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• Winston Crisostomo

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TAREA 4 Probabilidad y Estadística Instrucción: Lea detenidamente el enunciado en cada ejercicio. Nota: Redondee a cuatro decimales. 1.

Se desea realizar una encuesta a la población de estudiantes de una universidad para determinar la proporción de jóvenes universitarios que estarían a favor de la construcción de una zona de estudio dentro del campus. El número de jóvenes de dicha universidad es 8600. Determinar el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de estudiantes que están a favor de la zona de estudio con un error de estimación de 0.08 y un nivel de confianza del 92%. DATOS:

Z

92%

P

0.5

Q

0.5

E

0.08

N

8600 Cualitativa (proporción)

Tipo de Variable Fórmula y cálculo (1,5 puntos)

𝑛= 𝑛=

1.68

2 𝑧1−𝑎 ⁄2 𝑁𝑃𝑄 2 (𝑁 − 1)𝐸 2 + 𝑧1−𝑎 ⁄2 𝑃𝑄

(1.68)2 ∗ (8600) ∗ (0.5) ∗ (0.5) (8600 − 1) ∗ (0.08)2 + (1.68)2 ∗ (0.5) ∗ (0.5) 𝑛=

6068.16 55.7392

𝑛 = 108.86 𝑛 = 109 Respuesta (0.5 punto)

Se deberá tomar como el tamaño de muestra 109 estudiantes para la encuesta.

2. Para analizar el crecimiento de ratas de laboratorio se elige una muestra piloto de 8 ratas y se miden obteniendo una talla promedio de la muestra de 9.3 centímetros y una varianza muestral de 20.2 centímetros2. Un investigador desea determinar el tamaño de muestra mínimo usando un diseño MAS (muestreo aleatorio simple) para estimar la talla promedio de las ratas en la población con una confianza de 99% y un error de estimación de 3 centímetros, ¿Cuántas ratas se debe elegir en la muestra? DATOS: Fórmula cálculo (1.5 punto)

y

N Varianza Muestral Nivel de Confianza

8 20.2 99%

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA – TAREA 4

1

z α

2.58

E

3

Promedio

9

1%

FÓRMULA 𝑍1−𝛼2 ∗ 𝑆 2 𝑛=( ) 𝐸

(2.58)(4.49) 2 𝑛=( ) 3

1 −

0.01 2

0.995

n = 14.9104 n = 15 Respuesta (0.5 punto)

𝛼 2

1 −

Se deberán elegir para la muestra 15 ratas.

3. Un analista de investigación de mercados quiere estimar el promedio del ingreso familiar mensual de una determinada población. Si en una muestra aleatoria de tamaño 15 pobladores se encontró que sus ingresos mensuales son: 1900

1800

1500 1600

1700

1500 1800 2000 1550 1400 1200 1050 990 1250 1300

Calcule e intérprete un intervalo del 99% para el ingreso mensual promedio. DATOS:

N

15

𝑥

1502.667

s

305.602

α

0.01

t n-1; 1 - α/2

Fórmula cálculo (2 puntos)

y

n-1

14

α/2

0.005

1 - α/2

0.995

INV.T

2.977

𝜇 = 𝑥̅ ± 𝑡𝑛−1 ; 1 - α/2 * 𝜇 = 1502.667 ± 2.977- 0.005 *

305.602 √15

𝜇 = 1502.667 ± 234.891 Error de Muestreo: 234.891

𝜇 = 1502.667 − 234.891

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA – TAREA 4

2

𝑆 √𝑛

Límite Inferior: 1267.776

𝜇 = 1502.667 + 234.891 Límite Superior: 1737.557

Interpretación (1 punto)

Se puede decir que a un intervalo de confianza de 99%, el promedio de ingreso familiar mensual de la población está entre 1267.776 y 1737.557.

4. Una empresa internacional decide exportar espárrago de A: La Libertad o B: Ica. Para tomar la decisión escogió dos muestras independientes, una de 10 cajas de A y otra de 11 cajas de B encontrando los siguientes porcentajes de gramos con impurezas por caja de espárrago de 22 kg. Los datos recopilados se presentan en la siguiente tabla: A

3

2

6

7

6

7

8

7

9

10

B

2

3

2

5

3

4

4

4

6

8

9

Con un nivel de confianza del 98%, ¿cuál sería la decisión de la empresa si el criterio de la selección es el menor promedio de porcentajes de impurezas por caja? Datos de A

N1

10

Datos de B 11 N2

X1

6.5

X2

4.545

S1

2.461

S2

1.853

2

Fórmula cálculo (2 puntos)

y

2 1

(𝑛1 −1)𝑆 +(𝑛2 −1)𝑆

(𝜇1 − 𝜇2 ) ∈ ((𝑥̅1 − 𝑥̅2 ) ± 𝑡(1−𝛼; 𝑛

1 +𝑛2 −2)

(𝜇1 − 𝜇2 ) ∈ ((6.5 − 4.545) ± 2.539√

√

𝑛1 +𝑛2 −2

2 2

1

1

√𝑛 + 𝑛 ) 1

2

(10−1)(2.4608)2 +(11−1)(2.2962)2 10+11−2

(10−1)(2.4608)2 +(11−1)(2.2962)2

(𝜇1 − 𝜇2 ) ∈ (1.955 ± 2.539√

10+11−2 107.225 19

(𝜇1 − 𝜇2 ) ∈ (1.955 ± 2.539√

√

21 110

1 10

√

1 10

√

1

+ 11 )

)

(𝜇1 − 𝜇2 ) ∈ (1.955 ± 2.539(2.3756)(0.4369)) (𝜇1 − 𝜇2 ) ∈ (1.955 ± 2.6352) Límite Superior

4.5902

(𝜇1 − 𝜇2 ) ∈ (1.955 + 2.6352)

Límite Inferior

-0.6802

(𝜇1 − 𝜇2 ) ∈ (1.955 − 2.6352)

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA – TAREA 4

3

1

+ 11 )

Con un nivel de confianza de 98%, se puede de decir que la decisión de la empresa podría ser la de la caja B, ya que esta es la que tiene el menor promedio, además si hay diferencia estadística significativa entre las impurezas por caja.

Interpretación (1 punto)

5. El promedio de vida útil de un componente electrónico de la empresa COMPAQ es, según la misma compañía, 2 años. Para corroborar esta suposición se toma una muestra de 64 de estos componentes, encontrándose que el promedio de vida de éstos es de 1.8 años. Suponiendo que el tiempo de vida útil de los componentes sigue una distribución normal con desviación estándar 0.3. Con un nivel de significancia del 5%, ¿es correcto lo que indica la misma compañía? (5 puntos)

Datos x

1.8 años

s

0.3

α

5% 0.05

N

64

Vup

2 años

1. Planteamiento de Hipótesis: H0: Pa = Pb µ= 1.8 H1: Pa ≠ Pb µ≠ 1.8

α=

2. Nivel de Significancia: 0.05

5%

3. Estadístico de Prueba 𝑧=

𝑧= 𝑧=

𝑥̅ − 𝜇0 𝑆⁄√𝑛 0.2 0.3⁄√64 16 3

𝑧 = 5.3

1−

4. Regla o Criterio de Decisión Si Z < - 𝑍(1−𝛼) o Z > 𝑍(1−𝛼) entonces se rechaza 𝐻0 . 2

Z(1-α/2) =

2

Z(0.975) =

1.96

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA – TAREA 4

4

𝛼 2

1−

0.05 2

0.975

5. Decisión y Conclusión Como Z > 𝑍(1−𝛼) es decir, 5.3 > 1.96 entonces se rechaza 𝐻0 . 2

(INV.NORM. ESTAND) 1.96

Existe suficiente evidencia estadística, al 5% de significancia para corroborar que es incorrecto lo que señala la empresa ya que el promedio de vida es diferente a 1.8 años.

−1.96 𝐑𝐞𝐜𝐡𝐚𝐳𝐨 H0

1.96 𝐑𝐞𝐜𝐡𝐚𝐳𝐨 H0

6. Un ingeniero que se desempeña en el área de control de calidad de la empresa Mejor Producto está encargado de supervisar la producción de dos tipos de productos y analizar su producción defectuosa. para el producto A se tomó una muestra de 1300 productos y se encontraron 80 defectuosos, mientras que para el producto B se tomó una muestra de 1420 productos y se encontraron 95 con fallas. Pruebe de que no hay diferencia significativa entre la proporción de productos defectuosos en los dos tipos de productos con un nivel de significancia del 3%. (5 puntos)

H0: H1:

1. Planteamiento de Hipótesis: Pa = Pb Pa ≠ Pb

α=

2. Nivel de Significancia: 0.03

3%

3. Estadístico de Prueba 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵

𝑧= √[

𝑧=

𝑧=

𝑛𝐴 𝑝𝐴 + 𝑛𝐵 𝑝𝐵 𝑛 𝑝 + 𝑛𝐵 𝑝𝐵 1 1 − 𝐴 𝐴 ] (𝑛 + 𝑛 ) 𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 ] [1 𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 𝐴 𝐵 0.0615 − 0.0669

√[1300 ∗ 0.0615 + 1420 ∗ 0.0669] [1 − 1300 ∗ 0.0615 + 1420 ∗ 0.0669 ] ( 1 + 1 ) 1300 + 1420 1300 + 1420 1300 1420 0.0615 − 0.0669 √[0.06432][0.9357] ( 34 ) 23075

𝑧 = −0.5734 PROBABILIDAD Y ESTADISTICA – TAREA 4

5

1 − 4. Regla o Criterio de Decisión

𝛼 2

1 −

0.03 2

0.985

Si Z < - 𝑍(1−𝛼) o Z > 𝑍(1−𝛼) entonces se rechaza 𝐻0 . 2

2

(INV.NORM. ESTAND)

Z(1-α/2) = 2.17 5. Decisión y Conclusión Como -0.5734 > -2.17 y -0.5734 < 2.17, NO se rechaza la hipótesis nula (H0). No existe suficiente evidencia estadística a un nivel de significancia del 3% para rechazar la hipótesis nula (H0). Por lo tanto, no existe diferencia significativa entre ambos tipos de productos defectuosos.

−2.17

2.17

𝐑𝐞𝐜𝐡𝐚𝐳𝐨

𝐑𝐞𝐜𝐡𝐚𝐳𝐨

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA – TAREA 4

6

Escala de calificación Preg.

Criterios

Puntaje 5 pts.

4 pts.

3 pts.

2 pts.

1.5 pts. Formaliza

Cálculo de la 1

muestra

-

-

-

-

N conocido

Cálculo de la

-

N

-

-

-

desconocido

0 pts.

calcula

No formaliza pero calcula

Interpreta correctamente el

No formaliza, no calcula ni

correctamente el tamaño de

tamaño de muestra para

interpreta el tamaño de

de

muestra para una población

una

muestra

conocida

con un nivel de confianza

correcta

muestra

Formaliza

muestra

0.5 pts.

correctamente el tamaño para

una

población conocida

(2 pts.) 2

y

1 pts.

y

población

conocida

de

manera

calcula

No formaliza pero calcula

Interpreta correctamente el

No formaliza, no calcula ni

correctamente el tamaño

correctamente el tamaño de

tamaño de muestra para

interpreta el tamaño de

de

muestra para una población

una

muestra

conocida

con un nivel de confianza

correcta

Interpreta correctamente el

No formaliza, no calcula ni

intervalo de confianza para

interpreta el intervalo de

un parámetro con un nivel

confianza

de confianza

parámetro

muestra

para

población conocida

una

población

conocida

de

manera

2

2

(2 pts.) Intervalo de Formaliza

confianza 3

para un

-

-

parámetro

-

y

calcula

No formaliza pero calcula

correctamente el intervalo de

-

correctamente el intervalo de

para

un

confianza para un parámetro

confianza para un parámetro

Formaliza

calcula

No formaliza pero calcula

Interpreta correctamente el

No formaliza, no calcula ni

correctamente el intervalo de

correctamente el intervalo de

intervalo de confianza para

interpreta el intervalo de

confianza

dos parámetros con un

confianza

nivel de confianza

parámetros

3

(3 pts.) Intervalo de confianza 4

-

para dos

-

-

parámetros

y

confianza

para

-

dos

parámetros

para

dos

parámetros

para

dos

3

(3 pts.) Formula

Formula

adecuadamente Demuestra prueba

5

Prueba de

hipótesis

hipótesis

un

para un parámetro (5 pts.)

las

adecuadamente

las

la

hipótesis, identifica el

hipótesis,

de

nivel de significancia

nivel de significancia y

y

estadístico de prueba

para

parámetro

estadístico

de

identifica

prueba calculándolo

calculándolo

haciendo uso de

correctamente,

correctamente

todo

elige

el

la

y

decisión

procedimiento

correcta

para

para una prueba

rechazar o no H0

de hipótesis

para

demostrar

el

para

demostrar la prueba de hipótesis

para

un

parámetro

Formula adecuadamente las hipótesis

e

identifica

Formula adecuadamente las

correctamente el nivel de

-

significancia para demostrar la prueba de hipótesis para

hipótesis

Ho y H1 para

demostrar

la

prueba

de

No utiliza el procedimiento -

hipótesis para un parámetro

para demostrar la prueba de

hipótesis

para

un

5

parámetro

un parámetro

la

prueba de hipótesis para un parámetro 6

Prueba de

Demuestra

hipótesis

prueba

la de

Formula adecuadamente

Formula las

adecuadamente

Formula adecuadamente las las

hipótesis

e

-

identifica

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA – TAREA 4

7

Formula adecuadamente las hipótesis

Ho y H1 para

-

No utiliza el procedimiento para demostrar la prueba

5

para

hipótesis, identifica el

hipótesis,

el

correctamente el nivel de

demostrar

parámetros

dos parámetros

nivel de significancia

nivel de significancia y

significancia para demostrar

hipótesis

(5 pts.)

haciendo uso de

y

estadístico de prueba

la prueba de hipótesis para

parámetros

todo

prueba calculándolo

calculándolo

dos parámetros

procedimiento

correctamente,

correctamente

para una prueba

elige

de hipótesis

correcta

para dos

hipótesis

el

estadístico

la

de

y

decisión para

rechazar o no H0 para

demostrar

identifica

la

para

demostrar la prueba de hipótesis

para

dos

parámetros

la

prueba de hipótesis para dos parámetros Puntuación total

Rúbrica de evaluación Tarea N° 4

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA – TAREA 4

8

prueba para

de dos

de

hipótesis

parámetro

para

dos