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• Carlos Baez

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1. El departamento de nutrición humana y alimentos del Instituto Politécnico y la Universidad Estatal de Virginia lleva a cabo el estudio Vitamin C Retention in Reconstituted Frozen Orange Juice para determinar la estabilidad de la vitamina C con el concentrado de jugo de naranja reconstituido congelado que se almacena en un refrigerador por un periodo superior a una semana. Se prueban tres tipos de concentrado de jugo de naranja congelado en tres periodos diferentes. Los periodos se refieren al número de días desde la mezcla del jugo de naranja hasta que se prueba. Los resultados, en miligramos de ácido ascórbico por litro, se registran en la siguiente tabla: Tiempo (días) Marca Richfood

0 52.6 49.8

3 54.2 46.5

49.4 42.8

7 49.2 53.2

42.7 40.4

48.8 47.6

Sealed-Sweet

56.0 49.6

48.0 48.4

48.8 44.0

44.0 42.4

49.2 42.0

44.0 43.2

Minute Maid

52.5 51.8

52.0 53.6

48.0 48.2

47.0 49.6

48.5 45.2

43.3 47.6

Utilice un nivel de significancia de 0.05 para probar la hipótesis de que a) No hay diferencia en el contenido de ácido ascórbico entre las diferentes marcas de concentrado de jugo de naranja; b) No hay diferencia en el contenido de ácido ascórbico para los diferentes tiempos; c) Las marcas de concentrado de jugo de naranja y el número de días desde el momento en que se mezcla el jugo de naranja hasta que se prueba no interactúan.

Marca 0 Richfood Sealed-Sweet Minute Maid ∑yj

52.6 49.8 56.0 49.6 52.5 51.8 615

54.2 46.5 48.0 48.4 52.0 53.6

Tiempo (días) 3 49.4 49.2 42.8 53.2 48.8 44.0 44.0 42.4 48.0 47.0 48.2 49.6 566.6

∑yi

7 42.7 40.4 49.2 42.0 48.5 45.2 542.5

48.8 47.6 44.0 43.2 43.3 47.6

∑yi²

577.2

333159.84

559.6

313152.16

587.3

344921.29

1724.1

991233.29

∑(yj)² = 378225 + 321035.56 + 294306.25 = 993566 ∑(yij)² = 126111.62 + 107153.64 + 98123.97 = 331389.23 ∑(yijk)² = 31605.86 + 26870.68 + 24625.47 = 83102.01 Suma de cuadrados SC A =

991233.29 (1724.1) ² = =¿ 32.7516667 12 16

SC B =

993566 (1724.1 ) − =¿ 227.211667 12 16

2

2

SC AB=

331389.23 (1724.1 ) − −32.7516667−227.211667=¿ 17.321663 4 16

SC T =83102.01−

( 1724.1 )2 =¿ 531.9875 16

SC E=531.987−17.321663−227.21166−32.751666=254.702504

Grados de libertad GL A =3−1=2 GL B=3−1=2

GL E=3∗3 ( 4−1 ) =27 GLT =4∗3∗3−1=35

GL AB =( 3−1 ) ( 3−1 ) =4

Cuadrado Medio CM A =

32.7516667 =16.3758333 2

CM B=

227.211667 =113.606833 2

CM AB =

CM E=

17.321663 =4.33041575 4

254.702504 =9.43342606 27

FA=

16.3758333 =1.735936996 9.43342606

F B=

113.605833 =12.04290279 9.43342606

FA=

4.33041575 =0.4590501608 9.43342606

ANOVA FV A B AB

SC GL 32.7516 667 227.211 667 17.3216 63

CM Fo FISHER 16.3758 2 333 1.74 0.195 113.605 2 833 12.04 0 4.33041 4 575 0.46 0.765

Error Total

531.987 5 254.702 504

9.43342 27 606 35

2. Se estudia el comportamiento de tres camadas de ratas bajo dos condiciones ambientales en una prueba de laberinto. Las calificaciones de error para las 48 ratas se registran en la siguiente tabla: Camada Ambiente

Libre

Restringido

28 22 25 36

12 23 10 86

72 48 25 91

32 93 31 19

Brillante 33 36 41 22 60 35 83 99

Mezclada 83 101 14 33 76 122 58 35 89 126 110 118

136 38 64 87

Lenta 94 56 83 23 120 153 128 140

Utilice un nivel de significancia de 0.01 para probar la hipótesis de que a) No hay diferencia en las calificaciones de error para los diferentes ambientes. b) No hay diferencia en las calificaciones de error para las diferentes camadas. Camada Ambiente

Libre

Restringid o

∑yj

Brillante Lenta 28 12 22 23 25 10

Mezclada 33 36 41

83 14 76

101 33 122

94 56 83

36

86

22

58

35

23

72

32

60

89

136

120

48 25 91

93 31 19

35 83 99

126 110 118

38 64 87

153 128 140

653

1083

1413

c) Los ambientes y las camadas de ratas no interactúan.

∑yj² = 426409 + 1172889 + 1996569 = 3595867 ∑yij2 = 227485 + 650169 + 1049165 = 1926819 ∑yijk2 = 38747 + 92111 + 152187 = 283045 Suma de Cuadrados 2

SC A =

5315113 ( 3149 ) − =14875.5208 24 48

∑yi

∑yi²

1152

1327104

1997

3988009

3149

5315113

2

S CB =

3595867 ( 3149 ) − =18154.1667 16 48 2

S C AB=

1926819 ( 3149 ) − −14875.5208−18154.1667=1235.16667 8 48

SC T =283045−

( 3149 )2 =76457.4792 48

S C E=76456.4792−14875.5208−18154.1667−1235.16667=42192.625

Grados de Libertad GL A =2−1=1 GL B=3−1=2 GL AB =( 2−1 ) ( 3−1 )=2

Cuadrado Medio CM A =

14875.5208 =14875.5208 1

CM B=

18154.1667 =9077.08333 2

CM AB = CM E=

FA=

1235.16667 =617.583333 2

42191.625 =1004.58631 42

14.875.5208 =1 4.80760852 1004.58631

GL E=2∗3 ( 8−1 )=42 GLT =8∗2∗3−1=47

F B=

9077.08333 =9.03564307 1004.58631

F AB =

617.583333 =0.6147638355 1004.58631

ANOVA FV A B AB Error Total

SC GL 14875.5 208 18154.1 667 1235.16 667 42192.6 25 76457.4 792

1 2 2 42 47

CM Fo FISHER 14875.5 208 14.81 0 9077.08 333 9.04 0.001 617.583 333 0.61 0.546 1004.58 631

3. La fatiga por corrosión en metales se define como la acción simultánea de la tensión cíclica y el ataque químico sobre una estructura metálica. Una técnica que se utiliza con amplitud para minimizar el daño por fatiga por corrosión en aluminio implica la aplicación de un recubrimiento protector. En un estudio que lleva acabo el Departamento de Ingeniería Mecánica del Instituto Politécnico y la Universidad Estatal de Virginia, se utilizan diferentes niveles de humedad Bajo: 20-25% de humedad relativa Medio: 55-60% de humedad relativa Alto: 86-91% de humedad relativa y tres tipos de recubrimientos superficiales Sin recubrimiento: ningún recubrimiento Anodizado: recubrimiento de óxido anódico a base de ácido sulfúrico Conversión: recubrimiento de conversión química de cromo Los datos de fatiga por corrosión, expresados en miles de ciclos antes de la falla, se registran en la siguiente tabla: Humedad Relativa Recubrimiento Sin recubrimiento Anidizado

Conversión

Baja 361 469 466 937 1069 1357

Media 314 522 244 739 261 134

114 1032 1236 92 533 211

322 471 306 130 68 398

130 1482 252 841 529 105 1595 754 847

874 755 573

Alta 1344 1269 1027 1097 663 1011 78 387 130

466 107 327

586 402 846

524 751 529

a Realice un análisis de varianza con α = 0.05 para probar la significancia de los efectos principales y de interacción. b Utilice la prueba de Duncan, al nivel de significancia de 0.05, para determinar qué niveles de humedad resultan en daño diferente de corrosión-fatiga.

Recubrimiento Sin recubrimiento

Anodizado

Conversión

∑yj

Humedad Relativa Baja Media Alta 361 469 314 522 1344 1269 466 937 244 739 1027 1097 1069 1357 261 134 663 1011 114 1032 322 471 78 466 1236 92 306 130 387 107 533 211 68 398 130 327 130 1482 252 874 586 524 841 529 105 755 402 751 1595 754 847 573 846 529 13208 7315 11544

∑yi

∑yi²

13284

176464656

6408

41062464

12375

153140625

32067

370667745

∑yj2 = 174451264 + 53509225 + 133263936 = 361224425 ∑Yij2 = 60481366 + 19375657 + 56570990 = 136428013 ∑yijk2 = 13685294 + 4116071 + 9983946 = 27785311

Suma de Cuadrados 2

370667745 ( 32067 ) SC A = − =1550199 18 54 2

361224425 ( 32067 ) S CB = − =1025570.11 18 54 2

136428013 ( 32067 ) S C AB= − −1550199−1025570.11=1119779.56 6 54

( 32067 )2 SC T =27785311− =8742857.5 54 S C E=8742857.5−1550199−1025570.11−1119779.56=5047308.83

Grados de Libertad GL A =3−1=2 GL B=3−1=2

GL E=3∗3 ( 6−1 )=45 GLT =6∗3∗3−1=53

GL AB =( 3−1 ) ( 3−1 ) =4

Cuadrado Medio CM A =

1550199 =775099.5 2

CM B=

1025570.11 =512785.056 2

CM AB =

CM E=

1119779.56 =279944.889 4

5047308.83 =112162.419 45

FA=

775099.5 =6.910509838 112162.419

F B=

512785.056 =4.571808103 112162.419

FC =

279944.889 =2.495888476 112162.419

ANOVA FV

SC

A

1550199 1025570. 11 1119779. 56

B AB

GL

CM 2 775099.5 512785.0 2 56 279944.8 4 89

Fo

FISHER 6.91

0.002

4.57

0.016

2.5

0.056

Error Total

5047308. 83 8742857. 5

112162.4 45 19 53