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CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS PROBLEMARIO; CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA.

ALUMNO: CARLOS DAVID PEÑA OLGUÍN # EXPEDIENTE: 281399 PROFESOR: M.C. GUILLERMO HIYANE NASHIRO MAESTRÍA: MAESTRÍA EN INGENIERÍA DE CALIDAD Y PRODUCTIVIDAD.

Capítulo V: Índices de capacidad, métricas Seis Sigma y análisis de tolerancias. 1. ¿Cuándo se dice que un proceso es capaz o hábil? Se dice que el proceso es capaz Cuando el Cpk (tendencia central la variabilidad) es mayor a 1.25 para un proceso ya existente en caso de un nuevo proceso mayor 1.45 2. Con respecto a los índices Cp y Cpk, explique: a) ¿Qué mide el índice Cp? Mide el ancho de las especificaciones o la variación tolerada para el proceso con la amplitud de la variación real: b) ¿Qué significa que un proceso esté descentrado? Explique con un ejemplo. Es cuando el valor del índice Cpk es mucho más pequeño que el Cp, significa que la media del proceso está alejada del centro de las especificaciones. Ejemplo: En un proceso de envasado de gaseosa la especificación inferior EI = 270 ml y la superior ES = 290 ml, con una valorización ideal o nominal de N = 280. Para monitorear el correcto funcionamiento del proceso de corte, cada media hora se toma 5 envases y se mide. De acuerdo con las mediciones realizadas en el último mes, en donde el proceso ha estado trabajando de manera estable, se tiene que la media y la desviación estándar del proceso (poblacional) son μ = 283 y σ = 3, respectivamente. De donde se destaca que el proceso no está centrado, ya que la media del proceso, μ = 283 está alejada del centro de las especificaciones (N = 280). c) ¿El índice Cp toma en cuenta el centrado de un proceso? Argumente su respuesta. El índice Cp si toma en cuenta el Variabilidad del proceso, porque de ahí se puede observar la clase o categoría del proceso. d) ¿Por qué se dice que el índice Cp mide la capacidad potencial y el Cpk la capacidad real? Apóyese en los puntos anteriores para explicar. Con el Cp nos dice si el proceso como se encuentra su variabilidad y de acuerdo a eso nos ubica en una clase o categoría del proceso y el índice Cpk representa el valor mínimo entre el Cpi y Cps, es decir, es igual al índice unilateral más pequeño. Y tiene la ventaja que considera el centrado del proceso.

3. Sí una característica de calidad debe estar entre 30 +- 2 y se sabe que su media y desviación estándar están dadas por µ=29.3 y σ= 0.5, calcule e interprete a detalle los siguientes indicies Cp, Cpk, K, Cr y Cpm. DATOS µ= 29.3 σ=0.5 N=30 ±=2 ESUP=30+2=32 EINF=30-2=28 Cp=

ESUP−EINF 6σ

Cp=

32−28 = 1.33 6 ( 0.5 )

Es un proceso adecuado pues el índice Cp es 1.33 por lo tanto es adecuado Cr=

6σ ESUP−EINF

Cr=

6( 0.5) = 0.75(100) =75% 32−28

El proceso cubre un 75% de la banda de especificaciones CPS=

ESUP−µ 3σ

CPS=

32−29.3 2.7 = =1.8 1.5 3(0.5)

CPI=

µ−EINF 3σ CPS=

29.3−28 1.3 = =0.86 1.5 3(0.5)

Cpk= mínimo CPS= CPS=

ESUP−µ µ−EINF , CPS= 3σ 3σ

29.3−28 1.3 = =0.86 1.5 3(0.5)

Como el proceso Cpk es menor a 1 el proceso por lo tanto cumple con una de las especificaciones. K=

K=

(

µ−N 1 ( ESUP−EINF ) 2

)

∗100

29.3−30 −0.7 = =−0.35 ( 100 )=35 % 1 2 (32−28) 2

Cuando el valor es negativo significa que la media del proceso es menor que valor nominal. Cpm¿

ESUP−EINF 6τ

τ =√ σ 2+¿ +¿ ¿ τ =√(0.5)2+¿ +¿ ¿ Cpm¿

32−28 4 = =0.775 6 ( 0.8602 ) 5.1612

Como el Cpm es menor que uno, significa que el proceso no cumple con especificaciones, ya sea problemas de centrado o por exceso de variabilidad. 4. Para el ejercicio 13 del capítulo 2, acerca del grosor de las láminas de asbesto, se tiene que las especificaciones son EI= 4.2mm, ES= 5.8mm, además de las mediciones realizadas en los últimos tres meses, se aprecia un proceso con una estabilidad aceptable, con µ= 4.75 y σ= 0.45. Ahora contesta lo siguiente: N=5mm

a) Calcule el índice K e interprételo K=

K=

µ−N 1 *100 ( ESUP−EINF) 2 4.75−5 1 =-0.3125(100) =-31.25% (5.8−4.2) 2

Se considera aceptable pues el índice es menor que 20% b) obtenga los índices Cp y Cpk e interprételos Cp=

ESUP−EINF 6σ

Cp=

5 . 8−4 . 2 =0.592 6( 0 . 45)

No adecuado para el trabajo. Es necesario un análisis del proceso. Requiere de modificaciones serias para alcanzar una calidad satisfactoria. CPS=

ESUP−µ 3σ

CPS=

5 . 8−4 . 75 =0 .777 3(0 . 45)

CPI=

µ−EINF 3σ

CPI=

4 .75−4 .2 =0. 407 3(0 . 45)

Cpk= mínimoCPS=

ESUP−µ µ−EINF ,CPI = 3σ 3σ

Cpk= 0.407 Si el proceso Cpk es satisfactorio (mayor a 1.25) el proceso es capaz, pero si es menor el proceso no cumple con por lo menos una especificación es inadecuado.

c) en resumen, ¿el proceso cumple con las especificaciones? Este cumple con tan solo algunas de las especificaciones solo es necesario hacerle algunas modificaciones para que sea apto 5. Los siguientes datos representan las mediaciones de viscosidad de los últimos tres meses de un producto lácteo. El objetivo es tener una viscosidad de 80+- 10cps a) Construya una gráfica de capacidad de procesos (histograma con tolerancias)

35 30 25 20 15 10 5 0

Histograma

Frecuencia

Clase Frecuencia 77 2 79 8 82 32 85 27 88 10 91 1 94 0 y mayor... 0

Frecuencia

77

79

82

85 Clase 88

91

94 y mayor...

b) Calcule la media y desviación estándar, y tomando a estos como parámetros poblacionales estime los índices Cp. Cpk y K, e interprételos con detalle. Datos N=80 +-=10 σ=2.6072 µ=82.45 ES=90 EI=70 Cp=

Es−EI 6σ

Cp=

90−70 =¿ 1.278 6(2. 6072)

Parcialmente adecuado, requiere de un control estricto.

CPS=

ES−µ 3σ

CPS=

90−82 . 45 =0 . 965 3(2 . 6072)

CPI=

µ−EI 3σ

CPI=

82 . 45−70 =1. 591 3(2 . 6072)

Cpk= mínimoCPS=

ES−µ µ−EI ,CPI = 3σ 3σ

Cpk=0.965 Si es menor el proceso no cumple con por lo menos una especificación es inadecuado. K=

µ−N 1/2(ES−EI )

K=

82 . 45−80 =0 .245 ¿ 100)=24.5% 1/2(90−70)

Es un proceso muy descentrado Cpm=

ES−EI 6τ 2

τ =√ ( 2. 6072 ) +¿ ¿

τ =√ σ 2 +¿ ¿ Cpm=

90−70 =0 . 931 6 (3 .577)

Cuando Cpm es menor que uno significa que el proceso no cumple con especificaciones, ya sea por problemas de centrado o por exceso de variabilidad. c) Con base en la tabla 5.2 también estime el porcentaje fuera de especificaciones CPI=1. 5=¿0.0003%

CPS=0 . 965= 0.3467%

d) ¿las estimaciones realizadas en los dos incisos anteriores y la correspondiente estimación se deben de ver con ciertas reservas? Si ¿Por qué? Pues cada una nos indica el porcentaje de cada lado izquierda y derecha 6. Para el ejercicio 15 capitulo 2, estime los índices de capacidad, Cp, Cpk y K, e interprételos Cp=

ES−EI 6σ

Cp=

28 .5−27 . 5 =0.833 6(0 .2)

Es un proceso no es adecuado para el trabajo, es necesario un análisis para el trabajo CPS=

ES−µ 3σ

CPS=

28 .5−28 . 11 =0 . 65 3(0 . 2)

CPI=

µ−EI 3σ

CPI=

28 . 11−27 . 5 =1 . 016 3(0 . 2)

Cpk=0.65 K=

µ−N 1/2(ES−EI )

K=

28 . 11−28 =0 .22 (100) =22% 1/2(28 . 5−27 . 5)

Es un proceso muy descentrado pues está arriba del 20%. 7. Una característica importante en la calidad de la leche de vaca es la concentración de grasa. En una industria en particular se fijó 3.0% como el estándar mínimo que debe cumplir el producto que se recibe directamente de los establos lecheros. Si de los datos históricos se sabe que μ = 4.1 y σ = 0.38:

a) Calcule el Cpi e interprételo. El valor es 0.9649, no llega a 1, por lo tanto, no está ni siquiera sobre los límites, lo cual no es aceptable. b) Con base en la tabla 5.2, estime el porcentaje fuera de especificaciones. El porcentaje fuera de especificación es 0,3467%, lo cual arroja 3467 de piezas fuera de especificación. c) ¿La calidad es satisfactoria? Depende de la exigencia del giro comercial, pero es un PPM suficiente alto para rechazar. 8. En el ejercicio 17 del capítulo 2, con ES = 6, estime el índice Cps e interprételo. El CPs es de 0.13, lo cual es un valor demasiado bajo, hay mucha probabilidad de que se incumpla la especificación. 9. Para el ejercicio 21 del capítulo 2, estime el Cpi e interprételo. El Cpi es de 1.7 lo cual indica una muy alta probabilidad de cumplir la especificación. El proceso está en control. 10. En una empresa que elabora productos lácteos se tiene como criterio de calidad para la crema, que ésta tenga 45% de grasa, con una tolerancia de ±5. De acuerdo con los muestreos de los últimos meses se tiene una media de 44.5 con una desviación estándar de 1.3. Realice un análisis de capacidad para ver si se cumple con la calidad exigida (Cp, Cpk, K, Cpm, límites reales), represente de manera gráfica ca sus resultados y coméntelos. Cp Cpi Cps Cpk K Cpm

1.28205128 1.15384615 1.41025641 1.15384615 -10 1.19659693

11. El volumen en un proceso de envasado debe estar entre 310 y 330 ml. De acuerdo con los datos históricos se tiene que μ = 318 y σ = 4. ¿El proceso de envasado funciona bien en cuanto al volumen? Argumente su respuesta.

ES−EI 330−310 = = 0.83 6σ 6 (4 )

Cp= Cps=

ES−µ 330−318 = =1 3σ 3 (4 )

Cpi=

µ−EI 310−318 = = 0.66 3σ 3 (4 )

Cpk= mínimo(

µ−EI ES−µ ; )= 0.66 3σ 3σ

Como el índice Cpk es menor que 1 el proceso el proceso no cumple con una de las especificaciones. K=

µ−N 0 . 5( ES−EI )

K=

318−320 =−0 .2 0 . 5(330−310) Como el valor de K es negativo significa que la media del proceso es menor que el valor nominal.

τ =√ σ 2 +( µ−N )2 2

τ =√ 4 2+ (318−320 ) =4 . 47 Cpm=

ES−EI 330−310 =¿ 0.745 = 6τ 6 (4 . 47)

12. El porcentaje de productos defectuosos en un proceso es de 2.3%. Con base en la tabla 5.2 estime el Cp de este proceso. El Cp es de aproximadamente 0.75., siendo éste un valor muy bajo que indica un proceso fuera de control estadístico y con un alto nivel de scrap. 13. Si un proceso tiene un Cps = 1.3, estime las PPM fuera de especificaciones (apóyese en la tabla 5.2). Con un CPs = 1.3 el proceso se encuentra en control estadístico y cuenta con 48.116 PPM. En general, se puede considerar un proceso aceptable, a excepción de que fuese un proceso Seis Sigma o superior. 14. La especificación del peso de una preforma en un proceso de inyección de plástico es de 60 ± 1 g. Para hacer una primera valoración de la capacidad del proceso se obtiene una muestra aleatoria de n = 40 piezas, y resulta que  = 59.88 y S = 0.25.

a) Estime con un intervalo de confianza a 95% los índices Cp, Cpk y Cpm, e interprete cada uno de ellos. Datos N=60 +-=1 σ=0.25 µ=59.88 ES=61 EI=59 Estime con un intervalo de confianza a 95% los índices Cp, Cpk, Cmp, e interprete cada uno de ellos. Es−EI 6σ 61−59 Cp= =¿1.333 6(0 .25) Es adecuado ES−µ Cps= 3σ 61−59. 88 CpS= =1.493 3 (0 .25) µ−EI Cpi= 3σ 59 . 88−59 Cpi= =1. 173 3(0 . 25) Cpk=minimo ¿) Cpk= 1 .173 Cp¿

Es un proceso no adecuado pues debe de ser igual a 1.25 o mayor que este Cpm=

ES−EI 6τ

τ =√ (0 . 25)2+ ¿¿

τ =√ σ 2 ¿ ¿ Cpm=

61−59 =1 . 203 6 (0 . 277)

Cuando Cpm es mayor que uno significa que el proceso cumple con especificaciones b) ¿Hay seguridad de que la capacidad del proceso sea satisfactoria? Si, porqué la confianza de cada proceso es de 95%. c) ¿Por qué fue necesario estimar por intervalo?

Para determinar que cada proceso cumpla con sus especificaciones. 15. Conteste los primeros incisos del problema anterior, pero ahora suponga que el tamaño de la muestra fue de n = 140. ¿Las conclusiones serían las mismas? Si serán las mismas puesto que solo cambia el número de las piezas no la σ, µ ni los valores de ES y EI. Estime con un intervalo de confianza a 95% los índices Cp, Cpk, Cmp, e interprete cada uno de ellos. Es−EI 6σ 61−59 Cp= =¿1.333 6(0 .25) Es adecuado pues cumple con las especificaciones ES−µ Cps= 3σ 61−59. 88 CpS= =1.493 3 (0 .25) µ−EI Cpi= 3σ 59 . 88−59 Cpi= =1. 173 3(0 . 25) Cpk=m í nimo ¿) Cpk= 1 .173 Es adecuado ES−EI Cpm= τ =√ σ 2 ¿ ¿ 6τ 61−59 Cpm= =1 . 203 τ =√ (0 . 25)2+ ¿¿ 6 (0 . 277) Es adecuado pues cpm es mayor que 1 Cp¿

16. Realice el problema 14 con de n = 40 piezas,  = 59.88 y S = 0.15. Datos N=60 +-=1 σ=0.15 µ=59.88 ES=61 EI=59 Estime con un intervalo de confianza a 95% los índices Cp, Cpk, Cmp, e interprete cada uno de ellos.

Es−EI 6σ 61−59 Cp= =¿2.222 6( 0 .15) Tiene una calidad de 6 sigma ES−µ Cps= 3σ 61−59. 88 CpS= =2.488 3 (0 .15) µ−EI Cpi= 3σ 59 . 88−59 Cpi= =1. 955 3(0 . 15) ES−µ µ−EI ,CPI = Cpk= mínimoCPS= 3σ 3σ Cpk= 1 . 955 Es un proceso adecuado este debe ser mayor que 1.25 ES−EI Cpm= τ =√ σ 2 ¿ ¿ 6τ 61−59 Cpm= =1 .736 τ =√(0 . 15)2+¿ ¿ 6 (0 .192) Es adecuado pues es mayor que 1 Cp¿

17. La longitud de una pieza metálica debe ser de 8 cm ± 40 mm. Para evaluar la capacidad del proceso se toma una muestra aleatoria sistemática de 48 piezas y las mediciones obtenidas se reportan como las micras que se desvían del valor nominal: Longitud (desviación en micras de valor nominal) −10 −31 −16 −7 0 3 0 −21 8 −7 −2 −7 −14 −2 5 8 −2 −5 8 2 −45 −12 −5 12 −19 18 −10 −14 −5 −10 7 12 4 5 −2 5 −13 14 5 −9 −2 3 20 −4 −4 1 4 17

a) Ahora, los datos están reportados y las especificaciones son 0 ± 40, obtenga una gráfica de capacidad (histograma con tolerancias) y haga una evaluación preliminar de la capacidad del proceso. El proceso podría ser aceptable, existe una causa especial de variación.

b) Estime, con un intervalo de confianza de 95%, los índices Cp, Cpk y Cpm, e interprete cada uno de ellos. Cp=1.09, a penas dentro de especificaciones Cpk=1.02, a penas mayor que 1, cumple con las especificaciones. Cpm=1.62, como el Cpm es mayor a uno, significa que el proceso cumple con especificaciones. c) ¿Hay seguridad de que la capacidad del proceso es satisfactoria? No, hasta resolver la causa especial de variación. d) ¿Por qué fue necesario estimar por intervalo? Para reducir el efecto del valor que va más allá de la variación natural. 18. En el problema 24 del capítulo 2 se desea garantizar que el porcentaje de CO2 (gas)

este entre 2.5 y 3.0. Por medio del análisis de los datos obtenidos: a) Calcule los índices de capacidad del proceso, en especial Cp y Cpk, e interprételos. Datos N=115

σ= 0.055 µ= 2.59 ES= 2.65 EI=2.54 Es−EI 6σ 2 .65−2 .54 Cp= =0 . 333 6( 0. 055) No es adecuado para el trabajo ES−µ Cps= 3σ 2 . 65−2 . 59 CpS= =0 .33 3(0 . 055) µ−EI Cpi= 3σ 2 . 59−2 . 54 Cpi= =0 . 33 3 (0 . 055) ES−µ µ−EI ,CPI = ) Cpk= mínimo(CPS= 3σ 3σ Cpk= 0 . 33 La media del proceso está fuera de las limitaciones. b) Con la evidencia obtenida, ¿Cuál es su opinión acerca de la capacidad del proceso referido? Cp¿

No se cuenta con un proceso estable, por lo que es necesario realizar ajustes inmediatamente.

19. Que significa que un proceso tenga un nivel de calidad Tres Sigma? ¿Por qué ese nivel no es suficiente? Tener un proceso Tres Sigma significa que el índice Z correspondiente es igual a tres. El nivel no se considera suficiente porque representa 66,800 defectos por millón. 20. Explique cuál es la diferencia entre capacidad de corto y de largo plazo. La capacidad a corto plazo evalúa la capacidad potencial con base en la variación del proceso, y la ubicación como la variación (dentro de los subgrupos) del proceso. La capacidad a largo plazo evalúa la capacidad general con base en la variación del proceso, y la ubicación general del proceso. 21. Explique la métrica Seis Sigma (el estadístico Z).

El índice Z se emplea como métrica en Seis Sigma cuando la característica de calidad es de tipo continuo; sin embargo, muchas características de calidad son de atributos. Índice DPU (defectos por unidad). Métrica de calidad que es igual al número de defectos encontrados entre el número de unidades inspeccionadas. No toma en cuenta las oportunidades de error. Índice DPO (defectos por oportunidad). Métrica de calidad que es igual al número de defectos encontrados entre el total de oportunidades de error al producir una cantidad específica de unidades. DPMO (defectos por millón de oportunidades). Métrica Seis Sigma para procesos de atributos que cuantifica los defectos esperados en un millón de oportunidades de error 22. De un ejemplo donde se apliquen las siguientes métricas: DPU, DPO y DPMO, e interprete. Su negocio de impresión imprime pedidos personalizados de artículos de oficina. Cada pedido se considera una unidad. Se seleccionan de manera aleatoria 50 pedidos, se inspeccionan y se encuentran los siguientes defectos. Dos pedidos están incompletos Un pedido está dañado y es incorrecto (2 defectos) Tres pedidos tienen errores tipográficos Seis de los pedidos tienen problemas y hay un total de 7 defectos en la muestra de 50 pedidos; por lo tanto, DPU = 7/50 = 0.14. En promedio, este es el nivel de calidad y cada unidad de producto contiene en promedio este número de defectos. Seis de los pedidos tienen problemas y hay un total de 7 defectos en las 200 oportunidades (50 unidades * 4 oportunidades / unidad); por lo tanto, DPO = 7/200 = 0.035. Hay un total de 7 defectos en 200 oportunidades. Por lo tanto, DPO = 0.035 y DPMO = 0.035 * 1000000 = 35,000. Si el proceso mantiene esta tasa de defectos durante el tiempo que se necesita para producir 1,000,000 de pedidos, generará 35,000 defectos.

23. Si una característica de calidad tiene una especificación de 35 ± 1, y de acuerdo con datos históricos se tiene que μ = 35.1, y una desviación estándar de corto plazo igual a 0.31, y de largo plazo igual a 0.40, resuelva lo siguiente:

a) Zc=

35 . 1−34 36−35 .1 , =M ínimo ( 3.5484 , 2.9032 )=2.9032 . 31 . 31

ZL=

35.1−34 36−35.1 , =Mínimo ( 2.75 , 2.25 )=2.25 .40 .40

b) 3 sigmas. c) Pp = 0.833 Ppk = min (0.917, 0.75) = 0.75 d) Cp = 1.07 Cpk = min (1.183, 0.968) = 0.968 e) 2700

24. Considere que los datos del ejercicio 15 del capítulo 2 se obtuvieron con 28 muestras de tamaño 4 cada una, y los datos están ordenados por renglón (cada renglón representa dos muestras). Resuelva lo siguiente: a) Obtenga la desviación estándar de corto y largo plazo. b) Calcule Zc y ZL, e interprete. c) ¿Cuál es el nivel de sigmas del proceso? d) Obtenga Pp y Ppk. e) ¿Con cuántas PPM trabaja este proceso?

a) desv est corto plazo = 2.847 desv est largo plazo = 0.1437306 b) Zc=

27.98−27.5 28.5−27.98 , =Mínimo ( 0.169 , 0.183 )=0.169 2.847 2.847

ZL=

27.98−27.5 28.5−27.98 , = Mínimo ( 3.33 , 3.611 )=3.33 0.144 0.144

c) 4 sigmas

d)

Pp = 1.1595 Ppk = 1.11 e) 63ppm

25. A partir de los datos de la tabla 5.5 del ejemplo 5.7 obtenga lo siguiente: a) Obtenga desviación estándar de corto y largo plazo. b) Calcule Zc y ZL, e interprete. c) ¿Cuál es el nivel de sigmas del proceso? d) Obtenga Pp y Ppk. e) ¿Con cuántas PPM trabaja este proceso?

a) desv est corto plazo = 2.01824783 desv est largo plazo = 1.99832332 b) Zc=

552.53−551.86 553.20−552.53 , =Mínimo ( 0.332, 0.396 )=0.332 2.018 2.018

ZL=

552.53−551.86 553.20−552.53 , =Mínimo ( 0.335,0 .341 )=0.335 1.998 1.998

c) 1 d) Pp = 0.111 Ppk = 0.111 e) 317 300 ppm

26. De 2 000 tarjetas electrónicas producidas se detectaron 1 000 defectos. Cada tarjeta tiene 50 componentes. a) Calcule los índices DPU y DPMO e interprete. b) Estime el nivel de sigmas de este proceso.

a) DPU = 0.5 DPMO = 10000 b) 3 sigmas. 27. Se examinaron cuatro características críticas en una muestra de 500 órdenes de compra. En 25 de las órdenes fueron encontrados 50 errores de diferentes tipos. a) Obtenga el DPU y el DPMO. b) Estime el nivel de sigmas de este proceso. DPU =

d 50 = =0.01 U 500

DPO=

d 50 = =0.025 ∴ DPMO=25,000 U∗O 500∗4

Y =e−DPU =e−0.01 =0.9900 z L =2.32 ∴ z c =3.82 28. Un proceso tiene cinco defectos codificados con las letras A, B, C, D, E. Los siguientes datos fueron colectados en cierto periodo de tiempo, registrando (D) defectos, unidades (U) y oportunidades (O). a) Con base en los datos de la tabla, obtenga el DPU, el DPO y el DPMO para cada tipo de defecto, así como para el total. b) Obtenga una estimación de la probabilidad de que el producto no tenga ese defecto, Y = e−DPU, y con ello el nivel de sigmas de largo y corto plazo para el defecto correspondiente. c) Considere todos los defectos y determine cuál es el nivel de sigmas del proceso. Con ayuda de Excel obtenemos:

CARACTERÍSTIC D A

U

O

DPU

DPO

Tipo A

20 450

10 0.0444

0.0044

Tipo B

15 350

15 0.0429

0.0029

Tipo C

6

25 0.03

0.0012

Tipo D

25 350

200

DPMO

Y=e^−DP U

4444.444 0.9565 4 2857.142 0.9580 9 1200

0.9704

12 0.07143 0.00595 5952.381 0.9311

ZL

ZC

1.711 8 1.728 5 1.887 4 1.483

3.211 8 3.228 5 3.387 4 2.983

0 Tipo E

30 400

15 0.075

Total

96 1750 77

0.005

5000

0.9277

0.05485 0.00071 712.4304 0.9466 7 2

8 1.459 2 1.612 9

8 2.959 2 3.112 9

29. Se proyecta la producción de una nueva pieza y se requiere establecer sus especificaciones. Para ello, a partir de una producción preliminar se obtiene una muestra pequeña de n = 35 piezas, se mide y se obtiene X–= 26.3 y S = 0.3. Con base en esto obtenga los límites de tolerancia natural, considerando confianzas de γ = 90% y 95% y coberturas dadas por α = 0.10 y 0.05. Explique los cuatro intervalos obtenidos. Formula a utilizar: ´x ± K (γ , α ) S Con ayuda de minitab 17 Intervalo de tolerancia Método Nivel de confianza 90% Porcentaje de población en el intervalo 95% Estadísticas N Media Desv. Est. 35 26.300 0.300 Intervalo de tolerancia de 90% Método no Confianza Método normal paramétrico lograda (25.589, 27.011) (x [1], x [35]) 52.8% x[i] denota la observación i-ésima más pequeña. El nivel de confianza alcanzado se aplica sólo al método no paramétrico De esta manera, con una confianza de 90%, el 95% de la distribución de la nueva pieza se encuentra entre 25.589 y 27.011. Por lo que estos límites y las necesidades funcionales del producto pueden ser usados como información por el diseñador del producto para establecer las especificaciones. Intervalo de tolerancia

Método Nivel de confianza 90% Porcentaje de población en el intervalo 90% Estadísticas N Media Desv. Est. 35 26.300 0.300

Intervalo de tolerancia de 90% Método no Confianza Método normal paramétrico lograda (25.703, 26.897) (x[1], x[35]) 87.8% x[i] denota la observación i-ésima más pequeña. El nivel de confianza alcanzado se aplica sólo al método no paramétrico De esta manera, con una confianza de 90%, el 99% de la distribución de la nueva pieza se encuentra entre 25.703 y 26.897. Por lo que estos límites y las necesidades funcionales del producto pueden ser usados como información por el diseñador del producto para establecer las especificaciones. Intervalo de tolerancia Método Nivel de confianza 95% Porcentaje de población en el intervalo 90%

Estadísticas N Media Desv.Est. 35 26.300 0.300

Intervalo de tolerancia de 95% Método no Confianza

Método normal paramétrico lograda (25.672, 26.928) (x[1], x[35]) 87.8% x[i] denota la observación i-ésima más pequeña. El nivel de confianza alcanzado se aplica sólo al método no paramétrico De esta manera, con una confianza de 95%, el 99% de la distribución de la nueva pieza se encuentra entre 25.673 y 26.927. Por lo que estos límites y las necesidades funcionales del producto pueden ser usados como información por el diseñador del producto para establecer las especificaciones. Intervalo de tolerancia Método Nivel de confianza 95% Porcentaje de población en el intervalo 95%

Estadísticas N Media Desv.Est. 35 26.300 0.300

Intervalo de tolerancia de 95% Método no Confianza Método normal paramétrico lograda (25.552, 27.048) (x[1], x[35]) 52.8% x[i] denota la observación i-ésima más pequeña. El nivel de confianza alcanzado se aplica sólo al método no paramétrico. Con una confianza de 95%, el 95% de la distribución de la nueva pieza se encuentra entre 25.552 y 27.048. Por lo que estos límites y las necesidades funcionales del producto pueden ser usados como información por el diseñador del producto para establecer las especificaciones. Al comparar todos los posibles escenarios el margen más reducido de los limites es con α = 0.01 y γ = 90% y el margen más amplio de los limites es con α = 0.05 y γ = 95%.

30. Si en el problema anterior las especificaciones deseadas, de manera preliminar y de acuerdo con los requerimientos de diseño son: 26 ± 1, obtenga el Cp que se tendría en cada uno de los casos indicados arriba. (Nota: recuerde que el Cp es una razón entre la amplitud de las tolerancias deseadas y la amplitud de la variación del proceso, lo cual se calculó en el inciso anterior.) Formula a utilizar: C p=

Cliente LS−LI = Proceso 6σ

Para α = 0.05 y γ = 90% C p=

27−25 =1.4065 27.011−25.589

Para α = 0.05 y γ = 95% C p=

27−25 =1.3369 27.048−25.552

Para α = 0.10 y γ = 90% C p=

27−25 =1.6750 26.897−25.703

Para α = 0.10 y γ = 95% C p=

27−25 =1.5923 26.928−25.672

31. Si en el punto anterior los Cp obtenidos son malos, ¿qué alternativas hay?

Todos los Cp calculados son mayores a 1.33 por lo que estamos en la categoría 1, es decir nuestro proceso está centrado de manera adecuada. 32. Con respecto al problema 29: a) Resuelva dicho problema considerando que se obtuvieron los mismos datos (X-= 26.3 y S = 0.3), pero ahora suponga que se utilizó un tamaño de muestra de n = 110.

b) Compare los intervalos anteriores con los obtenidos en el problema 29. ¿Por qué tienen distinta amplitud? Formula a utilizar: ´x ± K (γ , α ) S Con ayuda de minitab 17 Intervalo de tolerancia Método Nivel de confianza 90% Porcentaje de población en el intervalo 95%

Estadísticas N Media Desv.Est. 110 26.300 0.300

Intervalo de tolerancia de 90% Método no Confianza Método normal paramétrico lograda (25.652, 26.948) (x[1], x[109]) 91.7% x[i] denota la observación i-ésima más pequeña. El nivel de confianza alcanzado se aplica sólo al método no paramétrico

Intervalo de tolerancia Método Nivel de confianza 90% Porcentaje de población en el intervalo 90%

Estadísticas N Media Desv.Est.

110 26.300

0.300

Intervalo de tolerancia de 90% Método no Confianza Método normal paramétrico lograda (25.756, 26.844) (x[3], x[107]) 93.2% x[i] denota la observación i-ésima más pequeña. El nivel de confianza alcanzado se aplica sólo al método no paramétrico

Intervalo de tolerancia Método Nivel de confianza 95% Porcentaje de población en el intervalo 90%

Estadísticas N Media Desv.Est. 110 26.300 0.300

Intervalo de tolerancia de 95% Método no Confianza Método normal paramétrico lograda (25.741, 26.859) (x[3], x[108]) 96.9% x[i] denota la observación i-ésima más pequeña. El nivel de confianza alcanzado se aplica sólo al método no paramétrico

Intervalo de tolerancia Método Nivel de confianza 95% Porcentaje de población en el intervalo 95%

Estadísticas N Media Desv.Est. 110 26.300 0.300

Intervalo de tolerancia de 95% Método no Confianza Método normal paramétrico lograda (25.634, 26.966) (x[1], x[110]) 97.6% x[i] denota la observación i-ésima más pequeña. El nivel de confianza alcanzado se aplica sólo al método no paramétrico Comparando los resultados obtenidos en el problema 29 con los nuevos resultados podemos ver que la amplitud de los límites para cada caso varia ya que estos se ven alterados proporcionalmente por la cantidad de datos utilizados en la muestra. γ/α 90/95 90/90 95/90 95/95

35 pzs [25.589-27.011] [25.756-26.844] [25.741-26.859] [25.634-26.966]

110 pzs [25.652-26.948] [25.703-26.897] [25.672-26.928] [25.552-27.048]

33. Supongamos que la longitud de un ensamble final, y, está dado por la siguiente combinación lineal de tres componentes individuales: y = x1 + x2 + x3. Para la longitud final se tiene una tolerancia de 180 ± 2.5. Las longitudes de cada uno de los componentes se distribuyen normal con media y varianza conocida: x1 ∼N(39.8, 0.23), x2 ∼ N(60.1, 0.59) y x3 ~ N(79.9, 0.92). Todas las longitudes están dadas en milímetros, y pueden suponerse independientes, ya que son producidas en máquinas diferentes. Encuentre el porcentaje de ensambles finales que cumplen con las especificaciones.

Respuesta.

Ensamble final y=x 1 + x 2+ x3 Tolerancia final 177.5

Component e Media

Varianza

X1

39.8

0.23

X2

60.1

0.59

X3

79.9

0.92

longitud

182.5

Media ensamble final µ 179.8 Varianza ensamble final

Porcentaje de ensambles

σ2

1.74

P(y ≤ 182.5)

σ

1.3190906

P(y ≤ 177.5) P(y ≤ 182.5) - P(y ≤ 177.5) 0.9390521

Respuesta.

P(177.5 ≤ y ≤ 182.5) 0.9796643 0.0406122 1

El 93.9% de los productos ensamblados cumplirán con las especificaciones

34. La longitud de un ensamble final, y, está dado por la siguiente combinación lineal de cuatro componentes individuales: y = x1 + x2 + x3 + x4. Para la longitud final se tiene una tolerancia de 107 ± 1.5. Las longitudes de cada uno de los componentes se distribuyen normal con media y varianza conocida: x1 ∼ N(19.8,0.15), x2 ∼ N(10, 0.09), x3 ∼ N(25.02, 0.3) y x4 ∼ N(32,0.23). Todas las longitudes están dadas en milímetros, y pueden suponerse independientes porque son producidas en máquinas diferentes. a)

¿Qué porcentaje de ensambles finales cumplen con especificaciones? y=x 1 + x 2+ x3 + x 4 ¿ Ensamble final ¿ Componente Media

Varianza

X1

19.8

0.15

Tolerancia longitud final

3X2

30

0.27

105.5

X3

25.02

0.3

Media ensamble final

X4

32

0.23

µ=

Porcentaje de ensambles

108.5

106.82

Varianza ensamble final

P(105.5 ≤ y ≤ 108.5)

σ2

0.95

P(y ≤ 108.5)

0.9576139

σ=

0.97467943

P(y ≤ 105.5)

0.08782171

P(y ≤ 108.5) - P(y ≤ 105.5)

0.8697922

Respuesta.

El 86.97% de los productos ensamblados cumplirán con las especificaciones

b) Calcule Cp y Cpk para el ensamble final e interprete. Cp = 0.51 El proceso no es adecuado para el trabajo. Cpk [0.45,0.57] Se tome el valor de 0.45 el cual está próximo al valor de Cp=0.5, lo que indica que la media del proceso está cerca del punto medio de c) En caso de que la capacidad sea inadecuada, ¿qué alternativas sugiere? Analizar la capacidad de proceso por componente e invertir en las máquinas que no sean adecuadas

35. Se diseñan las tolerancias de un ensamble lineal de tres piezas, de forma que la longitud final está dada por y = x1 + x2 + x3. Las especificaciones para el ensamble final son de 32.00 ± 0.7. La longitud de cada componente, x1, x2 y x3, son independientes y se distribuye normal con medias μ1 = 12, μ2 = 8, μ3 = 12, respectivamente. Se desea definir los límites de tolerancias para los ensambles individuales de tal forma que al menos 99.73% de los ensambles finales esté dentro de especificaciones. Realice lo anterior suponiendo que la variación de los componentes individuales proporcional a su longitud (véase ejemplo 5.10). Ensamble final y=x 1 + x 2+ x3 Tolerancia final

Component e

Media

X1

12

X2

8

X3

12

longitud

31.3 32.7 Porcentaje deseado 0.9973 Media long ens final

Varianza longitudes individuales

µ

σ2 = 12c + 8c + 12c = 32c

32

Max valor de desv std

Despeje de constante c

3σ = 0.7

c

σ

Varianzas máximas de cada componente

0.23333333

Varianza de longitud final

0.001701389

X1

0.020416667

σ2 = σ21 + σ22 + σ23 ≤ (0.23333)2

X2

0.013611111

σ2 =

X3

0.020416667

0.05444444

Límites de especificación 12 ± 3 X1 raiz(0.02) X2

* 12 ±

8 ± 3 * raiz(0.01) 8 ± 12 ± 3 * raiz(0.02) 12 ±

X3

0.4286607 0.35 0.4286607

36. Resuelva el problema anterior pero ahora suponga una especificación para el ensamble final de 32.00 ± 0.9, y analice los cambios en las especificaciones de los componentes individuales. Component e Media

Ensamble final y=x 1 + x 2+ x3 Tolerancia final 31.1

X1

12

X2

8

X3

12

longitud 32.9

Porcentaje deseado 0.9973 Media longitud ens final

Varianza longitudes individuales

µ

σ2 = 12c + 8c + 12c = 32c

32

Max valor de desv std

Despeje de constante c

3σ = 0.9

C=

σ=

0.3

0.0028125

Varianzas máximas de cada componente

Varianza de longitud final

X1

0.03375

σ2 = σ21 + σ22 + σ23 ≤ (0.23333)2

X2

0.0225

σ2 =

X3

0.03375

0.09

Límites de especificación 12 ± 3 X1 raiz(0.02) X2 X3

* 12 ±

0.5511351 9

8 ± 3 * raiz(0.01) 8 ± 12 ± 3 * raiz(0.02) 12 ±

0.45 0.5511351 9

37. Dos partes son ensambladas como se muestra en la figura 5.10. La distribución de x1 y x2 es normal con μ1 = 19.9, σ1 = 0.28, y μ2 = 19.45, σ2 = 0.42. La especificación para el claro entre las dos piezas es 0.50 ± 0.38.

a)

¿Qué porcentajes de los ensambles cumplen con la especificación del claro? Límites del claro

Componente

Media

Varianza

Mínimo (EI)

Máximo (ES)

X1

19.9

0.0784

0.12

0.88

X2

19.45

0.1764

Claro del ensamble y=x 1−x 2

Porcentaje de ensambles P(EI ≤ y ≤ ES)

Media de y µ1 - µ 2

0.45

Varianza de y

P(y ≤ ES)

0.802854382

P(Y ≤ EI)

0.256635217

Porcentaje de ensambles

σ1 2 + σ 2 2

0.2548

S

0.504777179

Respuesta

0.54621916

54.61%

b) Calcule la probabilidad de que haya interferencia y de que el ensamble no sea posible. 1-P(y Respuesta ES)=

≤ 19.71%

38. Resuelva el problema anterior, pero ahora considere σ2 = 0.52. Comente y compare los resultados. Límites del claro Mínimo (EI) Máximo (ES) 0.12

0.88

Claro del ensamble y=x 1−x 2

Component e Media

Varianza

X1

19.9

0.0784

X2

19.45

0.2704

Porcentaje de ensambles P(EI ≤ y ≤ ES)

Media de y µ1 - µ 2

0.45

P(y ≤ ES)

0.766718265

P(Y ≤ EI)

0.28816259

Varianza de y

Porcentaje de ensambles

σ1 2 + σ 2 2

Respuesta

S

0.3488 0.59059292 2

0.4785556 7

47.85%

Al aumentar la variación de un componente se reduce el porcentaje de ensambles dentro de especificación