• Author / Uploaded
• Wilson Bautista

Citation preview

Ejercicios Ejercicio 1. En un instituto se ofertan tres modalidades excluyentes, A, B, C, y dos idiomas excluyentes, inglés y francés. La modalidad A es elegida por un 50% de los alumnos, la B por un 30% y la C por un 20%. También se conoce que han elegido inglés el 80% de los alumnos de la modalidad A, el 90% de la modalidad B y el 75% de la C, habiendo elegido francés el resto de los alumnos. a) ¿Qué porcentaje de estudiantes del instituto ha elegido francés? b) Si se elige al azar un estudiante de francés, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la modalidad A? Solución: a) 18% b) P( A / Fr ) = 0.55 Ejercicio 2. Tres bolsas idénticas contienen bolas de cristal: la primera, 6 lisas y 4 rugosas; la segunda, 5 lisas y 2 rugosas; y la tercera, 4 lisas y 7 rugosas. Determina: 1. La probabilidad de que al extraer una bola al azar de una bolsa al azar sea rugosa. 2. Se ha hecho una extracción de una bola al azar de una bolsa al azar y ha resultado ser lisa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido de la primera bolsa? 3. En la extracción anterior se nos ha caído la bola al suelo y se ha roto. ¿Cuáles son las probabilidades de que en una nueva extracción al azar de una bolsa al azar salga rugosa? Solución: 1. 0.44 2. 0.357 3. Entendiendo que la bola que se ha roto es lisa, la probabilidad pedida es 0.4925925… Ejercicio 3. La probabilidad de que un cazador cace una pieza es 1/3. Si dispara tres veces, ¿cuál es la probabilidad de cazar, al menos, una pieza? Solución: 19 / 27 = 0.703703… Ejercicio 4. Sean A y B dos sucesos del mismo espacio muestral tales que P ( A) = 0.7, P( B ) = 0.6 y P( A U B) = 0.9 . a) Justifica si A y B son independientes. b) Calcula P( A / B C ) y P( B / AC ) ; AC y B C indican los contrarios de A y B. Solución: a) P ( A ∩ B) = 0.4 ≠ P ( A) ⋅ P( B) = 0.42 ) b) P ( A / B C ) = 3 / 4 = 0.75 P( B / AC ) = 2 / 3 = 0.6 Ejercicio 5. De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen, al azar, sucesivamente y sin reemplazamiento, dos bolas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las bolas extraídas sean blancas? b) Si la segunda bola ha resultado negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también lo haya sido? Solución: a) 0.4 b) 0.2

I.E.S. Bajo Guadalquivir

1

Ejercicio 6. Una urna contiene dos monedas de plata y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de plata y tres de cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de plata? Solución: 0.48571428571… Ejercicio 7. En el experimento de tirar sucesivamente tres monedas, sea el suceso A sacar más caras que cruces, y el suceso B, sacar una o dos cruces. Halla todos los casos que integran el suceso A U B . Solución: A U B = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC} Ejercicio 8. Un dado está trucado de manera que son iguales las probabilidades de obtener 2, 4 ó 6. También son iguales las probabilidades de sacar 1, 3 ó 5, y la probabilidad de obtener 2 es el doble que la probabilidad de sacar 1. ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar el dado dos veces, se obtenga una suma de puntos igual a 7? Solución: 0.148148… Ejercicio 9. Se dispone de tres monedas. La primera de ella está trucada, de forma que la probabilidad de obtener cara es 0.4. La segunda moneda tiene 2 cruces y la tercera moneda también está truncada de modo que la probabilidad de obtener cara es 0.6. Se pide: 1. Escribir el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de estas tres monedas, sucesivamente y en el orden indicado. 2. Probabilidad de que se obtengan, exactamente, 2 cruces. 3. Probabilidad del suceso A = (CARA, CRUZ, CARA). 4. Probabilidad de obtener, al menos, una cara. Solución: 1. E = {CXC, CXX, XXC, XXX} 2. 0.52 3. 0.24 4. 0.76 Ejercicio 10. Un determinado club tiene un 75% de sus miembros que son hombres y un 25% que son mujeres. De este club tienen teléfono móvil un 25% de los hombres y un 50% de las mujeres. a) Calcula el porcentaje de miembros de este club que no tienen teléfono móvil. b) Calcula la probabilidad de que un miembro de este club elegido al azar entre los que tienen teléfono móvil sea mujer. Solución: a) 68.75% b) 0.4 Ejercicio 11. Tres máquinas, A, B y C, producen el 50%, el 30% y el 20%, respectivamente, del total de los objetos de una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son, respectivamente, el 3%, el 4% y el 5%. a) Si se selecciona un objeto al azar, ¿qué probabilidad tiene de salir defectuoso? b) Suponiendo que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina A? Solución: a) 0.37 b) 0.405405…

I.E.S. Bajo Guadalquivir

2

Ejercicio 12. En un estudio realizado en cierta universidad, se ha determinado que un 20% de sus estudiantes no utilizan los transportes públicos para acudir a sus clases y que un 65% de los estudiantes que utilizan los transportes públicos, también hacen uso del comedor universitario. Calcula la probabilidad de que seleccionado al azar un estudiante en esa universidad, resulte ser usuario de los transportes públicos y del comedor universitario. Justifica la respuesta. Solución: 0.52 Ejercicio 13. De los tornillos que se producen en una fábrica, el 60% son producidos por la máquina A, y el resto, por una máquina B. Supóngase que el 12% de los tornillos producidos por A son defectuosos y que el 8% de los producidos por B son defectuosos. a) Elegido al azar un tornillo producido por esa fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? b) Se elige al azar un tornillo y resulta que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A? Solución: a) 0.104 b) 0.6923 Ejercicio 14. En un experimento aleatorio, la probabilidad de un suceso A es dos veces la probabilidad de otro suceso B, y la suma de la probabilidad de A y la probabilidad del suceso contrario de B es 1.3. Se sabe, además, que la probabilidad de la intersección de A y B es 0.18. Calcular la probabilidad de que: 1. Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B. 2. Se verifique el suceso contrario de A o se verifique el suceso contrario de B. 3. ¿Son independientes los sucesos A y B? Solución: 1. 0.72 2. 0.82 3. P ( A ∩ B) = 0.18 = P( A) ⋅ P( B) = 0.6 ⋅ 0.3 Ejercicio 15. Se ha realizado una encuesta entre los estudiantes de una universidad para conocer las actividades que realizan en el tiempo libre. El 80% de los entrevistados ve la televisión o lee; el 35% realiza ambas cosas y el 60%, no lee. Para un estudiante elegido al azar, calcula la probabilidad de que: a) Vea la televisión y no lea. b) Lea y no vea la televisión. c) Haga solamente una de las dos cosas. d) No haga ninguna de las dos cosas. Solución: a) 0.4 b) 0.05 c) 0.45 d) 0.2 Ejercicio 16. Dos compañeros de estudios comparten piso. El primero prepara la comida el 40% de los días y el resto de los días lo hace el segundo. El porcentaje de veces que se le quema al primero es el 5%, mientras que el del segundo es el 8%. Calcula la probabilidad de que un día, elegido al azar, la comida esté quemada. Si cierto día se ha quemado, calcula la probabilidad de que haya cocinado el primero. Solución: a) 0.068 b) 0.2941

I.E.S. Bajo Guadalquivir

3

Ejercicio 17. Dos jóvenes aficionados a los juegos de azar se encuentran realizando un solitario con una baraja española de 40 cartas. Extraen una carta de dicha baraja y desean saber cuál es la probabilidad de “obtener rey” condicionado al suceso “obtener figura”. Caracteriza ambos sucesos. Solución: 1/3 Ejercicio 18. Se lanzan dos dados. Halla: a) La probabilidad de que una de las puntuaciones sea par y la otra impar. b) La probabilidad (condicional) de que una de las puntuaciones sea par, sabiendo que la suma de las dos es 7. Solución: a) 1/2 b) 1 Ejercicio 19. En una urna A hay 5 bolas blancas y 2 rojas, y en otra B hay 3 bolas verdes, 6 blancas y 5 rojas. Se lanza un dado trucado, con las caras numeradas del 1 al 6 y en el que la probabilidad de obtener un 6 es el doble que la de obtener cualquier otro número. Si en el lanzamiento del dado sale un número par, se saca una bola de la urna A, y si sale un número impar, la bola se saca de la urna B. Determina la probabilidad de que la bola que se saque sea roja. Solución: 0.31632653 Ejercicio 20. Un tratamiento contra el cáncer produce mejoría en el 80% de los enfermos a los que se les aplica. Se suministra a 5 enfermos. Se pide: a) Calcula la probabilidad de que los cinco pacientes mejoren. b) Calcula la probabilidad de que al menos tres no experimenten mejoría. c) ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren? Solución: a) 0.32768 b) 0.05792 c) 4 pacientes Ejercicio 21. En una ciudad, el 35% vota al partido A, el 45% vota al partido B y el resto se abstiene. Se sabe además que el 20% de los votantes de A, el 30% de los de B y el 15% de los que se abstienen, son mayores de 60 años. Se pide: a) Hallar la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea mayor de 60 años. b) Hallar la probabilidad de que un ciudadano mayor de 60 años se haya abstenido. Solución: a) 0.235 b) 0.12766 Ejercicio 22. En una fábrica de tornillos, la máquina A produce el 40% del total y la máquina B, el 60%. De los tornillos fabricados por A, el 10% son defectuosos, y de los fabricados por B son defectuosos el 20% Si se elige al azar un tornillo y resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido hecho por A? Solución: 1/4

I.E.S. Bajo Guadalquivir

4

Ejercicio 23. Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que: P(A)=0.6; P(B)=0.2 y P( AC U B C ) = 0.7 . a) Calcula P( A I B) y razona si los sucesos A y B son independientes. b) Calcula P( A U B) . Solución: a) P ( A ∩ B) = 0.3 ≠ P( A) ⋅ P( B) = 0.12 b) P ( A U B) = 0.5 Ejercicio 24. Con los jugadores de un club de fútbol se forman dos equipos para jugar un partido de entrenamiento; entre los dos equipos se reúnen 6 defensas, 8 medios, 6 delanteros y 2 porteros. El entrenador sabe que en estos partidos, la probabilidad de que se lesione un jugador es 0.22 si es delantero, 0.11 si es medio, 0.055 si es defensa y 0 si es portero. a) Calcular la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los jugadores en este partido. b) Si se sabe que un jugador se ha lesionado, determinar la probabilidad de que haya sido un defensa. Solución: a) 0.115 b) 0.13 Ejercicio 25. De una baraja española de 40 cartas se extraen sucesivamente, y sin reposición, dos cartas. Se pide calcular la probabilidad de que: a) La primera carta sea de copas y la segunda de espadas. b) Una carta sea de copas y la otra de espadas. c) Ninguna sea de bastos. d) Las dos sean de oros. Solución: a) 0.0641 b) 0.1282 c) 0.9423 d) 0.05769 Ejercicio 26. Supongamos que, tras una encuesta realizada en la población andaluza, se ha concluido que si se elige al azar un andaluz la probabilidad de que esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol es 0.8, la de que esté a favor de la existencia de canales de TV de pago es 0.4 y la de que esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol y también de la existencia de canales de pago es 0.3. a) Calcular la probabilidad de que un andaluz esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol o de que esté a favor de la existencia de canales de televisión de pago. b) Calcular la probabilidad de que un andaluz ni esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol ni de la existencia de canales de televisión de pago. Solución: a) 0.9 b) 0.1 Ejercicio 27. En una baraja de 40 cartas. a) Se toman dos cartas sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean de distinto número? b) Y si se toman tres cartas, ¿Cuál es la probabilidad de que los tres números sean distintos? Solución: a) 0.9230… b) 0.77732…

I.E.S. Bajo Guadalquivir

5

Ejercicio 28. En una baraja española (la de 40 cartas), se sacan al azar dos cartas. Encuentra la probabilidad de que: a) Ambas sean oros. b) Las dos sean de distinto palo. Solución: a) 0.05769230769230… b) 0.769230769230… Ejercicio 29. Tras un estudio estadístico en una ciudad se observa que el 70% de los motoristas son varones y, de estos, el 60% llevan habitualmente casco. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40% . Se pide: a) Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco. b) Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. ¿Cuál es la probabilidad de que sea varón? Solución: a) 0.54 b) 0.7777 Ejercicio 30. Los alumnos de Primero de Biología tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5. a) ¿Son independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte práctica? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exámenes? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exámenes? d) Se sabe que un alumno aprobó la teoría. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe también la práctica? Solución: a) No b) 0.1 c) 0.4 d) 0.8333 Ejercicio 31. Tenemos un dado con tres “1”, dos “2” y un “3”. Lo tiramos dos veces consecutivas y anotamos la suma de los resultados. a) ¿Cuál es el Espacio Muestral? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 4? c) ¿Cuál es la suma más probable? ¿Cuánto vale su probabilidad? Solución: a) E = {2, 3, 4, 5, 6} b) 0.27777 c) 0.3333 Ejercicio 32. Dados los sucesos A y B, se sabe que P(A) = 0.4, P( A U B) = 0.8 y P( AC U B C ) = 0.7 donde A y B representan respectivamente los sucesos contrarios de A y B. a) Calcule la probabilidad de que ocurra sólo uno de los sucesos A o B, b) Compruebe si los sucesos A y B son independientes. Solución: a) 0.5 b) No son independientes.

I.E.S. Bajo Guadalquivir

6

Ejercicio 33. Tenemos dos dados A y B, ambos trucados. En el dado A hay tres “1” y tres “2” y en el dado B hay dos “1” y cuatro “2”. Se elige un dado al azar y se tira. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un “1”? b) Sabiendo que se ha obtenido un “2”, ¿Cuál es la probabilidad de que se haya elegido el dado B? Solución: a) 0.41666 b) 0.5714 Ejercicio 34. Se lanza un par de dados. a) Construya el espacio muestral de este experimento aleatorio. b) Si los números resultantes son diferentes, construya el suceso asociado a esta situación y obtenga la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea impar. Solución: a) E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} b) 0.6 Ejercicio 35. Se lanzan dos dados. Uno de ellos es normal y el otro tiene marcado en lugar del seis un uno. a) Construya el espacio muestral asociado al experimento. b) Halle la probabilidad de obtener una suma igual a 7. Solución: a) E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} b) 0.16666… Ejercicio 36. De los sucesos A y B de un experimento aleatorio, se sabe que: P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, y P( A U B) = 0.5. a) Calcule P ( A I B) y P( AC I B) . b) Calcule P( AC U B C ) y P ( A / B C ) . Donde AC y B C representan respectivamente los sucesos contrarios de A y B . Solución: a) P ( A I B) = 0.2, P( AC I B) = 0.1 b) P( AC U B C ) = 0.8, P( A / B C ) = 0.285714… Ejercicio 37. La caja A contiene 8 pilas de las cuales 3 están descargadas y la caja B contiene 5 pilas de las cuales 2 están descargadas. Se saca al azar, una pila de cada caja. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas pilas estén descargadas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una pila esté descargada y la otra no? Solución: a) 0.15 b) 0.525 Ejercicio 38. En una muestra de 1000 personas hay 300 que saben inglés, 100 que saben ruso y 50 ambos idiomas. Con estos datos, averigua si son independientes o no los sucesos "saber inglés" y "saber ruso". Solución: No son independientes porque P ( I ∩ R) = 0.05 ≠ P ( I ) ⋅ P( R) = 0.03

I.E.S. Bajo Guadalquivir

7

Ejercicio 39. El temario de una oposición consta de 100 temas. En el momento del examen se sortean dos y el opositor debe responder obligatoriamente a los dos temas que le han tocado en suerte. Calcular cuántos temas, como mínimo, debe estudiar un opositor para que la probabilidad de saberse los dos temas que le toquen sea superior a 0.5. Solución: 71 Ejercicio 40. Lanzamos dos dados y anotamos el resultado de la tirada. a) Represente el espacio muestral y los sucesos "sacar al menos un seis" y "sacar suma par". b) Halle la probabilidad del suceso "los números de los dos dados son diferentes". c) ¿Son independientes los sucesos "sacar suma par" y "sacar al menos un dos" Solución: 1 11 5 b) 0.5 c) ⋅ ≠ 2 36 36 Ejercicio 41. Una empresa monta televisores con piezas procedentes de las fábricas F o G. En el primer caso, la probabilidad de que el televisor no tenga averías en cinco años es 0.9 y en el segundo caso, 0.7. El 40% de los televisores se montan con piezas de la fábrica F. Halle la probabilidad de que un televisor, que no ha tenido averías durante cinco años, se haya montado con piezas de la fábrica G. Solución: 7/13 Ejercicio 42. En un espacio muestral se tienen dos sucesos independientes, A y B. Se sabe que P( A ∩ B) = 0.18 y P ( A / B) = 0.30 . a) (1 punto) Calcule las probabilidades de A y de B. b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que no ocurra ninguno de esos dos sucesos. Solución: a) P(A) = 0.3, P(B) = 0.6 b) P( AC ∩ BC ) = 0.28 Ejercicio 43. Sean A y B dos sucesos, tales que P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 y P( A ∩ B) = 0.25 . a) ¿Son A y B independientes? b) Calcule P( AC ∩ B) . c) Calcule las probabilidades de los sucesos A / B (A condicionado a B) y A / B c (A condicionado al suceso contrario de B). Solución: a) No, P ( A ∩ B) = 0.25 ≠ P( A) ⋅ P( B) = 0.3 ) b) 0.35 c) P ( A / B) = 0.416 , P( A / BC ) = 0.625 Ejercicio 44. Para tratar cierta enfermedad se dispone de dos medicamentos, con efectos independientes entre si, cuyas probabilidades de sanar a un paciente son respectivamente 1/2 y 1/3. Se administran los dos medicamentos a tres enfermos. a) Halle la probabilidad de que al menos uno de ellos se cure. b) Halle le probabilidad de que al menos uno de ellos no se cure. Solución: a) 0.963 b) 0.7037

I.E.S. Bajo Guadalquivir

8

Ejercicio 45. Se sabe que en una cierta población, la probabilidad de que un hombre esté en paro vale 0.15 y la probabilidad de que una mujer esté en paro vale 0.25. Si la proporción de personas de cada sexo es la misma, calcule las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Una persona elegida al azar está en paro. b) Que sea un hombre, si se sabe que no está en paro. Solución: a) 0.2 b) 0.53 Ejercicio 46. En una ciudad se publican dos periódicos, A y B. La probabilidad de que una persona lea el periódico A es 0,1, la probabilidad de que lea el B es 0.1 y la probabilidad de que lea ambos es 0.02. a) Calcule la probabilidad de que una persona no lea ningún periódico. b) Calcule la probabilidad de que una persona que ha leído alguno de los dos periódicos lea también el otro. Solución: a) 0.82 b) 0.1111 Ejercicio 47. Se sabe que, en una cierta población, la probabilidad de que un hombre tenga estudios universitarios es 0.30 y que la probabilidad de que una mujer tenga estudios universitarios es 0.25. Si los hombres representan el 48% de la población, calcule las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Una persona elegida al azar posee estudios universitarios. b) Que sea hombre una persona de la que se sabe que no posee estudios universitarios. Solución: a) 0.274 b) 0.4628 Ejercicio 48. En un centro escolar existen tres grupos de 2º de bachillerato LOGSE. El primero esta compuesto por 10 alumnos de los que 7 prefieren la música "moderna", 2 prefieren la "clásica" y 1 que no le gusta la música. En el segundo compuesto por 12 alumnos, la distribución de preferencias es de 5, 7 y 0 respectivamente; y en el tercero, formado por 14 alumnos, la distribución de preferencias es de 6, 6 y 2 respectivamente. Se elige un grupo al azar y se regalan dos entradas para un concierto de música clásica a dos alumnos seleccionados al azar. a) Halle la probabilidad de que las entradas se regalen en el primer grupo. b) Halle la probabilidad de que los dos alumnos elegidos sean aficionados a la música moderna. c) Si los dos alumnos agraciados son efectivamente aficionados a la música clásica. ¿Cuál es la probabilidad de que procedan del primer grupo? Solución: a) 0.3333 b) 0.261 c) 0.44 Ejercicio 49. Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encontrar la probabilidad de que: a) La suma de los números aparecidos sea menor que 8. b) La suma de los números sea mayor que 4 y menor que 8. c) De los tres números aparecidos dos de ellos sean un cinco. d) Los tres sean impares. Solución: a) 21/216 b) 27/216 c) 15/216 d) 1/8

I.E.S. Bajo Guadalquivir

9

Ejercicio 50.

La probabilidad de que un globo sonda sea recuperado es

1 . Si tres globos son lanzados 9

al espacio, ¿cuál es la probabilidad de recuperar... a) ... sólo uno? b) ... los tres? c) ... al menos uno? Solución: a) 192/729 b) 1/729 c) 217/729 Ejercicio 51. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuariales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: a) Las cinco personas. b) Al menos tres personas. c) Exactamente dos personas. Solución: a) 0.1317 b) 0.0453 c) 0.1646 Ejercicio 52. El despertador de Javier no funciona muy bien, pues el 20% de las veces no suena. Cuando suena, Javier llega tarde a clase con probabilidad 0.2, pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde a clase es 0.9. a) Determine la probabilidad de que llegue tarde a clase y haya sonado el despertador. b) Determine la probabilidad de que llegue temprano a clase. c) Javier ha llegado tarde a clase. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sonado su despertador? Solución: a) 0.16 b) 0.66 c) 0.47 Ejercicio 53. Se conocen los siguientes datos de un grupo de personas, relativos al consumo de un determinado producto: Hombre Mujer

Consume 10 25

No consume 30 12

Se elige en ese grupo una persona al azar. Calcule la probabilidad de que: a) (0.5 puntos) Sea mujer. b) (0.75 puntos) Habiendo consumido el producto, se trate de una mujer. c) (0.75 puntos) Sea mujer y no consuma el producto. Solución: a) 37/77 b) 25/35 c) 12/77 Ejercicio 54. La probabilidad de que un estudiante que ingresa en la Universidad se licencie es 0'4. Encontrar la probabilidad de que entre 5 estudiantes escogidos al azar: a) Ninguno se licencie. b) No se licencie más de uno. c) Al menos uno se licencie. d) Todos se licencien. Solución: a) 0.07776 b) 0.33696 c) 0.92224 d) 0.01024

I.E.S. Bajo Guadalquivir

10

Ejercicio 55. Dada la variable aleatoria continua X, con función de densidad: ⎧⎪ 3 2 − ( x − 2 x ) si 0 ≤ x ≤ a f ( x) = ⎨ 4 ⎪⎩0 en el resto a) Determinar el valor de a para que, efectivamente, sea una función de densidad. b) Calcular la función de distribución de X y P(X > 1) . Solución: a) a = 2 ⎧0 x 1) = 0'5 ⎪⎪ 3 ⎛ x 3 ⎞ F ( x) = ⎨− ⎜⎜ − x 2 ⎟⎟ 0 ≤ x ≤ 2 ⎠ ⎪ 4⎝ 3 ⎪⎩1 x>2 Ejercicio 56. En un aula de dibujo hay 40 sillas, 30 con respaldo y 10 sin él. Entre las sillas sin respaldo hay 3 nuevas y entre las sillas con respaldo hay 7 nuevas. a) (1 punto) Tomada una silla al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea nueva? b) (1 punto) Si se coge una silla que no es nueva, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga respaldo? Solución: a) 0.25 b) 23/30 Ejercicio 57. Una variable aleatoria X tiene una distribución normal N(140,25). Calcular las siguientes probabilidades: a) P( X ≤ 150) b) P(100 ≤ X ≤ 130) c) P( X ≥ 155) Solución: a) 0.6554 b) 0.2898 c) 0.2743 Ejercicio 58. Una máquina automática fabrica piezas cuya longitud se espera que sea de 50 mm. Sin embargo, la longitud de las piezas es una variable aleatoria que está distribuida normalmente con media el citado valor esperado, 50 mm. Se sabe además, que sólo hay un 5% de piezas que sobrepasan los 51 mm. Calcular la probabilidad de que una pieza tomada al azar esté entre 49.5 y 50.5 mm. Solución: 0.5906 Ejercicio 59. Sean los sucesos A y B independientes. La probabilidad de que ocurra el suceso B es 0.6. Sabemos también que P( A / B) = 0.3 . a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que suceda al menos uno de los dos sucesos. b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el B. Solución: a) 0.72 b) 0.12 Ejercicio 60. Tiramos una moneda 400 veces. Calcular la probabilidad de que el número de caras que salgan sea mayor o igual que 210. Solución: 0.1711

I.E.S. Bajo Guadalquivir

11

Ejercicio 61. La variable aleatoria X puede tomar los valores 5, 6, 7, 8, 9, 10 con probabilidades P ( x = 5) = 0.15; P( x = 6) = 0.12; P( x = 7) = 0.21; P ( x = 8) = 0.25; P ( x = 9) = 0.16 y P( x = 10) = 0.11. Se pide: a) ¿Es una función de probabilidad? En caso afirmativo, representarla. b) Hallar la función de distribución y su gráfica. c) Hallar la media, la varianza y la desviación típica. Solución: a) b)

c) x = 7.12, σ 2 = 2.357824, σ = 1.53552076 Ejercicio 62. La opinión que tiene la población sobre la gestión de su Ayuntamiento es favorable en el 30% de los casos y desfavorable en el resto. Elegidas 10 personas al azar, hallar: i) La probabilidad de que exactamente dos la consideren favorable. ii) La probabilidad de que ninguno la considere desfavorable. Solución: i) 0.23347 ii) 0.0000059 Ejercicio 63. Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno, determinar las probabilidades siguientes: 1. Que las dos cifras sean iguales. 2. Que su suma sea 11. 3. Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13. 4. Sabiendo que su suma es menor que 11, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una cifra sea 4? Solución: 1) 1/10 2) 1/25 3) 43/100 4) 13/64 Ejercicio 64. En una población de estudiantes se ha comprobado que la calificación obtenida en inglés sigue un modelo Normal de probabilidad con una media de 5 si se ha seguido el método de trabajo A, y con una media de 6 si se ha seguido el método de trabajo B. Sabiendo que el 4% de los alumnos que han seguido el método A obtienen una calificación inferior a 3.5 y que el 2% de los alumnos que han seguido el método B superan el 8, contestar razonando la respuesta: a) ¿Qué porcentaje de estudiantes adiestrados con el método A no superan la calificación de 6.5? b) ¿Qué porcentaje de estudiantes adiestrados con el método B obtienen una calificación comprendida entre 4 y 6? Solución: a) 96% b) 48%

I.E.S. Bajo Guadalquivir

12

Ejercicio 65. Una maniobra incorrecta de un coche ha originado un accidente. Por los alrededores había tres personas X, Y y Z. La probabilidad de que X se haya dado cuenta de la maniobra es 0.9; la de Y, 0.85; y la de Z, 0.8. Si suponemos la independencia de los testimonios, contestad: a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres testifiquen la incorrección de la maniobra? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos testifiquen la incorrección? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno se haya dado cuenta de la incorrección? Solución: a) 0.612 b) 0.941 c) 0.003 Ejercicio 66. Un estudio antropológico de una tribu ha constatado que la longitud del dedo corazón de los adultos sigue una ley Normal de media 60 mm. y una desviación típica de 3 mm. Si tenemos 800 adultos, determinar cuántos tienen el dedo corazón: 1. Más largo de 62 mm. 2. Más corto de 57 mm. 3. Entre 60 y 66 mm. 4. Si las medidas se han aproximado al milímetro más cercano, ¿cuántos lo tienen de 58 mm? Solución: 1) 203 2) 127 3) 382 4) 84 Ejercicio 67. Se considera el experimento aleatorio de lanzar al aire tres monedas. a) Construya un espacio muestral adecuado para el experimento. b) Exprese en función de los sucesos elementales los siguientes sucesos: i) A = sale al menos una cara. ii) B = salen exactamente dos cruces. iii) C = salen más caras que cruces. c) Calcule la probabilidad del suceso A y del suceso B ∪ C . Solución: a) E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX} b.i) A = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC} b.ii) B = {CXX, XCX, XXC} b.iii) C = {CCC, CCX, CXC, XCC} c) P(A) = P(B ∪ C ) = 7/8 = 0.875 Ejercicio 68. A un congreso asisten el mismo número de hombres que de mujeres. El 60% de los hombres tiene 40 años o más y el 30% de las mujeres tienen menos de 40 años. Se pide: a) Si se elige al azar una persona que asiste al congreso, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? b) Si se elige al azar una persona que asiste al congreso, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 40 años? c) Si se elige un asistente al azar y se observa que tiene más de 40 años, ¿cuál es la probabilidad de que dicha persona sea mujer? Solución: a) 0.5 b) 0.32 c) 0.5588 Ejercicio 69. Tiramos seis dados. Calcular la probabilidad de que salga, al menos, un cinco. Solución: 0.6651

I.E.S. Bajo Guadalquivir

13

Ejercicio 70. Tenemos dos urnas como sigue: A: 4 bolas rojas y 6 blancas. B: 7 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae una bola de la segunda urna. Calcular la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color. Solución: 0.50909… Ejercicio 71. Si los sucesos A, B son independientes y compatibles, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?: a) P( A ∩ B) = P( B) b) P( B ∪ A) = P( A) + P( B) c) P( AC / B) = P( AC ) (donde AC es el suceso contrario de A.) Solución: a) Falso b) Falso c) Verdadero Ejercicio 72. Una máquina que expende bebidas está regulada de modo que descarga una media de 200 ml por vaso. Si la cantidad de líquido está distribuida normalmente con desviación típica de 15 ml: a) ¿Qué porcentaje de vasos llenará con más de 224 ml? b) Si vamos a utilizar 6 vasos de 224 ml, ¿cuál es la probabilidad de que se derrame líquido sólo en uno de los 6 vasos? Solución: a) 5.48% b) Redondeando p a 0.05, 0.2321 Ejercicio 73. En 2º de Bachillerato de cierto Instituto hay un total de 100 alumnos, de los cuales: 40 son varones, 30 usan gafas y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas? b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea varón? Solución: a) 0.45 b) 0.357 Ejercicio 74. En una clase, un 40% de alumnos aprobaron filosofía y un 50% aprobaron matemáticas. Se sabe que la probabilidad de aprobar filosofía si se ha aprobado matemáticas es 0'6. a) ¿Qué porcentaje de alumnos aprobaron ambas asignaturas? b) De los alumnos que aprobaron filosofía, ¿qué porcentaje aprobó matemáticas? Solución: a) 30% b) 75% Ejercicio 75. La duración de las pilas de una linterna se distribuye según una normal de media 70 horas y desviación típica 4 horas. En un establecimiento hay 40 pilas. a) ¿Cuántas tendrán una duración superior a 70 horas? b) Calcular la probabilidad de que, elegida una pila al azar, tenga una duración entre 75 y 82 horas. Solución: a) 20 b) 0.10425

I.E.S. Bajo Guadalquivir

14

Ejercicio 76. En un examen se formulan 38 preguntas del tipo Verdadero-Falso. El examen se aprueba si se contestan correctamente, al menos, 20 preguntas. Si se lanza una moneda para decidir la respuesta de cada pregunta, calcular la probabilidad de aprobar el examen. Solución: 0.409 Ejercicio 77. Considera el espacio muestral E=(a, b, c, d) en el que los cuatro sucesos tienen la misma probabilidad. Sean S1={a, b} y S2={a, c}. a) ¿Son S1 y S2 sucesos incompatibles? b) Calcula la probabilidad del suceso S1∩S2 y la probabilidad del suceso contrario de S2. Solución: a) No, S1∩ S2= {a} b) P(S1∩S2) = 0.25, P (SC2 ) = 0.5 Ejercicio 78. En una cierta población se sabe que el 20% habla correctamente el castellano. Se elige una muestra al azar de 10 personas. Hallar la probabilidad de que: a) Todas hablen correctamente el castellano. b) Sólo una persona lo hable bien. Solución: a) (0’2)10 ≈ 0 b) 0.2684 Ejercicio 79. De una baraja de 40 cartas se extraen 3 naipes consecutivamente sin reemplazamiento. Calcular la probabilidad de obtener la secuencia sota, caballo, rey. Solución: 0’001 Ejercicio 80. Un vendedor de helados puede ganar 600€ por día en días soleados y 200€ en días lluviosos. Calcula las ganancias esperadas en un día en el que la probabilidad de lluvia es de 0.35. Solución: 460€ Ejercicio 81. Juan propone a Luis el siguiente juego: lanzar una moneda 10 veces; si salen 4, 5 ó 6 caras, gana Luis y, en caso contrario, gana Juan. ¿Cuál es la probabilidad de que gane Juan? Solución: 0.34375 Ejercicio 82. En una asociación juvenil, el 30% de los socios juegan a baloncesto. En un momento dado se trata de reunir gente para formar un equipo, por lo que se pregunta a un grupo de 10 socios si practican dicho deporte. a) Describir la variable aleatoria que representa el número de individuos del grupo que lo practican. b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo haya dos o más personas que jueguen a baloncesto? ¿Cuántos socios de ese grupo se espera que lo practiquen? Solución: a) X~B(10,0.3) b) p = 0.8607, 3 socios

I.E.S. Bajo Guadalquivir

15

Ejercicio 83. Se sabe que las notas de determinado examen siguen una distribución normal. El 15.87% tiene una nota superior a 7 puntos y el 15.87% tiene nota inferior a 5 puntos. Calcular: a) Porcentaje de alumnos cuya nota está entre 5 y 7 puntos. b) Nota media del examen. Solución: a) 68.26% b) 6 Ejercicio 84. Se lanza una moneda 10 veces. Calcúlese la probabilidad de: a) Obtener menos de 5 caras. b) Obtener 8 caras. c) Obtener más de 3 pero menos de 7 caras. d) Obtener más de 5 caras. Solución: a) 0.377 b) 0.0439 c) 0.6563 d) 0.3869 Ejercicio 85. Supongamos que se califica un ejercicio puntuado de 0 a 10 con las siguientes notas: [0,2)=Muy deficiente, [2,5)=Insuficiente, [5,6)=Suficiente, [6,7)=Bien, [7,8.5)=Notable, [8.5,10]=Sobresaliente Hállese qué porcentaje de alumnos entraría en cada uno de estos grupos si las notas se ajustaran a una distribución normal con media μ y desviación típica σ, en los casos siguientes: a) μ=5, σ=2. b) μ=5, σ=1. Solución: a) P [0,2) = 0.0606, P [2,5) = 0.4332, P [5,6) = 0.1915, P [6,7) = 0.1498, P [7,8.5) = 0.1186, P [8.5,10] = 0.0339 b) P [0,2) = 0.00135, P [2,5) = 0.49865, P [5,6) = 0.3413, P [6,7) = 0.1359, P [7,8.5) = 0.02257, P [8.5,10] = 0.00023 Ejercicio 86. De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Calcular la probabilidad de que dicha carta sea: i) Oros o bastos. ii) Copas o figura (sota, caballo y rey). Solución: i) 0.5 ii) 19 / 40 = 0.475 Ejercicio 87. Calcular a para que ⎧0 si x < 2 ⎪ f ( x) = ⎨a si 2 ≤ x ≤ 7 ⎪0 si x > 7 ⎩

represente una función de densidad. Calcular su función de distribución. Solución: a=2 si x < 2 ⎧0 ⎪ F( x) = ⎨0.2 x si 2 ≤ x ≤ 7 ⎪1 si x > 7 ⎩

I.E.S. Bajo Guadalquivir

16

Ejercicio 88. En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que P(4 − a ≤ x ≤ 4 + a) = 0.5934 . Solución: a = 5.66 Ejercicio 89. Se lanzan 15 dados. Encontrar la probabilidad de que: i) Salga siempre un número impar. ii) Salga por lo menos un 5. Solución: i) (0.5)15 ii) 1 − (0.8333)15 Ejercicio 90. En cierta población, la edad de los individuos tiene una distribución normal, con media de 32 años y desviación típica de 8 años a) Hallar la proporción de individuos menores de 18 años. b) Si en la citada población viven 2 millones de personas, halla el número aproximado de personas mayores de 60 años. Solución: a) 4% b) 460 Ejercicio 91. Se supone que la estancia media de los enfermos en un sanatorio sigue una distribución normal de media 8 días y desviación típica 2. Calcular la probabilidad de que un determinado enfermo permanezca en el sanatorio entre 7 y 10 días. Si en el sanatorio hay ingresados 200 enfermos, ¿cuántos cabe esperar que permanezcan en el sanatorio menos de 5 días? Solución: a) 0.5328 b) 13 Ejercicio 92. Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio, con p(A)=0.7, p(B)=0.6, p( A C ∪ BC )=0.58. ¿Son independientes A y B? Razona tu respuesta. Si M ⊂ A, ¿cuál es el valor de p( M C /A C )? Solución: Sí, p(A∩B) = 1 − p( A C ∪ BC ) = 0.42 = p(A)·p(B) = 0.7 · 0.6 = 0.42. p( M C /A C ) = 1. Ejercicio 93. Un constructor debe comprobar si un fontanero es “formal” para contratarlo para una gran obra. Decide llamarlo 5 veces de incógnito y contratarlo sólo si atiende adecuadamente los 5 servicios. La probabilidad de que el fontanero descubra la voz del constructor en una llamada cualquiera, es de 0.5 y, en tal caso, acude inmediatamente. En caso contrario, la llamada tiene igual consideración que las habituales y la probabilidad de que atienda el servicio es 0.6. ¿Qué probabilidad tiene el fontanero de ser contratado finalmente? Solución: (0.8)5 Ejercicio 94. Una empresa debe reponer las batas de sus 1000 operarios. Se sabe que la talla media es 170 cm, con una desviación típica de 3 cm. Las batas se confeccionan en tres tallas válidas para estaturas entre 155 y 165 cm, 165 y 175 cm y, finalmente, entre 175 y 185 cm. ¿Cuántas batas de cada talla ha de adquirir? Solución: 48 ó 49 de la talla pequeña, 903 de la mediana y 48 ó 49 de la grande. I.E.S. Bajo Guadalquivir

17

Ejercicio 95. En la siguiente tabla se presenta la distribución del número de hijos en un grupo de 100 parejas: Nº de parejas 15 40 23 10 7 4 1 Nº de hijos 0 1 2 3 4 5 7 a) Obtén la probabilidad de que una pareja elegida al azar del grupo tenga menos de dos hijos. b) Si se elige una pareja al azar de entre las que tienen al menos un hijo, ¿cuál es la probabilidad de que tenga más de tres hijos? c) Si se elige un hijo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga hermanos? Solución: a) 0.55 b) 12/85 c) 40/171 Ejercicio 96. El 10% de los artículos fabricados en una empresa de material cerámico tiene algún defecto. Obtén (utilizando como aproximación la distribución normal, si lo crees conveniente) la probabilidad de que: a) En un lote de 10 artículos se encuentre al menos uno defectuoso. b) En un lote de 100 artículos haya al menos 10 defectuosos. Solución: a) Usando la distribución binomial 0.6513. Haciendo la aproximación por la distribución normal 0.7019 b) 0.5636 Ejercicio 97. El peso (en gramos) de una pieza fabricada en serie se distribuye según una normal de media μ=52 y una desviación típica σ=6.5. Se pide: a) Hallar la probabilidad de que una pieza fabricada pese más de 68 gramos. b) Si el 30% de las piezas fabricadas pesa más que una pieza dada, ¿cuánto pesa esta última? Solución: a) 0.1093 b) 55.4125 Ejercicio 98. Una caja contiene 3 monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es 1/3. Se selecciona una moneda al azar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara. Solución: 0.6111 Ejercicio 99. En un determinado país, el porcentaje de declaraciones fiscales que son correctas es del 60%, 40% y 80% según se trate de industriales, profesionales liberales o asalariados. Se sabe que del total de declaraciones, el 10% son de industriales y el 20% de profesionales liberales. Se van a realizar 1500 inspecciones. a) ¿Cuántos industriales, profesionales liberales y asalariados han de ser inspeccionados si se desea que la inspección sea proporcionada a la probabilidad de declaración incorrecta en cada categoría socio-profesional? b) Compara esta distribución de las 1.500 inspecciones con la que se tendría en el caso de hacerla proporcional al número de declaraciones de cada categoría. Solución: Industriales Prof. liberales Asalariados a) 200 600 700 b) 150 300 1.050

I.E.S. Bajo Guadalquivir

18

Ejercicio 100. Las probabilidades de aprobar los exámenes de química, física y matemáticas son, para un alumno determinado: 2/3, 4/5 y 3/5 respectivamente. Obtener las probabilidades de: a) Suspender las tres asignaturas. b) Suspender sólo una de las tres. c) Suspender física si se sabe que sólo suspendió una asignatura de las tres. Solución: a) 2/75 b) 34/75 c) 6/34 Ejercicio 101. Para aprobar cierta oposición, se necesita obtener un mínimo de 100 puntos. Se sabe que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución normal de media 110 y desviación típica 15. ¿Qué probabilidad tiene un opositor elegido al azar de haber aprobado? Si sabemos que hay 1000 opositores y sólo 300 plazas, ¿qué puntuación mínima debería exigirse para ajustar el número de aprobados al número de plazas existente? Solución: La probabilidad de haber aprobado es 0.7454. La puntuación debería ser 117.875. Ejercicio 102. En una ciudad en la que hay el doble número de hombres que de mujeres, hay una epidemia. El 6% de los hombres y el 11% de las mujeres están enfermos. Se elige al azar un individuo. Calcular la probabilidad de que: a) Sea hombre. b) Esté enfermo. c) Sea hombre, sabiendo que está enfermo. Solución: a) 0.6666 b) 0.07666 c) 0.52174 Ejercicio 103. Se lanzan dos dados al aire y la suma de los puntos obtenidos es 7. Hallar la probabilidad de que en uno de los dados aparezca un 1. Solución: 0.3333 Ejercicio 104. La compañía aérea “Avión” sabe que el tiempo de retraso de sus vuelos sigue una ley normal, con un retraso medio de 10 minutos y desviación típica de 5 minutos. Calcular: a) Probabilidad de que un vuelo no tenga retraso. b) Probabilidad de que el próximo vuelo llegue con no más de 10 minutos de retraso. c) Probabilidad de que el próximo vuelo llegue con más de 20 minutos de retraso. (Datos: F(0)=0.5; F(2)=0.9772; F función de distribución de la N(0,1).) Solución: a) 0.0228 b) 0.5 c) 0.0228 Ejercicio 105. El peso medio de los estudiantes de un colegio es de 60 kg y la desviación típica es 6 kg. Suponiendo que los pesos están normalmente distribuidos: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese menos de 64 kg? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese 57 kg o más? c) Si los estudiantes son 200, ¿cuántos estudiantes cabe esperar que pesen más de 57 y menos de 64 kg? Solución: a) 0.7454 b) 0.6915 c) 87

I.E.S. Bajo Guadalquivir

19

Ejercicio 106. En un hospital psiquiátrico hay 10 enfermos: 3 neuróticos, 5 psicópatas y 2 esquizofrénicos. Se eligen tres enfermos al azar. a) Hallar la probabilidad de que los tres tengan la misma enfermedad. b) Hallar la probabilidad de que los tres tengan enfermedad distinta. Solución: a) 0.091666 b) 0.25 Ejercicio 107. Una urna contiene tres bolas rojas y dos verdes, y otra contiene dos bolas rojas y tres verdes. Se toma, al azar, una bola de cada urna. Escribe el espacio muestral. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean del mismo color? ¿Y la de que sean de distinto color? Solución: E = {RR, RV, VR, VV}; 0.48; 0.52 Ejercicio 108. Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0.55, se pide: i) Calcular la probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras. ii) Calcular la probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras. Solución: i) 0.3675 ii) 0.609 Ejercicio 109. Se lanzan dos dados al aire y la suma de los puntos obtenidos es 7. Hallar la probabilidad de que en uno de los dados aparezca un 1. Solución: 0.3333 Ejercicio 110. La probabilidad de que una persona adquiera en una librería un diario es de 0.4; la probabilidad de que adquiera una revista es de 0,3; la probabilidad de que adquiera ambas publicaciones es 0.2. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que adquiera un solo diario. b) Que adquiera al menos una publicación. c) Que no adquiera un diario cuando ha adquirido una revista. d) Que adquiera una revista cuando no ha adquirido un diario. Solución: a) 0.2 b) 0.5 c) 0.3333 d) 0.1666 Ejercicio 111. Se lanzan dos dados. Construye un espacio muestral adecuado a dicha experiencia y calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Obtener al menos un cinco. b) La suma de las puntuaciones obtenidas es menor o igual a tres. Solución: a) 11/36 b) 3/36 Ejercicio 112. Sea X una variable aleatoria que mide la estatura de 1000 individuos de una población y, que se distribuye según una normal de media 1.74 y de desviación típica 0.1. Calcula, de acuerdo con la distribución anterior, el número de individuos cuya estatura está comprendida entre 1.64 y 1.84. Solución: 683

I.E.S. Bajo Guadalquivir

20

Ejercicio 113. La gráfica de la función de distribución, F(x), de una variable aleatoria discreta X es: F(x) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

X 0

1

2

3

4

5

6

a) Obtén la correspondiente función de probabilidad. b) Calcula la media de la distribución. Solución: a) f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = f (5) = 0.2 b) x = 3 Ejercicio 114. La probabilidad de que salga cara con una moneda trucada es 0.45. Se lanza la moneda 7 veces. Calcular la probabilidad de que: a) Salgan exactamente tres caras. b) Al menos tres caras. c) A lo sumo tres caras. Solución: a) 0.2918 b) 0.6836 c) 0.6082 Ejercicio 115. Se extrae, sin devolución, una bola blanca de una urna compuesta por 2 bolas blancas y 6 negras. ¿Cuál es la probabilidad de que, si se extraen a continuación tres bolas, una sea blanca? Solución: 0.5357 Ejercicio 116. Dados dos sucesos A y B independientes, ambos de probabilidad no nula y distinta de 1, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? a) P(A∩B)=P(B) b) P(A∪B)=P(A)+P(B) c) P(Ac/B)=P(Ac), donde Ac es el suceso contrario de A. Solución: Son ciertas la a) y la c). Ejercicio 117. Disponemos de tres dados, uno de los cuales está trucado. La probabilidad de sacar 5 con el dado trucado es 0.25, siendo los otros resultados equiprobables. Se elige un dado al azar y se realiza un lanzamiento con él. a) (1 punto) Determine la probabilidad de obtener un 2. b) (1 punto) Dado que ha salido un 2, ¿cuál es la probabilidad de que hayamos elegido el dado trucado? Solución: a) 0.16111 b) 0.31034 Ejercicio 118. Halla la probabilidad de que, en una familia con 4 hijos, uno al menos sea varón. Solución: 0.9375

I.E.S. Bajo Guadalquivir

21

Ejercicio 119. En una ciudad el número de hombres duplica al de mujeres. Si se eligen 2 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sean de distinto sexo? Solución: 0.4444 Ejercicio 120. La variable aleatoria X está distribuida normalmente con media 10. La probabilidad de que X se encuentre en el intervalo (10,20) es igual a 0.3. a) Calcule la probabilidad de que X se encuentre en el intervalo (0,10). b) Calcule la probabilidad de que X sea menor que 0 ó mayor que 20. Solución: a) 0.3 b) 0.4 Ejercicio 121. En un espacio muestral se consideran dos sucesos A y B. Se conocen los siguientes

datos: P(A)=0.25, P(A/A∪B)=0.5. a) Halle P(A∪B) b) Halle P(A∩B), sabiendo que P(B/A∪B)=0.6. Solución: a) 0.5 b) 0.05 Ejercicio 122. Una caja contiene diez tornillos, de los que dos son defectuosos. a) (1 punto) Si vamos extrayendo tornillos, uno tras otro, hasta localizar los dos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de necesitar exactamente tres extracciones para localizarlos? b) (1 punto) Si extraemos solo dos tornillos, y el segundo ha resultado ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el primero también lo haya sido? Solución: a) 0.04444 b) 0.1 Ejercicio 123. En una ciudad el 60 % de sus habitantes son aficionados al fútbol, el 30 % son aficionados al baloncesto y el 25 % a ambos deportes. a) (0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos “ser aficionado al fútbol” y “ser aficionado al baloncesto”? b) (0.75 puntos) Si una persona no es aficionada al fútbol ¿cuál es la probabilidad de que no sea aficionada al baloncesto? c) (0.75 puntos) Si una persona no es aficionada al baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que sea aficionada al fútbol? Solución: a) Dependientes, 0.6 · 0.3 ≠ 0.25 b) 0.875 c) 0.5 Ejercicio 124. Dos cajas, A y B , tienen el siguiente contenido: La A : 5 monedas de 1 euro y 3 de 10 céntimos. La B : 4 monedas de 1 euro, 4 de 10 céntimos y 2 de 20 céntimos. De una de las cajas elegida al azar, se extrae una moneda. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de 1 euro? b) (1 punto) Si la moneda extraída resulta ser de 10 céntimos, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la caja B ? Solución: a) 0.5125 b) 0.48387

I.E.S. Bajo Guadalquivir

22

Ejercicio 125. Tenemos un cofre A con 2 monedas de oro y 3 de plata, un cofre B con 5 monedas de oro y 4 de plata y un tercer cofre C con 2 monedas de oro. Elegimos un cofre al azar y sacamos una moneda. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que sea de oro. b) (1 punto) Sabiendo que ha sido de plata, calcule la probabilidad de que haya sido extraída del cofre A. Solución: a) 0.6518518… b) 0.574468 Ejercicio 126. 1 1 1 Sean A y B dos sucesos tales que P( A) = , P ( B) = y P ( A I B) = . Calcule: 2 3 4 a) (0.5 puntos) P( A | B) y P( B | A) . b) (0.75 puntos) P( A U B) . c) (0.75 puntos) P( A C I B) . ( A C indica el contrario del suceso A). Solución: a) P( A | B) =0.75, P( B | A) = 0.5 b) 0.5833 c) 0.0833 Ejercicio 127. En un cineclub hay 80 películas; 60 son de “acción” y 20 de “terror”. Susana elige una película al azar y se la lleva. A continuación Luis elige otra película al azar. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que tanto Susana como Luis elijan películas de acción? b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que la película elegida por Luis sea de acción? Solución: a) 0.56 b) 0.75 Ejercicio 128. Dos urnas A y B, que contienen bolas de colores, tienen la siguiente composición: A: 5 blancas, 3 negras y 2 rojas. B: 4 blancas y 6 negras. También tenemos un dado que tiene 4 caras marcadas con la letra A y las otras dos con la letra B. Tiramos el dado y sacamos una bola al azar de la urna que indica el dado. a) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea blanca? b) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja? c) (0.75 puntos) La bola extraída ha resultado ser blanca, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? Solución: a) 0.46666 b) 0.13333 c) 0.285714 Ejercicio 129. En el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres veces se consideran los siguientes sucesos: A: “sacar al menos una cara y una cruz”. B: “sacar a lo sumo una cara”. a) Determine el espacio muestral asociado a ese experimento y los sucesos A y B. b) ¿Son independientes ambos sucesos? Solución: a) E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX} A = {CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC} B = {CXX, XCX, XXC, XXX} b) Sí, P(A) · P(B) = 0.75 · 0.5 = P(A∩B) = 0.375.

I.E.S. Bajo Guadalquivir

23

Ejercicio 130. La probabilidad de que un jugador A marque un gol de penalti es de 5/6, mientras que la de otro jugador B es 4/5. Si cada uno lanza un penalti, a) (1 punto) Halle la probabilidad de que marque gol uno solo de los dos jugadores. b) (1 punto) Halle la probabilidad de que al menos uno marque gol. Solución: a) 0.3 b) 0.0333 Ejercicio 131. Dado un espacio muestral E se consideran los sucesos A y B, cuyas probabilidades son P(A) = 2/3 y P(B) = 1/2. a) (0.75 puntos) ¿Pueden ser los sucesos A y B incompatibles? ¿Por qué? b) (0.75 puntos) Suponiendo que los sucesos A y B son independientes, calcule P( A U B) . c) (0.5 puntos) Suponiendo que A U B = E , calcule P( A I B) . Solución: a) No, porque P(A) + P(B) >1. b) 0.8333 c) 0.1666 Ejercicio 132. El 35 % de los estudiantes de un centro docente practica el fútbol. El 70 % de los que practican el fútbol estudia Matemáticas, así como el 25 % de los que no lo practican. Calcule la probabilidad de que al elegir, al azar, un estudiante de ese centro: a) (1 punto) Estudie Matemáticas. b) (1 punto) Practique el fútbol, sabiendo que no es alumno de Matemáticas. Solución: a) 0.7325 b) 0.33447 Ejercicio 133. En un colectivo de personas, el 80 % tiene más de 35 años. De los mayores de 35 años, el 40 % son mujeres. De los que no han superado los 35 años, el 45 % son hombres. Se elige una persona, al azar, de ese colectivo. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya superado los 35 años sabiendo que se ha elegido un hombre? Solución: a) 0.43 b) 0.1053 Ejercicio 134. De una bolsa que contiene 4 monedas de 2 euros, 5 de 1 euro y 3 de 0.20 euros, se extraen dos monedas, al azar, sucesivamente y sin devolverlas a la bolsa. a) (1.5 puntos) Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos: A = “la suma de las dos monedas es inferior a 2.20 euros”. B = “al menos una de las dos monedas es de 0.20 euros”. b) (0.5 puntos) Razone si esos dos sucesos son independientes. Solución: a) P(A) = 0.4242, P(B) = 0.4545 b) No, P( A I B) = 0.2727 ≠ P(A) · P(B) Ejercicio 135. Se dispone de una baraja española de 40 cartas (10 de oros, 10 de copas, 10 de espadas y 10 de bastos). Se saca una carta, al azar, y, sin devolverla, se saca otra, al azar. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que ninguna de las dos cartas sea de oros. b) (1 punto) Sabiendo que la 2ª carta extraída ha sido de copas, calcule la probabilidad de que también lo fuera la primera. Solución: a) 0’5577 b) 0.23

I.E.S. Bajo Guadalquivir

24

Ejercicio 136. Las instalaciones de un club tienen una sala de medios audiovisuales y una de informática. El 60% de los socios utiliza la 1ª, el 30 % la 2ª y el 20 % ambas. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un socio, elegido al azar, no utilice ninguna de las dos salas. b) (1 punto) Si se sabe que un socio utiliza la sala de audiovisuales, ¿cuál es la probabilidad de que no utilice la de informática? Solución: a) 0.3 b) 0.6666 Ejercicio 137. Los alumnos de Bachillerato de un I.E.S. proceden de 3 localidades A, B y C, siendo un 20 % de A, un 30 % de B y el resto de C. El 80 % de los alumnos de A cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º.El 50 % de los alumnos de B cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 60 % de los alumnos de C cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. a) (1 punto) Seleccionado, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S., ¿cuál es la probabilidad de que sea de 2º? b) (1 punto) Si elegimos, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S. y éste es un alumno de 1º, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B? Solución: a) 0.39 b) 0.2459 Ejercicio 138. Según la estadística de los resultados en las Pruebas de Acceso en una provincia andaluza, en septiembre de 2001, el número de alumnas presentadas es 840, de las que han aprobado un 70 %, mientras que el número de alumnos presentados es 668, habiendo aprobado un 75 % de éstos. a) (1 punto) Elegida, al azar, una persona presentada a las Pruebas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado? b) (1 punto) Sabiendo que una persona ha aprobado, ¿cuál es la probabilidad de que sea varón? Solución: a) 0.722 b) 0.46 Ejercicio 139. Una urna contiene 15 bolas, de las cuales 6 son azules y 9 son rojas. Se extraen sucesivamente y sin reemplazamiento, 3 bolas, al azar. a) (0.5 puntos) Describa el espacio muestral asociado al experimento. b) (0.75 puntos) Determine la probabilidad de que se extraiga, al menos, una bola azul. c) (0.75 puntos) Halle la probabilidad de que la tercera bola extraída sea roja. Solución: a) E = {AAA, AAR, ARA, ARR, RAA, RAR, RRA, RRR} b) 0.81538 c) 0.6 Ejercicio 140. Tenemos 3 estuches de lápices A, B y C. El estuche A tiene 9 lápices, de los cuales 3 son negros; el B contiene 7 lápices, de los cuales 2 son negros; el C contiene 5 lápices de los que 1 es negro. a) (0.5 puntos) Si tomamos, al azar, un lápiz del estuche B, ¿cuál es la probabilidad de que sea negro? b) (1.5 puntos) Si elegimos, al azar, uno de los 3 estuches y de éste tomamos, al azar, un lápiz, ¿cuál es la probabilidad de que no sea negro? Solución: a) 0.2857 b) 0.726984

I.E.S. Bajo Guadalquivir

25

Ejercicio 141. Juan y Pedro juegan a obtener la puntuación más alta lanzando sus dados. El dado de Juan tiene cuatro caras con la puntuación 5 y las otras dos caras con el 1. El dado de Pedro tiene dos caras con el 6, otras dos con el 4 y las otras dos con el 1. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que gane Pedro? b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de empatar? Solución: a) 0.4444 b) 0.1111 Ejercicio 142. El despertador de Pedro no funciona bien, pues el 20 % de las veces no suena. Cuando suena, Pedro llega tarde a clase con probabilidad 0.2; pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde a clase es 0.9. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que Pedro llegue a tiempo. b) (1 punto) Determine la probabilidad de que el despertador haya funcionado bien, si sabemos que Pedro ha llegado tarde a clase. Solución: a) 0.66 b) 0.47 Ejercicio 143. El partido A y el partido B concurren a unas elecciones en un municipio donde el 55 % de los votantes son mujeres. Se sabe que el 40 % de los hombres votan al partido A y el 50 % al B. El 60 % de las mujeres votan al partido A y el 20 % al B. El resto de electores no vota. a) (1 punto) Halle la probabilidad de que una persona, elegida al azar, no vote. b) (1 punto) Sabiendo que una persona, elegida al azar, ha votado al partido A, halle la probabilidad de que sea mujer. Solución: a) 0.155 b) 0.647 Ejercicio 144. En una ciudad, el 60% de los niños usa zapatillas deportivas, el 50% usa ropa deportiva y el 20% usa ambas prendas. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que un niño, elegido al azar, no use ninguna de las dos prendas? b) (1 punto) Si un niño usa zapatillas deportivas, ¿cuál es la probabilidad de que no use ropa deportiva? Solución: a) 0.1 b) 0.6 Ejercicio 145.

[

]

c

Si P ( A ∩ B) = 0.2 y P( A ∪ B) = 0.6 , calcule P ( A ∩ B) ∪ ( A c ∩ B c ) . Solución: 0.4 Ejercicio 146. El 55% de la población española son mujeres, de las cuales un 23% usa el coche para ir al trabajo. Se sabe que la probabilidad de que una persona, sea hombre o mujer, vaya al trabajo en coche es 0.52. a) (1 punto) Elegido un hombre, al azar, ¿cuál es la probabilidad de que utilice el coche para desplazarse al trabajo? b) (1 punto) Si se elige una persona, al azar, y resulta que no usa el coche para ir al trabajo, calcule la probabilidad de que sea una mujer. Solución: a) 0.8744 b) 0.88229

I.E.S. Bajo Guadalquivir

26

Ejercicio 147. En una residencia hay 212 ancianos de los que 44 tienen afecciones pulmonares. Del total de ancianos, 78 son fumadores, y solo hay 8 que tienen enfermedad de pulmón y no fuman. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que un anciano de esa residencia, elegido al azar, no fume y tampoco tenga afección pulmonar? b) (1 punto) ¿Qué porcentaje de enfermos de pulmón son fumadores? Solución: a) 0.59434 b) 81.81% Ejercicio 148. Dado un espacio muestral Ε se consideran los sucesos A, B y C de forma que 1 1 1 P( A) = , P ( B) = , P (C ) = . 3 4 2 Sabiendo que los tres sucesos son mutuamente independientes: a) Calcule P(A ∪ B). b) Calcule P(B ∪ Cc). c) Calcule la probabilidad de que ocurran exclusivamente dos de los tres sucesos. Solución: a) 0.5 b) 0.625 c) 0.25 Ejercicio 149. Para entrar en su nuevo piso, una persona tiene que abrir sucesivamente tres puertas con llaves distintas, pero ha olvidado qué llave abre cada puerta, por lo que va probándolas al azar hasta que consigue abrirlas todas. a) Dibuje un diagrama que describa cuántas pruebas puede necesitar para abrir las tres puertas. b) Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos: A: “abrir la segunda puerta en la tercera prueba”. B: “abrir las tres puertas antes de la quinta prueba”. Solución:

b) P(A) = 0.3333, P(B) = 0.5 Ejercicio 150. En una biblioteca sólo hay libros de física y de matemáticas, que están escritos en inglés o en español. Se sabe que el 70% de los libros son de física, el 80% de los libros están escritos en español y el 10% son libros de matemáticas escritos en inglés. a) (1 punto) Calcule qué tanto por ciento de los libros son de física y escritos en español. b) (1 punto) Si cogemos un libro de física, ¿cuál es la probabilidad de que esté escrito en español? Solución: a) 53% b) 0.757

I.E.S. Bajo Guadalquivir

27

Ejercicio 151. a) Se lanzan 10 dados cúbicos al aire. Determine la probabilidad de obtener al menos un cinco. b) Se lanzan 4 monedas al aire. Determine la probabilidad de obtener distinto número de caras que de cruces. Solución: a) 1 – (8.3333)10 b) 0.625 Ejercicio 152. De una encuesta realizada en un I.E.S. se deduce que el 60% de sus estudiantes son asiduos espectadores del programa Al salir de clase, y entre éstos, el 80% son chicas. Se conoce que el porcentaje de chicas que está estudiando en ese Centro es 58%. a) Cual es la probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, sea asiduo espectador del citado programa. b) Si se elige al azar un estudiante, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica y asidua espectadora? c) Si se elige al azar un estudiante entre las chicas, ¿cuál es la probabilidad de que sea asidua espectadora del programa? Solución: a) 0.6 b) 0.48 c) 0.8275862 Ejercicio 153. Blanca y Alfredo escriben al azar una vocal cada uno en papeles distintos. a) (1 punto) Determine el espacio muestral asociado al experimento. b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que no escriban la misma vocal. Solución: a) E = {aa, ae, ai, ao, au, ee, ei, eo, eu, ii, io, iu, oo, ou, uu} b) 0.8 Ejercicio 154. Sean A y B dos sucesos tales que P ( A) = 0.4, P( B C ) = 0.7 y P( A ∪ B) = 0.6 , donde B C es el suceso contrario de B. a) (1 punto) ¿Son independientes A y B? b) (1 punto) Calcule P( A / B C ). Solución: a) No, P(A ∩ B) = 0.1 ≠ P(A) · P(B) = 0.12 b) 0.42857 Ejercicio 155. Una máquina A fabrica 100 piezas al día, de las cuales un 6 % son defectuosas. Otra máquina B fabrica 50 piezas al día, con un porcentaje de defectuosas del 2 %. Mezclamos las piezas fabricadas por ambas máquinas en un día y extraemos una al azar. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que la pieza extraída sea defectuosa? b) (1 punto) Sabiendo que la pieza extraída es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la haya fabricado la máquina B? Solución: a) 0.046666 b) 0.142857 Ejercicio 156. Sean A y B dos sucesos aleatorios independientes. Se sabe que P (A)=0.3, P (B)=0.4. Calcule las siguientes probabilidades: a) (1 punto) P (Α ∪ B). b) (1 punto) P A / B c . Solución: a) 0.58 b) 0.4666

(

I.E.S. Bajo Guadalquivir

)

28

Ejercicio 157. El 70 % de los alumnos de un Instituto son de Bachillerato y el resto de E.S.O. De los alumnos de Bachillerato, el 60% estudia más de 3 horas al día, y sólo el 30% de los de E.S.O. estudia más de 3 horas al día. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un alumno de dicho Instituto, elegido al azar, estudie más de 3 horas al día. b) (1 punto) Sabiendo que un alumno de este Instituto, elegido al azar, estudia más de 3 horas al día, ¿cuál es la probabilidad de que sea de Bachillerato? Solución: a) 0.51 b) 0.82353 Ejercicio 158. Don Nicanor vive en una ciudad donde está nublado un 60% de los días y soleado el resto. Cuando está nublado, Don Nicanor coge el paraguas un 95% de las veces, y lo hace solo el 3% de los días en los que hace sol. Si escogemos un día al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que Don Nicanor no haya cogido el paraguas ese día? b) Sabemos que ha cogido el paraguas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté nublado? Solución: a) 0.588 b) 0.969388 Ejercicio 159. En un hospital se han producido 200 nacimientos en un mes. De ellos, 105 son varones y, de éstos, 21 tienen los ojos azules. Asimismo se ha observado que 38 de las niñas nacidas en ese mes tienen los ojos azules. Se elige, al azar, un recién nacido entre los 200 citados. a) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que tenga los ojos azules. b) (1.5 puntos) Si el recién nacido que se elige tiene los ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de que sea un varón? Solución: a) 0.295 b) 0.3559 Ejercicio 160. Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar 3 veces una moneda y observar el resultado. a) (0.8 puntos) Escriba el espacio muestral asociado y las probabilidades de los sucesos elementales. b) (1.2 puntos) Sean los sucesos A: “obtener al menos una cara”, B: “obtener cara en solo uno de los tres lanzamientos”. Calcule P(A) y P(B). ¿Son independientes A y B? Solución: a) E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX} A = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC} B = {CXX, XCX, XXC} b) No, P(A) · P(B) = 0.875 · 0.375 ≠ P(A∩B) = 0.375. Ejercicio 161. Disponemos de dos urnas A y B conteniendo bolas de colores. La urna A tiene 4 bolas blancas y 3 rojas, y la B tiene 5 blancas, 2 rojas y 1 negra. Lanzamos un dado, si sale 1, 2, 3 ó 4 extraemos una bola de A y si sale 5 ó 6 la extraemos de B. a) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja. b) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea negra. c) (1 punto) Sabiendo que la bola extraída ha sido blanca, calcule la probabilidad de que en el dado haya salido 5 ó 6. Solución: a) 0.369 b) 0.041666 c) 0.3535

I.E.S. Bajo Guadalquivir

29

Ejercicio 162. En una ciudad, el 40% de sus habitantes lee el diario A, el 25% lee el diario B y el 50% lee al menos uno de los dos diarios. a) (0.5 puntos) Los sucesos “leer el diario A” y “leer el diario B” ¿son independientes? b) (0.5 puntos) Entre los que leen el diario A, ¿qué porcentaje lee también el diario B? c) (0.5 puntos) Entre los que leen, al menos, un diario ¿qué porcentaje lee los dos? d) (0.5 puntos) Entre los que no leen el diario A, ¿qué porcentaje lee el diario B? Solución: a) No, P(A ∩ B) = 0.15 ≠ P(A) · P(B) = 0.1 b) 37.5% c) 30% d) 16.66% Ejercicio 163. De dos sucesos A y B, asociados a un mismo experimento aleatorio, se conocen las probabilidades P(B) = 0.7, P(A / B) = 0.8, y P( A ∩ B c ) = 0.24. a) (0.5 puntos) Calcule P(A ∩ B). b) (1 punto) Halle P(A). c) (0.5 puntos) Determine si A y B son independientes. Solución: a) 0.56 b) 0.8 c) Sí, P(A ∩ B) = P(A) · P(B) Ejercicio 164. En cierto barrio hay dos panaderías. El 40% de la población compra en la panadería A, el 25% en la B, y el 15% en ambas. Se escoge una persona al azar: a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que esta persona compre en A y no compre en B? b) (0.5 puntos) Si esta persona es cliente de A, ¿cuál es la probabilidad de que también sea cliente de B? c) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea cliente de A ni de B? d) (0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos “ser cliente de A” y “ser cliente de B”? Solución: a) 0.25 b) 0.375 c) 0.5 d) No, P(A ∩ B) = 0.15 ≠ P(A) · P(B) = 0.4 · 0.25 = 0.1 Ejercicio 165. Entre las 7 bolas de una máquina de futbolín hay 2 rojas y 5 blancas; en cada partida, la máquina va sacando las bolas de una en una, de forma aleatoria, sin reemplazamiento. Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: a) (0.5 puntos) “La primera bola es roja”. b) (0.5 puntos) “Las dos primeras bolas son blancas”. c) (1 punto) “Las dos primeras bolas son de colores distintos”. Solución: a) 0.2857 b) 0.47619 c) 0.47619 Ejercicio 166. Se realiza una encuesta sobre las preferencias de vivir en la ciudad o en urbanizaciones cercanas. Del total de la población encuestada el 60% son mujeres, de las cuales prefieren vivir en la ciudad un 73%. Se sabe que la probabilidad de que una persona, sea hombre o mujer, desee vivir en la ciudad es 0.62. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que elegido un hombre al azar, prefiera vivir en la ciudad. b) (1 punto) Supuesto que una persona, elegida al azar, desee vivir en la ciudad, calcule la probabilidad de que sea mujer. Solución: a) 0.455 b) 0.70645

I.E.S. Bajo Guadalquivir

30

Ejercicio 167. En un curso, el porcentaje de aprobados en Lengua es del 65 % y en Filosofía del 50 %. Se sabe que la probabilidad P(F / L)= 0.7, siendo F y L los sucesos “aprobar Filosofía” y “aprobar Lengua”, respectivamente. a) (1 punto) Calcule P(L / F). b) (1 punto) Halle la probabilidad de no aprobar ninguna de las dos asignaturas. Solución: a) 0.91 b) 0.305 Ejercicio 168. Consideramos el experimento aleatorio de lanzar dos dados distintos y anotar el producto de sus puntuaciones. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que dicho producto sea igual a 6? b) (1 punto) Si sabemos que el producto ha sido 4, ¿cuál es la probabilidad de que hayan salido los dos dados con la misma puntuación? Solución: a) 1/9 = 0.1111 b) 1/3 = 0.3333 Ejercicio 169. Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por 2 bolas del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Calcule: a) (1 punto) La probabilidad de que la segunda bola sea verde. b) (1 punto) La probabilidad de que la primera haya sido roja, sabiendo que la segunda también ha sido roja. Solución: a) 0.43 b) 0.4878 Ejercicio 170. El despertador de un trabajador suena en el 80% de los casos. Si suena, la probabilidad de que llegue puntual al trabajo es 0.9; si no suena, llega tarde el 50% de las veces. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue puntual? b) (1 punto) Si llega tarde, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sonado el despertador? Solución: a) 0.82 b) 0.5555 Ejercicio 171. En un centro de Bachillerato, los alumnos de 1º son el 60% del total, y los de 2º el 40% restante. De todos ellos, el 46% posee móvil y el 18% son de 1º y tienen móvil. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un alumno de 1º, elegido al azar, posea móvil. b) (1 punto) Elegido un alumno, al azar, resulta que tiene móvil, ¿cuál es la probabilidad de que sea de 2º? Solución: a) 0.3 b) 0.6087 Ejercicio 172. Dados dos sucesos aleatorios A y B, se sabe que: 1 3 P( B C ) = P( A) = P( A / B) = y 3 4 C ( B indica el complementario del suceso B). a) (0.75 puntos) Razone si los sucesos A y B son independientes. b) (1.25 puntos) Calcule P( A ∪ B ). Solución: a) Sí, P ( A) = P( A / B) b) 0.5

I.E.S. Bajo Guadalquivir

31

Ejercicio 173. María y Laura idean el siguiente juego: cada una lanza un dado, si en los dos dados sale el mismo número, gana Laura; si la suma de ambos es 7, gana María; y en cualquier otro caso hay empate. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que gane Laura. b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que gane María. Solución: a) 0.16666 b) 0.16666 Ejercicio 174. En una universidad española el 30% de los estudiantes son extranjeros y, de éstos, el 15% están becados. De los estudiantes españoles, sólo el 8% tienen beca. Si se elige, al azar, un alumno de esa universidad: a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que sea español y no tenga beca? b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que sea extranjero, sabiendo que tiene beca. Solución: a) 0.644 b) 0.4455 Ejercicio 175. Un estudiante se presenta a un examen en el que debe responder a dos temas, elegidos al azar, de un temario de 80, de los que se sabe 60. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que responda correctamente a los dos? b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que responda correctamente al menos a uno de los dos? Solución: a) 0.56 b) 0.93987 Ejercicio 176. En los “Juegos Mediterráneos Almería 2005” se sabe que el 5% de los atletas son asiáticos, el 25% son africanos y el resto son europeos. También se sabe que el 10% de los atletas asiáticos, el 20% de los atletas africanos y el 25% de los atletas europeos hablan español. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un atleta, elegido al azar, hable español. b) (1 punto) Si nos encontramos con un atleta que no habla español, ¿cuál es la probabilidad de que sea africano? Solución: a) 0.23 b) 0.05844 Ejercicio 177. En un juego se sortea cada día un premio utilizando papeletas con tres cifras, numeradas del 000 al 999. a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que el número premiado termine en 5. b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que el número premiado termine en 55. c) (0.5 puntos) Sabiendo que ayer salió premiado un número terminado en 5, calcule la probabilidad de que el número premiado hoy también termine en 5. Solución: a) 0.1 b) 0.01 c) 0.1 Ejercicio 178. Una urna contiene tres bolas azules y cuatro rojas. Se extraen al azar tres bolas sucesivamente con reemplazamiento. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que las tres sean del mismo color. b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que dos sean azules y una roja. Solución: a) 0.2653 b) 0.31487

I.E.S. Bajo Guadalquivir

32

Ejercicio 179. Sean A y B dos sucesos independientes tales que. P(A) = 0.4 y P(A ∩ B) = 0.05 a) Calcule P(B). b) Calcule P ( A ∩ B c ) . c) Sabiendo que no ha sucedido B, calcule la probabilidad de que suceda A. Solución: a) 0.125 b) 0.35 c) 0.4 Ejercicio 180. Sean A y B dos sucesos del mismo experimento aleatorio tales que 1 1 1 P ( A) = , P( B) = y P( A ∪ B) = . 6 3 2 a) (1.5 puntos) ¿Son A y B incompatibles? ¿Son independientes? b) (0.5 puntos) Calcule P[ A /( A ∪ B )]. Solución: a) Son incompatibles y dependientes. b) 0.333 Ejercicio 181. Sean A y B dos sucesos independientes tales que P(B) = 0.05 y P(A / B) = 0.35. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos? b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el B? Solución: a) 0.3825 b) 0.3325 Ejercicio 182. Una bolsa contiene tres cartas: una es roja por las dos caras, otra tiene una cara blanca y otra roja, y la tercera tiene una cara negra y otra blanca. Se saca una carta al azar y se muestra, también al azar, una de sus caras. a) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la cara mostrada sea roja? b) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la cara mostrada sea blanca? c) (0.5 puntos) Si la cara mostrada es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la otra cara sea roja? Solución: a) 0.5 b) 0.3333 c) 0.5 Ejercicio 183. En una agrupación musical el 60% de sus componentes son mujeres. El 20% de las mujeres y el 30% de los hombres de la citada agrupación están jubilados. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que un componente de la agrupación, elegido al azar, esté jubilado? b) (1 punto) Sabiendo que un componente de la agrupación, elegido al azar, está jubilado ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? Solución: a) 0.24 b) 0.5 Ejercicio 184. Se dispone de una baraja española de 40 cartas. Se saca una carta al azar y, sin devolverla a la baraja, se saca otra, también al azar. 1. (1 punto) Calcule la probabilidad de que ninguna de las cartas extraídas sea una figura (es decir, ni sota, ni caballo, ni rey). 2. (1 punto) Sabiendo que la segunda carta extraída no ha sido una figura, calcule la probabilidad de que tampoco lo fuera la primera. Solución: a) 0.4846 b) 0.6923

I.E.S. Bajo Guadalquivir

33

Ejercicio 185. En una urna hay 1 bola blanca, 3 rojas y 4 verdes. Se considera el experimento que consiste en sacar primero una bola, si es blanca se deja fuera, y si no lo es se vuelve a introducir en la urna; a continuación se extrae una segunda bola y se observa su color. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 2 bolas del mismo color? b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola blanca salga en la 2ª extracción? Solución: a) 0.390625 b) 0.875 Ejercicio 186. En un determinado curso el 60% de los estudiantes aprueban Economía y el 45% aprueban Matemáticas. Se sabe además que la probabilidad de aprobar Economía habiendo aprobado Matemáticas es 0.75. a) (1 punto) Calcule el porcentaje de estudiantes que aprueban las dos asignaturas. b) (1 punto) Entre los que aprueban Economía ¿qué porcentaje aprueba Matemáticas? Solución: a) 33.75% b) 56.25% Ejercicio 187. En un concurso se dispone de cinco sobres; dos de ellos contienen premio y los otros tres no. Se pide a un primer concursante que escoja un sobre y observe si tiene premio, y a un segundo concursante que elija otro de los restantes y observe si tiene premio. a) (1 punto) Escriba el conjunto de resultados posibles asociado a este experimento e indique la probabilidad de cada uno de ellos. b) (1 punto) ¿Qué probabilidad tiene el segundo concursante de obtener premio? ¿Cuál es la probabilidad de que ambos concursantes obtengan premio? Solución: a) E = {PP, PN, NP, NN}, p(PP) = 0.1, p(PN) = p(NP) = p(NN) = 0.3 b) 0.4 y 0.1 Ejercicio 188. En un supermercado, el 70% de las compras las realizan las mujeres; de las compras realizadas por éstas, el 80% supera las 200€, mientras que de las compras realizadas por hombres sólo el 30% supera esa cantidad. a. (1 punto) Elegido un ticket de compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere las 200€? b. (1 punto) Si se sabe que un ticket de compra no supera las 200€, ¿cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer? Solución: a) 0.65 b) 0.4 Ejercicio 189. Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir un determinado producto. a. (1 punto) Escriba el espacio muestral asociado a dicho experimento, utilizando la letra "s" para las respuestas afirmativas y la "n" para las negativas. b. (0.5 puntos) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso "al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto"? c. (0.5 puntos) Describa el suceso contrario de "más de una persona es partidaria de consumir el producto". Solución: a) E = {sss, ssn, snn, nnn} b) A = {sss, ssn} c) B = {snn, nnn}

I.E.S. Bajo Guadalquivir

34

Ejercicio 190. Juan dispone de dos días para estudiar un examen. La probabilidad de estudiarlo solamente el primer día es del 10%, la de estudiarlo los dos días es del 10% y la de no hacerlo ningún día es del 25%. Calcule la probabilidad de que Juan estudie el examen en cada uno de los siguientes casos: a) (0.5 puntos) El segundo día. b) (0.75 puntos) Solamente el segundo día. c) (0.75 puntos) El segundo día, sabiendo que no lo ha hecho el primero. Solución: a) 0.75 b) 0.65 c) 0.7222 Ejercicio 191. La probabilidad de que un conductor no lleve la rueda de repuesto es 0.13 y la de que no lleve lámparas de repuesto es de 0.37. Se sabe que el 60% de los conductores llevan ambos repuestos. 1. (1 punto) Calcule la probabilidad de que un conductor no lleve alguno de los dos repuestos señalados. 2. (1 punto) ¿Son independientes los sucesos "llevar rueda de repuesto" y "llevar lámparas de repuesto"? Solución: a) 0.9 b) No, 0.87 · 0.63 ≠ 0.6 Ejercicio 192. Sean A y B dos sucesos tales que P ( AC ) = 0.60 , P ( B) = 0.25 y P( A ∪ B) = 0.55 a) (1 punto) Razone si A y B son independientes. b) (1 punto) Calcule P( AC ∪ B C ) . Solución: a) Sí, P(A ∩ B) P(A) · P(B) = 0.1 b) 0.1 Ejercicio 193. Laura tiene un dado con tres caras pintadas de azul y las otras tres de rojo. María tiene otro dado con tres caras pintadas de rojo, dos de verde y una de azul. Cada una tira su dado y observan el color. a) (1 punto) Describa el espacio muestral asociado y las probabilidades de los sucesos elementales. b) (1 punto) Si salen los dos colores iguales gana Laura; y si sale el color verde, gana María. Calcule la probabilidad que tiene cada una de ganar. Solución: a) E = {AA, AR, AV, RA, RR, RV} p(AA) = p(RA) = 1/12, p(AR) = p(RR) = 1/4, p(AV) = p(RV) = 1/6 b) p(Laura) = 1/3, p(María) =1/3 Ejercicio 194. De un estudio sobre accidentes de tráfico se dedujeron los siguientes datos: En el 23% de los casos no se llevaba puesto el cinturón de seguridad, en el 65% no se respetaron los límites de velocidad permitidos y en el 30% de los casos se cumplían ambas normas, es decir, llevaban puesto el cinturón y respetaban los límites de velocidad. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que, en un accidente de tráfico, no se haya cumplido alguna de las dos normas. b) (1 punto) Razone si son independientes los sucesos “llevar puesto el cinturón” y “respetar los límites de velocidad”. Solución: a) 0.7 b) No, 0.77 · 0.35 ≠ 0.3

I.E.S. Bajo Guadalquivir

35

Ejercicio 195. Una enfermedad afecta a un 5% de la población. Se aplica una prueba diagnóstica para detectar dicha enfermedad, obteniéndose el siguiente resultado: Aplicada a personas que padecen la enfermedad se obtiene un 96% de resultados positivos, y aplicada a personas que no la padecen se obtiene un 2% de resultados positivos. Elegida una persona, al azar, y aplicada la prueba: a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga un resultado positivo? b) (1 punto) Si se obtiene un resultado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona no padezca la enfermedad? Solución: a) 0.067 b) 0.283582 Ejercicio 196. Una urna A contiene diez bolas numeradas del 1 al 10, y otra urna B contiene ocho bolas numeradas del 1 al 8. Se escoge una urna al azar y se saca una bola. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída tenga el número 2? b) (1 punto) Si el número de la bola extraída es impar ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B. Solución: a) 0.1125 b) 0.5 Ejercicio 197. Se dispone de dos urnas A y B. En la urna A hay diez bolas, numeradas del 1 al 10 y en la urna B hay 3 bolas, numeradas del 1 al 3. Se lanza una moneda, si sale cara se extrae una bola de la urna A y si sale cruz se extrae de la B. a) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de obtener cara y un 5. b) (0.5 puntos) Halle la probabilidad de obtener un 6. c) (1 punto) Calcule la probabilidad de obtener un 3. Solución: a) 0.05 b) 0.05 c) 0.21666 Ejercicio 198. En una empresa, el 65% de la plantilla son hombres; de ellos, el 80% usan el ordenador. Se sabe que el 83.5% de la plantilla de la empresa usa el ordenador. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que una persona de esa empresa, elegida al azar, sea un hombre que no utiliza el ordenador. b) (1 punto) Seleccionada una mujer de esa empresa, al azar, calcule la probabilidad de que utilice el ordenador. Solución: a) 0.13 b) 0.9 Ejercicio 199. Se lanza una moneda tres veces y se consideran los sucesos: A: “Obtener al menos dos veces cara” y B: “Obtener cara en el segundo lanzamiento”. a) (1 punto) Describa el espacio muestral asociado al experimento. Calcule P( A) y P( A ∪ B) . b) (1 punto) Los sucesos A y B ¿son independientes? ¿son incompatibles? Solución: a) E = {XXX, XXC, XCX, XCC, CXX, CXC, CCX, CCC}, P( A) = 0.5 , P( A ∪ B) = 0.625 b) P ( A) ⋅ P ( B) = 0.25 ≠ P( A ∩ B) = 0.375 → No son independientes, P( A ∪ B) = 0.375 → No son incompatibles

I.E.S. Bajo Guadalquivir

36

Ejercicio 200. En una población, el porcentaje de personas que ven un determinado programa de televisión es del 40%. Se sabe que el 60% de las personas que lo ven tiene estudios superiores y que el 30% de las personas que no lo ven no tiene estudios superiores. a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que una persona vea dicho programa y tenga estudios superiores. b) (1.25 puntos) Halle la probabilidad de que una persona que tiene estudios superiores vea el citado programa. Solución: a) 0.24 b) 0.363636… Ejercicio 201. Se tienen dos dados, uno (A) con dos caras rojas y cuatro verdes, y otro (B) con dos caras verdes y cuatro rojas. Se lanza una moneda; si sale cara se arroja el dado A y si sale cruz el dado B. a) (1 punto) Halle la probabilidad de obtener una cara de color rojo. b) (1 punto) Si sabemos que ha salido una cara de color verde en el dado, ¿cuál es la probabilidad de que en la moneda haya salido cara? Solución: 1 2 a) b) 2 3 Ejercicio 202. La baraja española consta de diez cartas de oros, diez de copas, diez de espadas y diez de bastos. Se extraen dos cartas. Calcule razonadamente la probabilidad de que, al menos, una de las dos cartas sea de espadas en los siguientes supuestos: a) (1 punto) Si se extraen las cartas con reemplazamiento. b) (1 punto) Si se extraen las cartas sin reemplazamiento. Solución: 7 23 a) b) 16 52 Ejercicio 203. Un experimento aleatorio consiste en lanzar simultáneamente dos dados con las caras numeradas del 1 al 6. Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: a) (0.5 puntos) Obtener dos unos. b) (0.5 puntos) Obtener al menos un dos. c) (0.5 puntos) Obtener dos números distintos. d) (0.5 puntos) Obtener una suma igual a cuatro. Solución: 1 11 5 1 b) c) d) a) 36 36 6 12 Ejercicio 204. En un espacio muestral se sabe que para dos sucesos A y B se verifica P ( A ∩ B) = 0.1, P( AC ∩ B C ) = 0.6, P( A / B) = 0.5. a) (0.75 puntos) Calcule P( B ) . b) (0.75 puntos) Calcule P ( A ∪ B) . c) (0.5 puntos) ¿Son A y B independientes? Solución: a) P( B) = 0.2 b) P ( A ∪ B) = 0.4 c) P ( A) ⋅ P( B) = 0.06 ≠ P ( A ∩ B ) = 0.1

I.E.S. Bajo Guadalquivir

37

Ejercicio 205. Una urna A contiene tres bolas azules y cuatro rojas y otra urna B contiene dos bolas azules, dos rojas y dos negras. Se extrae, al azar, una bola de una de las urnas. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja. b) (1 punto) Si la bola extraída resulta ser azul, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? Solución: 19 7 a) P( R) = b) P ( Az / B) = 42 16 Ejercicio 206. En una urna hay cuatro bolas blancas y dos rojas. Se lanza una moneda, si sale cara se extrae una bola de la urna y si sale cruz se extraen, sin reemplazamiento, dos bolas de la urna. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que se hayan extraído dos bolas rojas. b) (1 punto) Halle la probabilidad de que no se haya extraído ninguna bola roja. Solución: 1 8 a) b) 30 15 Ejercicio 207. (2 puntos) En un espacio muestral se consideran dos sucesos A y B tales que 1 1 P ( A ∪ B) = 1, P( A ∩ B) = , P ( A / B) = . 6 3 Halle la probabilidad del suceso A y la del suceso B. Solución: 2 1 P( A) = , P( B) = 3 2 Ejercicio 208. El 30% de los clientes de una tienda de música solicita la colaboración de los dependientes y el 20% realiza una compra antes de abandonar la tienda. El 15% de los clientes piden la colaboración de los dependientes y hacen una compra. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un cliente ni compre, ni solicite la colaboración de los dependientes. b) (1 punto) Sabiendo que un cliente ha realizado una compra, ¿cuál es la probabilidad de que no haya solicitado colaboración a los dependientes? Solución: a) 0.65 b) 0.1666… Ejercicio 209. En un Instituto se pueden practicar dos deportes: fútbol y baloncesto. Se sabe que el 48% de los alumnos practica fútbol pero no baloncesto, que el 15% practica baloncesto pero no fútbol y que el 28% no practica ninguno de los dos. Si se toma, al azar, un alumno de ese Instituto, calcule la probabilidad de que: a) (0.75 puntos) Practique fútbol. b) (0.5 puntos) Practique alguno de los dos deportes. c) (0.75 puntos) No practique fútbol, sabiendo que practica baloncesto. Solución: a) 0.57 b) 0.72 c) 0.625

I.E.S. Bajo Guadalquivir

38

Ejercicio 210. En un tribunal se han examinado 140 alumnos de un Instituto A y 150 de otro Instituto B. Aprobaron el 80% de los alumnos del A y el 72% del B. a) (1 punto) Determine el tanto por ciento de alumnos aprobados por ese tribunal. b) (1 punto) Un alumno, elegido al azar, no ha aprobado, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al Instituto B? Solución: a) 0.75862 b) 0.6 Ejercicio 211. Laura tiene en su monedero 6 monedas francesas, 2 italianas y 4 españolas. Vicente tiene 9 francesas y 3 italianas. Cada uno saca, al azar, una moneda de su monedero y observa la nacionalidad. a) (0.5 puntos) Obtenga el espacio muestral asociado al experimento. b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que las monedas extraídas no sean de la misma nacionalidad? c) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las monedas extraídas sea francesa? Solución: a) {FF, FI, II, EF,EI} b) 7/12 c) 1/8 Ejercicio 212. De los 150 coches de un concesionario, 90 tienen motor diesel y el resto de gasolina. De los coches con motor diesel, 72 son nuevos y el resto usados; mientras que de los coches con motor de gasolina hay el mismo número de coches nuevos que de usados. Se elige, al azar, un coche de dicho concesionario; calcule la probabilidad de que: a) (1 punto) Sea nuevo. b) (1 punto) Tenga motor diesel, sabiendo que es usado. Solución: a) 102/150 b) 3/8 Ejercicio 213. El examen de Matemáticas de un alumno consta de dos ejercicios. La probabilidad de que resuelva el primero es del 30%, la de que resuelva ambos es del 10%, y la de que no resuelva ninguno es del 35%. Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos: a) (1 punto) Que el alumno resuelva el segundo ejercicio. b) (1 punto) Que resuelva el segundo ejercicio, sabiendo que no ha resuelto el primero. Solución: a) 0.45% b) 0.5 Ejercicio 214. Se consideran los sucesos A y B. a) (0.75 puntos) Exprese, utilizando las operaciones con sucesos, los siguientes sucesos: 1. Que no ocurra ninguno de los dos. 2. Que ocurra al menos uno de los dos. 3. Que ocurra B, pero que no ocurra A.

b) (1.25 puntos) Sabiendo que Solución: 2. A ∪ B a) 1. A ∩ B b) P ( A ∪ B ) = 0.85

I.E.S. Bajo Guadalquivir

y

, halle 3. B ∩ A

39

Ejercicio 215. a) (1 punto) Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que

que P ( B ) = 0.4 y que , determine . b) (1 punto) Sean C y D dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que , que y que C y D son independientes, determine . Solución: a) P( A / B) = 0.25 b) P (C ∪ D ) = 0.86 Ejercicio 216. Se sabe que el 30% de los individuos de una población tiene estudios superiores; también se sabe que, de ellos, el 95% tiene empleo. Además, de la parte de la población que no tiene estudios superiores, el 60% tiene empleo. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un individuo, elegido al azar, tenga empleo. b) (1 punto) Se ha elegido un individuo aleatoriamente y tiene empleo; calcule la probabilidad de que tenga estudios superiores. Solución: a) 0.705 b) 0.285/0.705 = 0.404 Ejercicio 217. En una población, donde el 45% son hombres y el resto mujeres, se sabe que el 10% de los hombres y el 8% de las mujeres son inmigrantes. a) (1 punto) ¿Qué porcentaje de inmigrantes hay en esta población? b) (1 punto) Si se elige, al azar, un inmigrante de esta población, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre? Solución: a) 8.9% b) 0.045/0.089 = 0.5056 Ejercicio 218. En un aula de informática hay 20 puestos de ordenador. De ellos, 10 son compartidos y otros 10 son individuales. De los puestos compartidos, hay 3 en los que el ordenador no funciona, de los individuales hay 2 en los que el ordenador no funciona. a) (1 punto) Seleccionado al azar un puesto en el aula, ¿cuál es la probabilidad de que no funcione el ordenador? b) (1 punto) Si se elige al azar un puesto en el que funciona el ordenador, ¿cuál es la probabilidad de que sea compartido? Solución: a) 1/4 b) 7/15 Ejercicio 219. Se dispone de los siguientes datos sobre el equipamiento de los hogares de una ciudad: En el 60% de los hogares se puede ver la TDT (Televisión Digital Terrestre) y el 70% de los hogares dispone de ordenador. De entre los hogares que disponen de ordenador, el 80% puede ver la TDT. a) (1 punto) ¿Son sucesos independientes “disponer de ordenador” y “poder ver la TDT”? b) (1 punto) ¿Qué porcentaje de hogares no disponen de ordenador ni pueden ver la TDT? Solución: a) No b) 26% I.E.S. Bajo Guadalquivir

40

Ejercicio 220. Una caja contiene 12 bombillas, de las cuales 4 están fundidas. Se eligen, al azar y sin reemplazamiento, tres bombillas de esa caja. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que ninguna de las tres bombillas esté fundida. b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que las tres bombillas estén fundidas. Solución: a) 14/55 b) 1/55 Ejercicio 221. (2 puntos) Ana y Blas deciden jugar con un dado de la siguiente forma: “Ana lanza el dado y, si saca un 6, gana y se acaba el juego. En caso contrario lanza Blas, que gana si saca un 2 o un 3, y también se acaba el juego. De no ocurrir esto, la partida se acaba sin ganador. Halle la probabilidad de los siguientes sucesos: “gana Ana”, “gana Blas”, “ninguno gana”. Solución: P( A) = 1 / 6, P( B) = 5 / 18, P( A ∩ B ) = 5 / 9 Ejercicio 222. En una industria de calzado se producen botas y sandalias. De cada 12 pares producidos, 7 pares son botas y 5 de sandalias. La probabilidad de que un par de botas sea defectuoso es 0.08 y de que lo sea un par de sandalias es 0.03. Se escoge al azar un par y resulta ser “no defectuoso”. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya escogido un par de botas? b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya escogido un par de sandalias? Solución: a) P( B / D ) = 0.57

b) P( S / D ) = 0.43 Ejercicio 223. Lena y Adrián son aficionados al tiro con arco. Lena da en el blanco con probabilidad 7/11 y Adrián con probabilidad 9/13. Si ambos sucesos son independientes, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos: a) (0.6 puntos) “Ambos dan en el blanco”. b) (0.6 puntos) “Sólo Lena da en el blanco”. c) (0.8 puntos) “Al menos uno da en el blanco”. Solución: a) 63/143 b) 28/143 c) 127/143 Ejercicio 224. Una encuesta realizada por un banco muestra que el 60% de sus clientes tiene un préstamo hipotecario, el 50% tiene un préstamo personal y el 20% tiene un préstamo de cada tipo. Se elige, al azar, un cliente de ese banco. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que no tenga ninguno de los dos préstamos. b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que tenga un préstamo hipotecario, sabiendo que no tiene un préstamo personal. Solución: a) 0.1 b) 0.8

I.E.S. Bajo Guadalquivir

41

Ejercicio 225. Una enfermedad afecta al 10% de la población. Una prueba de diagnóstico tiene las siguientes características: si se aplica a una persona con la enfermedad, da positivo en el 98% de los casos; si se aplica a una persona que no tiene la enfermedad, da positivo en el 6% de los casos. Se elige una persona, al azar, y se le aplica la prueba. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que dé positivo? b) (1 punto) Si no da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad? Solución: a) 0.152 b) 0.013 Ejercicio 226. En una editorial hay dos máquinas A y B que encuadernan 100 y 900 libros al día, respectivamente. Además, se sabe que la probabilidad de que un libro encuadernado por A tenga algún fallo de encuadernación es del 2%, y del 10% si ha sido encuadernado por la máquina B. Se elige, al azar, un libro encuadernado por esa editorial. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que no sea defectuoso. b) (1 punto) Si es defectuoso, halle la probabilidad de haber sido encuadernado por la máquina A. Solución: a) 0,092 b) 0,0217 Ejercicio 227. Un turista que realiza un crucero tiene un 50% de probabilidad de visitar Cádiz, un 40% de visitar Sevilla y un 30% de visitar ambas ciudades. Calcule la probabilidad de que: a) (0.5 puntos) Visite al menos una de las dos ciudades. b) (0.5 puntos) Visite únicamente una de las dos ciudades. c) (0.5 puntos) Visite Cádiz pero no visite Sevilla. d) (0.5 puntos) Visite Sevilla, sabiendo que ha visitado Cádiz. Solución: a) 0.6 b) 0.3 c) 0.2 d) 0.6 Ejercicio 228. En un centro escolar, los alumnos de 2º de Bachillerato pueden cursar, como asignaturas optativas, Estadística y Diseño Asistido por Ordenador (DAO). El 70% de los alumnos estudia Estadística y el resto DAO. Además, el 60% de los alumnos que estudia Estadística son mujeres y, de los alumnos que estudian DAO son hombres el 70%. a) (1 punto) Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre? b) (1 punto) Sabiendo que se ha seleccionado una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que estudie Estadística? Solución: a) 0.49 b) 0.8235 Ejercicio 229. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que: P ( A c ) = 0.2 , P ( B ) = 0.25 y P ( A ∪ B) = 0.85 . a) (1.25 puntos) ¿Son los sucesos A y B independientes? b) (0.75 puntos) Calcule P( A c / B c ) . Solución: a) P ( A) ⋅ P ( B ) = 0.25 ⋅ 0.8 = 0.2 = P ( A ∩ B ) , por tanto son independientes. b) P( A c / B c ) = 0.2

I.E.S. Bajo Guadalquivir

42

Ejercicio 230. Un polideportivo dispone de 100 bolas de pádel y 120 bolas de tenis. Se sabe que 65 bolas son nuevas. Además, 75 bolas de pádel son usadas. Por un error, todas las bolas se han mezclado. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que si elegimos, al azar, una bola de tenis, ésta sea usada. b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que si elegimos, al azar, una bola, sea nueva. Solución: a) 0.71 b) 0.3 Ejercicio 231. Sean A y B dos sucesos tales que P ( A) = 0.3 , P ( B) = 0.4 y P ( A ∪ B ) = 0.65 . Conteste razonadamente las siguientes preguntas: a) (0.5 puntos) ¿Son incompatibles A y B? b) (0.5 puntos) ¿Son independientes A y B? c) ( 1 punto) Calcule P( A / B c ) . Solución: a) P ( A ∩ B ) = 0.05 , luego no son incompatibles. b) P ( A ∩ B ) = 0.05 y P ( A) ⋅ P ( B ) = 0.12 , luego no son independientes. c) P( A / B c ) = 0.42 Ejercicio 232. A y B son dos sucesos independientes de un mismo experimento aleatorio, tales que P ( A) = 0.4 y P ( B) = 0.6 . a) (1 punto) Calcule P ( A ∩ B ) y P ( A ∪ B ) . b) (1 punto) Calcule P ( A / B ) y P( B / A c ) . Solución: a) P ( A ∩ B) = 0.24 , P ( A ∪ B ) = 0.76 . b) P ( A / B ) = 0.4 , P( B / A c ) = 0.6 Ejercicio 233. Se consideran dos sucesos A y B, asociados a un espacio muestral, tales que P ( A ∪ B ) = 1 , P ( A ∩ B ) = 0.3 y P ( A / B ) = 0.6 . a) (1.5 puntos) Halle las probabilidades de los sucesos A y B. b) (0.5 puntos) Determine si el suceso b es independiente del suceso A. Solución: a) P ( A) = 0.8 , P ( B ) = 0.5 . b) P ( A) ⋅ P ( B ) = 0.4 y P ( A ∩ B ) = 0.3 , luego, no son independientes. Ejercicio 234. El 70% de los visitantes de un museo son españoles. El 49% son españoles y mayores de edad. De los que no son españoles, el 40% son menores de edad. a) (1 punto) Si se escoge, al azar, un visitante de este museo, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor de edad? b) (1 punto) Se ha elegido, aleatoriamente, un visitante de este museo y resulta que es menor de edad, ¿cuál es la probabilidad de que sea español? Solución: a) 0.67 b) 0.36

I.E.S. Bajo Guadalquivir

43