soportada por tres

barras de acero conectadas por un anillo en A. 0,25 pulg

Determine el ángulo de orientación

de AC tal

que el esfuerzo normal promedio producido en la barra AC sea el doble del esfuerzo normal promedio en la barra AD.

A 0,35 pulg B

¿Cuál es la magnitud del esfuerzo ejercido en cada una de las barras? El diámetro de cada barra se indica en la figura.

Resolución

 AC  2 AD

Por condición del problema: Sabemos:

Luego:

P Fuerza normal o fuerza axial (tensión o compresión)  A Area de la sec ción transversa l



 AC 

. . . (1)

FAC  2 . . . (2) ; d AC 4

 AD 

FAD  2 . . . (3) d AD 4

Reemplazamos (2) y (3) en (1), simplificamos la expresión obtenida y reemplazamos los diámetros de las barras AC y AD, y nos queda:

FAC  1,39 FAD . . . (4) A continuación analizamos el nodo A, es decir hacemos su DCL y aplicamos la ecuación de la primera condición de equilibrio.

F

X

y

FAC Cos  FAD Cos45 0  0

0

Reemplazando obtenemos:

FAC  1,39 FAD

y

despejando,

  59,420 x

A

F

Y

0

FAC Sen  FAD Sen45 0  w  0

Reemplazando

FAC  1,39 FAD ,   59,420 y

w  50 bf , tenemos que:

FAD  26,26 bf (TRACCIÓN) Reemplazando el valor de FAD en la ecuación (4), obtenemos:

FAC  36,51 bf (TRACCIÓN)

CÁLCULO DE LA MAGNITUD DEL ESFUERZO EJERCIDO EN CADA UNA DE LAS BARRAS En la barra AC:

 AC 

36,51 bf



 AD 

26,26 bf



4 En la barra AB:

 AB 

4

 371,5

bf pul 2

 519,69

bf pul 2

(0,3 pul) 2 500 bf



bf pul 2

(0,25 pul) 2

4 En la barra AD:

 743,76

(0,35 pul) 2

PROBLEMA Nº 7 Los dos miembros de acero están unidos entre sí por medio de una soldadura a tope a 60°. Determine los esfuerzos normal y cortante promedios resistidos en el plano de la soldadura. 25 mm 8 kN

8 kN 60°

30 mm

Resolución Para determinar

 y  prom

resistidos en el plano de la soldadura (el que está inclinado 60°),

primero hallo N (fuerza normal) y V (fuerza cortante) en dicho plano, para ello aplico el método de secciones y analizo el segmento izquierdo (ver figura siguiente). Por primera condición de equilibrio:

y

8 kN 60° 60°

x

Cálculo de  y  prom resistidos en el plano de la soldadura Sabemos:



Fuerza normal N  Area de la sec ción transversa l A



4 3 kN A

. . . (1)

Hallo “A” (área del plano de soldadura) De la figura: “A”

b

a

;

ᶱ

Luego: Área transversal (AT )

Reemplazamos el área “A” en la ecuación (1):  

Para calcular

 prom

4 3 kN (0,03m)(0,025m) Sen 600

utilizo la ecuación siguiente:

 prom 

V A

 prom 

4 kN . . . (2) A

  8000

kN m2

Reemplazando el área “A” en la ecuación (2), tenemos:

 prom 

4 kN (0,03m)(0,025m) Sen 60

 prom  4618,8 kPa

PROBLEMA Nº 8 El espécimen falló en una prueba de tensión a un ángulo de 52º cuando la carga axial era de 19,80 klb. Si el diámetro del espécimen es de 0,5 pulg, determine los esfuerzos normal y cortante promedio que actúan sobre el plano inclinado de falla. Además, ¿Cuáles son los esfuerzos normal y cortante promedio que actuaban sobre la sección transversal cuando ocurrió la falla?

Resolución: Para determinar  (esfuerzo normal promedio) y

 prom (esfuerzo cortante promedio) que actúan

sobre el plano inclinado de falla (el que está inclinado 52º), primero hallamos N (fuerza normal) y V (fuerza cortante) en dicho plano, para ello aplicamos el método de secciones y analizamos el segmento derecho que es dado como dato por el problema.

Por primera condición de equilibrio: ∑ 𝐹𝑥 = 0

𝑽𝑨 − (𝟏𝟗, 𝟖 × 𝐂𝐨𝐬 𝟓𝟐°)𝒌𝒍𝒃 = 𝟎 𝑵𝑨 − (𝟏𝟗, 𝟖 × 𝐒𝐞𝐧 𝟓𝟐°)𝒌𝒍𝒃 = 𝟎

∑𝐹𝑦 = 0 Cálculo de

∴ 𝑽𝑨 = 𝟏𝟐, 𝟏𝟗 𝒌𝒍𝒃 ∴ 𝑵𝑨 = 𝟏𝟓, 𝟔𝟎𝟑 𝒌𝒍𝒃

 y  prom que actúan sobre el plano inclinado de falla:

Sabemos que el esfuerzo normal promedio (  ) viene dado por:



=

𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑁𝐴 ) Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎 (𝐴)

=

15,603 𝑘𝑙𝑏 𝐴

. . . (1)

Hallamos el área “A” del plano inclinado de falla: Para hallar el área “A”, mostramos a continuación una vista auxiliar de la sección del plano inclinado de falla. En ella se observa que tiene forma de elipse.

Donde: Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝑬𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆 (𝑨) = 𝝅 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 . . . (2) Además, de la figura anterior se observa que: 𝟐𝒂 = 𝒉 → 𝒂 =

𝒉 𝟐

𝒚

𝟐𝒃 = 𝟎, 𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒈 → 𝒃 = 𝟎, 𝟐𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒈

Del triángulo rectángulo mostrado en la figura anterior, tenemos que: 𝒉 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝟓𝟐° = 𝟎, 𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒈 → 𝒉 =

𝟎, 𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒈 𝑺𝒆𝒏𝟓𝟐°

Reemplazando los valores de “a”, “b” y “h” en la ecuación (2), tenemos: 𝑨=𝝅∙

𝟎, 𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒈 𝝅 ∙ (𝟎, 𝟐𝟓)𝟐 ∙ 𝟎, 𝟐𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒈 = 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐 𝟐 ∙ 𝑺𝒆𝒏𝟓𝟐° 𝑺𝒆𝒏𝟓𝟐°

𝑨=

𝝅 ∙ (𝟎, 𝟐𝟓)𝟐 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐 𝑺𝒆𝒏𝟓𝟐°

Reemplazando NA y A en (1) tendremos:



𝟏𝟓, 𝟔𝟎𝟑 𝒌𝒍𝒃 𝒌𝒍𝒃 = 𝝅 ∙ (𝟎,𝟐𝟓)𝟐 = 𝟔𝟐, 𝟔 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐 𝟐 𝒑𝒖𝒍𝒈 𝑺𝒆𝒏𝟓𝟐°

 ∴

= 𝟔𝟐, 𝟔

𝒌𝒍𝒃 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐

Para calcular

 prom utilizaremos: 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 (𝑉𝐴 )  prom = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎 (𝐴)

. . . (𝟑)

Reemplazando VA y A en la ecuación (3), tenemos: 𝟏𝟐, 𝟏𝟗 𝒌𝒍𝒃  prom = 𝝅 ∙ (𝟎,𝟐𝟓) 𝟐

𝑺𝒆𝒏𝟓𝟐°

𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐

= 𝟒𝟖, 𝟗

𝑲𝒍𝒃 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐

𝑲𝒍𝒃  prom = 𝟒𝟖, 𝟗 𝒑𝒖𝒍𝒈

𝟐

Cálculo de

 y  prom que actúan sobre sobre la sección transversal cuando ocurrió la falla:

Aplicando el método de secciones (segmento derecho del espécimen) y analizando las fuerzas que actúan sobre la sección transversal, tenemos:

Por primera condición de equilibrio: ∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑𝐹𝑦 = 0

𝑵𝑩 − 𝟏𝟗, 𝟖 𝒌𝒍𝒃 = 𝟎

∴ 𝑵𝑩 = 𝟏𝟗, 𝟏𝟖 𝒌𝒍𝒃

𝑽𝑩 = 𝟎

Observamos que la sección transversal es el área “Ac” de un círculo de radio 0,25 pulg, con lo cual tendremos: 𝑵𝑩

𝟏𝟗, 𝟖 𝒌𝒍𝒃

𝒌𝒍𝒃

𝒌𝒍𝒃

 B = 𝑨𝑪 = 𝝅 ∙ (𝟎, 𝟐𝟓)𝟐 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐 = 𝟏𝟎𝟎, 𝟖 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐 ≅ 𝟏𝟎𝟏 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐 𝒌𝒍𝒃

 B = 𝟏𝟎𝟏 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐 ∴

 promB

=

𝑽𝑩 𝟎 = =𝟎 𝑨𝑪 𝝅 × (𝟎, 𝟐𝟓)𝟐 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐

 promB

=𝟎

PROBLEMA Nº 9 Las barras de la armadura tienen C

B

cada una un área transversal de 1,25 pulg2. Determine el esfuerzo normal promedio en cada barra debido a la

3 pies

carga esfuerzo A

E

D

4 pies

. es

de

Indique si el tensión

o

de

compresión.

4 pies 0,75 P

P

Resolución Para resolver armaduras se aplica el método de nodos o el método de secciones. En este caso para hallar la fuerza en cada elemento de la armadura aplico el método de los nodos. Primero analizo el nodo A, luego analizo el nodo E y finalmente analizo el nodo B. Análisis del nodo A Por primera condición de equilibrio:

y FAB

A

x

FEA P = 8 klbf

Análisis del nodo E Por primera condición de equilibrio: FCB

F

Y

10,66 klbf

FDE

F

E

X

0 0

FCB  6 kbf (TRACCIÓN)

FDE  10,66 kbf (COMPRESIÓN)

6 klbf Análisis del nodo B y B

Por primera condición de equilibrio:

FBC x

36,87° 53,13° 13,33 klbf

6 klbf

FDB

CÁLCULO DEL ESFUERZO NORMAL PROMEDIO EN CADA BARRA Barra AB:

 AB 

13,33 kbf 1,25 pu lg 2

 AB  10,66

kbf (TRACCIÓN) pu lg 2

Barra AE:

 AE 

10,66 kbf 1,25 pu lg 2

 AE  8,53

Barra BE:

 BE 

6 kbf 1,25 pu lg 2

 BE  6

Barra DE:

 DE 

10,66 kbf 1,25 pu lg 2

 DE  8,53

Barra DB:

 DB 

23,33 kbf 1,25 pu lg 2

 DB  18,66

kbf (COMPRESIÓN) pu lg 2

Barra BC:

 BC 

29,33 kbf 1,25 pu lg 2

 BC  23,46

kbf (TRACCIÓN) pu lg 2

kbf (COMPESIÓN) pu lg 2

kbf (TRACCIÓN) pu lg 2

kbf (COMPRESIÓN) pu lg 2

PROBLEMA Nº 10 El pedestal en forma de tronco cónico está hecho de concreto con peso específico de 150 lbf/pie3. Determine el esfuerzo normal promedio que actúa en la base del pedestal.

1 3

Sugerencia: el volumen de un cono de radio r y altura h es V   r 2 h z 1 pie

8 pies

Z = 4 pies

1,5 pies

y

x

Resolución Cuando se conoce el peso específico (  ) del material que constituye al cuerpo (en este caso, el pedestal), para hallar su peso ( w ) utilizamos la siguiente ecuación:



Reemplazando  tenemos: w  150



bf    V . . . (1) pie3 

w    V ; donde: V = volumen

Hallo “V” (volumen del pedestal) De la figura se observa que: . . . (2) Por semejanza de triángulos:

8 pies

Para hallar VT y V1 aplicamos la ecuación del volumen de un cono. Es decir:

1 VT   R 2 hT 3 1 V1   r 2 h1 3

1 VT   (1,5 pies)2 (24 pies)  56,55 pies3 3 1 V1   (1 pie) 2 (16 pies)  16,76 pies3 3

Reemplazando en la ecuación (2), tenemos: En (1): w  150

bf  (39,79 pie3 ) 3 pie

Cálculo de



Sabemos:



De la figura:

V  56,55 pies3  16,76 pies3  39,79 pie3

w  5968,5 bf

(esfuerzo normal promedio) en la base del pedestal

N A

N  w  5968,5 bf

A   R 2   (1,5 pies) 2 5968,5 bf bf    844 Luego:  (1,5 pies) 2 pie 2 Asimismo:

O también:

  5,86

bf pu lg 2

PROBLEMA Nº 11 Si el esfuerzo permisible por aplastamiento para el material bajo los soportes A y B es

 B( perm)  400 bf / pu lg 2 , determine el tamaño de las placas cuadradas de apoyo A´ y B´ requeridas para soportar la carga. Considere P  1,5 kbf . Dimensione las placas con una aproximación de 1 / 2 pu lg . Las reacciones en los soportes son verticales.

5 pies

5 pies

5 pies

7,5 pies

A´

B´

A

B

Resolución Primero analizamos la viga completa y hallamos las reacciones en los apoyos. Según el enunciado estas reacciones son verticales.

5 pies

5 pies

5 pies

7,5 pies

O

R AY

RBY

Por segunda condición de equilibrio:

M

TOTALES O

R BY (15)  2(5)  3(10)  2(15)  1,5(22,5)  0 Por primera condición de equilibrio:

F

Y

0

RBY  6,92 kbf ()

0

R AY  6,92 kbf  10,5 kbf

RAY  3,58 kbf ()

Por tercera Ley de Newton (Principio de Acción y Reacción) tenemos que las fuerzas que actúan sobre las placas que están apoyadas sobre los soportes A y B, son: -

Sobre A:

FA  3,58 kbf ()

-

Sobre B:

FB  6,92 kbf ()

Además, sabemos que el esfuerzo permisible viene dado por la ecuación siguiente:

 perm  Luego, las áreas ( A1

A1 

A2 

F A

A

F

 perm

y A2 ) de las placas que están apoyadas sobre los soportes A y B serán:

FA

3,58 10 3 bf  400 bf / pu lg 2

A1  8,95 pu lg 2

FB

6,92 10 3 bf  400 bf / pu lg 2

A2  17,3 pu lg 2

 perm

 perm

Cálculo de los lados (dimensiones) de las placas cuadradas Se cumple que el área de una placa cuadrada viene dada por: Entonces:

A  L2 , donde L=lado.

A1  8,95 pu lg 2  L12

L1  2,99 pu lg

A2  17,3 pu lg 2  L22

L2  4,16 pu lg

Respuesta: Para A:

3 pu lg x 3 pu lg

Para B:

4 1 pu lg x 4 1 pu lg 2 2