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• Jose Castro

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EL FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL Y SUS PROPIEDADES A) Definición El factorial de un número natural “ n ” se define como el producto de multiplicar los números naturales consecutivos desde 1 hasta n y se le representa simbólicamente por : n! , veamos:

n! = 1

x 2 x

3

x

......

x n

;n∈N

......(1)

Ejemplo:

3! = 1 x 2 x 3 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Nótese que (1) también puede expresarse así:

n! = n x ( n −1) x ( n − 2) x .....x 2 x 1 B) Simbología El factorial de un numero natural n se le representa mediante los siguientes símbolos: * Notación de Kramp : n! (es la mas usada) n

* Notación de Gauss :

∏i i =1

* Notación inglesa : C) Propiedades 1) Si a!=1 entonces a = 1 o a = 0 es decir : 1! =1 o 0! =1 2) Si a! =b! entonces a = b si

a

y b ∈N

3) Si n ∈ N entonces : n! = n x ( n −1)! o bien : n! = n x ( n −1) x ( n −2)! en general :

(propiedad degradativa de los factoriales) 4) 5) 6)

( n +1)! + n! = ( n + 2) x n! ( n −1)! −n! = - n x n! n! + ( n +1)! + (n + 2)! = ( n + 2) 2 x n!

7)

( n +1)! −1 = 1

x

1! + 2

x

2! + 3

x

3! + .......+

n

x n!

n

En general :

∑i x i!= (n +1)! −1 i =1

8)

1 2 3 n 1 + + + ....... + =1 − 2! 3! 4! (n +1)! ( n +1)! n

En general :

i

1

∑ (i + 1)! = 1 − (n + 1)! i =1

9)

n 1 1 = − ( n +1)! n! ( n +1)!

10) Las operaciones aritméticas dentro de factoriales no están definidas, es decir :

( a ±b)! ≠ a! + b! ( a x b)! ≠ a! x b! a! a   ! ≠ b! b  n ( a ) ! ≠ ( a!) n Aquí va algunos ejercicios de aplicación :

1) Reducir : E =

21!+22! 18! + 21! 16!+17!

Solución: De acuerdo con la propiedad (C4):

21!

+

22! = 23 x 21!

16!

+

17! = 18 x 16!

.....(1) .....(2)

Entonces reemplazando (1) y (2) en “E” tendremos :

E=

23 x 21! 18! + 21! 18 x16!

De acuerdo con la segunda expresión de la propiedad degradativa de los factoriales (C3) : 18! = 18 x 17 x 16! y simplificando 21! luego :

E = 23 +

18 x17 x16! 18 x16!

Nuevamente simplificando y operando:

E = 40

2) Reducir : R =

34(33!+34!+35!) 47!−46! + 35! 46!

Solución: Por la propiedad (C6) :

33! + 34! + 35! = 35 2 x 33! …..(1) Por la propiedad (C5) :

47! −46! = 46 x 46!

…..(2)

Entonces reemplazando (1) y (2) en R, ésta quedara así :

R=

34 x(35 2 x33!) 46 x 46! + 35! 46!

Simplificando 46! y de acuerdo con la segunda expresión de la propiedad degradativa de los factoriales (C2) : 35! = 35 x 34 x 33! luego:

R=

34 x35 2 x33! + 46 35 x34 x33!

Finalmente reduciendo y ordenando:

R = 81 D) Semifactorial de un número natural El semifactorial de un número natural “ n ” se define como el producto de multiplicar los números Impares consecutivos desde 1 hasta n , cuando n es impar o como el producto de multiplicar los Números pares consecutivos desde 2 hasta n , cuando n es par. El semifactorial de un número natural “ n ”, en ambos casos, esta representado por : n!! , entonces De acuerdo a la definición:

1 x 3 x 5 x 7 x .......... x n ; si n es impar. n!! =

1 x 2 x 4 x 6 x 8 x ......... x n ; si n es par. Nótese que si usamos la notación inglesa el semifactorial de Ejemplos: 1) 3!! =

1x3 =3

2) 5!! =

1 x 3 x 5 = 15

3) 4!! = 2 x

4 =8

n

se expresaría como:

4) 6!! =

2 x4 x6

E) Propiedades: 1) n!! =

n

x ( n −2)!!

(Propiedad degradativa de los semifactoriales)

2) n!! x ( n +1)!! = ( n +1)! (Propiedad del producto de semifactoriales de números enteros consecutivos) 3) Relaciones matemáticas entre factoriales y semifactoriales: a) ( 2n)!! =

2 n x n!

b) ( 2n +1)!! =

(2n +1)! 2 n (n!) n!!

Observación importante: Ejemplo:

3!!

≠

≠

(n!)!

(3!)!

en efecto:

3!! = 1 x 3 = 3 (3!)! = 6! = 720 Aquí va un ejercicio de aplicación : 1) Simplificar : M =

24!! 12!!(13!!+15!!)

Solución: Empleando la propiedad (E3-a) :

24!! = 212 x 12! .....(1) y de acuerdo a la propiedad degradativa de los semifactoriales (E1):

15!! = 15 x 13!! .....(2) reemplazando (1) y (2) en M :

M =

212 x12! 12!!(13!!+15 x13!!)

entonces:

M =

212 x12! 12!! x16 x13!!

por lo tanto:

M =

2 8 x12! ....(3) 12!! x13!!

Además según la propiedad del producto de semifactoriales de dos números enteros Consecutivos (E2):

12!! x13!! = 13!

....(4)

Entonces reemplazando (4) en (3) :

M =

2 8 x12! 13!

......(5)

luego por la primera expresión de la propiedad degradativa de los factoriales (C3) :

13! = 13 x 12! por lo tanto en (5) :

M =

2 8 x12! 13 x12!

28 13

simplificando :

M =

o bien:

M =19,69.......