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FÍSICA GENERAL. “PROBLEMAS” (ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AÑOS)

BLOQUE I: “MECÁNICA CLÁSICA” (VECTORES) (PROBLEMAS DEL TEMA)

PROBLEMAS RESUELTOS DEL TEMA. Problema 1.Sean los vectores

r =  2,−2  ,

s =  1,3  ,

t =  2,5  ,

u = −2,1  , 

v = −1,6 

y

w  = −6,−6  , se pide: a) Representar gráficamente los vectores anteriormente dados. b) Una vez representados gráficamente, realizar las siguientes operaciones gráficamente:  ; (ii) s − u ; (iii) (i) r  w

t   v ; (iv)

r  s t ; (v)

u −  v −w  .

c) Realiza las operaciones del apartado b) de forma analítica y comprueba los resultados con los obtenidos con los del apartado b) Solución.a) y b) Las representaciones gráficas pedidas en estos apartados se dan en la figura P1.1 que se de en la siguiente página. c) Para hacer las sumas pedidas procedemos tal y como vimos en el apartado 1.5 de la teoría. Se obtienen así los siguientes resultados: i.

r  w  = 2 , −2   −6 , −6  = 2−6 , −2−6  = −4 , −8  .

ii.

s − u = 1´ , 3  −2 , 1  = 1−−2 , 3−1  = 12 , 2  = 3 , 2  .

iii.

t  v = 2 , 5   −1 , 6  = 2−1 , 56  = 2−1 , 11 =  1 , 11  .

iv.

r st = 2 , −2   1 , 3   2 , 5 =  212 , −235 =  5 , 6  .

v.

u −  v −w  =−2 , 1   −1 , 6   −6 , −6  = −2−−1−−6 , −2−3−−6 =  5 , 1  .

Como podemos apreciar los resultados obtenidos analíticamente coinciden con los puntos

v , r  s t  , s − u , t   de los extremos de los vectores r  w

y

u −  v −w  .

11

(1,11)

10

9 8 7

(5,6)

6 5

4 3

(3,2) 2 1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

(5,1) 2

3

-1 -2

-3 -4

-5 -6

-7

(-4,-8)

-8

-9 -10

-11 -12

-13

Figura P1.1

4

5

6

7

8

Problema 2.Representa los siguientes vectores en el espacio: u =  1, 2, 5  ; b) v =  8 , 4 , 3  ; c) a) 

w  = 6 , 6 , −3  ; d) r = −5 , 5 , 3  ;

e) s=  3 , −4 , 3  ; f) t = −10 , −5 , 2  . Solución.Los vectores dados en el apartado quedan representados según se indica en la siguiente figura P2.1. Z

X

Y

Figura P2.1 Problema 3.a) Un vector situado en el plano XY tiene una magnitud de 20 unidades y forma un ángulo de 30º con la abscisa. Determine sus componentes rectangulares. b) Un vector situado en el plano XY tiene una magnitud de 15 unidades y forma un ángulo de 133º con la abscisa. Determine sus componentes rectangulares. Solución.a) En la figura P3.1 aparece el vector

u 

representado en color azul, así como sus

componentes. Fijémonos en que el vector tiene sus dos componentes positivas, tanto para la dirección “X” como para la dirección “Y”. Este vector determina un ángulo α = 30º con la dirección “X”. Por tanto si observamos el triángulo OAB en el que la hipotenusa se corresponde con el módulo del vector, es decir

∥u∥=20 , y planteamos las razones

trigonométricas de α = 30º refiriéndonos a este triángulo OAB, podemos obtener los lados

AB

del triángulo que faltan por conocer, es decir el lado

OA

queda claro que el lado vector

componente en la dirección “Y” del vector •

cos =cos 30=

•

sin =sin 30=

Por tanto, el vector

AB

se corresponde con la

AB=u y . Por tanto tendremos:

u , o sea, 

OA OA 3 20·  3 =cos 30= ⇒ OA=20·cos 30=20·  = =10  3 unidades. 20 2 2 ∥u∥

AB

∥u∥

u 

OA . Además

se corresponde con la componente en la dirección “x” del

OA=u x . De manera parecida, el lado

u , esto es, 

y el lado

=sin 30=

AB 1 20 ⇒ AB=20 ·sin 30=20· = =10 unidades. 20 2 2

tiene de coordenadas  u = 10  3 , 10  . Y

D

B 133º

vy C

47º

vx

uy

30º

ux

O

A

X

Figura P3.1 b) Procedemos aquí de manera parecida al apartado anterior a). Fijándonos en la figura P3.1 y refiriéndonos al triángulo rectángulo OCD, tenemos que: •

cos 47=

•

sin 47=

OC OC =cos 47= ⇒ OC =15 ·cos 47≈10,230 unidades. 15 ∥v∥

CD CD =sin 47= ⇒ CD=15·sin 47≈10,970 unidades. 15 ∥v∥

Como podemos observar en la figura P3.1 la componente “x” del vector

v

cae en el

lado negativo del eje “X”, por tanto, el vector buscado es: v = −15 · cos 47 , 15 ·sin 47  ≈ −10,230 , 10,970  . Problema 4.La componente en el eje “X” de un vector

u que está sito en el plano XY es de 14 

unidades, y la componente en el eje “Y” es de 18 unidades. ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector

u ? 

Solución.El enunciado nos pide obtener el módulo del vector y su dirección, esto es, el ángulo que forma con la dirección positiva del eje “X”. Para obtener el módulo, o megnitud, del vector nos fijamos en la figuara P4.1 en donde

aparece el vector pedido y el triángulo OAB. Por inspección de la figura apreciamos que el módulo del vector se corresponde con el valor del segmento

OA .

Y A

uy = 18



X

O

B ux = 14

Figura P4.1 Podemos aplicar el Teorema De Pitagoras, de manera que, el módulo de

u será: 

OA= u 2x u 2y ⇒∥u∥= 142 182 = 520 . Para obtener el ángulo

 que

u 

determina con el eje “X” podemos recurrir a

tan  ,

de manera que obtenemos: tan =

18 9 9 = ⇒ =arctan ≈51,125 º . 14 7 7

Problema 5.Un vector

u 

tiene una magnitud de 16 [cm] y está dirigido hacia el lado positivo

del eje “X”. Otro vector

v tiene una magnitud de 10 [cm] y forma un ángulo de 60º

respecto al lado positivo del eje “X”. El vector

w 

tiene una magnitud de 20 [cm] y

forma un ángulo de 75º con el lado positivo del eje “X”. Determine el vector resultante de la suma de los tres vectores. Solución.El presente problema puede realizarse gráficamente o analíticamente. Lo haremos por los dos métodos a fin de practicar lo máximo posible. En la siguiente figura P5.1 se dan los vectores y el vector resultante factor de escala

 R=  u v  w  con un

e=0,538−1 , por lo tanto si medimos con una regla el vector resultante

llegamos a que su módulo es de 19,089 cm.

Y

FACTOR DE ESCALA: e = 0,538 -1

60º

75º



 X

Figura P5.1 Analíticamente debemos de comenzar a calcular cada uno de los vectores

w 

u , 

v

y

de igual modo que lo hacíamos en el problema 3. Entonces: •

Como

u 

está sobre el eje “X” su componente vertical es nula y por tanto solo

tiene componente horizontal, luego

•

•

{ {

u =  16 , 0  . 

}

vx 1 ⇒ v x =∥ v∥·cos 60=10· =5 cm 2 ∥v∥ ⇒ v = 5 , 5  3  . vy 3  sin 60= ⇒ v =∥v∥·sin 60=10 · =5  3 cm 2 ∥v∥ y cos 60=

}

wx ⇒ w x =∥w  ∥· cos 75≈20 ·0,259=5,176 cm ∥w ∥ ⇒ w=   5,176 , 19,319  . wy sin 75= ⇒ w y =∥w  ∥·sin 75≈ 20·0,966=19,319 cm ∥w ∥ cos 75=

Finalmente el vector resultante será:  R=  16 , 0   5 , 5  3  5,176 , 19,319  .

Problema 6.Determina el valor del parámetro “k” para que los siguientes vectores sean



1  b= 0 , , k 3

a = 1 , k , 1  , 

unitarios:



y c =



1 1 ,k , 2 3



.

Solución.Un vector se dice que es unitario si su módulo es igual a la unidad, de manera que, el vector

a = 1 , k , 1  será unitario si, y solo si, 

∥a∥=  12 k 21 2=1⇔ 12k 21 2=1 2 ⇒ k 2 =−1 . Como no existe ningún número tal que elevado al cuadrado de un número negativo,

a = 1 , k , 1  sea unitario. 

entonces no existe ningún valor de “k” para el cual el vector Por otro lado el vector





1  b= 0 , , k 3

2



será unitario si, y solo si,

2



    



∥b∥= 02  1 k 2=1⇔ 1 k 2 =12 ⇒ k 2 =1− 1 ⇒ k 2= 9−1 ⇒ k = 8 ⇒ k = 2  2 . 3 3 9 9 9 3 De modo análogo, el vector

 

2

∥c∥=

2

c =

1 1 ,k , 2 3

2



será unitario si, y solo si,

2

1 1 1 1 13 36−13 23 . k 2 =1⇔  k 2 =12 ⇒ k 2 =1− ⇒ k 2= ⇒ k=  2 3 2 3 36 36 6

Problema 7.Sean los vectores

 b= −1 , 3 , −3  y

a = 1 , 2 , 1  , 

c =



1 1 , −1 , 2 3



. Se pide

determinar tres vectores unitarios en las mismas direcciones y sentidos que los vectores dados. Solución.Tal y como hemos visto todo vector puede ser expresado como producto de su módulo por un vector unitario en su dirección y sentido, esto es: u =∥  u∥· nu , por tanto, si los módulos de los vectores dados en el enunciado son: •

∥a∥= 1 22 21 2=  141=  6 ,

•

∥b∥= −1232 −32=  199=  19

•

2 2 ∥c∥= 1 −12 1 = 1 1 1 = 9364 = 49 = 7 ,



2



3

4

9



,y

36



36

6

entonces los vectores unitarios buscados serán: •







a  1 , 2 , 1  1 2 1 6 2· 6 6 6 6 6 = = , , =  ,  ,  =  ,  , na = 6 6 6 6 3 6 ∥a∥ 6  6 6 6



.

nb=

•

 −1 , 3 , −3  −1 b = = ,  19  19 ∥b∥









3 3 − 19 3·  19 −3·  19 ,− =  , , 19 19 19  19  19

 

1 1 1 1 , −1 , 2 3 c 2 1 3 3 6 2 nc = = = , , = , , 7 7 7 7 7 7 7 ∥c∥ 6 6 6 6

•







.

.

Problema 8.Dados los vectores: a)

a  b . 

b)

a −c . 

c)

c 2 a −3  b . 2

a = 10 , 5 , 3  ,   b=  3 , −4 , 2  y c =  2 , 6 , −4  encontrar:

d) Ángulo entre

a y   b .

e) Ángulo entre

 b

a −c . y 

Solución.a b= 10 , 5 , 3   3 , −4 , 2 =  103 , 5−4 , 32  =  13 , 1 , 5  .

a)

a −c = 10 , 5 , 3 −  2 , 6 , −4  = 10−2 , 5−6 , 3−−4  = 8 , −1 , 7  . c 1 c) 2 a −3 b  =2  10 , 5 , 3  −3  3 , −4 , 2    2 , 6 , −4  = 2 2 2 6 4 =  20 , 10 , 6  − 9 , −12 , 6   , , − =  20 , 10 , 6 − 9 , −12 , 6   1 , 3 , −2  = 2 2 2 = 20−91 , 10−−123 , 6−6−2  = 12 , 25 , −2  . b)





d) Para encontrar el ángulo entre dos vectores primero tenemos que realizar su producto escalar, de manera que: a · b= 10 , 5 , 3  ·  3 , −4 , 2 =10 · 35· −43· 2=30−206=16 .  A continuación calculamos los módulos de ambos vectores: •

a = 10 , 5 , 3  ⇒∥  a∥= 10 25232=  100259= 134 .

•

 b=  3 , −4 , 2  ⇒∥ b∥=  3 2−422 2=  9164=  29 .

Ahora bien como se cumple que

a · b =∥a∥·∥ b∥·cos  , siendo θ el ángulo entre 

 b , entonces tendremos que: a · b 16 16 8 3886 cos =  = = =  .  1943 ∥a∥·∥b∥  134·  29  3886 Finalmente el ángulo θ buscado está dado por: =arc cos

8  3886 ≈75,128 º . 1943

e) Procedemos aquí igual que el el apartado anterior, por tanto:

a 

y

•

∥b∥= 29

•

∥a −c∥= 8 2−12 72 =  114 .

.

Por otra parte, el producto escalar de los vectores

 b

a −c será: y 

 b ·  a −c  = 3 , −4 , 2  ·  8 , −1 , 7  =3·8−4·−12·7=24414=42 . Como por definición vectores

 b · a − c  =∥b∥·∥ a −c∥·cos  , siendo



el ángulo formado por los

 a −c entonces: b y  =arc cos

42 ≈43,075º ,  29 ·  114

que es el valor aproximado del ángulo buscado. Problema 9.Determinar el valor del parámetro “m” para que los vectores

u =  1 , m , −2  

y

v =  1 , 1 , −1  determinen entre sí un ángulo de 60º. Solución.Si los vectores

u =  1 , m , −2  

entonces se ha de cumplir que

y

v =  1 , 1 , −1 

determinan un ángulo de 60º

u ·v =∥  u∥·∥v∥· cos 60 en donde tenemos que:

•

u · v =  1 , m , −2  ·  1 , 1 , −1  =1·1m ·1−2·−1=1m2=m3 . 

•

∥u∥= 1 2m2 −22 = 1m24= m2 5 .

•

∥v∥= 1 21 2−12 = 111=  3 .

•

cos 60=

1 . 2

De esta forma al sustituir en

u ·v =∥  u∥·∥v∥· cos 60 se obtiene que:

2 1 m3=  m25·  3· ⇒ 2 m6=  3 m215⇒  2 m6  =3 m2 15⇒ 4 m224 m36=3m2 15 2 ⇒ 4 m2−3 m2 24 m36−15=0⇒ m224 m−21=0 −24±  24 2−4 ·1·−21 −24±  660 ⇒ m= = . 2·1 2

Problema 10.Determinar el valor de “k” para que los vectores

u =  1 , m , −2  

y

v =  1 , 1 , −1 

sean perpendiculares entres sí. Solución.Si dos vectores son perpendiculares el ángulo entre ellos es de

=90º luego

u ·v =∥  u∥·∥v∥· cos 90 pero

cos 90=0 de manera que  u ·v =∥ u∥·∥v∥· cos 90=∥ u∥·∥v∥· 0=0 .

Por otra parte el producto

u · v 

está dado por:

u ·v =  1 , m , −2  ·  1 , 1 , −1  =1·1m ·1−2·−1=1m2=m3  de donde: u · v =0 ⇔ m3=0⇒ m=−3 . 

Problema 11.Dados los vectores

u =  1 , −2 , 3  , 



v = 2 , 3 , −

1 2



y

w  = 2 , −2 , 1 

determinar

las siguientes operaciones: u · v ; b) a) 

v · w  ; c)

u×w   ; d)

u ×  v ; e)

v × u ; f) v × w  .

Solución.-

 

u · v = 1 , −2 , 3  · 2 , 3 , − a) 



v · w=  2 , 3 ,−

b)



   

1 −1 3 2 ·−4−3 11 =1· 2−2·33· =−4− = =− . 2 2 2 2 2

1 −1 1 2·−2−1 5 · 2 , −2 , 1  =2 · 23·−2 ·1=−2− = =− . 2 2 2 2 2

c) Para calcular el producto vectorial primero expresamos los vectores correspondientes {i , j ,  k } . Tenemos así:

en forma de combinación lineal de la base canónica •

u =  1 , −2 , 3 =1· i −2· j3· k =i −2 j3 k . 

•

w  = 2 , −2 , 1  =2 · i −2· j1 · k =2 i −2 j  k .

Por tanto el producto

u×w   será:

∣

∣

i j k −2 3  1 3  1 −2 u×w   = 1 , −2 , 3  × 2 , −2 , 1  = 1 −2 3 =i · − j· k · = −2 1 2 1 2 −2 2 −2 1 = 1·−2−3·−2  · i − 1·1−2·3  · j  −2·1−2 ·−2  ·  k= = −26  · i − 1−6  · j−24  ·  k =4 · i −−5· j2· k = =4 i 5 j 2 k . d)

∣ ∣ ∣ ∣ ∣

∣ ∣∣

∣

k i j −2 3 1 3 1 1 −2 3   u ×v = 1 , −2 , 3  × 2 , 3 , − =  =i · k · 1 −2 = −1 − j · −1   −1 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 −1 −1 = ·−2−3· 3 · i − ·1−2·3 · j 3·1−2 ·−2  ·  k= 2 2 −1 −13  =  1−9  · i − −6 · j  34  · k =−8· i − · j7·  k= 2 2 13 =−8 i  j7 k . 2







   

∣ ∣ ∣



 

∣

∣

e)

∣ ∣∣

k −1 −1 1 3 2  v × u = 2 , 3 , − × 1 , −2 , 3  = 2 3 −1 = i · − j · k· 2 3 = 2 2  2 1 −2 2 −2 3 1 3 1 −2 3



i



j

         

∣ ∣ ∣

∣

∣



−1 1 ·−2 · i − 3· 2−1· · j −2 ·2−1·3  · k = 2 2 1 13 = 9−1 · i − 6− · j −4−3  · k =8· i − · j−7· k = 2 2 13 =8 i − j−7  k. 2

= 3 ·3−

f)

∣ ∣∣

k −1 −1 1 3 2 −1   v ×w  = 2 , 3 , − ×  2 , −2 , 1  = 2 3 =i · k· 2 3 = 2 − j· 2  2 2 −2 2 −2 1 2 1 2 −2 1



i



j

    

∣ ∣ ∣

∣

∣

 

−1 −1  ·−2 · i − 1 · 2−2· · j −2· 2−2 ·3  ·  k= 2 2 = 3−1  · i − 21  · j −4−6  ·  k =2· i −3 · j−10 ·  k=    =2 i −3 j −10 k .

= 1 ·3−

Problema 12.-

a = 1 , −3 , 2  y  Demostrar que los vectores  b= −4 , 12 , −8  son paralelos. Solución.Recordemos que el producto vectorial de dos vectores vector cuyo módulo es vectores. Por tanto si

por

u 

v , se obtenía otro

∥u ∧v∥=∥u∥·∥v∥· sin  , en donde  es el ángulo que entre los u por v son paralelos tendremos que =0 ⇒ sin 0=0 , lo que 

implica que el producto vectorial de

u por v será el vector nulo. 

Por tanto, si realizamos el producto vectorial de

por  b

a 

∣

se obtiene:

∣

 i j k a ×b= 1 , −3 , 2  ×−4 , 12 , −8 = 1 −3 2 = 0 , 0 , 0  , −4 12 −8 ya que, por las propiedades de los determinantes al ser la fila 3ª igual a la opuesta de 4 veces la fila 2ª, entonces el determinante es nulo, y por tanto el producto vectorial es nulo. Como consecuencia los vectores y como queríamos demostrar.

a = 1 , −3 , 2  

y

 b= −4 , 12 , −8  son paralelos, tal

NOTA.El presente texto es propiedad intelectual del autor en su completa totalidad, y quedan prohibidas todas aquellas copias que no fueran autorizadas por él mismo. Para cualquier sugerencia o corrección del contenido aquí presente remítanse a [email protected] El autor: Lucas Quiñonero Jesús. En Águilas, a 14 de diciembre de 2009.