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Parte 1: Probabilidades. CONCEPTOS BÁSICOS. 1. Consideremos el experimento aleatorio de elegir al azar un número del conjunto de los número naturales ℕ. Considere los siguientes sucesos: A = “El número elegido es múltiplo de 2”. B = “El número elegido es menor que 10” C = “El número elegido es primo” D = “El número elegido es múltiplo de 3”. 2. a) b) c) d) e)

Describir el espacio muestral y expresar los siguientes sucesos: 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 𝐵∩𝐶 𝐴∩𝐷 𝐴𝑐 ∪ 𝐷 𝑐 ∪ 𝐶 𝑐 𝐷𝑐 ∩ 𝐶

3. a) b) c) d)

Un estudiante responde al azar verdadero o falso a cuatro preguntas. Escriba el espacio muestral. Escriba el suceso A = “responder falso a una sola pregunta” Escriba el suceso B = “responder verdadero al menos a tres preguntas” Escriba la unión, la intersección y la diferencia de los sucesos A y B.

4. a) b) c) d)

Dado que P(A) = 1/3 y P(B|A) = 1/3; determinar si se cumple que: A y B son independientes. 𝐴∩𝐵 =𝜙 𝐴⊆𝐵 𝑃(𝐴𝑐 |𝐵𝑐 ) = 2/3.

5. a) b) c)

¿Son ciertas las igualdades? Explique. 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴𝑐 |𝐵𝑐 ) 𝑃(𝐴|𝐵) + 𝑃(𝐴𝑐 |𝐵𝑐 ) = 1 𝑃(𝐴|𝐵) + 𝑃(𝐴𝑐 |𝐵) = 1 2 3

6. Considere dos sucesos A y B definidos en un espacio muestral Ω, tal que 𝑃(𝐴) = , 1

3

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑐 ) = 6 y 𝑃(𝐴|𝐵) = 5. Calcule las siguientes probabilidades: a) Ocurren A y B simultáneamente. b) No ocurre B. c) No ocurre A si ocurrió B. d) ¿Son A y B sucesos independientes? ¿Son A y B sucesos exhaustivos? Explique. Respuesta: a) 1/2, b) 1/6, c) 2/5

7. Dadas las siguientes proposiciones, indique si son verdaderas o falsas. Justifique sus deducciones. a) Sean A y B sucesos definidos en un espacio muestral Ω. Si A es independiente de B, entonces AC también es independiente de B. b) Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, entonces AC y BC también lo son. c) Sea A un suceso definido en un espacio muestral Ω tal que A⊂ Ω. Entonces P(Ω|A) = P(A). d) Si A y B son dos sucesos, entonces P(A|B) + P(AC|BC) = 1. Respuestas: a) Verdadero, b) Falso, c) Falso, d) Falso. 8. María y Laura idean el siguiente juego: cada una lanza un dado, si en los dados sale el mismo número, gana Laura; si la suma de ambos dados suman 7, gana María; y en cualquier otro caso, hay empate. a) Calcule la probabilidad de que gane Laura. b) Calcule la probabilidad de que gane María. c) Calcule la probabilidad de que empaten. Respuesta: a) 1/6 b) 1/6 c) 2/3 9. ¿Cuál es el mínimo número de alumnos que debe tener una clase para garantizar una probabilidad 0.5 de que el día de cumpleaños de algún alumno coincida con el día de cumpleaños del rector de la universidad? Se asume que los años son de 365 días. Respuesta: Al menos 253 alumnos. 10. Usted juega con otra persona a tirar del gatillo de una pistola, la cual tiene seis hoyos y una sola bala colocada al azar. Pierde aquel que obtiene un disparo. Indique si le conviene o no comenzar el juego. ¿Y si la pistola tuviera siete hoyos, a quién le conviene empezar? Explique. 11. En un concurso de televisión se le ofrece al concursante la posibilidad de elegir una entre 3 puertas para quedarse lo que hay tras ella. El presentador le informa de que sólo una de ellas tiene un buen premio (un automóvil Ferrari), mientras que las otras dos están vacías. El concursante opta por una y tras decirlo, el presentador (que conoce exactamente dónde está el premio) le abre una de las otras dos puertas no elegidas por el concursante donde no está el premio. Luego le ofrece al concursante la opción de cambiar su decisión inicial eligiendo la otra puerta aún no abierta. ¿Qué debe hacer el concursante? Es decir, ¿debe el concursante aceptar la nueva posibilidad cambiando la puerta que eligió originalmente? Explique.

AXIOMAS Y PROPIEDADES. 12. En una asignatura se ha decidido aprobar a aquellos que superen una de las dos pruebas. Con este criterio aprobó el 80%. Si se sabe que la primera prueba fue aprobada en un 60% y la segunda el 50% la superó, ¿cuál hubiese sido el porcentaje de aprobados, si se hubiese exigido superar ambas pruebas? Respuesta: Un 30%

13. Todos los viernes por la noche, el club de fútbol Unión La Portada juega dos partidos. Por historia, se conoce que la probabilidad de ganar el primer partido es 60%, la de ganar el segundo es 65% y la de ganar al menos uno de los dos partidos es 85%. Se definen los eventos: F = {Unión La Portada gana el primer partido} y S = {Unión La Portada gana el segundo partido}. Use los eventos descritos anteriormente para calcular la probabilidad de que Unión La Portada gane: a) Ambos partidos. b) Solo el primero de los partidos. c) Exactamente uno de los partidos. d) Ningún partido. Respuesta: a) 0,40 b) 0,20 c) 0,45 d) 0,15 14. Sean A, B y C sucesos definidos en un espacio muestral Ω. Suponga que A es independiente tanto de B como de C y que B y C son mutuamente excluyentes. Las probabilidades de los sucesos dados son P(A) = 0,02; P(B) = 0,01 y P(C) = 0,04. Halle la probabilidad de que ocurra al menos uno de estos sucesos. Respuesta: 0,069 15. Un conjunto eléctrico consta de dos componentes A y B. Se sabe que la probabilidad de que “falle A” es 0.3, la probabilidad de que “falle B” es 0.2 y la probabilidad de que “fallen simultáneamente A y B” es 0.1. Calcular: a) La probabilidad de que falle sólo A. b) La probabilidad de que no falle A sabiendo que no ha fallado B. c) ¿Son los sucesos “no falla A” y “no falla B” independientes? Explique. Respuesta: a) 0,2 b) 0,75 16. Una instalación funciona cuando lo hacen el motor y alguna de sus dos bombas. La probabilidad de que funcione el motor es 4/5, de que funcione la bomba B1 es 3/5 y de que funcione la bomba B2 es 2/5. La probabilidad de que funcione la bomba B2 o no lo haga la bomba B1 es 1/2. Además, la probabilidad de que funcione el motor si funciona la bomba B1 o la bomba B2 es 5/6. ¿Cuál es la probabilidad de que la instalación funcione?

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN 17. Un banco clasifica a los prestatarios en dos grupos: de alto riesgo y de bajo riesgo. Sólo concede el 15% de sus préstamos a prestatarios de alto riesgo. El 5% de todos sus préstamos no se devuelve y el 40% de los que no se devuelve se concedió a prestatarios de alto riesgo. ¿Cuál es la probabilidad de que un prestatario de alto riesgo no devuelva su préstamo? Respuesta: 0,1333 18. La probabilidad de que un médico diagnostique correctamente una enfermedad en particular es de 0,7.

Dado que realice un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente levante una demanda es de 0,9. ¿Cuál es la probabilidad de que el médico realice un diagnóstico incorrecto y que el paciente lo demande? Respuesta: 0,27 19. Un vendedor de seguros de vida observa que el 70% de las personas a las que vende un seguro ya tiene una póliza. También observa que el 50% de todas las personas con las que contacta y no les vende un seguro ya tiene una póliza. Además, consigue vender una póliza al 40% de las personas que contacta. ¿Cuál es la probabilidad de que venda una póliza a una persona que ya tiene una? INDEPENDENCIA 20. Como todo el mundo sabe, la probabilidad de que en una ruleta salga 10 veces seguidas el color rojo es muy pequeña. Habiendo salido 9 veces seguidas el rojo, un jugador apuesta al negro ¿Qué probabilidad tiene de ganar? 21. Se lanzan dos dados. Estudiar la independencia de los siguientes sucesos: A: “En el primer dado se obtiene un número par”. B: “En el segundo dado se obtiene un número impar”. C: “Se obtienen dos números pares o impares”. 22. La probabilidad de que una mujer viva dentro de 30 años es 0.25, y la probabilidad de que viva su hijo dentro de 30 años es 0.9. Calcular: a) La probabilidad de que vivan los dos dentro de 30 años. b) La probabilidad de que únicamente viva la madre. c) La probabilidad de que únicamente viva el hijo. d) La probabilidad de que al menos viva uno de los dos. 23. Un botiquín contiene dos frascos de aspirinas y tres frascos de tabletas para la tiroides. Un segundo botiquín contiene tres frascos de aspirinas, dos frascos de tabletas para la tiroides y un frasco de pastillas laxantes. Si se toma un frasco aleatoriamente de cada botiquín, encuentre la probabilidad de que: a) Ambos frascos contengan tabletas para la tiroides. b) Ningún frasco contenga tabletas para la tiroides. c) Los dos frascos contengas diferentes tabletas. Respuesta: a) 1/5 b) 4/15 c) 3/5 24. Una persona desea cruzar la frontera de un país llevando mercancía ilegal. Suponga que la probabilidad de que sea descubierta es 1/5. Cuando se descubre a alguien por primera vez, se le entrega un pase de cortesía, pero a la segunda vez se le aplica una multa. Si la persona desea cruzar la frontera 3 veces, todas independientes entre sí, ¿cuál es la probabilidad de que no la multen? Respuesta: 0.896

25. Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí como se muestra en la figura, donde las probabilidades indican la seguridad de que la componente funcione adecuadamente. Si se supone que el funcionamiento de una componente en particular es independiente de las demás, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema trabaje?

Respuesta: 0,9730

TEOREMAS DE PROBABILIDAD 26. En una gran ciudad el 8% de los habitantes ha contraído una enfermedad. Se realiza una prueba y el resultado es positivo en el 90% de las personas que tienen la enfermedad y negativo en el 80% de las personas que no la tienen, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad una persona cuya prueba ha dado un resultado positivo? Respuesta: 0,2813 27. En el jardinero del señor Rodríguez no se puede confiar. La probabilidad de que olvide regar el rosal durante su ausencia es 2/3. El rosal está en un estado inseguro: si se riega tiene igual probabilidad de secarse que de no secarse, pero solamente tiene un 0,25 de probabilidad de no secarse si no se riega. Después de un viaje el señor Rodríguez encuentra el rosal seco, ¿cuál es la probabilidad de que el jardinero no lo haya regado? Respuesta: 0,75 28. Un médico posee un test para diagnosticar el cáncer. Mediante muchos reconocimientos se ha comprobado que la probabilidad de que el test resulte positivo para una persona que tenga la enfermedad es de 0,95 mientras que para una persona que no la tenga es de 0,05. Supongamos que sólo el 1% de la población está enferma de cáncer. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona padezca cáncer si su test resulta positivo? Respuesta: 0,1610 29. En un proceso de control de calidad, un producto puede ser fabricado de aluminio o de titanio, de donde el 53% de los productos son elaborados con titanio. El 8% de los productos manufacturados son defectuosos y sólo el 30% de los productos defectuosos son fabricados con titanio. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto que fue fabricado con aluminio, sea defectuoso? b) Si un producto fue catalogado como bueno (no defectuoso), ¿Cuál es la probabilidad que sea de titanio?

30. En una fábrica de pernos, las máquinas 1, 2, 3 fabrican el 25%, 35% y 40% respectivamente de la producción total. De lo que producen, el 5%, 4% y 2% respectivamente son defectuosos. Se escoge un perno al azar y se encuentra que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido por la máquina 1? Respuesta: 0,3623 31. En un prestigioso laboratorio se está probando una nueva vacuna contra la influenza. La firma ha precisado que si una persona se coloca la vacuna tiene el triple de probabilidad de no contraer la enfermedad que de contraerla; mientras que sólo tiene un 0,28 de probabilidad de no contraer la enfermedad si no utiliza la vacuna. Suponga que cuatro de cada cinco personas se vacunan, ¿cuál es la probabilidad de que una persona se haya vacunado si contrajo la influenza? 32. Supóngase que la probabilidad de que Barrabases gane el campeonato nacional es de 0,25; la probabilidad de que lo obtenga Independiente es de 0,20 y 0,55 la probabilidad de que el campeón sea otro equipo. Además, la probabilidad de que el campeón nacional gane la Copa Internacional es de 0,45; 0,55 o 0,35 dependiendo de que si Barrabases, Independiente o algún otro equipo gana el campeonato nacional. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el campeón nacional no gane la Copa Internacional? b) ¿Cuál es la probabilidad de que Barrabases sea campeón nacional y además campeón internacional? c) Si un equipo gana la Copa Internacional, ¿cuál es la probabilidad de que Independiente haya ganado el campeonato nacional? Respuestas: a) 0,585 b) 0,1125 c) 0,2651 33. *Durante los últimos años se ha escrito mucho sobre la posible relación entre fumar y el cáncer pulmonar. Supóngase que en un centro médico, de todos los fumadores de quienes se sospecha que tenían cáncer pulmonar, el 90% lo tenía mientras que únicamente el 5% de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es de 0,45; ¿cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar, seleccionado al azar, sea fumador? Respuesta: 0,9364 34. *Un concesionario de automóviles sabe por experiencia que el 10% de las personas que entran en la tienda y hablan con el vendedor acaba comprando un automóvil. Para aumentar las posibilidades de éxito, se propone ofrecer una cena gratis con un vendedor a todas las personas que estuvieran dispuestas a escuchar la presentación completa del vendedor. Se sabe que algunas personas hacen cualquier cosa por cenar gratis aunque no tengan intención de comprar un automóvil. Sin embargo, algunas prefieren no cenar con un vendedor de automóviles. Por lo tanto, se quiere comprobar la eficacia de este incentivo. El proyecto se realizó durante seis meses y el 40% de las personas que compraron un automóvil cenó gratis. También cenó gratis el 10% de las personas que no compraron un automóvil. a) ¿Tiene éxito la táctica?, esto es, si una persona acepta la cena, ¿aumenta la probabilidad de comprar un automóvil? Explique. b) ¿Qué probabilidad hay de que una persona que no acepta una cena gratis compre un automóvil?

c) Si un vendedor cena con tres personas, todas de manera independiente. Calcule la probabilidad de que logre vender un automóvil como máximo a uno de ellos.

35. *El 25% de la población activa es profesional, de los profesionales el 5% son docentes universitarios y de éstos el 10% son matemáticos. Del resto de los profesionales el 1% son matemáticos. De la población no profesional el 5% sabe matemáticas. Se plantea un problema de cálculo diferencial que sólo puede ser resulto por personas con conocimientos en matemáticas. Si se saca una persona al azar, calcule la probabilidad de que: a) El problema de cálculo diferencial sea resuelto por una persona cualquiera. b) El problema de cálculo diferencial sea resuelto por una persona no profesional. c) Si el problema de cálculo diferencial no fue resuelto, que haya sido abordado por un docente universitario. 36. *Una compañía de seguros de automóviles clasifica los conductores en tres clases: A(alto riesgo), B (riesgo medio) y C (bajo riesgo). La clase A constituye el 30% de los conductores que suscriben un seguro en la compañía, la clase B el 50% y la clase C el 20% de todos los conductores suscritos. Por otra parte, la probabilidad de que uno de estos conductores tenga algún accidente es un año es de 0.1, 0.03 y 0.01, dependiendo de que si el conductor clasifica en la clase A, B o C respectivamente. a) Un determinado cliente contrata una póliza de seguros y tiene un accidente el primer año. ¿Cuál es la probabilidad de que este cliente esté suscrito a la clase A o B? b) Si se selecciona un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un accidente el primer año? c) Si se toma una muestra aleatoria de 10 clientes sin importar su clasificación, ¿cuál es la probabilidad que a lo más dos clientes tengan un accidente el primer año? d) ¿Cuántos clientes de la clase C habría que contratar hasta obtener uno que tenga un accidente? 37. *El departamento de personal de una empresa grande ha descubierto que sólo el 60% de los candidatos entrevistados están realmente calificados para asumir un cargo en la compañía. Una revisión de los registros de la firma muestra que quienes estaban calificados, el 67% tuvo un entrenamiento previo en estadística, mientras que el 20% de quienes no estaban calificados habían recibido instrucciones en estadística anteriormente. El director está considerando conceder entrevistas sólo a aquellos candidatos que tengan capacitación en estadística. Él espera aumentar la probabilidad de encontrar candidatos calificados. a) Si un candidato no estaba calificado, encuentre la probabilidad de que no haya recibido previamente entrenamiento en estadística. b) Encuentre la probabilidad de que un candidato haya recibido previamente entrenamiento en estadística. c) Si un candidato tuvo previamente entrenamiento en estadística, determine la probabilidad de que el candidato esté calificado. ¿Concuerda con lo que espera el director de personal? Respuesta: a) 0,8 b) 0,482 c) 0,834 > 0,6 38. Uno de los casinos recientemente inaugurados en el país propone un juego “secuencial” que consiste en apostar en máquinas tragamonedas que funcionan independientemente, cada una con una probabilidad p >0 de entregar premio. El jugador tiene acceso a la primera

máquina, donde juega, pudiendo ganar o perder. Si gana debe cobrar su premio e irse del casino pero si pierde debe jugar en la segunda máquina. Nuevamente, si gana cobra el premio y deja el casino pero si pierde continúa en la tercera máquina, en la cual gana o pierde y se retira del casino. Considere los sucesos Gi: “el jugador recibe el premio de la máquina i”, i = 1, 2, 3. a) Indique por qué los sucesos Gi son disjuntos, para i= 1, 2, 3. b) Determine la probabilidad de que ocurraG1, G2 y G3. c) Calcule la probabilidad de que el jugador no gane en el casino. d) Sabiendo que el jugador ha ganado, calcule la probabilidad de que el premio lo haya obtenido en la máquina número 2. Respuesta: b) 0 c) (1-p)3 d) p(1-p) 39. *Uno por ciento de todos los individuos de cierta población es portador de una enfermedad en particular. Una prueba de diagnóstico para esta enfermedad tiene una tasa de detección de 90% para portadores y una de 5% para no portadores. Suponga que la prueba se aplica independientemente a dos muestras sanguíneas diferentes del mismo individuo seleccionado al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas pruebas den el mismo resultado? b) Si ambas pruebas son positivas, ¿cuál es la probabilidad de que el individuo seleccionado sea portador de la enfermedad? c) Si el individuo seleccionado no es portador de la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las muestras resulte positiva? Respuesta: a) 0,9042 b) 0,7642 c) 0,0975