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• Valentina Gómez

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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Carmen Cecilia Sánchez Zuleta Agosto de 2017

Contents

1 Probabilidad 1.1 Conceptos Básicos de Probabilidad . 1.2 Ejercicios I . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Técnicas de Conteo . . . . . . . . . . 1.3.1 Permutaciones . . . . . . . . 1.3.2 Combinación . . . . . . . . . 1.4 Teoría de Conjuntos . . . . . . . . . 1.4.1 Algunos conjuntos especiales 1.4.2 Operación entre Conjunto . . 1.5 Ejercicios II . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Probabilidad de Eventos . . . . . . . 1.7 Ejercicios III . . . . . . . . . . . . . 1.8 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . 1.9 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . .

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5 5 8 9 12 14 16 17 18 20 22 27 29 32

2 Distribuciones de Probabilidad 2.1 Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Distribuciones de Probabilidad de v.a Discretas . . . . . . . . . . . 2.2.1 Valor esperado y Varianza de una v.a Discreta . . . . . . . 2.2.2 Distribución Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Distribución de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Distribución de Probabilidad para v.a Continuas . . . . . . . . . . 2.4.1 Valor esperado y Varianza de una v.a Continua . . . . . . . 2.4.2 Distribución Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 La distribución Normal como aproximación de la Binomial 2.4.4 Corrección por Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Distribución Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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39 39 40 42 44 46 49 50 52 52 57 58 58 59

3 Distribuciones Muestrales 3.1 Muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Distribuciones Muestrales . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Distribución de la media Muestral . . . . . 3.2.2 Distribución para la Diferencia de Medias . 3.2.3 Distribución de una proporción Muestral P

. . . . .

67 67 71 72 77 78

iii

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iv 3.2.4 3.3 3.4 3.5 3.6

Distribución de una diferencia de Proporciones P1 − P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La distribución t-student . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribución Ji-Cuadrada χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Propiedades de la Distribución ji -cuadrada . . . Distribución F-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80 80 82 82 83 83

CHAPTER

1

Probabilidad

El afán por acertar en los juegos de azar fue la semilla que desencadenó en la teoría que hoy en día conocemos como "Probabilidad Matemática". Comienza como un intento de responder a varias preguntas tales como, ¿cuántas veces se han de lanzar un par de dados para que la probabilidad de que salga seis sea del 50%?; y aunque se puede decir que la pasión del hombre por los juegos de azar es tan antigua casi como el hombre mismo, la formalización de esta teoría no se llevaría a cabo sino hasta la edad media, con los trabajos de los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal (1623 - 1662) y Pierre de Fermat (1601-1665), aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano (1501-1576) en el siglo XVI, habían realizado importantes contribuciones a su desarrollo. En la actualidad la teoría de probabilidades se entiende como una rama de las matemáticas que se preocupa de medir o determinar de manera cuantitativa la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado, siempre teniendo presente que la ocurrencia de dicho evento se observa en relación a otros eventos. Si bien los conceptos principales de esta teoría se fundamentan en "La Teoría de la Medida", para el nivel y desarrollo de este curso se considerarán conceptos de combinatoria y teoría de conjuntos. En las siguientes sesiones se realizará una introducción a los conceptos de la teoría de probabilidades que serán requeridos para el desarrollo del curso, sin embargo si el lector requiere de una profundización en los concepto que formalizan la teoría se recomienda consultar algunos texto de carácter más puntual.

1.1

Conceptos Básicos de Probabilidad

Los estudios adelantados por los curiosos del azar en el pasado llevaron a desarrollar dos definiciones esenciales para el concepto de probabilidad, las cuales, si bien no son iguales, se puede demostrar que convergen al mismo valor. Se tienen entonces que el concepto de probabilidad objetivo se puede definir desde dos perspectivas diferentes pero que como se dijo en el párrafo anterior, convergen a un mismo valor, estas perspectivas son: • Probabilidad Clásica o "a priori".

6

CHAPTER 1. PROBABILIDAD • Probabilidad de Frecuencia relativa

La teoría clásica de probabilidad surge de la edad media mediante trabajos propuestos por Pascal y Fermat. Gran parte de esta teoría fue creada para intentar resolver problemas relacionados con los juego de azar, como el juego de dados o el de cartas. Por ejemplo, si un dado no cargado es lanzado, la probabilidad de que caiga un 2 es de 16 , y es lo mismo para los otros 5 lados, sin embargo, no es necesario lanzar un dado para determinar esta probabilidad, pues, estas probabilidades se calcularan de manera teórica, y sin necesidad de realizar el ejercicio. El ejemplo anterior relaciona el concepto de probabilidad con la ocurrencia de un resultado en cierta actividad, este tipo de actividades serán llamados durante el texto como experimentos aleatorios. El concepto de "aleatorio" procede de "alea" que significa "suerte" o "azar ", con base en esto se presentan a continuación su definición. Definición 1.1.1 Experimento Aleatorio Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado está fuera de control, por tanto depende del azar. Definición 1.1.2 Espacio Muestral Dado un experimento aleatorio, se define el Espacio Muestral de este experimento como el conjunto que contiene todos los posibles resultados del experimento. En adelante, para el desarrollo de este capítulo el Espacio Muestral se denotará por una S. Definición 1.1.3 Evento Dado un experimento aleatorio, se dice que un Evento de este experimento es un subconjunto del espacio muestral. Ejemplo 1.1.1 Un experimento se lanza un dado no cargado al aire, describa el experimento aleatorio, el espacio muestral, y el evento relacionado con obtener un número impar. Solución 1 En este caso se tiene: Experimento Aleatorio: Lanzar un dado no cargado al aire Espacio Muestral: posibles resultados del experimento: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento: {1, 3, 5} Conjunto de posibles resultados del experimento. Ahora bien, con base en el concepto de experimento aleatorio, se presenta a continuación la definición de probabilidad en el sentido clásico. Definición 1.1.4 (Probabilidad a priori) Si un experimento aleatorio puede tener n resultados posibles, los cuales son mutuamente excluyentes, y son igualmente probables, y si m de estos resultados poseen una característica E, entonces la probabilidad de ocurrencia de la característica E es igual a: P (E) =

m n

La definición anterior se centra en el popular concepto de casos favorables, cantidad de elementos que pertenecen al evento, sobre casos posibles, cantidad de elementos en el espacio muestral. Además, el valor de una probabilidad puede ser expresado en porcentaje, como razón, o de manera decimal.

1.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

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Ejemplo 1.1.2 Determine la probabilidad de obtener un número impar al lanzar un dado no cargado al aire. Solución 2 Del ejemplo 1.1.1 se tiene que: Experimento Aleatorio: Lanzar un dado no cargado al aire Espacio Muestral: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Se sigue que el número de resultados posibles al lanzar un dado es 6, por lo tanto n = 6. Característica E: Obtener un numero impar Evento: E = {1, 3, 5} Conjunto de posibles resultados del experimento. La característica E sólo puede ocurrir en tres de los seis resultados posibles, por lo tanto m = 3. Se sigue entonces que: P (E) =

3 1 m = = = 0.5 n 6 2

R/: La probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado no cargado es de 0.5. Ejemplo 1.1.3 ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara al lanzar una moneda no cargada al aire?. Solución 3 Experimento aleatorio: Lanzar una moneda Espacio Muestral: Posibles resultados del evento: S = {C, S} El número de resultados posibles al lanzar una moneda es dos, por lo tanto n = 2. Característica E: Obtener una cara E = {C} La característica E sólo puede ocurrir en uno de los dos resultados posibles, por lo tanto m = 1. Se sigue entonces que: m 1 P (E) = = = 0.5 n 2 R/: La probabilidad de obtener una cara al lanzar una moneda no cargada al aire es de 0.5. La aproximación de la frecuencia relativa al concepto de probabilidad dependerá de la cantidad de veces que se repita un experimento aleatorio, y de la capacidad de contar tanto el número de repeticiones como las veces en que se presenta un evento de interés; en este contexto la probabilidad de que ocurra un evento E se podrá determinar mediante la relación de la frecuencia del evento en las repeticiones, a esta probabilidad se le conoce como probabilidad frecuentista. Definición 1.1.5 Probabilidad Frecuentista o de Frecuencia relativa. Si un experimento aleatorio se repite un número N de veces, con N grande, y si algún evento resultante, con la característica E ocurre m′ -veces, la frecuencia relativa de la ocurrencia de E en los N ensayos, m N es aproximadamente igual a la probabilidad de E. Esto es: P (E) =

m′ N

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CHAPTER 1. PROBABILIDAD

Observación 1.1.1 Se puede demostrar que: m m′ = N →∞ N n lim

Esto es, en el infinito, la probabilidad a posteriori converge a la probabilidad a priori. Ejemplo 1.1.4 Determine la probabilidad a posteriori de obtener una cara al lanzar una moneda no cargada al aire, verifique su resultado con la probabilidad obtenida para este evento mediante la definición frecuentista, repita el experimento 50 veces. Un concepto adicional de probabilidad que en ocasiones se utiliza es la probabilidad "personalista" o subjetiva, este concepto surge en la década de los 50, fue propuesta por Savage, y sugiere que la probabilidad mide la confianza que tiene un individuo en la certeza de una proposición particular. Este concepto no depende de la cantidad de veces que se repita algún proceso, permite incluso calcular la probabilidad de un evento que sólo puede ocurrir una vez. Aunque la propuesta subjetiva ha gozado de una amplia popularidad, los estadísticos de la corriente clásica aún no la aceptan del todo. La probabilidad que utilizaremos para nuestro desarrollo será la que tiene un enfoque o método axiomático. Las bases de este enfoque están inmersos en tres propiedades de las que se deriva todo un sistema de teoría de la probabilidad a través del uso de la lógica matemática.

1.2

Ejercicios I

1. Según la definición de probabilidad clásica, ¿qué valores no puede asumir una probabilidad?, explique su respuesta. 2. Una urna contiene seis balotas marcadas con los números 52, 65, 13, 23, 14 y 35. Si se extrae una balota al azar, determine la probabilidad de que este marcado con un número par. 3. En cada uno de los siguientes items, especifique cuál es el experimento aleatorio, el espacio muestral, el evento de interés y determine la probabilidad solicitada: • La probabilidad de que al lanzar un dado no cargado al aire, este caiga en tres. • La probabilidad de que al lanzar dos monedas se obtenga al menos una cara. • La probabilidad de que al lanzar una moneda y un dado el resultado tenga un tres en el dado. • La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número primo. 4. Una clase está formada por Ana, Carlos, Jaime, María, Martín, si se selecciona un estudiante al azar para realizar una pasantía en otro país determine: • Indique cuál es el experimento aleatorio realizado. • especifique el espacio muestral. • La probabilidad de que Ana sea elegida para realizar la pasantía. • La probabilidad de que una mujer sea elegida para realizar la pasantía.

1.3. TÉCNICAS DE CONTEO

9

• La probabilidad de que un hombre sea elegido para realizar la pasantía. • La probabilidad de que un hombre o una mujer sean elegidos para realizar la pasantía. • La probabilidad de que un hombre y una mujer sean elegidos para realizar la pasantía. 5. Si se lanzan dos dados no cargados al aire, determine : • El experimento aleatorio realizado. • La probabilidad de que al caer su suma sea Par • La probabilidad de que al caer su suma sea Múltiplo de tres • La probabilidad de que al caer su suma sea Uno 6. Puede un evento tener probabilidad cero?, dé un ejemplo. 7. Una empresa que requiere cierto personal para llenar una vacante ha recibido 20 hojas de vidas de profesionales con los siguientes títulos, ingeniero: Industrial 6, de sistemas 7, electrónicos 4, telecomunicaciones 3. Como todos cumplen con las especificaciones para el cargo, por lo que el administrador decide elegir un aspirante al azar para el cargo, determine la probabilidad de que el puesto le sea asignado a: (a) Un ingeniero de telecomunicaciones. (b) Un ingeniero de sistemas o industrial. (c) Un ingeniero

1.3

Técnicas de Conteo

Puesto que como se estableció en la definición clásica de probabilidad, más que los elementos de los diferentes eventos, nos interesa la cantidad de elementos que contiene cada evento, se presentan entonces en esta sección algunas técnicas útiles para contar ese número de elementos que se encuentran en un evento determinado. Definición 1.3.1 Diagrama de Árbol Un diagrama de árbol es una especie de mapa de acontecimientos en donde se describen los eventos básicos que ocurren en un experimento aleatorio. Un diagrama de árbol también se puede construir teniendo presente las probabilidades que se generan en cada evento. Un árbol es de hecho un gráfico formado por vértices y aristas, es decir, segmentos de receta y puntos. Los eventos que ocurren se denotan por puntos y la probabilidad de cada evento se anota a la pequeña arista que precede a cada punto. Ejemplo 1.3.1 En un restaurante se ofrecen para el menú del día las siguiente opciones: entradas: sopa de legumbres, crema de tomate; ensaladas: de lechuga, de verduras o mixta; y para el plato fuerte ofrecen carne de res, cerdo o pollo; determine la probabilidad de que la próxima persona que entre al restaurante pida en su menú pollo en el plato fuerte. Realice un diagrama de árbol en el que se visualicen las posibles platos que se pueden ordenar y determina cuántos menus diferentes ofrece el restaurante.

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CHAPTER 1. PROBABILIDAD

Lechuga D S.11 Pollo Cerdo Res Mixta Verduras 9 Tomate S.Legunbres Plato Ensalada Entrada Fuerte

Solución 4 Los diagramas de árbol son muy prácticos cuando se cuenta con un número pequeño de situaciones a considerar y un número pequeño de casos por cada situación; cuando estas cantidades aumentan el diagrama de árbol se convierte en un proceso tedioso y poco práctico, para estos casos se recomiendo utilizar los siguientes resultados que se constituyen como generalizaciones del conteo en algunos diagramas. Definición 1.3.2 Principio de Multiplicación Si una operación se puede realizar en n formas distintas, y si por cada una de estas formas, una segunda operación se puede llevar a cabo en m formas diferentes, entonces las dos operaciones pueden realizarse juntas en n × m formas diferentes.

1.3. TÉCNICAS DE CONTEO

11

El principio de multiplicación presentado anteriormente se puede extender de dos a k operaciones, donde la operación i se puede realizar de ni formas diferentes, obteniéndose que el número de formas en que se pueden realizar las k operaciones juntas es de n1 ×2 · · · × nk . Este principio o ley es una herramienta muy útil para contar las situaciones posibles que se pueden presentar al ejecutar dos o más acciones simultáneas, se constituye en la antesala del número de permutaciones, que se definirá posteriormente y que serán de gran interés para determinar los elementos para hallar ciertas probabilidades. Ejemplo 1.3.2 Si un experimento consiste en lanzar dos dados y una moneda, determine la cantidad de resultados posibles que se pueden obtener en este experimento. Solución 5 En este caso se puede observar que el experimento aleatorio consta de tres operaciones, el dado uno, el dado dos y la moneda, en el dado uno se puede obtener uno de los seis resultados posibles, por lo tanto puede ocurrir de n1 = 6 formas diferentes, lo mismo sucede para el dado dos, por lo tanto n2 = 6, y para el caso de la moneda, en esta puede suceder o una cara, o un sello, esto es, cuenta con dos resultados posibles, luego n3 = 2, se tiene entonces que en virtud del principio de multiplicación se tendría que:

Lo que indica que se tendrían 72 resultados posibles diferentes en el experimento dado. × = 2 6 72 2 Dado Moneda 1 Ejemplo 1.3.3 En el ejemplo (1.3.2) determine la probabilidad de que al lanzar los dos dados y la moneda, se obtenga al menos un seis. Ejemplo 1.3.4 En el ejemplo (1.3.2), encuentre la probabilidad de que en el resultado del experimento se obtenga: • Una cara. • Un seis. • Un seis o un tres. Definición 1.3.3 Principio Aditivo Si un evento A puede ocurrir de m maneras diferentes, y un evento B puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces el suceso A o el suceso B (A ∪ B) puede ocurrir de m + n formas siempre que A y B no ocurran simultáneamente. De la misma manera que el principio de multiplicación se extendió a más de dos eventos, el principio aditivo se puede igualmente generalizar para K sucesos igualmente disjuntos. Ejemplo 1.3.5 Doña Amanda compró un pescado fresco para cocinarlo. En su manual de recetas encuentra tres recetas diferentes para prepararlo al horno, dos para hacerlo frito y cuatro para prepararlo cocido. ¿De cuántas formas diferentes puede doña Amanda cocinar su pescado?

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CHAPTER 1. PROBABILIDAD

Ejemplo 1.3.6 Para viajar de la ciudad A a la ciudad B hay tres rutas diferentes de autobús, dos de tren y dos de avion. ¿De cuántas maneras diferentes puede un viajero realizar el recorrido de A hacia B por cualquiera de estos tres medios?, ¿Cual es la probabilidad de que un viajero que elige su ruta al azar, le toque viajar en autobús? Definición 1.3.4 Factorial Dado un número entero positivo n, se define el factorial de n, denotado por n!, como el entero que se obtiene al multiplicar todos los enteros desde uno hasta n; así: n! = n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × 2 × 1 Ejemplo 1.3.7 Determine a qué es igual el 5! 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Teorema 1.1 0! = 1

1.3.1

Permutaciones

Definición 1.3.5 Permutación Una permutación es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos. Teorema 1.2 El número de permutaciones de n objetos distintos, denotado por Pn está dado por n!. Pn = n! Teorema 1.3 Si n = 0 entonces n! = 0! = 1. Ejemplo 1.3.8 En una urna se encuentran balotas con todos los número diferentes de tres cifras que se pueden formar con los dígitos 8, 3, 5, si no se puede repetir dígito, determine cuantas balotas hay en la urna. Si una persona saca al azar una balota de la urna, determine la probabilidad de que este marcada con un número par. Ejemplo 1.3.9 Repita el ejemplo anterior si se puede repetir dígito para construir los números. Teorema 1.4 El número de permutaciones de n objetos distintos, tomados de a r objetos a la vez, con r ≤ n, denotado por n Pr está dado por: n Pr

=

n! (n − r)!

Ejemplo 1.3.10 Un joven tiene 5 libros distintos, uno de física, uno de química, uno de matemáticas, y de español tiene volumen uno y dos. quiere acomodar tres de ellos en un estante. 1. ¿De cuántas formas diferentes puede organizar los textos en el estante? Solución En este caso se tiene un conjunto de cinco libros (n = 5) todos ellos diferentes. Como el estante sólo tiene espacio para tres textos, se deberán seleccionar grupos de tres de los cinco que se tienen, note que en este caso es importante el

1.3. TÉCNICAS DE CONTEO

13

orden, lo que implica que estamos ante un problema de permutaciones tomando grupos de tres (5 P3 ). Sea N el número total de formas en que se pueden organizar los libros en el estante. N =5 P3 =

5! 5×4×3×2×1 = = 60 (5 − 3)! 2!

R/ Los textos se pueden organizar en la estantería de 60 formas diferentes, tomando tres libros a la vez. 2. ¿En cuántas situaciones diferentes quedarán seleccionados y juntos los textos de Español? Solución Si se quiere que los textos de español se encuentren seleccionados, llevaría a que dos de los tres espacios disponibles estarán ocupados por ellos, por lo tanto se tendría que seleccionar el tercer libro de los restantes 3 P1 . Además se quiere que los textos de español se encuentren siempre juntos, P2 , y finalmente se debe tener presente que el paquete de los textos de español se pueden permutar con el otro libro seleccionado, de nuevo P2 . Sea m1 el número total de arreglos de los libros en el estante, que tienen los textos de español juntos. Se tiene entonces que, por principio de multiplicación, definición (1.3.2): m1 =3 P1 × P2 × P2 = 3 × 2 × 2 = 12 R/ El número de formas en las que los textos de español quedarán seleccionados en el estante y juntos son 12. 3. Determine la probabilidad de que los textos de español queden juntos en el estante Solución Sea A el evento en el que los textos de español son seleccionados y ubicados juntos en el estante, luego:

P (A) =

Numero de veces en las que los textos quedan juntos m1 12 = = Numero total del arreglos en el estante N 60

Luego P (A) =

1 5

= 0.2

R/ La probabilidad de que los textos de español queden juntos al organizar los tres libros en el estante es de 0.2. 4. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún texto de español quede acomodado en la estantería? Solución Si ningún texto de español es seleccionado, entonces el número de opciones se reduce a seleccionar tres libros de un grupo de tres (3 P3 = 3).

14

CHAPTER 1. PROBABILIDAD Luego, sea B el evento definido por los arreglos en la estantería que no contienen un texto de español. P (B) =

3 1 = = 0.05 60 20

R/ La probabilidad de que ningún texto de español quede acomodado en la estantería es de 0.05 Teorema 1.5 Permutaciones con repeticiones El número de permutaciones diferentes de n objetos de los cuales n1 son de un tipo, n2 son de un segundo tipo, y así sucesivamente nk son de una k-ésima forma, entonces el número de permutaciones que se pueden realizar con estos n objetos está dado por: n! n1 !n2 ! · · · nk ! Donde n = n1 + n2 + · · · + nk . Ejemplo 1.3.11 En cuantas formas diferentes pueden acomodarse tres focos rojos, cuatro amarillos y dos azules en un árbol de navidad que cuenta con 9 plajones. Teorema 1.6 Permutaciones en disposición Circular El número de permutaciones de n objetos distintos organizados en un circular es (n − 1)!. Teorema 1.7 Disposición en Celdas El número de formas de distribuir un conjunto de n objetos en r celdas, con n1 objetos en la celda 1, n2 elementos en la celda 2, y así hasta tener nr objetos en la celda r, está dada por: ( ) n! n = n1 n2 · · · nr n1 n2 ! · · · nk Ejemplo 1.3.12 ¿En cuantas formas diferentes pueden siete científicos acomodarse en una habitación tripe y dos habitaciones dobles en un hotel?. Determine además la probabilidad de que el científico uno quede alojado en la habitación triple.

1.3.2

Combinación

En muchos problemas de conteo y de probabilidad interesa determinar el número de formas posibles de seleccionar r objetos de un total de n sin importar el orden, estas selecciones son llamadas combinaciones, como se describe a continuación. Definición 1.3.6 Combinación Las combinaciones de n objetos tomando r de ellos a la vez representa el número de subconjunto diferentes de tamaño r que se pueden hacer con los n objetos. Teorema 1.8 Número de Combinaciones El número de combinaciones de n-objetos distintos, tomando r a la vez, con r ≤ n está dado por: n! n Cr = r!(n − r)! Ejemplo 1.3.13 Una clase cuenta con 25 estudiantes, y se quiere formar un comité de cinco estudiantes para hablar con las directivas del establecimiento,

1.3. TÉCNICAS DE CONTEO

15

1. ¿cuántos comites diferentes se pueden formar en el grupo?. 2. Si en el grupo hay 14 hombres y 11 mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que el comité formado cuente exactamente con dos mujeres? Solución 6 En este caso se cuenta con un total de 25 estudiantes, lo que indica que n = 25, y se quieren formar comites de cinco estudiantes, por lo que r = 5. Adicionalmente como lo que se quiere formar es un comité, y en este no existen rangos o jerarquías, es decir, todos los estudiantes que conforman el comité tienen el mismo nivel o potestad. 1. se quieren formar son grupos de cinco estudiantes en los que no interesa el orden, esto es, se quiere saber cuantas combinaciones de cinco estudiantes con los 25 que se tienen se pueden formar, luego, la solución es: n Cr

=2 5C5 =

25! 25! = = 53.130 5!(25 − 5)! 20!

R/: En total se pueden formar 53.130 comites diferentes con los estudiantes del grupo. 2. Para determinar esta probabilidad empecemos por identificar el tamaño del espacio muestral, es decir, ¿cuántos grupos de 5 estudiantes se pueden formar?, la respuesta a esta pregunta se ha solucionado en el item 1 de este ejercicio, por lo que se tiene que n = 53130 comites diferentes. Ahora hallemos cuántos de ellos están conformados por exactamente dos mujeres. Para dar solución a esta pregunta se hará uso del principio de multiplicación, de la siguientes manera. Primero se hallaran todos los grupos de tres hombres que se pueden formar con los 14 estudiantes masculinos que se tienen, seguidamente se determinarán cuantos grupos de dos mujeres se pueden formar con las 11 chicas que hay en el grupo, como cada grupo de chicos se puede fusionar con un grupo de chicas para completar los cinco estudiantes, entonces se aplica el principio de multiplicación para hallar el número total de grupos que tendrán exactamente dos mujeres. Este resultado ofrecerá los casos favorables para hallar la probabilidad. Grupos formados por tres hombres: GH =14 C3 = 364 Grupos formados por dos mujeres: GM =11 C2 = 55 Ahora bien, por el principio de multiplicación, se tiene: m = GH × GM = 364 × 55 = 20.020 Sea A: Comites formados que tienen exactamente dos mujeres, luego: P (A) =

m 20020 = = 0.3768 n 53130

R/ La probabilidad de que un comité contenga exactamente dos mujeres es de 0.3768.

16

CHAPTER 1. PROBABILIDAD

Ejemplo 1.3.14 Un grupo que sale de excursión, está conformado por 8 personas, de las cuales 5 son mujeres y 3 hombres. Si se escogen 4 integrantes para que realicen tareas de montaje y desmontaje de los campamentos, defina los eventos y halle la probabilidad de que sean consideradas por lo menos 2 mujeres.

El software R, cuenta con algunas instrucciones que son de utilidad al momento de determinar el número de combinaciones que se pueden formar con un conjunto de datos de tamaño n tomando subgrupos de tamaño r. La instrucción "choose" es una de estas funciones, y opera de la siguiente manera: n Cr

= choose(n, r)

Una manera alternativa de encontrar este valor en R, consiste en hacer uso de la definición de combinación y la función "prod " utilizada para hallar el factorial del un número, por consiguiente las combinaciones se calcularían de la siguiente manera: n Cr = prod(n : 1)/ (prod(n − r : 1) × prod(r : 1)) Ejemplo 1.3.15 Encuentre el número de comités de tres personas, que pueden formar con cuatro químicos y tres físicos y que comprendan dos químicos y un físico. Si Pedro es uno de los Químicos y Francisco y uno de los físicos, determine la probabilidad de que Pedro y Francisco formen parte del comité.

1.4

Teoría de Conjuntos

Los resultados de un experimento muestral constituyen un conjunto, y los resultados de este que favorecen la característica de interés, determinan también un conjunto, se sigue entonces que un concepto fundamental para el desarrollo de la teoría de probabilidades es el concepto de conjunto, y con él las operaciones y propiedades de la teoría. A continuación se realizará una introducción básica a esta teoría. Dado que el concepto de conjunto es complejo para el nivel de estas notas, se acogerá la definición básica que se utiliza en el medio para este concepto. Definición 1.4.1 Conjunto Un conjunto es una colección de objetos distintos. Los conjuntos serán denotados por letras latinas mayúsculas. Los objetos que constituyen un conjunto serán llamados elementos del conjuntos y se denotaran por letras latinas minúsculas; así por ejemplo A denotará un conjunto, y a denotará un elemento de un conjunto. Ahora bien, se establece una relación de pertenencia entre un elemento y un conjunto, de tal manera que si a es un elemento del conjunto A se denotará por a ∈ A, o si por el contrario, a no es un elemento del conjunto A se denotará por a ∈ / A, donde el símbolo ∈ es conocido como el símbolo de pertenencia. Respecto a la presentación de un conjunto, esta se puede realizar por extensión o por compresión, en el primero se despliegan todos y cada uno de los elementos que conforman el conjunto, en tanto que en el segundo se describe un factor que caracteriza los elementos que pertenecen al conjunto. No todos los conjuntos se pueden escribir por extensión, y no todos los conjuntos se pueden escribir por comprensión.

1.4. TEORÍA DE CONJUNTOS

17

Ejemplo 1.4.1 A es el conjunto de todos los resultados que se pueden obtener al lanzar un dado al aire, entonces: El conjunto por extensión sería: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El conjunto por comprensión sería: A = {x : 1 ≤ x ≤ 6}. Además se puede afirmar que 3 ∈ A y 9 ∈ /A La pertenencia establece la relación entre un elemento y un conjunto. Para relacionar dos conjuntos se cuenta con la definición de inclusión o igualdad de conjuntos, las cuales se presentan a continuación. Definición 1.4.2 Sub-Conjunto Sean A y B conjuntos. Se dice que A es un subconjunto de B, denotado por A ⊆ B, si y sólo si todo elemento de A es también un elemento de B. Así: A⊆B

si y sólo si

∀x ∈ A ⇒ x ∈ B

Se tiene también que si A ⊆ B entonces se puede decir que A está contenido en B, o que B contiene a A. Definición 1.4.3 Conjuntos Iguales Sean A y B conjuntos. Se dice que A es igual a B, denotado por A = B, si y sólo si todo elemento de A es también un elemento de B, y todo elemento de B es elemento de A. Así: A=B

si y sólo si

∀x; x ∈ A ⇔ x ∈ B

De la definición anterior se sigue que si A = B entonces A ⊆ B y B ⊆ A

1.4.1

Algunos conjuntos especiales

Algunos conjuntos que se utilizan con cierta frecuencias son definidos de manera especial, a continuación se presentan algunos de ellos. 1. Conjunto Vació. El conjunto que no contiene elementos es llamado el conjunto vació, se denota por ϕ. 2. Conjunto Unitario. El conjunto que contiene un único elemento es llamado un conjunto unitario. Observación 1.4.1 Un resultado importante dentro de la teoría de conjuntos establece que el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto, esto es: ϕ⊆A

∀A

Conjunto

Definición 1.4.4 Conjunto Referencial. El conjunto que contiene todos los conjuntos bajo un mismo contexto es llamado el conjunto referencial. En el contexto de la estadística, el conjunto referencial está directamente relacionado con el espacio muestral que se define a continuación. Definición 1.4.5 Espacio Muestral El conjunto que contiene la totalidad de resultados posibles de un experimento aleatorio es llamado el Espacio Muestral, y se denotará generalmente por S.

18

CHAPTER 1. PROBABILIDAD

Figure 1.1. Unión entre conjuntos

Observación 1.4.2 Evento Con base en la definición de Espacio Muestral y de acuerdo con la definición de evento presentada en la primera sección de este capítulo, se puede afirma que un evento es un subconjunto del espacio muestral. Note que este puede incluso ser el vació. Ejemplo 1.4.2 Se lanzan al aire una moneda y un dado, no cargados. Especifique cual es el experimento aleatorio, determine el espacio muestral, determine el evento E solicitado, y finalmente determine la probabilidad de que se presenten las siguientes situaciones: a. Obtener un cinco. b. Obtener un cinco y un sello. Solución 7 Experimento Aleatorio: Para este ejemplo consiste en lanzar al aire simultáneamente una moneda y un dado. Espacio Muestral: S = {(1, c), (2, c), (3, c), (4, c), (5, c), (6, c), (1, s), (2, s), (3, s), (4, s), (5, s), (6, s)} a. Obtener un cinco. El evento para este caso estará dado por todos los resultados del experimento aleatorio que contienen un cinco, así: E = {(5, c), (5, s)} Ahora bien, para encontrar la probabilidad del evento E se requiere el numero de elementos m en el conjunto, para este caso m = 2, estos constituyen los casos favorables, y el número de elementos en el espacio muestral n, en este caso n = 12, número de casos favorables; se tiene entonces que: P (obtener un cinco) = P (E) =

2 1 m = = n 12 6

b. Obtener un cinco y un sello.

1.4.2

Operación entre Conjunto

Definición 1.4.6 Unión de Conjuntos Dados dos conjuntos A y B se define la unión de A con B, denotado por A ∪ B, como el conjunto que contiene todos los elementos que están en el conjunto A o en B.

1.4. TEORÍA DE CONJUNTOS

19

Figure 1.2. Intersección entre conjuntos

Definición 1.4.7 Intersección de Conjuntos Dados dos conjuntos A y B se define la intersección de A con B, denotado por A ∩ B, como el conjunto que contiene todos los elementos que están en el conjunto A y en el conjunto B.

Definición 1.4.8 Complemento de un Conjunto Dado un conjunto referencial R, y un conjunto A de R, se define el complemento de A respecto a R, denotado por Ac o A′ , como el conjunto que contiene todos lo elementos que están en R, pero que no están en A. Definición 1.4.9 Conjuntos Disjuntos o Excluyentes Sean A y B conjuntos. Se dice que A y B son disjuntos (o excluyentes), si y solamente A ∩ B = ϕ, esto es, si A y B no tienen elementos en común. Definición 1.4.10 Partición Sea A un conjunto, se dice que E1 , E2 , · · · , Ek es una partición de A si y solamente si: • Ei ∩ Ej = ϕ, con ∀i ̸= j (son disyunto o excluyente), y • E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ Ek = A Ejemplo 1.4.3 Sea A el conjunto formado por todos los números de tres dígitos que se pueden escribir con los números 1, 2, 3, y cuyo primer dígito es un uno, y sea B el conjunto formado por todos los números pares de tres dígitos que se pueden escribir con los mismos números. Sea además R el conjunto referencial formado por todos los números de tres dígitos que se pueden escribir con los números antes mencionados. Si se sabe que los números en los conjuntos no tiene dígito repetido, hallar: 1. El espacio Muestral 2. P (A ∪ B) 3. P (A ∩ B) 4. P (A′ ) 5. P (A ∩ B ′ ) Teorema 1.9 Propiedades de operaciones entre conjuntos Sean A, B, C conjuntos en un conjunto referencial S (en nuestro caso, S el espacio muestral) , entonces:

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CHAPTER 1. PROBABILIDAD 1. S ′ = ϕ 2. S ∪ A = S 3. S ∩ A = A 4. ϕ ∪ A = A 5. ϕ ∩ A = ϕ 6. (A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′ 7. (A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′ 8. C ∪ (A ∩ B) = (C ∪ A) ∩ (C ∪ B) 9. C ∩ (A ∪ B) = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B)

1.5

Ejercicios II

1. Una bolsa tiene en su contenido 50 microchips de computadoras, entre las cuales hay 5 defectuosos. £Cuál es la probabilidad de que al extraer una muestra de 3, por lo menos un microchips sea defectuoso. 2. En un grupo que sale de excursión, está conformado por 8 personas, de las cuales 5 son mujeres y 3 hombres. Si se escogen 4 integrantes para que realicen tareas de montaje y desmontaje de los campamentos, defina los eventos y halle la probabilidad de que sean consideradas por lo menos 2 mujeres. 3. En una pequeña biblioteca de escuela se tienen tres ejemplares de la obra de Alicia en el País de las Maravillas, cinco texto de español y literatura, uno para cada grado, y cuatro texto de matemática uno por cada grado de segundo a quinto, además la asignatura de ciencias trabajo con el mismo texto toda la primaria y de este se tienen tres ejemplares, entonces: (a) ¿De cuantas formas diferentes se pueden organizar los textos en una biblioteca? (b) Si los textos de una misma temática deben quedar juntos, de cuantas formas diferentes se pueden organizar sobre una biblioteca? (c) Si los textos de Alicia en el País de las maravillas y los de español y literatura deben estar juntos, de cuantos formas diferentes se pueden organizar en una biblioteca todos los libros? (d) Si el bibliotecario organiza al azar los texto, cuál es la probabilidad de que los texto de Alicia en el País de las Maravillas se encuentren juntos? 4. Una empresa que requiere cierto personal para llenar dos vacantes ha recibido 20 hojas de vidas de profesionales con los siguientes títulos, ingeniero: Industrial 6, dos mujeres, de sistemas 7, tres mujeres, electrónicos 4, tres mujeres, telecomunicaciones 3, dos mujeres. Si todos cumplen con las especificaciones para el cargo, por lo que el administrador decide elegir los dos aspirantes al azar, determine la probabilidad de que el puesto le sea asignado a: (a) Dos mujeres. (b) Una mujer y un hombre. (c) Una mujer o un hombre. (d) Una mujer Ingeniera de sistema y un hombre Ingeniero Industrial.

1.5. EJERCICIOS II

21

(e) Una mujer Ingeniera de Telecomunicaciones o un hombre Ingeniero Electrónico. (f) Dos ingenieros Industriales 5. Sea S = {R1 , R2 , R3 , R4 , R5 } un espacio muestral formado por cinco posibles resultados igualmente probables. Consideremos los eventos: A = {R1 , R2 }, B = {R3 , R4 , R5 }, y C = {R1 , R2 , R4 }, entonces: (a) ¿A y B son mutuamente excluyentes? (b) Hallar: A′ , B ′ , P (A′ ), P (B ′ ) (c) Hallar: A ∩ C, P (A ∩ C) (d) Hallar: B ∪ C ′ , P (B ∪ C ′ ) 6. Una urna contiene 10 borradores y 5 sacapuntas. Se extraen dos objetos sucesivamente y sin restitución. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean borradores? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primero sea borrador y el segundo un sacapuntas? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que el primero sea un saca punta y el segundo un borrador? (d) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean sacapuntas? 7. El baloto es un tipo de lotería que consiste en elegir un subconjunto de seis números distintos del conjunto 1, 2, 3, · · · , 45, dentro de los cuales solo una combinación es la ganadora del primer premio. Si un participante compró un boleto nada más, calcule la probabilidad de: (a) Obtener cinco de los seis números premiados. (b) Obtener cuatro de los seis números premiados. (c) No acertar a ninguno de los seis números premiados 8. ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 0,1,2,3,4,5, y 6 si cada dígito se puede utilizar una sola vez? 9. U representa el universo U = {x/xes un alumno de la universidad de Medellín} A y B son subconjuntos de U A = {x/xes un alumno de la universidad de 22 o más años de edad} y B = {x/xes un alumno de la universidad de menos de 22 años de edad} Encontrar: (a) La probabilidad de A ∪ B (b) La probabilidad de A ∩ B (c) La probabilidad de (A ∪ B)′ )

22

CHAPTER 1. PROBABILIDAD

1.6

Probabilidad de Eventos

En la sección anterior se realizó una introducción al manejos de conjuntos, algunas definiciones de interés para el capítulo de probabilidad, así como las operaciones de mayor uso para este capítulo se presentaron allí. Acontinuación se presentarón los teoremas que permiten obtener la probabilidad de un evento a partir de las probabilidades de otros eventos dados que se relacionan mediante operación entre eventos con él. En la sección anterior se estableció que un evento es en esencia un conjunto asociado con alguna característica esperada en un resultado de un experimento aleatorio. Dado que a continuación se dará inicio a la parte formal del capítulo, se empezará por presentar el conjunto de axiomas que soportan la teoría. Axioma 1 Dado un experimento aleatorio que define un espacio muestral S, y E1 , E2 , · · · , En una partición del espacio muestral, entonces: 1. 0 ≤ P (Ei ) ≤ 1 para todo i = 1, 2, · · · , n 2. P (Ei ∪ Ej ) = P (Ei ) + P (Ej ) 3. P (S) = P (E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En ) = 1 Según las definiciones de complemento y partición presentados en la sección anterior se tiene que un evento y su complemento constituyen una partición del espacio muestral, como consecuencia se tiene el siguiente teorema. Teorema 1.10 Teorema del Complemento Sea A un evento dado, entonces: P (A) + P (A′ ) = 1 Proof. Sea A un evento, por definición de complemento se tiene que • A ∪ A′ = S, y • A ∩ A′ = ϕ por lo tanto, del axioma en su numeral 3 se tiene: P (A ∪ A′ ) = P (A) + P (A′ ) = 1; esto es: P (A) + P (A′ ) = 1

Definición 1.6.1 Tabla de frecuencias cruzadas Una tabla de frecuencias cruzadas, llamada también tabla de contingencia, es un arreglo rectangular donde la primera fila describe las características de una variable aleatorias cualitativa, y la primera columna describe las características de una segunda variable aleatoria cualitativa, además cada una de las celdas restantes guarda las frecuencias absolutas de la ocurrencia de los individuos que contienen las dos características simultáneamente.

1.6. PROBABILIDAD DE EVENTOS

23

Ejemplo 1.6.1 De los 70 aspirantes a un programa de Medicina de una universidad, se tiene que 38 son mujeres, de estas 15 proceden de un colegio público y 20 de uno privado; además, 8 hombres proceden de un colegio del exterior y 15 de uno privado. Con esta información resuelva: 1. Defina los eventos involucrados en el problema. 2. Construya una tabla de contingencia, utilizando los eventos del numeral anterior. 3. Si se selecciona un aspirante al azar, determine la probabilidad: (a) De que sea Mujer. (b) De que sea Hombre. (c) Que proceda de un colegio en el Exterior (d) Que no proceda de un colegio en el Exterior (e) Que proceda de un colegio Público (f ) Que sea hombre y proceda de un colegio privado. (g) Que sea mujer, si se sabe que procede de un colegio público. (h) Que proceda de un colegio público, si se sabe que es mujer. (i) Que sea hombre o proceda de un colegio en el exterior. Teorema 1.11 Teorema de Adición Si A y B son dos eventos cualesquiera de un espacio muestral S, entonces P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) Observación 1.6.1 Se puede presentar una generalización del teorema anterior a n-eventos. En particular para el caso de tres eventos A, B, C se tendría: P (A∪B∪C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B∩C)+P (A∩B∩C) Ejemplo 1.6.2 En una encuesta aplicada a los suscriptores de una revista se encontró que en los últimos 12 meses 45.8% habían rentado un automóvil por razones de trabajo, 54% por razones personales y 30% por razones de trabajo y personales. 1. ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor haya rentado un automóvil en los últimos 12 meses por razones de trabajo o por razones personales? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor no haya rentado un automóvil en los últimos 12 meses ni por razones de trabajo ni por razones personales? Solución 8 Comenzamos por definir todos los eventos asociados al contexto para los 12 últimos meses. T: Los suscriptores de la revista han rentado un automóvil por razones de trabajo. F: Los suscriptores de la revista han rentado un automóvil por razones personales. Nótese que T ∩ F ̸= ϕ Las probabilidades asociadas son: P (T ) = 0.458, P (F ) = 0.54, P (T ∩ F ) = 0.3

24

CHAPTER 1. PROBABILIDAD 1. Para dar respuesta a este ítem, hacemos uso de la propiedad aditiva de las probabilidades (teorema 1.11): P (T ∪ F ) = P (T ) + P (F ) − P (T ∩ F ) = 0.458 + 0.54 − 0.3 = 0.698 R/Luego la probabilidad de que un suscriptor haya rentado un automóvil en los últimos 12 meses por razones de trabajo o por razones personales es de 0.698. 2. Para este ítem, debemos considerar el evento conjunto de rentar un automóvil en los últimos 12 meses y que la razón no sea ni por trabajo ni por razones personales, simbólicamente se escribe: T ′ ∩ F ′ , pero de la teoría de conjuntos T ′ ∩ F ′ = (T ∪ F )′ Esta última igualdad sobre conjuntos complementarios se debe a las Leyes de Morgan sobre la intersección de conjuntos complementarios. Adicionalmente a partir de lo hecho en el ítem a) tenemos que P [(T ∪ F )′ ] = 1 − P (T ∪ F ) = 1 − 0.698 = 0.302 Por lo tanto: P (T ′ ∩ F ′ ) = 0.302 R/ La probabilidad de que el suscriptor haya rentado un automóvil en los 12 últimos meses y que la razón no sea ni por trabajo ni por razones personales es de 0.302.

 Con frecuencia es necesario conocer cuál será el comportamiento en cierto experimento aleatoria cuando se sabe que los resultados que se pueden obtener están afectados por la ocurrencia de otro suceso. Esta clase de situaciones conducen al concepto de probabilidad condicional o probabilidad a posteriori. Definición 1.6.2 Probabilidad Condicional Sean A y B dos eventos, la probabilidad condicional de B dado A, que se denota por P (B/A), se define como P (B/A) =

P (A ∩ B) , si P (A) > 0 P (A)

En algunas situaciones, sabemos que un evento A que ha ocurrido no afectará la probabilidad de ocurrencia de un evento B; esto es, la probabilidad de que ocurra B no dependerá de lo que ocurra en el evento A, lo que nos lleva a la siguiente definición para eventos independientes Definición 1.6.3 Eventos Independientes Dos eventos A y B son independientes si y solo si la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad asignada a la ocurrencia del otro. La anterior definición, lleva al siguiente teorema.

1.6. PROBABILIDAD DE EVENTOS

25

Teorema 1.12 Si dos eventos A y B son independientes, entonces P (B/A) = P (B) o P (A/B) = P (A) Ejemplo 1.6.3 Alberto, Carlos y Ramón fueron formados en escuelas de fútbol diferentes. La probabilidad de que Alberto acierte a un tiro libre es de 0.8, la de que lo haga Carlos es del 0.78 y la de Ramón es de 0.85. Si con el correr del tiempo, Alberto y Ramón terminaron jugando para el mismo equipo la final de un campeonato que se fue a penalties, y Carlos juega para el equipo contrario, además, ellos son los últimos tres jugadores en pegarle a la bola. Determine la probabilidad de que el equipo de Alberto y Ramón se gane el campeonato, si para hacerlo deben acertar en su tiro los dos jugadores del equipo y fallar el del equipo contrario. Ejemplo 1.6.4 ¿Se puede decir que los eventos del ejemplo (1.6.2) son independientes? Ejemplo 1.6.5 Una canasta con dulces contiene 6 mentas, 4 chicles y 3 chocolatinas. Si una persona realiza una selección al azar de uno de ellos, encuentre la probabilidad de obtener: 1. Una menta 2. Un chicle o un chocolate Solución 9 El espacio muestral Teorema 1.13 Dos eventos A y B son independientes si y sólo si: P (A ∩ B) = P (A)P (B) Ejemplo 1.6.6 El médico de una empresa tiene una tabla en la que registra los empleados según el sexo y la condición de fumadores. Fumador No fumador Total Mujer 30 55 85 Hombre 90 67 157 Total 120 122 242 A partir de la tabla se define los siguientes eventos: F: El empleado es fumador. G: El empleado no es fumador. M: El empleado es mujer. H: El empleado es hombre. Realizar y responder las siguientes preguntas. 1. Realice una tabla de probabilidad donde señales las probabilidades conjuntas y las probabilidades marginales. 2. La probabilidad de que al escoger a una persona sea fumadora dado que es mujer. 3. La probabilidad de que al escoger a una persona sea fumadora dado que es hombre. 4. ¿Que la persona sea fumadora depende del sexo? Justifique y explique usando las probabilidades.

26

CHAPTER 1. PROBABILIDAD

Solución 10 1. Realice una tabla de probabilidad donde señales las probabilidades conjuntas y las probabilidades marginales. Mujer Hombre Total

Fumador ≃ 0.1240 = 0.3719 0.4959

30 242 90 242

No fumador 55 242 ≃ 0.2273 67 242 ≃ 0.2769 0.5042

Total 0.3513 0.6488 1.0001

Se debe precisar que las probabilidades conjuntas que se obtienen a partir de la tabla inicial son las siguientes. P (F ∩ M ) = P (M ∩ F ) ≃ 0.1240 P (M ∩ G) = P (G ∩ M ) ≃ 0.2273 P (F ∩ H) = P (H ∩ F ) = 0.3719 P (H ∩ G) = P (G ∩ H) ≃ 0.2769 Observe que estas probabilidades conjuntas, resulta de la conjunción de dos eventos, por ello el nombre de probabilidad conjunta. Las probabilidades marginales, son aquellas probabilidades que aparecen en la tabla de probabilidades, estando al "margen" o adyacentes al de las probabilidades conjuntas. P (F ) = 0.4959 P (G) = 0.5042 P (H) = 0.6488 P (M ) = 0.3513 2. La probabilidad de que al escoger a una persona sea fumadora dado que sea mujer, viene dado por la probabilidad condicional: P (F/M ) =

P (F ∩ M ) 0.1240 = = 0.3529 P (M ) 0.3513

R/ Luego la probabilidad de que la persona sea fumadora dado que es mujer es 0.3529. 3. La probabilidad de que al escoger a una persona sea fumadora dado que es hombre, de manera similar a lo realizado en el ítem 2) es la probabilidad condicional: P (F/H) =

P (F ∩ H) 0.3719 = = 0.5732 P (H) 0.6488

R/ Luego la probabilidad de que la persona sea fumadora dado que es hombre es 0.5732. 4. ¿Que la persona sea fumadora depende del sexo? Justifique y explique usando las probabilidades. De acuerdo con el teorema 1.13, bastará con verificar que la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades, y como no se está preguntando por un sexo en particular, se tendrá que garantizar la independencia en ambos casos, así: P (F ∩ M ) = 0.1240 ̸= P (F ) × P (M ) = 0.1742

1.7. EJERCICIOS III

27

y P (F ∩ H) = 0.3719 ̸= P (F ) × P (H) = 0.3217 R/ Se concluye que el evento ser fumador si depende del sexo, en otras palabras, que la persona sea fumadora si depende de que sea mujer o que sea hombre.  Ejemplo 1.6.7 En un pequeño pueblo se dispone de un carro de bomberos y una ambulancia para casos de emergencia. La probabilidad de que el primero este disponible cuando se le necesita es de 0.98, y la probabilidad de que la ambulancia este disponible cuando se le llama es de 0.92. En el caso de que resulte un herido al quemarse un edificio, determinar la probabilidad de que tanto el carro de bomberos como la ambulancia estén disponibles.

1.7

Ejercicios III

1. La sede central de un almacén de cadena abastece los condimentos que vende de dos marcas diferentes. El almacén realizan las compras directamente con la empresa productora, y sabe que la probabilidad de que el pedido le llegue a tiempo es de 0.8 si es de la marca A y de 0.95 en la marca B. Si la empresa realiza un pedido simultáneamente a las dos marcas, determine: (a) Los dos pedidos lleguen a tiempo. (b) Al menos uno de los pedidos llegue a tiempo. (c) Al menos uno de los pedidos no llegue a tiempo. (d) Si el pedido de la empresa A llegó a tiempo, determine la probabilidad de que también lo haga el pedido de la empresa B. 2. Se trae del exterior una caja con 12 microcomponentes para reparar unas máquinas en una empresa. El fabricante, informa que por error se empacaron 4 defectuosas. Cuando llega la caja, el ingeniero electrónico que va a hacer la reparación, la abre y extrae una muestra de 3 microcomponentes al azar, uno seguido del otro. Calcular las siguientes probabilidades: (a) Los tres microcomponentes sean defectuosos. (b) Los tres microcomponentes no sean defectuosos. (c) Dos sean defectuosos y el otro no defectuoso (d) Uno defectuoso y los otros dos no defectuosos. (e) Exactamente uno sea defectuoso. (f) Al menos uno sea defectuoso. (g) Al menos uno sea no defectuoso. (h) El importador devolverá el pedido si algunas de las probabilidades anteriores es menor que 30%. Concluir si rechaza o no el pedido. 3. Andrés, Daniel y Juan juegan tiro al blanco. Andrés es el mejor de ellos, pues su probabilidad de acertar el blanco es de 0.8, mientras que la de Daniel es de 0.6 y la de Juan es de 0.3. El hecho de que alguno de ellos acierte es independiente de que cualquiera de los otros lo haga o no. Si todos lanzan al blanco, calcule la probabilidad de que:

28

CHAPTER 1. PROBABILIDAD (a) Todos acierten. (b) Andrés acierte y los demás no. (c) Juan acierte y los demás no. (d) Al menos uno acierte. 4. La siguiente tabla muestra las frecuencias de 1000 admitidos en una universidad, clasificadas de acuerdo al resultado del examen de admisión y el programa al que fue admitido. Puntaje Básico(B) Bueno(M) Muy Bueno (H) Total

PROGRAMA ADMITIDO Arquitectura (A) Odontología(O) 45 15 120 105 35 180 200 300

Negocios (N) 95 300 105 500

Total 155 525 320 1000

Con base en la anterior tabla, defina cada uno de los eventos que aparecen de manera explícita en ella con su respectiva notación, y posteriormente, calcule la probabilidad de que una aspirante, elegido al azar: (a) Obtenga un puntaje básico. (b) Haya sido admitido a odontología (c) Obtenga una calificación muy buena y haya sido admitido a negocios. (d) Que su puntaje sea bueno o que haya sido admitido a arquitectura. (e) Si obtuvo un puntaje básico, que haya sido admitido a odontología. (f) Que haya obtenido una calificación muy buena dado que fue admitido a negocios. 5. Una empresa que requiere cierto personal para llenar una vacante ha recibido 20 hojas de vidas de profesionales con los siguientes títulos, ingeniero: Industrial 6, dos mujeres, de sistemas 7, tres mujeres, electrónicos 4, tres mujeres, telecomunicaciones 3, dos mujeres. Como todos cumplen con las especificaciones para el cargo, el administrador decide elegir al aspirantes al azar, determine la probabilidad de que el puesto le sea asignado a: (a) Una mujer. (b) Un Ingeniero de sistemas. (c) Una mujer o un hombre. (d) Una mujer Ingeniera Industrial. (e) Si la persona seleccionada resulto ser hombre, determine la probabilidad de que se Ingeniero de telecomunicaciones. (f) Si la persona seleccionada resulto ser un ingeniero de telecomunicaciones, determine la probabilidad de que sea hombre. (g) De que sea Ingeniero electrónico y mujer. 6. Un bus que sale de Bogotá hacia Medellín pasando por Puerto Triunfo. La probabilidad de llegar a tiempo a Puerto Triunfo es de 0.85 y la probabilidad de llegar tarde a Puerto triunfo pero a tiempo a Medellín es de 0.15. Suponiendo que el tren llegó tarde a Puerto Triunfo, Cuál es la probabilidad de que, a pesar del retraso, llegue a tiempo a Medellín?

1.8. TEOREMA DE BAYES

29

7. Datos históricos de una localidad permitió observar y encontrar que por cada 50.000 niñas que alcanzaban la edad de 8 años, 32.543 en promedio, llegaban a los 45 años y 19.586, alcanzaba la edad de 65 años. (a) Defina los sucesos o eventos del problema. (b) Establezca los valores de probabilidad de los eventos definidos en el ítem anterior (c) ¿Qué probabilidad de llegar a los 65 años tiene una niña que ya ha cumplido 45 años? 8. Se le pregunta a un grupo de personas sobre que les gusta más, el Facebook o el whatsApp. Se encontró que 47 les gusta el Facebook y 92 el whatsApp, en tanto que 32 les gusta los dos medios de difusión, pero a 13 no les gusta ninguno de los dos medios. Se elige al azar una de esas personas, se pide calcular ¿Cuál es la probabilidad de que: (a) No le guste el Facebook. (b) No le guste el whatsApp y le guste Facebook. (c) Le guste el whatsApp o el Facebook. (d) Le guste el whatsApp, sabiendo que le gusta el Facebook. (e) ¿Son los eventos gustarle elwhatsApp y gustarle el Facebook eventos independientes?

1.8

Teorema de Bayes

Teorema 1.14 (Teorema de la probabilidad Total) Si los eventos B1 , B2 , · · · , Bk constituyen una partición del espacio muestral S, de tal forma que P (Bi ) ̸= 0 para i = 1, 2, · · · , k, entonces para cualquier evento A de S, se cumple: P (A) =

k ∑ i=1

P (Bi ∩ A) =

k ∑

P (Bi )P (A/Bi )

i=1

Ejemplo 1.8.1 Los clientes de cierta empresa acostumbran evaluar en forma preliminar el diseño de los productos. En el pasado, 9.5% de los productos de gran éxito recibieron crítica favorables, 60% de los productos con un éxito moderado recibieron crítica favorables y 10% de los productos sin mucho éxito recibieron críticas favorables. Además, 40% de los productos han sido de gran éxito, 35% han sido de éxito moderado y 25% han sido productos sin mucho éxito. Determine la probabilidad de que un diseño nuevo obtenga una crítica favorable? Solución 11 Empecemos por definir los eventos involucrados en el problema. B1 : Productos de gran éxitos B2 : Productos de éxito moderado B3 : Productos sin mucho éxito D: Productos que reciben crítica favorable Ahora bien, de acuerdo con el enunciado, las probabilidades condicionales están dadas por: P (D/B1 ) = 0.095; Probabilidad de que un producto reciba crítica favorable dado que tuvo gran éxito.

30

CHAPTER 1. PROBABILIDAD

P (D/B2 ) = 0.6; Probabilidad de que un producto reciba crítica favorable dado que tuvo éxito moderado. P (D/B3 ) = 0.1; Probabilidad de que un producto reciba crítica favorable dado que no tuvo mucho éxito. Y las probabilidades marginales son: P (B1 ) = 0.4: Probabilidad de que un productos tenga gran éxitos. P (B2 ) = 0.35: Probabilidad de que un productos tenga éxito moderado. P (B3 ) = 0.25: Probabilidad de que un productos tenga sin mucho éxito Ahora bien, para hallar la probabilidad de que un diseño nuevo tenga critica favorable, se aplicará el teorema de la probabilidad total 1.14, toda vez que los eventos Bi con i = 1, 2, 3 constituyen una partición para el espacio de los productod de la empresa; luego, se tiene que:

P (D) =

3 ∑

P (Bi )P (D/Bi ) = 0.4 × 0.095 + 0.35 × 0.6 + 0.25 × 0.1 = 0.273

i=1

R/ La probabilidad de que un producto nuevo tenga una crítica favorable es de 0.273.  Teorema 1.15 (Teorema de Bayes) Si los eventos B1 , B2 , · · · , Bk constituyen una partición del espacio muestral S, donde P (Bi ) ̸= 0 para i = 1, 2, 3, · · · , k, entonces para cualquier evento A en S tal que P (A) ̸= 0 se tiene: P (Br )P (A/Br ) P (Br )P (A/Br ) P (Br /A) = ∑k = P (A) P (B )P (A/B ) i i i=1 Ejemplo 1.8.2 Los clientes de cierta empresa acostumbran evaluar en forma preliminar el diseño de los productos. En el pasado, 9.5% de los productos de gran éxito recibieron crítica favorables, 60% de los productos con un éxito moderado recibieron crítica favorables y 10% de los productos sin mucho éxito recibieron críticas favorables. Además, 40% de los productos han sido de gran éxito, 35% han sido de éxito moderado y 25% han sido productos sin mucho éxito. 1. Si un diseño nuevo obtiene una crítica favorable, ¿cuál es la probabilidad de que será un producto de gran éxito? 2. Si un producto no consigue una crítica favorable, ¿cuál es la probabilidad de que será un producto de gran éxito? Ejemplo 1.8.3 Una empresa de galletas compra un ingrediente de su materia prima a tres proveedores, el 30% lo compra al proveedor A1 ; el 20% al proveedor A2 ; y el restante 50% al proveedor A3 . La empresa tiene datos históricos de los tres proveedores, toda vez que lleva con ellos más de 10 años de relaciones y sabe que el 3% del ingrediente de proveedor A1 , no cumple con las normas de la calidad de la empresa, el 5% del ingrediente de proveedor A2 , no cumple con las normas de

1.8. TEOREMA DE BAYES

31

la calidad de la empresa y el 4% del ingrediente de proveedor A3 , no cumple con las normas de la calidad de la empresa. Durante el almacenamiento de la materia prima no se revisa, ni se identificó el nombre del proveedor. Al momento de la producción se selecciona uno de los ingredientes y se encuentra de mala calidad. ¿cuál es la probabilidad de que provenga del proveedor A2 ? Solución 12 Se tiene que los eventos para Evento A1 : el ingrediente de la materia Evento A2 : el ingrediente de la materia Evento A3 : el ingrediente de la materia Evento B: el ingrediente de la materia calidad.

el problema están dados por: prima se compró al proveedor A1 . prima se compró al proveedor A2 . prima se compró al proveedor A3 . prima comprada se encuentra de mala

Las probabilidades a priori están dadas por: P (A1 ) = 0.30. La probabilidad de haber comprado el ingrediente de la materia prima al proveedor A1 . P (A2 ) = 0.20. La probabilidad de haber comprado el ingrediente de la materia prima al proveedor A2 . P (A3 ) = 0.50. La probabilidad de haber comprado el ingrediente de la materia prima al proveedor A3 . Las probabilidades condicionales están dadas por: P (B/A1 ) = 0.0.3 La probabilidad de que el ingrediente del proveedor A1 , no cumple con las normas de la calidad de la empresa. P (B/A2 ) = 0.05 La probabilidad de que el ingrediente del proveedor A2 , no cumple con las normas de la calidad de la empresa. P (B/A3 ) = 0.04 La probabilidad de que el ingrediente de proveedor A3 , no cumple con las normas de la calidad de la empresa. Se pide hallar: P (A2 /B) =?, probabilidad de que el ingrediente provenga del proveedor A2 , dado que es de mala calidad. Entonces por el Teorema de Bayes (T. 1.15) se tiene: P (A2 )P (B/A2 ) i = 1)k P (A2 )P (B/A2 ) (

P (A2 /B) = ∑ Sustituyendo se tiene:

P (A2 /B) =

(0.20) × (0.05) 0.010 = = 0.2564 (0.30) × (0.03) + (0.20) × (0.05) + (0.50) × (0.04) 0.039

Si el ingrediente se encuentra de mala calidad hay una probabilidad de 25.64% de que provenga del proveedor A2 . El desarrollo anterior se puede presentar o trabajar de manera resumida con el denominado resumen tabular del Teorema de Bayes. Esta tabla permite presentar de manera resumida las llamadas probabilidades previas (probabilidades iniciales,

32

CHAPTER 1. PROBABILIDAD

condicionales y conjuntas) y observar cómo se han comportado estas en relación a las probabilidades posteriores, una vez aplicado el Teorema de Bayes. (Dejo a su criterio cambiar, ajustar o modificar esta introducción, así como su pertinencia y relevancia en esta sección). Ai A1 A2 A3 Total

P (Ai ) 0.30 0.20 0.50 1.00

P (B/Ai ) 0.03 0.05 0.04

P (Ai ∩ B) 0.009 0.01 0.02 0.039

P (Ai /B) 0.009 0.039 ≈ 0.23077 0.01 0.039 ≈ 0.25641 0.02 0.039 ≈ 0.511283 1.0000

 Ejemplo 1.8.4 Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. Si se selecciona una pieza al azar, determine las siguientes probabilidades: 1. De que sea defectuosa. 2. Si la pieza resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. 3. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

1.9

Ejercicios Propuestos

1. Una urna contiene balotas marcadas con los números de dos cifras que se pueden formar con los dígitos 2,3 y 4. Si se extrae una balota al azar de esta urna, determine la probabilidad de que este marcada con un número par. 2. Si el conjunto A = {x/x2 − 3x = 10}, y el conjunto B = {x/2x − 10 = 0}, hallar: (a) A ∪ B (b) A ∩ B 3. Si se lanzan dos dados no cargados al aire, determine la probabilidad de que la suma de los resultados sea mayor que 8 4. 5. ¿Cuántas selecciones de 3 monedas puedes hacer con una pieza de 5 centavos, una de 10, una de 20, una de 40 y una de peso?, ¿Cuál es la probabilidad de que la selección sume un número impar? 6. Un joven recién graduado de un bachillerato técnico bilingüe ha enviado su hoja de vida a dos empresas que han abierto una vacante cada una, a la empresa A llegaron 35 hojas de vida de las cuales 28 eran de personas que acreditaban manejar una segunda lengua y a la empresa B enviaron 68 hojas de vida, de las cuales 5 acreditaban tener un bachillerato técnico. Si ambas empresas le programaron la entrevista a la misma hora, y para la empresa A es importante que el candidato sea bilingüe y para la empresa A prima que el candidato tenga el título de técnico, a cuál entrevista deberá asistir el joven, explique su respuesta.

1.9. EJERCICIOS PROPUESTOS

33

7. En una población, la probabilidad de que un individuo, elegido aleatoriamente, se exponga a determinado alérgeno y tenga una reacción frente al mismo es de 0.60. La probabilidad de que un individuo expuesto al alérgeno experimente una reacción alérgica es de 0.8. Si un individuo es elegido aleatoriamente de esta población, ¿Cuál es la probabilidad de que se exponga al alérgeno? 8. Para viajar de la ciudad A a la ciudad B hay tres rutas diferentes de autobús, dos de tren y dos de avion. ¿De cuántas maneras se puede viajar de A a B por cualquiera de estos tres medios? 9. Suponga que cierto rasgo oftalmología está asociado con el color de los ojos. Se estudiaron 300 individuos elegidos aleatoriamente, con los resultados siguientes: Color de ojos Rasgo Azul Café Otro Totales SI 70 30 20 120 NO 20 110 50 180 Totales 90 140 70 300 Si se selecciona una persona al azar, determine: (a) la probabilidad de que el color de sus ojos sea azul. (b) la probabilidad de que el rasgo. (c) La probabilidad de que el color de los ojos no sea café. (d) La probabilidad de que tenga ojos color azul y no tenga el rasgo. (e) La probabilidad de que tenga ojos color azul dado que no tiene el rasgo. (f) La probabilidad de que tenga el rasgo dado que tiene ojos color café. (g) La probabilidad de que tenga ojos color azul o café. (h) La probabilidad de que tenga ojos color azul o tenga el rasgo. 10. Si la probabilidad de que una persona cometa un error al hacer su declaración de impuestos es de 0.1, encuentre la probabilidad de que: (a) Cuatro personas totalmente ajenas una de la otra se equivoquen. (b) El señor Jones y la señora Clark lo hagan y que el señor Roberts y la señora Willians no. 11. El presidente de una compañía afirma: hay 40% de posibilidades de que la firma logre utilidades en los próximos seis meses; 30% de que termine sin pérdidas ni ganancias y un 18% de que pierda dinero durante dicho periodo. Determine: (a) La probabilidad de que la firma no pierda dinero durante el próximo semestre, aplicando teoremas de adición (T1.11). (b) La probabilidad de que la firma no pierda dinero durante el próximo semestre, aplicando el teorema del complemento 12. Una empresa textil que diseña y fabrica Jeans, compra el 60% de su materia prima del tipo A1, el 25% del A2 y el resto lo compra de la calidad A3. Si el 35% de los jeans clásicos que hace la empresa son con la materia prima A1, 25% con la A2 y el 40% con A3. Determine la probabilidad de que en un almacén, distribuidor exclusivo de esta marca que surte estilos y calidades en proporción a lo que se produce, se produzca la venta de un Jean Clásico, si el comprador que llega lo quiere clásico y de calidad A1.

34

CHAPTER 1. PROBABILIDAD

13. Los miembros de una firma de consultoría rentan automóviles en tres agencias: 60% de la agencia 1, 30% de la agencia 2 y 10% de la agencia 3. Si 9% de los vehículos de la agencia 1 necesitan afinación, 20% de la de las unidades de la agencia 2 también la necesitan y de igual manera 6% de los autos de la agencia tres también la necesitan. ¿cuál es la probabilidad de que un automóvil rentado a la firma necesitará afinación? 14. El destino aéreo Medellín - Bogotá es realizado por las aerolíneas, Vuela Vuela, Lenk y Aires. La probabilidad de que Vuela Vuela retrase sus vuelos es de 0.05 y la probabilidad de que lo haga Aires es de 0.09, además la probabilidad de que tanto Vuela Vuela como Lenk retrasen su vuelo es de 0.02, entonces, (a) Encuentre la probabilidad de que Lenk retrase su vuelo. (b) Determine la probabilidad de que Vuela Vuela o Lenk retrasen su vuelo. (c) Si la probabilidad de que Lenk retrase su vuelo sabiendo que Aires retraso el suyo es de 0.4, encuentre la probabilidad de que Aires y Lenk retrasen su vuelo. (d) Determine la probabilidad de que Vuela vuela retrase su vuelo sabiendo que Lenk retraso el suyo. 15. La probabilidad de que un vuelo programado salga a tiempo es 0.83; la probabilidad de que llegue a tiempo es 0.82, y la probabilidad que salga y llegue a tiempo es 0.78. Encuentre la probabilidad de que: (a) un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo. (b) Un avión salió temprano, dado que llego a tiempo. (c) De que un avión o salga a tiempo o llegue a tiempo (d) De siete aviones que salen del aeropuerto, por lo menos cuatro salen a tiempo o llegan a tiempo si las salidas y llegadas de dos aviones diferentes son independientes. 16. La probabilidad de que un hombre viva 10 años más es de 41 , y la probabilidad de que su esposa viva 10 años más es de 13 . Encontrar la probabilidad de que: (a) Ambos estén vivos dentro de 10 años. (b) Por los menos, uno esté vivo dentro de 10 años. (c) Ninguno este vivo dentro de 10 años. (d) Solamente la esposa esté viva dentro de 10 años. 17. En los últimos años, las compañías de tarjetas de crédito han hecho un gran esfuerzo por lograr nuevas cuentas entre estudiantes universitarios. Suponga que en una muestra de 200 estudiantes en su universidad indicó la siguiente información acerca de sí el estudiante poseía una tarjeta de crédito bancario y/o una tarjeta de crédito para viajes. T.C. Bancario SI NO

T.C. SI 60 15

para V. NO 60 65

(a) Suponga que se sabe que el estudiante tiene una tarjeta de crédito bancario. ¿Cuál es la probabilidad que tenga también una tarjeta de crédito para viaje?

1.9. EJERCICIOS PROPUESTOS

35

(b) ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante tenga exactamente una de las dos tarjetas de crédito? (c) ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante tenga exactamente una de las dos tarjetas de crédito? (d) ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante tenga al menos una de las dos tarjetas de crédito? 18. El archivo de una aerolinea indica que 2 de cad 10 pilotos superan las 20 mil horas de vuelo. De otro lado, un estudio de accidentes aéreos de la compañía reporta que ninguno de los pilotos siniestrados sobreviven y que 1 de cada 100 pilotos con 20 mil horas o menos se accidente. La compañía ha decidido jubilar a los pilotos con no más de 20 mil horas de vuelo. Se selecciona al azar un piloto que registra 19980 horas de vuelo, cual es la probabilidad que pueda jubilarse? 19. La oficina de ceso proporciona datos sobre el número de adultos jóvenes, entre 18 y 24 años que viven en la casa de sus padres. Si se seleccionan al azar un adulto joven hombre y un adulto joven mujer se tiene que la probabilidad de que la mujer viva con sus padres es de 0.56 y la de que el hombre es de 0.42, además la probabilidad de que ambos vivan con sus padres es de 0.24. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los dos adultos jóvenes seleccionados viva en casa de sus padres? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos adultos jóvenes vivan solos? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando más uno de los dos adultos jóvenes seleccionados viva solo? 20. Un baúl I contiene 6 fichas rojas y 4 fichas azules. Cinco de estas fichas son seleccionadas al azar y puestas en un baúl II, el cual estaba originalmente vacío. Una ficha es entonces tomada al azar del baúl II. Dado que esta es azul, hallar la probabilidad condicional de que 2 fichas rojas y 3 azules sean transferidas del baúl I al baúl II. 21. Un dado no cargado es lanzado varias veces de manera independiente hasta que el primer 6 aparezca. Si el lanzamiento para en un número impar de veces, Pedro gana, de otra manera Juan gana. Hallar la probabilidad de que Pedro gane. 22. Una empresa textil realiza el proceso de tejido y teñido de sus telas, la probabilidad de un rollo de tela tenga defectos de tejido es de 0.15 y de que tenga defectos de teñido es de 0.20, adicionalmente la probabilidad de que un rollo presente los dos tipos de defectos es de 0.05, Determine: (a) La probabilidad de que un cliente que compro un rollo de tela de esta empresa le llegue con al menos uno de los defectos de producción. (b) La probabilidad de que sólo tenga un defecto de producción. (c) Si un cliente compra tres rollos de tela de esta empresa, determine la probabilidad de que ninguno de los rollos tenga defectos de producción. 23. El departamento de relaciones laborales de una empresa, abre una convocatoria para vincular un empleado para su dependencia de producción. Las hojas de vida que reciben con frecuencia le llegan por tres fuentes diferentes, el 45% son de la agencia de empleo A, el 35% de la agencia de empleo B, y las restantes le llegan de forma directa. Con frecuencia el 60% de las hojas de vida que llegan de la agencia A, satisfacen las especificaciones para el cargo

36

CHAPTER 1. PROBABILIDAD propuesto, el 25% de los de la agencia B, y un 90% de los que llegan de manera directa, entonces: (a) Encuentre la probabilidad de que una hoja de vida seleccionada al azar cumpla con las especificaciones para el cargo. (b) Determine la probabilidad de que al extraer al azar una hoja de vida que llegó a la empresa, esta sea enviada por la agencia A, si sabemos que cumple con las especificaciones. (c) Si por la premura que tiene la empresa del cargo, no disponen de tiempo para revisar todas las hojas de vida, a qué procedencia le debería dar prioridad para revisar primero.

24. La probabilidad de que un vuelo programado salga a tiempo es 0.83; la probabilidad de que llegue a tiempo es 0.82, y la probabilidad que salga y llegue a tiempo es 0.78. Encuentre la probabilidad de que: (a) un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo. (b) Un avión salió temprano, dado que llego a tiempo. (c) De que un avión o salga a tiempo o llegue a tiempo (d) De siete aviones que salen del aeropuerto, por lo menos cuatro salen a tiempo o llegan a tiempo si las salidas y llegadas de dos aviones diferentes son independientes. 25. Un tren sale de Bogotá hacia Medellín pasando por Puerto Berrio. La probabilidad de llegar a tiempo a Puerto Berrio es de 0.80 y la probabilidad de llegar tarde a Puerto Berrio pero a tiempo a Medellín es de 0.10. Suponiendo que el tren llegó tarde a Puerto Berrio, ¿Cuál es la probabilidad de que, a pesar del retraso, llegue a tiempo a Medellín? 26. Una empresa textil realiza el proceso de tejido y teñido de sus telas, la probabilidad de un rollo de tela tenga defectos de tejido es de 0.15 y de que tenga defectos de teñido es de 0.20, adicionalmente la probabilidad de que un rollo presente los dos tipos de defectos es de 0.05, Determine: (a) La probabilidad de que un cliente que compro un rollo de tela de esta empresa le llegue con al menos uno de los defectos de producción. (b) La probabilidad de que sólo tenga un defecto de producción. (c) Si un cliente compra tres rollos de tela de esta empresa, determine la probabilidad de que ninguno de los rollos tenga defectos de producción. 27. En un pequeño pueblo se dispone de un carro de bomberos y una ambulancia para casos de emergencia. La probabilidad de que el primero este disponible cuando se le necesita es de 0.98, y la probabilidad de que la ambulancia este disponible cuando se le llama es de 0.92. En el caso de que resulte un herido al quemarse un edificio, determinar la probabilidad de que tanto el carro de bomberos como la ambulancia estén disponibles. 28. Se hizo un estudio en una ciudad sobre la relación entre el consumo de bebidas azucaradas con el diagnóstico de cáncer de estómago. El 50% de las personas afirmó ser alto consumidor de bebidas azucaradas, el 30% ser un consumidor moderado y el 20% afirmó tener un bajo consumo de bebidas azucaradas. El 40% de las personas fue diagnosticada con cáncer de estómago. El 75% de los altos consumidores de bebidas azucaradas fue diagnosticado con cáncer de estómago, en tanto que el 15% de los que tienen un consumo moderado fue diagnosticado con cáncer.

1.9. EJERCICIOS PROPUESTOS

37

(a) £Se puede decir que la presencia de cáncer de estómago es independiente del alto consumo de bebidas azucaradas? Justifique. (b) Encuentre la probabilidad de que una persona sea diagnosticada con cáncer y sea un alto consumidor de bebidas azucaradas. (c) Encuentre la probabilidad de que una persona no sea diagnosticada con cáncer dado es un alto consumidor de bebidas azucaradas. (d) Encuentre la probabilidad de que una persona sea un alto consumidor de bebidas azucaradas dado que no está diagnosticado con cáncer. 29. Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. Si se selecciona una pieza al azar, determine las siguientes probabilidades: (a) De que sea defectuosa. (b) Si la pieza resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. (c) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? 30. La oficina de censo proporciona datos sobre el número de adultos jóvenes, entre 18 y 24 años que viven en la casa de sus padres. Si se seleccionan al azar un adulto joven hombre y un adulto joven mujer se tiene que la probabilidad de que la mujer viva con sus padres es de 0.56 y la de que el hombre es de 0.42, además la probabilidad de que ambos vivan con sus padres es de 0.24. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los dos adultos jóvenes seleccionados viva en casa de sus padres? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos adultos jóvenes vivan solos? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando más uno de los dos adultos jóvenes seleccionados viva solo? 31. Se inyecta una droga tóxica a 5 conejos. Se sabe que la droga es mortífera en un 70% de los casos. ¿Cuál es la probabilidad de que mueran 3 de los 5 conejos? 32. En una cierta región del país se sabe por experiencia pasada que la probabilidad de seleccionar a un adulto mayor de 40 años de edad con cáncer es de 0.02. Si la probabilidad de que un médico le diagnostique correctamente a una persona con cáncer que tiene la enfermedad es de 0.78 y la de que se equivoque, de 0.06, £cuál es la probabilidad de que a una persona se le diagnostique cáncer? 33. Una empresa industrial grande utiliza 3 hoteles locales para proporcionar alojamiento a sus clientes durante la noche. De pasadas experiencias se sabe que al 20% de ellos se les signa habitación en el Ramada Inn, al 50% en el Sheraton y al 30% en el Lakeview Motor Lodge. Si existe una falla en el servicio de plomería en el 5% de los cuartos del Ramada Imm, 4% de los cuartos del Sheraton y 8% de los cuarto del Lekaview, (a) ¿Cuál es la probabilidad de que a un cliente se le asigne un cuarto con problemas de plomería? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona con un cuarto que tenga problemas de plomería se la asigne acomodo en el Lakeview?

38

CHAPTER 1. PROBABILIDAD

34. Una institución de educación superior ofrece cinco programas de pregrado, ingeniería de sistemas, ingeniería ambiental, química, física y matemáticas, el 40% de los estudiantes de pregrado se encuentran matriculados en sistemas, el 30 % en ambiental, un 15% en química y un 10% en física y el resto en matemáticas. Se sabe además que el 35% de los estudiantes de sistemas tienen el hábito de visitar la biblioteca con frecuencia, un 40% de los de ambiental, un 50% de los químicos, un 80% de los físicos y un 90% de los matemáticos también tiene este habito. Si selecciona una estudiante al azar del pregrado de esta institución, determine: (a) La probabilidad de que este estudiante no tenga el hábito de visitar la biblioteca. (b) La probabilidad de que este estudiante sea de sistemas dado que tiene el habito de visitar la biblioteca.

CHAPTER

2

Distribuciones de Probabilidad

En el primer capítulo se estudiaron las distribuciones de frecuencias de un conjunto de datos cuantitativos, estas distribuciones de frecuencia permitían construir los histogramas de frecuencias de los mismos datos y a través de ellos hacerse a una idea de distribución global que podría tener una población. Esas primeras ideas funcionales que se examinaron allí, serán formalizadas en este capítulo,

2.1

Variables aleatorias

Definido ya el concepto de experimento aleatorio, se puede entender una variable aleatoria como un medio de describir los resultados experimentales con valores numéricos. Definición 2.1.1 Una variable aleatorio es una función que asigna un número real a cada resultado del espacio muestral de un experimento aleatorio Las variables aleatorias (en adelante v.a) se denotan por letras latinas mayúsculas. Una vez que se ha llevado a cabo el experimento, el valor medido de la v.a se representa por una letra latina minúscula. Ejemplo 2.1.1 En un proceso de fabricación de semiconductores se prueban dos obleas de un lote, cada oblea se clasifica como si pasa o falla. Suponga que la probabilidad de que una oblea pase la prueba es de 0.8 y que el hecho de que una oblea pase no afecta el que las demás obleas pasen o no. 1. Escribir el espacio muestral para el experimento. Solución En este caso puede suceder que ambas obleas pasen, o que una de ellas pase, o que ninguna pase, por lo tanto, el espacio muestral estará dado por: S = {P P, P N, N P, N N }, donde P significa que la oblea pasa, y N significa que la oblea no pasa. 2. Defina la v.a X como el número de obleas que pasan, y determine los valores que puede asumir X. Solución

40

CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD X : Número de obleas que pasan.

2 1 0 R X S NN NP PN PP

3. Construya una tabla con los resultados del experimento los valores de la v.a X asociados con ella y la probabilidad de cada valor de X y de cada elemento del espacio muestral. Solución Resultado PP PN NP NN

x 2 1 1 0

Probabilidad 0.64 0.16 0.16 0.04

Definición 2.1.2 (Espacio Muestral Discreto) Si un espacio muestral continene un número finito de elementos, o está constituido por una secuencia infintia con tantos elementos como números naturales existen, se llama espacio muestral discreto. Note que el espacio muestral del ejemplo 2.1.1 es un espacio muestral discreto. Definición 2.1.3 (Espacio Muestral Continuo) Si un espacio muestral contiene un número infinito de posibilidades igual al número de puntos en un segmento de recta, es llamado un espacio muestral continuo. Suponiendo que la distancia se mide con cierto grado de exactitud, claramente se tiene un número infinito de posibles distancias es un espacio muestral que no puede igualarse con el conjunto de los números naturales. Con base en las definiciones de espacio muestral continuo y discretos presentados anteriormente se puede decir que una variable aleatoria es discreta si esta definida sobre un espacio muestral discreto, y una v.a es continua cuando se define sobre un espacio muestral continuo.

2.2

Distribuciones de Probabilidad de v.a Discretas

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es una descripción de las probabilidades asociadas a los posibles valores de la variable.

2.2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE V.A DISCRETAS

41

Definición 2.2.1 Distribución de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta, y f (x) = P [X = x], para cada valor x que puede tomar la v.a X. El conjunto de pares ordenados(x, f (x)) es una función de distribución de probabilidad ( f.d.p) de la v.a discreta X sii, para cada resultado posible x, 1. f (x) ≥ 0 ∑ 2. f (x) = 1 3. P (X = x) = f (x) Observe que la distribución de probabilidad de una v.a discreta puede visualizarse en una tabla, una gráfica, una formula u otro sistema utilizado para especificar todos los valores posibles de la variable junto con sus respectivas probabilidades. Ejemplo 2.2.1 El encargado de un almacén le devuelve tres cascos de seguridad, seleccionados aleatoriamente a tres obreros del taller quienes ya se los habían probado previamente. Suponiendo que el orden de los obreros, Pérez, Alban y Mesa, es el correcto para recibir sus cascos originales, liste los puntos muestrales para los posibles ordenes en qué los tres obreros reciben un casos y construya la tabla de distribución para la variable X que representa el número de asociaciones correctas.

Solución 13 La siguiente tabla presenta las posibles combinaciones que se pueden obtener con los cascos, donde P es Pérez, A es Alban y M es Mesa. P V V F F F Luego el

A M V V F F F V V F F F espacio muestral para los casos es: S = {V V V, V F F, F F V, F V F, F F F }

Sea X : número de casos correctos. Luego x = 3, 1, 1, 1, 0, por lo tanto: f (0) = P (X = 0) = 15 ; f (1) = P (X = 1) = 35 ; f (3) = P (X = 3) = 15 ; x f(x) 1 0 5 3 1 5 1 3 5 Observe que la suma de las probabilidades en el ejemplo anterior es igual a 1. Teorema 2.1 Una función puede fungir como la función de densidad de probabilidad de una v.a discreta X sii sus valores, f (x), cumplen las condiciones: 1. f (x) ≥ 0 para ∀x ∈ Dom(X) ∑ 2. x f (x) = 1 Ejemplo 2.2.2 En el ejemplo 2.2.1, podríamos estar interesados en encontrar dos o más cascos correctos. Esto se puede expresar como P (X ≤ 2). El evento de que X ≤ 2 se tiene cuando: x = 2 o x = 1 o x = o, y como los eventos son excluyentes (disyuntos), se tiene:

42

CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

P (X ≤ 3)

= P (x = 2) + P (x = 1) + P (x = 0) 3 1 = 0+ + 5 5 4 = 5

El ejemplo 2.2.2 muestra que en ocasiones resulta conveniente poder expresar probabilidades acumuladas tales como P [X ≤ x] en términos de una formula y que una formula de las probabilidades acumuladas puede usarse para encontrar la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria. Hay muchos problemas en los que nos interesa conocer la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria sea menor o igual a algún número real x. Por tanto, escribiremos la probabilidad e que X tome un valor menor que o igual a x como F (x) = P [X ≤ x] y la denominaremos a esta función definida para todos los n‘mero reales x como la función de distribución o distribución acumulada de la variable aleatoria X. Definición 2.2.2 Distribución Acumulada La función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta X, denotada como F (x) esta dada por: ∑ F (x) = P [X ≤ x] = f (t) −∞ 0, la v.a discreta X, que denota el número de conteos en el intervalo, tiene una distribución de poisson con parámetro λ. Además la función de distribución de probabilidad de X es: f (x) =

e−λ λx x!

x = 0, 1, 2, · · ·

Observación 2.2.1 Si X es una variable aleatoria que tiene una distribución poisson con parámetro λ, está se denotará de la siguiente manera: X ∼ P oi(x, λ)

2.2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE V.A DISCRETAS

47

Ejemplo 2.2.10 La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene una distribución de poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es de 0.1. El área de un disco bajo estudio es de 100 centímetros cuadrados. Encontrar la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio; y encuentre además la probabilidad de que ocurran menos de 12 partículas en el área de estudio. Solución 14 Sea X: el número de partículas en el área del disco bajo estudio. Com el número de partículas es de 0.1 por cm2 , y el área del disco es de 100cm2 , entonces el número promedio e partículas en el disco es de: λ = λ =

100cm2 × 0.1part/cm2 10partculas

Además X ∼ P oi(10); luego: e−10 1012 = 9.47×−2 12! P [X < 12] = P [X ≤ 11] = F (11) = 0.6968 Tomado de la tabla de la Poisson P [X = 12] = f (12) =

 El siguiente teorema presenta la media y la varianza para una variable aleatoria poisson. Teorema 2.4 Si X es una v.a tal que X ∼ P oi(λ), se tiene que su media y su varianza está dada por: E(X) = V (X) =

λ λ

(2.1) (2.2)

Donde E(X) es la media de la variable y V (X) es su varianza. Ejemplo 2.2.11 El número de llamadas que entran al conmutador de la U de M tiene una distribución de Poisson. Si en promedio llegan 3 llamadas en una hora, resuelva: 1. Defina la variable de estudio y diga cuál es su distribución. Solución X: número de llamadas que entran al conmutador de la U de M en una hora. Promedio=λ = 3 llamadas por hora, luego X ∼ P oi(3) 2. ¿Cuál es la probabilidad de que no llegue ninguna llamada en una hora determinada? Solución En este caso el número de llamadas que entran al conmutador en una hora es cero, por lo tanto:

P (X = 0) = f (0) =

e−3 × 30 = 0.0498 0!

R/ Ra probabilidad de que no llegue ninguna llamada en una hora determinada es de 0.0498.

48

CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 3. ¿Cuál es la probabilidad de que entren más de 5 llamadas al conmutador en una hora determinada? Solución P (X > 5) = 1 − P (X ≤ 5) = 1 − 0.9161 = 0.0839 Donde P (X ≤ 5) = 0.9161 se puede obtener de la tabla de una distribución acumulada de la poisson, con media 3, o mediante la utilización del R con la siguiente instrucción >ppois(5,3) R/ Luego la probabilidad de que entren más de 5 llamadas al conmutador en una hora determinada es de 0.0839. 4. ¿Cuál es la probabilidad de que entren a lo sumo 6 llamadas en una hora y media? Solución A lo sumo 6 llamadas, indica que entren como máximo 6 llamadas, además cambio el intervalo de tiempo, ahora es de hora y media, por lo que: Y : número de llamadas que entran al conmutador de la U de M en una hora y media Por la proporcionalidad del experimento poisson, se tiene: λY = 1.5×3 = 4.5; luego de la tabla de distribución de los Poisson con media 4.5, se encuentra: P (X ≤ 6) = 0.8311 , También se puede utilizar la instrucción del R dada por: >ppois(6,4.5) R/ La probabilidad de que entren a lo sumo 6 llamadas en una hora y media es de 0.8311. 5. ¿Cuál es número de llamadas esperadas en tres horas? Solución Como ahora se tiene un nuevo intervalo de tiempo, se tiene que, la variable cambia de nuevo. Z: número de llamadas que entran al conmutador de la U de M en tres horas. Donde por la proporcionalidad del experimento Poisson λZ = 3 × 3 = 9. Ahora bien, por Teorema (2.4) se tiene que: E(Z) = λZ = 9 R/ El número de llamadas esperadas que entren al conmutador en tres horas es de 9. 

2.3. EJERCICIOS PROPUESTOS

2.3

49

Ejercicios Propuestos

1. Considere una distribución Poisson con λ = 3 y encuentre: (a) f (2) (b) P [x ≥ 2] (c) P [x ≤ 1] 2. En una encuesta realizada por la Oficina de Censos de Estados Unidos se encontró que 25% de las personas de 25 años o más habían estudiado cuatro años en la universidad (The New York Times Almanac, 2006). Dada una muestra de 15 individuos de 25 años o más, conteste las preguntas siguientes. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro hayan estudiado cuatro años en la universidad? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre tres y siete personas inclusive hayan estudiado cuatro años en la universidad? 3. Supóngase que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución de Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro. (a) Determine la probabilidad de dos imperfecciones en un milímetro de alambre. (b) Determine la probabilidad de que a lo sumo se presenten 10 imperfecciones en cinco milímetros de alambre. (c) Determine la probabilidad de que se encuentre al menos una imperfección en cinco milímetros de alambre. 4. Un examen de estadística consiste en 10 preguntas de alternativas múltiples, cada una con cinco posibles respuestas y única solución. (a) Para alguien que adivina aleatoriamente todas las respuestas, calcule la probabilidad de aprobar si la calificación mínima para aprobar es del 60%. (b) ¿Es la probabilidad lo bastante alta como para que valga la pena arriesgarse a aprobar adivinando al azar en lugar de estudiando? 5. Una maquina de estampados en serie produce un total de 200 camisetas estampadas en un día, de la cuales se sabe que en promedio 8 de ellas tienen un estampado defectuoso. Cada día la empresa despacha a almacenes clientes paquetes de 100 camisetas estampadas. La empresa estampadora ha creado la dependencia de reclamos, la cual se encargará de atender los reclamos de los clientes y estimar los posibles reclamos que se podrían presentar de acuerdo con la exigencia de cada cliente. Antes de entregar la producción de un día a un cliente, esta dependencia evaluará sobre una muestra de 10 camisetas seleccionadas aleatoriamente la probabilidad del número de camisetas mal estampadas que se le entregarán al cliente, para así poder evaluar los posibles reclamos que se tendrán. (a) Defina una v.a asociada a los intereses de la dependencia de reclamos de la empresa. (b) Si un almacén cliente de la empresa le indica que sólo le acepta cuando mas cuatro camisetas mal estampadas, determine la probabilidad de que este almacén realice un reclamo.

50

CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (c) Construya una tabla de distribución de probabilidad para la variable definida en el ítem a. y explique el significado de las probabilidades que en ella se presentan. (d) Determine la probabilidad de que a un cliente dado se le entregue un envío con 7 camisetas mal estampadas. (e) Determine el número promedio de camisetas mal estampadas en un envío. (f) Determine la varianza para la variable definida en el ítem a. (g) Grafique la función de distribución acumulada para la variable definida en el ítem a. 6. El gerente de una distribuidora de huevos garantiza que ninguno de sus paquetes de 12 huevos contiene más de un huevo en mal estado. Si un paquete contiene más de un huevo en mal estado, él sustituirá todo el paquete y permitirá que el cliente se lleve los huevos iniciales. Si la probabilidad de que un huevo individual esté en mal estado es de 0.05, resuelva. (a) Defina una variable aleatoria para el problema que le permita resolver las preguntas que aparecen a continuación, e indique como se distribuye dicha variable. (b) Describa el experimento aleatorio que se lleva a cabo en el problema. (c) Determine la probabilidad de que el gerente tenga que reemplazar un paquete de huevos. (d) Si a una persona le repusieron una canasta de huevos, determine la probabilidad de que la segunda canasta también tenga que ser sustituida. 7. Cada año más de 50 millones de huéspedes se hospedan en hoteles que ofrecen alojamiento y desayuno. El sitio web para Be dan Breakfast Inns de Norteamerica, que recibe un promedio de siete visitantes por minuto, permite a muchos hoteles de este tipo atraes clientes (Time, septiembre de 2001). (a) Calcule la probabilidad de que nadie visite el sitio web en un periodo de un minuto (b) Estime la probabilidad de dos o más asistentes al sitio web en un periodo de 30 segundos. (c) Determine la probabilidad de cinco o más visitantes en un periodo de un minuto. 8. El número promedio de homicidios en cierta metrópoli es de 2 por día. Determinar las siguientes probabilidades: (a) No más de 3 homicidios en un día dado. (b) Exactamente 3 homicidios en dos días. (c) No haya homicidios en tres días. (d) Más de 2 homicidios en un día. (e) Entre 1 y 3 homicidios inclusive en un día.

2.4

Distribución de Probabilidad para v.a Continuas

La distribuciones de probabilidad consideradas hasta el momento son distribuciones asociadas a v.a discretas. A partir de este momento nos dedicaremos a estudiar

2.4. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA V.A CONTINUAS

51

las distribuciones de variables continuas. Ya se había dicho que una v.a continua es aquella que puede asumir cualquier valor en un intervalo específico contenido en el conjunto de los reales; o de otra forma, es una variable aleatoria definida sobre un espacio muestral continuo. Como consecuencia de esto, entre dos valores consecutivos existen infinitos números, esto hace que la probabilidad de que una v.a continua asuma un valor específico (P [X = x] = 0) es cero, sin importar la distribución de probabilidad de la variable; así entonces, si consideramos la v.a X definida como la estatura de una persona, entonces la probabilidad de encontrar una persona que tenga 21 años es cero, pues la edad se mide en función del tiempo, y el tiempo es una variable continua, por lo tanto se podrán encontrar personas que tengan 21 años y unos meses, o 21 años y unas horas, o 21 años y unos minutos, pero la probabilidad de encontrar una persona que tenga exactamente 21 años es prácticamente cero, pues esto implicaría que la persona que responda de manera afirmativa tendría que estar cumpliendo años en ese día, y justo haber nacido a la hora del día en el que se le formula la pregunta. Sin embargo, si en lugar de esto quisiéramos calcular la probabilidad de que una persona tenga entre 21 y 22 años, está probabilidad definitivamente cambiaría, pues todas las personas que dicen tener 21 años estarían en este rango. Observación 2.4.1 Note que como para una v.a X continua, P (X = x) = 0 se sigue que P [X ≤ x] = P [X < x]. De manera análoga a como se definió la distribución de probabilidad para las variables aleatorias discretas, se presenta la siguiente definición de la función de densidad de probabilidad para el caso de las variables aleatorias continuas. Definición 2.4.1 Función densidad de probabilidad La función f (x) es una función de densidad de probabilidad para la v.a continua X, definida en el conjunto de los números reales, si: 1. f (x) ≥ 0 para toda x ∈ R. ∫∞ 2. −∞ f (x)dx = 1 3. P [a < X < b] =

∫b a

f (x)dx

A continuación se define la respectiva función acumulada para el caso de v.a continuas. Definición 2.4.2 Función de Distribución Acumulada (F.D.A) La función de distribución acumulada de una v.a continua X, denotada por F (x) está dada por: ∫ x

F (x) = P [X ≤ x] =

f (t)dt −∞

∀−∞pnorm(123,125,16)

para el caso de la normal estándar, Z ∼ (0, 1). para el caso de la normal no estándar X ∼ (125, 162 )

2.4. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA V.A CONTINUAS

55

2. P [115 ≤ X ≤ 128] Solución [

115 − 125 X − 125 128 − 125 P [115 ≤ X ≤ 128] = P ≤ ≤ 16 16 16

]

P [115 ≤ X ≤ 128] = P [−0.63 ≤ Z ≤ 0.19] = P [Z ≤ 0.19] − P [Z < −0.63]

P [115 ≤ X ≤ 128] = P [Z ≤ 0.19]−P [Z ≤ −0.63] = 0.57534−0.26435 = 0.311 3. P [X ≥ 124] Solución Como la variable X es continua, se tiene: [

X − 125 124 − 125 P [X ≥ 124] = 1 − P [X ≤ 124] = 1 − P ≤ 16 16

]

P [X ≥ 124] = 1 − P [Z ≤ −0.06] = 1 − 0.47609 = 0.52391 4. Hallar el valor de a tal que P [X ≥ a] = 0.95 Solución En este caso se debe hallar un valor de la variable aleatoria que satisface P [X ≥ a] = 0.95, note que este problema redunda en hallar el percentil 5. [ P [X ≥ a] = 0.95 ⇒ P

donde z0 =

a−125 16 ,

] X − 125 a − 125 ≥ = 0.95 ⇒ P [Z ≥ z0 ] = 0.95 16 16

luego

P [Z ≥ z0 ] = 0.95 ⇒ 1 − P [Z < z0 ] = 0.95 ⇒ P [Z ≤ z0 ] = 1 − 0.95 = 0.05 luego, de la tabla de distribución de la normal estándar se obtiene z0 = −1.64, y ahora, igualando los valores de z0 se tiene: a − 125 = −1.64 16 despejando de esta ecuación el valor de a se tiene: a − 125 = −1.64 × 16 ⇒ a − 125 = 26.24 ⇒ a = 26.24 + 125 = 151.24 R/ Se sigue que el valor a de la variable, por encima del cual se encuentra el 95% de los datos, y por debajo el 5% restante es a = 151.24 

56

CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Ejemplo 2.4.4 En la cancha de la universidad se quiere instalar focos para iluminar el campo de juego. El proveedor asegura que el tiempo de vida de los focos sigue una distribución normal con promedio es de 40 horas con una desviación estándar de 4 horas. Al escoger un foco al azar, 1. ¿Cuál es la probabilidad de que los focos duren al menos 35 horas? Solución Sea X: Tiempo de vida de un foco (horas) Con X ∼ N (40, 16) Que duren al menos 35 horas, implica que dure 35 horas o más, y como la variable X es continua, se tiene. ( P (X ≥ 35) = 1−P (X ≤ 35) = 1−P

35 − 40 Z≤ √ 16

)

( = 1−P

35 − 40 Z≤ 4

)

P (X ≥ 35) = 1 − P (Z ≤ −1.25) = 1 − 0.1056 = 0.8944 R/La probabilidad de que los focos duren al menos 35 horas es de 0.8944 2. ¿Cuál es la probabilidad de que los focos duren mínimo 37 horas y un máximo de 44 horas? Solución P (37 ≤ X ≤ 44) = P (X ≤ 44) − P (X ≤ 37) ( ) ( ) 44 − 40 37 − 40 P (37 ≤ X ≤ 44) = P Z ≤ −P Z ≤ 4 4 P (37 ≤ X ≤ 44) = P (Z ≤ 1.0) − P (Z ≤ −0.75) = 0.8413 − 0.2266 = 0.6147 R/ Luego la probabilidad de que los focos duren mínimo 37 horas y un máximo de 44 horas es de 0.6147. 3. ¿Cuál es él número de horas mínimo que podría durar un foco, para afirmar que el 97.5% de los focos tienen dicha duración o menos ? Solución En este caso, hay que hallar el valor x de la variable, tal que P (X ≤ x) = 0.975, luego: P (X ≤ x) = 0.975 ) ( x − 40 = 0.975 P Z≤ 4 P (Z ≤ z0 ) = 0.975 Con z0 = x−40 4 , además, de la tabla de distribución normal se obtiene que z0 = 1.96, luego, igualando estas dos expresiones se tiene: x − 40 = 1.96 4 x = 1.96 × 4 + 40 x = 47.84 ≃ 48 R/ Luego el 97.5% de los focos duraran 48 horas o menos.

2.4. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA V.A CONTINUAS

57

 Ejemplo 2.4.5 El peso neto de las cajas de detergente puede considerarse como una v.a normal. Cajas estándar de una marca comercial tienen un peso promedio de 1000 gm y una desviación estándar de 20gm. Si se toma una caja al azar, determine: 1. ¿cuál es la probabilidad de que pese 1025gm? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que pese menos de 1025 gm? 3. ¿Cuál es la probabilidad de que pese 989 gm o más? 4. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 990 y 1008 gm? 5. ¿Cuál es el peso máximo por debajo del cual se encuentra el 90% de los pesos de las cajas?

2.4.3

La distribución Normal como aproximación de la Binomial

Ya se mencionó anteriormente que la distribución poisson es una buena aproximación de la distribución binomial cuando n es grande y p se acerca a cero. Pero que puede suceder cuando n se hacer grande y p aunque permanece constante no satisface la condición de aproximarse a cero. Este problema se resuelve mediante uno de los teoremas más útiles en probabilidades conocido como el teorema de DeMoivre el cual dice que la binomial estandarizada tiende a una normal estándar cuando m se hace grande p permanece constante. Teorema 2.5 T. De Moivre Si X ∼ B(n, p) entonces cuando n → ∞, Z = se aproxima a una normal estándar, esto es, Z ∼ N (0, 1)

X−np √ npq

recuerde que si X ∼ B(n, p) entonces µ = np y σ 2 = npq. Ejemplo 2.4.6 La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es de 0.4. si se sabe que 100 personas se han contraído la enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 30 de ellas sobrevivan? Solución 15 Se tiene que la variable del problema es: X : nmerodepacientesquesobrevivenalaenf ermedadenelgrupode100 Donde X ∼ B(100, 0.4), puesto que cada paciente sólo tiene la opción de recuperarse o morir, y la probabilidad de recuperarse es de 0.4 para cualquiere paciente (esto es permanece constante). Nos piden determinar entonces P [X ≥ 30] =? Ahora bien, como n = 100, es grande, por lo tanto aplican las condiciones del teorema de De Moivre, por lo tanto, estandarizando la variable se tiene: X − 100 × 0.4 X − 40 X − np =√ = √ Z= √ npq 100 × 0.4 × 0.6 2.4 donde Z ∼ N (0, 1)

58

CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

2.4.4

Corrección por Continuidad

Los resultados de las aproximaciones vistas en las secciones anteriores, en las que se obtiene una aproximación de distribuciones discretas a la normal, o en general, en aquellas variables que socialmente son tratadas de manera discreta pero que realmente son continuas, tales como el peso, la edad, entre otras, se requiere aplicar un factor de corrección que me permita encontrar las probabilidades puntuales, que para el caso continuo son siempre cero, pero que dado el tratamiento de la variable, sería diferente de este valor. Definición 2.4.7 Factor de Corrección por Continuidad Valor de 0.5 restado y sumado, a un valor de la variable, cuando na distribución de probabilidad discreta se aproxima por medio de un distribución de probabilidad continua.

2.4.5

Distribución Exponencial

Si bien un proporción elevada de datos se ajustan a la distribución normal, existen otro tanto de situaciones que presentan comportamiento diferentes a de dicha distribución, a continuación se presenta el caso de la distribución exponencial, que a diferencia del caso normal, no presenta ni simetría. Las variables exponenciales describen procesos en los que interesa saber el tiempo transcurrido hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf , no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada. Definición 2.4.8 Distribución exponencial Sea X una variable aleatoria continua. Se dice que X tienen una distribución exponencial, con parámetro λ si y solo si, su función densidad de probabilidad está dada por: f (x) = λ exp−λx ;

con

x>0

En este caso se dice que X tiene una distribución exponencial con parámetro λ, y se denotará por X ∼ exp(λ) Haciendo uso de la definición anterior, la propiedades de la distribución exponencial, y la probabilidad acumulada de una variable continua, se puede demostrar el siguiente resultado. Teorema 2.6 Sea X una v.a continua, tal que x ∼ exp(λ), entonces P [X ≤ x] = 1 − exp−λx Teorema 2.7 Si X es una v.a tal que X ∼ exp(λ), entonces, • µ = E[X] =

1 λ

• V ar(X) = E[X 2 ] =

2 λ2

Del teorema 2.7 se sigue que el parámetro λ de la exponencial está directamente relacionado con la media de la variable, de tal manera que λ = µ1 Ejemplo 2.4.7 El tiempo de espera para que atiendan a una persona en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos.

2.5. EJERCICIOS

59

1. Defina la variable de estudio X y escriba su fdp. Solución. X: tiempo de espera para ser atendido en una cafeteria (minutos) Como µ = 4, se sigue λ =

1 µ

= 14 , luego X ∼ exp(1/4), Entonces,

1 f (x) = exp 4

(

−x 4

) ,

para

x≥0

2. Determine la fórmula de la función de distribución acumulada para X. Solución. Como X es una v.a continua, se tiene ∫ x por el teorema 2.6 de distribución acumulada que F (x) = P [X ≤ x] = ∞ f (t)dt = 1 − exp(−λx), entonces ∫ F (x) = P (X ≤ x) = 0

x

( y) ( x) 1 exp − dy = 1 − exp − 4 4 4

3. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona requiera de 5 minutos o menos para ser atendida? Solución. ) ( 5 = 0.7134 P (X ≤ 5) = 1 − exp − 4 R/ Por lo que la probabilidad de que una persona requiera de 5 minutos o menos para ser atendida es de 0.7134. 4. ¿Cuál es la probabilidad de que se requiera entre 3 y 7 minutos para atender una persona? Solución. Como la variables es continua se tiene:

P (3 < X < 7) =

P (3 ≤ X ≤ 7)

P (3 ≤ X ≤ 7) =

P (X ≤ 7) − P (X ≤ 3) [ ( )] [ ( )] 7 3 = 1 − exp − − 1 − exp − 4 4 = 0.2985

R/ Luego la probabilidad de que se requiera entre 3 y 7 minutos para atender una persona es de 0.2985. 

2.5

Ejercicios

1. Determine si los siguientes enunciados son Verdaderas o Falsas (V o F), argumente su respuesta. (a) ( ) El dominio de una distribución normal es el conjunto de los números reales.

60

CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (b) ( ) Todo experimento aleatoria que consta de la repetición de n ensayos de Bernulli es un experimento Binomial. (c) ( ) El jefe de gestión humana de una compañía textilera, indica que durante el año 2013 entre un total de 400 empleados, 312 obtuvieron un ascenso, 248 incrementaron sus prestaciones de jubilación, 173 lograron ambos beneficios y 43 ningún beneficio. El Jefe de gestión humana está en lo correcto. (d) ( ) Obtener un 4 o un Trébol al extraer una carta de una baraja ordinaria de Póker constituye eventos mutuamente excluyentes. (e) ( ) Obtener un 4 y un Trébol al extraer dos cartas de forma consecutiva con reemplazo de una baraja ordinaria de Póker constituye eventos independientes. (f) ( ) Obtener un Trébol al extraer cuatro cartas de forma consecutiva con sin reemplazo de una baraja ordinaria de Póker constituye experimento binomial. (g) ( ) Si la estatura de los estudiantes de primer semestre de Negocios Internacionales de la Universidad de Medellín tiene una distribución normal con media µ metros y una varianza de σ 2 metros cuadrado, entonces la probabilidad de que la estatura de un estudiante seleccionado al azar se encuentre entre µ − σ y µ + σ es de 95.46%. 2. Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas: (a) X: el número de accidentes de automóvil por año en el estado de Virginia. (b) Y: El tiempo que toma jugar 18 hoyos de golf. (c) M: La cantidad de leche producida anualmente por una vaca en particular. (d) N: El número de permisos para la construcción de edf9cios que otorga mensualmente una ciudad. (e) Z: El número de huevos que pone mensualmente una gallina. (f) Q: La cantidad de grano producido por acre. (g) K: El peso de un libro de texto seleccionado al azar. (h) T: La cantidad de leche que se obtiene de una vaca. 3. Se reporta que 16% de los hogares de una ciudad utilizan exclusivamente un teléfono celular como servicio telefónico. En una muestra de ocho hogares, encuentre: (a) La probabilidad de que ninguno use un celular como su servicio exclusivo. (b) La probabilidad de que exactamente cinco usen solo el celular. (c) El número medio de hogares que solo usan el celular. Tomado de: Estadística Aplicada a los negocios y la economía, Lind, Marchal y Wathen Pg.168. 4. Cierta clase de lámina de metal tiene, en promedio, cinco defectos por cada 10 metros cuadrados. Cuál es la probabilidad de que: (a) ¿Una lámina de metal de 15 metros cuadrados tenga al menos seis defectos? (b) ¿Una lámina de metal 12 metros cuadrados tenga exactamente tres defectos?

2.5. EJERCICIOS

61

(c) ¿una lámina de metal de 20 metros cuadrados tenga entre cuatro y ocho defectos? Tomado de:Problemario de Probabilidades, Piotr Marian Wisniewski y Gabriel Velasco Sotomayor, pg. 185. 5. La universidad de Caltech, en Pasedena, California, exige a los estudiantes extranjeros una calificación mínima de 500 puntos en la prueba de inglés TOEFL y una puntuación mínima de 102 en una prueba de inteligencia (IQ). Según los datos de miles de estudiantes extranjeros que han presentado ambas pruebas en Estados Unidos, se reporta que, para el caso del TOEFL la distribución es normal (510, 400), mientras que, para la prueba de coeficiente intelectual, la distribución también es normal (112, 100) se refiere a la población de estudiantes extranjeros, ya que el IQ promedio de un adulto común y corriente es de apenas 100 puntos. Determine el porcentaje de estudiantes extranjeros que: (a) Pasan exactamente una de las dos pruebas. (b) No pasan alguna de las dos pruebas. (c) Pasan al menos una de las dos pruebas. (d) Pasan ambas pruebas. (e) ¿A partir de qué puntuación de IQ están el 10% de los estudiantes extranjeros más inteligentes? (f) ¿Desde qué puntuación en la prueba TOEFL están 10% de los estudiantes extranjeros con mejor dominio del inglés? (g) Se considera que un individuo que obtenga más de 140 puntos en un examen de IQ tiene una inteligencia prodigiosa equivalente a la de un genio. £Cuántos de los 500 estudiantes extranjeros próximos se esperaría que tuviesen la inteligencia de un genio? (Corrección por continuidad). Tomado de: Problemario de Probabilidades, Piotr Marian wisniewski y Gabriel Velasco Sotomayor, pg 218. 6. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. En un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura: (a) Encuentre la probabilidad de que hayan leído la novela 2 personas. (b) Que cómo máximo dos amigos hayan leído la novela. (c) Máximo dos no hayan leído la novela. 7. En los siguientes enunciados suponga que X tiene una distribución de Poisson con la media indicada y utilice las tablas para calcular la probabilidad del solicitada. (a) X ∼ P oi(2), P [X ≥ 3] (b) X ∼ P oi(4), P [X = 1] (c) X ∼ P oi(0.25), P [X ≤ 2] (d) X ∼ P oi(5), P [2 ≤ X ≤ 6] 8. En los siguientes ejercicios suponga que X ∼ Bin(n, π). Utilice las tablas de distribución de probabilidad acumulada para calcular la probabilidad de x éxitos dada la probabilidad π de éxito en un ensayo dado.

62

CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (a) n = 15, x = 2, y π = 0.2 (b) n = 10, x = 9, y π = 0.2 (c) n = 5, x = 4, y π = 0.9 (d) n = 9, x = 8, y π = 0.5 9. Si Z ∼ N (0, 1) encuentre: (a) P [Z ≤ 1.3] (b) P [Z ≥ 1.3] (c) P [−1 ≤ Z ≤ 0.8]

10. Si X ∼ N (25, 16) encuentre: (a) P [X ≤ 26.5] (b) P [X ≥ 22] (c) P [19 ≤ X ≤ 30] 11. La distribución de Bernulli se refiere a un variable aleatoria discreta X que puede tomar únicamente los valores cero y uno con las probabilidades respectivas de π y 1 − π. Muestre que: (a) El valor esperado de X es igual a π. (b) La varianza de X es igual a π(1 − π). 12. Los carros que vende una agencia trabajan con diésel o gasolina. El 50% de los carros que vende, ésta equipado para trabajar con diésel, hallar una fórmula para la distribución de probabilidad del número de modelos diésel entre los próximos 4 marcas de carros que vende la agencia. (Tomado de Walpole) 13. Se embarcan 8 portátiles similares de los cuales hay 3 defectuosos. Si una escuela realiza una compra aleatoria de 2 de estos, halle la distribución de probabilidad para el número de portátiles defectuosos. (Tomado de Walpole) 14. En un accidente que ocurrió en una planta nuclear se presentó una fuga de partículas radioactivas. Se instaló un contador para determinar cuántas pasan a través de él y se encontró que el número promedio de partículas radioactivas que pasan durante un milisegundo es 6. Si se sabe que el número de partículas radioactivas que pasan durante un milisegundo sigue una distribución Poisson, determine: ¿Cuál es la probabilidad de que entren 10 partículas al contador en un milisegundo? (Tomado de Walpole) 15. Un profesor de estadística se da cuenta de que cuando programa una hora para que los estudiantes que necesiten ayuda acudan a su oficina, llega un promedio de dos estudiantes. Si el número de estudiantes que llegan a asesoria en una hora sigue una distribución Poisson, Calcule las siguientes probabilidades: : (a) de que en una hora de oficina seleccionada al azar, no lleguen estudiantes a asesoría. (b) de que en una hora de oficina seleccionada al azar, el número de estudiantes que lleguen sea cuando más dos. (c) que lleguen sea como mínimo tres estudiantes en una hora de oficina seleccionada al azar.

2.5. EJERCICIOS

63

(d) Encuentre además la probabilidad de que lleguen exactamente dos estudiantes en media hora. (e) La probabilidad de que lleguen a lo sumo tres estudiantes en dos horas de asesoría. 16. El tiempo entre llegadas de dos personas al hall de un edificio para tomar una ascensor sigue una distribución exponencial con media de 10 segundo. Si el ascensor se cierra después de transcurridos 15 segundos después de la última persona que llegó, determine la probabilidad de que el ascensor se cierre solo con una persona. 17. Sea X la variable aleatoria que representa el número de clientes que llegan a una tienda en un periodo de una hora. Si la distribución de esta variable se presenta en la tabla siguiente, verifique que efectivamente la información presentada en la tabla es un distribución de probabilidad, y de serlo, determine el número de clientes esperado en una hora: x p(x) = P [X = x]

0 0.35

1 0.1

2 0.05

3 0.25

4 0.25

18. Una central telefónica recibe una media de 8 llamadas por hora. Si el número de llamadas se distribuye según una Poisson y la central tiene una capacidad para atender a lo sumo 12 llamadas por minuto, ¿cuál es la probabilidad de que en un minuto determinado no sea posible dar línea a todos los clientes? 19. El número de camiones que llegan a un depósito en cierta ciudad sigue una distribución poisson. Se sabe además que en un día dado llegan en promedio a dicho depósito 8 camiones. Encuentre la probabilidad de que: (a) Que lleguen exactamente seis camiones en un día. (b) En un día dado lleguen menos de 9 camiones a este depósito. (c) Lleguen más de sietes camiones en dos días. (d) Que en medio día lleguen a lo sumo 5 camiones. 20. Pepa conoce muy bien a su amigo Pepe y sabe cuál es la probabilidad de que este posea cierta cantidad de dinero en su billetera. Ella sabe que Pepe sólo mantiene en su billetera o $2.000, o $5.000, o $10.000, o $20.000 y cada valor de estos con probabilidades de 0.25, 0.40, 0.30, 0.05 respectivamente. Si algún día se mira en la billetera de Pepe, ¿qué cantidad de dinero se espera que tenga? 21. En un estudio reciente Consumer Reports (febrero 1992) encontró un gran número de casos de contaminación y errores de etiqueta en supermercados de las ciudades de Nueva York y Chicago. El estudio reveló una estadística alarmante: 40% de los trozos de pez espada disponibles para la venta tenían un nivel de mercurio superior al límite establecido por la Administración de Alimentos y Medicina (FDA) de Estados Unidos. Para una m.a. de 3 trozos de pez espada, calcular la probabilidad de que: (a) los tres trozos de pez espada tengan niveles de mercurio por encima del límite de la FDA. (b) Exactamente un trozo de pez espada tenga un nivel de mercurio por encima del límite de la FDA. (c) Cuando mas, un trozo de pez espada tenga un nivel de mercurio por encima de los límites de la FDA.

64

CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

22. Un examen de estadística consiste en 10 preguntas de alternativas múltiples, cada una con cinco posibles respuestas y única solución. Para alguien que adivina aleatoriamente todas las respuestas, calcule la probabilidad de aprobar si la calificación mínima para aprobar es del 60%. ¿Es la probabilidad lo bastante alta como para que valga la pena arriesgarse a aprobar adivinando al azar en lugar de estudiando? 23. La vida útil de un neumático de determinada marca sigue una distribución normal con media 35.000 kilómetros y desviación típica 4.000 kilómetros. (a) Defina la variable, aclare su distribución y parámetros. (b) ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene un tiempo de vida superior a 38.000 kilómetros? (c) ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene un tiempo de vida inferior a 32.000 kilómetros? (d) ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene un tiempo de vida entre 32.000 y 38.000 kilómetros? (e) Grafique la curva normal estándar y en ella sombree el área bajo la curva que represente cada una de las probabilidades halladas. (f) ¿Por qué las respuestas de las preguntas b y c son iguales? (g) ¿Por qué las respuestas de las preguntas b, c y d suman uno? 24. Si X ∼ N (25, 16), hallar: (a) La media, la mediana y la varianza de la variable X − 3. (b) La media y la varianza de la variable (c) La media y la varianza de la variable (d) La media y la varianza de la variable

X 4. X−25 4 . X+5 4 .

(e) Grafique la curva de cada una de las situaciones anteriores. (f) P [X − 3 ≤ 92] = (g) P [X ≥ 49] = 25. Una compañía produce un compuesto químico y está preocupada por su contenido de impurezas. Se estima que el peso de las impurezas por lote se distribuye según una normal con media 12,2 gramos y desviación típica 2,8 gramos. Se elige un lote al azar. (a) Defina la variable, aclare su distribución y parámetros. (b) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga menos de 10 gramos de impurezas? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga más de 15 gramos de impurezas? 26. Un día después de quincena (día de pago), llegan a la taquilla de cierto banco un promedio de 15 personas por hora para realizar el pago de sus servicios públicos. El gerente del banco, observando esta situación, está considerando destinar una taquilla durante estos días, que se dedique únicamente a atender este tipo de pagos. Para que la decisión sea pertinente para la entidad financiera, el gerente debe mostrar que la proporción de taquillas que atiende más de ocho pagos de este tipo en media hora supera el 55%. Si se sabe que la llegada de los clientes a una taquilla tiene una distribución poisson, y que la llegada de clientes entre taquillas es independiente, determine si la sucursal debe destinar una taquilla para este tipo de pagos en las fechas indicadas.

2.5. EJERCICIOS

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27. La edad de los estudiantes del cuarto semestre de la universidad de Medellín tiene una distribución normal con media 19.3 y una desviación estándar de 2.1. Determine: (a) La probabilidad de que un estudiante de cuarto semestre elegido al azar tenga una edad de 20 años o más. (b) ¿Cuál es la edad máxima que garantiza que el 25% de los estudiantes tiene dicha edad o son mayores?. (c) Si se seleccionan al azar 15 estudiantes del cuarto semestre de la universidad, determínela probabilidad de que: i. 5 tengan 20 años o más. ii. A lo suma 8 tengan menos de 20 años. iii. Que entre 9 y 12 tengan 20 años o más. 28. Los clientes llegan a un establecimiento de acuerdo a un proceso de Poisson de frecuencia promedio λ = 4 por hora. Dado que el establecimiento abre a las 9:00: ¿cuál es la probabilidad de que exactamente haya llegado un cliente para las 9:30 y un total de cinco para las 11:30? 29. Un embarque de 8 microcomputadoras similares que se envía a un distribuidor contiene 3 aparatos defectuosos. Si una escuela realiza una compra aleatoria de 2 de estas computadoras, encuentre: (a) El espacio muestral para el experimento dado que indique la cantidad de computadoras defectuosas en la compra. (b) Encuentre la probabilidad para cada uno de los elementos del espacio muestral. (c) La distribución de probabilidad para el número de microcomputadoras defectuosas. 30. Un supermercado de la ciudad, sabe que el tiempo promedio que debe esperar un cliente para ser atendido en una cualquiera de sus cajas para pagar la mercancía es de 10 minutos. Determine la probabilidad de que: (a) Un cliente espere menos de 6 minutos. (b) Un cliente espere más de 9 minutos. (c) Un cliente tenga que esperar entre 4 y 8 minutos. (d) Si un cliente no está dispuesto a esperar en fila más de 15 minutos, determine la probabilidad de que la abandone y se pierda la compra. 31. Cierto clase de televisor tiene una vida media de 6 años. Si su vida útil se distribuye en forma exponencial. ¿Cuál debe ser el tiempo de garantía que se debe otorgar, si se desea reemplazar a lo más el 15 % de los componentes que fallen dentro de este periodo? 32. Se sabe por experiencia pasada que el tiempo de vida de un marcapasos de cierta referencia sigue una distribución exponencial con media de 20 años. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 25 años? (b) Si un paciente a quien se le implantó un marcapasos, le ha funcionado bien durante 5 años. ¿cuál es la probabilidad de que se tenga que reemplazar el marcapasos 20% años?

66

CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

33. Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución N ∼ (65, 112 ). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que en el primero se encuentra el 20% de la población con la puntuación más baja, en el tercero está el 15% de la población con la puntuación más alta, y el resto se clasifica en el segundo grupo. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro? 34. El coeficiente intelectual de los humanos se distribuye normalmente con media 100 y desviación típica 15 .En España con 40 millones de habitantes (a) ¿Cuántos normales habrá, si se denomina normal a la persona con coeficiente entre 95 y 105 ? (b) ¿Cuántas personas habrá de inteligencia superior si ésta es aquella cuyo coeficiente es superior a 130? (c) Si denominamos "coeficiente muy bajo" a aquella persona cuyo coeficiente está comprendido entre 40 y 70 ¿Cuántos personas de coeficiente muy bajo habrá en España? (d) Manteniendo la situación anterior ¿Cuántos personas de coeficiente muy bajo habrá en grupo de 60 universitarios ? Discute y comenta dicho número. (e) Si el coeficiente intelectual de un amigo es de 115 ¿Qué porcentaje de personas tienen un coeficiente inferior al suyo? (f) Si una persona tiene el coeficiente más bajo del grupo intermedio de personas que forman un 25% del total ¿Qué coeficiente tiene? 35. El peso de los huevos de cierta granja sigue una distribución normal con media 55 gramos y una desviación estándar de 1.2 gramos. El granjero vende sus huevos asegurando que en una docena de estos el cliente no encontrará más de cuatro con un peso inferior a 58 gramos, además si a un cliente le pasa estos, le devolverá su dinero como garantía de su producto. Determine la probabilidad de que el granjero le tenga de devolver el dinero a uno de sus clientes. Con base en el resultado anterior, le recomendaría usted al granjero que cambie sus políticas de garantía?, por cuales?, explique su respuesta.

CHAPTER

3

Distribuciones Muestrales

De acuerdo con sus objetivos, los métodos estadísticos se clasifican en dos categorías bastante generales: Estadística Descriptiva y estadística inferencial. La estadística descriptiva tiene por objeto la organización, resumen y descripción de un conjunto particular de dato obtenidos de un cuerpo más general llamado universo o población. El primer capítulos de este texto los hemos dedicado al estudio de la estadística descriptiva. La estadística inferencial, es el proceso mediante el cual se obtienen conclusiones o generalizaciones sobre característica de una población (Medidas descriptivas). Este capítulo y los siguientes estarán dedicados al estudio de los diferentes métodos de la inferencia estadística. Es importante tener en cuenta que el propósito esencial de la estadística descriptiva es el de preparar el camino para la estadística inferencial. La inferencia estadística clásica se divide en dos problemas fundamentales: estimación de parámetros y pruebas de hipótesis estadísticas. A la vez la teoría de la estimación se subdivide en estimación puntual y estimación por intervalos de confianza. Las bases de la inferencia estadística son las mismas bases de la inducción en la ciencia. La palabra inferir, en el sentido estadístico, significa llegar a una conclusión acerca de una población partiendo de una información incompleta o parcial, una muestra de esa población. No es posible ni tiene sentido pretender que a partir de resultados experimentales (muestras) se pueda llegar a una afirmación general tal como una verdad en el sentido matemático. Pero sí cabe hacer inferencias con cierto grado de incertidumbre (conclusiones probables) el cual es susceptible de medición si el experimento se ha realizado de acuerdo con determinados principios. La medida de la incertidumbre puede expresarse como una probabilidad. Es por esto por lo que hemos dedicado los capítulos 2 y 3 al estudio de las probabilidades. La inferencia estadística es entonces un proceso que nos permite emitir juicios parciales de la población a partir de la información contenida en una muestra.

3.1

Muestreo

Hablar de distribuciones muestrales conlleva la necesidad de hablar de muestras, y del proceso requerido para que estas muestras sean idóneas para el proceso de inferencia que se requiere adelantar, es por esto que antes de adentrarnos en el

68

CHAPTER 3. DISTRIBUCIONES MUESTRALES

estudio de las distribuciones muestrales, hablaremos un poco del muestreo y algunas de sus técnicas. En el primer capítulo se definió el concepto de muestra como un subconjunto de una población objeto de estudio, con base en esta información podemos proceder a definir en qué consiste el muestro en un estudio estadístico. Definición 3.1.1 Muestra Un subconjunto no vació de la población es llamado una muestra. Definición 3.1.2 Muestra significativa Se dice que una muestra es significativa, si y solo sí, la forma de seleccionarla y su tamaño son idóneos para obtener inferencias para una población. En la medida de lo posible sería más conveniente trabajar con una población en su totalidad, sin embargo por diferentes motivos esto no es posible y se debe tomar una muestra de esta para adelantar el estudio, y a partir de dicha muestra obtener las conclusiones pertinentes para la población. Algunas de las causas que obligan a tomar una muestras son: • Porque en muchos casos la medición de la unidad de estudio implica su destrucción. Ejemplo: La resistencia de un fusible. • Porque conlleva costo muy elevados, que no son viables para la investigación. • Porque los datos son difíciles de obtener. • Porque la población es infinita o muy grande y por ende es imposible medir todos sus elementos. • Porque una parte de la población es inaccesible, como es el caso de datos históricos. Definición 3.1.3 Muestreo El muestreo es el procedimiento llevado a cabo para extraer una muestra de una población objeto de estudio. El muestreo se puede llevar a cabo de diferentes formas, inicialmente se puede hablar del muestreo probabilístico y del muestreo no probabilístico, en el primer caso cada elemento de la población tiene asignada una probabilidad de inclusión en la muestra, esto es la selección de la muestra tiene un carácter aleatoria, para el caso no probabilístico se desconoce dicha probabilidad. Existen diferentes tipos de muestreo probabilístico, algunos de los más utilizados son: • Muestreo aleatorio Simple (M.A.S) • Muestreo Estratificado • Muestreo por Conglomerados En particular este curso se desarrolla bajo el supuesto de que las muestras que se utilizan fueron extraídas mediante un muestreo aleatorio simple (M.A.S); veamos en qué consiste esta técnica de muestreo.

3.1. MUESTREO

69

Definición 3.1.4 Muestreo Aleatorio Simple (M.A.S) El M.A.S es una técnica de muestreo probabilístico en la cual cada unidad de estudio tiene la misma probabilidad de pertenecer a la muestra. En este caso, se van extrayendo de manera aleatoria una a una las unidades de estudio de la población que pasaran a formar parte de la muestra. Dependiendo de si una unidad de estudio puede o no ser elegida más de una vez para la misma muestra, el M.A.S puede ser con reemplazo o sin reemplazo. • M.A.S Con Reemplazo. En este caso una unidad de estudio tiene la oportunidad de ser seleccionada varias veces en la misma muestra. Cuando se realiza este muestro se debe tener en cuenta que el orden de aparición en la muestra de una unidad de estudio es de importancia. En general, la cantidad de muestras de tamaño n que se pueden obtener de una población finita de tamaño N mediante una M.A.S con reemplazo es: N n • M.A.S Sin Reemplazo. En este caso una unidad de estudio que ha sido seleccionada para la muestra no retorna a la población, esto implica que sólo podrá ser seleccionada en la misma muestra una sola vez. En general, la cantidad de muestras de tamaño n que se pueden obtener de una población finita de tamaño N mediante una M.A.S con sin reemplazo es: N Cn Ejemplo 3.1.1 Se tiene una población constituida por Carlos, Mario, Ana. Las edades de ellos son respectivamente 21, 19, 20. Encuentre: 1. Defina la variable de interés para el problema, qué tamaño tiene su población, y qué tamaño tiene sus muestras? 2. La edad promedio de la población, utilice la notación que le corresponde. 3. La varianza de la edad de la población, utilice la notación que le corresponde. 4. La proporción poblacional de personas con 20 años o más, utilice la notación que le corresponde. 5. todas las muestra de tamaño dos que se pueden formar de esta población, si se extraen mediante un muestreo aleatorio simple sin reemplazo, y encuentre: (a) La edad promedio en cada muestra. (b) La varianza en cada una de las muestras. (c) La proporción de personas con una edad de 20 o más en cada una de las muestras. (d) La varianza de las proporciones de las personas que tienen 20 años o más, en cada una de las muestras . (e) El promedio de las medias de las muestras, qué ve?, qué puede concluir? (f ) La varianza de las medias de las muestras, qué notación utilizaría para este valor? (g) Multiplique el valor hallado en el item anterior por n, qué ve? qué puede concluir? (h) El promedio de las proporciones en las muestras, qué ve?, qué puede concluir? (i) La varianza de las proporciones de las muestras. (j) Multiplique el valor hallado en el item anterior por n, qué ve?, qué puede concluir?

70

CHAPTER 3. DISTRIBUCIONES MUESTRALES 6. Todas las muestras de tamaño dos que se pueden formar de esta población, si se extraen mediante un muestreo aleatorio simple con reemplazo. (a) La edad promedio en cada muestra. (b) La varianza en cada una de las muestras. (c) La proporción de personas con 20 o más en cada una de las muestras. (d) La varianza de las proporciones de las personas que tienen 20 años o más, en cada una de las muestras . (e) El promedio de las medias de las muestras, qué ve?, qué puede concluir? (f ) La varianza de las medias de las muestras, qué notación utilizaría para este valor? (g) Multiplique la varianza poblacional de la edad por puede concluir?

N −n N −1

× n1 , qué ve? qué

(h) El promedio de las proporciones en las muestras, qué ve?, qué puede concluir? (i) La varianza de las proporciones de las muestras. Solución 16 Sea xi : Edad promedio de las persona en la muestra i de tamaño 2. Si2 : Varianza de la edad promedio de las persona en la muestra i de tamaño 2 pi : Proporción de personas con una edad de 20 o más en la muestra i Con reemplazo: Muestra s1 = {Carlos, Carlos} s2 = {Carlos, M ario} s3 = {Carlos, Ana} s4 = {M ario, Carlos} s5 = {M ario, M ario} s6 = {M ario, Ana} s7 = {Ana, Carlos} s8 = {Ana, M ario} s9 = {Ana, Ana}

Media Muestral x1 = 21 x2 = 20 x3 = 20.5 x4 = 20 x5 = 19 x6 = 19.5 x7 = 20.5 x8 = 19.5 x9 = 20

Varianza Muestral S12 = S22 = S32 = S42 = S52 = S62 = S72 = S82 = S92 =

Proporción Muestral p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9

Note en la tabla anterior que el valor de la media muestral, la varianza muestral, la proporción muestral varían de acuerdo a la muestra aleatoria que se haya seleccionado Sin reemplazo: Muestra S1 = {Carlos, M ario} S2 = {Carlos, Ana} S3 = {M ario, Ana}

Media Muestral x1 = 20 x2 = 20.5 x3 = 19.5

Varianza Muestral S12 = S22 = S13 =

Proporción Muestral p1 p2 p3

En el ejemplo anterior se puede observar como tanto la media muestral como la varianza muestral asumen valores según sea la muestra que se está trabajando, como la selección de la muestra es aleatoria en un momento dado, el valor de la media y de la varianza también será una cantidad aleatoria. Observación 3.1.1 La expresión N −n N −1

3.2. DISTRIBUCIONES MUESTRALES

71

que acompaña la varianza tanto de la media muestral como de la proporción muestral para el caso del M.A.S sin reemplazo es llamado el coeficiente de corrección por población finita. Cuando la población es infinita la varianza de la media muestral es igual para ambos tipos de muestreos aleatorios, e igual a: 2 σX =

σ2 n

Ejemplo 3.1.2 De una población de 50 estudiantes se extrae mediante muestreo aleatorio simple sin reemplazo una muestra de tamaño 12. Encuentre el error estándar si se sabe que la población tiene una varianza de 100. Para realizar un muestreo aleatorio simple con la herramienta R, basta con utilizar la instrucción "sample", esta instrucción utilizada sobre un data.frame se puede utilizar de la siguiente manera: m = sample( 1:nrow( nombre data.frame), n ) nombre.muestreado = nombre data.frame[ m, ] La primera instrucción genera una muestra de tamaño n dentro del número de filas que tiene el data.frame, y la siguiente instrucción extrae de este las filas asociadas con los elementos seleccionados.

3.2

Distribuciones Muestrales

A continuación procederemos a determinar la distribución de algunos de los estadísticos más relevantes, cuando la muestra se ha realizado mediante un muestreo aleatorio simple con reemplazo. Definición 3.2.1 (Distribución Muestral) La distribución de todos los valores posibles que puede asumir un estadístico, calculados a partir de muestras del mismo tamaño, extraídas aleatoriamente de la misma población, es llamada una distribución muestral del estadístico. Las distribuciones muestrales pueden construirse empíricamente a partir de poblaciones finitas y discretas, para ello se procede así: 1. De una población finita N se extraen todas las muestras posibles de tamaño n. 2. Se calcula la estadística de interés para cada muestra. 3. Listar en una columna los distintos valores de la estadística y en otra columna las frecuencias correspondientes a cada valor observado. Ejemplo 3.2.1 Utilice cada uno de los casos del ejemplo 3.1.1, para la media muestral, y con los pasos antes descritos, trate de determinar la distribución de la media muestral.

Definición 3.2.2 Error Estándar de un Estadístico La desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico se conoce como error estándar del estadístico. (Tomado de: http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/estadistic

72

CHAPTER 3. DISTRIBUCIONES MUESTRALES

3.2.1

Distribución de la media Muestral

Teorema 3.1 Sea X una v.a que se distribuye normal con media µ y varianza σ 2 conocida. Si se toman muestras de tamaño n de esta población, entonces la media ¯ es una variable aleatoria que se distribuye normal muestral en dichas muestras (X) 2 con media µ y varianza σn ) ( 2 ¯ ∼ N µ, σ X n Ejemplo 3.2.2 Se espera que el diámetro de las pelotas de ping-pong fabricadas en una planta grande tenga una distribución aproximadamente normal con media de 1.30 pulgadas y desviación estándar de 0.07 pulgadas. Si se selecciona una muestra aleatoria simple de 8 pelotas, determine: 1. La probabilidad de que el diámetro promedio en la muestra esté por debajo de 1.22. Solución En este caso: X : Diámetro de una pelota de Ping-pong, en pulgadas. µ = 1.30 pulgadas σ = 0.07 pulgadas n = 8 pelotas X ∼ N (1.30, 0.072 ) En este caso se pide hallar P [X < 1.22] =??; para resolver esta pregunta se requiere conocer la distribución de X. X ∼ N (1.30, 0.042 ) n=8

pequea

σ

conocida

     ( )  −−−→ 0.072 T.3.1 X ∼ N 1.30,  8    

Se tiene entonces que X ∼ N (1.30, 0.0006125) [ ] X − 1.30 1.22 − 1.30 P [X < 1.22] = P √ µ + 3σ], como X ∼ N (1.30, 0.0006125), y por propiedades de la distribución normal se tiene que: P [µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ] = 0.9972 luego, en las colas se tiene distribuido de manera simétrica el 1 − 0.9972 = 0.0028, se sigue entonces que: P [X > µ + 3σ] =

0.0028 = 0.0014 2

R/ La probabilidad de que el diámetro promedio supere en más de tres desviaciones estándar a su media es de 0.0014. 4. Si el diámetro promedio en una muestra de 8 pelotas de ping - pong se encuentra por debajo de 1.28 pulgadas, se desecha como defectuosa la tanda de producción de donde procede la muestra. Si el administrados quiere garantizar que no se desechen más del 5%, en qué diámetro debe establecer el límite de la norma?. Solución En este caso se debe hallar el valor promedio por debajo del cual se encuentra el 5% de los diámetros más bajos, es decir, hallar x0 tal que P [X ≤ x0 ] = 0.05. Como ya se sabe, para muestras de tamaño ocho, X ∼ N (1.30, 0.0006125), por lo tanto: P [X ≤ x0 ] = 0.05 ] X − 1.30 x0 − 1.30 P √ ≤√ = 0.05 0.0006125 0.0006125 P [Z ≤ z0 ] = 0.05 [

Donde:

x0 − 1.30 z0 = √ 0.0006125

Además, de la distribución normal se tiene que el percentile 5% de una normal estándar está dado por z0 = −1.64, luego igualando los valores de z0 se tiene: x − 1.30 √0 = z0 = −1.64 despejando se tiene: 0.0006125 √ x0 − 1.30 = −1.64 × 0.0006125 √ x0 = −1.64 × 0.0006125 + 1.30 x0

= 1.26

R/ Para garantizar que no se desechen más del 5% de las tandas de producción de las pelotas de ping - pong se debe establecer el diámetro promedio límite en 1.26 pulgadas.

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CHAPTER 3. DISTRIBUCIONES MUESTRALES 5. De la producción en general, qué porcentaje de las pelotas no cumplen con las especificaciones de calidad inicial? Solución Hágalo!

Ejemplo 3.2.3 El peso neto de las cajas de detergente puede considerarse como una v.a normal. Cajas estándar de una marca comercial tienen un peso promedio de 1000 gm y una desviación estándar de 20gm. Si see toman 15 cajas al azar, mediante un MAS con reemplazo, determine: 1. ¿cuál es la probabilidad de que el peso promedio de las cajas sea 1025gm? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso promedio de las cajas sea menor a 1025 gm? 3. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso promedio de las cajas sea de 989 gm o más? 4. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso promedio de las cajas este entre 990 y 1008 gm? 5. ¿Cuál es el peso promedio por debajo del cual se encuentra el 90%, y por encima el 10% de los pesos promedio de las 12 cajas? Ejemplo 3.2.4 De una población de 50 estudiantes se extrae mediante muestreo aleatorio simple sin reemplazo una muestra de tamaño 12. Encuentre el error estándar si se sabe que la población tiene una varianza de 100. Solución 17 Siguiendo lo establecido en la definición (??), y con base en el teorema (3.1) se tiene que El teorema (3.1) nos ofrece una solución a la distribución de la media muestral sólo cuando la población con la que se está trabajando es normal, pero qué sucede cuando no se cumple la condición de normalidad?, el siguiente teorema se constituye en una alternativa útil para solucionar en cierta mediada este problema. Teorema 3.2 Teorema del límite Central ¯ Sea X una v.a de una población cualquiera con media µ y varianza σ 2 , y sea X la media de una muestra de tamaño n extraída de esa población, entonces la v.a ( ) σ2 cuando n → ∞ X ∼ N µ, n O de manera análoga se puede decir que: ¯ −µ X Z= √ ∼ N (0, 1) cuando n → ∞ σ2 n

Es importante tener presente que en estos casos se supone que valores de n mayores o iguales a 30 son grandes. Ejemplo 3.2.5 Un callcenter, está interesada en conocer la probabilidad de que el promedio de n llamadas dure un cierto periodo de tiempo, no les interesa una llamada individual, ya que no le permitiría determinar la cantidad de personas que requiere, las llamadas durante un mes promediaron 150 seg. Con una desviación

3.2. DISTRIBUCIONES MUESTRALES

75

estándar de 15 seg. Determine: ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada en particular dure entre 150 y 155 segundos? Solución Sea X: Tiempo de duración de una llamada que ingresa a un callcenter. X = 150seg σ = 15seg X ∼ N (150, 225) P [150 ≤ X ≤ 155]

= P [X ≤ 155] − P [X ≤ 150] [ ] [ ] X − 150 155 − 150 X − 150 150 − 150 √ √ = P ≤ √ −P ≤ √ 225 225 225 225 = P [Z ≤ 0.33] − P [Z ≤ 0] = 0.62930 − 0.5

P [150 ≤ X ≤ 155]

=

0.1293

R/ La probabilidad de que la duración de una llamada que ingresa al colcenter este entre 150 y 155 seg es del 12.93% Ejemplo 3.2.6 El costo promedio anual de un seguro para automóvil es de $435 mil pesos con una desviación típica de 120 mil de pesos. Determine: 1. La probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de 35 pólizas de seguro de automóvil, el promedio se encuentre por debajo de $460.000 Solución X: Costo anual de un seguro para automovil, en miles de pesos. µ = 435 σ = 120 X ∼???(435, 1202 ) n = 35 pólizas P [X < 460] =?? Para poder encontrar esta probabilidad se debe conocer cuál es la distribución de la media muestral X, y para esto, en este caso, se tiene:  X ∼???(435, 1202 )     ) (  −−−−−−−−−−−−→ 1202 n = 35 grande T.LimiteCentral X ∼ N 435,  35     σ conocida ( ) Se sigue entonces que X ∼ N 435, 14400 , luego: 35  X − 435 460 − 435  < P [X < 460] = P  √ 14400 

14400 35

[ = P Z