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SOLUCIONARIO - APLICACION DE LAS DERIVADAS

Por: Univ. Ruben A. Mamani Ch. se tiene la siguiente solución:

1. Efectuar un análisis completo de:

++++

Solución: Para nuestro fin hallamos:

1.

Dominio

------0

++++ 4

y 5.2. Decrecimiento

. ;

2. Intersección de ejes coordenadas en: y 2.1. Para eje de ; .

Eligiendo un valor entre y en ……Verdad Se tiene la siguiente solución:

Factorizando la ecuación por el Teo. Ruffine se tiene las intersecciones en eje de :

++++

------0

2.2. Para eje de ; Reemplazando

en

se tiene la intersección

en eje de :

6. Calculo de: Los P.C. son

4

(punto mínimos).

Analizando los intervalos se deduce a: 6.1.

3. Asíntotas. 3.1. Asíntotas Verticales.

en

3.2. Asíntotas horizontales.

6.2. en

3.3. Asíntotas Oblicuas.

4. Calculo de

(Punto Máximos) y

++++

7. Calculo de

(punto crítico).

(punto de inflexión). en

5. Calculo de Crecimiento y decrecimiento. 5.1. Crecimiento

8. Calculo de cóncava y convexa. 8.1. Cóncava

Eligiendo un valor entre en ……Falso. 01/07/2010

y

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SOLUCIONARIO - APLICACION DE LAS DERIVADAS

Por: Univ. Ruben A. Mamani Ch.

+ -

2. Efectuar un análisis completo de: +

2

Seguir los mismos pasos del ejercicio 1. 8.2. Convexa

-

9.

2

+

Grafica 3. Efectuar un análisis completo de:

Solución: Para nuestro fin hallamos:

1.

Dominio

y

. ;

2. Intersección de ejes coordenadas en: y a) Para eje de ; .

Las intersecciones en eje de son:

b) Para eje de

Reemplazando La intersección en: 01/07/2010

;

en

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SOLUCIONARIO - APLICACION DE LAS DERIVADAS

Por: Univ. Ruben A. Mamani Ch. en

3. Asíntotas. a) Asíntotas Verticales. b) Asíntotas horizontales.

b) en

c) Asíntotas Oblicuas.

4. Calculo de

(puntos críticos). 7. Calculo de

5. Calculo de Crecimiento y decrecimiento. a) Crecimiento

Eligiendo un valor entre

++++

En

y

evaluar en

-

(punto de inflexión).

8. Calculo de cóncava y convexa. a) Cóncava

; se tiene: -------

++++

0

+

1

b) Decrecimiento +

Eligiendo un valor entre evaluar en ++++ -

-

y

+

; se tiene: -------

0

6. Calculo de:

0.5

(Punto Máximos) y

++++ 1

+

b) Convexo

(punto mínimos).

Los P.C. son -

Analizando los intervalos se deduce a:

-

0.5

+

a) 01/07/2010

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SOLUCIONARIO - APLICACION DE LAS DERIVADAS 9.

Por: Univ. Ruben A. Mamani Ch.

Grafica

4. Efectuar un análisis completo de:

Solución: Para nuestro fin hallamos:

y

1.

Dominio

.

2.

Intersección de ejes coordenadas en: y a) Para eje de ; .

¿Lo logré…. y tú?

Intersección en eje de b) Para eje de ;

Intersección en eje de 3. Asíntotas. a) Asíntotas Verticales.

Para calcular la asíntota debe cumplir la siguiente condición:

b) Asíntotas horizontales. No se puede despejar . Asíntota horizontal. c) Asíntotas Oblicuas. i. Asíntota O. por la derecha. Ec, de la Recta. 01/07/2010

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SOLUCIONARIO - APLICACION DE LAS DERIVADAS

Por: Univ. Ruben A. Mamani Ch.

Eligiendo un valor entre

y

en Reemplazando valores de

y en Ec.

, se tiene:

(Evaluación el signo) Se tiene: ++++

ii. Asíntota O. por la Izquierda.

-

……Falso.

------0

-1

++++ 1

+

b) Decrecimiento en (Evaluación el signo) Se tiene: ++++ -

Reemplazando valores de

y en Ec.

, se tiene:

------0

-1

6. Calculo de: Los P.C. son

……Verdad.

(Punto Máximos) y

++++ 1

+

(punto mínimos).

Asíntota oblicua por izquierda. Analizando los intervalos se tiene: 4. Calculo de

(punto crítico). a) en

5. Calculo de Crecimiento y decrecimiento.

b) en

a)

01/07/2010

Crecimiento

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SOLUCIONARIO - APLICACION DE LAS DERIVADAS 7. Calculo de

Por: Univ. Ruben A. Mamani Ch.

(punto de inflexión).

5. Efectuar un análisis completo de:

Punto de inflexión. 8. Calculo de cóncava y convexa.

Haciendo operaciones para su mejor desarrollo se tiene:

a) Cóncava Solución: Calculando:

y

+ -

+

0

1.

Dominio

.

2.

Intersección de ejes coordenadas en: y a) Para eje de ; .

b) Convexa

-

0

+

Intersección en eje de b) Para eje de ; 9.

Grafica 3. Asíntotas.

Así nto ta

Ob l ic u ad ere c

ha

Asíntota vertical

a) Asíntotas Verticales. Para calcular la asíntota debe cumplir la siguiente condición:

b) Asíntotas horizontales. Despejando de se tiene la siguiente ecuación en 01/07/2010

:

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SOLUCIONARIO - APLICACION DE LAS DERIVADAS

Por: Univ. Ruben A. Mamani Ch. Reemplazando valores de

c) Asíntotas Oblicuas. i. Asíntota Oblicua. por la derecha.

, se tiene:

Asíntota oblicua por izquierda.

Ec, de la Recta.

Donde

y en Ec.

4. Calculo de

(punto crítico).

Asíntota oblicua por la derecha: Punto critico

. Se tiene la ec.

5. Calculo de Crecimiento y decrecimiento. a) Crecimiento

Evaluando el signo se tiene el intervalo. Reemplazando valores de

y en Ec.

, se tiene:

----

-------

-

---2

+

Crecimiento. ii.

Asíntota O. por la Izquierda. b) Decrecimiento Evaluando el signo se tiene el intervalo.

(Evaluación el signo) Donde

Ambos son Verdad.

Asíntota oblicua por la Izquierda: Se tiene:

. Se tiene la ec. De la forma:

+ + + + + + + + + ++ 0

-

6. Calculo de: Donde P.C Por lo tanto 01/07/2010

2

(Punto Máximos) y

++ + + + + +

(punto mínimos).

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SOLUCIONARIO - APLICACION DE LAS DERIVADAS

Por: Univ. Ruben A. Mamani Ch.

a)

6. Efectuar un análisis completo de:

b) 7. Calculo de

(punto de inflexión).

Punto de inflexión. 8. Calculo de cóncava y convexa. a) Cóncava

+ -

Solución: Derivando:

y

1.

Dominio

2.

Intersección de ejes coordenadas en: y a. Para eje de ; .

se tiene:

+

2

b) Convexa b.

Para eje de ;

-

9.

Grafica

2

+

Intersección en eje de 3. Asíntotas. a. Asíntotas Verticales.

Para calcular la asíntota debe cumplir la siguiente condición:

b. Asíntotas horizontales.

No se puede despejar . Asíntota horizontal. 01/07/2010

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SOLUCIONARIO - APLICACION DE LAS DERIVADAS

Por: Univ. Ruben A. Mamani Ch.

c. Asíntotas Oblicuas. i. Asíntota O. por la derecha. Demostrar:

b.

Decrecimiento – .

ii.

Asíntota O. por la Izquierda. Demostrar:

----

-------

-1

---+

1

Asíntota oblicua por izquierda. 4.

Calculo de

6. Calculo de:

(punto crítico).

(Punto Máximos) y

(punto mínimos).

Donde punto crítico: Analizando los intervalos se tiene: a.

Punto critico. 5.

b.

Calculo de Crecimiento y decrecimiento. a.

Crecimiento 7. Calculo de

Eligiendo un valor entre

(punto de inflexión).

y

8. Calculo de cóncava y convexa. a.

Cóncava

(Evaluación el signo) – . -------

---1

+

-1

+ -

01/07/2010

-1

+

----

Ver el intervalo:

0

1

+

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SOLUCIONARIO - APLICACION DE LAS DERIVADAS b.

Por: Univ. Ruben A. Mamani Ch.

Convexa

7. haga un estudio de la siguiente función

Ver el intervalo:

Solución: Calculando la:

y

, simplificando se tiene como resultado:

-

9.

Grafica

-1

0

1

+

1.

Dominio

.

2.

Intersección de ejes coordenadas en: y a. Para eje de ; .

Intersección en eje de b. Para el eje de

;

3. Asíntotas. a. Asíntotas Verticales. Para calcular la asíntota debe cumplir la siguiente condición:

Las asíntotas son: b. Asíntotas horizontales.

La asíntota horizontal es:

01/07/2010

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SOLUCIONARIO - APLICACION DE LAS DERIVADAS c. Asíntotas Oblicuas. i.

Por: Univ. Ruben A. Mamani Ch.

4. Calculo de

(punto crítico).

Asíntota O. por la derecha. Ec, de la Recta.

5. Calculo de Crecimiento y decrecimiento. a. Crecimiento

Eligiendo un valor entre Reemplazando valores de

y en Ec.

y y evaluando el signo.

en

, se tiene:

(Evaluación el signo) como resultado se tiene ii.

Asíntota O. por la Izquierda.

-----

-----

b.

++++ 0

-2

.

++++ +

2

Decrecimiento

Eligiendo un valor entre

y y evaluando el signo.

en (Evaluación el signo) como resultado se tiene Reemplazando valores de

y en Ec.

.

, se tiene: - - - - -

-2

- - - - -

+ + + + 0

+ + + + 2

+

Asíntota oblicua por izquierda.

01/07/2010

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SOLUCIONARIO - APLICACION DE LAS DERIVADAS 6. Calculo de: Los P.C. son

(Punto Máximos) y

Por: Univ. Ruben A. Mamani Ch.

(punto mínimos). b.

Convexa

Analizando los intervalos se tiene: a. b. Al azar

en

en

Por tanto el signo de resultado es positiva entonces es Falso. 7. Calculo de

(punto de inflexión). -

9.

Punto de inflexión.

-2

0

2

+

Grafica

8. Calculo de cóncava y convexa. a.

Cóncava

Evaluando el signo entre Al azar

a ,

en

Por tanto el signo de resultado es positiva es verdad

+ -

-2

0

2

+

Se recomienda al lector un análisis completo de los ejercicios resueltos, ya que puede haber errores de transcripción. 01/07/2010

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SOLUCIONARIO - APLICACION DE LAS DERIVADAS

Por: Univ. Ruben A. Mamani Ch. EJERCICIOS PROPUESTAS

De acuerdo a las funciones definidos a continuación, haga un estudio y determine de ser posible todos los puntos aplicados anteriormente:

Razona y medita antes de resolver los ejercicios.

Atentas todas y todos. Importante: Los signos. No SE OLVIDEN nunca de ellos.

El verdadero conocimiento está escrito en un enorme libro abierto continuamente ante nuestros ojos, me refiero al universo; pero uno no puede entenderlo, uno debe aprender la lengua y reconocer los caracteres para poder entender el lenguaje en el que está escrito, está escrito en lengua de las matemáticas. Galileo

01/07/2010

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