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• Samuel Perez

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Sección 8-5 | Análisis de mallas (lazos)

235

La corriente I2 es negativa, lo cual simplemente significa que la dirección real de la corriente es opuesta a la que se seleccionó. Aunque la red puede analizarse usando las direcciones de corrientes supuestas, es más fácil entender la operación del circuito cuando se muestran las direcciones reales, como en la figura 8-20. R3 = 1

a " R2 !

I2 I1

5A

! R1 "

2

I3 E1

"

c !

3 E2

d 8V

6V

I4

b I2 = 1.00 A I3 = 2.00 A I4 = 4.00 A FIGURA 8-20

Si se usa la dirección real de I2, Vab 5 1(2

)(1 A) 5 12.00V

Use el análisis de corriente de rama para calcular las corrientes que se indican en el circuito de la figura 8-21.

PROBLEMAS PRÁCTICOS 2

2 I1 6V

4V 2 4V

I2 3

1 I3 8V

FIGURA 8-21 Respuestas I1 5 3.00 A, I2 5 4.00 A, I3 5 1.00 A

En la sección anterior se usaron las leyes de Kirchhoff para conocer las corrientes en cada rama de una determinada red. Mientras que los métodos que se usaron fueron relativamente simples, el análisis de corriente de rama es algo inconveniente porque involucra resolver varias ecuaciones lineales simultáneas. No es difícil observar que el número de ecuaciones puede ser grande aun para un circuito relativamente simple. Un mejor enfoque que se usa ampliamente en redes bilaterales lineales se llama análisis de mallas (lazos). Aunque la técnica es similar al análisis de co-

8-5 Análisis de mallas (lazos)

236

Capítulo 8 | Métodos de análisis

rriente de rama, el número de ecuaciones lineales simultáneas es menor. La diferencia principal entre el análisis de mallas y el de ramas es que simplemente se necesita aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff alrededor de los lazos cerrados sin la necesidad de aplicar la ley de corriente de Kirchhoff. Los pasos que se usan para resolver un circuito con el análisis de mallas son los siguientes: 1. Se asigna de manera arbitraria una corriente en el sentido en que se mueven las manecillas del reloj en cada lazo cerrado en la red. Aunque la corriente asignada puede tener cualquier dirección, se usa la dirección en la que avanzan las manecillas del reloj para hacer el trabajo posterior más simple. 2. Se usan las corrientes de lazo asignadas para indicar las polaridades de voltaje en todos los resistores del circuito. Para un resistor que es común a dos lazos, la polaridad de la caída de voltaje debida a cada corriente de lazo debe estar indicada en el lado apropiado del componente. 3. Al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff se plantean las ecuaciones de lazo en cada lazo de la red. Recuerde que los resistores que son comunes a dos lazos tienen dos caídas de voltaje debidas a cada lazo. 4. Se resuelven las ecuaciones lineales simultáneas. 5. Las corrientes de rama se determinan combinando de manera algebraica las corrientes de lazo que son comunes a la rama.

EJEMPLO 8-10

Determine la corriente en cada rama para el circuito de la figura 8-22. R1 = 2 !

E1 6V

R3 = 4 "

! R2 "

!

" 2 !

I1

"

I2 E2

E3 2V

4V

FIGURA 8-22

Solución Paso 1: se asignan las corrientes de lazo como se muestra en la figura 8-22, las cuales se designan como I1 e I2. Paso 2: las polaridades de voltaje se asignan de acuerdo con las corrientes de lazo. Observe que el resistor R2 tiene dos polaridades de voltaje debido a las corrientes de lazos diferentes. Paso 3: se plantean las ecuaciones de lazo aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff en cada lazo. Las ecuaciones son las siguientes: Lazo 1: Lazo 2:

6 V 2 (2 4 V 2 (2

)I1 2 (2 )I2 1 (2

)I1 1 (2 )I1 2 (4

)I2 2 4 V 5 0 )I2 1 2 V 5 0

Observe que el voltaje en R2 debido a las corrientes I1 e I2 está indicado como dos términos separados, donde uno de ellos representa la caída de voltaje en la dirección de I1 y el otro representa una elevación de voltaje en la misma dirección. La magnitud y polaridad del voltaje en R2 se determina por el valor y la dirección de las corrientes de lazo reales. Las ecuaciones de lazos anteriores pueden simplificarse como sigue: Lazo 1: Lazo 2:

(4 2(2

)I1 2 (2 )I1 1 (6

)I2 5 2 V )I2 5 6 V

Sección 8-5 | Análisis de mallas (lazos) Se usan determinantes para resolver fácilmente las ecuaciones de lazo como sigue

I1

2

2

6 4 2

6 2 6

12 24

12 4

24 20

1.20 A

24 24

4 4

28 20

1.40 A

y 4 2 2 6 4 2

I2

2

6

De acuerdo con los resultados anteriores se observa que las corrientes a través de los resistores R1 y R3 son I1 e I2 respectivamente. La corriente de rama para R2 se determina al combinar las corrientes de lazo a través del resistor: IR2 5 1.40 A 2 1.20 A 5 0.20 A (hacia arriba) Los resultados que se obtienen al usar el análisis de mallas son exactamente iguales que los obtenidos mediante el análisis de corrientes de rama. Mientras que este último análisis requirió tres ecuaciones, el primero requiere la solución de sólo dos ecuaciones lineales simultáneas. El análisis de mallas requiere que sólo se aplique la ley de voltajes de Kirchhoff, e ilustra con claridad por qué se le prefiere más que el análisis de corriente de rama.

Si el circuito que se analiza contiene fuentes de corriente, el procedimiento es algo más complicado. El circuito puede simplificarse al convertir la(s) fuente(s) de corriente a fuentes de voltaje y entonces se resuelven las redes resultantes con el procedimiento que se mostró en el ejemplo anterior. De manera alternativa puede no desearse alterar el circuito, en cuyo caso la fuente de corriente proporcionará una de las corrientes de lazo.

Determine la corriente a través de la batería de 8 V para el circuito que se muestra en la figura 8-23.

EJEMPLO 8-11

R3

a

1 R2 I

5 A R1

3

2 E1

E2

6V

8V

b

R

2

E

10 V

FIGURA 8-23

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238

Capítulo 8 | Métodos de análisis Solución Se convierte la fuente de corriente en una fuente de voltaje equivalente. El circuito equivalente puede ahora analizarse usando las corrientes de lazo que se observan en la figura 8-24. R3 = 1

a

! 2

R

"

!

!

R2 "

E 10 V

I1

"

" 3 ! I2

8V

E1

E2 6V

b FIGURA 8-24

Lazo 1: Lazo 2:

210 V 2 (2 8 V 2 (3

)I1 2 (3 )I2 1 (3

)I1 1 (3 )I1 2 (1

)I2 2 8 V 5 0 )I2 2 6 V 5 0

Al volver a escribir las ecuaciones lineales, se obtiene lo siguiente: (5 )I1 2 (3 )I2 5 218 V 2(3 )I1 1 (4 )I2 5 2 V

Lazo 1: Lazo 2:

Se resuelven las ecuaciones usando determinantes y se obtiene lo siguiente:

I1

I2

18

3

2 5 3

4 3 4

5 3

18 2 11

66 11

6.00 A

44 11

4.00 A

Si se supone que la dirección de la corriente en la batería de 8 V es la de I2, entonces, I 5 I2 2 I1 5 24.00 A 2 (26.00 A) 5 2.00 A La dirección de la corriente resultante es igual que la de I2 (hacia arriba).

El circuito de la figura 8-23 también puede analizarse sin convertir la fuente de corriente en una fuente de voltaje. Aunque este método por lo general no se usa, el siguiente ejemplo ilustra la técnica.

Determine la corriente a través de R1 para el circuito de la figura 8-25.

EJEMPLO 8-12

R3 = 1 ! ! I

5A I1

! " R1 2 " !

R2 "

I3

I2 E1

FIGURA 8-25

"

" 3 ! 8V

E2 6V

Sección 8-5 | Análisis de mallas (lazos)

Solución Por inspección se observa que la corriente de lazo I1 5 25 A. Las ecuaciones de malla para los otros dos lazos son: Lazo 2: Lazo 3:

2(2

)I2 1 (2 8 V 2 (3

)I1 2 (3 )I3 1 (3

)I2 1 (3 )I2 2 (1

)I3 2 8 V 5 0 )I3 2 6 V 5 0

Aunque es posible analizar el circuito resolviendo tres ecuaciones lineales, es más fácil sustituir el valor conocido I1 5 25A en la ecuación de malla para el lazo 2, con lo cual se puede escribir ahora como: Lazo 2:

2(2

)I2 2 10 V 2 (3

)I2 1 (3

)I3 2 8 V 5 0

Las ecuaciones de lazo se simplifican ahora como (5 )I2 2 (3 )I3 5 218 V 2(3 )I2 1 (4 )I3 5 2 V

Lazo 2: Lazo 3:

Las ecuaciones lineales simultáneas se resuelven como sigue:

I2

I3

18 2

3 4

5 3

3 4

5 3

18 2 11

66 11

6.00 A

44 11

4.00 A

Los valores calculados de las corrientes de referencia supuestas permiten determinar la corriente real a través de los diversos resistores como sigue: IR1 5 I1 2 I2 5 25 A 2 (26 A) 5 1.00 A hacia abajo IR2 5 I3 2 I2 5 24 A 2 (26 A) 5 2.00 A hacia arriba IR3 5 2I3 5 4.00 A a la izquierda Estos resultados son consistentes con los que se obtuvieron en el ejemplo 8-9.

Método sistemático para el análisis de mallas Se usa una técnica muy simple para plantear las ecuaciones de malla de cualquier red bilateral lineal. Cuando se usa este método sistemático, las ecuaciones lineales simultáneas para una red que tiene n lazos independientes se presenta como: R11I1 2 R12I2 2 R13I3 2 … 2 R1n In 5 E1 2R21I1 1 R22I2 2 R23I3 2 … 2 R2n In 5 E2  2Rn1I1 2 Rn2I2 2 Rn3I3 2 … 1 Rnn In 5 En

Los términos R11, R22, R33, . . . , Rnn representan la resistencia total en cada lazo y se encuentran simplemente sumando todas las resistencias en un lazo particular. Los restantes términos de resistencia se llaman términos de resistencia mutua, y representan la resistencia compartida entre dos lazos. Por ejemplo, la resistencia mutua R12 es la que existe en el lazo 1, la cual está localizada en la rama entre el lazo 1 y el lazo 2. Si no hay resistencia entre dos lazos, este término será cero. Los términos que contienen R11, R22, R33, . . . , Rnn son positivos y todos los términos de resistencia mutua son negativos. Esta característica ocurre debido a que se supone que todas las corrientes se mueven en la misma dirección que las manecillas del reloj.

239

240

Capítulo 8 | Métodos de análisis

Si las ecuaciones lineales se escriben en forma correcta, se encontrará que los coeficientes en la diagonal principal (R11, R22, R33, . . . , Rnn) serán positivos. Todos los demás coeficientes serán negativos. También los términos serán simétricos con respecto a la diagonal principal, esto es, R12 5 R21. Los términos E1, E2, E3, . . . , En son la suma de las elevaciones de voltaje en la dirección de las corrientes de lazo. Si una fuente de voltaje aparece en la rama compartida por dos lazos, se incluirá en el cálculo de las elevaciones de voltaje para cada lazo. El método sistemático que se usa para el análisis de mallas es el siguiente: 1. Convierta las fuentes de corriente en fuentes de voltaje equivalentes. 2. Asigne las corrientes en el sentido de las manecillas del reloj a cada lazo cerrado independiente en la red. 3. Plantee las ecuaciones lineales simultáneas en el formato descrito. 4. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas.

Determine las corrientes a través de R2 y R3 en el circuito de la figura 8-26.

EJEMPLO 8-13

Solución Paso 1: aunque se observa que el circuito tiene una fuente de corriente, puede no ser evidente de inmediato la manera en que puede convertirse en una fuente de voltaje equivalente. Al volver a dibujar el circuito en una forma más fácil de observar, como se muestra en la figura 8-27, se observa que la fuente de corriente de 2 mA está en paralelo con un resistor de 6 k . La conversión de la fuente también se ilustra en la figura 8-27.

a

R4

R1 R2

12 k 5k

R5

4k

E1

10 V

E2

8V

10 k 6k

R3

2 mA

b

R1

R4

10 k

12 k

a

R2

5k IR2

IR3 R5

6k

4k R3

6k

12 V

2 mA E1

10 V E2

8V

b FIGURA 8-26

FIGURA 8-27

Sección 8-5 | Análisis de mallas (lazos) Paso 2: al volver a dibujar el circuito se simplifica aún más, en él se marcan algunos de los nodos, en este caso a y b. Después de realizar la conversión de la fuente, se tienen los dos lazos que se observan en la figura 8-28. También se ilustran las direcciones de las corrientes I1 e I2.

a R1 = 10 k

R4 = 12 k R2

6k

5k

I1 12 V

R5 I2

E1

10 V

E2

4k 8V

b FIGURA 8-28

Paso 3: Las ecuaciones de lazo son: Lazo 1: Lazo 2:

(6 k 1 10 k 1 5 k )I1 2 (5 k )I2 5 212 V 2 10 V 2(5 k )I1 1 (5 k 1 12 k 1 4 k )I2 5 10 V 1 8 V

En el lazo 1 ambos voltajes son negativos, ya que aparecen como caídas de voltaje cuando se sigue la dirección de la corriente de lazo. Estas ecuaciones se vuelven a escribir como (21 k )I1 2 (5 k )I2 5 222 V 2(5 k )I1 1 (21 k )I2 5 18 V Paso 4: para simplificar la solución de las ecuaciones lineales anteriores, se puede eliminar las unidades (k y V) de los cálculos. Por inspección se observa que la unidad para la corriente debe estar en miliamperes. Al resolver para conocer las corrientes I1 e I2 resulta en: I1 5 20.894 mA y I2 5 0.644 mA La corriente a través del resistor R2 se determina con facilidad como I2 2 I1 5 0.644 mA 2 (20.894 mA) 5 1.54 mA (hacia arriba) La corriente a través de R3 no se encuentra tan fácilmente. Un error común es decir que la corriente en R3 es la misma que fluye a través del resistor de 6 k en el circuito de la figura 8-28. Este no es el caso, y ya que este resistor fue parte de la conversión de la fuente, ya no está ubicado en el mismo lugar que en el circuito original. Aunque existen varias formas de encontrar la corriente requerida, el método que se usa aquí aplica la ley de Ohm. Si se examina la figura 8-26, se observa que el voltaje en R3 es igual que Vab. A partir de la figura 8-28, se ve que Vab se determina con el valor que se calculó de I1. Vab 5 2(6 k )I1 2 12 V 5 2(6 k )(20.894 mA) 2 12 V 5 26.64 V El cálculo anterior indica que la corriente a través de R3 va hacia arriba (ya que el punto a es negativo con respecto al punto b). La corriente tiene una valor de 6.64 V IR 3 5 }} 5 1.11 mA 6k

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Capítulo 8 | Métodos de análisis PROBLEMAS PRÁCTICOS 3

Use el análisis de mallas para determinar las corrientes de lazo de la figura 8-29. Respuestas I1 5 3.00 A, I2 5 2.00 A, I3 5 5.00 A

4 3V

I1

3 10 V

I2

2

9 9V

I3

1

14 V

FIGURA 8-29

8-6 Análisis de nodos

En la sección anterior se aplicó la ley de voltaje de Kirchhoff para obtener las corrientes de lazo en una red. En esta sección se aplicará la ley de corriente de Kirchhoff para determinar la diferencia de potencial (voltaje) en cualquier nodo con respecto a algún punto de referencia arbitrario en una red. Una vez que los potenciales de todos los nodos se conocen, es una cuestión simple determinar otras cantidades, como la corriente y la potencia dentro de la red. Los pasos que se siguen para resolver un circuito mediante el análisis de nodos son los siguientes: 1. Asigne de manera arbitraria un nodo de referencia dentro del circuito e indíquelo como tierra. El nodo de referencia, por lo general, se ubica en la parte inferior del circuito, aunque puede estar localizado en cualquier lugar. 2. Convierta cada fuente de voltaje en la red en su fuente de corriente equivalente. Este paso, aunque no es absolutamente necesario, hace los cálculos posteriores más fáciles de entender. 3. Asigne de manera arbitraria los voltajes (V1, V2, . . . , Vn) a los restantes nodos en el circuito. (Recuerde que ya se ha asignado un nodo de referencia, de manera que esos voltajes estarán en relación con la referencia seleccionada.) 4. Asigne de manera arbitraria una dirección de corriente a cada rama en la cual no haya fuente de corriente. Use las direcciones de corriente asignadas para indicar las correspondientes polaridades de las caídas de voltaje en todos los resistores. 5. Con excepción del nodo de referencia (tierra), aplique la ley de corriente de Kirchhoff en cada uno de los nodos. Si un circuito tiene un total de n 1 1 nodos (incluido el nodo de referencia), habrá n ecuaciones lineales simultáneas. 6. Vuelva a escribir cada una de las corrientes asignadas de manera arbitraria en términos de la diferencia de potencial en una resistencia conocida. 7. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas resultantes para los voltajes (V1, V2, . . . , Vn).

Sección 8-6 | Análisis de nodos En el circuito de la figura 8-30, use el análisis de nodos para calcular el voltaje Vab.

R2 40 I2 = 50 mA

200 mA R3

I3

30

a R3 I1

30

R1 20

200 mA

b E

6V

FIGURA 8-30

Solución Paso 1: selecciones un nodo de referencia conveniente. Paso 2: convierta todas las fuente de voltaje en fuentes de corriente equivalentes. El circuito resultante se muestra en la figura 8-31.

I2 ! R2 " 40 V1

V2 I1 !

I3

50 mA

R1 20 200 mA "

! R3 200 mA "

30

(Referencia) FIGURA 8-31

Pasos 3 y 4: asigne de manera arbitraria los voltajes de nodo y las corrientes de rama. Indique las polaridades de voltaje en todos los resistores de acuerdo con las direcciones de corriente supuestas. Paso 5: ahora se aplica la ley de corriente de Kirchhoff en los nodos marcados como V1 y V2: Nodo V1:

# Ique entra 5 # Ique sale 200 mA 1 50 mA 5 I1 1 I2

Nodo V2:

# Ique entra 5 # Ique sale 200 mA 1 I2 5 50 mA 1 I3

EJEMPLO 8-14

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Capítulo 8 | Métodos de análisis

Sugerencia para el uso de la calculadora: la calculadora TI-86 es capaz de trabajar fácilmente con las ecuaciones lineales de este ejemplo sin tener que realizar cálculos intermedios. El siguiente paso muestra que al usar la función inversa (x21), los coeficientes de la primera ecuación pueden ingresarse en forma directa en la calculadora.

Paso 6: las corrientes se vuelven a escribir en términos de los voltajes en los resistores como sigue: V1 I1 5 }} 20 V1 2 V2 I2 5 }} 40 V2 I3 5 }} 30 Y las ecuaciones de nodos son V1 V1 2 V2 200 mA 1 50 mA 5 }} 1 }} 20 40 V1 2 V2 V2 200 mA 1 }} 5 50 mA 1 }} 40 30 Al sustituir las expresiones de voltaje en las ecuaciones de nodo originales, se tienen las siguientes ecuaciones lineales simultáneas:

!

! 1 1 }} 1 }}!V 5 0.15 A 30 40

1 1 1 }} 1 }} V1 2 }} V2 5 0.25 A 20 40 40 Después de introducir los coeficientes de la segunda ecuación, se obtiene la solución como sigue:

!

1 2 }} V1 1 40

2

Si regresamos al circuito original de la figura 8-30, se observa que el voltaje V2 es igual que el voltaje Va, esto es Por tanto, las soluciones de las ecuaciones lineales dadas son, V1 5 4.89 V y V2 5 4.67 V

Va 5 4.67 V 5 6.0 V 1 Vab Por tanto, el voltaje Vab se encuentra simplemente como Vab 5 4.67 V 2 6.0 V 5 21.33 V

EJEMPLO 8-15

Determine los voltajes de nodo para el circuito que se muestra en la figura 8-32.

R2 = 3

R1 5

2A

R3 4

R4 6

6

3A

18 V

FIGURA 8-32

Solución Al seguir los pasos descritos, el circuito puede volver a dibujarse como se muestra en la figura 8-33.