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Clase 4

• Método de nodos – Metodología – Ejemplos – Supernodos

De leyes a métodos • Tanto la ley de voltajes de Kirchhoff como la ley de corrientes derivan en los métodos de mallas y nodos respectivamente. • Ambas metodologías transforman el problema de circuitos en un problema matricial del estilo: Ax = b Donde: A: Matriz NxN x: Vector columna de incógnitas de N elementos b: Vector columna de N elementos • La solución del sistema matricial despeja el vector x, el cual representa a los siguientes parámetros: Método de nodos → x es vector voltaje Método de mallas → x es vector corriente

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Método de nodos 1)

Escoger un nodo de referencia (tierra) Buscar el nodo con más conexiones

2)

Definir en cada nodo un voltaje Vi que será la incógnita a despejar Existen nodos cuyo voltaje es conocido dada la presencia de fuentes de voltaje

3)

Escribir LKC en cada nodo con voltaje desconocido, utilizando: I=(V1-V2)/R

4)

Resolver el sistema de ecuaciones y despejar los Vi

Método de nodos • Al aplicar el método de nodos se pueden distinguir básicamente 3 casos: – Circuitos con sólo fuentes independientes de corriente (Ej.1) – Circuitos con fuentes independientes de corriente y voltaje (Ej.2) – Circuitos con fuentes independientes y dependientes (Ej.3)

• Otros casos son fácilmente deducibles mediante el conocimiento de los casos anteriores

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Ejemplo 1 • Obtener todos los voltajes asociados al circuito de la figura

Ejemplo 1 • Aplicando paso 1 y 2:

• Aplicando paso 3: V V V −V V −V 2− − + + −5 = 0 Nodo 1: 5 10 15 10 1

1

1

3

1

V1 − V2 V2 − + 10 = 0 15 10

Nodo 2: Nodo 3:

2

− 10 −

V3 V − V3 + 15 + 1 +5= 0 5 10

3

Ejemplo 1 • Acomodando matricialmente 1 1 1 1 1 + + + − 5 10 15 10 15 1 1 1 − + 15 15 10 1 − 0 10

−

1 10 0

1 1 + 5 10

V1 V2

=

V3

−3 10 10

• Esta matriz es conocida como matriz admitancia – Matriz simétrica!! – Muy fácil de construir mediante inspección!!

Ejemplo 2 • Obtener todos los voltajes asociados al circuito de la figura

Aplicando pasos 1 y 2

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Ejemplo 2 • Aplicando paso 3

Ec. Nodo 1: Ec. Nodo 2: Ec. Nodo 3:

Ejemplo 2 • Aplicando paso 4

Solución del sistema V1 = 7.29V V2 = 1.88V V3 = 5.00V Resultados complementarios V20Ω = |V1-V2|=5.42V I30Ω = (V2-5)/30Ω=104 mA

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Ejemplo 3 • Obtener el potencial de todos los nodos de la siguiente figura.

Ejemplo 3 • Aplicando pasos 1 y 2

• Aplicando paso 3: – El ‘nodo y’ no necesita LKC ya que es una fuente de voltaje que tiene un borne en tierra. – Las fuentes dependientes introducen nuevas variables al problema, por lo tanto es necesario derivar más ecuaciones 1220 * I x − Vx V V Ec. Nodo x − x − x − Ix + 1 = 0 20 2000 50 V =24,7 [V]

Vy

Relación de dependencia

x

V Ix = x 2000

Vy= 15 [V]

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Supernodos • Cuando hay una fuente de voltaje que ninguno de sus bornes está conectado al nodo de referencia, no se puede expresar la corriente que pasa a través de ésta en términos de voltaje, por lo tanto se utiliza la técnica del supernodo. • Ejemplo:

Supernodos

I1 + I 2 − • Ecuación Supernodo: • Ecuación fuente voltaje:

Va Vb − =0 R2 R4

Vb −Va =VLL

2 ecuaciones y 2 incógnitas

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Ejemplo Supernodo • Escribir el sistema de ecuaciones que permite encontrar los voltajes en cada nodo del siguiente circuito

Ejemplo Supernodo

Vb − Va Vd − Va + =0 2 1

• Ec. Nodo a:

4+

• Ec. Supernodo:

Va − Vb 0 − Vb 0 − Vc 0 − Vd Va − Vd + + + + =0 2 2 1 2 1

• Ec. Fuente 12 [V]:

Vc = V b +12 4 Ec y 4 incógnitas!

• Ec. Fuente 6 [V]:

Vc = Vd + 6

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Nodos • El método de nodos sirve en general para resolver cualquier circuito, más adelante se analizarán distintas estrategias de resolución, en particular es conveniente analizar cuándo el método de nodos es preferible al método de mallas.

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