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• Luis Nuñez Perez

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Tema 2. Métodos de Análisis de Circuitos 2.1 Introducción 2.2 Análisis de nudos 2.3 Análisis de mallas 2.4 Comparación entre el análisis de nudos y el de mallas 1A

2

3A

i2 6

i1

2

¿R?

i3

i0

12 

1

Bibliografía Básica para este Tema: [1] C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, “Fundamentos de circuitos eléctricos”, 3ª ed., McGraw-Hill, 2006. [2] R. C. Dorf, J. A. Svoboda, “Introduction to electric circuits”, 7th ed., John Wiley & Sons, 2006.

Sadiku  Tema 3 Dorf  Tema 4

2

2.1 Introducción - En principio, para resolver un circuito es necesario formular un conjunto de ecuaciones simultáneas que se obtiene aplicando de forma combinada las leyes de Kirchhoff y las relaciones i-v de los elementos del circuito - Las relaciones i-v gobiernan el comportamiento de cada elemento con independencia de en qué circuito este conectado - Las leyes de Kirchhoff son condiciones impuestas a las conexiones, independientes de los elementos concretos presentes en el circuito - Para un circuito de E elementos, este procedimiento conduce a un sistema lineal de 2E ecuaciones con 2E incógnitas. - EN ESTE TEMA estudiaremos métodos de análisis más eficientes: - El método de tensiones de nudo - El método de corrientes de malla 3

2.2 Análisis de nudos - Definición de Nudo: (ya vista en el tema 1) - Nudo: punto de conexión entre 2 o más elementos de circuito

4

2.2 Análisis de nudos - Definición de Tensión de Nudo: - Hasta ahora nos hemos referido a la tensión (o potencial) en términos de “diferencia de potencial entre 2 nudos” que, generalmente, se corresponden con los terminales de un elemento

 A

vAB

 B

- Alternativamente, podemos elegir un nudo del circuito como nudo de referencia (nudo de tierra) y asignarle un valor de tensión conocido (típicamente 0V) - El nudo de tierra suele identificarse con alguno de los siguientes símbolos:

5

2.2 Análisis de nudos - Llamamos tensión de nudo al valor de la tensión en un nudo de un circuito. Dicho valor está referido a la tensión en el nudo de tierra - Una vez conocidas las tensiones en todos los nudos de un circuito, resulta inmediato obtener las caídas/subidas de tensión en cada elemento del circuito.

 vA

vAB ?



vB vAB  vA  vB

6

-Ejemplo 1: Calcular las subidas/caídas de tensión en cada elemento del circuito de la figura sabiendo que las tensiones de nudo valen v1 = 10V, v2 = 2V, v3 = -4V y v4 = 5V

v1

 vA 

 vB 

v4



 vD  

vG

vE





v2

 vC

  vF 

v3 7

Solución:

v4  5 V

 vA 

v A  v4  v1  5  10  5 V vB  v2  v1  2  10  8 V vC  v2  v3  2  4  6 V v D  v4  v 2  5  2  3 V v E  v4  0  5 V vF  0  v3  4 V vG  0  v4  5 V

v1  10 V



 vB 

 vD  

vG

vE





v2  2 V

 vC

  vF  v  4 V 3

8

-Ejemplo 2: Calcular las tensiones de nudo en el circuito de la figura en los casos siguientes: a) v3 = 0; b) v4 = 0

v2

 5V

  8V

 10 V

 v1 13 V

v3



  3V



 v4 9



Solución: a) v3 = 0

v3  0

v2  v3  10

v2  10 V

v1  v2  5

v1  5 V

v1  v4  8

v4  3 V

b) v4 = 0

v1  v4  8

v4  0 v1  8 V

v1  v2  5

v2  13 V

v2  v3  10

v3  3 V

5V

 



v2

10 V



 

v3

v1 13 V



8V

3V



v4





v2



5V

 

10 V

 v3

v1 13 V

8V



- El valor de las tensiones de nudo no es único!!



  3V

v4

 10

2.2 Análisis de nudos - El análisis de nudos (ó método de las tensiones de nudo) es un método general y sistemático para el análisis de circuitos - Este método usa tensiones de nudo (en vez de tensiones de elemento) como variables de circuito - Esta elección de variables reduce el número de ecuaciones a resolver - En resumen, el objetivo del método de las tensiones de nudo es calcular la tensión en todos y cada uno de los nudos del circuito problema, supuesta conocida la tensión en el nudo de referencia. - El método se basa en la aplicación combinada de: - La ley de las corrientes de Kirchhoff (KCL) - La ley de Ohm

11

2.2.1 Análisis de nudos para circuitos sin fuentes de tensión - Dado un circuito de N nudos sin fuentes de tensión, el análisis de nudos consta de los siguientes pasos: - Elegir un nudo de referencia y asignar tensiones v1, v2,…,vN-1 a los restantes N-1 nudos - Aplicar la KCL a cada nudo, salvo al de referencia  se obtienen N-1 ecuaciones - Utilizar la relación i-v de cada resistencia para escribir las corrientes de rama en función de las tensiones de nudo - Calcular las N-1 tensiones de nudo resolviendo las N-1 ecuaciones obtenidas 12

- Ejemplo 3: Calcular las tensiones de nudo en el circuito de la figura

I2

R2 I1

R1

R3

13

Solución: 1. Elegir un nudo de referencia y asignar tensiones v1, v2,…,vN-1 a los restantes N-1 nudos - Para este circuito N = 3 - Indicamos el nudo de referencia con el símbolo de la tierra - Asignamos tensiones de nudo v1 y v2 - Asignamos corrientes de rama

I2

v1 i2 i1 I1

R1

R2

v2 i3 R3

14

2. Aplicar la KCL a cada nudo, salvo al de referencia - Nudo 1:

I1  I 2  i1  i2

- Nudo 2:

I 2  i2  i3

I2 v1 i2 i1

I1

R1

R2

v2

i3 R3

15

3. Utilizar la relación i-v de cada elemento para escribir las corrientes de rama en función de las tensiones de nudo I - Nudo 1:

I1  I 2  i1  i2

- Nudo 2:

I 2  i2  i3

- Aplicamos:

v1  0 i1  R1

2

v v i  entrada salida R

v1  v2 i2  R2

- Nudo 2:

I1

R2

v2 i3 R3

R1

v2  0 i3  R3

- Sustituímos en las ecs. de nudo: - Nudo 1:

v1 i2 i1

I1  I 2 

v1  v2 v2 I2   R2 R3

v1 v1  v2  R1 R2

16

4. Calcular las N-1 tensiones de nudo resolviendo las N-1 ecuaciones obtenidas I

v1 v1  v2 I1  I 2   R1 R2 v1  v2 v2 I2   R2 R3

- Conviene expresar las ecs. utilizando conductancias

G1  G2  v1  G2v2  I1  I 2 -G2 v1  G2  G3  v2  I 2

2

v1 i2 i1

I1

R2

v2 i3 R3

R1

- En forma matricial

G1  G2  G 2 

 G2   v1   I1  I 2      G1  G3  v2   I 2  Ecuaciones de Tensiones de Nudo

17

- Resolución de sistemas lineales: Regla de Cramer - Consideremos un sistema de ecuaciones con n incógnitas x1,x2,...xn de la forma:

- Este sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial:

18

- La solución del sistema de ecuaciones es:

donde

19

2.2.2 Análisis de nudos para circuitos CON fuentes de tensión - CASO 1: Si la fuente de tensión está conectada entre el nudo de referencia y otro nudo cualquiera, se fija la tensión de este último igual a la tensión de la fuente.

v1  VS

v1   VS

Resto Circuito



  VS

Resto Circuito

- La tensión de nudo v1 deja de ser una incógnita 20

- Ejemplo 4: Calcular las tensiones de nudo en el circuito de la figura

R2

v1 Vs  

R1

v2

R3

Is

21

Solución: - Nudo 1:

v1 i2

R2

v2 i3

v1  Vs

Vs  

- Nudo 2:

R1

R3

Is

- Aplicando la KCL:

I s  i2  i3 - Utilizando la ley de Ohm:

Is 

Vs  v2 v2  R2 R3

- Resolviendo para v2:

R2 R3 I s  R3Vs v2  R2  R3 22

2.2.2 Análisis de nudos para circuitos CON fuentes de tensión - CASO 2: Si la fuente de tensión está conectada entre dos nudos, no siendo ninguno de ellos de referencia, entonces: - Se introduce la corriente que atraviesa la fuente (ix) como variable adicional. - Se añade una ecuación que relaciona la tensión de la fuente con las dos tensiones nodales (v1-v2 = VS)

ix

v1   VS

v2

Resto Circuito



  VS

v1

v2

Resto Circuito

v1  v2  VS 23

- Ejemplo 5: Calcular las tensiones de nudo en el circuito de la figura

Vs 

v1 R1

v2 R2

Is

24

Solución: - Nudo 1:

ix  i1

- Nudo 2:

I S  ix  i2 (KCL-2)

v1

(KCL-1)

- Fuente de tensión:

i1

ix Vs  R1

v2 i2

R2

Is

VS  v1  v2 - Sumamos (KCL-1) y (KCL-2):

I S  i1  i2 - Aplicamos la ley de Ohm:

v1 i1  R1

v2 i2  R2

- Sustituyendo:

I s  G1v1  G2 v2

- Quedan las ecs.:

I s  G1v1  G2 v2 Vs  v1  v2 - Resolviendo:

I  G2Vs v1  s G1  G2

I s  G1Vs v2  G1  G2 25

2.2.3 Análisis de nudos para circuitos CON fuentes controladas - Cuando en un circuito hay fuentes controladas el método de análisis de nudos se aplica igual que si no hubiera fuentes controladas y se añade un paso adicional: Las variables de control (tensiones y/o corrientes) se expresan en función de las tensiones de nudo (que son las verdaderas incógnitas del método de nudos). - Veamos un ejemplo.

26

- Ejemplo 6: Calcular las tensiones de nudo en el circuito de la figura

8V

v1 ?

6

 

ix

v2 ?

2A

3

v3 ?   3ix

27

Solución:

v1

6

 

ix

- Ecs. de nudo:

v1  8 V - Nudo 2: ix  i1  2  0 - Nudo 3: v3  3ix

- Nudo 1:

- Expresamos las corrientes de rama y las variables de control en función de las tensiones de nudo:

8  v2 ix  6 3ix  v2 4 1   v2 i1  3 3 2

8V

v2

3

i1 2A

v3   3ix

- Sustituimos en las ecs. de nudo:

v2  7 V

- Nudo 2: - Nudo 3:

v2  v3  4 2

- Despejando v3:

1 v3  V 2 28

2.3 Análisis de mallas - Definición de Malla: - Lazo: Camino cerrado, es decir, camino que empieza y termina en el mismo nudo sin pasar más de una vez por cada uno de los nudos intermedios - Malla: Lazo que no contiene ningún elemento en su interior

29

2.3 Análisis de mallas - Definición de Corriente de Malla: - Hasta ahora hemos trabajado solamente con corrientes de rama, es decir, con corrientes que fluyen entre dos nudos y que, normalmente, se asocian con un elemento concreto

iB

iA

iC

iD

30

2.3 Análisis de mallas - Definición de Corriente de Malla: - Alternativamente, podemos introducir el concepto de corriente de malla - Corriente de Malla: es la corriente que recorre una determinada malla. Por tanto, es una corriente cerrada

i1

i2

- La asignación de sentido de giro a las corrientes de malla es arbitrario 31

2.3 Análisis de mallas - Para un circuito dado, la relación entre las corrientes de rama y las corrientes de malla puede determinarse por simple inspección

iB

iA

iC i1

iD

i2

- Para el ejemplo de la figura, las corrientes de rama valen:

i A  i1

iB  i1

iC  i2

iD  i1  i2

32

-Ejemplo 7: En el circuito de la figura, calcular las corrientes de rama indicadas.

iE iB

iA

10 A

3A

iD

iC 5 A

iF

33

Solución:

iE

i A  10 A

iB

3A

iD

iB  10  (3)  13 A

iC  10  5  5 A iD  3  5  8 A

iA

10 A

iC 5 A

iF

iE  3 A iF  5 A

34

2.3 Análisis de mallas - El análisis de mallas es otro método general para el análisis de circuitos - Se basa en usar corrientes de malla (en vez de corrientes de rama) como variables de circuito - Esta elección de variables reduce el número de ecuaciones a resolver

35

2.3.1 Análisis de mallas para circuitos SIN fuentes de corriente - Dado un circuito de N mallas sin fuentes de corriente, el análisis de mallas consta de los siguientes pasos: 1. Asignar las corrientes de malla i1, i2,…,iN a las N mallas 2. Aplicar la KVL a cada una de las mallas 3. Utilizar la relación i-v de cada elemento para escribir las tensiones de elemento en función de las corrientes de malla 4. Calcular las N corrientes de malla resolviendo las N ecuaciones obtenidas

36

- Ejemplo 8: Calcular las corrientes de malla en el circuito de la figura

R1

V1  

R2

R3

  V2

37

Solución: 1. Asignar las corrientes de malla i1, i2,…,iN a las N mallas - Para este circuito N = 2 - Asignamos corrientes de malla  i1 e i2 - Asignamos tensiones de elemento  v1, v2 e v3

R1

R2

 v2   v1    V1  i1 v3 R3 i2  V2  

38

2. Aplicar la KVL a cada una de las mallas - Malla 1:

V1  v1  v3

- Malla 2:

v2  V2  v3 R1

R2

 v2   v1    V1  i1 v3 R3 i2  V2  

39

3. Utilizar la relación i-v de cada elemento para escribir las tensiones de elemento en función de las corrientes de malla - Malla 1:

V1  i1 R1  i1  i2 R3

- Malla 2:

i2 R2  V2  i1  i2 R3 R1

R2

 v2   v1    V1  i1 v3 R3 i2  V2  

40

4. Calcular las N corrientes de malla resolviendo las N ecuaciones obtenidas - Ordenando las ecs. obtenidas

R1  R3 i1  R3i2  V1  R3i1  R2  R3 i2  V2

R1

R2

 v2   v1    V1  i1 v3 R3 i2  V2  

- En forma matricial

 R1  R3  R 3 

 R3   i1   V1      R2  R3  i2   V2  Ecuaciones de Corrientes de Malla 41

2.3.2 Análisis de mallas para circuitos CON fuentes de corriente - CASO 1: Si la fuente de corriente está en una rama que pertenece a una única malla, se fija la corriente de dicha malla igual a la corriente de la fuente.

IS

i1

Resto Circuito



i1

IS

Resto Circuito

i1  I S - La corriente de malla i1 deja de ser una incógnita 42

- Ejemplo 9: Calcular las corrientes de malla en el circuito de la figura

R1 vs  

i1

R2 R3

i2

is

43

Solución:

R1

- Malla 1: - Aplicando la KVL:

v1  v3  vs - Utilizando la ley de Ohm:

R2

 v2   v1   vs  i1 v3 R3 i2  

is

i1 R1  i1  i2 R3  vs - Malla 2:

i2  is

- Resolviendo para i1:

¡ No hace falta aplicar la KVL a la malla 2 !

vs  R3is i1  R1  R3 44

2.3.2 Análisis de mallas para circuitos CON fuentes de corriente - CASO 2: Si la fuente de corriente está en una rama que pertenece a dos mallas, entonces: - se introduce la tensión a través de la fuente (vx) como variable adicional. - se añade una ecuación que relaciona la corriente de la fuente con las dos corrientes de malla (i1-i2 = IS)

IS

i1 Resto Circuito

i2



i1

IS 

vx

Resto Circuito



i2

I S  i1  i2

45

- Ejemplo 10: Calcular las corrientes de malla en el circuito de la figura

R1 vs  

i1

R2 is i 2

R3

46

Solución:

R1

- Malla 1:

v1  v x  vs (KVL-1)

- Malla 2:

v2  v3  v x (KVL-2)

- Fuente de corriente:

is  i2  i1

- Eliminamos vx sumando (KVL-1) y (KVL-2):

v1  v2  v3  vs - Aplicamos la ley de Ohm:

R1i1  R2i2  R3i2  vs - Quedan las ecs.:

 i1  i2  is R1i1  R2  R3 i2  vs

 v1   vs  i1 v x  

R2  v2   is i v3 R3 2 

- Resolviendo:

vS  ( R2  R3 )iS i1  R1  R2  R3

vS  R1iS i2  R1  R2  R3

47

2.3.3 Análisis de mallas para circuitos con fuentes controladas - Análogamente al caso del análisis de nudos, cuando en un circuito hay fuentes controladas, el método de mallas se aplica igual que si no hubiera fuentes controladas y se añade un paso adicional: Las variables de control (tensiones y/o corrientes) se expresan en función de las corrientes de malla (que son las verdaderas incógnitas del método de mallas). - Veamos un ejemplo.

48

- Ejemplo 11: Calcular las corrientes de malla en el circuito de la figura

24 V

 

32 

32 

i2 ?

ix i1 ?

5 ix

49

Solución: - Ecs. de malla: - Malla 1: - Malla 2:

 24  v1  0

24 V

 

32 

32 

 v1 

 v2  ix i

i1

2

5 ix

i2  5ix

- Expresamos las tensiones de elemento y las variables de control en función de las tensiones de nudo:

v1  32i1 ix  i1  i2

- Sustituimos en las ecs. de malla:

4 i1  A 3

- Malla 1: - Malla 2:

 5i1  4i2  0

- Resolviendo:

15 i2  A 16 50

2.4 Comparación entre el análisis de nudos y el de mallas - Dado un circuito, ¿qué método es mejor o más eficiente? - La respuesta depende, esencialmente, de dos factores: 1. Naturaleza del circuito: la clave es elegir el método que lleve a un número menor de ecuaciones. * Menos nudos que mallas * Más nudos que mallas

 Análisis de Nudos  Análisis de mallas

2. La información requerida: en general … * Si se requieren tensiones de nudo, puede ser ventajoso aplicar análisis nodal * Si se precisan corrientes de malla, análisis de mallas - Además, ciertos circuitos sólo pueden analizarse por un método. * Ej.: los circuitos no planos, no pueden resolverse por mallas 51

-Ejemplo 12: Encontrar en valor de la resistencia R en el circuito de la figura. D&S 7ª Ex. 4-8.1

1A

2

2

¿R?

3A 6

i0  0.5 A

12 

52

Solución:

1A

2

3A

i2 6

- Análisis de nudos: Hay 5 nudos  4 ecs. - Análisis de Mallas: Hay 3 mallas  3 ecs.

i1

2

¿R?

i3

i0  0.5 A

12 

* Es más conveniente el Análisis de Mallas * Además, las corrientes de malla se conocen de antemano:

i1  1 A i2  3 A i3  0.5 A 53

- Para calcular R basta aplicar la KVL a la malla 3:

Ri3  i2   2i3  i1   12i3  0 1A

2

3A

i2 6

i1

2

¿R?

i3

i0  0.5 A

12 

- Despejando:

 2i3  i1   12i3  2  0.5  1  12  0.5   2 R 0 .5  3 i3  i2 54