Problemario Para Cae1
Materia: Ingeniería Asistida por Computadora Catedraticos M.C Susana Guitierrez Martinez Alumno: Pablo Alejandro Du
Views 16 Downloads 0 File size 451KB
Recommend stories
- Author / Uploaded
- Pablo Duque
Citation preview
Materia: Ingeniería Asistida por Computadora Catedraticos M.C Susana Guitierrez Martinez
Alumno: Pablo Alejandro Duque Hernandez.
Ingeniería Mecatrónica
Matricula: 1130019
Ciudad Victoria Tamps.
Noviembre del 2013
1
Indice Introduccion ………………………………………………..3 Problema 2.1………………………………………………..4 Problema 2.2………………………………………………..8 Problema 3.1……………………………………………….11 Problema 3.2 ………………………………………………15 Problema 3.3……………………………………………….24 Problema 5.1 ………………………………………………28 Problema 5.2………………………………………………40 Conclusion -………………………………………………..46 Bibliografia…………………………………………………46
2
Introducción En el siguiente reporte realizaremos los problemas que se encuentran en el libro de matlab, para su solucion de estos problemas utilizaremos MATLAB para poder calcular las matrices de rigidez, desplazamientos , cargas en cada nodo , etc ya que si se realizaran a mano seria muy tedioso. Para poder resolver los problemas que a continuacion tendremos, primeramente tendremos que realizar la tabla conectividad de nodos y asi proseguir con los demas calculos según lo que nos vaya pidiendo el problema. Tambien aprenderemos a utilizar nuevas funciones que nos facilitaran los calculos en cada paso del problema como tambien se explica como y porque se realizan las operaciones.
3
Problema 2.1: Considere el sistema elástico compuesto por dos resortes como se muestra en la figura. 2.4. Dado k1 = 200 kN / m, k2 = 250 kN / m, y P = 10 kN, determine: 1. 2. 3. 4.
La matriz de rigidez global para el sistema. Los desplazamientos en el nodo 2. Las reacciones en los nodos 1 y 3. La fuerza en cada resorte.
Figura 2.4. Sistema Elemento elástico.
Discretizacion del dominio. En primer paso para resolver nuestro problema , iniciamos con la tabla de conectividad de nodos, como se muestra en la siguiente tabla. Elemento 1 2
Nodo i 1 2
Nodo j 2 3
Escribir las matrices de rigidez del elemento: En el elemento se deben de encontrar las matrices de rigidez de cada elemento en este caso son K1, K2. Estas matrices se obtienen usando la función SpringElementStiffness como se muestra a continuación. >> k1=SpringElementStiffness (200) k1 = 200 -‐200 -‐200 200 >> K2=SpringElementStiffness (250) k2 = 250 -‐250 -‐250 250
4
Montaje de la matriz de rigidez global: Tomando en cuenta que nuestro sistema de resorte tiene tres nodos la matriz de rigidez global es de 3x3. Para poder obtener K se configura una matriz cero de tamaños de 3x3. >> K=zeros (3,3) K = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Despues se hacén dos llamadas a la función SpringAssemble ya que contamos con un par de elementos elásticos en nuestro sistema. Cada llamada reúne un elemento que nos da lo siguiente: >> K=Spring Assemble(K,k1,1,2) K = 200 -‐200 0 -‐200 200 0 0 0 0 >> K=Spring Assemble (K, k2, 2, 3) K = 200 -‐200 0 -‐200 450 -‐250 0 -‐250 250
Ahora tenemos nuestra matriz global ensamblada la cual es de 3 filas por 3 columnas como se había dicho nos que quedaría anteriormente por lo ya explicado.
5
A continuación aplicamos las condiciones de contorno de nuestro elemento las insertamos en nuestra matriz y la solución del sistema no queda: >> k=K(2:2,2:3) k = 450 -‐250 >> f=[10] f = 10 >> u=k\f u = 0.0222 0 Ahora sabemos que el desplazamiento en el nodo 2 es 0.0222m. lo siguiente que se hizo fue obtener la reacción en los nodos 1 y 3 y la fuerza en cada viga. Primero creamos el vector desplazamiento U y se calcula el vector de fuerza F. >> U=[0 ; u] U = 0 0.0222 0 >> F=K*U F = -‐4.4444 10.0000 -‐5.5556 Las reacciones en los nodos 1 y 3 son -4.4444, -5.5556 respectivamente.
6
Desplazamiento del nodo 2. >> u1=[0 ; U(2)] u1 = 0 0.0222 Se calcula la fuerza del elemento de los vectores f1, f2 esto se hace con la función SpringElementForces y tenemos Como resultado: >> f1=SpringElementForces (k1, u1) f1 = -‐4.4444 4.4444 >> u2=[U(2) ; 0 ] u2 = 0.0222 0 >> f2=SpringElementForces (k2, u2) f2 = 5.5556 -‐5.5556 El resultado obtenido son las fuerzas en cada resorte usando las funciones de MATLAB para la realización del problema podemos calcular tanto los desplazamientos, reacciones y fuerzas de nuestro sistema.
7
Problema 2.2: Considere el sistema compuesto por cuatro resortes como se muestra en la figura. 2.5. Tomando k = 170 kN / m y P = 25 kN, determine: 1. La matriz de rigidez global del sistema. 2. Los desplazamientos en los nodos 2, 3 y 4. 3. La reacción en el nodo 1. 4. La fuerza en cada resorte. Figura 2.5. Paso 1- Discretizacion del dominio. En primer paso para resolver nuestro problema , iniciamos con la tabla de conectividad de nodos, como se muestra en la siguiente tabla. Elemento 1 2 3 4 Pasó
2
Nodo i 1 2 2 3
-
Escribir
Nodo j 2 3 3 4
las
matrices
de
rigidez
del
elemento:
En el elemento se deben de encontrar las matrices de rigidez de cada elemento en este caso son K1, K2, K3, K4. Estas matrices se obtienen usando la función SpringElementStiffness como se muestra a continuación en este caso es similar al problema anterior solo que en este caso son 4 matrices y su constante cambia de valor por lo que hay que sustituirlas con el valor correcto que es 170Kn. >> k1= SpringElementStiffness (170) >> k2= SpringElementStiffness (170) k1 = k2 = 170 -‐170 170 -‐170 -‐170 170 -‐170 170 8
>> k3= SpringElementStiffness (170) k3 = 170 -‐170 -‐170 170 >> k4= SpringElementStiffness (170) k4 = 170 -‐170 -‐170 170 Pasó 3 - Montaje de la matriz de rigidez global: Tomando en cuenta que nuestro sistema de resorte tiene cuatro nodos la matriz de rigidez global es de 4x4. Para poder obtener K se configura una matriz cero de tamaños de 4x4. >> K= zeros (4,4) K = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Despues se hacén cuatro llamadas a la función SpringAssemble ya que contamos con cuatro elementos elásticos en nuestro sistema. Cada llamada reúne un elemento que nos da lo siguiente: >> K= Spring Assemble (K, k1, 1, 2) K = 170 -‐170 0 0 -‐170 170 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> K= Spring Assemble (K, k2, 2, 3) K = 170 -‐170 0 0
-‐170 340 -‐170 0 0 -‐170 170 0 0 0 0 0 >> K=SpringAssemble(K,k3,2,3) K = 170 -‐170 0 0 -‐170 510 -‐340 0 0 -‐340 340 0 0 0 0 0 >> K=SpringAssemble(K,k4,3,4) K = 170 -‐170 0 0 -‐170 510 -‐340 0 0 -‐340 510 -‐170 0 0 -‐170 170 Pasó-4 A continuación aplicamos las condiciones de contorno de nuestro elemento las insertamos en nuestra matriz y la solución del sistema no queda: >> k=K(2:4,2:4) k = 510 -‐340 0 -‐340 510 -‐170 0 -‐170 170 >> f=[0 ; 0 ; 25] f = 0 0 25 >> u=k\f u = 0.1471 0.2206 0.3676 9
Ahora sabemos que el desplazamiento en los nodos 2, 3 ,4 son 0.1471, 0.2206, 0.3676 respectivamente.
Paso-5: lo siguiente que se hizo fue obtener la reacción en el nodo 1 y la fuerza en cada viga. Primero creamos el vector desplazamiento U y se calcula el vector. >> U=[0 ; u] U = 0 0.1471 0.2206 0.3676 >> F=K*U F = -‐25.0000 0.0000 0.0000 25.0000 >> u1=[0 ; U(2)] u1 = 0 0.1471 La reacción en el nodo 1 es -250000. Se calcula la fuerza del elemento de los vectores f1, f2, f3, f4 esto se hace
10
con la función SpringElementForces y tenemos como resultado: >> f1=SpringElementForces(k1,u1) f1 = -‐25.0000 25.0000 >> u2=[U(2) ; U(3)] u2 = 0.1471 0.2206 >> f2=SpringElementForces(k2,u2) f2 = -‐12.5000 12.5000 >> u3=[U(2) ; U(3)] u3 = 0.1471 0.2206 >> f3=SpringElementForces(k3,u3) f3 = -‐12.5000 12.5000 >> u4=[U(3) ; U(4)] u4 = 0.2206 0.3676 >> f4=SpringElementForces(k4,u4) f4 = -‐25 25 Es así como obtenemos la fuerza en cada resorte de nuestra estructura.
Problema 3.1: Considere la posibilidad de la estructura compuesta de tres barras lineales, como se muestra en la figura. 3.5. Considere E = 70GPa, A = 0.005m^2, P1 = 10 kN y P2 = 15 kN, determine: 1. La matriz de rigidez de la estructura. 2. Los desplazamientos en los nodos 2, 3 y 4. 3. La reacción en el nodo 1. 4. La tensión en cada barra. Figura 3.5. Discretizacion del dominio. En primer paso para resolver nuestro problema , iniciamos con la tabla de conectividad de nodos, como se muestra en la siguiente tabla. Elemento 1 2 3
Nodo i 1 2 3
Nodo j 2 3 4
Escribir las matrices de rigidez del elemento: En el elemento se deben de encontrar las matrices de rigidez de cada elemento en este caso son K1, K2, K3. Estas matrices se obtienen usando la función SpringElementStiffness como se muestra a continuación en este caso es similar al problema anterior solo que en este caso son 3 matrices.
>> E=70e6 E = 70000000 >> A=0.005 A = 0.0050
>> L1=1 L1 = 1 >> L2=2 L2 = 11
2 >> L3=1 L3 = 1 Se introduce el modulo de elasticidad y las longitudes de cada elemento. A continuación se calcula cada matriz K1, K2, K3 para luego poder construir nuestra matriz de rigidez global. >> k1=LinearBarElementStiffness(E,A,L1) k1 = 350000 -‐350000 -‐350000 350000 >> k2=LinearBarElementStiffness(E,A,L2) k2 = 175000 -‐175000 -‐175000 175000 >> k3=LinearBarElementStiffness(E,A,L3) k3 = 350000 -‐350000 -‐350000 350000 Montaje de la matriz de rigidez global: Tomando en cuenta que nuestro sistema de tres elementos, cuatro nodos la matriz de rigidez global es. >> K=zeros(4,4) K = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12
Para poder ensamblar nuestra matriz global de rigidez llamamos la función SpringAssemble., donde nos pide la K1 en el nodo 1 y 2. >> K=LinearBarAssemble(K,k1,1,2) K = 350000 -‐350000 0 -‐350000 350000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> K=LinearBarAssemble(K,k2,2,3) K = 350000 -‐350000 0 0 -‐350000 525000 -‐175000 0 0 -‐175000 175000 0 0 0 0 0 >> K=LinearBarAssemble(K,k3,3,4) K = 350000 -‐350000 0 0 -‐350000 525000 -‐175000 0 0 -‐175000 525000 -‐350000 0 0 -‐350000 350000 >> k=K(2:4,2:4) k = 525000 -‐175000 0 -‐175000 525000 -‐350000 0 -‐350000 350000 Podemos observar nuestra matriz de rigidez global ensamblada que nos ha quedado de 3 x 3.
A continuación aplicamos las condiciones de contorno de nuestro elemento las insertamos en nuestra matriz y la solución del sistema no queda: >> f=[-‐10;0;15] f = -‐10 0 15 >> u=k\f u = 1.0e-‐003 * 0.0143 0.1000 0.1429 Ahora sabemos que los desplazamientos en los nodos 2, 3, 4 son: 0.0143, 0.1000, 0.1429 metros respectivamente. lo siguiente que se hizo fue obtener la reacción en el nodo 1 y la fuerza en cada viga. Primero creamos el vector desplazamiento U y se calcula el vector. >> U=[0 ; u ] U = 1.0e-‐003 * 0 0.0143 0.1000 0.1429
>> F=K*U F = -‐5.0000 -‐10.0000 -‐0.0000 15.0000 La reacción en el nodo uno es de 5.0000kN Luego configure el elemento nodal desplazamiento vectores u1, u2 y u3 entonces calcular los vectores de tensión de elementos sigma1, Sigma2 y sigma 3 y las fuerzas llamando la función QuadraticBarElement para poder realizar este pasó. >> u1=[0 ; U(2)] u1 = 1.0e-‐004 * 0 0.1429 >> f1=LinearBarElementForces(k1,u1) f1 = -‐5 5 >> sigma1=f1/A sigma1 = -‐1000 1000 >> u2=[U(2) ; U(3)] u2 = 1.0e-‐004 * 0.1429 1.0000
13
>> f2=LinearBarElementForces(k2,u2) f2 = -‐15 15 >> sigma2=f2/A sigma2 = -‐3000 3000 >> u3=[U(3) ; U(4)] u3 = 1.0e-‐003 * 0.1000 0.1429 >> f3=LinearBarElementForces(k3,u3) f3 = -‐15.0000 15.0000
Las tensiones en cada barra son las siguientes y se calculan usando la
función que se muestra a continuación. >> sigma3=f3/A sigma3 = 1.0e+003 * -‐3.0000 3.0000 >> s1=LinearBarElementStresses(k1,u1,A) s1 = -‐1000 1000 >> s2=LinearBarElementStresses(k2,u2,A) s2 = -‐3000 3000 >> s3=LinearBarElementStresses(k3,u3,A) s3 = 1.0e+003 * -‐3.0000 3.0000
Se calcularon las tensiones en cada barra usando la función LinearBarElementStresses la cual es llamada desde nuestra consola de MATLAB esta función se uso tres veces ya que tenemos tres barras y se calcula la tensión en caca una de ellas obtenido los resultado mostrados anteriormente.
14
Problema 3.2(3.1) Resolver el Ejemplo 3.2 utilizando diez elementos lineales en lugar de cinco. Determinar el desplazamiento en el extremo libre de la barra cónica y comparar la respuesta con el resultado obtenido en el ejemplo. Ejemplo 3.2 Considere la barra cónica que se muestra en la figura. 3.3 con E = 210GPa y P = 18 kN. Las áreas de sección transversal de la barra en los extremos izquierdo y derecho son de 0.002m^2 y 0.012m^2, respectivamente. Utilice elementos de barra lineales para determinar el desplazamiento en el extremo libre de la barra.
Figura 3.3.
Paso 1- Discretizacion del dominio. En primer paso para resolver nuestro problema , iniciamos con la tabla de conectividad de nodos, como se muestra en la siguiente tabla. Elemento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nodo i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nodo j 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Paso 2- Se introduce el modulo de elasticidad y las longitudes del
15
elemento y el área de cada elemento. A continuación se calcula cada matriz k1, k2, k3, k4, k5, K6, K7, K8, K9, K10 para luego poder construir nuestra matriz de rigidez global. >> E=210e6 E = 210000000 >> L=3/10 L = 0.3000 >> A1=0.002+(0.01*0.15/3) A1 = 0.0025 >> A2=0.002+(0.01*0.45/3) A2 = 0.0035 >> A3=0.002+(0.01*0.75/3) A3 = 0.0045 >> A4=0.002+(0.01*1.05/3) A4 = 0.0055 >> A5=0.002+(0.01*1.35/3) A5 = 0.0065 >> A6=0.002+(0.01*1.65/3) A6 = 0.0075 >> A7=0.002+(0.01*1.95/3) A7 = 0.0085 >> A8=0.002+(0.01*2.25/3) 16
A8 = 0.0095 >> A9=0.002+(0.01*2.55/3) A9 = 0.0105 >> A10=0.002+(0.01*2.85/3) A10 = 0.0115 >> k1=LinearBarElementStiffness(E,A1,L) k1 = 1750000 -‐1750000 -‐1750000 1750000 >> k2=LinearBarElementStiffness(E,A2,L) k2 = 1.0e+006 * 2.4500 -‐2.4500 -‐2.4500 2.4500 >> k3=LinearBarElementStiffness(E,A3,L) k3 = 1.0e+006 * 3.1500 -‐3.1500 -‐3.1500 3.1500 >> k4=LinearBarElementStiffness(E,A4,L) k4 = 3850000 -‐3850000 -‐3850000 3850000 >> k5=LinearBarElementStiffness(E,A5,L) k5 = 1.0e+006 * 4.5500 -‐4.5500
-‐4.5500 4.5500 >> k6=LinearBarElementStiffness(E,A6,L) k6 = 1.0e+006 * 5.2500 -‐5.2500 -‐5.2500 5.2500 >> k7=LinearBarElementStiffness(E,A7,L) k7 = 1.0e+006 * 5.9500 -‐5.9500 -‐5.9500 5.9500
Paso 3 – para poder ensamblar la matriz de rigidez primero creamos una matriz de zeros la cual nos queda de 11x11 como se muestra a continuación y esta nos sirve para ir agregando las k >> K=zeros(11,11) K = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
>> k8=LinearBarElementStiffness(E,A8,L) k8 = 6650000 -‐6650000 -‐6650000 6650000 >> k9=LinearBarElementStiffness(E,A9,L) k9 = 7350000 -‐7350000 -‐7350000 7350000 >> k10=LinearBarElementStiffness(E,A10,L) k10 = 8050000 -‐8050000 -‐8050000 8050000
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
17
>> K=LinearBarAssemble(K,k1,1,2) K = 3500000 -‐3500000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐3500000 3500000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> K=LinearBarAssemble(K,k2,2,3) K = 1.0e+006 * 3.5000 -‐3.5000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐3.5000 5.9500 -‐2.4500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐2.4500 2.4500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> K=LinearBarAssemble(K,k3,3,4) K = 1.0e+006 * 18
3.5000 -‐3.5000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐3.5000 5.9500 -‐2.4500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐2.4500 5.6000 -‐3.1500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐3.1500 3.1500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> K=LinearBarAssemble(K,k4,4,5) K = 1.0e+006 * 3.5000 -‐3.5000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐3.5000 5.9500 -‐2.4500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐2.4500 5.6000 -‐3.1500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐3.1500 7.0000 -‐3.8500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐3.8500 3.8500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
19
>> K=LinearBarAssemble(K,k5,5,6) K = 1.0e+006 * 3.5000 -‐3.5000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐3.5000 5.9500 -‐2.4500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐2.4500 5.6000 -‐3.1500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐3.1500 7.0000 -‐3.8500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐3.8500 8.4000 -‐4.5500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐4.5500 4.5500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> K=LinearBarAssemble(K,k6,6,7) K = 1.0e+006 * 3.5000 -‐3.5000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐3.5000 5.9500 -‐2.4500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐2.4500 5.6000 -‐3.1500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐3.1500 7.0000 -‐3.8500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐3.8500 8.4000 -‐4.5500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐4.5500 9.8000 -‐5.2500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐5.2500 5.2500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20
>> K=LinearBarAssemble(K,k7,7,8) K = 1.0e+007 * 0.3500 -‐0.3500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.3500 0.5950 -‐0.2450 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.2450 0.5600 -‐0.3150 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.3150 0.7000 -‐0.3850 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.3850 0.8400 -‐0.4550 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.4550 0.9800 -‐0.5250 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.5250 1.1200 -‐0.5950 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.5950 0.5950 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> K=LinearBarAssemble(K,k8,8,9) K = 1.0e+007 * 0.3500 -‐0.3500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.3500 0.5950 -‐0.2450 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.2450 0.5600 -‐0.3150 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.3150 0.7000 -‐0.3850 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.3850 0.8400 -‐0.4550 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.4550 0.9800 -‐0.5250 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.5250 1.1200 -‐0.5950 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.5950 1.2600 -‐0.6650 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.6650 0.6650 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
21
>> K=LinearBarAssemble(K,k9,9,10) K = 1.0e+007 * 0.3500 -‐0.3500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.3500 0.5950 -‐0.2450 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.2450 0.5600 -‐0.3150 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.3150 0.7000 -‐0.3850 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.3850 0.8400 -‐0.4550 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.4550 0.9800 -‐0.5250 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.5250 1.1200 -‐0.5950 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.5950 1.2600 -‐0.6650 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.6650 1.4000 -‐0.7350 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.7350 0.7350 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> K=LinearBarAssemble(K,k10,10,11) K = 1.0e+007 * 0.3500 -‐0.3500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.3500 0.5950 -‐0.2450 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.2450 0.5600 -‐0.3150 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.3150 0.7000 -‐0.3850 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.3850 0.8400 -‐0.4550 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.4550 0.9800 -‐0.5250 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.5250 1.1200 -‐0.5950 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.5950 1.2600 -‐0.6650 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.6650 1.4000 -‐0.7350 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.7350 1.5400 -‐0.8050 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.8050 0.8050
22
A continuación aplicamos las condiciones de contorno de nuestro elemento las insertamos en nuestra matriz y la solución del sistema no queda: >> k=K(1:10,1:10) k = 1.0e+007 * 0.3500 -‐0.3500 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.3500 0.5950 -‐0.2450 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.2450 0.5600 -‐0.3150 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.3150 0.7000 -‐0.3850 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.3850 0.8400 -‐0.4550 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.4550 0.9800 -‐0.5250 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.5250 1.1200 -‐0.5950 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.5950 1.2600 -‐0.6650 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.6650 1.4000 -‐0.7350 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.7350 1.5400 >> f=[-‐18 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0]
-‐0.2819
f =
-‐0.2248
-‐18 0 0 0 0 0 0 0 0 >> u= k\f u = 1.0e-‐004 * -‐0.4068
-‐0.1780 -‐0.1385 -‐0.1042 -‐0.0739 -‐0.0469 -‐0.0224 Por lo tanto sabemos que el desplazamiento en el extremo libre es -0.4068x10-4m el signo nos indica que se dirige a la izquierda en este caso no se hacen llamadas de funciones ya que no es necesario en este caso.
-‐0.3554
23
Problema 3.3: Considere una estructura constituida por un resorte y una barra de lineal como se muestra en la figura 6.3. Considere E = 200GPa, A = 0.01m^2, k = 1000 kN / m, y P = 25 kN, determine: 1. la matriz de rigidez global de la estructura. 2. el desplazamiento en el Nodo 2. 3. las reacciones en los nodos 1 y 3. 4. la tensión en la barra. 5. la fuerza en el resorte. Figura 6.3. Paso 1- Discretizacion del dominio. Este problema ya se ha discretizado. El dominio se subdivide en dos elementos y tres nodos. En la tabla se muestra el elemento de conectividad. Elemento 1 2
Nodo i 1 2
Nodo j 2 3
Paso 2- Se introduce el modulo de elasticidad y las longitudes del elemento y el área del elemento. A continuación se calcula cada matriz k1, k2 para luego poder construir nuestra matriz de rigidez global >> A=0.01 >> E=200e6
A =
E =
0.0100
200000000
>> L1=2
L1 =
2
24
>> k1=LinearBarElementStiffness(E,A,L1)
k1 = 1000000 -‐1000000 -‐1000000 1000000 >> k2=SpringElementStiffness(1000) k2 = 1000 -‐1000 -‐1000 1000 para poder ensamblar la matriz de rigidez primero creamos una matriz de zeros la cual nos queda de 3x3 como se muestra a continuación. >> K=zeros(3,3) K = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Para poder ensamblar nuestra matriz global de rigidez llamamos la función linear barAssemble para cada una de nuestras matrices que han sido calculadas anteriormente.
1000000 -‐1000000 0
Se puede observar la matriz global de rigidez ya ensamblada en su totalidad como habíamos dicho nuestra matiz es de 3 filas x 3 columnas.
>> K=LinearBarAssemble(K,k1,1,2) K = 1000000 -‐1000000 0
-‐1000000 1001000 -‐1000 0 -‐1000 1000
-‐1000000 1000000 0 0 0 0 >> K=SpringAssemble(K,k2,2,3)
Pasó-4 A continuación aplicamos las condiciones de contorno de nuestro elemento las insertamos en nuestra matriz y la solución del sistema no queda:
K =
25
>> k=K(2:2,2:3)
-‐24.9750
k =
25.0000
1001000 -‐1000
-‐0.0250
>> f=[25]
>> u1=[0 ; U(2)]
f =
u1 = 1.0e-‐004 * 0
25 >> u=k\f u = 1.0e-‐004 * 0.2498 0 >> U=[0 ; u] U = 1.0e-‐004 * 0
0.2498 Ahora sabemos que el valor de nuestras reacciones en el nodo 1, 3 son 1.0e-004 *, 0.2498. Continuaremos obteniendo las tensiones en la barra. >> f1=LinearBarElementForces(k1,u1)
0.2498
f1 =
0
-‐24.9750
Ahora sabemos que es desplazamiento en el nodo 2 es 0.2498.
24.9750
>> sigma1=f1/A sigma1 = 1.0e+003 * -‐2.4975 2.4975
Lo siguiente que se hizo fue obtener la reacción en el nodo 1 y 3. >> F=K*U F = 26
>> s1=LinearBarElementStresses(k1,u1,A) s1 = 1.0e+003 *
-‐2.4975
0.0250
2.4975
-‐0.0250
>> u2=[U(2) ; 0 ]
u2 =
Se puede observar la fuerza de nuestro resorte que se encuentra en el elemento 2 que es 0.0250, 0.0250 se obtiene una negativa y una positiva debido a que se trata de un resorte el cual tiene a regresar al origen.
1.0e-‐004 * 0.2498 0
>> f2=SpringElementForces(k2,u2) f2 =
27
Problema 5.1: Considere la posibilidad de la armadura de avión se muestra en la figura. 5.5. Dada E = 210GPa y A = 0.005m^2, determinar: 1. la matriz de rigidez global de la estructura. 2. los desplazamientos horizontales y verticales en los nodos 2, 3, 4, y 5. 3. las reacciones horizontales y verticales en los nodos 1 y 6. 4. la tensión en cada elemento. Figura 5.5. - Discretizacion del dominio. Este problema ya se ha discretizado. El dominio se subdivide en ocho elementos y seis nodos. En la tabla se muestra el elemento de conectividad. Elemento 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nodo i 1 1 2 2 2 3 4 4 5
Nodo j 2 3 3 4 5 5 5 6 6
Se introduce el modulo de elasticidad y las longitudes del elemento y el área del elemento así como el área. A continuación se calcula cada matriz k1, k2, K3, K4, 28
K5, K6, K7, K8, k9 usando la función PlaneTrussElementStiffness para luego poder construir nuestra matriz de rigidez global. >> E=210e6 >> L9=5 E = L9 = 210000000 5 >> A=0.005 >> theta2=atan(7/5)*180/pi A = theta2 = 0.0050 54.4623 >> theta3=180-‐theta2 >> L1=PlaneTrussElementLength(0,0,5,7) theta3 = L1 = 125.5377 8.6023 >> k1=PlaneTrussElementStiffness(E,A,L1,theta2) >> L2=5 k1 = L2 = 1.0e+004 * 5 >> L3=7 4.1236 5.7731 -‐4.1236 -‐5.7731 L3 = 5.7731 8.0824 -‐5.7731 -‐8.0824 7 -‐4.1236 -‐5.7731 4.1236 5.7731 -‐5.7731 -‐8.0824 5.7731 8.0824 >> L4=5 L4 = >> k2=PlaneTrussElementStiffness(E,A,L2,0) 5 k2 = >> L5=PlaneTrussElementLength(0,0,-‐5,7) 210000 0 -‐210000 0 L5 = 0 0 0 0 8.6023 -‐210000 0 210000 0 >> L6=5 0 0 0 0 L6 = >> k3=PlaneTrussElementStiffness(E,A,L3,90) 5 k3 = >> L7=7 1.0e+005 * L7 = 7 0.0000 0.0000 -‐0.0000 -‐0.0000 >> L8=PlaneTrussElementLength(0,0,-‐5,7) 0.0000 1.5000 -‐0.0000 -‐1.5000 L8 = -‐0.0000 -‐0.0000 0.0000 0.0000 8.6023 -‐0.0000 -‐1.5000 0.0000 1.500
>> k4=PlaneTrussElementStiffness(E,A,L4,0) k4 =
29
210000 0 -‐210000 0 0 0 0 0 -‐210000 0 210000 0 0 0 0 0 >>k5=PlaneTrussElementStiffness(E,A,L5,theta) k5 = 1.0e+004 * 4.1236 -‐5.7731 -‐4.1236 5.7731 -‐5.7731 8.0824 5.7731 -‐8.0824 -‐4.1236 5.7731 4.1236 -‐5.7731 5.7731 -‐8.0824 -‐5.7731 8.0824 >> k6=PlaneTrussElementStiffness(E,A,L6,0) k6 = 210000 0 -‐210000 0 0 0 0 0 -‐210000 0 210000 0 0 0 0 0 >> k7=PlaneTrussElementStiffness(E,A,L7,90) >>k8=PlaneTrussElementStiffness(E,A,L8,theta) k8 = 1.0e+004 * 4.1236 -‐5.7731 -‐4.1236 5.7731 -‐5.7731 8.0824 5.7731 -‐8.0824 -‐4.1236 5.7731 4.1236 -‐5.7731 5.7731 -‐8.0824 -‐5.7731 8.0824 >> k9=PlaneTrussElementStiffness(E,A,L9,0) k9 = 210000 0 -‐210000 0 0 0 0 0 -‐210000 0 210000 0 0 0 0 0 para poder ensamblar la matriz de rigidez primero creamos una matriz de zeros la cual nos queda de 12x12 como se muestra a continuación.
30
>> K=zeros(12,12) K = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Para poder ensamblar nuestra matriz global de rigidez llamamos la función linear PlaneTrussAssemble para cada una de nuestras matrices que han sido calculadas anteriormente.
>> K=PlaneTrussAssemble(K,k1,1,2) K = 1.0e+004 * 4.1236 5.7731 -‐4.1236 -‐5.7731 0 0 0 0 0 0 0 0 5.7731 8.0824 -‐5.7731 -‐8.0824 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐4.1236 -‐5.7731 4.1236 5.7731 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐5.7731 -‐8.0824 5.7731 8.0824 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> K=PlaneTrussAssemble(K,k2,1,3) K =
31
1.0e+005 * 2.5124 0.5773 -‐0.4124 -‐0.5773 -‐2.1000 0 0 0 0 0 0 0 0.5773 0.8082 -‐0.5773 -‐0.8082 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.4124 -‐0.5773 0.4124 0.5773 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.5773 -‐0.8082 0.5773 0.8082 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐2.1000 0 0 0 2.1000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> K=PlaneTrussAssemble(K,k3,2,3) K = 1.0e+005 * 2.5124 0.5773 -‐0.4124 -‐0.5773 -‐2.1000 0 0 0 0 0 0 0 0.5773 0.8082 -‐0.5773 -‐0.8082 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.4124 -‐0.5773 0.4124 0.5773 -‐0.0000 -‐0.0000 0 0 0 0 0 0 -‐0.5773 -‐0.8082 0.5773 2.3082 -‐0.0000 -‐1.5000 0 0 0 0 0 0 -‐2.1000 0 -‐0.0000 -‐0.0000 2.1000 0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐0.0000 -‐1.5000 0.0000 1.5000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
32
33
34
Se puede observar la matriz global de rigidez ya ensamblada en su totalidad como habíamos dicho nuestra matiz es de 12 filas x 12 columnas.
35
A continuación obtendremos los desplazamientos horizontales y verticales en los nodos 2, 3, 4, y 5. >> f=[ 20 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ] f = 20 0 0 0 0 0 0 0 >> u=k\f u = 1.0e-‐003 * 0.2083 -‐0.0333 0.0106 -‐0.0333 0.1766 0.0107 0.0212 -‐0.0516 Por lo tanto podemos observar que el desplazamiento horizontales y verticales en el nodo 2 que son 0.2083 -0.0333 en el nodo 3 son 0.0106 -0.0333 en el 4 son 0.1766 0.0107 y en el nodo 5 es 0.0212 -0.0516. A continuación se calculan las reacciones horizontales y verticales 36
en los nodos 1 y 6 y la tensión en cada elemento usando MATLAB creamos un vector global de desplazamiento U y calculamos el vector global de la fuerza. >> U=[0 ; 0 ; u(1:2) ; u(3:4); u(5:6); u(7:8); 0 ; 0] U = 1.0e-‐003 * 0 0 0.2083 -‐0.0333 0.0106 -‐0.0333 0.1766 0.0107 0.0212 -‐0.0516 0 0 >> F=K*U F = -‐8.8889
-‐9.3333 20.0000 0.0000 0 0 0.0000 0 -‐0.0000 0.0000 -‐11.1111 9.3333 Las reacciones horizontales y verticales en el en el nodo 1 son 8.8889 con dirección a la derecha y 9.3333 con dirección a la izquierda y en el nodo 6 son 11.1111 a la derecha y 9.3333 a la izquierda. Ahora conoceremos la tensión en cada elemento. >> u1=[U(1) ; U(2) ; U(3) ; U(4)] u1 = 1.0e-‐003 * 0 0 0.2083 -‐0.0333 >> u2=[U(1) ; U(2) ; U(5) ; U(6)] u2 = 1.0e-‐004 * 0 0 0.1058 -‐0.3334 >> u3=[U(3) ; U(4) ; U(5) ; U(6)] u3 =
1.0e-‐003 * 0.2083 -‐0.0333 0.0106 -‐0.0333 >> u4=[U(3) ; U(4) ; U(7) ; U(8)] u4 = 1.0e-‐003 * 0.2083 -‐0.0333 0.1766 0.0107 >> u5=[U(3) ; U(4) ; U(9) ; U(10)] u5 = 1.0e-‐003 * 0.2083 -‐0.0333 0.0212 -‐0.0516 >> u6=[U(5) ; U(6) ; U(9) ; U(10)] u6 = 1.0e-‐004 * 0.1058 -‐0.3334 0.2116 -‐0.5156 >> u7=[U(7) ; U(8) ; U(9) ; U(10)] u7 = 1.0e-‐003 * 37
sigma2 = 0.1766 0.0107 444.4444 0.0212 -‐0.0516 >> sigma3=PlaneTrussElementStress(E,L3,90,u3) >> u8=[U(7) ; U(8) ; U(11) ; U(12)] sigma3 = u8 = -‐2.2220e-‐014 1.0e-‐003 * >> 0.1766 sigma4=PlaneTrussElementStress(E,L4,0,u4) 0.0107 0 sigma4 = 0 -‐1.3333e+003 >> u9=[U(9) ; U(10) ; U(11) ; U(12)] >> u9 = sigma5=PlaneTrussElementStress(E,L5,theta3 ,u5) 1.0e-‐004 * sigma5 = 0.2116 -‐0.5156 2.2940e+003 0 0 >> sigma6=PlaneTrussElementStress(E,L6,0,u6) >> sigma1=PlaneTrussElementStress(E,L1,theta2 sigma6 = ,u1) 444.4444 sigma1 = >> 2.2940e+003 sigma7=PlaneTrussElementStress(E,L7,90,u7) >>sigma2=PlaneTrussElementStress(E,L2,0,u sigma7 = 2) -‐1.8667e+003 >> sigma8=PlaneTrussElementStress(E,L8,theta3,u8) 38
sigma8 = 2.2940e+003 >> sigma9=PlaneTrussElementStress(E,L9,0,u9) sigma9 = -‐888.8889 ans = 1.0e-‐003 * 0.2083 -‐0.0333 0.0106 -‐0.0333 0.1766 0.0107 0.0212 -‐0.0516 Por lo tanto es claro que las tensiones en los elementos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 podemos observar en el resultado obtenido.
las
39
Problema 5.2: Considere la posibilidad de la estructura compuesta de por un resorte y el plano de armadura como se muestra en la figura. 5.6. Dado E = 70GPa, A = 0.01m^2, y k = 3000 kN / m, determine:
1. la matriz de rigidez global de la estructura. 2. los desplazamientos en los nodos 4 y 5. 3. las reacciones en los nodos 1, 2, y 3. 4. la fuerza en el resorte. 5. la tensión en cada elemento de armadura. Discretizacion del dominio.
Figura 5.5.
Este problema ya se ha discretizado. El dominio se subdivide en cuatro elementos y cinco nodos. En la tabla se muestra el elemento de conectividad. Elemento 1 2 3 4
Nodo i 1 2 3 4
Nodo j 4 4 4 5
Se introduce el modulo de elasticidad y las longitudes del elemento y el área del elemento así como el área. A continuación se calcula cada matrices usando la función para luego poder construir nuestra matriz de rigidez global 40
E = k1 = 70000000 1.0e+005 * A = 0.0100 1.0316 0.6164 -‐1.0316 -‐0.6164 0.6164 0.3684 -‐0.6164 -‐0.3684 L1 = -‐1.0316 -‐0.6164 1.0316 0.6164 5 -‐0.6164 -‐0.3684 0.6164 0.3684 L2 = 4 k2 = L3 = 175000 0 -‐175000 0 5.6569 0 0 0 0 -‐175000 0 175000 0 theta1 = 0 0 0 0 216.8699 k3 = theta2 = 1.0e+004 * 30.8600 8.7500 -‐8.7500 -‐8.7500 8.7500 -‐8.7500 8.7500 8.7500 -‐8.7500 -‐8.7500 8.7500 8.7500 -‐8.7500 theta3 = 8.7500 -‐8.7500 -‐8.7500 8.7500 135 k4 = 3000 -‐3000 -‐3000 3000 Ahora que ya tenemos nuestras matrices de rigidez, introducimos la matriz zeros para agregar las y asi poder hacer la matriz global
41
K = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K = 1.0e+005 * Columna 1 a la columna 5 1.0316 0.6164 0 0 0 0.6164 0.3684 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐1.0316 -‐0.6164 0 0 0 -‐0.6164 -‐0.3684 0 0 0 0 0 0 0 0
42
Columna 6 a 9 0 -‐1.0316 -‐0.6164 0 0 -‐0.6164 -‐0.3684 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0316 0.6164 0 0 0.6164 0.3684 0 0 0 0 0 K = 1.0e+005 * Columa 1 a la columa 5 1.0316 0.6164 0 0 0 0.6164 0.3684 0 0 0 0 0 1.7500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -‐1.0316 -‐0.6164 -‐1.7500 0 0 -‐0.6164 -‐0.3684 0 0 0 0 0 0 0 0 De la columna 6 a la columa 9 0 -‐1.0316 -‐0.6164 0 0 -‐0.6164 -‐0.3684 0 0 -‐1.7500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.7816 0.6164 0 0 0.6164 0.3684 0 0 0 0 0
43
K = 1.0e+005 * Columa 1 a la columna 5 1.0316 0.6164 0 0 0 0.6164 0.3684 0 0 0 0 0 1.7500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8750 0 0 0 0 -‐0.8750 -‐1.0316 -‐0.6164 -‐1.7500 0 -‐0.8750 -‐0.6164 -‐0.3684 0 0 0.8750 0 0 0 0 0 De la columa 6 a la columna 9 0 -‐1.0316 -‐0.6164 0 0 -‐0.6164 -‐0.3684 0 0 -‐1.7500 0 0 0 0 0 0 -‐0.8750 -‐0.8750 0.8750 0 0.8750 0.8750 -‐0.8750 0 0.8750 3.6566 -‐0.2586 0 -‐0.8750 -‐0.2586 1.2434 0 0 0 0 0 K = 1.0e+005 * 1.0316 0.6164 0 0 0 0.6164 0.3684 0 0 0 0 0 1.7500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8750 0 0 0 0 -‐0.8750 -‐1.0316 -‐0.6164 -‐1.7500 0 -‐0.8750 -‐0.6164 -‐0.3684 0 0 0.8750 0 0 0 0 0 44
Columna 6 a la columna 9 0 -‐1.0316 -‐0.6164 0 0 -‐0.6164 -‐0.3684 0 0 -‐1.7500 0 0 0 0 0 0 -‐0.8750 -‐0.8750 0.8750 0 0.8750 0.8750 -‐0.8750 0 0.8750 3.6866 -‐0.2586 -‐0.0300 -‐0.8750 -‐0.2586 1.2434 0 0 -‐0.0300 0 0.0300 k = 1.0e+005 * 3.6866 -‐0.2586 -‐0.0300 -‐0.2586 1.2434 0 -‐0.0300 0 0.0300 F = 0 0 10
45
En los pasos anteriores se obtienen los resultados de los desplazamientos en los nodos 4 y 5 así como las reacciones en los nodos 1, 2, y 3. La fuerza en el resorte y al la tensión en cada elemento de armadura. Conclusión: Lo que se conluyo en esta tipo de problemas es que cuando nosotros descritizamos nuestra figura , nos es mas facil analizar parte por parte y asi poder calcular mas exacto nuestros calculos. En el caso para calcular los desplazamientos de los angulos ,en MATLAB nos facilitaba las funciones ya que si ello se nos ubiese sido imposible poder realizar este trabajo. Bibliografia MATLAB Guide to Finite Elements - An Interactive Approach
46