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CURSO: Métodos estadísticos (AI 448) PROFESOR: Antonio Matos Alejandro

EXPERIMENTOS FACTORIALES Llámense experimentos factoriales aquellos experimentos en los que se estudian simultáneamente dos o más factores, éstos se diferencian de los experimentos simples en los que sólo se estudia un factor. Los experimentos factoriales en sí no constituyen un diseño experimental como muchas veces se cree, más bien ellos deben ser llevados en cualquiera de los diseños tal como DCR, DBCA, DCL, etc. Los factoriales son combinaciones de factores (variedades, sustancias, niveles de concentración, etc.) para formar tratamientos, los cuales se aplican en los diseños experimentales (DCR, DBCA, DCL). La información obtenida de estos experimentos son amplios, permiten comparar los niveles de cada factor entre si y evaluar las interacciones que resulta como combinaciones de los factores, también la comparación de niveles de un factor bajo un nivel de otro factor. Según Yates mencionado por Pimentel (1978), experimentos factoriales son aquellos que incluyen en todas las combinaciones de varios conjuntos de tratamientos o factores. Los experimentos factoriales son más eficientes que los experimentos simples con un solo conjunto de tratamientos, permitiendo obtener conclusiones más generales. En un experimento de factoriales, si todos los niveles de un factor se combinan con todos los niveles de otro factor, entonces se dice que estos factores están cruzados y si los niveles de un factor que se combinan con ciertos niveles de otro factor se dice que estos factores están asociados, ejm: un factor A con niveles a0, a1 y a2 se combinan con el factor B de niveles b0, b1, b2. b3, b4 y b5 resulta:

Tratamientos: a0b0, a0b1, a1b2, a1b3, a2b4 y a2b5. El factor B esta anidado en A, se representa como B(A). * Sólo los factores cruzados serán tratados. Conceptos generales Factor: Es sinónimo de tratamiento e involucra diferentes niveles del tratamiento, por ejm el sorbato de potasio como aditivo químico en conservación de alimentos, este puede utilizarse a diferentes porcentajes, cada uno constituye un nivel que también representa un tratamiento. Factorial: Es una combinación de factores para formar tratamientos. Nivel: Es la dosis o cantidad del ingrediente (factor) empleado en el tratmiento. Ejm 2,5% de cultivo madre en la elaboración de yogurt. Efecto principal: Es efecto promedio del factor sobre los otros niveles del mismo factor independiente de otros factores. Ejm efecto de la temperatura en las unidades experimentales al aplicar en tratamiento térmico en la conservación de un producto por calor.

Efecto interacción: Es el efecto adicional debido a la influencia combinada de dos o más factores. Ejm efecto conjunto de bisulfito de sodio y sorbato de potasio en la unidad experimental (sinergismo). Efecto simple: Es el efecto de los niveles del factor en un nivel de otro factor. Ejm efecto del BHA bajo la presencia de 0,05% de tocoferol. Es un efecto derivado del efecto de la interacción. Efecto simple simple: Es el efecto de los niveles del factor a una combinación de los otros factores. Ejm el efecto del nitrógeno en las unidades experimentales bajo la presencia de 0,5% de fósforo y 1% de potasio. Tipos de factores: Factores cuantitativos: Si sus niveles son cantidades cuantificables Ejm niveles de hierro a 0,01%; 0,05%; 0,1%. Factores cualitativos: Si sus niveles no tienen orden natural y corresponden a clases o categorías. Ejm variedades de leguminosas (frijol). Los factoriales son expresados mediante la siguiente notación: Serie 2A2B = 2x2 = 22 = 2 niveles de A por 2 niveles de B. Serie 2A3B = 2x3 = 2 niveles de A por 3 niveles de B. Serie 2A2B2C = 2x2x2 = 23 = 3 factores a 2 niveles cada uno. Serie 2A3B3C = 2x32 = 2 niveles de A por 3 niveles de B y 3 niveles de C. Serie: 3n = n factores con 3 niveles cada factor. Serie: 4n, 5n, etc = n factores con 4, 5, etc niveles cada factor. Serie mixta: pxqxr = 3 factores, cada factor con p, q ó r niveles. Si p = q = r = 3 3 (3 niveles). Formación de factoriales: Para el planeamiento de los experimentos factoriales deben contestarse las siguientes preguntas: 1. ¿Qué factores deben incluirse? 2. ¿Qué factores son fijos (modelo I) y cuáles al azar (modelo II)? 3. ¿Cuántos tratamientos o niveles de cada factor deben ser considerados? 4. Si son factores cuantitativos, ¿cuál debe ser el espaciamiento de los niveles de cada factor? 0%, 5% y 10% de enzimas, tienen igual espaciamiento. Ventajas y desventajas en experimentos factoriales: El experimento factorial nunca origina pérdida de información, ni aun cuando no hay interacción, pues esto ya resulta una información. En cambio, si existe interacción, el experimento factorial es de lo más interesante, pues la interpretación de los resultados da lugar a conclusiones más amplias. La limitación de los experimentos factoriales sería el número elevado de unidades experimentales requerido, hecho que aumenta el tamaño del experimento. Ventajas: 1. Permite el estudio de los efectos principales, efectos de interacción de los factores, efectos simples y efectos cruzados. 2. Todas las unidades experimentales intervienen en la determinación de los efectos principales y de los efectos de interacción de los factores, por lo que el número de repeticiones es elevado para estos casos.

3. El número de grados de libertad del error es alto comparándolo con los experimentos simples de los mismos factores, lo que contribuye a disminuir la variancia del error, aumentando por este motivo la precisión del experimento. Desventajas: 1. El número de unidades experimentales utilizadas es mayor que en experimentos simples y es más difícil contar con un número suficiente de unidades homogéneas. 2. El análisis se complica, a medida que el número de factores y niveles se incrementa. 3. Algunas combinaciones tal vez no tienen importancia en el análisis pero deben incluirse para completar el factorial, esto obliga usar más material experimental. 4. El análisis estadístico es más complicado que en los experimentos simples, y la interpretación de los resultados se hace más difícil a medida que aumenta el número de factores y tratamientos en el experimento. Elección de los factores Llámase factor a una serie de tratamientos relacionados entre si o que pertenecen a una misma clasificación; por ejm: un factor dopaje puede estar constituido por 0 cc, 3 cc, 6 cc y 9 cc; un factor raza puede estar constituido por cerdos Criollo y Polan Chine. En general no es recomendable ir a más de 3 factores en los experimentos por la complicación que esto entraña en la conducción e interpretación de los resultados especialmente. a. Factores cuantitativos: Son aquellos factores cuyos tratamientos son cantidades numéricas de una variable cuantitativa. Estos factores son frecuentes en experimentos de economía, física, química, tecnología, medicina, agricultura, etc. Ejm: diferentes dosis crecientes de nitrógeno aplicados con un abono en experimentos agrícolas; temperaturas crecientes, presiones creciente, concentraciones cada vez mayores, cantidades crecientes de un reactivo, etc, en experimentos de física y química; duraciones crecientes en la aplicación de una droga o un estimulantes en medicina, etc. a. Factores cualitativos: Son aquellos cuyos tratamientos no tienen orden natural establecido, y cada nivel tiene un interés intrínseco. Ejm: variedades de trigo; diferentes tratamientos de una enfermedad; diferentes técnicas de poda de árboles, etc. Pertenecen a este grupo también los factores constituidos por unidades experimentales clasificadas; por ejm: diferentes clases de lana, diferentes grupos temperamentales en experimentos de sicología, diferentes laboratorios en ensayos interlaboratorios en los que cada laboratorio usa su propio personal, equipo y material, etc. b. Factores cualitativos ordenados: Son aquellos en los que los niveles están constituidos en cierto orden, pese a que no pueden describirse cuantitativamente, o aquellos cuyos niveles se han constituido como consecuencia de un agrupamiento grosero en una variable cuantitativa. Como ejm tenemos los siguientes: los pacientes pueden haber sido clasificados en ligeramente enfermos, moderadamente enfermos, severamente enfermos y muy severamente enfermos. En experimentos de sicología puede ser conveniente agrupar los individuos en grupos de diferentes edades, digamos: de menos de 25 años, entre 25 y 35 años y más de 35 años. c. Factores cualitativos muestreados: Son aquellos cuyos tratamientos están formados por partes diferentes de una materia prima que se va a usar en un proceso industrial. Estos niveles pueden servir para hacer comparaciones, considerando cada parte muestreada como u tratamiento de interés intrínseco. La razón de estos factores es estudiar la variabilidad de la materia prima a emplearse en la industria.

Elección de los tratamientos Los niveles o tratamientos que deben escogerse para cada factor de un experimento, es una de las tareas más delicadas que tiene el experimentador. En la elección debe tenerse en cuenta todos los elementos de juicio a su alcance, incluyendo los resultados de experimentos similares realizados en el mismo lugar o en otros lugares de condiciones similares. También debe analizarse la bibliografía disponible al respecto. La elección de los niveles de un factor, no solo depende del factor en sí mismo, sino también de las características del material experimental (que constituirá las unidades experimentales a las que se aplicarán los niveles), sea éste un terreno agrícola, enfermos de un hospital, alumnos de un colegio, vacas de un establo, etc. Es necesario estudiar anticipadamente el material, realizando por ejm análisis, estudiando características, tomando datos (edad, peso, estado de salud, nivel intelectual, etc), para determinar los niveles del factor de acuerdo a los resultados de este estudio. Es frecuente ver que se hacen por ejm experimentos de niveles de abonamiento de nitrógeno en suelos que resultan ser ricos en este elemento, esto solo por no haberse realizado un análisis previo de suelo. As así pues, cómo muchas veces se lleva a cabo experimentos con niveles que no encajan en absoluto con el material experimental empleado. Los niveles de un factor pueden ser igualmente espaciados o no; sin embargo, para facilitar el análisis estadístico, y en especial, el estudio de las respuestas lineal y curvilínea de los niveles, es preferible que éstos estén igualmente espaciados; así por ejm, en un estudio de medicina para investigar el efecto de una droga, los niveles podrían ser 3, 6, 9, 12 unidades. Supongamos que tenemos: Experimento factorial pq = (3)(3) = 32 -

-

Factor A y B que es la representación simbólica generalizada Niveles: 3 niveles del factor A: a1, a2,a3 3 niveles del factor B: b1, b2, b3 Total de tratamientos, combinaciones 3x3 = 9 tratamientos, siendo:

b1 b2 b3

a1

a2

a3

a1b1 a1b2 a1b3

a2b1 a2b2 a2b3

a3b1 a3b2 a3b3

Suponiendo: Arreglo factorial en DCA con tres factores: 3x3x2 b1 c1

b2 c2

c1

b3 c2

c1

c2

a1 a2 a3

Modelo aditivo lineal de los experimentos factoriales de tres factores y análisis de variancia y ijk    Ai  B j  C k   AB  ij   AC  ik   BC  jk   ABC  ijk   ijk Donde:

i = 1,2,…,a j = 1,2,…,b k = 1,2,…,c y ijk  Respuesta correspondiente al i–ésimo nivel de A, resultado correspondiente

al j–ésimo nivel de B y k-ésimo nivel de C.

  Efecto de la media general.

Ai  Efecto del i-ésimo nivel de A. Bj 

Efecto del j-ésimo nivel de B.

Ck  Efecto del k-ésimo nivel de C.

 AB  ij  Efecto de la interacción correspondiente al i-ésimo nivel de A y j-ésimo

 AC  ik

nivel de B.

 Efecto de la interacción correspondiente al i-ésimo nivel de A y k-ésimo

nivel de C.  BC  jk  Efecto de la interacción correspondiente al j-ésimo nivel de B y késimo nivel de C.  ABC  ijk  Efecto de la interacción correspondiente al i-ésimo nivel de A, jésimo nivel de B y k-ésimo nivel de C. ijk  Error experimental correspondiente al i-ésimo nivel de A, j-ésimo nivel de B y k-ésimo nivel de C.



Esquema del análisis de variancia: FV

GL

Efecto de A (a-1) Efecto de B (b-1) Efecto de C (c-1) Interacción AB (a-1)(b-1) Interacción AC (a-1)(c-1) Interacción BC (b-1)(c-1) Interac. ABC (a-1)(b-1)(c-1) Error a*b*c(r-1) Total a*b*c*r -1

SC

CM

Fc

SCA SCB SCc SCAB SCAC SCBC SCABC SCERROR SCTOTAL

CMA CMB CMC CMAB CMAC CMBC CMABC CMERROR

CMA./CMERROR CMB./CMERROR CMC./CMERROR CMAB./CMERROR CMAC./CMERROR CMBC./CMERROR CMABC./CMERROR

Fc comparamos con Ft (tabular) buscado con el nivel de significancia: 1. Para A : G.LA(a-1) y G.L.error 2. Para B : G.LB(b-1) y G.L.error 3. Para C : G.LC(c-1) y G.L.error 4. Para AB : G.L.(a-1)(b-1) y G.Lerror 5. Para AC : G.L.(a-1)(c-1) y G.Lerror 6. Para BC : G.L.(b-1)(c-1) y G.Lerror 7. Para ABC : G.L.(a-1)(b-1)(c-1) y G.Lerror

Sign.

Diseño bloque completo al azar (DBCA): r = 5

Esquema: a1b3

a2b3

a2b1

a3b1

a2b2

a3b3

a1b2

a1b1

a3b2

a1b2

a2b1

a2b2

a1b3

a3b2

a3b1

a1b1

a3b3

a2b3

a3b2

a1b3

a3b1

a3b3

a2b3

a2b1

a2b2

a1b1

a1b2

a2b2

a3b1

a1b2

a2b3

a1b3

a3b2

a3b3

a1b1

a2b1

a1b1

a1b3

a3b2

a2b3

a2b2

a3b1

a2b1

a1b2

a3b3

Modelo aditivo lineal de los experimentos factoriales de dos factores y análisis de variancia Debe definirse las fuentes de variación que influyen en cada valor de Yijk de los experimentos, pues constituyen la guía para el análisis de la variancia, así como para la determinación de los componentes de los valores esperados de los cuadrados medios, de los cuales dependen las pruebas de F. Para los experimentos factoriales de dos factores, el modelo aditivo lineal para el caso de que los factores A y B interaccionen entre sí, es el siguiente: i = 1,2,…,a

Yijk = µ + αi + βj + (αβ)ij + ρk + εijk

j = 1,2,…,b k = 1,2,…,k

Donde: a : Es el número de niveles del factor A en estudio b : Es el número de niveles del factor B en estudio k : Es el número de bloques considerados en el diseño

Yijk = Observación de la unidad experimental (variable respuesta o dependiente) correspondiente al i-ésimo nivel de A, j-ésimo nivel de B evaluado en el k-ésimo nivel del bloque. µ = Efecto de la media general. αi = Efecto del i-ésimo nivel de A. βj = Efecto del j-ésimo nivel de B. (αβ)ij = Efecto de la interacción correspondiente al i-ésimo nivel de A y j-ésimo nivel de B. ρk = Efecto del k-ésimo nivel bloques. εijk = Efecto del error experimental correspondiente al i-ésimo nivel de A, j-ésimo nivel de B evaluado en el k-ésimo nivel del bloque.

Esquema del análisis de variancia: FV

Bloques Efecto de A Efecto de B Interacción AB Error Total

GL

SC

CM

Fc

(k-1) (a-1) (b-1) (a-1)(b-1) (ab-1)(k-1) k x a x b -1

SCBLOQUES SCA SCB SCAB SCERROR SCTOTAL

CMBLOQUES CMA CMB CMAB CMERROR

CMBLOQ./CMERROR CMA./CMERROR CMB./CMERROR CMAB./CMERROR

Sign.

Fc, comparamos con Ft (tabular) buscado con el nivel de significancia: 1. 2. 3. 4.

Para bloques: G.Lbloques(k-1) y G.L error Para A : G.LA(a-1) y G.L error Para B : G.LB(b-1) y G.L error Para AB : G.Lbloques(a-1)(b-1) y G.L error

Pautas generales para deducir conclusiones Si es que en un experimento, resulta significativa la Int. AB, las conclusiones mas importantes serán las que se deduzcan de los efectos simples de A (en los niveles de B) y de los efectos simples de B (en los niveles de A) que lleguen a alcanzar a la significación (0,05) y a la alta significación (0,01). Pero, si en el experimento no resulta significativa la Int. AB, las conclusiones más importantes son las que se deduzcan de los efectos principales de A y de los efectos principales de B, que sean significativas, así como las que se deduzcan de los efectos simples de A y de los efectos simples de B si es que resultan altamente significativas (0,01). En aquellos experimentos en los que los efectos principales y la Int. AB resulten significativos, las conclusiones que puedan deducirse de los efectos principalmente pierden su interés, adquiriendo por el contrario importancia las conclusiones que se deduzcan de la significación de los efectos simples, ya que al ser significativa la Int. AB esto está indicando que no se puede considerar las diferencias entre los niveles de un factor sin tener que tomarse en cuenta con qué nivel del otro factor se combinan. Ejemplo de factorial 32: Se analiza un experimento en cultivo de soya; las características que interesan del experimento son las siguientes: Variedades

v1 = Sao Paulo (planta alta) v2 = X. L. M. (planta media) v3 = Seminole (planta baja)

Cantidad de plantas

c1 = 2 plantas cada 20 cm en surcos de 80 cm de ancho c2 = 3 plantas cada 20 cm en surcos de 80 cm de ancho c3 = 4 plantas cada 20 cm en surcos de 80 cm de ancho

El experimento se llevó a cabo con 5 repeticiones mostrándose en la tabla siguiente:

Tabla 1: Rendimientos parcelarios ordenados expresados en décimos de kg Bloques v1 v2 c1 c2 c3 c1 c2 c3 c1 I 9 10 10 10 12 13 6 II 10 13 12 9 10 11 7 III 11 15 12 12 9 9 9 IV 11 16 13 12 16 17 12 V 14 15 11 15 13 14 10 Comb.VC 55 69 58 58 60 64 44 V 182 182 C 157 195 Tabla 2: Análisis de variancia y resultados de la prueba de F Fuentes GL SC CM Bloques 4 141 3,53 Variedades 2 1 0,50 Cant. de plantas 2 66 33,00 Int. VC 4 56 14,00 Error 32 93 2,91 Total 44 357

Fc 1,21 0,17 11,34 4,81

v3 c2 10 12 14 16 14 66 184 196

F0,05 2,67 3,30 3,30 2,67

c3 9 13 16 19 17 74

Total bloques 89 97 107 132 123 548 48 548

SIG. NS NS * *

Hipótesis: a. Para el factor V: H0: αi = 0 H1: αi ≠ 0 Conclusiones: Existe suficiente evidencia estadística a un nivel de significación de 0,05 para aceptar la H 0. Por lo tanto podemos afirmar que al menos a un nivel de V no se produce un rendimiento medio distinto a los demás. b. Para el factor C: H0: βj = 0 H1: βj ≠ 0 Conclusiones: Existe suficiente evidencia estadística a un nivel de significación de 0,05 para rechazar la H0. Por lo tanto podemos afirmar que al menos un nivel de cantidad de plantas produce un rendimiento medio distinto a los demás. c. Para interacción VC: H0: (αβ)ij = 0 H1: (αβ)ij ≠ 0 Conclusiones: Existe suficiente evidencia estadística a un nivel de significación de 0,05 para rechazar la H0. Por lo tanto podemos afirmar que existe interacción entre las variedades y la cantidad de plantas. El rendimiento promedio por parcela del experimento es:

R = Y… = 548 = 12,18 rpq 45 El coeficiente de variabilidad es = (2,91)1/2/12,18 = 14% Los rendimientos promedios por parcela son los siguientes: Tabla 3: Rendimientos promedio por parcela Cantidad de plantas v1 c1 11,0 c2 13,8 c3 11,6 Promedio 12,13

Variedades v2 11,6 12,0 12,8 12,13

Promedio v3 8,8 13,2 14,8 12,27

10,47 13,00 13,07 12,18

Al ser significativa la Int. VC, es necesario estudiar los efectos simples del experimento. Así, las SC de los efectos simples de los niveles de C en cada nivel de V están dadas por: SC de C en v1 = (552 + 692 + 582)/5 - 18282/15 = 21,7 SC de C en v2 = (582 +602 +642)/5 - 1822/15 = 3,7 SC de C en v3 = (442 +662 +742)/5 – 1822/15 = 96,5 Tabla 4: Efectos simples del experimento Fuentes Efectos simples GL SC de C Entre C en v1 2 21,7 Entre C en v2 2 3,7 Entre C en v3 2 96,5 Error 32 93,0

CM

Fc

F0,05

SIG.

10,85 1,85 48,25 2,91

3,73 0,64 16,58

3,30 3,30 3,30

* NS *

Conclusión: Hay evidencia estadística para afirmar que entre los niveles de C hay diferencias significativas con las variedades v1 y v3. * Suponiendo: A, B, C 1) Efecto de otros factores: A B C 2) Efecto de la interacción de primer orden. AB AC BC 3) Efecto de la interacción de 2do orden ABC *Suponiendo, 4 factores: A, B, C, D

(1) (2) (3) (4)

Efecto de factores: A,B,C,D Efecto de la interacción de primer orden. AB, AC, AD BC, BD, CD Efecto de la interacción de segundo orden. ABC, ABD, ACD y BCD Efecto de la interacción de tercer orden. ABCD

DISEÑO DE PARCELAS DIVIDIDAS

Son útiles en aquellos experimentos factoriales en los que los tratamientos de uno o más de los factores, por razón de su naturaleza, deben aplicarse a unidades experimentales grandes; por ejemplo factores como sistemas de cultivos, riego, etc. En los que cada tratamiento tiene que aplicarse forzosamente en parcelas grandes. En estos casos para el mejor aprovechamiento del material experimental cada unidad o parcela se subdivide en 2 o más sub unidades para dar cabida a la serie de tratamientos de otro factor que no tenga esa limitación, de aquí vienen el nombre de parcelas divididas. Características: -

-

-

Una u.e ( unidad experimental) puede ser una parte de terreno, un camada de cerdos, la fundición de un horno, un árbol y las subunidades serían las sub-parcelas de cada parcela, los cerdos de cada camada, los moldes en que se hecha la fundición de un horno, las ramas de un árbol, Este tipo de diseños puede utilizarse en agricultura, zootecnia, industria, laboratorio, invernadero, etc. En los experimentos de este tipo, las comparaciones entre los tratamientos que van en parcelas (unidades). Es menor precisa que las comparaciones entre tratamientos que van en sub-parcelas (sub-unidades); esto se debe al menor número de repeticiones de los que van en parcelas.

Ejemplo Si se tratase de estudiar 3 sistemas de riego(r 1, r2,r3) en un algodonero, y 4 unidades (V1 V2 V3 V4) en tres bloques, la distribución de los sistemas de riego debe buscarse al azar en los 3 parcelas de cada bloque, y también al azar la distribución de los cuatro unidades en los sub parcelas de cada parcela.

I r1

r2

V1 V3 V2 V4

V2 V4 V3 V2

II r3

r2

V4 V1 V2 V3

V3 V2 V1 V4

r3 V2 V3 V4 V3

III r1 V3 V1 V2 V4

r3

r2 V4 V2 V1 V3

r1 V1 V3 V4 V2

V4 V2 V1 V3

3 R en parcelas, 4 V en subparcelas en el BCR. En el experimento considerado el ANVA debe tener dos partes. La primera es para el estudio de los sistemas de riego y la segunda para el de variedades y la interacción RV. Los diseños de parcelas divididas deben adoptarse: a. Si es que uno o varios factores no pueden ir en parcelas chicas sino grandes, b. Si es que hay interés de parte del experimentador en estudiar con mayor precisión unos factores que otros. Si este es el caso, los que se desea estudiar con más precisión deben ir en las subparcelas y los que se desea estudiar con menos precisión en las parcelas. Algunas veces los experimentadores se quejan de que el error que corresponde a las parcelas es muy grande, lo que hace algunas veces que habiendo diferencias notables entre tratamientos de est5as parcelas sin embargo no resulten significativas, sucediendo lo contrario con los tratamientos de las subparcelas. A fin de aumentar la precisión de los factores que van en las parcelas, se recomienda adoptar el cuadrado latino si es que existen dos fuentes de variabilidad distinguibles en las parcelas. Las combinaciones de dos factores que se presentan para usar el CL son: 5x2, 5x3, 5x4, 6x2, 6x3, 7x2, 7x3, 8x2. Así para un experimento de 5A2B los 5 niveles de A en parcelas pueden formar un GL de 5x5, con un total de 25 parcelas y cada parcela en dos subparcelas para dar cabida a los niveles de B. Si suponemos que un experimento de 5A2B fuese llevado en BCR y en CL, las fuentes y los GL para cada uno de ellos sería:

a. 5A2B en BCR con 5 repeticiones. F.V.

G.L. (r-1) = 4 (p-1) = 4 (p-1)(r-1) = 16 Pr-1 = 24 Pr-1 = 24 (q-1) = 1 (p-1)(q-1) = 4 P(r-1)(q-1) = 20 rpq-1 = 49

Bloques A Error (a) Total parcelas Bloque de subparcelas B AB Error (b) Total subparcelas b. 5A2B en CL con 5 repeticiones F.V. Bloques Columnas A Error (a) Total parcelas Bloque de subparcelas B AB Error (b) Total subparcelas

G.L. (p-1) = 4 (p-1) = 4 (p-1) = 4 (p-1)(p-2) = 12 (p2-1) = 24 (p2-1) = 24 (q-1) = 1 (p-1)(q-1) = 4 P(p-1)(q-1) = 20 p2q-1 = 49

Si el experimento se conduce en el CR, entonces los G.L: del error (a) es igual a p(r-1), los demás G.L. tanto de la primera como de la segunda parte no varía con respecto al BCR.

COVARIANCIA

Las diferentes formas de disminuir el error experimental en los experimentos pueden reunirse en dos grandes grupos: directa e indirecta. La forma directa incluye los siguientes procedimientos: a. Selección homogénea de las unidades experimentales. b. Estimación de las unidades en grupos homogéneos (DBCA) cuadrado latino, etc. c. Refinamiento en la conducción de los experimentos. Como forma indirecta de controlar el error experimental tenemos terrenos la covarianza. Para realizar el análisis de covarianza se toma en los experimentos, además de los datos propios del estudio que se realiza, otros datos concomitantes (acompañan otros datos) con ellos; ejm. el número de plantas es concomitante del rendimiento de c/parcela; los pesos iniciales de los animales al comienzo del experimento son concomitantes de los pesos finales, etc. En el análisis de covarianza se combinan los análisis de varianza y el de regresión que hemos visto en capítulos anteriores. El análisis de covarianza es posible aplicarlo en los más diversos diseños experimentales y en las más variadas condiciones, incluso cuando se tiene desigual número de unidades por tratamientos y cuando se dispone de subunidades por unidad. Finalidades: 1) Disminuir el error experimental con el consiguiente aumento de la presión del experimento. 2) Ajustar los promedios de los tratamientos por la diferencia entre los promedios de la variable independiente. 3) Hacer una mayor interpretación de los resultados de los experimentos, especialmente en cuanto se relaciona con la naturaleza de los efectos de los tratamientos. 4) Estimar los valores de las unidades perdidas en los experimentos.