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• pedroaparicio1103

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3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS

3.1.

INTRODUCCIÓN Los métodos de análisis de nodos y mallas son herramientas que permiten la aplicación organizada y sistemática de las leyes de Kirchhoff (KVL y KCL) para resolver problemas complejos. En el análisis por nodos se parte de la aplicación de KCL a cada nodo del circuito para encontrar al final todos los voltajes de nodo del circuito. Para que el sistema de ecuaciones sea consistente debe haber una ecuación por cada nodo. Así el número de incógnitas (voltajes de nodo) es igual al número de ecuaciones (una por nodo). En el análisis de mallas se parte de la aplicación de KVL a un conjunto mínimo de mallas para encontrar al final todas las corrientes de malla. A partir de las corrientes de malla es posible encontrar todas las corrientes de rama. El número de mallas que se pueden plantear en un circuito puede ser muy grande, pero lo importante es que el sistema de ecuaciones represente un conjunto mínimo de mallas. Este conjunto mínimo es cualquiera en el cual todos los elementos (ramas) hayan sido tenidos en cuenta en al menos una malla. Las otras posibles mallas serán entonces redundantes. Aquí también el número de incógnitas (corrientes de malla) debe ser igual al número de ecuaciones (una por malla del conjunto mínimo). Una vez que se conocen todos los voltajes de nodo o todas las corrientes de malla es muy fácil calcular cualquier información acerca del circuito: voltajes, corrientes, potencia, etc.

3.2.

ANÁLISIS POR NODOS De acuerdo al tipo de circuito y la forma en que se seleccione el nodo de referencia se pueden tener distintas posibilidades de conexión de las fuentes:

•

Fuentes de corriente independientes

•

Fuentes de corriente controladas

•

Fuentes de voltaje independientes a tierra

•

Fuentes de voltaje independientes flotantes

45

3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS

•

Fuentes de voltaje controladas a tierra

•

Fuentes de voltaje controladas flotantes Según lo anterior hay varias maneras de resolver un circuito por el método de nodos. El método que llamaremos general aplica a los casos de circuitos con fuentes de corriente independientes y fuentes de voltaje independientes a tierra. Este método NO aplica a los circuitos que tienen:

1. fuentes flotantes de voltaje (se usa el método de supernodos) 2. fuentes controladas de corriente o voltaje (se deben escribir las ecuaciones de dependencia de la variable controlada y controladora) Si el circuito solo tiene fuentes de corriente independientes entonces se aplica el método general por el sistema llamado de inspección.

3.3.

ANÁLISIS POR MALLAS De acuerdo al tipo de circuito y la forma en que se seleccionen las mallas se pueden tener distintas posibilidades de conexión de las fuentes:

•

Fuentes de corriente controladas

•

Fuentes de voltaje independientes

•

Fuentes de voltaje controladas

•

Fuentes de corriente independientes no compartidas por varias mallas

•

Fuentes de corriente independientes compartidas por varias mallas Según lo anterior hay varias maneras de resolver un circuito por el método de mallas. El método que llamaremos general aplica a los casos de circuitos con fuentes de voltaje independientes y fuentes de corriente independientes no compartidas por varias mallas. Este método NO aplica a los circuitos que tienen:

1. Fuentes de corriente independientes compartidas por varias mallas (se usa el método de supermalla) 2. fuentes controladas de corriente o voltaje (se deben escribir las ecuaciones de dependencia de la variable controlada y controladora) Si el circuito solo tiene fuentes de voltaje independientes entonces se aplica el método general por el sistema llamado de inspección. El número mínimo de lazos independientes que hay que definir para tener un sistema de ecuaciones linealmente independientes que se deben tener está dado por la siguiente relación: # Lazos independiente = # ramas – # nodos + 1

46

3.3. ANÁLISIS POR MALLAS

Para que un conjunto de lazos sea independiente se requiere que en cada uno de ellos exista al menos un elemento que haga parte de los otros lazos.

Ejemplo 3-1. Identificación de Lazos y Mallas. Para el circuito de la Figura 3-1:

Figura 3-1 a) Identificar los nodos y las ramas. b) Dibujar o identificar todos los lazos diferentes posibles. c) Dibujar o identificar todas las mallas. d) Dibujar o identificar un conjunto de lazos independientes que sea diferente al conjunto de mallas.

Solución

Figura 3-2 Parte a) Este circuito tiene cuatro nodos que hemos denominado en la Figura 3-2 A, B, C y D. Nótese que los quiebres de las líneas no constituyen necesariamente nodos, pues no siempre hay unión de dos o más ramas. Tenemos seis ramas: AD, AB, AC, BC, CD y BD.

47

3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS

Parte b) Los lazos son los caminos cerrados del circuito. En este caso serían: ABDA, ABCA, CBDB, ACDA, ACBDA, CABDC, ADCBA. Parte c) El número de mallas es igual al de lazos independientes: # mallas = # lazos independientes = # ramas – # nodos + 1 = 6 – 4 + 1 = 3 Estas mallas son los lazos que no contienen otros lazos a su interior: ABDA, ABCA y CBDB. Parte d) Para tener un conjunto de lazos independientes se requiere que al menos una rama de cada lazo no pertenezca a los otros lazos que conformarán los lazos independientes. Como nos piden un conjunto de lazos independientes ya sabemos que deben ser tres (como el número de mallas). Podemos comenzar por seleccionar un lazo cualquiera y luego ir buscando otros que sean independientes. Vamos a seleccionar el lazo inicial ABDA. Como no hemos adicionado ningún otro lazo al conjunto es evidente que este es independiente. Ahora seleccionamos el segundo lazo independiente haciendo que una de sus ramas no esté en el primer lazo ABDA. Un candidato puede ser ABCA ya que la rama BC no está en el primer lazo. Ahora hay que seleccionar un tercer lazo que tenga una rama que no esté en los dos primeros. El lazo exterior ACDA tiene la rama CD que no está en los dos lazos anteriores, de manera que así tenemos el conjunto deseado de tres lazos independientes. Evidentemente este método para encontrar los lazos independientes es más complejo que el de la mallas.

48

3.3. ANÁLISIS POR MALLAS

Ejemplo 3-2. Análisis por Mallas. Encontrar el sistema de ecuaciones de mallas para el siguiente circuito. Este ejemplo está basado en un ejercicio de simulación mostrado.

Figura 3-3

Solución Malla 1:

V EA + V AD + VDB + V BE = 0

− VS 1 + R ⋅ I AD + R ⋅ I DB + VS 2 = 0 − V S 1 + R ⋅ (I 1 ) + R ⋅ ( I 1 − I 2 ) + V S 2 = 0 − VS1 + I1 ⋅ (2 R ) + I 2 ⋅ (− R ) + VS 2 = 0

(2 R ) ⋅ I1 + (− R ) ⋅ I 2 = VS1 − VS 2 Malla 2:

V EB + VBD + VDC + VCE = 0

49

3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS

− VS 2 + R ⋅ I BD + R ⋅ I DC + VS 3 = 0 − VS 2 + R ⋅ (− I 1 + I 2 ) + R ⋅ (I 2 ) + VS 3 = 0 − VS 2 + I1 ⋅ (− R ) + I 2 ⋅ (2 R ) + VS 3 = 0

(− R ) ⋅ I1 + (2 R ) ⋅ I 2 = VS 2 − VS 3 Ecuación Matricial:

(2 R ) ⋅ I1 + (− R ) ⋅ I 2 = VS1 − VS 2 (− R ) ⋅ I1 + (2 R ) ⋅ I 2 = VS 2 − VS 3 ⎡ 2 R − R ⎤ ⎡ I 1 ⎤ ⎡VS 1 − VS 2 ⎤ ⎢− R 2 R ⎥ ⎢ I ⎥ = ⎢V − V ⎥ ⎣ ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ S2 S3 ⎦ Solución Ecuación Matricial: −1

⎡ I1 ⎤ ⎡ 2 R − R ⎤ ⎡VS1 − VS 2 ⎤ ⎢ I ⎥ = ⎢− R 2 R ⎥ ⎢V − V ⎥ S3 ⎦ ⎦ ⎣ S2 ⎣ 2⎦ ⎣ ⎡ I1 ⎤ ⎛ ⎡2 R R ⎤ ⎞ ⎡VS1 − VS 2 ⎤ 1 ⎢ I ⎥ = ⎜⎜ 4 ⋅ R 2 − R 2 ⎢ R 2 R ⎥ ⎟⎟ ⎢V − V ⎥ ⎣ ⎦ ⎠⎣ S 2 S3⎦ ⎣ 2⎦ ⎝

(

)

⎡ I1 ⎤ ⎛ 1 ⎡2 1 ⎤ ⎞ ⎡VS1 − VS 2 ⎤ ⎢ I ⎥ = ⎜⎜ ⎢1 2⎥ ⎟⎟ ⎢V − V ⎥ R 3 ⎣ ⎦ ⎠⎣ S 2 S3 ⎦ ⎣ 2⎦ ⎝ ⎡ I1 ⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎡ 2VS1 − VS 2 − VS 3 ⎤ ⎢ I ⎥ = ⎜ 3R ⎟ ⎢V + V − 2V ⎥ S2 S3⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎝ ⎠⎣ S1 ⎡ I1 ⎤ ⎡(2VS 1 − VS 2 − VS 3 ) / 3R ⎤ ⎢ I ⎥ = ⎢(V + V − 2V ) / 3R ⎥ S2 S3 ⎣ 2 ⎦ ⎣ S1 ⎦ VED = VEA + VAD = VE − VD VD = −VAD − VEA

VD = −( R ⋅ I AD ) − (−VS1 ) VD = − R ⋅ I1 + VS 1 VD = − R ⋅ [(2VS 1 − VS 2 − VS 3 ) / 3R ] + VS 1 VD = −[(2VS 1 − VS 2 − VS 3 ) / 3] + VS 1 VD = (VS 1 + VS 2 + VS 3 ) / 3

50

3.3. ANÁLISIS POR MALLAS

Ejemplo 3-3. Análisis por Mallas. Encontrar el sistema de ecuaciones de mallas para el siguiente circuito.

Figura 3-4

Solución Malla 1:

V EA + V AB + V BE = 0

− V0 + R1 ⋅ I AB + R2 ⋅ I BE = 0 − V0 + R1 ⋅ (I M 1 ) + R2 ⋅ (I M 1 − I M 2 ) = 0 − V0 + I M 1 (R1 + R2 ) + I M 2 (− R2 ) = 0 I M 1 (R1 + R2 ) + I M 2 (− R2 ) = V0 Malla 2:

V EB + VBC + VCE = 0 R2 ⋅ I EB + V1 + R3 ⋅ I CE = 0 R2 ⋅ (I M 2 − I M 1 ) + V1 + R3 ⋅ (I M 2 − I M 3 ) = 0 I M 1 (− R2 ) + I M 2 (R2 + R3 ) + I M 3 (− R3 ) = −V1 Malla 3:

V EC + VCD + V DE = 0 R3 ⋅ I EC + R4 ⋅ I CD − V2 = 0 R3 ⋅ (I M 3 − I M 2 ) + R4 ⋅ (I M 3 ) − V2 = 0 I M 2 (− R3 ) + I M 3 (R3 + R4 ) = V2 En forma matricial:

51

3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS

⎡ R1 + R2 ⎢ −R 2 ⎢ ⎢⎣ 0

− R2

⎤ ⎡ I M 1 ⎤ ⎡ V0 ⎤ − R3 ⎥⎥ ⎢⎢ I M 2 ⎥⎥ = ⎢⎢− V1 ⎥⎥ R3 + R4 ⎥⎦ ⎢⎣ I M 3 ⎥⎦ ⎢⎣ V2 ⎥⎦ 0

R2 + R3 − R3

Ejemplo 3-4. Análisis por Lazos, Mallas (supermalla) y Variable Auxiliar. Encontrar un sistema de ecuaciones para el siguiente circuito y calcular la corriente IM1. •

En el caso (a) hacerlo usando las dos mallas y la variable auxiliar Vx.

•

En el caso (b) hacerlo usando las corrientes de malla y la supermalla indicadas.

•

En el caso (c) usar las corrientes de lazo indicadas.

(a)

(b)

(c)

Figura 3-5

Solución Método figura (a) Se define una variable auxiliar de voltaje Vx en la fuente de corriente compartida por las dos mallas y se plantean las siguientes ecuaciones: Restricción: I L = I m 2 − I m1

Malla 1: I m1R1 + V X = 0

Malla 2:

− V X + I m 2 R2 = 0 V X = I m 2 R2 Reemplazando Vx en la malla 1 tenemos:

I m1 R1 + I m 2 R2 = 0

52

3.3. ANÁLISIS POR MALLAS

Esta ecuación más la de la restricción en forma matricial será:

⎡− 1 1 ⎤ ⎡ I M 1 ⎤ ⎡ I L ⎤ ⎢ R R ⎥ ⎢I ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ 2 ⎦⎣ M 2 ⎦ ⎣ 1 Método figura (b): Se tienen dos ecuaciones: una de la restricción de corriente en la fuente y otra calculando KVL para el camino definido por la supermalla pero usando las corrientes de malla definidas. Restricción: I L = I m 2 − I m1

Supermalla:

I m1 R1 + I m 2 R2 = 0 Forma matricial:

⎡− 1 1 ⎤ ⎡ I M 1 ⎤ ⎡ I L ⎤ ⎢ R R ⎥ ⎢I ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ 2 ⎦⎣ M 2 ⎦ ⎣ 1 Ahora podemos calcular Im1 así:

IL I M1 =

1

0 R2 − I S RL = −1 1 R1 + R2 R1 R2 I M1 =

− I L R2 R1 + R2

Método figura (c) Malla 1:

I m1R1 + (I m 2 + I m1 )R2 = 0 I m1 (R1 + R2 ) + I m 2 R2 = 0

Malla 2: I m2 = I L

Forma matricial:

⎡ R1 + R2 ⎢ 0 ⎣

R2 ⎤ ⎡ I M 1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎥= ⎢ 1 ⎥⎦ ⎣ I M 2 ⎦ ⎢⎣ I L ⎥⎦

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3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS

Ahora podemos calcular Im1 así:

I M1

0 R2 IL 1 − I S RL = = R1 + R2 R2 R1 + R2 0 1 I M1 =

− I L R2 R1 + R2

Nótese que en los tres casos la corriente Im1 vale lo mismo y corresponde a la corriente por R1. Sin embargo en el caso (c) la corriente por R2 corresponde a la suma de dos corrientes de lazo (Im1 + Im2), mientras que en (a) y (b) corresponde directamente a la corriente de malla que pasa por ella (Im2).

Ejemplo 3-5. Análisis por Nodos. El siguiente ejemplo está basado en el ejercicio de simulación mostrado en la siguiente figura. Como se verá los nodos A, B, C y E no requieren la aplicación de KCL y sus valores se calculan directamente. De manera que solo hay que escribir una ecuación de nodos para el nodo D.

Figura 3-6

54

3.3. ANÁLISIS POR MALLAS

Solución Nodo E:

Nodo A: VS1 = V AE = V A − VE = V A

Se toma como referencia VE = 0 Nodo B:

Nodo C: VS 2 = VBE = VB − VE = VB

VS 2 = VCE = VC − VE = VC

Nodo D: I AD + I BD + I CD = 0 V AD VBD VCD + + =0 R R R V AD + VBD + VCD = 0

(V A − VD ) + (VB − VD ) + (VC − VD ) = 0 V A + VB + VC − 3VD = 0 3VD = V A + VB + VC VD =

V A + VB + VC 3

Ejemplo 3-6. Análisis por Nodos – Fuentes de Voltaje a Tierra. Encontrar el sistema de ecuaciones de nodos para el siguiente circuito.

Figura 3-7

Solución En este caso solo los nodos A y B requieren aplicar KCL. Nodo C: Se toma como referencia VC = 0

55

3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS

Nodo E:

Nodo D: V0 = VDC = VD − VC = VD

VE = VL

Nodo A: (corrientes que salen igual a cero) I AD + I AC + I AB = 0 V AD V AC V AB + + =0 R1 R4 R2 V A − VD V A − VC V A − VB + + =0 R1 R4 R2 ⎛ 1 1 1 ⎞ VB VD VC ⎟⎟ − V A ⎜⎜ + − − =0 + ⎝ R1 R2 R4 ⎠ R2 R1 R4 ⎛ −1⎞ V ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎟⎟ + VB ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 V A ⎜⎜ + + ⎝ R2 ⎠ R1 ⎝ R1 R4 R2 ⎠

Nodo B: (corrientes que salen igual a cero) I BA + I BC + I BE = 0 ⎛ 1 ⎛ 1 ⎞ 1 1 ⎞ VL ⎟⎟ = ⎟⎟ + VB ⎜⎜ + + V A ⎜⎜ − ⎝ R2 ⎠ ⎝ R2 R3 R5 ⎠ R3

En forma matricial:

⎡(1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R4 ) ⎢ − 1 / R2 ⎣

− 1 / R2 ⎤ ⎡V A ⎤ ⎡VO / R1 ⎤ = (1 / R2 + 1 / R3 + 1 / R5 )⎥⎦ ⎢⎣VB ⎥⎦ ⎢⎣VL / R3 ⎥⎦

Ejemplo 3-7. Análisis por Nodos – Fuentes de Voltaje a Tierra y Fuentes de Corriente. Encontrar el sistema de ecuaciones de nodos para el siguiente circuito.

Figura 3-8

56

3.3. ANÁLISIS POR MALLAS

Solución Nodo C:

Nodo D:

Se toma como referencia VC = 0

V0 = VD

En este caso solo los nodos A y B requieren aplicar KCL. Nodo A: (corrientes que salen igual a cero)

I AD + I AC + I AB = 0 V AD V AC V AB + + =0 R1 R4 R2

(V A − V D ) (V A − VC ) (V A − V B ) R1

+

R4

+

R2

=0

⎛ 1 1 1 ⎞ V B V D VC ⎟⎟ − V A ⎜⎜ − − =0 + + ⎝ R1 R4 R2 ⎠ R2 R1 R4 ⎛ −1⎞ V ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎟⎟ + V B ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 V A ⎜⎜ + + ⎝ R 2 ⎠ R1 ⎝ R1 R2 R4 ⎠ Nodo B: (corrientes que salen igual a cero) I AB + I BC + (− I L ) = 0 VB − V A VB − VC + − IL = 0 R2 R5 ⎛ 1 ⎛ −1 ⎞ 1 ⎞ ⎟⎟ = I L V A ⎜⎜ ⎟⎟ + VB ⎜⎜ + R R R 5 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2

En forma matricial:

⎡(1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R4 ) ⎢ − 1 / R2 ⎣

− 1 / R2

⎤ ⎡V A ⎤ ⎡VO / R1 ⎤ = (1 / R2 + 1 / R5 )⎥⎦ ⎢⎣VB ⎥⎦ ⎢⎣ I L ⎥⎦

57

3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS

Ejemplo 3-8. Análisis por Nodos – Fuentes de Corriente a Tierra o Flotantes. Encontrar el sistema de ecuaciones de nodos para el siguiente circuito.

Figura 3-9

Solución En este caso solo los nodos A, B y D requieren aplicar KCL. Nodo C: Se toma como referencia VC = 0 Nodo A: (corrientes que salen igual a cero) I AD + I AC + I AB = 0 V AD V AC + + IX = 0 R1 R4 V A − VD V A − VC + + IX = 0 R1 R4 V A − VD V A + + IX = 0 R1 R4 ⎛ 1 ⎛ −1⎞ 1 ⎞ ⎟⎟ + VD ⎜⎜ ⎟⎟ = − I X V A ⎜⎜ + ⎝ R1 R4 ⎠ ⎝ R1 ⎠

Nodo B: (corrientes que salen igual a cero) I BA + I BC1 + I BC 2 = 0 − IX +

VBC − IL = 0 R5 VB − VC = I X + IL R5 VB = I X + IL R5

Nodo D: (corrientes que salen igual a cero)

58

3.3. ANÁLISIS POR MALLAS

I DC + I DA = 0 I0 +

VD − V A =0 R1

⎛ −1⎞ ⎛ 1 ⎞ V A ⎜⎜ ⎟⎟ + VD ⎜⎜ ⎟⎟ = − I 0 ⎝ R1 ⎠ ⎝ R1 ⎠

En forma matricial:

0 − 1 / R1⎤ ⎡V A ⎤ ⎡ − I X ⎤ ⎡1 / R1 + 1 / R 4 ⎢ 0 1 / R5 0 ⎥⎥ ⎢VB ⎥ = ⎢ I X + I L ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ − 1 / R1 0 1 / R1 ⎥⎦ ⎣VD ⎦ ⎢⎣− I O ⎥⎦

Ejemplo 3-9. Análisis por Nodos – Fuentes de Voltaje Flotantes. Encontrar el sistema de ecuaciones de nodos para el siguiente circuito.

(a)

(b) Figura 3-10

Solución En este caso se tienen cuatro nodos, de manera que al seleccionar el nodo C como referencia el sistema se reduce a tres nodos: A, B y D. Para el nodo D se escribe la ecuación correspondiente a KCL de la manera tradicional. Sin embargo para los nodos A y B no se puede hacer lo mismo, de manera que tenemos tres incógnitas y una ecuación. Para encontrar dos ecuaciones adicionales se procede a escribir la ecuación de KCL del supernodo (corrientes que entran en la curva gaussiana mostrada) en función de los voltajes de nodo de los nodos A, B y D. La tercera ecuación resulta de la restricción que impone el supernodo: la caída de voltaje en la fuente corresponde a la diferencia de potencial entre los dos nodos A y B. Nodo D: (corrientes que salen igual a cero)

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3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS

I DC + I DA = 0 I0 +

VD − V A =0 R1

⎛ 1 ⎞ ⎛ −1⎞ V A ⎜⎜ ⎟⎟ + VD ⎜⎜ ⎟⎟ = I 0 ⎝ R1 ⎠ ⎝ R1 ⎠

KCL en el supernodo: (corrientes que salen igual a cero) I AD + I AC + I BC − I L = 0 V A − VD V A − VC VB − VC + + − IL = 0 R1 R4 R5 V A − VD V A VB + + = IL R1 R4 R5 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎛ −1⎞ 1 ⎞ ⎟⎟ + VB ⎜⎜ ⎟⎟ + VD ⎜⎜ ⎟⎟ = I L V A ⎜⎜ + ⎝ R1 R4 ⎠ ⎝ R1 ⎠ ⎝ R5 ⎠

Restricción en el supernodo: V A − VB = −V X

En forma matricial:

0 − 1 / R1⎤ ⎡V A ⎤ ⎡ I O ⎤ ⎡ 1 / R1 ⎢1 / R1 + 1 / R 4 1 / R5 − 1 / R1⎥ ⎢V ⎥ = ⎢ I ⎥ ⎥⎢ B ⎥ ⎢ L ⎥ ⎢ ⎢⎣ 1 0 ⎥⎦ ⎣VD ⎦ ⎢⎣− V X ⎥⎦ −1

Ejemplo 3-10. Análisis por Nodos – Supernodos con fuente controlada. Plantear las ecuaciones de nodos para el siguiente circuito.

Figura 3-11

60

3.3. ANÁLISIS POR MALLAS

Solución Dado que el nodo D es tierra y que las fuentes de voltaje (independiente y controlada) tienen una conexión directa a ese nodo las dos fuentes de voltaje son flotantes. Por tanto es necesario plantear un supernodo. Como muestra la siguiente figura un supernodo que tome las dos fuentes al tiempo puede servir.

Figura 3-12 Nodo D: VD = 0

KCL en el supernodo: (corrientes que salen igual a cero) I CD + I BD1 + I BD 2 = 0 VC − VD V − VD − I2 + B =0 R3 R2 VC V − I2 + B = 0 R3 R2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ VB ⎜⎜ ⎟⎟ + VC ⎜⎜ ⎟⎟ = I 2 ⎝ R2 ⎠ ⎝ R3 ⎠

Restricciones: 1) I X = −VB / R2

2) V A − VB = kI X = − k V A − VB + k

VB R2

VB =0 R2

⎛ k ⎞ − 1⎟⎟ = 0 V A + VB ⎜⎜ ⎝ R2 ⎠

61

3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS

3) VB − VC = V1

Poniendo en forma matricial:

⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢⎣0

1 / R2

(k / R2 − 1) 1

1 / R3 ⎤ ⎡V A ⎤ ⎡ I 2 ⎤ 0 ⎥⎥ ⎢VB ⎥ = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ ⎥ − 1 ⎥⎦ ⎣⎢VC ⎦⎥ ⎢⎣V1 ⎥⎦

Ejemplo 3-11. Análisis por Nodos y Mallas. Plantear las ecuaciones de nodos y mallas para el siguiente circuito.

a)

b) Figura 3-13

Solución Parte a: Nodos Nodo D:

Tierra: Vd = 0

Nodo A:

V a = 5V

Nodo B:

Vb = −10V

Nodo C:

KLC:

62

3.3. ANÁLISIS POR MALLAS

Va − Vc Vd − Vc Vb − Vc + + =0 R R R 5 − Vc 0 − Vc − 10 − Vc + + =0 R R R Vc = −

5 3

Parte b: Mallas Malla a:

R (I a + I c ) + R (I a − I b ) + 5 = 0

Malla b:

I b = kI x

2 RI a − RI b + RI c = −5

I x = Ia + Ic

I b = kI a + kI c kI a − I b + kI c = 0 RI x + R(I c + I b ) − 10 = 0

Malla c:

R(I a + I c ) + R(I c + I b ) = 10 RI a + RI b + 2 RI c = 10

A partir de las ecuaciones de mallas se obtiene la siguiente matriz:

⎡ 2 R − R R ⎤ ⎡ I a ⎤ ⎡ − 5⎤ ⎢k − 1 k ⎥⎥ ⎢⎢ I b ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣ R R 2 R ⎥⎦ ⎢⎣ I c ⎥⎦ ⎢⎣ 10 ⎥⎦

Ejemplo 3-12. Análisis por Nodos y Mallas. Para el siguiente circuito:

a. Seleccionar un nodo de referencia y plantear los valores o ecuaciones para los demás nodos para poder describir completamente el sistema. Resolver las ecuaciones resultantes. b. Plantear un sistema de ecuaciones de malla que permita describir el sistema. Resolver las ecuaciones. c. Plantear un sistema de ecuaciones de corrientes de lazo de manera que pase una sola corriente de lazo por la fuente de corriente.

63

3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS

Figura 3-14

Solución Parte a: En la Figura 3-15 se muestran los nodos empleados, se elige como nodo de referencia el nodo B.

Figura 3-15 Ecuaciones de nodos:

64

Nodo B:

Tierra: Vb = 0

Nodo A:

V a = V0

Nodo C:

Vc = −V1

Nodo D:

KLC:

3.3. ANÁLISIS POR MALLAS

I2 +

V d − Vb V d − V c =0 + R2 R1

⎛ 1 1 ⎞ Vc ⎟⎟ − + =0 I 2 + V d ⎜⎜ R R 1 ⎠ R1 ⎝ 2 ⎛ R + R2 ⎞ V ⎟⎟ = − I 2 + c V d ⎜⎜ 1 R1 ⎝ R1 R 2 ⎠ ⎛ R + R2 ⎞ R I + V1 ⎟⎟ = − 1 2 V d ⎜⎜ 1 R1 ⎝ R1 R 2 ⎠ ⎛ RR V d = −⎜⎜ 1 2 ⎝ R1 + R 2 ⎛ R2 V d = −⎜⎜ ⎝ R1 + R 2

⎞⎛ R1 I 2 + V1 ⎞ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ R1 ⎠⎝ ⎠ ⎞ ⎟⎟(R1 I 2 + V1 ) ⎠

Parte b: En la Figura 3-15 se muestran las mallas a utilizar para resolver el sistema. Ecuaciones de mallas:

Malla A:

R0 I a + V0 + V1 = 0 Ia = −

V0 + V1 R0

Restricción:

Ic − Ib = I2

Supermalla:

− V1 + R2 I c + R1 I b = 0 R2 I c + R1 I b = V1

En forma matricial:

⎡ V0 + V1 ⎤ 0 ⎤ ⎡ I a ⎤ ⎢− R ⎥ ⎡1 0 ⎢0 − 1 1 ⎥ ⎢ I ⎥ = ⎢ I 0 ⎥ 2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ b ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 R1 R2 ⎥⎦ ⎢⎣ I c ⎥⎦ ⎢ V1 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Parte c: En la siguiente figura se muestran las mallas a utilizar para resolver el sistema. Aquí Ic es la única corriente de lazo que pasa por la fuente de corriente.

65

3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS

Figura 3-16 Ecuaciones de mallas: R0 I a + V0 + V1 = 0

Malla A:

Ia = − Ic = I2

Malla C: Malla B:

V0 + V1 R0

−V1 + R 2 (I b + I c ) + R1 I b = 0

− V1 + R 2 (I b + I 2 ) + R1 I b = 0

− V1 + I b (R1 + R 2 ) + R 2 I 2 = 0

I b (R1 + R 2 ) = V1 − R 2 I 2 Ib =

V1 − R 2 I 2 R1 + R 2

Ejemplo 3-13. Análisis por Mallas. Para el circuito de la Figura 3-17 encontrar un sistema matricial de mallas de la forma:

⎡ Z 11 ⎢Z ⎣ 21

Z 12 ⎤ ⎡ I 1 ⎤ ⎡V1 ⎤ = Z 22 ⎥⎦ ⎢⎣ I 2 ⎥⎦ ⎢⎣V2 ⎥⎦

Figura 3-17

66

3.3. ANÁLISIS POR MALLAS

Solución Las corrientes empleadas para plantear las ecuaciones de mallas se presentan en la Figura 3-18

Figura 3-18 Ecuaciones de mallas:

I a = I1 Ib = I2 − V1 + Z B ( I a + I c ) + Z A ( I a − I b + I c ) = 0

Malla A:

I a (Z A + Z B ) + I b (− Z A ) + I c (Z A + Z B ) = V1

(1)

− V 2 + Z B (I b − I c ) + Z A (I b − I a − I c ) = 0

Malla B:

I a (− Z A ) + I b (Z A + Z B ) + I c (− Z A − Z B ) = V2

(2)

Z A I c + Z B (I c + I a ) + Z A (I c + I a − I b ) + Z B (I c − I b ) = 0

Malla C:

I a (Z A + Z B ) + I b (− Z A − Z B ) + I c (Z A + Z B + Z A + Z B ) = 0 I a (Z A + Z B ) − I b (Z A + Z B ) + 2 I c (Z A + Z B ) = 0 I a − I b + 2I c = 0 Ic =

Ib − Ia 2

(3)

Reemplazando (3) en (1)

Ib − Ia (Z A + Z B ) = V1 2 Z Z ⎞ Z Z ⎞ ⎛ ⎛ I a ⎜ Z A + Z B − A − B ⎟ + I b ⎜ − Z A + A + B ⎟ = V1 2 2 ⎠ 2 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ Z + ZB ⎞ ⎛ Z − ZA ⎞ I a⎜ A ⎟ + Ib ⎜ B ⎟ = V1 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ I a (Z A + Z B ) + I b (− Z A ) +

( 4)

Reemplazando (3) en (2)

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3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS

Ib − Ia (− Z A − Z B ) = V2 2 Z Z ⎞ Z Z ⎞ ⎛ ⎛ I a ⎜ − Z A + A + B ⎟ + I b ⎜ Z A + Z B − A − B ⎟ = V2 2 2 ⎠ 2 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ Z − ZA ⎞ ⎛ Z + ZB ⎞ Ia ⎜ B ⎟ + Ib ⎜ A ⎟ = V2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ I a (− Z A ) + I b (Z A + Z B ) +

(5)

Con las ecuaciones (4) y (5) se obtiene el siguiente sistema matricial:

⎡1 ⎢ 2 (Z A + Z B ) ⎢1 ⎢ (Z B − Z A ) ⎣2

3.4.

1 (Z B − Z A )⎤⎥ ⎡ I 1 ⎤ ⎡V1 ⎤ 2 ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ 1 (Z A + Z B )⎥ ⎣ I 2 ⎦ ⎣V2 ⎦ 2 ⎦

GLOSARIO

Fuente flotante

Fuente en la cual ninguno de sus nodos está conectado a tierra.

Superficie gaussiana

Superficie o curva que encierra varios nodos.

Análisis de nodos

Aplicación de KCL para encontrar los voltajes de nodos.

Análisis de mallas

Aplicación de KVL para encontrar las corrientes de mallas.

Corriente de malla

Corriente ficticia que representa la corriente circulando por una malla de un circuito.

Supernodo

Nodo representado por una superficie gaussiana al interior de la cual puede haber varios nodos con fuentes y otros elementos interconectados.

Análisis de nodos con supernodo

Análisis de nodos para circuitos con fuentes flotantes de voltaje en el cual la parte de la fuente flotante se reemplaza por un supernodo.

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