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• Juan Emanuel VG

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2.- Un buque militar se encuentra anclado a 9 km del punto más próximo a la costa. Se precia enviar un mensajero a un campamento militar situado a 15 km del punto de la costa más próxima al buque, medido a lo largo de la costa. El mensajero andando a pie hace 5 km/hr y remando 4Km/hr. ¿En qué punto de la costa debe de desembarcar el mensajero para llegar al campamento en el mínimo tiempo posible?

Figura 2.- Representación gráfica del enunciado. Solución: Sea x la distancia entre B y C, entonces la distancia que ha de correr es │BD│ = 15-X, y por el teorema de Pitágoras la distancia que ha de remar │AC│ =

√ X 2 +81

. Se procede a utilizar la

siguiente ecuación:

tiempo=

distancia rapidez

Por lo tanto el tiempo que el mensajero hace remando es pie es

15−x 5

T ( x )= √

√ X 2+ 81 4

, y el tiempo que se hace a

. De lo anterior el tiempo total T como función x es:

X 2+ 81 15−x + 4 5

De la función anterior si x = 0 el mensajero rema hacia B, si x>0 rema hacia C. La derivada de la función de T es:

dT X 2 +81 15−x =( √ + ) dx 4 5 Se sacan constantes: 1

1 dT 2 ( x + 81 ) 2 + 1 d T (15−x) 4 dx 5 dx Aplicando regla de la cadena:

−1 1 ∗1 2 ( x + 81 ) 2 ∗d T 2 4 1 (x + 81)+ (−x ) 2 dx 5

1 ∗1 −1 4 2 ( x +81 ) 2 ( 2 x )− 1 2 5 Por lo tanto se obtiene: '

T ( x )=

x 1 − 2 4 √ x + 81 5

Suponiendo que x≥0, entonces T’(x) = 0 :

x 1 = 2 4 √ x + 81 5 Al resolver para x se obtiene:

5 x=4 √ x 2 +81 5x ¿ ¿ ¿ 25 x2 =16 ( x2 +81 ) 2

2

25 x =16 x +1296 25 x2 −16 x2=1296 2 x ( 25−16 )=1296

2

x=

1296 (25−16)

2

x =144 x=√ 144=12 El único numero critico es x = 12 . Para ver si el mínimo ocurre en este número critco o en un extremo del domino [0,15], se evalúa T en los tres puntos:

T ( 0 ) =5.25T ( 12 )=4.35 T ( 15 )=4.37 Conclusiones:

 

Como el más pequeño de estos valores de T se produce cuando x = 12 Km, el valor mínimo absoluto de T debe de ocurrir allí. La gráfica 2 ilustra este caculo mostrando la gráfica de T. Así el hombre debe desembarcar en un punto de 12 Km hacia la costa de su punto de partida.

Gráfica 2.- Representación gráfica de la función del tiempo que tarda el mensajero en llegar al campamento